Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu

Transkript

1 Cvičenie:.. Pre každú zo sietí uvedených dole určite minimálny celkový čas, ktorý zaberie dokončenie projektu, minimálne časové ohodnotenie E(v) u jednotlivých vrcholov a kritickú cestu. (a) Obrázok.. Časový plán projektu, určite kritickú cestu (b) 0 Obrázok.. Časový plán projektu, určite kritickú cestu Riešenie: (a) Minimálny celkový čas je, ohodnotenie E(v) je uvedené u vrcholov, kritická cesta je tučne vyznačená. 0 (b) Riešenie: Minimálny celkový čas je, ohodnotenie E(v) je uvedené u vrcholov, kritická cesta je tučne vyznačená. 0 0 Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

2 .. Pre nasledujúce siete nájdite maximálny tok a dokážte, že je tok maximálny nájdením minimálneho rezu, ktorého kapacita sa rovná hodnote vami nájdeného toku. (a) (b) Obrázok.. Nájdite maximálny tok a minimálny rez siete Obrázok.0. Nájdite maximálny tok a minimálny rez siete Riešenie: (a) Maximálny tok je, minimálny rez je zobrazený v druhom grafe. (b) Maximálny tok je, minimálny rez je zobrazený v druhom grafe... Použite Primov algoritmus, začínajúci na vyznačenom vrchole v, na nájdenie minimálnej kostry a určite jej váhu. (a) v Obrázok.. Nájdite minimálnu kostru. Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

3 (b) v Obrázok.. Nájdite minimálnu kostru. Riešenie: (a) Váha minimálnej kostry je, kostra je zvýraznená tučnými hranami v grafe. v (b) Váha minimálnej kostry je, kostra je zvýraznená tučnými hranami v grafe. v.. Použite Kruskalov algoritmus na nájdenie minimálnej kostry u grafov z príkladu. a určite jej váhu. Riešenie: Nájdené kostry sú rovnaké, ale keby niektoré z hrán s vyššími váhami mali rovnaké váhy, potom tak Kruskalov, aj Primov algoritmus by mohli viesť k rozdielnym kostrám kvôli náhodnosti výberu u rovnako ohodnotených hrán... Nech T je minimálna kostra ohodnoteného grafu G. Určte, či nasledujúce tvrdenia sú pravdivé: (a) Váha každej hrany patriacej do T je menšia alebo rovná váhe ľubovoľnej hrany z G nepatriacej do T. (b) Keď žiadne dve hrany nemajú rovnakú váhu, potom existuje len jedna kostra T. Riešenie: Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

4 (a) Kontrapríklad (b) Tvrdenie je pravdivé, Kruskalov algoritmus potom pri výbere hrán nemá voľbu, postup je striktne deterministický... Použite prehľadávanie do hĺbky na nájdenie kostry daného jednoduchého grafu. Zvoľte vrchol a ako koreň tejto kostry a predpokladajte, že vrcholy sú usporiadané abecedne (namiesto typického postupu prehľadávania vykresleného grafu zľava doprava ). a e h i c d b f g j Obrázok.. Nájdite kostru prehľadávaním do hĺbky. Riešenie: Keď začneme vo vrchole a a ideme v abecednom poradí, potom je kostra nájdená pomocou prehľadávania do hĺbky jednoznačne definovaná. Začneme vo vrchole a a vytvoríme cestu vyznačenú tučnými hranami až do bodu i predtým, ako sme nútení sa vrátiť. Z vrcholu h nejde cesta na žiaden ešte nenavštívený vrchol, ale z vrcholu g ide cesta na nenavštívený vrchol j. Dostávame kostru vyznačenú tučnými hranami... Použite prehľadávanie do hĺbky na nájdenie kostry daného jednoduchého grafu. Zvoľte vrchol a ako koreň tejto kostry a predpokladajte, že vrcholy sú usporiadané abecedne (namiesto typického postupu prehľadávania vykresleného grafu zľava doprava ). Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

5 Obrázok.. Nájdite kostru prehľadávaním do hĺbky. Riešenie: Keď začneme vo vrchole a a ideme v abecednom poradí, potom je kostra nájdená pomocou prehľadávania do hĺbky jednoznačne definovaná. Začneme vo vrchole a a vytvoríme cestu vyznačenú tučnými hranami až do bodu l... Použite prehľadávanie do šírky na nájdenie kostry daného jednoduchého grafu zadaného v cvičeniu.. Zvoľte vrchol a ako koreň tejto kostry a predpokladajte, že vrcholy sú usporiadané abecedne (namiesto typického postupu prehľadávania vykresleného grafu "zľava doprava"). Riešenie: Postup pridávania hrán do kostry T by bol {a,b},{a,c}{c,d},{d,e},{d,f},{e,h}.{f,g},{h,i},{g,j}.. Použite prehľadávanie do šírky na nájdenie kostry daného jednoduchého grafu zadaného v cvičeniu.. Zvoľte vrchol a ako koreň tejto kostry a predpokladajte, že vrcholy sú usporiadané abecedne (namiesto typického postupu prehľadávania vykresleného grafu "zľava doprava"). Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

6 Riešenie: Postup pridávania hrán do kostry T by bol {a,b},{a,d}{a,j},{a,l},{b,c},{d,e}.{d,g},{j,i},{j,k}, {e,f},{g,h}.0. Kedy musí byť daná hrana jednoduchého súvislého grafu v každej kostre tohto grafu? Riešenie: V prípade, že je táto hrana mostom... Kedy má jednoduchý súvislý graf práve jednu kostru? Riešenie: Vtedy, keď je graf stromom a kostra je s týmto grafom totožná V prípade, že graf obsahuje kružnicu o k hranách, potom existujú kostry obsahujúce akúkoľvek podmnožinu o k- týchto hranách... Použite prehľadávanie do hĺbky na nájdenie priradenia farieb vrcholom grafu s využitím iba trom farieb. Obrázok.. Nájdite farbenie farbami prehľadávaním do hĺbky. Riešenie: Uvádzame strom prehľadávania, kedy v prípade ešte nepoužitých farieb pokladáme všetky farby za ekvivalentné a preto neuvádzame permutácie nájdeného riešenia s výmenou farieb medzi množinami vrcholov rovnakej farby. V takom prípade existuje iba jedno riešenie. Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

7 ... Použite prehľadávanie do hĺbky na nájdenie riešenia problému n dám na šachovnici pre zadané hodnoty n. (a) n= (b) n= (c) n= Riešenie: (a) Pre šachovnicu začneme prehľadávanie umiestnením dámy na pozícii (,). Jediná možnosť na umiestnenie dámy v druhom stĺpci je pozícia (,). Teraz neexistuje pozícia, na ktorú umiestniť dámu v treťom stĺpci. Preto sa vrátime v prehľadávaní naspäť a pokúsime sa umiestniť prvú dámu na pozíciu (,). Potom nie je možné umiestniť dámu do druyhého stĺpca. Na základe symetrie nepotrebujeme uvažovať pozíciu prvej dámy v štvorci (,), bola by ekvivalentná pozícii (,) cez stredovú čiaru. Tým sme ukázali, že riešenie neexistuje. (b) Začneme s umiestnením dámy v pozícii (,). Prvá pozícia, kam sa dá umiestniť dáma v druhom stĺpci, je (,). Jediná možná pozícia v treťom stĺpci je (,), podobne vo štvrtom stĺpci (,) a v piatom (,). Na nájdenie tohto riešenia sme našťastie vôbec nepotrebovali použiť spätné prehľadávanie. (c) Časť stromu riešení odpovedajúca umiestneniu prvej dámy na pozíciu (,) je dosť veľká a nevedie k riešeniu. (Druhá dáma môže byť na pozíciách (,), (,), (,), alebo (,). Keď je druhá dáma na pozícii (,), potom tretia môže byť na pozíciách (,) alebo (,). Po ďalšom preskúmaní a návratoch zistíme, že pre pozíciu začínajúcu na (,) neexistuje riešenie. Ako ďalšiu začneme pozíciu (,) pre prvú dámu. Po niekoľkých návratoch v strome riešení nájdeme umestnenie zvyšných dám na pozíciách (,), (,), (,), (,), a (,)... Použite spätné prehľadávanie na nájdenie podmnožiny, pokiaľ existuje, pre množinu {,,,,,} so súčtom rovným (a) (b) 0 Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

8 Riešenie: (a) Po prekročení hľadaného súčtu sa už nepokračuje hlbšie do stromu prehľadávania a pridávajú sa vždy iba menšie čísla, ako je už najmenšie obsiahnuté vo vytváranej podmnožine. {} Suma=0 {} Suma= {} Suma= {} Suma= {} {} {} Suma= Suma= Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma=0 {,} {,} {,} Suma= Suma= Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= (b) Po prekročení hľadaného súčtu sa už nepokračuje hlbšie do stromu prehľadávania a pridávajú sa vždy iba menšie čísla, ako je už najmenšie obsiahnuté vo vytváranej podmnožine. Pre prípady, ktoré by prekročili 0, uvádzame kvôli úspore miesta iba šípky. Bodkované šípky značia, že celková suma pre akúkoľvek kombináciu zloženú zo zvyšných čísel nemôže dosiahnuť 0 a preto už podstrom riešení nie je uvádzaný (aj keď do prehľadávania do hĺbky by sa takéto osekávanie stromu musel špeciálne zaviesť). {} Suma=0 {} Suma= {} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma=0 {,,} {,,} Suma= Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} Suma= {,,} {,,} Suma= Suma= {,,} Suma= {,,,} Suma=0 {,,,} Suma=.. Vysvetlite, ako je možné prehľadávanie do hĺbky využiť na nájdenie cesty v múzeu, pri zadanej štartovnej pozicii a cieľovej pozícii. Múzeum má plán poschodia nakreslený na nasledujúcom obrázku. (a) Nakreslite graf reprezentujúci plán poschodia, kde každá miestnosť bude ako vrchol a každé dvere ako hrana. (b) Urobte prehľadávanie do šírky a do hĺbky, so štartom v miestnosti a cieľom v miestnosti. (c) Porovnajte, ktorý zo spôsobov prehľadávania by ste odporučili. 0 Obrázok.. Plán múzea. Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

9 Riešenie: (a) Graf reprezentujúci plán poschodia: (b) Grafy prehľadávania do šírky a do hĺbky, so štartom v miestnosti, kedy cieľom je dojsť do miestnosti. Uvádzame kostru vytváranú pri prehľadávaní. Pri prehľadávaní do šírky grafy (A),(B) aj do hĺbky grafy (C),(D) uvádzame najprv graf, kedy prehľadávame miestnosti podľa poradia najprv vľavo, ako druhý uvádzame graf pre poradie najprv vpravo : (c) Pokiaľ meriame iba počet nových dverí, ktorými sme prešli, najvýhodnejšie je prehľadávanie do hĺbky podľa poradia najprv vľavo, potom ide prehľadávanie do šírky podľa poradia najprv vľavo, za ním ide prehľadávanie do šírky podľa poradia najprv vpravo, a nakoniec ide prehľadávanie do hĺbky podľa poradia Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,

10 najprv vpravo. Samozrejme, pri prehľadávaní neznámeho grafu sa nedá doporučiť dopredu najlepšia stratégia. Cvičenia z Diskrétnej matematiky, :0,