Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice"

Transkript

1 Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková

2 Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů uvedených v seznamu literatury. V Brně dne Hana Kotulková

3 Ráda bych na tomto místě poděkovala všem, ktěří mi s prací pomohli, hlavně mému vedoucímu bakalářské práce RNDr. Janu Osičkovi,CSc a panu RNDr. Jiřímu Dulovi.

4 Obsah Úvod 1 Základní typy rovnic a nerovnic Lineární rovnice a nerovnice o jedné neznámé Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli Iracionální rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě Reciproké rovnice Soustavy rovnic Rovnice s parametrem.1 Kvadratické rovnice s parametrem Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice 6 4 Goniometrické rovnice a nerovnice 9 5 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Rovnice v množině komplexních čísel Kvadratické rovnice v množině komplexních čísel Binomické rovnice Rovnice s kombinačními čísly 37 Literatura 39 1

5 Úvod Tato Sbírka řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice poslouží studentům posledních ročníků středních škol, především gymnázií, jako pomocník při procvičování, opakování a prohlubování učiva vybrané látky matematiky při přípravě na maturitní zkoušky, přijímací zkoušky na vysoké školy a následné vysokoškolské studium. Sbírka obsahuje úlohy ze všech tématických celků z učebních osnov matematiky gymnázií týkajících se problému řešení rovnic (nerovnic). Z důvodu omezeného rozsahu bakalářské práce je zde záměrně vypuštěno grafické řešení rovnic (nerovnic) a slovní úlohy, sbírka je zaměřena pouze na algebraické řešení rovnic (nerovnic). Sbírka je rozdělena do šesti kapitol, každá je věnována jinému typu rovnic (nerovnic). V každé kapitole se nachází v rámečcích a v poznámkách stručné přehledy základních poznatků, vlastnosti v nich obsažené jsou nezbytné pro řešení příkladů. Ve sbírce nejsou uvedeny všechny přehledy vzorců, jichž se při řešení používá. U základních vzorců se předpokládá, že je student zná, a že je dovede použít, složitější, či méně časté si může vyhledat v Matematicko- fyzikálních tabulkách. Matematické symboly a značky jsou použity z publikace Názvy a značky školské matematiky, Praha, SPN, Řešení všech typů rovnic (nerovnic) je ukázáno na jednom modelovém příkladě, je vybrán tak, aby na něm bylo ukázáno využití co nejvíce využívaných vlastností a metod při řešení, a aby byl klíčovým příkladem pro řešení příkladů pod čarou, jenž se nachází na konci každé kapitoly (jedná se o příklady na procvičování). Pod každým zadáním si student ověří správnost řešení ve výsledcích příkladů, které jsou obsaženy v hranatých závorkách u všech příkladů, u složitějších i se stručným návodem k jeho řešení. Příklady obsažené v této sbírce jsou vybrány středně těžké až složitější. Cílem sbírky není v žádném případě studenty s látkou seznámit, ale spíše posloužit studentům k zopakování, ucelení učiva a aplikaci již získaných znalostí. Po projití jednadvaceti řešených příkladů a vyřešení rozmanitých osmašedesáti příkladů na procvičení získá student pocit, že učivo věnované této problematice zvládl.

6 Kapitola 1 Základní typy rovnic a nerovnic Rovnice Rovnicí o jedné neznámé x rozumíme zápis tvaru f(x) = g(x), kde f(x), g(x) jsou výrazy obsahující konstanty a proměnnou x (nebo též jenom konstanty); f(x) je levá strana a g(x) pravá strana této rovnice. Nerovnice Nerovnicí o jedné neznámé x budeme rozumět každý ze zápisů tvaru f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), kde f(x), g(x) jsou výrazy obsahující konstanty a proměnnou x (nebo též jenom konstanty); f(x) je levá strana a g(x) pravá strana této nerovnice. Číslo c R, po jehož dosazení za x přejde rovnice (nerovnice) v pravdivou rovnost (nerovnost), se nazývá kořen, popř. řešení této rovnice. Množinu všech řešení rovnice (nerovnice) budeme označovat K. Zkouška při řešení rovnice (nerovnice) není nutná, provádíme-li pouze ekvivalentní úpravy, tj. všechny úpravy, které převádí rovnici f 1 (x) = g 1 (x) s množinou všech řešení K 1, na rovnici f (x) = g (x) s množinou všech řešení K, kde K 1 = K. Např. přičtení libovolného čísla k oběma stranám rovnice, vynásobení obou stran rovnice libovolným nenulovým číslem, převedení rovnice na anulovaný tvar - tzn. f ( x) g ( x) = 0. 3

7 Jestliže K 1 K, jde o důsledkovou úpravu rovnice f 1 (x) = g 1 (x), a v tomto případě je zkouška součástí řešení a nelze ji vynechat. Při zkoušce dosazujeme vypočtené kořeny do původní rovnice. Analogicky definujeme důsledkové a ekvivalentní úpravy u nerovnic. 1.1 Lineární rovnice a nerovnice o jedné neznámé Lineární rovnice Lineární rovnicí s neznámou x R nazýváme každou rovnici ve tvaru ax+b = 0, kde a R\{0}, b R. Poznámka 1. Je-li a 0 v rovnici ax + b = 0, má rovnice jediné řešení x = b a. Poznámka. Je-li a = 0 a současně b = 0 v rovnici ax + b = 0, má rovnice nekonečně mnoho řešení (každé reálné číslo). Poznámka 3. Je-li a = 0 a současně b 0 v rovnici ax + b = 0, nemá rovnice řešení (množina řešení je prázdná). Příklad 1.1. Řešte v R rovnici Řešení 3(x 1)(x )(x 3) = (x 1) 3 + (x ) 3 + (x 3) 3. (3x 3)(x 5x + 6) = x 3 3x + 3x 1 + x 3 6x + 1x 8 + x 3 9x + 7x 7 3x 3 18x + 33x = 3x 3 18x + 4x 36 / 3x x 33x 18 = 4x 36 / 4x x = 18 / : ( 9) x = Závěr: Množina K všech řešení dané rovnice je K = {}. Lineární nerovnice Lineární nerovnicí s neznámou x R nazýváme každou nerovnici ve tvaru ax + b 0, kde a R\{0}, b R. Znak nerovnosti může být >,, <,. 4

8 Poznámka 4. Násobíme-li nebo dělíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, změní se zároveň i znaménko nerovnosti! Příklad 1.. Řešte v R nerovnici x + (x 1 ) 0,1(x + 9)(x 9) Řešení Nerovnici anulujeme a výraz na levé straně upravujeme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor: x (x 1 ) 0,1(x + 9)(x 9) 0 / 10 4 x + 4(x 1 4 ) (x 81) 0 x + 4x 1 x (x + 0) 0 x 0 Závěr: Protože všechny úpravy byly ekvivalentní, mají poslední i původní nerovnice stejnou množinu řešení K = (, Kvadratické rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru ax + bx + c = 0, kde a, b, c R, a 0. Výpočet kořenů kvadratické rovnice O kvadratické rovnici ax + bx + c = 0 s diskriminantem D = b 4ac platí: pro D > 0 má dva různé reálné kořeny: x 1, = b ± D a pro D = 0 má jeden reálný dvojnásobný kořen: x 1 = x = b a pro D < 0 v oboru R nemá řešení (v C má dva kořeny - čísla komplexně sdružená). 5

9 Poznámka 5. Má-li kvadratická rovnice ax + bx + c = 0 nezáporný diskriminant a jsou-li x 1, její kořeny, lze trojčlen na její levé vyjádřit jako součin ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Typy kvadratických rovnic 1. ax + bx + c = 0 úplná kvadratická. ax + bx = 0 bez absolutního členu 3. ax + c = 0 ryze kvadratická Poznámka 6. Kvadratickou rovnici () a (3) řešíme výhodněji bez výpočtu diskriminantu a použití vzorců pro její kořeny. Rovnici () upravíme na tvar x(ax + b) = 0, z něhož jsou jeho kořeny ihned vidět x 1 = 0, x = b a. Pro a > 0 rovnice (3) nemá řešení, pokud c > 0. Jestliže c < 0, kořeny jsou čísla x 1, = ± c a. Příklad 1.3. Řešte v R rovnici 1 (x 1) [ 1 (x + 1)] = 3[( 1 x) ( 1 ) ]. Řešení Rovnici postupně upravíme na tvar ax + bx + c = 0, a poté vypočítáme její kořeny: 1 (4x 4x + 1) [ 1 x + 1 ] = 3( 1 4 x 1 4 ) x x x 1 x 1 4 = 3 4 x 3 4 / 3 4 x x 5 x + 1 = 0 / x 5x + = 0 x 1, = 5 ± Závěr: Množina řešení je K = { 1,}. = 5 ± 3 4 = { 1 ; } Vlastnosti kořenů kvadratické rovnice ( Viétovy vzorce) Kvadratická rovnice ve tvaru x + px + q = 0 se nazývá normovaná, kde p = b a, q = c, a 0, a, b, c R. a 6

10 Pro kořeny x 1, x normované kvadratické rovnice platí: x 1 x = q x 1 + x = p Poznámka 7. Není-li v kvadratické rovnici ax + bx + c = 0 koeficient a roven jedné, převedeme ji na normovaný tvar tak, že celou rovnici tímto koeficientem vydělíme, dostaneme tak rovnici x + b a x + c a = 0, kterou obvykle píšeme ve tvaru x + px + q = 0. Poznámka 8. Pro kořeny normované rovnice x + px + q = 0 platí: S výhodou se používá,pokud p je sudé. x 1, = p ± ( p ) q Příklad 1.4. Je dána kvadratická rovnice 1 9 x 3x+0 = 0. Aniž byste počítali její kořeny, napište kvadratickou rovnici, jejímiž kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů dané rovnice. Řešení Rovnici převedeme do normovaného tvaru (viz poznámka 7). Dostaneme rovnici: x 7x = 0 Příklad řešíme užitím Viétových vzorců. Z kvadratické rovnice můžeme vyčíst, že x 1 + x = 7 a x 1 x = 180, proto: x 1 + x = 1 x x = x + x 1 x 1 x = = p x 1 x = 1 x 1 1 x = = q Vypočítané hodnoty doplníme do kvadratické rovnice x + p x + q = 0, rovnici upravím: x x = 0 / x 7x + 1 = 0 7

11 Závěr: Kvadratickou rovnicí, jejímiž kořeny jsou převrácené hodnoty kořenů dané rovnice, je rovnice tvaru 180x 7x + 1 = 0. Kvadratické nerovnice Nerovnice, kterou lze převést ekvivalentními úpravami na tvar ax + bx + c > 0, kde a, b, c R se nazývá kvadratická nerovnice o jedné neznámé x. Znak nerovnosti může být >,, <,. 1.3 Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli Poznámka 9. Je-li v zadání rovnice (nerovnice) neznámá ve jmenovateli zlomku, musíme stanovit podmínky, za kterých má daná rovnice (nerovnice) smysl. Příklad 1.5. Řešte v R rovnici 3x +8 x 1 x 1 4 = 43+3x x 4x 4. Řešení Zlomky mají smysl jen tehdy, když je jejich jmenovatel různý od nuly, v našem případě tedy x 1. Neznámou budeme hledat v množině R\{1}. Existují dva způsoby řešení: 1. způsob - odstraníme zlomky vynásobením dané rovnice 4(x 1). O této úpravě víme, že nemusí být ekvivalentní, je tedy nutné provést zkoušku, zda získané kořeny dané rovnice vyhovují.. způsob - rovnici anulujeme a výraz na levé straně upravíme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor. Zlomek obsahující proměnnou je roven nule právě pro ty její hodnoty z definičního oboru tohoto zlomku, pro něž je nulový jeho čitatel. Zkouška není nutná. Tento příklad vyřešíme pouze prvním způsobem: 3x + 8 x 1 x x x = 4 4x 4 4(3x + 8) (x 1)(x 1) = x x / 4(x 1) 1x + 3 x + 3x 1 = x x / 43 3x + x 1x 1 = 0 / : 1 x 1 = 0 8

12 Jedná se o ryze kvadratickou rovnici, jednoduše vypočteme kořeny bez použití vzorce (viz poznámka 6): x 1, = { 1,1} Jelikož řešení hledáme v oboru R\{1}, rovnice má jeden kořen x = 1. Zkouška: L( 1) = = 19 4 P ( 1) = 38 8 = 19 4 L( 1) = P ( 1) Závěr: Rovnice má jediné řešení K = { 1}. Příklad 1.6. Řešte v R nerovnici x+4 3x x x 4. x 4x+16 Řešení Danou nerovnici budeme řešit v množině R\{ 4}. Nerovnici anulujeme a výraz na levé straně upravíme tak, aby se nezměnil jeho definiční obor. Postup je následující: x + 4 3x x x 4 x 4x (x 4x + 16) 3x + (x 4)(x + 4) x x 8x + 3 3x + x 16 x x + 16 x Určíme nulové body, tzn. čísla, po jejichž dosazení za x se výraz na levé straně bude rovnat nule. Nulovými body 4, jednotlivých činitelů v čitateli a jmenovateli zlomku na levé straně nerovnice rozdělíme množinu R na tři intervaly I 1, I, I 3, a určíme znaménka jednotlivých činitelů i celého zlomku v těchto intervalech: I 1 = (, 4) I = ( 4, I 3 = (, + ) 8x x x+16 x

13 Neboť zlomek má být větší nebo roven nule, řešením nerovnice je interval, ve kterém má daný zlomek kladné znaménko. Závěr: Množina K všech řešení dané nerovnice je množina K = ( 4,. 1.4 Iracionální rovnice a nerovnice Iracionální rovnice jsou rovnice, které mají neznámou x R v odmocněnci. Poznámka 10. Používáme-li při úpravách iracionální rovnice důsledkové (neekvivalentní) úpravy (např. umocňování obou stran rovnice stejným sudým mocnitelem), součástí řešení rovnice je zkouška nebo stanovení podmínek, za kterých má daná rovnice smysl. Tím vyloučíme nevyhovující řešení. Někdy nestanovujeme podmínky, za kterých má daná rovnice smysl (někdy by to bylo složitější než vlastní řešení rovnice), kořeny pak určíme provedením zkoušky pro všechny vypočtené hodnoty neznámé. Poznámka 11. Při řešení nerovnic s neznámou pod odmocninou je nutné si uvědomit důležitou vlastnost: a, b R +... a < b a < b a, b R... a < b a > b Příklad 1.7. Řešte v R rovnici + 4 x 1 4 x = 1 x. 10

14 Řešení + 4 x 1 4 x = 1 x ( 4 x ) ( + 4 x ) = x x 4 4 x 4 x = x Zkouška: L() = / ( + 4 x )( 4 x ) 3 4 x = x / x x x = 3 4 x / 4 4x + x = 36 9x / + 9x 36 10x 4x 3 = 0 / 1 5x x 16 = 0 x 1, = 1 ± = {, } = 1 1 = 1 P () = 1 L() = P () L( 8 5 ) = P ( 8 5 ) = 5 8 L( 8 5 ) = P ( 8 5 ) = = 5 8 Závěr: Zkoušce vyhovují oba kořeny, množinou řešení je K = {, 8 5 }. 1.5 Lineární rovnice a nerovnice s neznámou v absolutní hodnotě Poznámka 1. Řešení lineárních rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou je založeno na známé vlastnosti absolutní hodnoty: a 0 a = a a 0 a = a 11

15 Příklad 1.8. Řešte v M =,10) nerovnici 3 1 x 3 x + x 4 +x > 5 x 1. Řešení Určíme nulové body, tj. čísla, pro která mají výrazy v absolutních hodnotách hodnotu nula, jsou to čísla 1,, 4. Tím se číselná osa rozdělí na čtyři intervaly I 1, I, I 3, I 4. Pak sestavíme nerovnici, v níž výrazy v absolutní hodnotě nahradíme výrazy z tabulky zvlášť pro každý interval. Řešením pro každý interval je vždy průnik tohoto intervalu s řešením nerovnice, tj. K 1, K, K 3, K 4. Řešením dané nerovnice je sjednocení množin K = K 1 K K 3 K 4. I 1 = (,1) I = 1,) I 3 =,4) I 4 = 4, + ) 1 x 1 x 1 + x 1 + x 1 + x x x + x + x x x 4 x + 4 x + 4 x + 4 x 4 x 1 x + 1 x 1 x 1 x 1 Pro I 1 = (,1): 3(1 x) 3( x + ) x x > 5 ( x + 1) 3 3x + 3x 6 x x > 5 + x / x 1 x > / ( 1 ) x > 1 x < 1 Řešení nerovnice pro I 1 je množina K 1 = (,1) (, 1) = (, 1). Pro I = 1,): 3( 1 + x) 3( x + ) x x > 5 (x 1) 3 + 3x + 3x 6 x x > 5 x + / + x + 5 8x > 1 / 1 8 x > 3 Řešení nerovnice pro I je množina K = 1,) ( 3, + ) = ( 3,). Pro I 3 =,4): 3( 1 + x) 3(x ) x x > 5 (x 1) 3 + 3x 3x + 6 x x > 5 x + / + x 7 x > 0 1

16 Řešení nerovnice pro I 3 je množina K 3 =,4) (0, + ) =,4). Pro I 4 = 4, + ): 3( 1 + x) 3(x ) + x 4 + x > 5 (x 1) 3 + 3x 3x x 4 + x > 5 x + / + x + 1 x > Řešení nerovnice pro I 4 je množina K 4 = 4, + ) (, + ) = 4, + ). Závěr: Řešíme v M =,10), K M, proto K = K 1 K K 3 K 4 = =, 1) ( 3,10). Příklad 1.9. Řešte v Z rovnici 3 x 1 3 x + 3 = 0. Řešení 1. Je-li 3 x 0, pak má daná rovnice tvar 3 x 1 3 x + 3 = 0. Nulové body 0, 1 nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly I 1, I, I 3. Pro I 1 = (,0): Pro I = 0,1): Pro I 3 = 1, + ): I 1 = (,0) I = 0,1) I 3 = 1, + ) x x x x x x x x x + 3x + 3 = 0 x = 5 ( (, )0) x 3x + 3 = 0 x = 1 0,1) x 3x + 3 = 0 x = 1 1, + ). Je-li 3 x < 0, pak má daná rovnice tvar 3 + x 1 3 x + 3 = 0. Nulové body 0, nám rozdělí číselnou osu na tři intervaly I 4, I 5, I 6. 13

17 Pro I 4 = (,0): Pro I 5 = 0,): I 4 = (,0) I 5 = 0,) I 6 =, + ) x 4 x + 4 x + 4 x 4 x x x x x x + 3 = 0 x = 7 (,0) x + 4 3x + 3 = 0 x = 7 5 Z Pro I 6 =, + ): x 4 3x + 3 = 0 x = 1, + ) Závěr: Množina řešení je K = { 7, 5,1}. 1.6 Reciproké rovnice Algebraickou rovnici tvaru a 0 x n + a 1 x n a n = 0, pro jejíž koeficienty a k (kde k = 0, 1,,... n) platí vztah: 1. a k = a n k, nazýváme reciprokou a značíme R(x) = 0,. a k = a n k, nazýváme antireciprokou a značíme r(x) = 0. Reciproká rovnice R(x) = 0 lichého stupně n = k + 1 má vždy kořen x 1 = 1 a platí: R(x) = (x + 1)R 1 (x), kde R 1 (x) = 0 je reciproká rovnice stupně k. Reciprokou rovnici R(x) sudého stupně n = k převádíme substitucí a = x + 1 x na rovnici stupně n = k. Antireciproká rovnice r(x) = 0 stupně n má vždy kořen x 1 = 1. Přitom platí r(x) = (x 1)R(x), kde R(x) = 0 je reciproká rovnice stupně n 1. 14

18 Příklad Řešte v R rovnici 6x 4 5x 3 38x + Kx + L = 0. Doplňte hodnoty za K, L tak, aby se jednalo o reciprokou rovnici sudého stupně. Řešení Aby se jednalo o reciprokou rovnici, doplníme za K = 5 a L = 6: 6x 4 5x 3 38x 5x + 6 = 0 Rovnice nemá kořen x = 0, proto ji lze vydělit výrazem x, aniž by se změnil počet kořenů, získáme: 6x 5x x x = 0 6(x + 1 x ) 5(x + 1 x ) 38 = 0 Zavedeme substituci a = x + 1 ; x (x + 1 x rovnici stupně n = : = a ) a tím ji převedeme na 6(a ) 5a 38 = 0 6a 5a 50 = 0 a 1, = 5 ± = { 5,10 3 } 1. x + 1 x = 5 x + 5x + = 0 x 1, = 5± = {, 1 }. x + 1 x = x 10x + 3 = 0 x 3,4 = 5± = { 1 3,3} Závěr: Množinou řešení je K = {, 1, 1 3,3}. 1.7 Soustavy rovnic Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Soustava rovnic tvaru ax + by = e, a 0 b 0, cx + dy = f, c 0 d 0, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x, y. Dvojice čísel [x 0,y 0 ] se nazývá řešení soustavy rovnic, jestliže je řešením každé z rovnic soustavy (tj. jestliže platí ax 0 + by 0 = e a také cx 0 + dy 0 = f). Analogicky definujeme rovnice soustavy rovnic o třech a více neznámých a jejich řešení. 15

19 Početně je řešíme metodou: 1. dosazovací(substituční): z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme ji do rovnice druhé.. sčítací (aditivní): rovnice vynásobíme vhodnými (nenulovými) čísly tak, aby po sečtení těchto rovnic jedna z neznámých vypadla. 3. srovnávací (komparační): z každé rovnice soustavy vypočteme tutéž neznámou a tato vyjádření porovnáme. Poznámka 13. Soustavu tří rovnic o třech neznámých redukujeme některou z metod na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Pak postupujeme známým způsobem. Zcela analogicky postupujeme i při řešení soustav čtyř (pěti,) lineárních rovnic o čtyřech (pěti,) neznámých. Od dané rovnice n lineárních rovnic o n neznámých přejdeme k soustavě n 1 rovnic o n 1 neznámých, pak k soustavě n neznámých atd. Příklad Řešte v R soustavu tří rovnic o třech neznámých: x + y = xy x + z = 4xz y + z = 8yz Řešení Všechny neznámé převedeme na levou stranu rovnice a pro x 0, y 0, z 0 po úpravě dostaneme: 1 y + 1 x = 1 z + 1 x = 4 1 z + 1 y = 8 Zavedeme substituci a = 1 x, b = 1 y, c = 1 z : b + a = (1.1) c + a = 4 (1.) c + b = 8 (1.3) 16

20 Rovnice (1.1) a (1.) od sebe odečteme a získáme: b c = (1.4) c + b = 8 (1.5) Sečteme-li rovnici (1.4) a (1.5), dostaneme po úpravě b = 3, po dosazení do rovnice (1.3) získáme c = 5 a po dosazení do rovnice (1.1) získáme a = 1. Neboť a = 1 x, b = 1 y, c = 1 z, jednoduše vypočteme x = 1, y = 1 3, z = 1 5. Závěr: Množinou řešení je K = {[0, 0, 0], [ 1, 1 3, 1 5 ]}. Soustavy nerovnic Řešení soustavy nerovnic o jedné neznámé je množina všech reálných čísel, která je řešením každé nerovnice soustavy. Při řešení dané soustavy nerovnic určíme nejprve množinu všech řešení každé nerovnice soustavy zvlášť a potom určíme průnik těchto množin. Příklad 1.1. Řešte v množině M = 5,5 soustavu nerovnic: 11x x 3(x 0,) x Řešení 1. 11x x 3(x 0,) / 11x x 6x 1, / 6x 3 15x 4, / ( 15) x 7 5 K 1 = (,

21 . Pro I 1 = (, 1): Pro I = 1, + ): x 1 13 / x 18 5 K 1 = ( ; 18 5 x / 1 x 8 5 K = 8 5, + ) Závěr: Řešením celé soustavy v množině M = 5,5 je tedy množina K = K 0 (K 1 K ) = 5, Cvičení Příklady na procvičení lineárních rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 5 6 x + 0,75 0,5x 3 = x (5+x) 1 b) x x x x x 1 + x = 1 4 (x x ) c) 4x 5 3 5x x+1 6 d) (x+1) 3 x(x )(x+3) x(x+5) [a)k = { }; b)k = {4}; c)k = {φ}; d)k = 1, + )]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic a nerovnic.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: 18

22 a) 7+x 3x 1 5 x = 3 3x x b) x(x+ )(x 3) (x +1)(x 1) < 0 [a)k = { 1,1}; b)k = (, ) (0,1) (1, 3)]. Sestavte rovnici, jejíž kořeny jsou čísla , [Zlomky nejdříve usměrníme x 1, = ± 10, výsledná rovnice je 50x 0x + 1 = 0.].3 V rovnici x + mx + 5 = 0 (aniž ji řešíte) určete m tak, aby jeden kořen byl o čtyři větší než druhý kořen. [m = { 6,6}] 3. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli 3.1 Řešte v daných množinách dané rovnice a nerovnice : a) 6 x 1+x (4x 3) x 1 = x 1 x v N (5x 3)(x+4) b) x(6 x) 0 v M = 6,6 c) 4 x+1 = 7x+4 4x x+1 3x 1 8x 3 +1 v R d) 5 x x + 1+4x x+ < 1 v Z [a)k = N\{1}; b)k = 6, 4 (0, 3 ; c)k = {, }; d)k = {0}] 4. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou pod odmocninou 4.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 1 + x x + 8 = x + 1 b) x 3 x 1 3 x 1 3 x 1 3 x 1 = 1 19

23 c) (x ) x + 1 > x + d) 3x x 1 0 [a)k = {0,}; b) substituce 3 x = a,k = { 7,64}; c)k = {φ}; d)k = 0,1 ] 5. Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s neznámou v absolutní hodnotě 5.1 Řešte v daných množinách dané rovnice a nerovnice: a) x + 4x 3x 6 = 0 v Z b) x x = x 1 x v N c) x x 3 + x 1 x v R d) x + x 3x + x 1 (x 1) v M = 1,1 [a)k = { 1,}; b)k = {}; c)k = (, 5 4 3, + ); d)k = 1, 1 4 ] 6. Příklady na procvičení reciprokých rovnic 6.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 7x x + 57x + 7 = 0 b) 5x 4 6x x 6x + 5 = 0 [a)k = { 7, 1, 1 7 ; b)k = {5, 1 5 }] 7. Příklady na procvičení soustavy rovnic a nerovnic 7.1 Určete všechna čísla x, y R tak, aby byla řešením dané soustavy: a) x + 1 x + y + x + 1 x + y 3 y x y y x y = 3 = 1 0

24 b) xy + 4y + x + = y(x + 7) (x )(3z + 1) = (x + 3)(3z 1) (y + 1)(z + ) = (y + 3)(z + 1) c) d) x 3 + x + 1 > x 5 x x 6x + 9 3x x < 0 [a)k = {[3,1]}; b)k = {[7,3,1]}; c)k =,4 \{ 1}; d)(,0) 5, + )] 1

25 Kapitola Rovnice s parametrem Poznámka 14. Parametr je proměnná, která nabývá všech hodnot ze zvoleného číselného oboru. Vypočtený kořen závisí na tom, jaký je parametr, tj. jaké číslo za hodnotu této proměnné zvolíme. Nutno nezapomenout, že při dělení rovnice výrazem, který obsahuje parametr, je nutno zaručit, aby byl nenulový. Příklad.1. Řešte v R rovnici (m+1)x 6 = 3(1 m m) s parametrem m. x x Řešení Uvědomíme si nejprve, že rovnice má smyl pouze pro x 0. Abychom zlomky odstranili, vynásobíme rovnici výrazem x, tato úprava však nemusí být ekvivalentní, proto je nutné pro určení kořenů provést zkoušku. Dostaneme postupně: mx + x 6 = 3x 3m + 3m / + 6 3x x(m ) = 3( m + m + ) Chystáme se dělit výrazem m, rozlišíme tedy dvě možnosti. Pro m dostaneme x = 3( m +m+) = 3(m )(m+1) = 3m 3, m m pro m = dostaneme rovnici x 0 = 0, které vyhovuje každé reálné číslo. Provedeme zkoušku.

26 Je-li m dostaneme: L( 3m 3) = (m + 1)( 3m 3) 6 ( 3m 3) = 3m 6m 9 3m 3 = m + m + 3 m + 1 P ( 3m 3) = 3(1 m m 3m 3 = 3 m m m 1 = 3m 3 m + m m 1 = m + m + 3 m + 1 L( 3m 3) = P ( 3m 3) Je-li m =, dostaneme (x 0 je libovolně zvolené číslo, x 0 R\{0}): L(x 0 ) = 3x 0 6 x 0 P (x 0 ) = 3(1 x 0 ) = 3x 0 6 x 0 L(x 0 ) = P (x 0 ) Závěr: Rovnice s parametrem m má pro m jediné řešení x = 3m 3, pro m = nekonečně mnoho řřešení, a to x R\{0}..1 Kvadratické rovnice s parametrem Příklad.. Řešte v R kvadratickou rovnici (m 1)x (m )x+m 1 = 0 s parametrem m. Řešení Jestliže m 1 = 0, tj. m = 1, dostaneme x = 1. Jestliže m 1 0, tj. m 1, dostaneme rovnici: x 1, = m ± m 4m + 4 (8m 4)(m 1) (m 1) = m ± 7m + 8m (m 1) D = 0 : 7m + 8m = 0 m(8 7m) = 0 m = 0 m = 8 7 3

27 D > 0 : 7m + 8m > 0 m(8 7m) > 0 (m > 0 8 7m > 0) (m < 0 8 7m < 0) D < 0 : m (,0) ( 8 7, + ) Závěr: Kvadratická rovnice s parametrem m má pro m = 1 jediné řešení x = 1, pro m = 0 jediné řešení x = 1, pro m = 8 jediné řešení x = 3, 7 pro m (0,1) (1, 8) řešení x { m ± 7m +8m 7 pro m (,0) ( 8, + ) nemá řešení. 7 Cvičení. m }, m (0, 8 7 ) 1. Příklady na procvičení lineárních rovnic s parametrem 1.1 Řešte rovnice s neznámou x R a s parametrem a R: a) x(a 1) + a(x + 4) = b) x+a x+1 3a x a = [a) pro a = 0,5 je x R, pro a R\{0,5} je x { }; b) pro a = 1 je x R\{ 1}; pro a {0,} nemá řešení; pro a R\{ 1,0,} je x { a }] 1. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + x = 15 b) x ax+1 = a 1 3 [a)a (,) ( 5, + ); b)a ( 4 3, 3 )]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic a nerovnic s parametrem.1 Řešte rovnice s neznámou x R a s parametrem m R: 4

28 a) mx + (m + 1)x + m 4 = 0 b) x x+m + x x m = 5m 4(x m ) c) x m 3 = 1 m (4x + 1) d) (m 1)x (m + 1)x + m + 1 > 0 [a) pro m ( ; 0,05) nemá řešení, pro m = 0,05 je x = 9, pro m ( 0,05; 0) (0, + ) je x 1, = { m 1± 0m+1 m }, pro m = 0 je x = 4; b)pro m = 0 nemá řešení, pro m 0 je x 1, = { m, 5m 6 }; c) pro m = 0 nemá rovnice smysl, pro m = nemá řešení, pro m = je 1 x R, pro m R\{,0,} je x = m(m ) ; d)m ( 5 3, + ),m = 1 nevyhovuje, takže m 1 > 0, D < 0] 5

29 Kapitola 3 Exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice Základní vlastnosti mocnin Pro každé a R + \{1} platí: a 0 = 1; a 1 = a; a x a y = a x+y ; a x = 1 (a x ) y = a xy ; a x = a y (a = 1 x = y) a x ; a x a y = a x y ; Poznámka 15. Číslo x = log a y definujeme vztahem a x = y, přitom a > 0, a 1, y > 0. Místo log 10 píšeme pouze log (jedná se o dekadický logaritmus), místo log e píšeme ln (jedná se o přirozený logaritmus). Základní vlastnosti logaritmů Pro každé a R + \{1}; x, y R + ; k R platí: a) log a (xy) = log a x + log a y b) log a ( x y ) = log a x log a y c) log a (x y ) = y log a x d) log a ( 1 x ) = log a x e) log a x = log b x log b a f) log a b = 1 log b a Příklad 3.1. Řešte v R exponenciální rovnici 6 7 x+3 7 x+ = 8. 6

30 Řešení 7 x ( ) = 8 / ( ) 7 x 8 = x = 49 Rovnici zlogaritmujeme a dále použijeme vlastnost c) log a (x y ) = y log a x : x log 7 = log 49 Využijeme vlastnosti e) log a x = log b x log b a : x = log 49 log 7 x = log 7 49 = log 7 Závěr: Množinou řešení je K = {log 7 }. Příklad 3.. Řešte v R logaritmickou nerovnici x log x 1000x. Řešení Všechny výrazy v dané nerovnici jsou definovány, pokud x > 0. Obě strany nerovnice zlogaritmujeme, použijeme vlastnost a) log a (xy) = log a x + log a y: Použijeme substituci log x = a: a 3 + a a a 3 0 x log x 1000x (log x)(log x) log log x (a 3)(a + 1) 0 (a 3 a 1) (a 3 a 1) a 1,3 Ze substituce určíme množinu x tak, že za a dosazujeme krajní hodnoty z intervalu a 1; 3 a tím získáme krajní hodnoty intervalu x, nezapomeňme, že x > 0: log x = 1 x = 1 10 log x = 3 x = 1000 x (0, + ) 1 ; 1000 = 1, Závěr: Množinou řešení je K = 1 10,

31 Cvičení Příklady na procvičení exponenciálních rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) 5 3x x 4 = 1 b) 3 x x = 7 c) x+ x+3 x+4 > 5 x+1 5 x+ d) 0,07 0,3 ( x 9) 1 0,09 x [a)k = {log 3, 1}; b)k = {1}; c)k = (0, + ); d)k =,6 ]. Příklady na procvičení logaritmických rovnic a nerovnic.1 Řešte rovnice, nerovnice a soustavu nerovnic s neznámou x R: 3 a) log + 3x x log 3 x = 1 b) log 1 (3 + 7x) + log 1 (5 7x) + 4 = 0 c) log x 4 log x + < log 5 d) 1 < log x+1 < [a) log 3x 3 x = log 3x 3 log 3x x = 1 log 3 3x log 3 x log 3 3x log 3 x(log 3 x + log 3x ) = = 0, K = {1, 1 9,3}; b)k = {0}; c)k = (,7); d)k = ( 3 10,10)] 8

32 Kapitola 4 Goniometrické rovnice a nerovnice Rovnice (nerovnice), v nichž se vyskytují goniometrické funkce neznámého argumentu, nazýváme goniometrické rovnice (nerovnice). Vzhledem k periodičnosti goniometrických funkcí může mít goniometrická rovnice (nerovnice) nekonečně mnoho kořenů. Každý kořen goniometrické rovnice, pro který platí 0 x < π, nazýváme základní kořen této rovnice. Poznámka 16. Není-li v úloze stanoveno jinak, je třeba uvést všechna řešení, tj. základní řešení z intervalu 0,π včetně násobku periody π u funkce sinus a kosinus, základní řešení z intervalu 0,π včetně násobku periody π u funkce tangens a kotangens. Poznámka 17. Je-li uvedeno řešte v R, je nutné uvést řešení v obloukové míře. V ostatních případech je možné uvést řešení ve stupňové míře. Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi a) sin x + cos x = 1 pro x R b) tg x = sin x cos x pro x (k + 1) π c) cotg x = cos x sin x pro x kπ d) tg x cotg x = 1 pro x k π e) sin x = sin x cos x pro x R f) cos x = cos x sin x pro x R Poznámka 18. Ostatní vztahy mezi goniometrickými funkcemi, potřebné pro výpočet rovnic (nerovnic), najdeme v matematických tabulkách. 9

33 Příklad 4.1. Řešte v R goniometrickou rovnici sin x + sin x + sin 3x = 1 + cos x + cos x. Řešení Pro výpočet použijeme vztah (viz matematické tabulky): sin x + sin y = sin x+y cos x y sin x + 3x cos x 3x + sin x = 1 + cos x + cos x sin x cos( x) + sin x = 1 + cos x + cos x sin x sin x cos x + sin x cos x cos x cos x = 0 cos x(4 sin x cos x + sin x cos x 1) = 0 cos x[ sin x( cos x + 1) ( cos x + 1)] = 0 cos x[( cos x + 1)( sin x 1)] = 0 cos x = 0 x 1 = π + kπ cos x = 1 x,3 = { 3 π + kπ,; 4 3 π + kπ} sin x = 1 x 4,5 = { 1 6 π + kπ,5 6 π + kπ} Závěr: Množinou řešení je K = k Z { 1 6 π+kπ, π +kπ, 3 π+kπ, 5 6 π+kπ, 4 3 π+ +kπ}. Cvičení Příklady na procvičení goniometrických rovnic a nerovnic 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x R: a) tg x = sin 4x + sin x b) sin 5x cos 3x = sin 6x cos x 30

34 c) 5 sin x + sin x > 4 cos x d) cos x+sin x+ sin 3x+sin 4x = 1 e) tg x x + cotg x x > f) sin x cos x ( ) 1 [a)k = k Z { kπ, π 6 + kπ, 5π 6 + kπ, π + kπ}; b)k = k Z { kπ, π 6 + kπ, 5π 6 + kπ}; c)k = k Z ( π 6 + kπ, 5π 6 + kπ); d)k = 7π k Z {(k + 1)π, π 3kπ, kπ}; e)k = R k Z { kπ 4 }; f)k = k Z π 5π 1 + kπ, 1 + kπ ] 31

35 Kapitola 5 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel Komplexní číslo Komplexní číslo z je uspořádaná dvojice reálných čísel (a 1, a ), kde a 1 je reálná část a a je imaginární část komplexního čísla. Zapisujeme z = a 1 +a i. Absolutní hodnota komplexního čísla je nezáporné reálné číslo z = a 1 + a, jeho opačné číslo je z = a 1 a i a jeho číslo komplexně sdružené je číslo z = a 1 a i. Základní vlastnosti komplexních čísel Rovnost, součin, rozdíl: Nechť z 1 = a 1 + a i, z = b 1 + b i. Platí: z 1 = z a 1 = b 1 a = b (a 1 + a i) ± (b 1 + b i) = (a 1 ± b 1 ) + (a ± b )i Součin komplexních čísel: (a 1 + a i)(b 1 + b i) = (a 1 b 1 a b ) + (a 1 b + a b 1 )i Mocniny imaginární jednotky: i 1 = i; i = 1; i 3 = i; i 4 = 1; i 4k+m = i 4k i m = i m... k N, m {0, 1,, 3} 5.1 Rovnice v množině komplexních čísel Příklad 5.1. Řešte v C rovnici ( 1 )z + z = 10i. i 3

36 Řešení Rovnici upravíme, poté porovnáme reálné a imaginární části rovnice: ( 1 )(a bi) + (a + bi) i = 10i a bi a i + bi + a + bi i = 10i 4a + bi a i = 10i / i 4ai + bi a = 10i a + (4a + b)i = 10 Závěr: Množinou řešení je K = {10 40i}. a = 10 4a + b = 0 b = 40 z = 10 40i 5. Kvadratické rovnice v množině komplexních čísel Řešení kvadratické rovnice v C Je dána kvadratická rovnice ax +bx+c = 0, kde a, b, c R, a 0, D = b 4ac. Je-li D < 0, pak má kvadratická rovnice dva imaginární komplexně sdružené kořeny: x 1, = b±i D a. Příklad 5.. Řešte v C kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty Řešení (1 i)x (5 i)x + 6 4i = 0. x 1, = 5 i ± (5 i) (4 4i)(6 4i) i = 5 i ± 5 10i + i i 16i i = 5 i ± i i 33

37 i = a + bi / i = a + abi b Porovnáním reálné a imaginární části získáme dvě rovnice o dvou neznámých: 16 = a b 30 = ab Metodou substituce (a = 15 b ) získáme: Substitucí b = z získáme: 16 = ( 15 b ) b / b 16b = 5 b 4 / 5 + b 4 b b 5 = 0 z + 16z 5 = 0 z 1, = 8 ± = 8 ± 17 = { 5,9} b = 5 b = 9 b 1, = { 3,3} a = 15 ±3 a 1, = { 5,5} i = { 5 3i,5 + 3i} x 1 = 5 i i i x = 5 i 5 3i i = 5 + i 1 i 1 + i 1 + i = 5 + 6i 1 = 4 + 6i = + 3i 1 i = i 1 i 1 + i 1 + i = i + = 1 i Závěr: Množinou řešení je K = {1 i, + 3i}. 5.3 Binomické rovnice Binomickou rovnicí se nazývá rovnice x n = a, kde a = a (cos α+i sin α), tj.x n = a (cos α + i sin α). V oboru komplexních čísel má tato rovnice právě n různých kořenů, a to x k = a 1 n (cos α+kπ n + i sin α+kπ n ), kde k {0, 1,,..., n 1}. 34

38 Příklad 5.3. Řešte v C binomickou rovnici x 3 8i = 0. Řešení Vyjádříme číslo 8i v goniometrickém tvaru a dostaneme rovnici x 3 = 8(cos π + i sin π ), jejíž kořeny jsou čísla: x k = [cos( π kπ) + i sin(π kπ)] x 0 = (cos π 6 + i sin π 6 ) = ( i) = 3 + i x 1 = (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) = 3 + i x = (cos 9π 6 + i sin 9π 6 ) = Závěr: Množinou řešení je K = { 3 + i,, 3 + i}. Cvičení Příklady na procvičení rovnic v množině komplexních čísel 1.1 Řešte rovnice s neznámou z C: a) i(z + z 1) = (1 i)(z z + 1) b) z 1 i + z+ i = 5 i 1 c) z z 1 = i d) z + i = 5(z + 3i) [a)k = { 1 1 i}; b)k = { 1 i}; c)k = { 3 i}; d)k = {1 3i}]. Příklady na procvičení kvadratických rovnic v množině komplexních čísel.1 Řešte rovnice s neznámou x C: a) x + ix = 1 + i b) (1 i)x (4 + i)x i = 0 35

39 c) x (1 + i)x + i = 0 d) x 0 = ix(i x) [a)k = {1, 1 i}; b)k = { + 3i,1 + i}; c)k = {1 + i}; d)k = {3 i, 4 + i}] 3. Příklady na procvičení binomických rovnic 3.1 Řešte rovnice v x C: a) x 6 = 64 b) x 1 i 3 = 0 c) (x) 5 16 = 16i 3 d) x 3 = 7 [a)k = {x 1, = 3 ± i,x 3,4 = ±i,x 5,6 = 3 ± i}; b)k = { 6 + i, 6 i}; c)x 0,1,,3,4,5 = 1 [cos( π 15 + kπ 5 + isin π 15 + kπ 5 )], k {0,1,,3,4}; d)k = { 3, 3 3 3i, i}] 36

40 Kapitola 6 Rovnice s kombinačními čísly Faktoriály Pro každé číslo n N {0} definujeme číslo n!, čteme n faktoriál, takto: n! = n(n 1)(n ) 3 1, pokud n N, 0! = 1. Kombinační čísla Pro každá dvě čísla k, n N {0}, k n, definujeme kombinační číslo ( n k), čteme n nad k, takto: ( ) n = k n! (n k)!k! (6.1) Příklad 6.1. V množině N řešte rovnici 4 ( ) ( x x 3 44 x ) ( x 79 x ( x 1) + 7 x x) = 0. Řešení Při úpravě použijeme vztah (6.1). Postupně dostaneme: x(x 1)(x )(x 3) x(x 1)(x ) x (x 1) (x 3) 3 (x ) x 1 = 0 7x(x 3x + ) (x x) 79x + 7 = 0 7x 3 43x 43x + 7 = 0 Dostaneme reciprokou rovnici (viz kap1):x 1 = 1 (7x 3 43x 43x + 7) : (x + 1) = 7x 50x + 7 x,3 = 5± = { 1 7,7} 37

41 Závěr: V množině N má rovnice jen jedno řešení K = {7}. Cvičení Příklady na procvičení rovnic a nerovnic s kombinačními čísly 1.1 Řešte rovnice a nerovnice s neznámou x N: a) (n!) + n! 48 = 0 b) ( 6 5 )( x+1 x 1) ( 6 4 )( x+ x+1) = ( 4 ) c) ( )( 10 x ) ( 1 x x+3 ( x+1) = 15 x ) 0 d) ( ) ( x x 3 + x+1 ) x = 1 3 [x3 ( 7 4) ] e) ( ) ( x+ x + x+1 ( x 1) < 5 f) x ) + ( x+ ) + ( x+4 ) 100 g) (n + )! [ 1 n! + 1 (n+1)! 9 (n+)! ] 0 [a)k = {3}; b)k = {6}; c)k = {3}; d)k = {5}; e)k = {1,,3}; f)k = {,3,4,5,6}; g)k = {1}] 38

42 Literatura [1] L. Boček, J. Bočková, J. Charvát: Matematika pro gymnázia - Rovnice a nerovnice, Prometheus, Praha, 000 [] I. Bužek: Řešené maturitní úlohy z matematiky, Prometheus, Praha, 1999 [3] E. Calda: Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 1. díl, Prometheus, Praha, 1999 [4] J. Herman, R. Kučera, J. Šimša: Seminář ze středoškolské matematiky, Katedra matematiky přírodovědecké fakulty MU, Brno, 1991 [5] M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové učiliště, Prometheus, Praha, 000 [6] M. Hudcová, L. Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky, Prometheus, Praha, 1995 [7] F. Jirásek, K. Braniš, S. Horák, M. Vacek: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU, 1. část, Prometheus, Praha, 1999 [8] J. Kubát: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ, Prometheus, Praha, 004 [9] O. Odvárko, J. Řepová, L. Skříček: MATEMATIKA pro SOŠ a studijní obory SOU,. část, Prometheus, Praha, 1996 [10] J. Petáková: MATEMATIKA - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha,

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE

FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST A LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE 1 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol FUNKCE

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14 Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)

Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Materiál má podobu pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci procvičí zobrazení, funkce a

Materiál má podobu pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci procvičí zobrazení, funkce a Autor Mgr. Bronislava Salajová Tematický celek Funkce Cílová skupina 3. ročník SŠ s maturitní zkouškou Anotace Materiál má podobu pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci procvičí zobrazení, funkce

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Čísla Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Čísla Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: Název sady DUM: Název a adresa školy: Registrační číslo projektu: Číslo a název šablony: Obor vzdělávání: Tématická oblast ŠVP: Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura:

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU Projekt ŠLONY N GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: Z.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SINOVÁ KOSINOVÁ

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

CZ.1.07/1.5.00/34.0378 Zefektivnění výuky prostřednictvím ICT technologií III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Autor Mgr. Lenka Střelcová Tematický celek Posloupnosti Cílová skupina 3. ročník SŠ Anotace Materiál má podobu výkladového a pracovního listu s úlohami, pomocí nichž si žáci osvojí a procvičí využití geometrické

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM...

Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... Obsah ZÁKLADNÍ INFORMACE...4 OČEKÁVANÉ VĚDOMOSTI A DOVEDNOSTI...5 TÉMATICKÉ OKRUHY...6 TEST 1 ZADÁNÍ...10 TEST 1 TABULKA S BODOVÝM HODNOCENÍM... TEST 1 ŘEŠENÍ...5 TEST ZADÁNÍ...40 TEST TABULKA S BODOVÝM

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více