Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice"

Transkript

1 Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková

2 Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů uvedených v seznamu literatury. V Brně dne Hana Kotulková

3 Ráda bych na tomto místě poděkovala všem, ktěří mi s prací pomohli, hlavně mému vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi,CSc a panu RNDr. Jiřímu Dulovi.

4 Obsah Úvod 1 Základní typy rovnic a nerovnic Lineární rovnice a nerovnice o jedné neznámé Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli Iracionální rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě Reciproké rovnice Soustavy rovnic Rovnice s parametrem.1 Kvadratické rovnice s parametrem Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice 6 4 Goniometrické rovnice a nerovnice 9 5 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Rovnice v množině komplexních čísel Kvadratické rovnice v množině komplexních čísel Binomické rovnice Rovnice s kombinačními čísly 37 Literatura 39 1

5 Úvod Tato Sbírka řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice poslouží studentům posledních ročníků středních škol, především gymnázií, jako pomocník při procvičování, opakování a prohlubování učiva vybrané látky matematiky při přípravě na maturitní zkoušky, přijímací zkoušky na vysoké školy a následné vysokoškolské studium. Sbírka obsahuje úlohy ze všech tématických celků z učebních osnov matematiky gymnázií týkajících se problému řešení rovnic (nerovnic). Z důvodu omezeného rozsahu bakalářské práce je zde záměrně vypuštěno grafické řešení rovnic (nerovnic) a slovní úlohy, sbírka je zaměřena pouze na algebraické řešení rovnic (nerovnic). Sbírka je rozdělena do šesti kapitol, každá je věnována jinému typu rovnic (nerovnic). V každé kapitole se nachází v rámečcích a v poznámkách stručné přehledy základních poznatků, vlastnosti v nich obsažené jsou nezbytné pro řešení příkladů. Ve sbírce nejsou uvedeny všechny přehledy vzorců, jichž se při řešení používá. U základních vzorců se předpokládá, že je student zná, a že je dovede použít, složitější, či méně časté si může vyhledat v Matematicko- fyzikálních tabulkách. Matematické symboly a značky jsou použity z publikace Názvy a značky školské matematiky, Praha, SPN, Řešení všech typů rovnic (nerovnic) je ukázáno na jednom modelovém příkladě, je vybrán tak, aby na něm bylo ukázáno využití co nejvíce využívaných vlastností a metod při řešení, a aby byl klíčovým příkladem pro řešení příkladů pod čarou, jenž se nachází na konci každé kapitoly (jedná se o příklady na procvičování). Pod každým zadáním si student ověří správnost řešení ve výsledcích příkladů, které jsou obsaženy v hranatých závorkách u všech příkladů, u složitějších i se stručným návodem k jeho řešení. Příklady obsažené v této sbírce jsou vybrány středně těžké až složitější. Cílem sbírky není v žádném případě studenty s látkou seznámit, ale spíše posloužit studentům k zopakování, ucelení učiva a aplikaci již získaných znalostí. Po projití jednadvaceti řešených příkladů a vyřešení rozmanitých osmašedesáti příkladů na procvičení získá student pocit, že učivo věnované této problematice zvládl.

6 Kapitola 1 Základní typy rovnic a nerovnic Rovnice Rovnicí o jedné neznámé x rozumíme zápis tvaru f(x) = g(x), kde f(x), g(x) jsou výrazy obsahující konstanty a proměnnou x (nebo též jenom konstanty); f(x) je levá strana a g(x) pravá strana této rovnice. Nerovnice Nerovnicí o jedné neznámé x budeme rozumět každý ze zápisů tvaru f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), kde f(x), g(x) jsou výrazy obsahující konstanty a proměnnou x (nebo též jenom konstanty); f(x) je levá strana a g(x) pravá strana této nerovnice. Číslo c R, po jehož dosazení za x přejde rovnice (nerovnice) v pravdivou rovnost (nerovnost), se nazývá kořen, popř. řešení této rovnice. Množinu všech řešení rovnice (nerovnice) budeme označovat K. Zkouška při řešení rovnice (nerovnice) není nutná, provádíme-li pouze ekvivalentní úpravy, tj. všechny úpravy, které převádí rovnici f 1 (x) = g 1 (x) s množinou všech řešení K 1, na rovnici f (x) = g (x) s množinou všech řešení K, kde K 1 = K. Např. přičtení libovolného čísla k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice libovolným nenulovým číslem, převedení rovnice na anulovaný tvar - tzn. f ( x) g ( x) = 0. 3

7 Jestliže K 1 K, jde o důsledkovou úpravu rovnice f 1 (x) = g 1 (x), a v tomto případě je zkouška součástí řešení a nelze ji vynechat. Při zkoušce dosazujeme vypočtené kořeny do původní rovnice. Analogicky definujeme důsledkové a ekvivalentní úpravy u nerovnic. 1.1 Lineární rovnice a nerovnice o jedné neznámé Lineární rovnice Lineární rovnicí s neznámou x R nazýváme každou rovnici ve tvaru ax+b = 0, kde a R\{0}, b R. Poznámka 1. Je-li a 0 v rovnici ax + b = 0, má rovnice jediné řešení x = b a. Poznámka. Je-li a = 0 a současně b = 0 v rovnici ax + b = 0, má rovnice nekonečně mnoho řešení (každé reálné číslo). Poznámka 3. Je-li a = 0 a současně b 0 v rovnici ax + b = 0, nemá rovnice řešení (množina řešení je prázdná). Příklad 1.1. Řešte v R rovnici Řešení 3(x 1)(x )(x 3) = (x 1) 3 + (x ) 3 + (x 3) 3. (3x 3)(x 5x + 6) = x 3 3x + 3x 1 + x 3 6x + 1x 8 + x 3 9x + 7x 7 3x 3 18x + 33x = 3x 3 18x + 4x 36 / 3x x 33x 18 = 4x 36 / 4x x = 18 / : ( 9) x = Závěr: Množina K všech řešení dané rovnice je K = {}. Lineární nerovnice Lineární nerovnicí s neznámou x R nazýváme každou nerovnici ve tvaru ax + b 0, kde a R\{0}, b R. Znak nerovnosti může být >,, <,. 4

8 Poznámka 4. Násobíme-li nebo dělíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, změní se zároveň i znaménko nerovnosti! Příklad 1.. Řešte v R nerovnici x + (x 1 ) 0,1(x + 9)(x 9) Řešení Nerovnici anulujeme a výraz na levé straně upravujeme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor: x (x 1 ) 0,1(x + 9)(x 9) 0 / 10 4 x + 4(x 1 4 ) (x 81) 0 x + 4x 1 x (x + 0) 0 x 0 Závěr: Protože všechny úpravy byly ekvivalentní, mají poslední i původní nerovnice stejnou množinu řešení K = (, Kvadratické rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru ax + bx + c = 0, kde a, b, c R, a 0. Výpočet kořenů kvadratické rovnice O kvadratické rovnici ax + bx + c = 0 s diskriminantem D = b 4ac platí: pro D > 0 má dva různé reálné kořeny: x 1, = b ± D a pro D = 0 má jeden reálný dvojnásobný kořen: x 1 = x = b a pro D < 0 v oboru R nemá řešení (v C má dva kořeny - čísla komplexně sdružená). 5

9 Poznámka 5. Má-li kvadratická rovnice ax + bx + c = 0 nezáporný diskriminant a jsou-li x 1, její kořeny, lze trojčlen na její levé vyjádřit jako součin ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Typy kvadratických rovnic 1. ax + bx + c = 0 úplná kvadratická. ax + bx = 0 bez absolutního členu 3. ax + c = 0 ryze kvadratická Poznámka 6. Kvadratickou rovnici () a (3) řešíme výhodněji bez výpočtu diskriminantu a použití vzorců pro její kořeny. Rovnici () upravíme na tvar x(ax + b) = 0, z něhož jsou jeho kořeny ihned vidět x 1 = 0, x = b a. Pro a > 0 rovnice (3) nemá řešení, pokud c > 0. Jestliže c < 0, kořeny jsou čísla x 1, = ± c a. Příklad 1.3. Řešte v R rovnici 1 (x 1) [ 1 (x + 1)] = 3[( 1 x) ( 1 ) ]. Řešení Rovnici postupně upravíme na tvar ax + bx + c = 0, a poté vypočítáme její kořeny: 1 (4x 4x + 1) [ 1 x + 1 ] = 3( 1 4 x 1 4 ) x x x 1 x 1 4 = 3 4 x 3 4 / 3 4 x x 5 x + 1 = 0 / x 5x + = 0 x 1, = 5 ± Závěr: Množina řešení je K = { 1,}. = 5 ± 3 4 = { 1 ; } Vlastnosti kořenů kvadratické rovnice ( Viétovy vzorce) Kvadratická rovnice ve tvaru x + px + q = 0 se nazývá normovaná, kde p = b a, q = c, a 0, a, b, c R. a 6

10 Pro kořeny x 1, x normované kvadratické rovnice platí: x 1 x = q x 1 + x = p Poznámka 7. Není-li v kvadratické rovnici ax + bx + c = 0 koeficient a roven jedné, převedeme ji na normovaný tvar tak, že celou rovnici tímto koeficientem vydělíme, dostaneme tak rovnici x + b a x + c a = 0, kterou obvykle píšeme ve tvaru x + px + q = 0. Poznámka 8. Pro kořeny normované rovnice x + px + q = 0 platí: S výhodou se používá,pokud p je sudé. x 1, = p ± ( p ) q Příklad 1.4. Je dána kvadratická rovnice 1 9 x 3x+0 = 0. Aniž byste počítali její kořeny, napište kvadratickou rovnici, jejímiž kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů dané rovnice. Řešení Rovnici převedeme do normovaného tvaru (viz poznámka 7). Dostaneme rovnici: x 7x = 0 Příklad řešíme užitím Viétových vzorců. Z kvadratické rovnice můžeme vyčíst, že x 1 + x = 7 a x 1 x = 180, proto: x 1 + x = 1 x x = x + x 1 x 1 x = = p x 1 x = 1 x 1 1 x = = q Vypočítané hodnoty doplníme do kvadratické rovnice x + p x + q = 0, rovnici upravím: x x = 0 / x 7x + 1 = 0 7

11 Závěr: Kvadratickou rovnicí, jejímiž kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů dané rovnice, je rovnice tvaru 180x 7x + 1 = 0. Kvadratické nerovnice Nerovnice, kterou lze převést ekvivalentními úpravami na tvar ax + bx + c > 0, kde a, b, c R se nazývá kvadratická nerovnice o jedné neznámé x. Znak nerovnosti může být >,, <,. 1.3 Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli Poznámka 9. Je-li v zadání rovnice (nerovnice) neznámá ve jmenovateli zlomku, musíme stanovit podmínky, za kterých má daná rovnice (nerovnice) smysl. Příklad 1.5. Řešte v R rovnici 3x +8 x 1 x 1 4 = 43+3x x 4x 4. Řešení Zlomky mají smysl jen tehdy, když je jejich jmenovatel různý od nuly, v našem případě tedy x 1. Neznámou budeme hledat v množině R\{1}. Existují dva způsoby řešení: 1. způsob - odstraníme zlomky vynásobením dané rovnice 4(x 1). O této úpravě víme, že nemusí být ekvivalentní, je tedy nutné provést zkoušku, zda získané kořeny dané rovnice vyhovují.. způsob - rovnici anulujeme a výraz na levé straně upravíme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor. Zlomek obsahující proměnnou je roven nule právě pro ty její hodnoty z definičního oboru tohoto zlomku, pro něž je nulový jeho čitatel. Zkouška není nutná. Tento příklad vyřešíme pouze prvním způsobem: 3x + 8 x 1 x x x = 4 4x 4 4(3x + 8) (x 1)(x 1) = x x / 4(x 1) 1x + 3 x + 3x 1 = x x / 43 3x + x 1x 1 = 0 / : 1 x 1 = 0 8

12 Jedná se o ryze kvadratickou rovnici, jednoduše vypočteme kořeny bez použití vzorce (viz poznámka 6): x 1, = { 1,1} Jelikož řešení hledáme v oboru R\{1}, rovnice má jeden kořen x = 1. Zkouška: L( 1) = = 19 4 P ( 1) = 38 8 = 19 4 L( 1) = P ( 1) Závěr: Rovnice má jediné řešení K = { 1}. Příklad 1.6. Řešte v R nerovnici x+4 3x x x 4. x 4x+16 Řešení Danou nerovnici budeme řešit v množině R\{ 4}. Nerovnici anulujeme a výraz na levé straně upravíme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor. Postup je následující: x + 4 3x x x 4 x 4x (x 4x + 16) 3x + (x 4)(x + 4) x x 8x + 3 3x + x 16 x x + 16 x Určíme nulové body, tzn. čísla, po jejichž dosazení za x se výraz na levé straně bude rovnat nule. Nulovými body 4, jednotlivých činitelů v čitateli a jmenovateli zlomku na levé straně nerovnice rozdělíme množinu R na tři intervaly I 1, I, I 3, a určíme znaménka jednotlivých činitelů i celého zlomku v těchto intervalech: I 1 = (, 4) I = ( 4, I 3 = (, + ) 8x x x+16 x

13 Neboť zlomek má být větší nebo roven nule, řešením nerovnice je interval, ve kterém má daný zlomek kladné znaménko. Závěr: Množina K všech řešení dané nerovnice je množina K = ( 4,. 1.4 Iracionální rovnice a nerovnice Iracionální rovnice jsou rovnice, které mají neznámou x R v odmocněnci. Poznámka 10. Používáme-li při úpravách iracionální rovnice důsledkové (neekvivalentní) úpravy (např. umocňování obou stran rovnice stejným sudým mocnitelem), součástí řešení rovnice je zkouška nebo stanovení podmínek, za kterých má daná rovnice smysl. Tím vyloučíme nevyhovující řešení. Někdy nestanovujeme podmínky, za kterých má daná rovnice smysl (někdy by to bylo složitější než vlastní řešení rovnice), kořeny pak určíme provedením zkoušky pro všechny vypočtené hodnoty neznámé. Poznámka 11. Při řešení nerovnic s neznámou pod odmocninou je nutné si uvědomit důležitou vlastnost: a, b R +... a < b a < b a, b R... a < b a > b Příklad 1.7. Řešte v R rovnici + 4 x 1 4 x = 1 x. 10

14 Řešení + 4 x 1 4 x = 1 x ( 4 x ) ( + 4 x ) = x x 4 4 x 4 x = x Zkouška: L() = / ( + 4 x )( 4 x ) 3 4 x = x / x x x = 3 4 x / 4 4x + x = 36 9x / + 9x 36 10x 4x 3 = 0 / 1 5x x 16 = 0 x 1, = 1 ± = {, } = 1 1 = 1 P () = 1 L() = P () L( 8 5 ) = P ( 8 5 ) = 5 8 L( 8 5 ) = P ( 8 5 ) = = 5 8 Závěr: Zkoušce vyhovují oba kořeny, množinou řešení je K = {, 8 5 }. 1.5 Lineární rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě Poznámka 1. Řešení lineárních rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou je založeno na známé vlastnosti absolutní hodnoty: a 0 a = a a 0 a = a 11

15 Příklad 1.8. Řešte v M =,10) nerovnici 3 1 x 3 x + x 4 +x > 5 x 1. Řešení Určíme nulové body, tj. čísla, pro která mají výrazy v absolutních hodnotách hodnotu nula, jsou to čísla 1,, 4. Tím se číselná osa rozdělí na čtyři intervaly I 1, I, I 3, I 4. Pak sestavíme nerovnici, v níž výrazy v absolutní hodnotě nahradíme výrazy z tabulky zvlášť pro každý interval. Řešením pro každý interval je vždy průnik tohoto intervalu s řešením nerovnice, tj. K 1, K, K 3, K 4. Řešením dané nerovnice je sjednocení množin K = K 1 K K 3 K 4. I 1 = (,1) I = 1,) I 3 =,4) I 4 = 4, + ) 1 x 1 x 1 + x 1 + x 1 + x x x + x + x x x 4 x + 4 x + 4 x + 4 x 4 x 1 x + 1 x 1 x 1 x 1 Pro I 1 = (,1): 3(1 x) 3( x + ) x x > 5 ( x + 1) 3 3x + 3x 6 x x > 5 + x / x 1 x > / ( 1 ) x > 1 x < 1 Řešení nerovnice pro I 1 je množina K 1 = (,1) (, 1) = (, 1). Pro I = 1,): 3( 1 + x) 3( x + ) x x > 5 (x 1) 3 + 3x + 3x 6 x x > 5 x + / + x + 5 8x > 1 / 1 8 x > 3 Řešení nerovnice pro I je množina K = 1,) ( 3, + ) = ( 3,). Pro I 3 =,4): 3( 1 + x) 3(x ) x x > 5 (x 1) 3 + 3x 3x + 6 x x > 5 x + / + x 7 x > 0 1

16 Řešení nerovnice pro I 3 je množina K 3 =,4) (0, + ) =,4). Pro I 4 = 4, + ): 3( 1 + x) 3(x ) + x 4 + x > 5 (x 1) 3 + 3x 3x x 4 + x > 5 x + / + x + 1 x > Řešení nerovnice pro I 4 je množina K 4 = 4, + ) (, + ) = 4, + ). Závěr: Řešíme v M =,10), K M, proto K = K 1 K K 3 K 4 = =, 1) ( 3,10). Příklad 1.9. Řešte v Z rovnici 3 x 1 3 x + 3 = 0. Řešení 1. Je-li 3 x 0, pak má daná rovnice tvar 3 x 1 3 x + 3 = 0. Nulové body 0, 1 nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly I 1, I, I 3. Pro I 1 = (,0): Pro I = 0,1): Pro I 3 = 1, + ): I 1 = (,0) I = 0,1) I 3 = 1, + ) x x x x x x x x x + 3x + 3 = 0 x = 5 ( (, )0) x 3x + 3 = 0 x = 1 0,1) x 3x + 3 = 0 x = 1 1, + ). Je-li 3 x < 0, pak má daná rovnice tvar 3 + x 1 3 x + 3 = 0. Nulové body 0, nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly I 4, I 5, I 6. 13

17 Pro I 4 = (,0): Pro I 5 = 0,): I 4 = (,0) I 5 = 0,) I 6 =, + ) x 4 x + 4 x + 4 x 4 x x x x x x + 3 = 0 x = 7 (,0) x + 4 3x + 3 = 0 x = 7 5 Z Pro I 6 =, + ): x 4 3x + 3 = 0 x = 1, + ) Závěr: Množina řešení je K = { 7, 5,1}. 1.6 Reciproké rovnice Algebraickou rovnici tvaru a 0 x n + a 1 x n a n = 0, pro jejíž koeficienty a k (kde k = 0, 1,,... n) platí vztah: 1. a k = a n k, nazýváme reciprokou a značíme R(x) = 0,. a k = a n k, nazýváme antireciprokou a značíme r(x) = 0. Reciproká rovnice R(x) = 0 lichého stupně n = k + 1 má vždy kořen x 1 = 1 a platí: R(x) = (x + 1)R 1 (x), kde R 1 (x) = 0 je reciproká rovnice stupně k. Reciprokou rovnici R(x) sudého stupně n = k převádíme substitucí a = x + 1 x na rovnici stupně n = k. Antireciproká rovnice r(x) = 0 stupně n má vždy kořen x 1 = 1. Přitom platí r(x) = (x 1)R(x), kde R(x) = 0 je reciproká rovnice stupně n 1. 14

18 Příklad Řešte v R rovnici 6x 4 5x 3 38x + Kx + L = 0. Doplňte hodnoty za K, L tak, aby se jednalo o reciprokou rovnici sudého stupně. Řešení Aby se jednalo o reciprokou rovnici, doplníme za K = 5 a L = 6: 6x 4 5x 3 38x 5x + 6 = 0 Rovnice nemá kořen x = 0, proto ji lze vydělit výrazem x, aniž by se změnil počet kořenů, získáme: 6x 5x x x = 0 6(x + 1 x ) 5(x + 1 x ) 38 = 0 Zavedeme substituci a = x + 1 ; x (x + 1 x rovnici stupně n = : = a ) a tím ji převedeme na 6(a ) 5a 38 = 0 6a 5a 50 = 0 a 1, = 5 ± = { 5,10 3 } 1. x + 1 x = 5 x + 5x + = 0 x 1, = 5± = {, 1 }. x + 1 x = x 10x + 3 = 0 x 3,4 = 5± = { 1 3,3} Závěr: Množinou řešení je K = {, 1, 1 3,3}. 1.7 Soustavy rovnic Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Soustava rovnic tvaru ax + by = e, a 0 b 0, cx + dy = f, c 0 d 0, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y. Dvojice čísel [x 0,y 0 ] se nazývá řešení soustavy rovnic, jestliže je řešením každé z rovnic soustavy (tj. jestliže platí ax 0 + by 0 = e a také cx 0 + dy 0 = f). Analogicky definujeme rovnice soustavy rovnic o třech a více neznámých a jejich řešení. 15

19 Početně je řešíme metodou: 1. dosazovací(substituční): z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do rovnice druhé.. sčítací (aditivní): rovnice vynásobíme vhodnými (nenulovými) čísly tak, aby po sečtení těchto rovnic jedna z neznámých vypadla. 3. srovnávací (komparační): z každé rovnice soustavy vypočteme tutéž neznámou a tato vyjádření porovnáme. Poznámka 13. Soustavu tří rovnic o třech neznámých redukujeme některou z metod na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pak postupujeme známým způsobem. Zcela analogicky postupujeme i při řešení soustav čtyř (pěti,) lineárních rovnic o čtyřech (pěti,) neznámých. Od dané rovnice n lineárních rovnic o n neznámých přejdeme k soustavě n 1 rovnic o n 1 neznámých, pak k soustavě n neznámých atd. Příklad Řešte v R soustavu tří rovnic o třech neznámých: x + y = xy x + z = 4xz y + z = 8yz Řešení Všechny neznámé převedeme na levou stranu rovnice a pro x 0, y 0, z 0 po úpravě dostaneme: 1 y + 1 x = 1 z + 1 x = 4 1 z + 1 y = 8 Zavedeme substituci a = 1 x, b = 1 y, c = 1 z : b + a = (1.1) c + a = 4 (1.) c + b = 8 (1.3) 16

20 Rovnice (1.1) a (1.) od sebe odečteme a získáme: b c = (1.4) c + b = 8 (1.5) Sečteme-li rovnici (1.4) a (1.5), dostaneme po úpravě b = 3, po dosazení do rovnice (1.3) získáme c = 5 a po dosazení do rovnice (1.1) získáme a = 1. Neboť a = 1 x, b = 1 y, c = 1 z, jednoduše vypočteme x = 1, y = 1 3, z = 1 5. Závěr: Množinou řešení je K = {[0, 0, 0], [ 1, 1 3, 1 5 ]}. Soustavy nerovnic Řešení soustavy nerovnic o jedné neznámé je množina všech reálných čísel, která je řešením každé nerovnice soustavy. Při řešení dané soustavy nerovnic určíme nejprve množinu všech řešení každé nerovnice soustavy zvlášť a potom určíme průnik těchto množin. Příklad 1.1. Řešte v množině M = 5,5 soustavu nerovnic: 11x x 3(x 0,) x Řešení 1. 11x x 3(x 0,) / 11x x 6x 1, / 6x 3 15x 4, / ( 15) x 7 5 K 1 = (,

21 . Pro I 1 = (, 1): Pro I = 1, + ): x 1 13 / x 18 5 K 1 = ( ; 18 5 x / 1 x 8 5 K = 8 5, + ) Závěr: Řešením celé soustavy v množině M = 5,5 je tedy množina K = K 0 (K 1 K ) = 5, Cvičení Příklady na procvičení lineárních rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 5 6 x + 0,75 0,5x 3 = x (5+x) 1 b) x x x x x 1 + x = 1 4 (x x ) c) 4x 5 3 5x x+1 6 d) (x+1) 3 x(x )(x+3) x(x+5) [a)k = { }; b)k = {4}; c)k = {φ}; d)k = 1, + )]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic a nerovnic.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: 18

22 a) 7+x 3x 1 5 x = 3 3x x b) x(x+ )(x 3) (x +1)(x 1) < 0 [a)k = { 1,1}; b)k = (, ) (0,1) (1, 3)]. Sestavte rovnici, jejíž kořeny jsou čísla , [Zlomky nejdříve usměrníme x 1, = ± 10, výsledná rovnice je 50x 0x + 1 = 0.].3 V rovnici x + mx + 5 = 0 (aniž ji řešíte) určete m tak, aby jeden kořen byl o čtyři větší než druhý kořen. [m = { 6,6}] 3. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli 3.1 Řešte v daných množinách dané rovnice a nerovnice : a) 6 x 1+x (4x 3) x 1 = x 1 x v N (5x 3)(x+4) b) x(6 x) 0 v M = 6,6 c) 4 x+1 = 7x+4 4x x+1 3x 1 8x 3 +1 v R d) 5 x x + 1+4x x+ < 1 v Z [a)k = N\{1}; b)k = 6, 4 (0, 3 ; c)k = {, }; d)k = {0}] 4. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou pod odmocninou 4.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 1 + x x + 8 = x + 1 b) x 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 = 1 19

23 c) (x ) x + 1 > x + d) 3x x 1 0 [a)k = {0,}; b) substituce 3 x = a,k = { 7,64}; c)k = {φ}; d)k = 0,1 ] 5. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou v absolutní hodnotě 5.1 Řešte v daných množinách dané rovnice a nerovnice: a) x + 4x 3x 6 = 0 v Z b) x x = x 1 x v N c) x x 3 + x 1 x v R d) x + x 3x + x 1 (x 1) v M = 1,1 [a)k = { 1,}; b)k = {}; c)k = (, 5 4 3, + ); d)k = 1, 1 4 ] 6. Příklady na procvičení reciprokých rovnic 6.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 7x x + 57x + 7 = 0 b) 5x 4 6x x 6x + 5 = 0 [a)k = { 7, 1, 1 7 ; b)k = {5, 1 5 }] 7. Příklady na procvičení soustavy rovnic a nerovnic 7.1 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: a) x + 1 x + y + x + 1 x + y 3 y x y y x y = 3 = 1 0

24 b) xy + 4y + x + = y(x + 7) (x )(3z + 1) = (x + 3)(3z 1) (y + 1)(z + ) = (y + 3)(z + 1) c) d) x 3 + x + 1 > x 5 x x 6x + 9 3x x < 0 [a)k = {[3,1]}; b)k = {[7,3,1]}; c)k =,4 \{ 1}; d)(,0) 5, + )] 1

25 Kapitola Rovnice s parametrem Poznámka 14. Parametr je proměnná, která nabývá všech hodnot ze zvoleného číselného oboru. Vypočtený kořen závisí na tom, jaký je parametr, tj. jaké číslo za hodnotu této proměnné zvolíme. Nutno nezapomenout, že při dělení rovnice výrazem, který obsahuje parametr, je nutno zaručit, aby byl nenulový. Příklad.1. Řešte v R rovnici (m+1)x 6 = 3(1 m m) s parametrem m. x x Řešení Uvědomíme si nejprve, že rovnice má smyl pouze pro x 0. Abychom zlomky odstranili, vynásobíme rovnici výrazem x, tato úprava však nemusí být ekvivalentní, proto je nutné pro určení kořenů provést zkoušku. Dostaneme postupně: mx + x 6 = 3x 3m + 3m / + 6 3x x(m ) = 3( m + m + ) Chystáme se dělit výrazem m, rozlišíme tedy dvě možnosti. Pro m dostaneme x = 3( m +m+) = 3(m )(m+1) = 3m 3, m m pro m = dostaneme rovnici x 0 = 0, které vyhovuje každé reálné číslo. Provedeme zkoušku.

26 Je-li m dostaneme: L( 3m 3) = (m + 1)( 3m 3) 6 ( 3m 3) = 3m 6m 9 3m 3 = m + m + 3 m + 1 P ( 3m 3) = 3(1 m m 3m 3 = 3 m m m 1 = 3m 3 m + m m 1 = m + m + 3 m + 1 L( 3m 3) = P ( 3m 3) Je-li m =, dostaneme (x 0 je libovolně zvolené číslo, x 0 R\{0}): L(x 0 ) = 3x 0 6 x 0 P (x 0 ) = 3(1 x 0 ) = 3x 0 6 x 0 L(x 0 ) = P (x 0 ) Závěr: Rovnice s parametrem m má pro m jediné řešení x = 3m 3, pro m = nekonečně mnoho řřešení, a to x R\{0}..1 Kvadratické rovnice s parametrem Příklad.. Řešte v R kvadratickou rovnici (m 1)x (m )x+m 1 = 0 s parametrem m. Řešení Jestliže m 1 = 0, tj. m = 1, dostaneme x = 1. Jestliže m 1 0, tj. m 1, dostaneme rovnici: x 1, = m ± m 4m + 4 (8m 4)(m 1) (m 1) = m ± 7m + 8m (m 1) D = 0 : 7m + 8m = 0 m(8 7m) = 0 m = 0 m = 8 7 3

27 D > 0 : 7m + 8m > 0 m(8 7m) > 0 (m > 0 8 7m > 0) (m < 0 8 7m < 0) D < 0 : m (,0) ( 8 7, + ) Závěr: Kvadratická rovnice s parametrem m má pro m = 1 jediné řešení x = 1, pro m = 0 jediné řešení x = 1, pro m = 8 jediné řešení x = 3, 7 pro m (0,1) (1, 8) řešení x { m ± 7m +8m 7 pro m (,0) ( 8, + ) nemá řešení. 7 Cvičení. m }, m (0, 8 7 ) 1. Příklady na procvičení lineárních rovnic s parametrem 1.1 Řešte rovnice s neznámou x R a s parametrem a R: a) x(a 1) + a(x + 4) = b) x+a x+1 3a x a = [a) pro a = 0,5 je x R, pro a R\{0,5} je x { }; b) pro a = 1 je x R\{ 1}; pro a {0,} nemá řešení; pro a R\{ 1,0,} je x { a }] 1. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + x = 15 b) x ax+1 = a 1 3 [a)a (,) ( 5, + ); b)a ( 4 3, 3 )]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic a nerovnic s parametrem.1 Řešte rovnice s neznámou x R a s parametrem m R: 4

28 a) mx + (m + 1)x + m 4 = 0 b) x x+m + x x m = 5m 4(x m ) c) x m 3 = 1 m (4x + 1) d) (m 1)x (m + 1)x + m + 1 > 0 [a) pro m ( ; 0,05) nemá řešení, pro m = 0,05 je x = 9, pro m ( 0,05; 0) (0, + ) je x 1, = { m 1± 0m+1 m }, pro m = 0 je x = 4; b)pro m = 0 nemá řešení, pro m 0 je x 1, = { m, 5m 6 }; c) pro m = 0 nemá rovnice smysl, pro m = nemá řešení, pro m = je 1 x R, pro m R\{,0,} je x = m(m ) ; d)m ( 5 3, + ),m = 1 nevyhovuje, takže m 1 > 0, D < 0] 5

29 Kapitola 3 Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Základní vlastnosti mocnin Pro každé a R + \{1} platí: a 0 = 1; a 1 = a; a x a y = a x+y ; a x = 1 (a x ) y = a xy ; a x = a y (a = 1 x = y) a x ; a x a y = a x y ; Poznámka 15. Číslo x = log a y definujeme vztahem a x = y, přitom a > 0, a 1, y > 0. Místo log 10 píšeme pouze log (jedná se o dekadický logaritmus), místo log e píšeme ln (jedná se o přirozený logaritmus). Základní vlastnosti logaritmů Pro každé a R + \{1}; x, y R + ; k R platí: a) log a (xy) = log a x + log a y b) log a ( x y ) = log a x log a y c) log a (x y ) = y log a x d) log a ( 1 x ) = log a x e) log a x = log b x log b a f) log a b = 1 log b a Příklad 3.1. Řešte v R exponenciální rovnici 6 7 x+3 7 x+ = 8. 6

30 Řešení 7 x ( ) = 8 / ( ) 7 x 8 = x = 49 Rovnici zlogaritmujeme a dále použijeme vlastnost c) log a (x y ) = y log a x : x log 7 = log 49 Využijeme vlastnosti e) log a x = log b x log b a : x = log 49 log 7 x = log 7 49 = log 7 Závěr: Množinou řešení je K = {log 7 }. Příklad 3.. Řešte v R logaritmickou nerovnici x log x 1000x. Řešení Všechny výrazy v dané nerovnici jsou definovány, pokud x > 0. Obě strany nerovnice zlogaritmujeme, použijeme vlastnost a) log a (xy) = log a x + log a y: Použijeme substituci log x = a: a 3 + a a a 3 0 x log x 1000x (log x)(log x) log log x (a 3)(a + 1) 0 (a 3 a 1) (a 3 a 1) a 1,3 Ze substituce určíme množinu x tak, že za a dosazujeme krajní hodnoty z intervalu a 1; 3 a tím získáme krajní hodnoty intervalu x, nezapomeňme, že x > 0: log x = 1 x = 1 10 log x = 3 x = 1000 x (0, + ) 1 ; 1000 = 1, Závěr: Množinou řešení je K = 1 10,

31 Cvičení Příklady na procvičení exponenciálních rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 5 3x x 4 = 1 b) 3 x x = 7 c) x+ x+3 x+4 > 5 x+1 5 x+ d) 0,07 0,3 ( x 9) 1 0,09 x [a)k = {log 3, 1}; b)k = {1}; c)k = (0, + ); d)k =,6 ]. Příklady na procvičení logaritmických rovnic a nerovnic.1 Řešte rovnice, nerovnice a soustavu nerovnic s neznámou x R: 3 a) log + 3x x log 3 x = 1 b) log 1 (3 + 7x) + log 1 (5 7x) + 4 = 0 c) log x 4 log x + < log 5 d) 1 < log x+1 < [a) log 3x 3 x = log 3x 3 log 3x x = 1 log 3 3x log 3 x log 3 3x log 3 x(log 3 x + log 3x ) = = 0, K = {1, 1 9,3}; b)k = {0}; c)k = (,7); d)k = ( 3 10,10)] 8

32 Kapitola 4 Goniometrické rovnice a nerovnice Rovnice (nerovnice), v nichž se vyskytují goniometrické funkce neznámého argumentu, nazýváme goniometrické rovnice (nerovnice). Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí může mít goniometrická rovnice (nerovnice) nekonečně mnoho kořenů. Každý kořen goniometrické rovnice, pro který platí 0 x < π, nazýváme základní kořen této rovnice. Poznámka 16. Není-li v úloze stanoveno jinak, je třeba uvést všechna řešení, tj. základní řešení z intervalu 0,π včetně násobku periody π u funkce sinus a kosinus, základní řešení z intervalu 0,π včetně násobku periody π u funkce tangens a kotangens. Poznámka 17. Je-li uvedeno řešte v R, je nutné uvést řešení v obloukové míře. V ostatních případech je možné uvést řešení ve stupňové míře. Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi a) sin x + cos x = 1 pro x R b) tg x = sin x cos x pro x (k + 1) π c) cotg x = cos x sin x pro x kπ d) tg x cotg x = 1 pro x k π e) sin x = sin x cos x pro x R f) cos x = cos x sin x pro x R Poznámka 18. Ostatní vztahy mezi goniometrickými funkcemi, potřebné pro výpočet rovnic (nerovnic), najdeme v matematických tabulkách. 9

33 Příklad 4.1. Řešte v R goniometrickou rovnici sin x + sin x + sin 3x = 1 + cos x + cos x. Řešení Pro výpočet použijeme vztah (viz matematické tabulky): sin x + sin y = sin x+y cos x y sin x + 3x cos x 3x + sin x = 1 + cos x + cos x sin x cos( x) + sin x = 1 + cos x + cos x sin x sin x cos x + sin x cos x cos x cos x = 0 cos x(4 sin x cos x + sin x cos x 1) = 0 cos x[ sin x( cos x + 1) ( cos x + 1)] = 0 cos x[( cos x + 1)( sin x 1)] = 0 cos x = 0 x 1 = π + kπ cos x = 1 x,3 = { 3 π + kπ,; 4 3 π + kπ} sin x = 1 x 4,5 = { 1 6 π + kπ,5 6 π + kπ} Závěr: Množinou řešení je K = k Z { 1 6 π+kπ, π +kπ, 3 π+kπ, 5 6 π+kπ, 4 3 π+ +kπ}. Cvičení Příklady na procvičení goniometrických rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) tg x = sin 4x + sin x b) sin 5x cos 3x = sin 6x cos x 30

34 c) 5 sin x + sin x > 4 cos x d) cos x+sin x+ sin 3x+sin 4x = 1 e) tg x x + cotg x x > f) sin x cos x ( ) 1 [a)k = k Z { kπ, π 6 + kπ, 5π 6 + kπ, π + kπ}; b)k = k Z { kπ, π 6 + kπ, 5π 6 + kπ}; c)k = k Z ( π 6 + kπ, 5π 6 + kπ); d)k = 7π k Z {(k + 1)π, π 3kπ, kπ}; e)k = R k Z { kπ 4 }; f)k = k Z π 5π 1 + kπ, 1 + kπ ] 31

35 Kapitola 5 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Komplexní číslo Komplexní číslo z je uspořádaná dvojice reálných čísel (a 1, a ), kde a 1 je reálná část a a je imaginární část komplexního čísla. Zapisujeme z = a 1 +a i. Absolutní hodnota komplexního čísla je nezáporné reálné číslo z = a 1 + a, jeho opačné číslo je z = a 1 a i a jeho číslo komplexně sdružené je číslo z = a 1 a i. Základní vlastnosti komplexních čísel Rovnost, součin, rozdíl: Nechť z 1 = a 1 + a i, z = b 1 + b i. Platí: z 1 = z a 1 = b 1 a = b (a 1 + a i) ± (b 1 + b i) = (a 1 ± b 1 ) + (a ± b )i Součin komplexních čísel: (a 1 + a i)(b 1 + b i) = (a 1 b 1 a b ) + (a 1 b + a b 1 )i Mocniny imaginární jednotky: i 1 = i; i = 1; i 3 = i; i 4 = 1; i 4k+m = i 4k i m = i m... k N, m {0, 1,, 3} 5.1 Rovnice v množině komplexních čísel Příklad 5.1. Řešte v C rovnici ( 1 )z + z = 10i. i 3

36 Řešení Rovnici upravíme, poté porovnáme reálné a imaginární části rovnice: ( 1 )(a bi) + (a + bi) i = 10i a bi a i + bi + a + bi i = 10i 4a + bi a i = 10i / i 4ai + bi a = 10i a + (4a + b)i = 10 Závěr: Množinou řešení je K = {10 40i}. a = 10 4a + b = 0 b = 40 z = 10 40i 5. Kvadratické rovnice v množině komplexních čísel Řešení kvadratické rovnice v C Je dána kvadratická rovnice ax +bx+c = 0, kde a, b, c R, a 0, D = b 4ac. Je-li D < 0, pak má kvadratická rovnice dva imaginární komplexně sdružené kořeny: x 1, = b±i D a. Příklad 5.. Řešte v C kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty Řešení (1 i)x (5 i)x + 6 4i = 0. x 1, = 5 i ± (5 i) (4 4i)(6 4i) i = 5 i ± 5 10i + i i 16i i = 5 i ± i i 33

37 i = a + bi / i = a + abi b Porovnáním reálné a imaginární části získáme dvě rovnice o dvou neznámých: 16 = a b 30 = ab Metodou substituce (a = 15 b ) získáme: Substitucí b = z získáme: 16 = ( 15 b ) b / b 16b = 5 b 4 / 5 + b 4 b b 5 = 0 z + 16z 5 = 0 z 1, = 8 ± = 8 ± 17 = { 5,9} b = 5 b = 9 b 1, = { 3,3} a = 15 ±3 a 1, = { 5,5} i = { 5 3i,5 + 3i} x 1 = 5 i i i x = 5 i 5 3i i = 5 + i 1 i 1 + i 1 + i = 5 + 6i 1 = 4 + 6i = + 3i 1 i = i 1 i 1 + i 1 + i = i + = 1 i Závěr: Množinou řešení je K = {1 i, + 3i}. 5.3 Binomické rovnice Binomickou rovnicí se nazývá rovnice x n = a, kde a = a (cos α+i sin α), tj.x n = a (cos α + i sin α). V oboru komplexních čísel má tato rovnice právě n různých kořenů, a to x k = a 1 n (cos α+kπ n + i sin α+kπ n ), kde k {0, 1,,..., n 1}. 34

38 Příklad 5.3. Řešte v C binomickou rovnici x 3 8i = 0. Řešení Vyjádříme číslo 8i v goniometrickém tvaru a dostaneme rovnici x 3 = 8(cos π + i sin π ), jejíž kořeny jsou čísla: x k = [cos( π kπ) + i sin(π kπ)] x 0 = (cos π 6 + i sin π 6 ) = ( i) = 3 + i x 1 = (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) = 3 + i x = (cos 9π 6 + i sin 9π 6 ) = Závěr: Množinou řešení je K = { 3 + i,, 3 + i}. Cvičení Příklady na procvičení rovnic v množině komplexních čísel 1.1 Řešte rovnice s neznámou z C: a) i(z + z 1) = (1 i)(z z + 1) b) z 1 i + z+ i = 5 i 1 c) z z 1 = i d) z + i = 5(z + 3i) [a)k = { 1 1 i}; b)k = { 1 i}; c)k = { 3 i}; d)k = {1 3i}]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic v množině komplexních čísel.1 Řešte rovnice s neznámou x C: a) x + ix = 1 + i b) (1 i)x (4 + i)x i = 0 35

39 c) x (1 + i)x + i = 0 d) x 0 = ix(i x) [a)k = {1, 1 i}; b)k = { + 3i,1 + i}; c)k = {1 + i}; d)k = {3 i, 4 + i}] 3. Příklady na procvičení binomických rovnic 3.1 Řešte rovnice v x C: a) x 6 = 64 b) x 1 i 3 = 0 c) (x) 5 16 = 16i 3 d) x 3 = 7 [a)k = {x 1, = 3 ± i,x 3,4 = ±i,x 5,6 = 3 ± i}; b)k = { 6 + i, 6 i}; c)x 0,1,,3,4,5 = 1 [cos( π 15 + kπ 5 + isin π 15 + kπ 5 )], k {0,1,,3,4}; d)k = { 3, 3 3 3i, i}] 36

40 Kapitola 6 Rovnice s kombinačními čísly Faktoriály Pro každé číslo n N {0} definujeme číslo n!, čteme n faktoriál, takto: n! = n(n 1)(n ) 3 1, pokud n N, 0! = 1. Kombinační čísla Pro každá dvě čísla k, n N {0}, k n, definujeme kombinační číslo ( n k), čteme n nad k, takto: ( ) n = k n! (n k)!k! (6.1) Příklad 6.1. V množině N řešte rovnici 4 ( ) ( x x 3 44 x ) ( x 79 x ( x 1) + 7 x x) = 0. Řešení Při úpravě použijeme vztah (6.1). Postupně dostaneme: x(x 1)(x )(x 3) x(x 1)(x ) x (x 1) (x 3) 3 (x ) x 1 = 0 7x(x 3x + ) (x x) 79x + 7 = 0 7x 3 43x 43x + 7 = 0 Dostaneme reciprokou rovnici (viz kap1):x 1 = 1 (7x 3 43x 43x + 7) : (x + 1) = 7x 50x + 7 x,3 = 5± = { 1 7,7} 37

41 Závěr: V množině N má rovnice jen jedno řešení K = {7}. Cvičení Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s kombinačními čísly 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x N: a) (n!) + n! 48 = 0 b) ( 6 5 )( x+1 x 1) ( 6 4 )( x+ x+1) = ( 4 ) c) ( )( 10 x ) ( 1 x x+3 ( x+1) = 15 x ) 0 d) ( ) ( x x 3 + x+1 ) x = 1 3 [x3 ( 7 4) ] e) ( ) ( x+ x + x+1 ( x 1) < 5 f) x ) + ( x+ ) + ( x+4 ) 100 g) (n + )! [ 1 n! + 1 (n+1)! 9 (n+)! ] 0 [a)k = {3}; b)k = {6}; c)k = {3}; d)k = {5}; e)k = {1,,3}; f)k = {,3,4,5,6}; g)k = {1}] 38

42 Literatura [1] L. Boček, J. Bočková, J. Charvát: Matematika pro gymnázia - Rovnice a nerovnice, Prometheus, Praha, 000 [] I. Bužek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Prometheus, Praha, 1999 [3] E. Calda: Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 1. díl, Prometheus, Praha, 1999 [4] J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Seminář ze středoškolské matematiky, Katedra matematiky přírodovědecké fakulty MU, Brno, 1991 [5] M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové učiliště, Prometheus, Praha, 000 [6] M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky, Prometheus, Praha, 1995 [7] F. Jirásek, K. Braniš, S. Horák, M. Vacek: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU, 1. část, Prometheus, Praha, 1999 [8] J. Kubát: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ, Prometheus, Praha, 004 [9] O. Odvárko, J. Řepová, L. Skříček: MATEMATIKA pro SOŠ a studijní obory SOU,. část, Prometheus, Praha, 1996 [10] J. Petáková: MATEMATIKA - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

14. Exponenciální a logaritmické rovnice

14. Exponenciální a logaritmické rovnice @148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2 Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Tematická oblast: Rovnice (VY_32_INOVACE_05_1)

Tematická oblast: Rovnice (VY_32_INOVACE_05_1) Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_05_1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží k

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

ŠABLONY INOVACE OBSAH UČIVA

ŠABLONY INOVACE OBSAH UČIVA ŠABLONY INOVACE OBSAH UČIVA Číslo a název projektu CZ.1.07/1.5.00/34. 0185 Moderní škola 21. století Číslo a název šablony IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické klíčové aktivity

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace STUDIJNÍ OPORA DISTANČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ZÁKLADNÍ PRAVIDLA VÝPOČTU MATEMATICKÝCH ÚLOH ROVNICE A NEROVNICE MICHAL VAVROŠ Ostrava 006 Zpracoval:

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_3_08 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností.

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností. Tematická oblast: (VY_32_INOVACE_04 1 M1) Autor: RNDr. Yvetta Bartáková, Mgr. Petra Drápelová, Mgr. Jaroslava Vrbková, Mgr. Jarmila Zelená Vytvořeno: 2013-2014 Anotace: Digitální učební materiály slouží

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více