Fyzika polovodičů pro optoelektroniku I
|
|
- Jana Němcová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Fyzika polovodičů pro optoelektroniku I Doc. Ing. Jan Franc, DrSc. Prof. RNDr. Pavel Höschl, DrSc. (poslední úprava dne. ledna 7)
2 Obsah Obsah Seznam obrázků 3 Seznam tabulek 5 Krystaly 7. Krystalická struktura Zavedení Millerových indexů Reciproká mřížka Difrakce Laueho formulace difrakční podmínky Poruchová energie v přiblížení volných elektronů Homogenní polovodič 6. Statistika elektronů Rozdělovací funkce elektronů Elektrony ve vodivostním pásu Vlastnosti rozdělovací funkce Rozdělovací funkce elektronů v krystalu Výpočet koncentrace elektronů ve vodivostním pásu Statistika děr Příměsi Monovalentní donor Monovalentní akceptor Divalentní donor Divalentní akceptor Stanovení Fermiho meze Podmínka elektrické neutrality Nedegenerovaný kompenzovaný N-typ Boltzmannova kinetická rovnice Odvození Boltzmannovy kinetické rovnice
3 OBSAH 3. Platnost Boltzmannovy kinetická rovnice Stanovení nerovnovážné rozdělovací funkce Fyzikální význam relaxační doby Relaxační doba - rozptyl na podélných akustických fononech Relaxační doba - rozptyl na ionizovaných příměsích Relaxační doba - rozptyl na podélných optických fononech Řešení Boltzmannovy kinetické rovnice Hustota elektrického proudu a hustota proudu energie bez vnějšího magnetického pole Hustota elektrického proudu a hustota proudu energie pro magnetické pole s jednou nenulovou složkou Transportní jevy Transportní jevy bez magnetického pole Elektrická vodivost Termoelektrická síla (Seebeckův jev) Tepelná vodivost Transportní jevy při nenulovém magnetickém poli Podélné jevy v magnetickém poli Příčné jevy v magnetickém poli Polovodiče se smíšenou elektrickou vodivostí Kinetika nosičů Rovnice kontinuity elektronů Odvození rovnice kontinuity Odvození balanční rovnice hybnosti a rovnice pro proudovou hustotu Teplota nosičů Odvození drift-difúzní rovnice Celková proudová hustota Elektrony a díry v nerovnovážném stavu Difúzní délka minoritních nosičů Poissonova rovnice Pohyb nosičů proudu v homogenním polovodiči Vedení proudu ve vakuu Vedení proudu v izolantu Ambipolární pohyblivost Vliv rekombinačních center Schockleyův-Readův model Nehomogenní systémy 9 6. Slabě nehomogenní polovodič Přechod P N Voltampérová charakteristika ideálního přechodu P N Kontakt kov-polovodič (M S)
4 OBSAH Kontakt M S s polovodičem typu N Kontakt M S s polovodičem typu P Elektron v magnetickém poli Klasický pohled Elektron v magnetickém poli B a v elektrickém poli E B. 7. Elektron v magnetickém poli kvantové efekty
5 Seznam obrázků. Millerovy indexy Indexy roviny v přímé mřížce Vzdálenost rovin v reciproké mřížce Braggova difrakční podmínka Laueho formulace difrakční podmínky Difrakce na hranici Brillouinovy zóny Fermiho rozdělovací funkce Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu-degenerovaný případ Aproximace Fermiho integrálu Energetické schéma homogenního polovodiče Pásové schéma monovalentního donoru Pásové schéma monovalentního akceptoru Pásové schéma divalentního donoru Pásové schéma divalentního akceptoru Klasifikace polovodiče podle stupně dotace a odpovídající poloha Fermiho hladiny Teplotní závislost polohy Fermiho hladiny Průběh koncentrace elektronů Elektrická vodivost poloha vzorku v poli Termoelektrická síla - schéma jevu Termoelektrická síla poloha vzorku Peltierův článek Ustálení koncetrace nosičů Pohyb nosičů v homogenním elektrickém poli Pásový model rekombinace na hlubokých rekombinačních centrech Vznik přechodu pn Pásové schéma kovu a polovodiče typu N před spojením Pásové schéma kovu a polovodiče typu N po spojení Pásové schéma kovu a polovodiče typu P před spojení
6 SEZNAM OBRÁZKŮ Pásové schéma kovu a polovodiče typu P po spojení Trajektorie elektronu v magnetickém poli Kvantování energie elektronu v magnetickém poli
7 Seznam tabulek. Tabulka aproximací Charakteristika transportních jevů
8 Kapitola Krystaly. Krystalická struktura Krystalické látky uvažujeme jako periodické uspořádání základních stavebních jednotek. Za počátek krystalografie se považuje experimentální důkaz krystalové struktury, který provedl William Lawrence Bragg (93) pomocí RTG paprsků. Základním konceptem libovolného krystalického tělesa je Bravaisova mřížka (Auguste Bravais), která specifikuje periodické uspořádání opakujících se základních stavebních jednotek (atomů, molekul, iontů). Definice Bravaisovy mřížky: Bravaisova mřížka sestává z bodů určených v prostoru vektory R = n a + n a + n 3 a 3, (.) kde a i jsou 3 vektory neležící v jedné rovině (nazývají se primitivní vektory), n i jsou celá čísla. Bravaisova mřížka charakterizuje geometrické uspořádání těchto jednotek nezávisle na typu jednotky (je to čistě geometrický pojem). Primitivní buňka je část prostoru, která při translaci přes všechny vektory Bravaisovy mřížky vyplní celý prostor bez překryvů a beze zbytků. Elementární buňka má vlastnosti primitivní buňky, ale může obsahovat více bodů Bravaisovy mřížky, tj. vyplní prostor beze zbytků a překryvů pro některé vektory Bravaisovy mřížky. Volba primitivních vektorů ani primitivní buňky není jednoznačná, ale její objem ano. Primitivní buňka obsahuje právě jeden bod Bravaisovy mřížky. Je-li n hustota bodů v Bravaisovy mřížce a v objem primitivní buňky, pak platí: nv = Primitivní buňka nemusí mít symetrii Bravaisovy mřížky. Proto je z praktického hlediska vhodné najít takovou základní stavební jednotku, která symetrii Bravaisovy mřížky má. Řešením tohoto problému je: 7
9 KAPITOLA. KRYSTALY 8. Výběr takové primitivní buňky, která symetrii Bravaisovy mřížky má Wignerova- Seitzova buňka (oblast prostoru, která je bližší k danému bodu prostoru, než k jakémukoliv jinému mřížkovému bodu). Pro kubickou prostorově centrovanou mřížku (bcc) je Wignerova-Seitzova buňka osekaný osmistěn, pro kubickou plošně centrovanou mřížku (fcc) dvanáctistěn.. Definovat jako základní stavební jednotku dané krystalové struktury vhodně zvolenou elementární buňku. Koordinační číslo určuje počet nejbližších sousedů Příklady počtu nejbližších sousedů: kubická prostá mřížka 6 kubická prostorově centrovaná mřížka (body centered cubic, bcc) 8 (Fe, K, W) kubická plošně centrovaná mřížka (face centered cubic, fcc) (Au, Ag, Al, Pt, Ca) Krystalová struktura je Bravaisova mřížka s bází. Je to struktura získaná identickými kopiemi stejných fyzikálních jednotek zasazených do všech bodů Bravaisovy mřížky. diamantová struktura dvě kubické plošně centrované mřížky posunuté o /4 tělesové úhlopříčky; ve všech bodech je stejný atom (C, Si, Ge) sfaleritová struktura dvě kubické plošně centrované mřížky posunuté o /4 tělesové úhlopříčky, body příslušející jedné fcc mřížce jsou obsazeny jedním typem atomů, body druhé druhým typem (GaAs, CdTe, InP, ZnTe, HgTe, ZnSe) hexagonální struktura dvě hexagonální Bravaisovy mřížky posunuté takto: vertikálně o c/ a horizontálně tak, že body jedné leží nad středy trojúhelníků (první), tvořeny sousedními body roviny, třetí řada koulí přesně nad první, atd. (kulečníkové koule nad sebou ABAB... ) (Cd, Hg, Ti) struktura NaCl kubická plošně centrovaná mřížka s bází tvořenou dvěma atomy, každý iont jednoho typu má 6 nejbližších sousedů typu druhého (NaCl, KCl) struktura CsCl kubická prostorově centrovaná mřížka s bází tvořenou dvěma atomy. Z hlediska symetrie je Bravaisova mřížka charakterizována všemi operacemi zachovávajícími vzdálenosti mezi body (operacemi symetrie), které převedou mřížku v sebe samu. Tento soubor operací se nazývá grupa symetrie Bravaisovy mřížky a sestává z. translace přes vektory Bravaisovy mřížky,
10 KAPITOLA. KRYSTALY 9. operace, které zachovávají nějaký pevný bod, 3. operace složené z prvních dvou. Soubor operací typu definuje tzv. bodovou grupa Bravaisovy mřížky (rotace, reflexe, inverze). Bylo zjištěno, že existuje celkem 7 bodových grup, které Bravaisova mřížka může mít Těmto 7 bodovým grupám pak odpovídá 7 tzv. krystalových soustav. Pokud se neomezujeme na bodovou grupu, ale na plně symetrickou grupu, dostaneme 4 grup, které může Bravaisova mřížka mít, tj. z hlediska symetrie existuje 4 Bravaisových mřížek (Bravais, 845). Přehled krystalových soustav (číslo v závorce udává počet Bravaisových mřížek příslušejících dané soustavě): kubická (3) tetragonální () ortorombická (4) monoklinická () triklinická () trigonální () hexagonální () Provedení podrobné analýzy na reálné krystalové struktuře. tj. při zahrnutí báze, která nemusí mít maximální symetrii Bravaisovy mřížky, vede k výsledku, že existuje 3 grup symetrie (prostorových grup). V případě omezení se na netranslační symetrii pak existuje 3 krystalových bodových grup.. Zavedení Millerových indexů Millerovy indexy soustavy rovin (viz obrázek.) jsou čísla h, k, l, pro něž platí: h : k : l = m : n : p (.) a h, k, l jsou nejmenší celá čísla splňující tento vztah. Kromě jedné nemají žádného společného dělitele a vztahují se k celé soustavě rovin, které jsou v krystale ekvivalentní.
11 KAPITOLA. KRYSTALY pz z y x ny mx Obrázek.: Millerovy indexy, značení....3 Reciproká mřížka Základní vlastnost krystalu je periodické uspořádání při posunutí krystalu o vektor R n (n = (n, n n 3 ), n i Z) se krystal ztotožní sám se sebou, fyzikální vlastnosti se při translaci nemění (např.: koncentrace elektronů, elektrický potenciál V (r), V (r) = V (r + R)). Pro periodické funkce V (r) = V (r + R) je výhodné (pro zkoumání jejich vlastností) provést Fourierovský rozklad: V (r) = R V b exp [ib r], (.3) kde b je zatím neznámý vektor závislý na vlnovém vektoru k. = b V (r + R n ) = b V b exp [ib r] exp [ib R n )] = b V b exp [ib (r + R n )] = (.4) V b exp [ib r] (.5) exp [ib R n )] = = exp[iπm]; m Z (.6) b R n = πm (.7) n (b a ) + n (b a ) + n 3 (b a 3 ) = πm. (.8) Hledáme vektory b i (primitivní vektory reciproké mřížky), splňující tento vztah. Definujme
12 KAPITOLA. KRYSTALY např. a a 3 b = π a (a a 3 ), (.9) a 3 a b = π a (a a 3 ), (.) a a b 3 = π a (a a 3 ). (.) Pro zkoušku musí platit b i a j = πδ ij. Pro libovolný vektor reciproké mřížky G R tedy platí G R = hb + kb + lb 3, (.) G R R = π(hn + kn + ln 3 ). (.3) Výraz (hn +kn +ln 3 ) je celé číslo, pokud h, k, l jsou celé čísla. Z toho plyne, že podmínky periodicity jsou splněny, pokud h, k, l Z a reciproká mřížka je Bravaisova mřížka. Vektory b i mají rozměr převrácené délky. Nekonečná periodická mřížka sestrojená pomocí translačních vektorů b i se nazývá reciproká mřížka. Platí b (b b 3 ) = (π)3 Ω, kde Ω = a (a a 3 ). (.4) pa 3 a 3 a a na ma Obrázek.: Indexy roviny v přímé mřížce Hledáme vektor kolmý k rovině na obrázku.. Musí pro něj platit (hb + kb + lb 3 ) (ma na ) = (hm kn) = (.5) hm = kn, hm = lp, lp = kn (.6) m = h, n = k, p = l (.7)
13 KAPITOLA. KRYSTALY h, k, l jsou Millerovy indexy roviny k níž je vektor G hkl = (hb + kb + lb 3 ) kolmý, tj. vektor G hkl je kolmý k rovině (hkl). Dále ukážeme, že vzdálenost dvou sousedních rovin systému je d hkl = y G π. hkl v x Obrázek.3: Vzdálenost rovin v reciproké mřížce K obrázku.3 (využijeme definici roviny): a k (hb + kb + lb 3 ) G hkl n = G hkl G hkl, (.8) r n = konst, (.9) = π G hkl. (.) Pro každé m je nejkratší vektor odpovídající vzdálenosti dvou sousedních rovin rovný = r, kde h je Millerův index. a h.4 Difrakce V roce 93 W. L. Bragg pozoroval, že krystalické látky vykazují charakteristické obrazce při odrazu RTG paprsků. Předpokládal, že dochází k odrazu na rovinách a že paprsky odražené od sousedních rovin interferují konstruktivně. Braggova formulace: sin θ = x, (.) d hkl n je řád odpovídající reflexe, d hkl sin θ = nλ, (.) λ d hkl λ < d hkl ( ) λ < d hkl (.3) d hkl je obvykle Å =, nm a tím vlnová délka λ odpovídá RTG paprskům, elektronům nebo neutronům.
14 KAPITOLA. KRYSTALY 3 θ x d hkl Obrázek.4: Braggova difrakční podmínkan.5 Laueho formulace difrakční podmínky Předpokládejme, že krystal se skládá z identických mikroskopických objektů (atomů, iontů) umístěných v bodech R Bravaisovy mřížky. Každý z objektů může vyzářit dopadající záření v libovolném směru. Ostré píky budou pozorovány pouze ve směrech a při vlnových délkách, pro které paprsky rozptýlené z různých mřížkových bodů budou interferovat konstruktivně. d cos θ + d cos θ = d n d n = d (n n ) = mλ, m Z, (.4) d (k k ) = πm. (.5) k k θ θ d k k Obrázek.5: Laueho formulace difrakční podmínky Obecně R (k k ) = πm, (.6) exp [i (k k ) R] =, (.7) pro všechny Bravaisovy vektory R. To odpovídá definici reciproké mřížky, tj. k k je vektor reciproké mřížky, G = k k. Pokud je známa Bravaisova mřížka krystalu, lze určit Bravaisovou mřížku reciprokého krystalu.
15 KAPITOLA. KRYSTALY 4 Při pružném rozptylu platí k = k = k k = k k G + G, (.8) G = k G, (.9) ( ) ( ) ( ) G G = k = k G G cos θ =. (.3) G k k Obrázek.6: Difrakce na hranici Brillouinovy zóny Toto je jiná formulace difrakční podmínky. Každý vektor k vedený z počátku a končící na rovině vedené jako kolmice v polovině spojnice dvou sousedních bodů, splňuje při pružném rozptylu difrakční podmínku. Takto popsaná rovina tvoří část hranice zóny. Svazek záření dopadající na krystal bude difraktovaný, jestliže jeho velikost a směr splňují podmínku k G ( ) = G. (.3) Směr difraktovaného paprsku je dán vektorem k G. Oblast vyznačená jako prostor mezi počátkem a výše popsanými rovinami se nazývá Brillouinova zóna. Je to vlastně Wignerova- Seitzova buňka v reciproké mřížce..6 Poruchová energie v přiblížení volných elektronů (Pomocí shora uvedené formulace difrakční podmínky lze vysvětlit vznik zakázaných pasů v polovodičích. Řešení energetického spektra elektronů v krystale při použití metody téměř volných elektronů vede k opravě v rámci prvního řádu poruchového počtu E = m V g π G + G k. (.3) g
16 KAPITOLA. KRYSTALY 5 Tato oprava k energii volných elektronů je malá, pokud není jmenovatel zlomku roven nule. Když vlnový vektor elektronu k splňuje pro některý vektor reciproké mříže G podmínku G + k G =, je téměř volný pohyb elektronů silně porušen. Tato porucha má charakter zrcadlového odrazu elektronové vlny od atomové roviny kolmé k vektoru G (Braggova difrakční podmínka). Řešením rovnice pro přiblížení volných elektronů dostaneme v okolí první Brillouinovy zóny (k = ± π a ) Ek = k m ± V g. (.33) Energetické spektrum pak nabývá charakter pásů. V neporušených mřížích se elektron nemůže vyskytovat v zakázaném pásu.
17 Kapitola Homogenní polovodič. Statistika elektronů Elektrony se v tepelné rovnováze chovají jako soustava nabitých nerozlišitelných částic. Na dovolených energetických hladinách jsou rozděleny Fermiho statistikou. Energetické stavy rozlišujeme: spojité kontinuum (vodivostní pás, příměsový pás a valenční pás), diskrétní (příměsi)... Rozdělovací funkce elektronů Rozdělovací funkce elektronů má tvar f (E S ) = n S g S = [ + exp ], (.) E S E F k B T kde n S je počet elektronů ve stavu s energií E S, g S počet stavů s energií E S, E F Fermiho energie (chemický potenciál), k B označuje Boltzmannovu konstantu a T teplotu. f (E) 4k B T E F E Obrázek.: Fermiho rozdělovací funkce 6
18 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 7 8k B T E dn de g(e) f (E) dn g(cale), de E F k B T Obrázek.: Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu.. Elektrony ve vodivostním pásu Elektrony v tepelné rovnováze s krystalovou mříží se ve vodivostním pásu chovají jako volné částice s efektivní hmotností m e. Pro rozdělovací funkci platí f (E k ) = + exp [ E(k) EF k B T..3 Vlastnosti rozdělovací funkce ]. (.) Na obr.. je znázorněn průběh rozdělovací funkce f (E k ) pro T = a T >. Podle polohy Fermiho energie při teplotě T se mohou elektrony v krystalu chovat jako: nedegenerovaný elektronový plyn definovaný podmínkami ( exp E ) F, při E F > 4. (.3) k B T k B T V tomto případě Fermiho mez leží v zakázaném pásu alespoň 4k B T od vodivostního pásu. Fermiho rozdělení se redukuje na Boltzmannovo rozdělení. [ ] EF E(k) f (E k ) = exp. (.4) k B T silně degenerovaný elektronový plyn vyhovující vztahům ( ) EF E F exp, při >. (.5) k B T k B T Fermiho mez leží hluboko ve vodivostním pásu (například u kovů). částečně degenerovaný elektronový plyn 4 < E F k B <. (.6)
19 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 8 8k B T E dn de g(e) E F k B T f (E) g(e), dn de Obrázek.3: Koncentrace elektronů ve vodivostním pásu-degenerovaný případ..4 Rozdělovací funkce elektronů v krystalu Při stanovení rozdělovací funkce elektronů budeme hledat počet rozlišitelných způsobů, kterým je možné daný počet částic rozdělit do určitého počtu krabiček. V našem případě částice představují elektrony a krabičkami jsou vlastní stavy systému. Těmi mohou být stavy v pásu, určené kvantovými čísly k x, k y, k z nebo příměsové stavy, charakterizované vlastními kvantovými čísly. Důležitým předpokladem je, že elektron v jednom stavu (krabičce) musí jen slabě interagovat s elektrony v ostatních stavech. V takovém případě je celkový Hamiltonián systému pouhým součtem individuálních Hamiltoniánů. Elektrony v systému přicházejí z valenčního pásu nebo z donorových stavů. Tyto elektrony mohou být distribuovány mezi stavy ve valenčním pásu, vodivostním pásu a mezi donorová a akceptorová centra. Vodivostní pás rozdělme na energetické úseky E C. Každý tento úsek obsahuje velké množství stavů, ale velikostně je menší než E charakterizující přesnost měření. Předpokládejme, že i-tý úsek ( E Ci ) obsahuje n Ci elektronů rozmístěných do N Ci stavů. Počet rozlišitelných způsobů, jak rozdělit n Ci elektronů do N Ci stavů je W Ci = ( NCi n Ci ) = N Ci! n Ci!(N Ci n Ci )!. (.7) Počet rozlišitelných způsobů, jak rozmístit všechny vodivostní elektrony je W C = i W Ci = i N Ci! n Ci!(N Ci n Ci )!. (.8) Analogicky pro valenční pás platí W V = j W Vj = j N Vj! n Vj!(N Vj n Vj )!. (.9) Zavedení příměsí do statistiky je relativně jednoduché za předpokladu, že každá příměs má jen jeden stav v zakázaném pásu (toto omezení v pozdějším výkladu již nebude uplatňováno). To znamená, že obsahuje-li konkrétní atom n a + elektronů, je potřeba energie
20 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 9 E Ik k excitaci jednoho z elektronů (E Ik < E g ). Obsahuje-li atom n a elektron, je potřeba k excitaci jednoho elektronu energie větší než E g. Bez degenerace je počet možných permutací. ( ) NIk N Ik! = n Ik!(N Ik n Ik )!. (.) n Ik Zde N Ik je celkový počet atomů příměsi typu k, z nichž n Ik obsahuje n a + elektronů a zbytek n a elektronů. Navíc příslušné elektrony (n a nebo n a + ) na každém atomu mohou být permutovány g způsoby, kde g je degenerace příslušného stavu. Například mámeli tři ekvivalentní elektrony v orbitalu, který může obsáhnout celkem elektronů šest, je degenerace g = 6! 3!3! =. Předpokládáme, že g je degenerace stavu s n a + elektrony a g degenerace stavu s n a elektrony. Pak díky tomu, že stavy obsahující o jeden elektron navíc jsou obsazeny n Ik extra permutací, takže nakonec elektrony a počet stavů s n a elektrony je N Ik n Ik, máme g n I k g (N I k n Ik ) W Ik = gn Ik g (N I k n Ik ) N Ik! n Ik!(N Ik n Ik )!. (.) Máme-li více příměsí (donorů či akceptorů), je výsledný počet jejich obsazení W I = k W Ik. (.) Celkový počet rozlišitelných způsobů, jak rozdělit elektrony v systému, je W = W C W V W I. (.3) Věta: (plynoucí z teorie pravděpodonosti) Přepdokládáme-li, že každá permutace, jejímž výsledkem je stejná celková energie, je stejně pravděpodobná, pak nejpravděpodobnější rozdělení mezi energetické úseky je to, které maximalizuje W. Nyní spolu se Stirlingovým vzorcem ln N! = N ln N N tuto větu aplikujeme na náš případ. Vzhledem ke stejné monotonii W i i ln W můžeme studovat jednodušší linearizovanou závislost ln W. Po rozepsání dostaneme ln W = i N Ci ln N Ci n Ci ln n Ci (N Ci n Ci ) ln(n Ci n Ci )+ + j + k N Vj ln N Vj n Vj ln n Vj (N Vj n Vj ) ln(n Vj n Vj )+ N Ik ln N Ik n Ik ln n Ik (N Ik n Ik ) ln(n Ik n Ik )+ + n Ik ln g k + (N Ik n Ik ) ln g k. (.4)
21 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Při maximalizaci ln W musí být zachován celkový počet elektronů a celková energie. Máme tedy dvě podmínky F (n) = i n Ci + j n Vj + k n Ik = N e, (.5) F (n, E) = i n Ci E Ci + j n Vj E Vj + k n Ik E Ik = E t (.6) potřebné k užití metody Lagrangeových multiplikátorů n e {ln W + α[n e F (n)] + β[e F F (n, E)]} =. (.7) Necht je postupně n e = n Ce, n Ve, n Ie, kde index e označuje vybraný elektron. Pak ln W N Ce n Ce = ln n Ce + + ln(n Ce n Ce ) = n Ce N Ce n Ce N Ce n Ce = ln(n Ce n Ce ) ln n Ce + = ln(n Ce n Ce ) ln n Ce, (.8) Tedy celkem α[n e F (n)] = α F (n) = α, n Ce n Ce (.9) β[e t F (n, E)] = βe Ce. n Ce (.) n Ce {ln W + α[n e F (n)] + β[e t F (n, E)]} = Analogicky dostaneme a Z těchto vztahů zřejmě plyne = ln(n Ce n Ce ) ln n Ce α βe Ce =. (.) ln(n Ve n Ve ) ln n Ve α βe Ve = (.) ln(n Ie n Ie ) ln n Ie + ln g e ln g e α βe Ie =. (.3) n Ce = N Ce + exp(α + βe Ce ), (.4) n Ve = N Ve + exp(α + βe Ve ) = N N Ve V e + exp[ (α + βe Ve )], (.5) n Ie = N Ie + g g exp(α + βe Ie ). (.6)
22 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Lze ukázat, že pro multiplikátory α a β platí α = E F k B T, β = k B T. (.7) V obecném případě necht n klm je počet center m-tého excitovaného stavu l-tého nábojového stavu k-té příměsi nebo energetického úseku vodivostního nebo valenčního pásu. Nultý stav rezonuje s valenčním pásem, tj. k excitaci elektronu z tohoto stavu do vodivostního pásu je potřebná energie větší než E g. At l k je počet nábojových stavů (hladin) v zakázaném pásu pro k-té centrum l =,,..., l k, kde l je počet ionizovatelných elektronů. Pro dané l je m kl počet excitovaných stavů (m l =,,..., m kl ). Necht g klm je degenerace klm-tého stavu, pak W = k l k m kl l= m= Hledání maxima této funkce je omezeno podmínkami (g klm ) n klm Nk!. (.8) n klm! zachování počtu elektronů na k-té příměsi n klm = N k. (.9) Příslušný Lagrangeův multiplikátor označíme γ k. l,m zachování celkového počtu elektronů (každá příměs ve stavu klm má l ionizovatených elektronů) n klm l = N e, (.3) k,l,m kde N e je celkový počet elektronů. Zde Lagrangeův multiplikátor označíme α. zachování celkové energie n klm E klm = E F, (.3) k,l,m přičemž β bude odpovídající Lagrangeův multiplikátor. Konečně můžeme psát n klm {ln W + γ k [N k F k (n)] + α[n e F (n)] + β[e F F (n, E)]} = Ve speciálním případě l = a m = máme = ln g klm ln n klm γ k αl βe klm =. (.3) ln g k ln n k γ k βe k =. (.33)
23 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Kombinací rovnic (.3) a (.33) získáme n klm = g klm g k n k e lα β(e klm E k ) = g klm g k n k e lη F (η klm η k ), (.34) kde zavádíme redukovanou energii η klm = E klm k B T. (.35) Pro počet elektronů na k-té příměsi dostáváme N k = n klm = n k g klm e lη F (η klm η k ) = g k l,m l,m ( = n klm + ) = l l = n klm ( + l l n kl m n m m klm z čehož pro počet elektronů ve stavu klm plyne g kl m e η klm η kl m (l l )η F g m m klm ), (.36) n klm = + l l N k m m g kl m g klm e η klm η kl m (l l )η F. (.37)..5 Výpočet koncentrace elektronů ve vodivostním pásu Od této chvíle budeme normalizovat počty částic na jednotkový objem, takže se z nich stanou hustoty částic n = l (vod. pás) n Cl = l g(e l ) E + exp[ E l E F (.38) k B ], T kde g(e) je hustota stavů ve vodivostním pásu, platí tedy se započtením spinu pro ni g(e) = 4π(m e) 3/ h 3 E. (.39) Pak přechodem k integraci, tj. ke spojitému rozdělení energií, dostáváme n = E Cmax E Cmin g(e)de + exp[ E E F ] = 4π(m h 3 k B T e) 3/ EdE + exp[ E E F ] = k B T f (E)g(E)dE. (.4) V poslední úpravě jsme předpokládali, že na dně vodivostního pásu je E = a vzhledem k tomu, že Fermiho funkce efektivně padá k nule už jen několik k B T nad E F, je možné horní
24 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3 mez integrace položit rovnou nekonečnu, což značně usnadní řešení integrálu. V některých učebnicích se do funkce g(e) nezapočítává faktor spinové degenerace pak je n = Použijeme-li výše zavedenou redukovanou energii x = η = E F k B,můžeme odvodit T n = = f (E)g(E)dE = (m e k B T ) 3/ π 3 f (E)g (E)dE. (.4) (m e ) 3/ π 3 E k B T a redukovanou Fermiho energii EdE + exp[ E E F ] = (.4) k B T x / dx. (.43) e x η + Tento výsledek lze také zapsat pomocí tzv. Fermiho integrálu F r (η) definovaného vztahem jako Jestliže nyní vezmeme n = F r (η) = (m e k B T ) 3/ x r dx (.44) e x η + π 3 F /(η). (.45) ( ) πm 3/ N C = e k B T (.46) h 3 jako tzv. efektivní hustotu stavů elektronů, je možné koncentraci elektronů n napsat v ještě přehlednějším tvaru n = π N C F /(η). (.47) Vedle právě ukázaného způsobu zavedení Fermiho integrálu existuje i alternativní postup: n = 3π ( f ) k 3 (E)dE = (m e) 3/ E 3π 3 ( f ) E 3/ de, (.48) E nebot k 3 = (m e) 3/ 3 E 3/. (.49)
25 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 4 Pak po dosazení redukované energie, redukované Fermiho energie a efektivní hustoty stavů máme n = 4 ( 3 π N C f ) x 3/ dx, (.5) x kde výraz F r (η) = ( f ) x r dx (.5) x je tzv. Fermiho-Diracův integrál. Konečně koncentrace elektronů n nabývá přehledného π eη F (η) 3 η 3, - 4 η Obrázek.4: Aproximace Fermiho integrálu zápisu Místo F r (η) se někdy rovněž zavádí n = 4 3 π N CF 3/ (η). (.5) F r = přičemž Γ(r + ) je známá Γ-funkce s následujícími vlastnostmi : F r(η) Γ(r + ), (.53) Γ(r + ) = rγ(r), Γ(j + ) = j!, Γ(/) = π, (.54)
26 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 5 takže pro koncentraci elektronů platí n = 4 3 π N CF 3/ (η) = 4 ( ) 3 π N 3 3 C Γ F 3/ (η) = = 4 3 π N 3 C πf3/ (η) = N C F 3/ (η). (.55) Pro některé oblasti je možné Fermiho integrály nahradit analytickou funkcí, například F / lze nahradit dle tabulky níže uvedené. Aproximující Oblast Relativní funkce platnosti chyba π eη η < 4 % π eη (, 3e η +, 6e η ) η <, 75 % π eη +,7e η η <, 5 3 % ( ) 3 η3/ + π 8η η >, 5 % 3 η3/ η >, 5 % Tabulka.: Tabulka aproximací Tyto aproximace použijeme pro dva limitní případy: nedegenerovaný polovodič, kde η < 4 Koncentraci elektronů lze pak vyjádřit n = π N C F /(η) = π N C π eη = N C e η, (.56) silně degenerovaný polovodič, pro který je η > Koncentrace elektronů má potom tvar přičemž zavádíme n = π N C F /(η) = π N C 3 η3/ = 4 3 π N Cη 3/, (.57) E F = ~ m e (3π n) /3, k F = (3π n) /3. (.58)
27 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 6. Statistika děr Rozdělovací funkce pro díry je f h (E) = f (E) = = e(x η) + = e (x η) + e (x η) + = e(x η) =. e (x η) + +e (x η) Aby byly vztahy pro elektrony a díry obdobné, je nutné provést transformaci (.59) Pak E = E E g, x = x β, (.6) E F = E F E g, η = E F k B T, (.6) β = k BT, E g η = η β. (.6) f h (x) = = + e = = (x η) e x + β η β + (.63) + e = f (x η ) (x ), (.64) kde E F je Fermiho mez pro díry odečítaná od vrcholu valenčního pásu (viz obr..5). E g E F < E F < E > E c = E F E > E v = E g Obrázek.5: Energetické schéma homogenního polovodiče Přejdeme-li tedy plně k dírám, tj. získáme pro koncentraci děr p = x x, η η, m e m h, (.65) f (E )g(e )de = π N V F /(η ) = 4 3 π N VF 3/ (η ) = N V F 3/ (η ), (.66)
28 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 7 kde je efektivní hustota stavů děr..3 Příměsi ( ) πm 3/ N V = h k B T.= 4, h 3 ( ) m 3/ h T 3/ cm 3 (.67) Nyní odvodíme konkrétní vztahy pro obsazení příměsových hladin monovalentních akceptorů a donorů. Z obecného vztahu (.37) při zanedbání excitovaných stavů dostáváme m n kl = + l l N k g kl g kl e Ekl E kl k B T E F k B T l l, (.68) kde k označuje typ centra (akceptor, donor), l nábojový stav (počet ionizovatelných donorů) a g kl je stupeň degenerace daného stavu..3. Monovalentní donor Zde je l= (žádný elektron na centru, donor je ionizován) nebo l= (elektron je na centru, donor je elektricky neutrální). Potom, položíme-li nulovou hladinu energie na dno vodivostního pásu, tj. E k = E D =, a tedy i E k = E D, máme n D = N D + g D g D e ED+EF k B T. (.69) Vzhledem k tomu, že g D =!!! =, g D =!!! =, g D =!! = g D g D =, (.7) platí pro n D n D = N D + e E D +E F k B T = N D + e β(e D+E F ) (.7) a pro n D n D = N D + E D +E F e k B T = N D + e β(e D+E F ). (.7)
29 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 8 E D E c = n D n D E g Obrázek.6: Pásové schéma monovalentního donoru.3. Monovalentní akceptor V základním (elektricky neutrálním) stavu chybí na akceptoru jeden elektron. V případě l= (l =) je elektron na akceptoru (akceptor je ionizován). Vztáhneme-li nulu energií ke dnu vodivostního pásu, tedy E A = E g a E A = E A, dostáváme n A = N A + g A g A e EA+EF+Eg k B T. (.73) Vzhledem k tomu, že vrchol valenčního pásu je dvakrát degenerovaný (přítomny lehké i těžké díry), může být obsazen čtyřmi elektrony. Neionizovaný akceptor obsahuje tři elektrony, zatímco ionizovaný čtyři. Potom g A = 4! 3!! = 4, g A = 4! 4!! =, g A g A = 4. (.74) Počet elektronů na akceptoru n A je roven počtu děr ve valenčním pásu vzniklých v důsledku přechodu elektronů z valenčního pásu na akceptor. Celkem tedy máme n A = N A + 4e E A +E F +Eg k B T. (.75) Za předpokladu l= (l =) není na akceptoru žádný elektron, je tedy v neutrálním stavu. Pak při ponechání E A = E g a E A = E A plyne pro počet elektronů na akceptoru n A = N A + g A g A e EA+EF Eg k B T = N A + E A +E F +E g 4 e k B T. (.76) V případě, že chceme výpočet vztáhnout k valenčnímu pásu, musíme položit E A = a E A = E A. Můžeme následně odvodit, že kde E A = E g + E A. n A = N A + 4e β(e A+E F ), (.77)
30 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 9 E A E c = N A E A Eg n A n A Obrázek.7: Pásové schéma monovalentního akceptoru.3.3 Divalentní donor K nalezení koncentrací elektronů na těchto příměsích musíme diskutovat jejich možnou ionizaci : l= Žádný elektron na donoru donor je dvakrát ionizován (E K =, E K = E D, E K = E D ). Zřejmě platí n D = N D + g D g D e β(e D+E F) + g D g D e β(e D+E F ). (.78) l= Jednou ionizované divalentní donory. S kalibrací energií zavedenou výše můžeme psát n D = N D + g D g D e β(e D+E F) + g D g D e β( E D+E D +E F ). (.79) l= Neionizované donory, pro které podobně plyne n D = N D + g D g D e β(e D+E F) + g D g D e β(e D+E D +E F ). (.8) E D E D E c = n D n D n D E g Obrázek.8: Pásové schéma divalentního donoru Degenerační faktory nabývají hodnot g D =, g D =, g D =. (.8)
31 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ Divalentní akceptor K nalezení koncentrací elektronů na těchto příměsích je nutné diskutovat jejich případnou ionizaci : l= Žádný elektron na akceptoru akceptor je v neutrálním stavu. Potom máme n A = N A + g A g A e β(e A E g +E F) + g A g A e β(e A E g +E F ). (.8) l= Jednou ionizované divalentní akceptory jeden elektron na akceptoru (resp. jedna díra ve valenčním pásu). Platí n A = N A + g A g A e β( E A+E g E F) + g A g A e β( E A+E A +E F ). (.83) l= Dva elektrony na akceptoru, ten je tedy dvojnásobně ionizován (E K = E g, E K = E A, E K = E A ), pak n A = N A + g A g A e β( E A+E g E F) + g A g A e β( E A+E A E F ). (.84) E A E A E c = n A n A N A n A E A E g Obrázek.9: Pásové schéma divalentního akceptoru V případě dvakrát degenerovaného valenčního pásu je g A = 4!!! = 6, g A = 4! 3!! = 4, g A = 4! 4!!.4 Stanovení Fermiho meze Uvažujme vlastní polovodič: podmínka elektrické neutrality dává =. (.85) p = n, (.86) 4 3 π N VF 3/ (η ) = 4 3 π N CF 3/ (η), (.87) (m h) 3/ F 3/ (η ) = (m e) 3/ F 3/ (η). (.88)
32 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3 Tuto rovnici lze vyřešit pouze numericky nebo aproximativně například pro nedegenerovaný polovodič (m h) 3/ F/(η ) = (m e) 3/ F/(η), (.89) π π (m h) 3/ e η = (m e) 3/ e η, (.9) (m h) 3/ e η β g = (m e) 3/ e η ; β g = E g k B T, (.9) ( ) e η = e β g m 3/ h, (.9) m e def η i = η = E g k B T + 3 ( ) m 4 ln h. (.93) Tímto jsme definovali tzv. intrinsickou Fermiho mez η i. Je proto možné rozeznávat polovodiče typu N a P: N-typ η > η i, P-typ η < η i. Nyní ještě odvodíme intrinsickou koncentraci nosičů. n i = π N C F /(η) = π N C π e η i = (.94) m e = N C e η i = N C e β g ( m h m e ) 3/4 = (N C N V ) / e β g. (.95) Pro nedegenerovaný polovodič tedy platí n i = np. (.96).5 Podmínka elektrické neutrality Pro extrinsický polovodič má podmínka elektrické neutrality tvar p + n D = n + p A p + N + D = n + N A, (.97) π N V F /(η ) + N D + e = N E D +η C F π /(η) + N A + 4e E A +η, (.98)
33 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 3 kde Řešením této rovnice dostaneme vždy Fermiho mez η, resp. E F..5. Nedegenerovaný kompenzovaný N-typ η = η Eg, (.99) Eg = E g k B T, (.) E D = E D k B T, (.) E A = E A k B T. (.) Jako příklad ukážeme nyní výpočet Fermiho meze pro nedegenerovaný kompenzovaný polovodič typu n. Jak jsme uvedli výše, vyjdeme z podmínky elektrické neutrality π N V F /(η ) + Z vlastností uvažovaného polovodiče plyne Dostáváme tedy Úpravou získáme N D + exp [E D + η] = π N C F /(η) + N A + 4 exp [E A + η ], p + p D = n + n A. (.3) p, n = N C e η, n A = N A. (.4) N C e η N D = + e N A, E D +η N C e η ( + e E D e η ) = N D N A ( + e E D e η ). (.5) N C e η + N C e E D e η N D + N A + N A e E D e η =, e η.n C e ( E D + e η N C + N A e D) E (ND N A ) =, ( NCe η + N C e }{{} η N A + ) N Ce E D N C(N D N A )e E D =, n ( n + n N A + ) N Ce E D N C(N D N A )e E D =. (.6) }{{}}{{} b c
34 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 33 Stačí jen vyřešit tuto kvadratickou rovnici v proměnné n. Spočítáme-li diskriminant D = b 4ac (a = ), můžeme pro kořeny psát ( n = b ) b + c = b ( c b, (.7) ) n = N C e η = ( ) [ NA + N C e E D ( + 8(N ) / D N A )N C e E D ]. (.8) 4 (N A + N C e E D) Tento obecný vztah budeme diskutovat ve třech limitních případech a) Slabě kompenzovaný polovodič (N A N D ) za nízkých teplot. Dosazením předpokladů můžeme odvodit N A N C e E D 8ND, N A n N D (.9) n = 4 N Ce E D [ ( + 8N ) / DN C e E D ] N C e E D [ ( = 4 N Ce E D + 8N ) / D ] N C e E D = ( ) / ( ) / 4 N 8ND NC N Ce E D D == e E D. (.) N C e E D b) Kompenzovaný polovodič (N A < N D ) za nízkých teplot. Ze vztahu platného pro takovýto polovodič plyne N C e E D NA < N D (.) c) Kompenzovaný polovodič (N A < N D ) za vysokých teplot. Použitím dostaneme konstantní hustotu elektronů n = N D N A N A N C e E D. (.) N C e E D 8(NA N D ) (.3) n = N D N A. (.4)
35 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 34 p ++ p + E c p n n + n ++ N D, A n i E F E i N A = n i N D = n i E v 8 8 N N D (cm 3 A ) Obrázek.: Klasifikace polovodiče podle stupně dotace a odpovídající poloha Fermiho hladiny E c E typ N a b c E F N D E i E i E v 3 T Obrázek.: Teplotní závislost polohy Fermiho hladiny pro polovodič s jedním typem příměsí (typu N)
36 KAPITOLA. HOMOGENNÍ POLOVODIČ 35 log n E g / c N D E D / b a n = N D 3 /T Obrázek.: Průběh koncentrace elektronů pro polovodič s jedním typem příměsí
37 Kapitola 3 Boltzmannova kinetická rovnice Vedle popisu rovnovážných stavů má značný význam studium vodivostních elektronů a děr v nerovnovážném stavu, kdy se pohybují krystalem pod vlivem vnějších polí (elektrického, magnetického, teplotního). Takové jevy, spojené s přemíst ováním elektronů a děr se nazývají transportní nebo kinetické. 3. Odvození Boltzmannovy kinetické rovnice V termodynamické rovnováze jsou elektrony popsány funkcí f (x) = + e x η (3.) kde η = E F a x = E k T k. Systém elektronů, který není v termodynamické rovnováze je T popsán funkcí (nejprve uvažujeme volné elektrony) f(v x, v y, v z, x, y, z, t) dv x dv y dv z dx dy dz = f(v, r, t) d 3 v d 3 r (3.) kde strany rovnice vyjadřují počet elektronů, které jsou v čase t, v bodě r a s rychlostí x, které souřadnice leží postupně v intervalech (v x, v x + dv x ), (v y, v y + dv y ) a (v z, v z + dv z ), v objemu d 3 r = dx dy dz. Známe-li f(v, r, t), lze určit hustotu proudu v bodě r a v čase t. Počet elektronů s rychlostí v uvnitř válce je f(v, r, t) d 3 v v x dt. Tyto elektrony se za čas dt přemístí ve směru osy x o vzdálenost v x dt. Tedy dt f(v, r, t)v x dv x dv y dv z je celkový počet elektronů všech rychlostí, které projdou ploškou za čas dt. Pak proud ve směru osy x je dán vztahem: j x = e f(v, r, t)v x dv x dv y dv z (3.3) f(v, r, t) = f (E) + f (v, r, t) 36
38 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 37 kde f (E) je sudá (závisí na v x). Proto f v x je lichá funkce dle dv x. Tím pádem f v x dv x =. Potom rovnice (3.3) přechází na tvar: j x = e f (v, r, t)v x dv x dv y dv z (3.4) Prostudujeme změnu počtu elektronů s rychlostí v za čas dt v důsledku jejich pohybu v prostoru. Levou stěnou dy dz elektrony přicházejí, pravou odcházejí (předpokládáme v x > ). Počet elektronů za čas dt vstupujících levou stěnou je f(v, x, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt, počet elektronů vystupujících pravou stěnou je f(v, x + dx, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt. Zvýšení počtu elektronů s rychlostí v v objemu d 3 r je f(v, x, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt f(v, x + dx, y, z, t) d 3 v dy dz v x dt = = v x {f(v, x + dx, y, z, t) f(v, x, y, z, t)} dy dz d 3 v dt = v f x dx dy dz d3 v dt Při zahrnutí všech stěn dostáváme ( ) f v x x + v f y y + v f z d 3 v d 3 r dt = v r f d 3 v d 3 r dt = v f z r d3 v d 3 r dt Analogicky lze určit změnu počtu elektronů s rychlostí v v objemu d 3 v = dv x dv y dv z v důsledku jejich pohybu ve v prostoru, tj. v důsledku zrychlení v f v d3 v d 3 r dt = m (F v f) d 3 v d 3 r dt protože v = F, kde F (r, t) je síla působící na elektron v bodě r a v čase t. Počet elektronů m s rychlostí v se rovněž změní následkem srážek. Elektron s rychlostí v se v důsledku srážky dostane z objemu d 3 v, v důsledku změny jeho rychlosti. Budeme sledovat pouze pružné srážky, tj. v = v. Pravděpodobnost, že se elektron s rychlostí v za čas dt rozptýlí a stane se z něj elektron s rychlostí v je W (v, v ) d 3 v dt. Celkový počet elektronů, s rychlostí v které ubudou za čas dt následkem srážek je roven f(v, r, t)w (v, v ) d 3 v d 3 r d 3 v dt (3.5) (v ) Počet elektronů s rychlostí v bude růst, pokud se elektrony s rychlostí v změní vlivem srážek v elektrony s rychlostí v f(v, r, t) d 3 v d 3 rw (v, v) d 3 v dt (3.6) (v )
39 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 38 úhrnná změna elektronů s rychlostí v vlivem srážek je tedy d 3 v d 3 r dt (f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )) d 3 v (3.7) v Zvýšení počtu elektronů s rychlostí v za čas dt lze psát jako f(v, r, t + dt) d 3 v d 3 r f(v, r, t) d 3 v d 3 r = f t d3 v d 3 r dt Potom můžeme napsat Boltzmannovu kinetickou rovnici ve tvaru f t = v r f m F ( v f) + (f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )) d 3 v (3.8) 3. Platnost Boltzmannovy kinetická rovnice Protože Boltzmannova kinetická rovnice představuje základní východisko pro popis transportních jevů v polovodičích, je důležité pochopit její omezení. Boltzmannova rovnice je přibližná, nebot se jedná o jednočásticový popis mnohačásticového systému. Korelace mezi částicemi nejsou uvažovány. Další aproximací je semiklasický popis nosičů jako částic pohybujících se podle Newtonových zákonů. Rozdělovací funkce definuje nejpravděpodobnější stav systému nosičů. Takový statistický popis je vhodný, pokud je počet částic velký. Vzhledem k tomu, že částice reagují prostřednictvím elektrických polí, existuje korelace mezi částicemi. K určení pravděpodobnosti obsazení nějakého stavu je tedy principiálně nutné znát, jak jsou obsazeny ostatní stavy. K statistickému popisu N-částicového systému je tedy nutná N-částicová rozdělovací funkce. V případě nízkých koncentrací nosičů jsou ale vzájemné interakce slabé a místo N-částicové rozdělovací funkce je možno použít funkci jednočásticovou. Vliv ostatních nosičů je započten přes self -konzistentní elektrické pole. BTR je rovněž přibližná proto, že popisuje nosiče jako částice podléhající Newtonovým zákonům. Kvantová mechanika je použita pouze pro popis srážek. To že použití rozdělovací funkce je klasický koncept je zřejmé z toho, že určuje jak souřadnici tak hybnost v jednom časovém okamžiku. Vzhledem k principu neurčitosti p r (3.9) p m k T r m k T = λ B Vzhledem k tomu, že vlnová délka nosiče v tepelné rovnováze je λ B = ~ m k T, platí r λ B. Tento výsledek nám říká, že k tomu abychom mohli nosiče popisovat jako Extrémně malé součástky mohou obsahovat tak malé množství nosičů, že statistický popis není oprávněný.
40 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 39 částice, je nutné, aby nosič byl lokalizován vzhledem k λ B (která je typicky nm při pokojové teplotě). Rovnice je splněna, jestliže se potenciál mění pomalu ve srovnání s λ B. V případě rychle se měnícího potenciálu je třeba řešit vlnovou rovnici. Další omezení BTR vyplývá z další obměny principu neurčitosti, a to E t který říká, že nosič musí zůstat v daném stavu dostatečně dlouho, aby měl dobře definovanou energii. Předpokládejme, že t τ (doba mezi srážkami) a E k T. Pak τ ~, a k T vynásobením v T dostáváme l = v T τ ~v T λ k T B. Tento vztah říká, že střední volná dráha musí být mnohem delší, než de Broglieho vlnová délka, aby platila BTR. τ k T ω k T Proto za pokojové teploty musí být ω 6 Hz. V součástkách v současnosti vyráběných je tato podmínka splněna s dostatečnou rezervou. Člen ( ) f = v r f t m (F v f) se nazývá polní. Člen ( ) f t S = se nazývá srážkový. Ve stacionárním případě ( ) ( ) f f = = t t dostáváme v r f + m F v f = P π {f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )} d 3 r P + ( ) f t S (3.) {f(v, r, t)w (v, v) f(v, r, t)w (v, v )} d 3 v (3.) Nyní přejdeme od volných elektronů k elektronům v krystalu. F = m dv dt F = dk dt E = k v = m m (3.) (3.3) Impuls nahradíme kvaziimpulsem v = k m = k E(k) = E(k) k (3.4)
41 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 4 Za sílu F dosadíme Lorentzovu sílu F = e [E + (v B)] (3.5) a dostaneme ( ) f = f t S t + v(k) r f e k f [E + v B] (3.6) Ve stacionárním případě je f =, tedy: t ( ) f = +v r f e t k f [E + v B] (3.7) S Srážkový člen pak lze psát jako ( ) f = {W (k, k)f(k ) ( f(k)) W (k, k )f(k) ( f(k ))} (3.8) t S k kde jsme na rozdíl od volných elektronů přihlédli k Pauliho principu. Z principu detailní rovnováhy plyne, že počet elektronů přicházejících ze stavu k do stavu k, a naopak, se musí rovnat počtu ve stavu statistické rovnováhy. tedy W (k, k)f (E )[ f (E)] = W (k, k )f (E)[ f (E )] (3.9) při pružném rozptylu je E = E, a proto W (k, k)e E k T = W (k, k )e E k T (3.) W (k, k) = W (k, k ) (3.) Potom platí ( ) f = {W (k, k)f(k ) W (k, k )f(k)} = {W (k, k )(f(k ) f(k))} (3.) t k k S 3.3 Stanovení nerovnovážné rozdělovací funkce f(k) = f (E) + f (k) (3.3) f (k) = f χ(e)k (3.4) E f(k ) f(k) = f (E ) + f (k ) f (E) f (k) = f (k ) f (k) = f E χ(k k) = = f E χ(e)(k k ) = f E χ(e)k( cos θ) = f (k)( cos θ) (3.5)
42 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 4 kde θ je úhel mezi k a k. Dále můžeme psát ( ) f = W (k, k ) { f (k)( cos θ)} = f (k) W (k, k )( cos θ) (3.6) t k k S Zavedeme tzv. relaxační dobu τ(k) = ( k W (k, k )( cos θ) ) (3.7) Potom ( ) f = f (k) t S τ(k) = f f τ (3.8) 3.4 Fyzikální význam relaxační doby Předpokládejme, že v čase t = zrušíme všechny vnější pole. Pak ( ) f = (f f ) = f f t t τ d(f f ) f f = dt τ S ln(f f ) = t τ + C pro t =, ln(f f ) t= = C ln (f f ) = t (f f ) t= τ (f f ) = (f f ) t= e t (f f ) t=τ τ pro t = τ, = (f f ) t= e (3.9) (3.3) τ je tedy doba, za kterou se rozdíl (f f ) ze změní e-krát. Budeme uvažovat rozptyl na podélných akustických kmitech mříže LA rozptyl na podélných optických kmitech mříže LO (jen v případě, kdy je pružný) rozptyl na ionizovaných příměsích N I = D + A rozptyl na neutrálních příměsích N N = D x + A x odpovídající PP přechodu elektronu z k do k za s Budeme mít tedy postupně tyto pravděpodobnosti: W LA (k, k ), W LO (k, k ), W I (k, k ) a W N (k, k ). Vzhledem k tomu, že rozptylové procesy jsou alternativní (bud jeden nebo
43 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 4 druhý), můžeme napsat tzv. Matthiesenovo pravidlo τ = k W (k, k )( cos θ) = = k W LA (k, k )( cos θ) + k W L (k, k )( cos θ)+ + k W I (k, k )( cos θ) + k W N (k, k )( cos θ) (3.3) které můžeme zapsat také ve tvaru τ = (3.3) τ LA τ LO τ I τ N Zbývá stanovit jednotlivé relaxační doby. Dále budeme předpokládat, že se při srážce nemění spin. Přejdeme od sčítání k integraci = V W τ i (π) 3 i (k, k )( cos θ) dk (3.33) k kde i = LA, LO, I, N. Objem na jeden stav je (π)3. Počet stavů k v elementu V dk se rovná = V dk, kde dk = k sin θ dθ dϕ dk (π) 3 dk (π) 3 V Označme τ i = V (π) 3 π π W i (k, θ) = W i (k, k )k dk ( cos θ) sin θ dθ dϕ (3.34) V (π) 3 Fermiho zlaté pravidlo vypadá následovně W i (k, k )k dk (3.35) W i (k, k ) = π M i(k, k ) δ (E(k) E(k )) (3.36) kde M i (k, k ) je maticový element poruchového potenciálu U i při přechodu ze stavu k do stavu k M i (k, k ) = ψ k (r)ûiψ k (r) dr (3.37) ψ k (r) vlnová funkce elektronu a rozptylového centra ψ k (r) = ψ(r)φ(r) φ(r) vlnová funkce rozptylového centra ψ(r) vlnová funkce elektronu
44 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 43 W i (k, θ) = V 4π W i (k, θ) = V π (π) 3 M i (k, k ) δ(e(k) E(k ))k dk (3.38) E = k, de = k dk m e dk de = m e k g(e) de = (m e) 3/ E / π 3 m e m e = k dk de = m ek π = k dk π (3.39) M(k, k ) g(e ) δ(e(k) E(k )) de = V 4π g(e) M(k, k ) (3.4) kde g(e) je hustota stavů ve vodivostním pásu = πv π τ i g(e) M(k, k ) ( cos θ) sin θ dθ (3.4) Pro rozptyl na podélných akustických fononech LA platí M LA (k, k ) = E ck T ρ a n e V (3.4) Pro rozptyl na podélných optických fononech LO platí ( M LO (k, k ) = e ω LO ) V E E E S k {n q/n q+ }F q (3.43) kde n q je v případě absorpce fononu a n q+ je v případě emise fononu Pro rozptyl na ionizovaných příměsích platí ( ) M I (k, k ) Ze ( = N I E E r V R S + k k ) (3.44) kde F ± q = n q = (3.45) e ~ω LO kt ( ) ( ) k, t q ± q = (3.46) + t q qr S R S = ne E E k T F / (η) F / (η) q = k + k kk cos θ (3.47)
45 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE 44 E,c deformační potenciál vodivostního pásu ρ a hustota n e střední rychlost šíření akustických vln n e = ( Va σπ kde V je objem krystalu a V A je objem elementární buňky. ) /3 ω LA (3.48) 3.4. Relaxační doba - rozptyl na podélných akustických fononech Dále provedeme výpočet relaxační doby pro rozptyl na podélných akustických fononech τ LA = πv π τ LA g(e) M(k, k ) ( cos θ) sin θ dθ (3.49) = πv τ LA m 3/ e π E / Eck π 3 T ( cos θ) sin θ dθ (3.5) ρ a n e V s využitím rovnosti τ LA = (m e) 3/ 4 π E ck T ρ a n e E / π ( cos θ) sin θ dθ (3.5) g(e) = (m e) 3/ E (3.5) π 3 Dále uvážením substituce cos θ = x dostáváme π [ ] x ( cos θ) sin θ dθ = ( x) dx = ( x) dx = [x] = = (3.53) τ LA = (m e ) 3/ E c 4 ρ a n e π k T E / (3.54) τ LA = π 4 ρ a n e (m e ) 3/ E c (k T ) / E / (3.55) τ LA = τ LAE / (3.56)
46 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE Relaxační doba - rozptyl na ionizovaných příměsích Pro relaxační dobu v případě rozptylu na ionizovaných příměsích τ I platí = πv τ I (m e) 3/ π ( ) Ze E / ( cos θ) sin θ dθ N π 3 I ( E E r V ( ) ) (3.57) + k k R s Definujeme: n I = N I V ( ) = (m e) 3/ e τ E / n I Z π I π 4 E E r (3.58) ( cos θ) sin θ dθ ( + k k ) (3.59) R s ( R S přičemž Tedy k k = (k k )(k k ) = k ( cos θ) = 4m e E( cos θ) (3.6) ) ( + (k k ) = Potom dostaneme ( R S + 4m e R S ) E( cos θ) = ( 4m e E 4m e = + (k k ) ) = τ + I = n ( ) IZ e π E E r kde vnitřek integrálu označíme jako α I, = b + b Konečně t = cos θ dt = sin θ dθ { b α I = + ln(t + b) t + b + ln (b + ) } = b + b b + = n ( ) IZ e τ I π E E r ER s ) ( 4m e ER s + cos θ) (3.6) = b (3.6) ( ) 4m e (b + cos θ) (3.63) 6m / e E 3/ = b + ln( + b) ln b = + b + ln 6m / e (b + ) b t dt (b + t) (3.64) = b + + ln b + (3.65) E 3/ α I, τ I = τ I E 3/ (3.66)
47 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE Relaxační doba - rozptyl na podélných optických fononech Pro vysoké teploty lze rozptyl na podélných optických fononech považovat přibližně za pružný, tj. k = k. T Θ, Θ = ~ω LO. k Zanedbáme dále stínění F (q) = k (3.67) q dostáváme tedy ( ) ( M LO (k, k ) e ω LO = ) V E E E k F q{n q /n q+ } = ( ) ( e ω LO = ± ) V ɛ E E q {n q/n q+ } (3.68) kde n q odpovídá absorpci a n q+ emisi. τ I = πv (m e) 3/ π ( e ω LO E ) {n π 3 q /n q+ } ( cos θ) sin θ dθ (3.69) V E E E S q q = k k q = k + k kk cos θ = k ( cos θ) E = k m q = k cos θ = 4m ee cos θ = V (m e) 3/ E / τ LO π Platí z toho plyne kde ( ) ( e ω LO ) π cos θ sin θ dθ = V E E E S 4m ee cos θ ( ) ( e E / ω LO ) π E E E S 4 (n q + ) = ( ) ( = m / e e ω LO π = m / e n q + n q E τ LO = ( π E ) ) (e ΘT m / e e ω LO E E S E E S ) n q E / (3.7) (3.7) Θ = ω LO (3.7) k Pro T Θ nelze řešit BTR v aproximaci relaxační doby je nutné numerické řešení.
48 KAPITOLA 3. BOLTZMANNOVA KINETICKÁ ROVNICE Řešení Boltzmannovy kinetické rovnice Stacionární případ: (Anselm, str. 77) Pro slabé pole platí kde v r f e [E + v B] k f = f f τ = f τ = f (χ k), (3.73) τ E v = k E (k) = hk. (3.74) m f = f (k, r) = f (E) + f (k), f (E) = Funkci f (k) máme definovanou již dřív Takže můžeme psát f (k) = ( [ ]) E EF exp k T + (3.75) ( f ) (χ k) (3.76) E f (k) = f (k k) = f (k) + f E = f (k) f E χ = k m e E k ( k) = m k k = f (k) f (χ k) E (3.77) r f = r f (E) + r f (k), (3.78) f (E, E F, T ), E = E (k) = E (k), E F = E F (r), T = T (r) (3.79) r f = f E r E F + f T r T (3.8) f E F = f E = k B T f T = E E F k B T ( exp ( exp [ [ exp [ exp [ ] E E F k B T E E F k B T ] E E F k B T E E F k B T ] ] ) (3.8) + ) = E E F T + f E (3.8)
Fyzika polovodičů pro optoelektroniku I. Prof. Ing. Jan Franc, DrSc. Prof. RNDr. Pavel Höschl, DrSc.
Fyzika polovodičů pro optoelektroniku I Prof. Ing. Jan Franc, DrSc. Prof. RNDr. Pavel Höschl, DrSc. (poslední úprava dne 9. října 24) Obsah Obsah Seznam obrázků 3 Seznam tabulek 5 Krystaly 7. Krystalická
Více2.6. Koncentrace elektronů a děr
Obr. 2-11 Rozložení nosičů při poloze Fermiho hladiny: a) v horní polovině zakázaného pásu (p. typu N), b) uprostřed zakázaného pásu (vlastní p.), c) v dolní polovině zakázaného pásu (p. typu P) 2.6. Koncentrace
VíceOpakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu
11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické
VíceFyzika IV. -ezv -e(z-zv) kov: valenční elektrony vodivostní elektrony. Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů
Elektronová struktura pevných látek model volných elektronů 1897: J.J. Thomson - elektron jako částice 1900: P. Drude: kinetická teorie plynů - kov jako plyn elektronů Drudeho model elektrony se mezi srážkami
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
VíceKovy - model volných elektronů
Kovy - model volných elektronů Kovová vazba 1. Preferuje ji většina prvků vyskytujících se v přírodě. Kov je tvořen kladně nabitými ionty (s konfigurací vzácného plynu) a relativně velmi volnými elektrony.
VíceE g IZOLANT POLOVODIČ KOV. Zakázaný pás energií
Polovodiče To jestli nazýváme danou látku polovodičem, závisí především na jejích vlastnostech ve zvoleném teplotním oboru. Obecně jsou to látky s 0 ev < Eg < ev. KOV POLOVODIČ E g IZOLANT Zakázaný pás
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceKvantová mechanika - model téměř volných elektronů. model těsné vazby
Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů model těsné vazby Částice (elektron) v periodickém potenciálu- Blochův teorém Dále už nebudeme považovat elektron za zcela volný (Sommerfeld), ale připustíme
VíceTransportní vlastnosti polovodičů
doc. Ing. Eduard Belas,..20 tel: 229334 e-mail: belas@karlov.mff.cuni.cz Transportní vlastnosti polovodičů Při studiu transportních jevů v pevných látkách vycházíme z pásové teorie pevných látek. Podle
VíceV nejnižším energetickém stavu valenční elektrony úplně obsazují všechny hladiny ve valenčním pásu, nemohou zprostředkovat vedení proudu.
POLOVODIČE Vlastní polovodiče Podle typu nosiče náboje dělíme polovodiče na vlastní (intrinsické) a příměsové. Příměsové polovodiče mohou být dopované typu N (majoritními nosiči volného náboje jsou elektrony)
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceIdeální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče
Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace
VíceObr Teplotní závislost intrinzické koncentrace nosičů n i [cm -3 ] pro GaAs, Si, Ge Fermiho hladina Výpočet polohy Fermiho hladiny
Obr. 2-12 Teplotní závislost intrinzické koncentrace nosičů n i [cm -3 ] pro GaAs, Si, Ge 2.7. Fermiho hladina 2.7.1. Výpočet polohy Fermiho hladiny Z Obr. 2-11. a ze vztahů ( 2-9) nebo ( 2-14) je zřejmá
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
VíceKrystalografie a strukturní analýza
Krystalografie a strukturní analýza O čem to dneska bude (a nebo také nebude): trocha historie aneb jak to všechno začalo... jak a čím pozorovat strukturu látek difrakce - tak trochu jiný mikroskop rozptyl
VíceTransportní vlastnosti polovodičů 1
doc. Ing. Eduard Belas, 2.9.206 tel: 229334 e-mail: belas@karlov.mff.cuni.cz www: semiconductors.mff.cuni.cz Transportní vlastnosti polovodičů Při studiu transportních jevů v pevných látkách vycházíme
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE Atomová spektrometrie valenčních e - 1. OES (AES). AAS 3. AFS 1 Atomová spektra čárová spektra Tok záření P - množství zářivé energie (Q E ) přenesené od zdroje za jednotku času.
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více2. Difrakce elektronů na krystalu
2. Difrakce elektronů na krystalu Interpretace pozorování v TEM faktory ovlivňující interakci e - v krystalu 2 způsoby náhledu na interakci e - s krystalem Rozptyl x difrakce částice x vlna Difrakce odchýlení
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceAtom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =
Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceŘešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat
Více2. Elektrotechnické materiály
. Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů
VíceElektrické vlastnosti pevných látek
Elektrické vlastnosti pevných látek elektrická vodivost gradient vnějšího elektrického pole vyvolá přenos náboje volnými nositeli (elektrony, díry, ionty) měrná vodivost = e n n e p p [ -1 m -1 ] Kovy
VíceDifrakce elektronů v krystalech, zobrazení atomů
Difrakce elektronů v krystalech, zobrazení atomů T. Sýkora 1, M. Lanč 2, J. Krist 3 1 Gymnázium Českolipská, Českolipská 373, 190 00 Praha 9, tomas.sykora@email.cz 2 Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč,
VíceJiří Oswald. Fyzikální ústav AV ČR v.v.i.
Jiří Oswald Fyzikální ústav AV ČR v.v.i. I. Úvod Polovodiče Zákládní pojmy Kvantově-rozměrový jev II. Luminiscence Si nanokrystalů III. Luminiscence polovodičových nanostruktur A III B V IV. Aplikace Pásová
VíceKinetická teorie ideálního plynu
Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na
VíceFluktuace termodynamických veličin
Kvantová a statistická fyzika (Termodynamika a statistická fyzika Fluktuace termodynamických veličin Fluktuace jsou odchylky hodnot fyzikálních veličin od svých středních (rovnovážných hodnot. Mají původ
Více4. Stanovení teplotního součinitele odporu kovů
4. Stanovení teplotního součinitele odporu kovů 4.. Zadání úlohy. Změřte teplotní součinitel odporu mědi v rozmezí 20 80 C. 2. Změřte teplotní součinitel odporu platiny v rozmezí 20 80 C. 3. Vyneste graf
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
Více(1 + v ) (5 bodů) Pozor! Je nutné si uvědomit, že v a f mají opačný směr! Síla působí proti pohybu.
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 017 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Těleso s hmotností
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceÚvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Látka jako soubor kvantových soustav Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze petr.koranda@gmail.com 18. září 2018 Světlo jako elektromagnetické
VíceOperátory a maticové elementy
Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly
VíceKvantová fyzika pevných látek
Kvantová fyzika pevných látek Přednáška 2: Základy krystalografie Pavel Márton 30. října 2013 Pavel Márton () Kvantová fyzika pevných látek Přednáška 2: Základy krystalografie 30. října 2013 1 / 10 Pavel
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská OKRUHY. ke státním zkouškám DOKTORSKÉ STUDIUM
OKRUHY ke státním zkouškám DOKTORSKÉ STUDIUM Obor: Zaměření: Studijní program: Fyzikální inženýrství Inženýrství pevných látek Aplikace přírodních věd Předmět SDZk Aplikace přírodních věd doktorské studium
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Vícer W. Shockley, J. Bardeen a W. Brattain, zahájil epochu polovodičové elektroniky, která se rozvíjí dodnes.
r. 1947 W. Shockley, J. Bardeen a W. Brattain, zahájil epochu polovodičové elektroniky, která se rozvíjí dodnes. 2.2. Polovodiče Lze je definovat jako látku, která má elektronovou bipolární vodivost, tj.
VíceVazby v pevných látkách
Vazby v pevných látkách Hlavní body 1. Tvorba pevných látek 2. Van der Waalsova vazba elektrostatická interakce indukovaných dipólů 3. Iontová vazba elektrostatická interakce iontů 4. Kovalentní vazba
VíceÚloha 1: Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu.
Úloha : Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu. Všechny zadané prvky mají krystalovou strukturu kub. diamantu. (http://en.wikipedia.org/wiki/diamond_cubic),
VíceTepelná vodivost pevných látek
Tepelná vodivost pevných látek Přenos tepla vedení mřížková část tepelné vodivosti Dvouatomový lineární řetězec přiblížení např. NaCl (1) u -1 (A) u s-1 (B) u (A) u s (B) u s+1 (B) u +1 (A) Např. = příčné
Více1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
VíceATOMOVÁ SPEKTROMETRIE
ATOMOVÁ SPEKTROMETRIE doc. Ing. David MILDE, Ph.D. tel.: 585634443 E-mail: david.milde@upol.cz (c) -017 Doporučená literatura Černohorský T., Jandera P.: Atomová spektrometrie. Univerzita Pardubice 1997.
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více6 Potenciály s δ funkcemi II
6 Potenciály s δ funkcemi II 6.1 Periodická δ funkce (Diracův hřeben) Částice o hmotnosti M se pohybuje v jednorozměrné mřížce popsané periodickým potenciálem V(x) = c δ(x na), (6.1.1) n= kde a je vzdálenost
VíceElementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model
Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle
VíceTeorie rentgenové difrakce
Teorie rentgenové difrakce Vlna primárního záření na atomy v krystalu. Jádra atomů zůstanou vzhledem ke své velké hmotnosti v klidu, ale elektrony jsou rozkmitány se stejnou frekvencí jako má primární
VíceMechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin
Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování
VíceÚvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu
Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceLEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií)
LEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií) RHEED (Reflection High-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s vysokou energií na odraz) Úvod Zkoumání povrchů pevných
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceMŘÍŽKY A VADY. Vnitřní stavba materiálu
Poznámka: tyto materiály slouží pouze pro opakování STT žáků SPŠ Na Třebešíně, Praha 10;s platností do r. 2016 v návaznosti na platnost norem. Zákaz šířění a modifikace těchto materálů. Děkuji Ing. D.
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceZáklady Mössbauerovy spektroskopie. Libor Machala
Základy Mössbauerovy spektroskopie Libor Machala Rudolf L. Mössbauer 1958: jev bezodrazové rezonanční absorpce záření gama atomovým jádrem 1961: Nobelova cena Analogie s rezonanční absorpcí akustických
Více8. Úvod do fyziky pevných látek
8. Úvod do fyziky pevných látek V předchozích kapitolách jsme se seznámili s kvantově mechanickým popisem jednotlivých atomů. V této kapitole si ukážeme, že kvantová teorie umí stejně dobře popsat i seskupení
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceÚvod do strukturní analýzy farmaceutických látek
Úvod do strukturní analýzy farmaceutických látek Garant předmětu: Vyučující: doc. Ing. Bohumil Dolenský, Ph.D. prof. RNDr. Pavel Matějka, Ph.D., A136, linka 3687, matejkap@vscht.cz doc. Ing. Bohumil Dolenský,
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceDynamika vázaných soustav těles
Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro
VíceFyzika IV. g( ) Vibrace jader atomů v krystalové mříži
Vibrace jader atomů v krystalové mříži v krystalu máme N základních buněk, v každé buňce s atomů, které kmitají kolem rovnovážných poloh výchylky kmitů jsou malé (Taylorův rozvoj): harmonická aproximace
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceÚvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
VíceČeské vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská. Příloha formuláře C OKRUHY
Příloha formuláře C OKRUHY ke státním závěrečným zkouškám BAKALÁŘSKÉ STUDIUM Obor: Studijní program: Aplikace přírodních věd Základy fyziky kondenzovaných látek 1. Vazebné síly v kondenzovaných látkách
VíceIII. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYNŮ
III. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYNŮ 3.1 Ideální plyn a) ideální plyn model, předpoklady: 1. rozměry molekul malé (ve srovnání se střední vzdáleností molekul). molekuly na sebe navzálem silově nepůsobí (mimo
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceStruktura a vlastnosti kovů I.
Struktura a vlastnosti kovů I. Vlastnosti fyzikální (teplota tání, měrný objem, moduly pružnosti) Vlastnosti elektrické (vodivost,polovodivost, supravodivost) Vlastnosti magnetické (feromagnetika, antiferomagnetika)
VíceELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA
ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více