Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice

Transkript

1 Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková

2 Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů uvedených v seznamu literatury. V Brně dne Hana Kotulková

3 Ráda bych na tomto místě poděkovala všem, ktěří mi s prací pomohli, hlavně mému vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi,CSc a panu RNDr. Jiřímu Dulovi.

4 Obsah Úvod 1 Základní typy rovnic a nerovnic Lineární rovnice a nerovnice o jedné neznámé Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli Iracionální rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě Reciproké rovnice Soustavy rovnic Rovnice s parametrem.1 Kvadratické rovnice s parametrem Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice 6 4 Goniometrické rovnice a nerovnice 9 5 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Rovnice v množině komplexních čísel Kvadratické rovnice v množině komplexních čísel Binomické rovnice Rovnice s kombinačními čísly 37 Literatura 39 1

5 Úvod Tato Sbírka řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice poslouží studentům posledních ročníků středních škol, především gymnázií, jako pomocník při procvičování, opakování a prohlubování učiva vybrané látky matematiky při přípravě na maturitní zkoušky, přijímací zkoušky na vysoké školy a následné vysokoškolské studium. Sbírka obsahuje úlohy ze všech tématických celků z učebních osnov matematiky gymnázií týkajících se problému řešení rovnic (nerovnic). Z důvodu omezeného rozsahu bakalářské práce je zde záměrně vypuštěno grafické řešení rovnic (nerovnic) a slovní úlohy, sbírka je zaměřena pouze na algebraické řešení rovnic (nerovnic). Sbírka je rozdělena do šesti kapitol, každá je věnována jinému typu rovnic (nerovnic). V každé kapitole se nachází v rámečcích a v poznámkách stručné přehledy základních poznatků, vlastnosti v nich obsažené jsou nezbytné pro řešení příkladů. Ve sbírce nejsou uvedeny všechny přehledy vzorců, jichž se při řešení používá. U základních vzorců se předpokládá, že je student zná, a že je dovede použít, složitější, či méně časté si může vyhledat v Matematicko- fyzikálních tabulkách. Matematické symboly a značky jsou použity z publikace Názvy a značky školské matematiky, Praha, SPN, Řešení všech typů rovnic (nerovnic) je ukázáno na jednom modelovém příkladě, je vybrán tak, aby na něm bylo ukázáno využití co nejvíce využívaných vlastností a metod při řešení, a aby byl klíčovým příkladem pro řešení příkladů pod čarou, jenž se nachází na konci každé kapitoly (jedná se o příklady na procvičování). Pod každým zadáním si student ověří správnost řešení ve výsledcích příkladů, které jsou obsaženy v hranatých závorkách u všech příkladů, u složitějších i se stručným návodem k jeho řešení. Příklady obsažené v této sbírce jsou vybrány středně těžké až složitější. Cílem sbírky není v žádném případě studenty s látkou seznámit, ale spíše posloužit studentům k zopakování, ucelení učiva a aplikaci již získaných znalostí. Po projití jednadvaceti řešených příkladů a vyřešení rozmanitých osmašedesáti příkladů na procvičení získá student pocit, že učivo věnované této problematice zvládl.

6 Kapitola 1 Základní typy rovnic a nerovnic Rovnice Rovnicí o jedné neznámé x rozumíme zápis tvaru f(x) = g(x), kde f(x), g(x) jsou výrazy obsahující konstanty a proměnnou x (nebo též jenom konstanty); f(x) je levá strana a g(x) pravá strana této rovnice. Nerovnice Nerovnicí o jedné neznámé x budeme rozumět každý ze zápisů tvaru f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), kde f(x), g(x) jsou výrazy obsahující konstanty a proměnnou x (nebo též jenom konstanty); f(x) je levá strana a g(x) pravá strana této nerovnice. Číslo c R, po jehož dosazení za x přejde rovnice (nerovnice) v pravdivou rovnost (nerovnost), se nazývá kořen, popř. řešení této rovnice. Množinu všech řešení rovnice (nerovnice) budeme označovat K. Zkouška při řešení rovnice (nerovnice) není nutná, provádíme-li pouze ekvivalentní úpravy, tj. všechny úpravy, které převádí rovnici f 1 (x) = g 1 (x) s množinou všech řešení K 1, na rovnici f (x) = g (x) s množinou všech řešení K, kde K 1 = K. Např. přičtení libovolného čísla k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice libovolným nenulovým číslem, převedení rovnice na anulovaný tvar - tzn. f ( x) g ( x) = 0. 3

7 Jestliže K 1 K, jde o důsledkovou úpravu rovnice f 1 (x) = g 1 (x), a v tomto případě je zkouška součástí řešení a nelze ji vynechat. Při zkoušce dosazujeme vypočtené kořeny do původní rovnice. Analogicky definujeme důsledkové a ekvivalentní úpravy u nerovnic. 1.1 Lineární rovnice a nerovnice o jedné neznámé Lineární rovnice Lineární rovnicí s neznámou x R nazýváme každou rovnici ve tvaru ax+b = 0, kde a R\{0}, b R. Poznámka 1. Je-li a 0 v rovnici ax + b = 0, má rovnice jediné řešení x = b a. Poznámka. Je-li a = 0 a současně b = 0 v rovnici ax + b = 0, má rovnice nekonečně mnoho řešení (každé reálné číslo). Poznámka 3. Je-li a = 0 a současně b 0 v rovnici ax + b = 0, nemá rovnice řešení (množina řešení je prázdná). Příklad 1.1. Řešte v R rovnici Řešení 3(x 1)(x )(x 3) = (x 1) 3 + (x ) 3 + (x 3) 3. (3x 3)(x 5x + 6) = x 3 3x + 3x 1 + x 3 6x + 1x 8 + x 3 9x + 7x 7 3x 3 18x + 33x = 3x 3 18x + 4x 36 / 3x x 33x 18 = 4x 36 / 4x x = 18 / : ( 9) x = Závěr: Množina K všech řešení dané rovnice je K = {}. Lineární nerovnice Lineární nerovnicí s neznámou x R nazýváme každou nerovnici ve tvaru ax + b 0, kde a R\{0}, b R. Znak nerovnosti může být >,, <,. 4

8 Poznámka 4. Násobíme-li nebo dělíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, změní se zároveň i znaménko nerovnosti! Příklad 1.. Řešte v R nerovnici x + (x 1 ) 0,1(x + 9)(x 9) Řešení Nerovnici anulujeme a výraz na levé straně upravujeme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor: x (x 1 ) 0,1(x + 9)(x 9) 0 / 10 4 x + 4(x 1 4 ) (x 81) 0 x + 4x 1 x (x + 0) 0 x 0 Závěr: Protože všechny úpravy byly ekvivalentní, mají poslední i původní nerovnice stejnou množinu řešení K = (, Kvadratické rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru ax + bx + c = 0, kde a, b, c R, a 0. Výpočet kořenů kvadratické rovnice O kvadratické rovnici ax + bx + c = 0 s diskriminantem D = b 4ac platí: pro D > 0 má dva různé reálné kořeny: x 1, = b ± D a pro D = 0 má jeden reálný dvojnásobný kořen: x 1 = x = b a pro D < 0 v oboru R nemá řešení (v C má dva kořeny - čísla komplexně sdružená). 5

9 Poznámka 5. Má-li kvadratická rovnice ax + bx + c = 0 nezáporný diskriminant a jsou-li x 1, její kořeny, lze trojčlen na její levé vyjádřit jako součin ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Typy kvadratických rovnic 1. ax + bx + c = 0 úplná kvadratická. ax + bx = 0 bez absolutního členu 3. ax + c = 0 ryze kvadratická Poznámka 6. Kvadratickou rovnici () a (3) řešíme výhodněji bez výpočtu diskriminantu a použití vzorců pro její kořeny. Rovnici () upravíme na tvar x(ax + b) = 0, z něhož jsou jeho kořeny ihned vidět x 1 = 0, x = b a. Pro a > 0 rovnice (3) nemá řešení, pokud c > 0. Jestliže c < 0, kořeny jsou čísla x 1, = ± c a. Příklad 1.3. Řešte v R rovnici 1 (x 1) [ 1 (x + 1)] = 3[( 1 x) ( 1 ) ]. Řešení Rovnici postupně upravíme na tvar ax + bx + c = 0, a poté vypočítáme její kořeny: 1 (4x 4x + 1) [ 1 x + 1 ] = 3( 1 4 x 1 4 ) x x x 1 x 1 4 = 3 4 x 3 4 / 3 4 x x 5 x + 1 = 0 / x 5x + = 0 x 1, = 5 ± Závěr: Množina řešení je K = { 1,}. = 5 ± 3 4 = { 1 ; } Vlastnosti kořenů kvadratické rovnice ( Viétovy vzorce) Kvadratická rovnice ve tvaru x + px + q = 0 se nazývá normovaná, kde p = b a, q = c, a 0, a, b, c R. a 6

10 Pro kořeny x 1, x normované kvadratické rovnice platí: x 1 x = q x 1 + x = p Poznámka 7. Není-li v kvadratické rovnici ax + bx + c = 0 koeficient a roven jedné, převedeme ji na normovaný tvar tak, že celou rovnici tímto koeficientem vydělíme, dostaneme tak rovnici x + b a x + c a = 0, kterou obvykle píšeme ve tvaru x + px + q = 0. Poznámka 8. Pro kořeny normované rovnice x + px + q = 0 platí: S výhodou se používá,pokud p je sudé. x 1, = p ± ( p ) q Příklad 1.4. Je dána kvadratická rovnice 1 9 x 3x+0 = 0. Aniž byste počítali její kořeny, napište kvadratickou rovnici, jejímiž kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů dané rovnice. Řešení Rovnici převedeme do normovaného tvaru (viz poznámka 7). Dostaneme rovnici: x 7x = 0 Příklad řešíme užitím Viétových vzorců. Z kvadratické rovnice můžeme vyčíst, že x 1 + x = 7 a x 1 x = 180, proto: x 1 + x = 1 x x = x + x 1 x 1 x = = p x 1 x = 1 x 1 1 x = = q Vypočítané hodnoty doplníme do kvadratické rovnice x + p x + q = 0, rovnici upravím: x x = 0 / x 7x + 1 = 0 7

11 Závěr: Kvadratickou rovnicí, jejímiž kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů dané rovnice, je rovnice tvaru 180x 7x + 1 = 0. Kvadratické nerovnice Nerovnice, kterou lze převést ekvivalentními úpravami na tvar ax + bx + c > 0, kde a, b, c R se nazývá kvadratická nerovnice o jedné neznámé x. Znak nerovnosti může být >,, <,. 1.3 Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli Poznámka 9. Je-li v zadání rovnice (nerovnice) neznámá ve jmenovateli zlomku, musíme stanovit podmínky, za kterých má daná rovnice (nerovnice) smysl. Příklad 1.5. Řešte v R rovnici 3x +8 x 1 x 1 4 = 43+3x x 4x 4. Řešení Zlomky mají smysl jen tehdy, když je jejich jmenovatel různý od nuly, v našem případě tedy x 1. Neznámou budeme hledat v množině R\{1}. Existují dva způsoby řešení: 1. způsob - odstraníme zlomky vynásobením dané rovnice 4(x 1). O této úpravě víme, že nemusí být ekvivalentní, je tedy nutné provést zkoušku, zda získané kořeny dané rovnice vyhovují.. způsob - rovnici anulujeme a výraz na levé straně upravíme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor. Zlomek obsahující proměnnou je roven nule právě pro ty její hodnoty z definičního oboru tohoto zlomku, pro něž je nulový jeho čitatel. Zkouška není nutná. Tento příklad vyřešíme pouze prvním způsobem: 3x + 8 x 1 x x x = 4 4x 4 4(3x + 8) (x 1)(x 1) = x x / 4(x 1) 1x + 3 x + 3x 1 = x x / 43 3x + x 1x 1 = 0 / : 1 x 1 = 0 8

12 Jedná se o ryze kvadratickou rovnici, jednoduše vypočteme kořeny bez použití vzorce (viz poznámka 6): x 1, = { 1,1} Jelikož řešení hledáme v oboru R\{1}, rovnice má jeden kořen x = 1. Zkouška: L( 1) = = 19 4 P ( 1) = 38 8 = 19 4 L( 1) = P ( 1) Závěr: Rovnice má jediné řešení K = { 1}. Příklad 1.6. Řešte v R nerovnici x+4 3x x x 4. x 4x+16 Řešení Danou nerovnici budeme řešit v množině R\{ 4}. Nerovnici anulujeme a výraz na levé straně upravíme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor. Postup je následující: x + 4 3x x x 4 x 4x (x 4x + 16) 3x + (x 4)(x + 4) x x 8x + 3 3x + x 16 x x + 16 x Určíme nulové body, tzn. čísla, po jejichž dosazení za x se výraz na levé straně bude rovnat nule. Nulovými body 4, jednotlivých činitelů v čitateli a jmenovateli zlomku na levé straně nerovnice rozdělíme množinu R na tři intervaly I 1, I, I 3, a určíme znaménka jednotlivých činitelů i celého zlomku v těchto intervalech: I 1 = (, 4) I = ( 4, I 3 = (, + ) 8x x x+16 x

13 Neboť zlomek má být větší nebo roven nule, řešením nerovnice je interval, ve kterém má daný zlomek kladné znaménko. Závěr: Množina K všech řešení dané nerovnice je množina K = ( 4,. 1.4 Iracionální rovnice a nerovnice Iracionální rovnice jsou rovnice, které mají neznámou x R v odmocněnci. Poznámka 10. Používáme-li při úpravách iracionální rovnice důsledkové (neekvivalentní) úpravy (např. umocňování obou stran rovnice stejným sudým mocnitelem), součástí řešení rovnice je zkouška nebo stanovení podmínek, za kterých má daná rovnice smysl. Tím vyloučíme nevyhovující řešení. Někdy nestanovujeme podmínky, za kterých má daná rovnice smysl (někdy by to bylo složitější než vlastní řešení rovnice), kořeny pak určíme provedením zkoušky pro všechny vypočtené hodnoty neznámé. Poznámka 11. Při řešení nerovnic s neznámou pod odmocninou je nutné si uvědomit důležitou vlastnost: a, b R +... a < b a < b a, b R... a < b a > b Příklad 1.7. Řešte v R rovnici + 4 x 1 4 x = 1 x. 10

14 Řešení + 4 x 1 4 x = 1 x ( 4 x ) ( + 4 x ) = x x 4 4 x 4 x = x Zkouška: L() = / ( + 4 x )( 4 x ) 3 4 x = x / x x x = 3 4 x / 4 4x + x = 36 9x / + 9x 36 10x 4x 3 = 0 / 1 5x x 16 = 0 x 1, = 1 ± = {, } = 1 1 = 1 P () = 1 L() = P () L( 8 5 ) = P ( 8 5 ) = 5 8 L( 8 5 ) = P ( 8 5 ) = = 5 8 Závěr: Zkoušce vyhovují oba kořeny, množinou řešení je K = {, 8 5 }. 1.5 Lineární rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě Poznámka 1. Řešení lineárních rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou je založeno na známé vlastnosti absolutní hodnoty: a 0 a = a a 0 a = a 11

15 Příklad 1.8. Řešte v M =,10) nerovnici 3 1 x 3 x + x 4 +x > 5 x 1. Řešení Určíme nulové body, tj. čísla, pro která mají výrazy v absolutních hodnotách hodnotu nula, jsou to čísla 1,, 4. Tím se číselná osa rozdělí na čtyři intervaly I 1, I, I 3, I 4. Pak sestavíme nerovnici, v níž výrazy v absolutní hodnotě nahradíme výrazy z tabulky zvlášť pro každý interval. Řešením pro každý interval je vždy průnik tohoto intervalu s řešením nerovnice, tj. K 1, K, K 3, K 4. Řešením dané nerovnice je sjednocení množin K = K 1 K K 3 K 4. I 1 = (,1) I = 1,) I 3 =,4) I 4 = 4, + ) 1 x 1 x 1 + x 1 + x 1 + x x x + x + x x x 4 x + 4 x + 4 x + 4 x 4 x 1 x + 1 x 1 x 1 x 1 Pro I 1 = (,1): 3(1 x) 3( x + ) x x > 5 ( x + 1) 3 3x + 3x 6 x x > 5 + x / x 1 x > / ( 1 ) x > 1 x < 1 Řešení nerovnice pro I 1 je množina K 1 = (,1) (, 1) = (, 1). Pro I = 1,): 3( 1 + x) 3( x + ) x x > 5 (x 1) 3 + 3x + 3x 6 x x > 5 x + / + x + 5 8x > 1 / 1 8 x > 3 Řešení nerovnice pro I je množina K = 1,) ( 3, + ) = ( 3,). Pro I 3 =,4): 3( 1 + x) 3(x ) x x > 5 (x 1) 3 + 3x 3x + 6 x x > 5 x + / + x 7 x > 0 1

16 Řešení nerovnice pro I 3 je množina K 3 =,4) (0, + ) =,4). Pro I 4 = 4, + ): 3( 1 + x) 3(x ) + x 4 + x > 5 (x 1) 3 + 3x 3x x 4 + x > 5 x + / + x + 1 x > Řešení nerovnice pro I 4 je množina K 4 = 4, + ) (, + ) = 4, + ). Závěr: Řešíme v M =,10), K M, proto K = K 1 K K 3 K 4 = =, 1) ( 3,10). Příklad 1.9. Řešte v Z rovnici 3 x 1 3 x + 3 = 0. Řešení 1. Je-li 3 x 0, pak má daná rovnice tvar 3 x 1 3 x + 3 = 0. Nulové body 0, 1 nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly I 1, I, I 3. Pro I 1 = (,0): Pro I = 0,1): Pro I 3 = 1, + ): I 1 = (,0) I = 0,1) I 3 = 1, + ) x x x x x x x x x + 3x + 3 = 0 x = 5 ( (, )0) x 3x + 3 = 0 x = 1 0,1) x 3x + 3 = 0 x = 1 1, + ). Je-li 3 x < 0, pak má daná rovnice tvar 3 + x 1 3 x + 3 = 0. Nulové body 0, nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly I 4, I 5, I 6. 13

17 Pro I 4 = (,0): Pro I 5 = 0,): I 4 = (,0) I 5 = 0,) I 6 =, + ) x 4 x + 4 x + 4 x 4 x x x x x x + 3 = 0 x = 7 (,0) x + 4 3x + 3 = 0 x = 7 5 Z Pro I 6 =, + ): x 4 3x + 3 = 0 x = 1, + ) Závěr: Množina řešení je K = { 7, 5,1}. 1.6 Reciproké rovnice Algebraickou rovnici tvaru a 0 x n + a 1 x n a n = 0, pro jejíž koeficienty a k (kde k = 0, 1,,... n) platí vztah: 1. a k = a n k, nazýváme reciprokou a značíme R(x) = 0,. a k = a n k, nazýváme antireciprokou a značíme r(x) = 0. Reciproká rovnice R(x) = 0 lichého stupně n = k + 1 má vždy kořen x 1 = 1 a platí: R(x) = (x + 1)R 1 (x), kde R 1 (x) = 0 je reciproká rovnice stupně k. Reciprokou rovnici R(x) sudého stupně n = k převádíme substitucí a = x + 1 x na rovnici stupně n = k. Antireciproká rovnice r(x) = 0 stupně n má vždy kořen x 1 = 1. Přitom platí r(x) = (x 1)R(x), kde R(x) = 0 je reciproká rovnice stupně n 1. 14

18 Příklad Řešte v R rovnici 6x 4 5x 3 38x + Kx + L = 0. Doplňte hodnoty za K, L tak, aby se jednalo o reciprokou rovnici sudého stupně. Řešení Aby se jednalo o reciprokou rovnici, doplníme za K = 5 a L = 6: 6x 4 5x 3 38x 5x + 6 = 0 Rovnice nemá kořen x = 0, proto ji lze vydělit výrazem x, aniž by se změnil počet kořenů, získáme: 6x 5x x x = 0 6(x + 1 x ) 5(x + 1 x ) 38 = 0 Zavedeme substituci a = x + 1 ; x (x + 1 x rovnici stupně n = : = a ) a tím ji převedeme na 6(a ) 5a 38 = 0 6a 5a 50 = 0 a 1, = 5 ± = { 5,10 3 } 1. x + 1 x = 5 x + 5x + = 0 x 1, = 5± = {, 1 }. x + 1 x = x 10x + 3 = 0 x 3,4 = 5± = { 1 3,3} Závěr: Množinou řešení je K = {, 1, 1 3,3}. 1.7 Soustavy rovnic Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Soustava rovnic tvaru ax + by = e, a 0 b 0, cx + dy = f, c 0 d 0, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y. Dvojice čísel [x 0,y 0 ] se nazývá řešení soustavy rovnic, jestliže je řešením každé z rovnic soustavy (tj. jestliže platí ax 0 + by 0 = e a také cx 0 + dy 0 = f). Analogicky definujeme rovnice soustavy rovnic o třech a více neznámých a jejich řešení. 15

19 Početně je řešíme metodou: 1. dosazovací(substituční): z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do rovnice druhé.. sčítací (aditivní): rovnice vynásobíme vhodnými (nenulovými) čísly tak, aby po sečtení těchto rovnic jedna z neznámých vypadla. 3. srovnávací (komparační): z každé rovnice soustavy vypočteme tutéž neznámou a tato vyjádření porovnáme. Poznámka 13. Soustavu tří rovnic o třech neznámých redukujeme některou z metod na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pak postupujeme známým způsobem. Zcela analogicky postupujeme i při řešení soustav čtyř (pěti,) lineárních rovnic o čtyřech (pěti,) neznámých. Od dané rovnice n lineárních rovnic o n neznámých přejdeme k soustavě n 1 rovnic o n 1 neznámých, pak k soustavě n neznámých atd. Příklad Řešte v R soustavu tří rovnic o třech neznámých: x + y = xy x + z = 4xz y + z = 8yz Řešení Všechny neznámé převedeme na levou stranu rovnice a pro x 0, y 0, z 0 po úpravě dostaneme: 1 y + 1 x = 1 z + 1 x = 4 1 z + 1 y = 8 Zavedeme substituci a = 1 x, b = 1 y, c = 1 z : b + a = (1.1) c + a = 4 (1.) c + b = 8 (1.3) 16

20 Rovnice (1.1) a (1.) od sebe odečteme a získáme: b c = (1.4) c + b = 8 (1.5) Sečteme-li rovnici (1.4) a (1.5), dostaneme po úpravě b = 3, po dosazení do rovnice (1.3) získáme c = 5 a po dosazení do rovnice (1.1) získáme a = 1. Neboť a = 1 x, b = 1 y, c = 1 z, jednoduše vypočteme x = 1, y = 1 3, z = 1 5. Závěr: Množinou řešení je K = {[0, 0, 0], [ 1, 1 3, 1 5 ]}. Soustavy nerovnic Řešení soustavy nerovnic o jedné neznámé je množina všech reálných čísel, která je řešením každé nerovnice soustavy. Při řešení dané soustavy nerovnic určíme nejprve množinu všech řešení každé nerovnice soustavy zvlášť a potom určíme průnik těchto množin. Příklad 1.1. Řešte v množině M = 5,5 soustavu nerovnic: 11x x 3(x 0,) x Řešení 1. 11x x 3(x 0,) / 11x x 6x 1, / 6x 3 15x 4, / ( 15) x 7 5 K 1 = (,

21 . Pro I 1 = (, 1): Pro I = 1, + ): x 1 13 / x 18 5 K 1 = ( ; 18 5 x / 1 x 8 5 K = 8 5, + ) Závěr: Řešením celé soustavy v množině M = 5,5 je tedy množina K = K 0 (K 1 K ) = 5, Cvičení Příklady na procvičení lineárních rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 5 6 x + 0,75 0,5x 3 = x (5+x) 1 b) x x x x x 1 + x = 1 4 (x x ) c) 4x 5 3 5x x+1 6 d) (x+1) 3 x(x )(x+3) x(x+5) [a)k = { }; b)k = {4}; c)k = {φ}; d)k = 1, + )]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic a nerovnic.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: 18

22 a) 7+x 3x 1 5 x = 3 3x x b) x(x+ )(x 3) (x +1)(x 1) < 0 [a)k = { 1,1}; b)k = (, ) (0,1) (1, 3)]. Sestavte rovnici, jejíž kořeny jsou čísla , [Zlomky nejdříve usměrníme x 1, = ± 10, výsledná rovnice je 50x 0x + 1 = 0.].3 V rovnici x + mx + 5 = 0 (aniž ji řešíte) určete m tak, aby jeden kořen byl o čtyři větší než druhý kořen. [m = { 6,6}] 3. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli 3.1 Řešte v daných množinách dané rovnice a nerovnice : a) 6 x 1+x (4x 3) x 1 = x 1 x v N (5x 3)(x+4) b) x(6 x) 0 v M = 6,6 c) 4 x+1 = 7x+4 4x x+1 3x 1 8x 3 +1 v R d) 5 x x + 1+4x x+ < 1 v Z [a)k = N\{1}; b)k = 6, 4 (0, 3 ; c)k = {, }; d)k = {0}] 4. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou pod odmocninou 4.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 1 + x x + 8 = x + 1 b) x 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 = 1 19

23 c) (x ) x + 1 > x + d) 3x x 1 0 [a)k = {0,}; b) substituce 3 x = a,k = { 7,64}; c)k = {φ}; d)k = 0,1 ] 5. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou v absolutní hodnotě 5.1 Řešte v daných množinách dané rovnice a nerovnice: a) x + 4x 3x 6 = 0 v Z b) x x = x 1 x v N c) x x 3 + x 1 x v R d) x + x 3x + x 1 (x 1) v M = 1,1 [a)k = { 1,}; b)k = {}; c)k = (, 5 4 3, + ); d)k = 1, 1 4 ] 6. Příklady na procvičení reciprokých rovnic 6.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 7x x + 57x + 7 = 0 b) 5x 4 6x x 6x + 5 = 0 [a)k = { 7, 1, 1 7 ; b)k = {5, 1 5 }] 7. Příklady na procvičení soustavy rovnic a nerovnic 7.1 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: a) x + 1 x + y + x + 1 x + y 3 y x y y x y = 3 = 1 0

24 b) xy + 4y + x + = y(x + 7) (x )(3z + 1) = (x + 3)(3z 1) (y + 1)(z + ) = (y + 3)(z + 1) c) d) x 3 + x + 1 > x 5 x x 6x + 9 3x x < 0 [a)k = {[3,1]}; b)k = {[7,3,1]}; c)k =,4 \{ 1}; d)(,0) 5, + )] 1

25 Kapitola Rovnice s parametrem Poznámka 14. Parametr je proměnná, která nabývá všech hodnot ze zvoleného číselného oboru. Vypočtený kořen závisí na tom, jaký je parametr, tj. jaké číslo za hodnotu této proměnné zvolíme. Nutno nezapomenout, že při dělení rovnice výrazem, který obsahuje parametr, je nutno zaručit, aby byl nenulový. Příklad.1. Řešte v R rovnici (m+1)x 6 = 3(1 m m) s parametrem m. x x Řešení Uvědomíme si nejprve, že rovnice má smyl pouze pro x 0. Abychom zlomky odstranili, vynásobíme rovnici výrazem x, tato úprava však nemusí být ekvivalentní, proto je nutné pro určení kořenů provést zkoušku. Dostaneme postupně: mx + x 6 = 3x 3m + 3m / + 6 3x x(m ) = 3( m + m + ) Chystáme se dělit výrazem m, rozlišíme tedy dvě možnosti. Pro m dostaneme x = 3( m +m+) = 3(m )(m+1) = 3m 3, m m pro m = dostaneme rovnici x 0 = 0, které vyhovuje každé reálné číslo. Provedeme zkoušku.

26 Je-li m dostaneme: L( 3m 3) = (m + 1)( 3m 3) 6 ( 3m 3) = 3m 6m 9 3m 3 = m + m + 3 m + 1 P ( 3m 3) = 3(1 m m 3m 3 = 3 m m m 1 = 3m 3 m + m m 1 = m + m + 3 m + 1 L( 3m 3) = P ( 3m 3) Je-li m =, dostaneme (x 0 je libovolně zvolené číslo, x 0 R\{0}): L(x 0 ) = 3x 0 6 x 0 P (x 0 ) = 3(1 x 0 ) = 3x 0 6 x 0 L(x 0 ) = P (x 0 ) Závěr: Rovnice s parametrem m má pro m jediné řešení x = 3m 3, pro m = nekonečně mnoho řřešení, a to x R\{0}..1 Kvadratické rovnice s parametrem Příklad.. Řešte v R kvadratickou rovnici (m 1)x (m )x+m 1 = 0 s parametrem m. Řešení Jestliže m 1 = 0, tj. m = 1, dostaneme x = 1. Jestliže m 1 0, tj. m 1, dostaneme rovnici: x 1, = m ± m 4m + 4 (8m 4)(m 1) (m 1) = m ± 7m + 8m (m 1) D = 0 : 7m + 8m = 0 m(8 7m) = 0 m = 0 m = 8 7 3

27 D > 0 : 7m + 8m > 0 m(8 7m) > 0 (m > 0 8 7m > 0) (m < 0 8 7m < 0) D < 0 : m (,0) ( 8 7, + ) Závěr: Kvadratická rovnice s parametrem m má pro m = 1 jediné řešení x = 1, pro m = 0 jediné řešení x = 1, pro m = 8 jediné řešení x = 3, 7 pro m (0,1) (1, 8) řešení x { m ± 7m +8m 7 pro m (,0) ( 8, + ) nemá řešení. 7 Cvičení. m }, m (0, 8 7 ) 1. Příklady na procvičení lineárních rovnic s parametrem 1.1 Řešte rovnice s neznámou x R a s parametrem a R: a) x(a 1) + a(x + 4) = b) x+a x+1 3a x a = [a) pro a = 0,5 je x R, pro a R\{0,5} je x { }; b) pro a = 1 je x R\{ 1}; pro a {0,} nemá řešení; pro a R\{ 1,0,} je x { a }] 1. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + x = 15 b) x ax+1 = a 1 3 [a)a (,) ( 5, + ); b)a ( 4 3, 3 )]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic a nerovnic s parametrem.1 Řešte rovnice s neznámou x R a s parametrem m R: 4

28 a) mx + (m + 1)x + m 4 = 0 b) x x+m + x x m = 5m 4(x m ) c) x m 3 = 1 m (4x + 1) d) (m 1)x (m + 1)x + m + 1 > 0 [a) pro m ( ; 0,05) nemá řešení, pro m = 0,05 je x = 9, pro m ( 0,05; 0) (0, + ) je x 1, = { m 1± 0m+1 m }, pro m = 0 je x = 4; b)pro m = 0 nemá řešení, pro m 0 je x 1, = { m, 5m 6 }; c) pro m = 0 nemá rovnice smysl, pro m = nemá řešení, pro m = je 1 x R, pro m R\{,0,} je x = m(m ) ; d)m ( 5 3, + ),m = 1 nevyhovuje, takže m 1 > 0, D < 0] 5

29 Kapitola 3 Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Základní vlastnosti mocnin Pro každé a R + \{1} platí: a 0 = 1; a 1 = a; a x a y = a x+y ; a x = 1 (a x ) y = a xy ; a x = a y (a = 1 x = y) a x ; a x a y = a x y ; Poznámka 15. Číslo x = log a y definujeme vztahem a x = y, přitom a > 0, a 1, y > 0. Místo log 10 píšeme pouze log (jedná se o dekadický logaritmus), místo log e píšeme ln (jedná se o přirozený logaritmus). Základní vlastnosti logaritmů Pro každé a R + \{1}; x, y R + ; k R platí: a) log a (xy) = log a x + log a y b) log a ( x y ) = log a x log a y c) log a (x y ) = y log a x d) log a ( 1 x ) = log a x e) log a x = log b x log b a f) log a b = 1 log b a Příklad 3.1. Řešte v R exponenciální rovnici 6 7 x+3 7 x+ = 8. 6

30 Řešení 7 x ( ) = 8 / ( ) 7 x 8 = x = 49 Rovnici zlogaritmujeme a dále použijeme vlastnost c) log a (x y ) = y log a x : x log 7 = log 49 Využijeme vlastnosti e) log a x = log b x log b a : x = log 49 log 7 x = log 7 49 = log 7 Závěr: Množinou řešení je K = {log 7 }. Příklad 3.. Řešte v R logaritmickou nerovnici x log x 1000x. Řešení Všechny výrazy v dané nerovnici jsou definovány, pokud x > 0. Obě strany nerovnice zlogaritmujeme, použijeme vlastnost a) log a (xy) = log a x + log a y: Použijeme substituci log x = a: a 3 + a a a 3 0 x log x 1000x (log x)(log x) log log x (a 3)(a + 1) 0 (a 3 a 1) (a 3 a 1) a 1,3 Ze substituce určíme množinu x tak, že za a dosazujeme krajní hodnoty z intervalu a 1; 3 a tím získáme krajní hodnoty intervalu x, nezapomeňme, že x > 0: log x = 1 x = 1 10 log x = 3 x = 1000 x (0, + ) 1 ; 1000 = 1, Závěr: Množinou řešení je K = 1 10,

31 Cvičení Příklady na procvičení exponenciálních rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 5 3x x 4 = 1 b) 3 x x = 7 c) x+ x+3 x+4 > 5 x+1 5 x+ d) 0,07 0,3 ( x 9) 1 0,09 x [a)k = {log 3, 1}; b)k = {1}; c)k = (0, + ); d)k =,6 ]. Příklady na procvičení logaritmických rovnic a nerovnic.1 Řešte rovnice, nerovnice a soustavu nerovnic s neznámou x R: 3 a) log + 3x x log 3 x = 1 b) log 1 (3 + 7x) + log 1 (5 7x) + 4 = 0 c) log x 4 log x + < log 5 d) 1 < log x+1 < [a) log 3x 3 x = log 3x 3 log 3x x = 1 log 3 3x log 3 x log 3 3x log 3 x(log 3 x + log 3x ) = = 0, K = {1, 1 9,3}; b)k = {0}; c)k = (,7); d)k = ( 3 10,10)] 8

32 Kapitola 4 Goniometrické rovnice a nerovnice Rovnice (nerovnice), v nichž se vyskytují goniometrické funkce neznámého argumentu, nazýváme goniometrické rovnice (nerovnice). Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí může mít goniometrická rovnice (nerovnice) nekonečně mnoho kořenů. Každý kořen goniometrické rovnice, pro který platí 0 x < π, nazýváme základní kořen této rovnice. Poznámka 16. Není-li v úloze stanoveno jinak, je třeba uvést všechna řešení, tj. základní řešení z intervalu 0,π včetně násobku periody π u funkce sinus a kosinus, základní řešení z intervalu 0,π včetně násobku periody π u funkce tangens a kotangens. Poznámka 17. Je-li uvedeno řešte v R, je nutné uvést řešení v obloukové míře. V ostatních případech je možné uvést řešení ve stupňové míře. Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi a) sin x + cos x = 1 pro x R b) tg x = sin x cos x pro x (k + 1) π c) cotg x = cos x sin x pro x kπ d) tg x cotg x = 1 pro x k π e) sin x = sin x cos x pro x R f) cos x = cos x sin x pro x R Poznámka 18. Ostatní vztahy mezi goniometrickými funkcemi, potřebné pro výpočet rovnic (nerovnic), najdeme v matematických tabulkách. 9

33 Příklad 4.1. Řešte v R goniometrickou rovnici sin x + sin x + sin 3x = 1 + cos x + cos x. Řešení Pro výpočet použijeme vztah (viz matematické tabulky): sin x + sin y = sin x+y cos x y sin x + 3x cos x 3x + sin x = 1 + cos x + cos x sin x cos( x) + sin x = 1 + cos x + cos x sin x sin x cos x + sin x cos x cos x cos x = 0 cos x(4 sin x cos x + sin x cos x 1) = 0 cos x[ sin x( cos x + 1) ( cos x + 1)] = 0 cos x[( cos x + 1)( sin x 1)] = 0 cos x = 0 x 1 = π + kπ cos x = 1 x,3 = { 3 π + kπ,; 4 3 π + kπ} sin x = 1 x 4,5 = { 1 6 π + kπ,5 6 π + kπ} Závěr: Množinou řešení je K = k Z { 1 6 π+kπ, π +kπ, 3 π+kπ, 5 6 π+kπ, 4 3 π+ +kπ}. Cvičení Příklady na procvičení goniometrických rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) tg x = sin 4x + sin x b) sin 5x cos 3x = sin 6x cos x 30

34 c) 5 sin x + sin x > 4 cos x d) cos x+sin x+ sin 3x+sin 4x = 1 e) tg x x + cotg x x > f) sin x cos x ( ) 1 [a)k = k Z { kπ, π 6 + kπ, 5π 6 + kπ, π + kπ}; b)k = k Z { kπ, π 6 + kπ, 5π 6 + kπ}; c)k = k Z ( π 6 + kπ, 5π 6 + kπ); d)k = 7π k Z {(k + 1)π, π 3kπ, kπ}; e)k = R k Z { kπ 4 }; f)k = k Z π 5π 1 + kπ, 1 + kπ ] 31

35 Kapitola 5 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Komplexní číslo Komplexní číslo z je uspořádaná dvojice reálných čísel (a 1, a ), kde a 1 je reálná část a a je imaginární část komplexního čísla. Zapisujeme z = a 1 +a i. Absolutní hodnota komplexního čísla je nezáporné reálné číslo z = a 1 + a, jeho opačné číslo je z = a 1 a i a jeho číslo komplexně sdružené je číslo z = a 1 a i. Základní vlastnosti komplexních čísel Rovnost, součin, rozdíl: Nechť z 1 = a 1 + a i, z = b 1 + b i. Platí: z 1 = z a 1 = b 1 a = b (a 1 + a i) ± (b 1 + b i) = (a 1 ± b 1 ) + (a ± b )i Součin komplexních čísel: (a 1 + a i)(b 1 + b i) = (a 1 b 1 a b ) + (a 1 b + a b 1 )i Mocniny imaginární jednotky: i 1 = i; i = 1; i 3 = i; i 4 = 1; i 4k+m = i 4k i m = i m... k N, m {0, 1,, 3} 5.1 Rovnice v množině komplexních čísel Příklad 5.1. Řešte v C rovnici ( 1 )z + z = 10i. i 3

36 Řešení Rovnici upravíme, poté porovnáme reálné a imaginární části rovnice: ( 1 )(a bi) + (a + bi) i = 10i a bi a i + bi + a + bi i = 10i 4a + bi a i = 10i / i 4ai + bi a = 10i a + (4a + b)i = 10 Závěr: Množinou řešení je K = {10 40i}. a = 10 4a + b = 0 b = 40 z = 10 40i 5. Kvadratické rovnice v množině komplexních čísel Řešení kvadratické rovnice v C Je dána kvadratická rovnice ax +bx+c = 0, kde a, b, c R, a 0, D = b 4ac. Je-li D < 0, pak má kvadratická rovnice dva imaginární komplexně sdružené kořeny: x 1, = b±i D a. Příklad 5.. Řešte v C kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty Řešení (1 i)x (5 i)x + 6 4i = 0. x 1, = 5 i ± (5 i) (4 4i)(6 4i) i = 5 i ± 5 10i + i i 16i i = 5 i ± i i 33

37 i = a + bi / i = a + abi b Porovnáním reálné a imaginární části získáme dvě rovnice o dvou neznámých: 16 = a b 30 = ab Metodou substituce (a = 15 b ) získáme: Substitucí b = z získáme: 16 = ( 15 b ) b / b 16b = 5 b 4 / 5 + b 4 b b 5 = 0 z + 16z 5 = 0 z 1, = 8 ± = 8 ± 17 = { 5,9} b = 5 b = 9 b 1, = { 3,3} a = 15 ±3 a 1, = { 5,5} i = { 5 3i,5 + 3i} x 1 = 5 i i i x = 5 i 5 3i i = 5 + i 1 i 1 + i 1 + i = 5 + 6i 1 = 4 + 6i = + 3i 1 i = i 1 i 1 + i 1 + i = i + = 1 i Závěr: Množinou řešení je K = {1 i, + 3i}. 5.3 Binomické rovnice Binomickou rovnicí se nazývá rovnice x n = a, kde a = a (cos α+i sin α), tj.x n = a (cos α + i sin α). V oboru komplexních čísel má tato rovnice právě n různých kořenů, a to x k = a 1 n (cos α+kπ n + i sin α+kπ n ), kde k {0, 1,,..., n 1}. 34

38 Příklad 5.3. Řešte v C binomickou rovnici x 3 8i = 0. Řešení Vyjádříme číslo 8i v goniometrickém tvaru a dostaneme rovnici x 3 = 8(cos π + i sin π ), jejíž kořeny jsou čísla: x k = [cos( π kπ) + i sin(π kπ)] x 0 = (cos π 6 + i sin π 6 ) = ( i) = 3 + i x 1 = (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) = 3 + i x = (cos 9π 6 + i sin 9π 6 ) = Závěr: Množinou řešení je K = { 3 + i,, 3 + i}. Cvičení Příklady na procvičení rovnic v množině komplexních čísel 1.1 Řešte rovnice s neznámou z C: a) i(z + z 1) = (1 i)(z z + 1) b) z 1 i + z+ i = 5 i 1 c) z z 1 = i d) z + i = 5(z + 3i) [a)k = { 1 1 i}; b)k = { 1 i}; c)k = { 3 i}; d)k = {1 3i}]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic v množině komplexních čísel.1 Řešte rovnice s neznámou x C: a) x + ix = 1 + i b) (1 i)x (4 + i)x i = 0 35

39 c) x (1 + i)x + i = 0 d) x 0 = ix(i x) [a)k = {1, 1 i}; b)k = { + 3i,1 + i}; c)k = {1 + i}; d)k = {3 i, 4 + i}] 3. Příklady na procvičení binomických rovnic 3.1 Řešte rovnice v x C: a) x 6 = 64 b) x 1 i 3 = 0 c) (x) 5 16 = 16i 3 d) x 3 = 7 [a)k = {x 1, = 3 ± i,x 3,4 = ±i,x 5,6 = 3 ± i}; b)k = { 6 + i, 6 i}; c)x 0,1,,3,4,5 = 1 [cos( π 15 + kπ 5 + isin π 15 + kπ 5 )], k {0,1,,3,4}; d)k = { 3, 3 3 3i, i}] 36

40 Kapitola 6 Rovnice s kombinačními čísly Faktoriály Pro každé číslo n N {0} definujeme číslo n!, čteme n faktoriál, takto: n! = n(n 1)(n ) 3 1, pokud n N, 0! = 1. Kombinační čísla Pro každá dvě čísla k, n N {0}, k n, definujeme kombinační číslo ( n k), čteme n nad k, takto: ( ) n = k n! (n k)!k! (6.1) Příklad 6.1. V množině N řešte rovnici 4 ( ) ( x x 3 44 x ) ( x 79 x ( x 1) + 7 x x) = 0. Řešení Při úpravě použijeme vztah (6.1). Postupně dostaneme: x(x 1)(x )(x 3) x(x 1)(x ) x (x 1) (x 3) 3 (x ) x 1 = 0 7x(x 3x + ) (x x) 79x + 7 = 0 7x 3 43x 43x + 7 = 0 Dostaneme reciprokou rovnici (viz kap1):x 1 = 1 (7x 3 43x 43x + 7) : (x + 1) = 7x 50x + 7 x,3 = 5± = { 1 7,7} 37

41 Závěr: V množině N má rovnice jen jedno řešení K = {7}. Cvičení Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s kombinačními čísly 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x N: a) (n!) + n! 48 = 0 b) ( 6 5 )( x+1 x 1) ( 6 4 )( x+ x+1) = ( 4 ) c) ( )( 10 x ) ( 1 x x+3 ( x+1) = 15 x ) 0 d) ( ) ( x x 3 + x+1 ) x = 1 3 [x3 ( 7 4) ] e) ( ) ( x+ x + x+1 ( x 1) < 5 f) x ) + ( x+ ) + ( x+4 ) 100 g) (n + )! [ 1 n! + 1 (n+1)! 9 (n+)! ] 0 [a)k = {3}; b)k = {6}; c)k = {3}; d)k = {5}; e)k = {1,,3}; f)k = {,3,4,5,6}; g)k = {1}] 38

42 Literatura [1] L. Boček, J. Bočková, J. Charvát: Matematika pro gymnázia - Rovnice a nerovnice, Prometheus, Praha, 000 [] I. Bužek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Prometheus, Praha, 1999 [3] E. Calda: Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 1. díl, Prometheus, Praha, 1999 [4] J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Seminář ze středoškolské matematiky, Katedra matematiky přírodovědecké fakulty MU, Brno, 1991 [5] M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové učiliště, Prometheus, Praha, 000 [6] M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky, Prometheus, Praha, 1995 [7] F. Jirásek, K. Braniš, S. Horák, M. Vacek: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU, 1. část, Prometheus, Praha, 1999 [8] J. Kubát: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ, Prometheus, Praha, 004 [9] O. Odvárko, J. Řepová, L. Skříček: MATEMATIKA pro SOŠ a studijní obory SOU,. část, Prometheus, Praha, 1996 [10] J. Petáková: MATEMATIKA - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha,