= + = + = 105,3 137, ,3 137,8 cos37 46' m 84,5m Spojovací chodba bude dlouhá 84,5 m. 2 (úhel, který spolu svírají síly obou holčiček).

Transkript

1 4.4.4 Trigonometrie v praxi Předpoklady: 443 Nejdřív něco jednoduchého na začátek. Př. : vě přímé důlní chodby ústící do stejného místa svírají úhel α = 37 46' mají být spojeny chodbou, spojující bodu v první chodbě s bodem v druhé chodbě. Jak dlouhá bude spojovací chodba, je-li = 37,8m a = 5,3m? ody, a tvoří trojúhelník, nakreslíme obrázek. Musíme pouze dopočítat třetí stranu trojúhelníka kosinová věta. a = b + c ab cosα = + = + = a b c abcosα 5,3 37,8 5,3 37,8 cos37 46' m 84,5m Spojovací chodba bude dlouhá 84,5 m. Př. : Na panenku působí v jedné rovině dvě síly navzájem se přetahujících sester. Urči výslednou sílu působící na panenku, pokud: F = 5 N ; F = N ; α = 37 (úhel, který spolu svírají síly obou holčiček). Síly skládáme (poznatek z fyziky) pomocí rovnoběžníku sil nebo řazením sil za sebe. F F F F F Když doplníme obrázek na rovnoběžník, vzniknou dva trojúhelníky se stranami F ; F ; F. Pro výpočet využijeme modrý trojúhelník. Známe dvě strany a úhel mezi nimi, chceme protější stranu kosinová věta. F = F + F F F cos π α F = F + F F F cos π α = cos π 37 N =,8 N

2 Úhel β určíme ze stejného trojúhelníku pomocí sinové věty pomocí spočítané velikosti výsledné síly F. F F F = sin β = sin ( π α ) = sin ( 8 37 ) =,8 β = 5 45'. sin β sin π α F,8 Na panenku působí výsledná síla,8 N, která se směrem síly F svírá úhel 5 45'. Př. 3: Sbírka Trigonometrie v praxi Př Př. 4: Urči šířku řeky, jestliže na jednom přímém břehu byla vytýčena vzdálenost = 3m a z obou těchto bodů byl zaměřen bod na druhém břehu tím, že byly změřeny úhly = α = 65 a = β = 37. Nakresli náčrtek situace. hceme v trojúhelníku určit výšku. oplníme obrázek tak, aby vznikl trojúhelník, ze kterého by bylo možné výšku určit. 3m Výšku by bylo možné určit z pravoúhlého trojúhelníka, neznáme v něm však ani jednu stranu. Strana jde však určit pomocí sinové věty z trojúhelníku. 3m Trojúhelník Platí: = musíme dopočítat úhel γ. sin β sin γ α + β + γ = 8 γ = 8 α + β = = 78 sin β = = sin β sin γ sinγ Teď můžeme příklad dopočítat. Trojúhelník sinα = = sinα sin β osadíme za : = sinα = sinα sinγ sin β sin 37 osadíme: = sinα = 3 sin 65 m = 67, 3m sin γ sin 78

3 Šířka řeky je 67,3 m. Předchozí příklad je pro praktické trigonometrické úlohy typický. Hledanou vzdálenost můžeme určit ze vhodného trojúhelníku, ve kterém však nejdříve musíme určit libovolnou stranu (nebo strany dvě, když známe pouze jeden úhel). Ve složitějších příkladech pak nepočítáme ze zadání hned konečný trojúhelník, ale musíme nejdříve spočítat trojúhelník, ze kterého teprve počítáme trojúhelník konečný. Někdy je postupných trojúhelníků více. Při hledání cesty od zadání k výsledku můžeme postupovat dvěma způsoby (nejvýhodnější je většinou oba postupy kombinovat): od začátku: najdeme trojúhelník, který je určen ze zadání, a z něj postupně počítáme další vzdálenosti a úhly, od konce: najdeme trojúhelník, ze kterého můžeme spočítat výsledek, a postupně koukáme, jak jej se k němu dostat ze zadání. V trigonometrických příkladech se často používají tři pojmy: výškový úhel úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět ve výšce s vodorovnou rovinou, směr pozorování výškový úhel vodorovná rovina hloubkový úhel úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět v hloubce s vodorovnou rovinou, vodorovná rovina hloubkový úhel směr pozorování zorný úhel úhel, který spolu svírají směry, kterými pozorujeme dvě nejodlehlejší místa předmětu (nebo také úhel pod kterým vidíme předmět). odatek: Právě velikost zorného úhlu rozhoduje o tom, jestli dokážeme navzájem rozlišit dva body na předmětu, proto při pozorování podrobností přibližujeme předměty k oku, abychom zorný úhel zvětšili. 3

4 Př. 5: Pilot letadla letícího vodorovně rychlostí 5 m/s vidí řídící věž letiště v hloubkovém úhlu α =. Po dvou sekundách letu přímo k věži se úhel zvětšil na α = 45. Urči výšku letu letadla. V s h V Výšku můžeme spočítat z trojúhelníku VV, v něm však neznáme žádnou stranu. Musíme tedy v trojúhelníku V určit společnou stranu V musíme v trojúhelníku V dopočítat úhly. s V a h V Výpočet strany a = V z trojúhelníku V (modrý trojúhelník): Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu sinová věta. α + 8 α + ω = 8 ε = α α = 45 = 5. Určíme úhel ω : s a sinα sinω sinα sinω = a = s. Výpočet strany h = VV z trojúhelníku VV (zelený trojúhelník): h Trojúhelník je pravoúhlý, platí: sinα = h = a sinα. a sinα osadíme za a: h = a sinα = s sinα. sinω sinα sin Vypočteme hodnotu: h = s sinα = 5 sin 45 m = 86 m. sinω sin 5 Letadlo letí ve výšce 86 m. Něco těžšího na závěr. Př. 6: Urči vzdálenost dvou nepřístupných bodů,, jestliže znáš vzdálenost dvou přístupných bodů, = 5km a následující úhly: = α = 4 5', = γ = 87 3', = β = 43 55' a = δ = 6 4'. Nakreslíme si obrázek. 4

5 Vzdálenost bodů, můžeme určit ze dvou trojúhelníků: nebo. U obou známe pouze jeden úhel, musíme tedy spočítat obě další strany. Na volbě nezáleží, zvolíme například trojúhelník musíme určit strany a. Určení strany : použijeme trojúhelník. Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu sinová věta α + δ + ω = 8 ω = 8 α + δ = 8 4 5' + 6 4' = 3 5'. Určíme úhel ω : sinα sin 4 5' = = = 5 km = 9,53 km sinω sinα sinω sin 3 5' Určení strany : použijeme trojúhelník. Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu sinová věta. γ + β + ε = 8 ε = 8 γ + β = ' ' = 48 35'. Určíme úhel ε : sin γ sin 87 3' = = = 5 km = 9,98 km sin ε sin γ sin ε sin 48 35' Určení strany v trojúhelníku 5

6 Známe dvě strany a úhel mezi nimi, chceme třetí stranu kosinová věta. = + cos δ β = + cos δ β = + = 9,98 9,53 9,98 9,53cos 6 4' 43 55' km,57 km Vzdálenost bodů je,6 km. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je jedním z těch, které zcela ztrácí smysl, když se řeší na tabuli. Jeho hlavním úskalím je orientace a tu nejde nacvičit jinak než samostatným výpočtem. Př. 7: Vypočti předchozí příklad tím, že určíš trojúhelník. Zvolíme trojúhelník musíme určit strany a. Určení strany : použijeme trojúhelník. Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu sinová věta α + δ + ω = 8 ω = 8 α + δ = 8 4 5' + 6 4' = 3 5'. Určíme úhel ω : sinδ sin6 4' = = = 5 km = 7,83km sinω sinδ sinω sin 3 5' Určení strany : použijeme trojúhelník. Známe jednu stranu a všechny úhly, chceme druhou stranu sinová věta. 6

7 Určíme úhel ε : γ β ε ε ( γ β ) + + = 8 = 8 + = ' ' = 48 35'. sin β sin 43 55' = = = 5 km = 3,87 km sin ε sin β sin ε sin 48 35' Určení strany v trojúhelníku Známe dvě strany a úhel mezi nimi, chceme třetí stranu kosinová věta. = + cos γ α = + cos γ α = + = 3,87 7,83 3,87 7,83cos 87 3' 4 5' km, 58 km Vzdálenost bodů je,6 km. odatek: Rozdíl jedné setiny při výpočtu vzdálenosti je způsoben zaokrouhlováním při postupných výpočtech předchozích vzdáleností. Př. 8: Petáková: strana 5/cvičení 87 b) strana 5/cvičení 88 Shrnutí: 7