LITERATURA. Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress 2007

Transkript

1 ÚVOD DO MATEMATICKÉ LOGIKY 1

2 LITERATURA Čechák V.: Základy logiky a metodologie. Praha Eupress

3 Svátek J., Dostálová L.: Logika pro humanistiku. Aleš Čeněk, Dobrá Voda 2003 Bokr J.:, Svátek J.: Základy logiky a argumentace. Aleš Čeněk, Plzeň 2000 Jirků P.: Logika (neformální výklad základů formální logiky). VŠE, Praha

4 Štěpán J.: Klasická logika. Vontobia, Olomouc 1992 Štěpán J.: Logika možných světů I, II, III. Vontobia, Olomouc 1994, 1997 Peregrin J.: Logika a logiky. Academia, Praha

5 Sochor A.: Klasická matematická logika. Karolinum, Praha 2001 Švejdar V.: Logika neúplnost, složitost a nutnost. Academia, Praha 2002 Weinberger O.: Základy právní logiky. MV-Brno 1993 Knapp V., Gerloch A.: Logika v právním myšlení. Eurolex, Praha 2000 Popper K.: Logika vědeckého zkoumání. Praha

6 Věda abstraktní myšlení předmětné myšlení deskripce Praxe reálná materiální činnost 6

7 Logika Teorie vědy Metodologie vědy historie vědy filozofie vědy věda 7

8 Klasifikace věd T.G.Masaryk Konkrétní logika Teoretické Aplikované praktické Abstraktní Konkrétní užitné Aritmetika Geometrie Zeměměřičství Logika 8

9 Co je metodologie? teorie metod (poznání, vědeckého poznání) nikoliv: popis metody teorie jedné metody 9

10 METODA = způsob jak získávat poznatky NIKOLIV: návod 10

11 Základ metodologie: LOGIKA: - zpřesňuje - zajišťuje jednoznačnost - zajišťuje transparentnost - zajišťuje rozumovou evidenci 11

12 Předmět logiky: správné usuzování Usuzování: získávání jedněch poznatků z jiných (výchozích) jen pomocí myšlení 12

13 Zájem logiky: správné a přesné konstrukce pojmů, správnou výstavbu výroků a tvrzení, spojování jednoduchých výroků a tvrzení ve složitější, zjišťování obecných podmínek správného usuzování atd. 13

14 Vzpomínka na množiny 1 Množina = libovolný soubor objektů, předmětů nebo jevů splňující dvě podmínky: a) existuje efektivní procedura umožňující o libovolném předmětu jednoznačně rozhodnout, zda do daného souboru patří či nikoliv b) lze vždy efektivně rozlišit jeden objekt od jiného, patřícího do téhož souboru 14

15 Vzpomínka na množiny 2 Prvek množiny = objekt, předmět či jev, který do daného souboru (množiny) patří 15

16 Vzpomínka na množiny 3 Podmnožina Množina M2 je podmnožinou množiny M1 tehdy a jedině tehdy, jestliže každý prvek množiny M2 je současně prvkem množiny M1 Tento vztah značíme: M2 M1 16

17 Vzpomínka na množiny 4 Ekvivalence množin Je-li množina M2 podmnožinou M1 a současně M1 je podmnožinou M2, jsou množiny M2 a M1 ekvivalentní Tento vztah značíme M1 M2 17

18 Vzpomínka na množiny 5 α) Každá množina je sama svou podmnožinou β ) Prázdná množina je podmnožinou každé množiny 18

19 Obor úvahy: množina, u níž je vždy ji nutno vymezit s dostatečnou přesností co do ní patří. To znamená, musí vždy a v každém případě (na daném stupni poznání) být k dispozici efektivní postup, umožňující rozhodnout o každé věci, problému atd., zda do našeho oboru úvahy patří či nikoliv. 19

20 obecná jména vlastní jména General Name Individual Name 20

21 Obecná jména jsou zpravidla jména skupin předmětů, objektů, jevů atd., určených nějakou skutečností (kvalitou, tvarem, obecnou vlastností). Na tyto skupiny předmětů budeme mít při našem zjednodušeném přístupu jednu jedinou podmínku. U každého libovolného předmětu či objektu musí existovat za každých okolností finitní (konečná) procedura, umožňující jednoznačně rozhodnout zda daný objekt (předmět) do daného oboru úvahy patří či nikoliv. 21

22 Vlastní jméno: Název prvku (objektu), oboru úvahy, který je označován vlastním jménem, a který budeme nazývat denotátem (designátem) vlastního jména 22

23 Dva navzájem různé objekty (prvky oboru úvahy) nemohou mít nikdy jedno a totéž vlastní jméno 23

24 (z1) Každé vlastní jméno může mít nejvýše jeden denotát (designát) (z2) Každý denotát (designát) může mít více vlastních jmen 24

25 Smysl nelze definovat, jen ilustrovat na dostatečném množství příkladů 25

26 význam získáme spojením denotátu (designátu) vlastního jména a jeho smyslu 26

27 Smysl = Sens = Sinn, Význam = Meaning = Bedeutung 27

28 Vlastní jméno označení (denotace) vyjádření koncept Denotát (designát) význam Smysl 28

29 Porozumět vlastnímu jménu znamená znát alespoň jeden jeho smysl 29

30 Abychom (elementárně) porozuměli jazyku, nemusíme v zásadě vědět nic o denotátech (designátech) vlastních jmen, která obsahuje, stačí znát pouze jejich smysl (u každého jména aspoň jeden) 30

31 Obecná jména označují celé soubory objektů či předmětů 31

32 V případě, že soubor objektů (prvků), označených obecným jménem, je konečný, lze jej vymezit uvedením úplného výčtu jmen (vlastních), označujících jednotlivé objekty (prvky), které lze pod daný obecný pojem zařadit 32

33 Pojmenovat určitou vlastnost názvem, předpokládá existenci přesného objektivního vymezení toho, co pod toto jméno můžeme zahrnout 33

34 Vždy musí existovat procedura (operace, soubor operací), umožňující přesně označenou či pojmenovanou vlastnost jednoznačně identifikovat 34

35 Jako názvy vlastností (event. vztahů) budeme používat pouze takových, které na daném oboru úvahu vymezují nějakou (libovolnou) neprázdnou podmnožinu 35

36 Individuální konstanta (v1) Za individuální konstanty budeme považovat vlastní jména, jejichž denotát (designát) reálně existuje. Budeme je symbolicky značit písmeny a, b, c,... a1, b1, c1,... an, bn, cn 36

37 (v2) Individuální proměnná je proměnná jejímž oborem proměnnosti jsou všechny individuální konstanty k označení použijeme symbolů x, y, z... xn, yn, zn 37

38 (v3) Za výrok lze považovat výraz, který individuální konstantně (přesněji jejímu denotátu, designátu) připisuje nějakou vlastnost, nebo popírá, že ji daná individuální konstanta (její denotát, designát) má 38

39 Symbolicky pak lze vyjádřit výrok s použitím symbolů ap, Pa. Tento způsob zápisu pak budeme označovat jako standardní 39

40 Výrok, který konstatuje, že jedné individuální konstantě náleží právě jedna vlastnost (nebo jí nenáleží), budeme nazývat elementárním výrokem 40

41 (v4) Nahradíme-li v elementárním výroku individuální konstantu za individuální proměnnou, k jejímuž oboru proměnnosti daná individuální konstanta patří, získáme elementární výrokovou formu 41

42 (v5) Výroková proměnná je proměnná, jejímž oborem proměnnosti je množina všech výroků a výrokových forem. K symbolickému zápisu výrokových proměnných budeme používat symbolů: p,q,r, s, p1, q1, r1, s1,...pn, qn, rn, sn 42

43 JAZYKY přirozené čeština, angličtina pseudo-přirozené esperanto umělé (formalizované) 43

44 přirozené - napřed jazyk, pak pravidla komunikace pseudo-přirozené - napřed pravidla, pak jazyk 44

45 umělé přesnost jednoznačnost přesná pravidla ale! v přirozeném jazyce 45

46 jazyk objekt o něm uvažujeme metajazyk v něm uvažujeme o jazyku objektu 46

47 K formalizovanému jazyku můžeme přistupovat přibližně ve třech základních rovinách: syntaktické, sémantické a pragmatické 47

48 SYNTAX V syntaktické rovině chápeme jazyk jako soubor symbolů a pravidel, jak z těchto symbolů tvořit složitější výrazy 48

49 Na symboly máme ze syntaktického hlediska dva základní požadavky: 1) Jeden a tentýž symbol musíme zaznamenat vždy jedním a tímtéž grafickým způsobem 2) Grafický záznam symbolů musí být volen tak, aby symboly byly od sebe vždy dobře rozlišitelné 49

50 V sémantické rovině klademe důraz na denotáty (designáty), smysl, význam symbolů a výrazů, které se ve formalizovaném jazyce vyskytují extenzionální sémantika intenzionální sémantika 50

51 slovník vypíšeme seznam všech symbolů primitivními symboly 51

52 Primitivní symboly budeme považovat za dále nedělitelné, a to ve dvojím smyslu: 1) V jazyce nelze nikdy používat jejich částí 2) Každá konečná lineární posloupnost těchto symbolů může být nahlížena jako posloupnost pouze jedním jediným způsobem 52

53 Libovolnou konečnou posloupnost primitivních symbolů budeme nazývat formulí našeho jazyka 53

54 Důkazem se nazývá konečná posloupnost správně utvořených formulí tehdy a jedině tehdy, jestliže každá správně utvořená formule v této posloupnosti je: (i) axiomem, nebo (ii) vyplývá podle některého z pravidel nebo podle více pravidel odvozování z axiomů nebo ze správně utvořených formulí, které ji v posloupnosti předcházejí 54

55 Teorémem v axiomatickém systému je každá správně utvořená formule, k níž existuje důkaz 55

56 Požadavek efektivnosti, který musí splňovat: zadání primitivních symbolů - musí být efektivní v tom smyslu, že musí existovat metoda, která umožní konečným počtem kroků rozhodnout o každém symbolu, zda mezi primitivní symboly patří nebo ne vymezení správně utvořené formule - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze konečným počtem jeho aplikací rozhodnout, zda je správně utvořená či nikoliv 56

57 zadání axiomů - musí být efektivní v tom smyslu, že o každé formuli lze na jeho základě rozhodnout, zda je axiomem či nikoliv Zpravidla bývají axiomy explicitně vyjmenovány (vypsány), proto se požaduje, aby jich byl vždy konečný a velmi malý počet 57

58 pravidla odvozování - musí být efektivní v tom smyslu, že lze na základě jejich zadání vždy rozhodnout, zda nějaká formule, jako závěr, vyplývá z jiných formulí, jako premis 58

59 Primitivními symboly jazyka Lo budou: 1)p, q, r, s,... pn, qn, rn, sn, 2) -,,,,, 3),, 59

60 Formule Lo Libovolná konečná posloupnost symbolů jazyka Lo je formulí Lo 60

61 SUF Lo kterýkoliv ze symbolů skupiny 1), stojící sám o sobě, je SUF Lo _ je-li p SUF Lo, pak i p je SUF Lo jsou-li p a q SUF, pak i (p q), (p q), (p q) a (p q) jsou SUF nic jiného, než to, co bylo uvedeno v bodech 1, - 3, této definice, již není SUF 61

62 Logické spojky: Symbol - označuje negaci Symboly,,, označují postupně spojky nazvané konjunkce disjunkce implikace a ekvivalence. Ve všech případech jde o logické spojky (funktory) binární 62

63 negace v přirozeném jazyce odpovídající vyjádření slovy ne, neplatí, není pravda, že 63

64 konjunkce českou spojkou a 64

65 disjunkce vyjádřit spojkou nebo 65

66 implikace výrazem z p plyne q 66

67 ekvivalence tehdy a jedině tehdy, když 67

68 Tabulka č. 1 p f1 f2 f3 f

69 Tabulka č. 2 p q F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F

70 (i) Každá SUF je sama svou podformulí (ii) Máme-li nějakou SUF C, která má tvar B, pak obsahuje právě dvě podformule C a B (iii) Máme-li nějakou SUF výr. logiky C, která má některý z následujících tvarů: A B, A B, A B a A B, pak má právě tyto podformule A, B a C (iv) Nic jiného než to, co bylo uvedeno v bodech (i) - (iii) tohoto vymezení, není již podformulí SUF výrokové logiky 70

71 p _ p

72 p q (p q)

73 p q (p q)

74 p q (p q)

75 p q p q

76 p q (p q) (p q)

77 p q r p q r q)

78 Takovou SUF, která nabývá výsledného ohodnocení 1 pro všechny distribuce hodnot výrokovým proměnným, které obsahuje, nazýváme vždy pravdivou formulí výrokové logiky Formule, které nabývají hodnoty 0 pro všechny distribuce hodnot svým proměnným, budeme označovat jako vždy nepravdivé 78

79 Symbol 0, 1 budeme dále nazývat pravdivostními hodnotami 79

80 n (i) P r = 2, kde P r označuje počet řádků, a n počet navzájem různých výrokových proměnných 80

81 Počet n-arních logických spojek lze stanovit podle vztahu P f = 2 n (2 )) kde P f je počet n-arních log. spojek a n je počet navzájem různých výrokových proměnných 81

82 ( z i ) Každou obecně n-ární logickou spojku lze vyjádřit pomocí závorek a vhodně volené, konečné posloupnosti unárních a binárních log. spojek Způsob uzávorkování podformulí a jejich spojování pomocí negace a binárních spojek pak označujeme termínem struktura SUF 82

83 Za elementární formuli budeme označovat formuli, která již žádnou logickou strukturu nemá Každou SUF, která má strukturu, lze rozložit na její podformule Logickou spojku (funktor), spojující dvě největší podformule, dané SUF, budeme nazývat hlavní log. spojkou (funktorem) formule 83

84 FUNKČNÍ ÚPLNOST Všechny binární (a tím i unární) log. spojky lze vyjádřit nezávisle na sobě pomocí následujících dvojic spojek,, a, 84

85 Systém log. spojek, kterými lze vyjádřit všechny binární (a unární) log. spojky budeme nazývat funkčně úplným systémem (spojek) výrokové logiky 85

86 Dvojice log. spojek -, F 3, -, F 4 a -, F 13 tvoří funkčně úplné systémy výrokové logiky 86

87 Každá z logických spojek F 5 a F 15 sama o sobě tvoří funkčně úplný systém výrokové logiky. Každý z těchto systémů je minimálním funkčně úplným systémem výrokové logiky. 87

88 Vždy pravdivé formule nazýváme je tautologie a jejich množina je spočetně nekonečná a budeme ji značit symbolem T 88

89 Zákon vyloučení třetího: buď platí výrok nebo jeho negace, symbolicky: (1) p p 89

90 Zákon nepřípustnosti sporu Říká nám, že současně nemůže platit výrok a jeho negace, symbolicky (2) ( p p ) 90

91 Zákon dvojité negace Negujeme-li již jednou negovaný výrok, je pravdivostní hodnota takto vzniklého výroku stejná jako původního výroku symbolicky = (3) ( p p) 91

92 Komutativní zákon pro konjunkci dovoluje zaměnit ve formuli, kde jedinou binární spojkou je konjunkce, pořadí podformulí ( p q) ( q p) Komutativní zákon pro disjunkci ( p q ) ( q p ) 92

93 Asociativní zákon pro konjunkci Umožňuje nám ve formulích, kde jedinými binárními spojkami jsou konjunkce, nepřihlížet k uzávorkování p (q r ) ( p q ) r Asociativní zákon pro disjunkci p q r ) ( p q ) r 93

94 Distributivní zákon pro konjunkci vzhledem k disjunkci p ( q r ) ( p q ) ( p r ) Distributivní zákon pro disjunkci vzhledem ke konjunkci p ( q r ) ( p q) ( p r ) 94

95 De Morganovy zákony pro disjunkci a konjunkci ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) 95

96 Tranzitivita implikace plyne-li z výroku p výrok q a současně z výroku q plyne výrok r, pak výrok r plyne rovněž (přímo) z výroku p p q) (q r) p r) (p q) ( q r ) (p r ) 96

97 Transpozice pro implikaci obrátíme-li pořadí podformulí v implikaci a současně obě podformule negujeme, výsledná pravdivostní hodnota formule se nemění (p q) ( q p) 97

98 AXIOMATIZACE 98

99 Základní charakteristiky Axiom Pravidla odvozování Teorem Důkaz 99

100 Axiom je vždy pravdivou SUF Platí, že A T, kde A značí množinu všech (zvolených) axiomů 100

101 Pravidla odvozování Jsou to pravidla, která nám zaručují, že v případě, kdy jsou pravdivé (platné) výchozí formule (nazýváme je premisami), pak jsou pravdivé i formule, které z nich získáme pomocí těchto pravidel odvozování. Odvozené formule nazýváme závěry nebo konkluze 101

102 Pravidlo dosazení Dosadíme-li za libovolnou výrokovou proměnnou ve vždy pravdivé formuli výr. logiky jinou výr. proměnnou nebo SUF výr. logiky, a to vždy na všech místech jejího výskytu současně, získáme opět vždy pravdivou formuli výr. logiky. 102

103 Pravidlo odloučení Modus ponens Máme-li nějakou SUF tvaru (A B), která je vždy pravdivá, a je-li současně pravdivá i formule A, pak je nutně pravdivá i formule B Symbolicky můžeme toto pravidlo zapsat: (A B), A B 103

104 Jiná verze (A B), A B Pravidlo zvané Modus tolens ( A B ), B A 104

105 Každý teorém musí být tautologií (i) A T T kde T je množina všech teorémů 105

106 Pojem struktury formule Strukturou formule rozumíme uspořádanou posloupnost symbolů skupin 2) a 3) našeho zadání symbolů jazyka, která vyhovuje podmínce, že všechny podformule jsou SUF a jsou spojeny ve vyšší formule log. spojkami podle vymezení formule bodu 2) 106

107 Formuli, která neobsahuje žádnou binární (nebo vyšší) výrokovou spojku, nazýváme elementární formulí 107

108 (ax. 1) (1) p ( q p ) (2) p q r p q ) ( p r ) (3) ( p q ) ( p q ) (4) ( p q ) ( q p ) (5) ( p q ) ( q p ) (p q ) 108

109 (6) p q ( q p ) (7) ( p q ) ( p p ) (8) ( p ( p q ) (9) p q ) p (10) ( p q p q ) ) (11) p r ) ( q r) ( p q ) r 109

110 (12) ( p (q q ) p (13) ( p p) q (14) p p 110

111 Dva axiomatické systémy jsou navzájem ekvivalentní, mají-li stejné soubory teorémů, které v nich lze odvodit Budeme značit soubor teorémů Cnq (ax. t), kde t značí číslo daného axiomatického systému Cnq (ax 1) Cnq (ax 2) 111

112 1) ( p / q / r) ) / (( p1 / ( p1 / p1 ) ) / (( s / q) / (p / s) / (p / s) ) ( A / ( B / C ) ),A C 112

113 Nezávislost axiomů Libovolný axiom A nějakého axiomatického systému S je nezávislý, není-li teorémem v axiomatickém systému, který získáme ze systému S vynecháním axiomu A, a po připojení jeho negace, tedy formule Ā, k takto zúženému axiomatickému systému získáme opět bezesporný axiomatický systém 113

114 Bezespornost Libovolný systém axiomů (teorie) je bezesporný, jestliže v něm není odvoditelná nějaká formule a současně její negace Systém je absolutně bezesporný, jestliže v něm existuje nějaká správně utvořená formule, která není teorémem 114

115 Úplnost Systém je úplný v absolutním smyslu, jestliže pro libovolnou formuli B platí, že je buď teorémem nebo že po jejím připojení k danému systému jako teorému se tento systém stane sporným v absolutním smyslu 115

116 Systém je úplný, jestliže každý jeho teorém je tautalogií a každá tautalogie (vztahující se k danému systému nebo teorii) je v daném systému teorémem (i) T T 116

117 V predikátové logice elementární výrok Pa výroková forma Px 117

118 1) a, b, c,... a n, b n, c n, Jazyk L 1 2) x, y, z,... x n, y n, z n, 3) P, Q, R, S,... P n, Q n, R n, S n 4),,,, 5) V,, 6),,, 118

119 Libovolnou konečnou posloupnost symbolů skupiny 1) - 6) budeme považovat za formuli (1)Výrazy Pa a Px jsou SUF predikátové logiky (2) Je-li nějaký výraz A SUF, pak i výraz Ā je SUF (3) Jsou-li výrazy A a B SUF predikátové logiky pak i výrazy A B, A B, A B, A B, jsou SUF (4) Je-li nějaký výraz A SUF pak i výrazy V A a A a jsou SUF (5) Nic jiného než to co bylo uvedeno v tomto vymezení za 1) - 4) již není SUF predikátové logiky 119

120 Nyní si nazveme jednotlivé symboly Symboly skupiny 1) jsou individuální konstanty Symboly skupiny 2) jsou individuální proměnné Symboly skupiny 3) jsou konstanty (názvy) predikátů Symboly skupiny 4) jsou nám již známé logické spojky Symboly skupiny 5) nazveme postupně obecný (velký) kvantifikátor, existenční (malý) kvantifikátor Obecný kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy pro všechny platí, že... Existenční kvantifikátor můžeme vyjádřit slovy: existuje takové......, že Skupinu symbolů 6) pak tvoří naše známé pomocné symboly, závorky 120

121 Proměnnou stojící bezprostředně u znaku kvantifikátoru, stejně jako proměnnou, stojící bezprostředně u ní, budeme nazývat kvantifikovanou proměnnou 121

122 Formule, která stojí bezprostředně za poslední kvantifikovanou proměnnou, se označuje termínem pole působnosti kvantifikátoru 122

123 Kvantifikovaná proměnná, která se nachází v poli působnosti kvantifikátoru, se nazývá vázanou proměnnou 123

124 Proměnná, která není vázanou, se nazývá volnou 124

125 Formule, která neobsahuje žádnou volnou proměnnou, se nazývá uzavřenou formulí 125

126 Formule, která obsahuje aspoň jednu volnou proměnnou se nazývá otevřenou formulí 126

127 a) V...( Vx ( A B) ( VxA Vx B ) ) b) V...( VxAx Ax ) c) V... VxyA VyxA d) V... ( Vxy VxA ) y/x tj. za y dosadíme na všech místech jejího výskytu x e) V... ( A VxA ) f) V... Vx ( A B ) ( xa xb ) ) g) V...( Ax xax ) h) V...( xya yxa ) i) V...( xa xya ) j) V...( xa A ) 127

128 Místo Vx Vy Vx n Vy n budeme psát Vx,y x n, x n Místo x y x n y n budeme psát x, y x n, y n 128

129 pravidlo dodání obecného kvantifikátoru A VxA 129

130 vzájemný vztah mezi kvantifikátory VxPx xpx VxPx Pa Pa xpx 130

131 De Morganovy zákony pro kvantifikátory i) Vx Px x Px iii) x Px Vx Px _ ii) Vx Px x Px _ iv) x Px Vx Px 131

132 Formule bude splnitelná existuje-li aspoň jedno udělení hodnot jejím podformulím, při němž nabývá výsledného ohodnocení 1 132

133 Formule je vyvratitelná existuje-li alespoň jedno udílení (distribuce) hodnot jejím podformulím, při němž nabývá výsledného ohodnocení 0 133

134 čtyři typy základních soudů obecné kladné A obecné záporné E částečné kladné I částečné záporné 0 134

135 obecný kladný VxPx obecný záporný Vx Px částečný kladný xpx částečný záporný x Px 135

136 podřízenost kontrárnost protiva A E kontradikce podřízenost subalternost protikladnost subalternost I O podprotiva subkontrárnost 136

137 Hypotéza Musí akceptovat obecně dosažený stupeň poznání v dané oblasti. Nemůže být v rozporu s vědecky prokázanou a potvrzenou strukturou daného oboru a jeho základními principy. (Pokud svým zaměřením nesměřuje k jejímu popření.) 137

138 Každé pravdivé tvrzení, které je v teorii obsaženo, musí být vyvoditelné ze základních principů nebo tvrzení. Jestliže najdeme takové tvrzení, které je evidentně pravdivé a nelze je vyvodit ze základních tvrzení (axiomů, teorémů, postulátů), pak je daná teorie neúplná. 138

139 Teorie je aktuálně bezesporná, jestliže neobsahuje dvě nebo více vzájemně se vylučujících tvrzení. Obsahuje-li alespoň dvě sporná tvrzení, tj. výrok a jeho negaci, označujeme takovouto teorii za spornou - inkonzistentní 139

140 O teorii říkáme, že je potenciálně bezesporná, nelze-li z tvrzení, která obsahuje, vyvodit (pomocí přípustných prostředků) spor, tj. nějaké tvrzení současně s jeho negací 140

141 Klasickou ukázkou definice je (1) p q = d f p q výraz = d f značí je definičně rovno výraz, stojící (nalevo od) před tímto symbolem, nazýváme definiendum výraz stojící za (napravo od) tímto symbolem nazýváme definiens 141

142 Požadavky na správnou definici (a) V definiendu se může vyskytovat pouze jeden symbol první skupiny, a to v nejmenším možném počtu výskytu (b) V definiens se může vyskytovat více symbolů první skupiny, ale pouze ty, které byly zadány jako primitivní, nebo byly již dříve zavedeny správnou definicí 142

143 (a ) V definiendu správné definice se může vyskytovat pouze jediný odborný termín, a to v nejjednodušším možném kontextu (b ) V definiens se mohou vyskytovat pouze ty odborné termíny, které byly zadány jako primitivní, nebo byly již dříve zavedeny správnou definicí 143

144 (i) Správná definice musí být v každém případě souměrná, tj. rozsah definienda musí být stejný jako rozsah definiens V případě, že rozsah definiens je větší než definienda, nazýváme takovouto definici širokou Je-li rozsah definiens menší než rozsah definienda, pak takovou definici nazýváme úzkou 144

145 (ii) Je nepřípustné, aby se v definies vyskytovaly nepřesné, neurčité, metaforické, dvou- či víceznačné nebo nesrozumitelné pojmy (iii) Definice musí vyjadřovat podstatné znaky definovaného pojmu (iv) Definiens nesmí obsahovat pojmy vyjadřující negativní znaky, není-li pojem obsažený v definiendu negativní 145

146 (v) V definiens nesmí být použity termíny, které byly předtím zavedeny pomocí pojmu, který je uveden v definiendu (vi) Definiens správné definice má objasňovat význam a smysl pojmů a nikoliv jen lexikální význam slova, který tento pojem vyjadřuje 146

147 (a) Definiendum a definiens tvoří úplnou alternativu (b) Definiens vylučuje všechny prvky této alternativy s výjimkou těch, které jsou obsaženy v defiendu (c) Pojem nebo pojmy, které jsou uvedeny v definiens, nesmí být samy před tím zavedeny negativní definicí 147

148 klasická definice čtverec je čtyřúhelník pravoúhlý a rovnostranný druh = rod + druhový rozdíl 148

149 definice ostenzí rekurentní definice definice genetické definice korektivní definice kontextuální definici abstrakcí 149

150 Definice syntetické Zavádíme jimi nový pojem nebo nový symbol pro již známý (nebo dříve definovaný) pojem nebo termín V analytické definici zpravidla u pojmu, který je v definiendu zavádíme v definiens další podstatné charakteristiky rozšiřující jeho dosavadní význam 150

151 Konjunktivní a disjunktivní normální formy 151

152 Konjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat elementární konjunkcí. Disjunkci výrokových proměnných (eventuálně výrokových proměnných s negačním pruhem) budeme nazývat elementární disjunkcí. 152

153 Disjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude disjunkcí elementárních konjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu jako daná formule. Konjunktivní normální formou libovolné formule bude formule, která bude konjunkcí elementárních disjunkcí a která bude mít stejnou pravdivostní hodnotu jako daná formule. 153

154 Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky existuje formule, která je s ní ekvivalentní a je disjunktivní normální formou (konjunktivní normální formou). 154

155 Úplnou disjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je disjunkcí elementárních konjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární konjunkci se nevyskytují současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární konjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve formuli vyskytují. 155

156 Úplnou konjunktivní normální formou budeme nazývat formuli, která je konjunkcí elementárních disjunkcí, jež jsou stejného řádu, který se rovná počtu navzájem různých proměnných, jež se ve formuli vyskytují, a v žádné elementární disjunkci se nevyskytuje současně proměnná a tatáž proměnná s negací a přitom jsou v každé elementární disjunkci zastoupeny všechny proměnné, které se ve formuli vyskytují. 156

157 Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy nepravdivou, existuje právě jedna úplná disjunktivní normální forma. 157

158 Ke každé správně utvořené formuli výrokové logiky, která není formulí vždy pravdivou, existuje právě jedna úplná konjunktivní normální forma. 158

159 (1) (p q) (q p) komutativní (2) ((p q) r) (p (q r)) asociativní (3) (p q) (q p) (4) ((p q) r) (p (q r)) 159

160 (5) (p (q r)) (p q) (p r) (6) p (q r)) (p q) (p r) 160

161 (7) (p q) (p q) (8) (p q) (p q) (9) (p q) (p q) (10) (p q) (p q) 161

162 (11) (p p) p (12) (p p) p (13) (p ) p (14) (p λ ) p 162

163 (15) T = (16) F = λ (17) (p p) λ (18) (p p) 163

164 (19) (λ p) p (20) (λ p) λ (21) ( p) (22) ( p) p 164

165 Výskyt kvantifikátoru Vα nebo α v libovolné formuli se nazývá počátečním, jestliže stojí na počátku této formule, (t.j. nevyskytují se před ním žádné jiné symboly této formule, včetně závorek), nebo jestli mu předcházejí ze symbolů uvažované formule pouze znaky kvantifikátorů Vα a α, samozřejmě každý se svojí kvantifikovanou proměnnou. 165

166 Výskyt kvantifikátoru Vα nebo α v libovolné formuli se nazývá neúčinným, jestliže se v jejich poli působnosti nevyskytuje žádný volný výskyt kvantifikované proměnné, která stojí u daného kvantifikátoru. (T.j. žádný volný výskyt proměnné α.) V opačném případě se takový to výskyt kvantifikátoru Vα nebo α (t.j. když se v jeho poli působnosti vyskytuje α jako volná proměnná) nazývá neprázdným. 166

167 Def. 1. Jestliže ve formuli A jsou všechny výskyty kvantifikátoru neprázdné a počáteční, pak říkáme, že tato formule se nachází v prenexní normální formě. α 1, α 2,... α n M 167

168 Tvrzení 1. Ke každé formuli A naší formulace predikátové logiky existuje konečná posloupnost operací, jejichž pomocí můžeme danou formuli přepracovat na formuli A, v níž budou všechny kvantifikátory počátečními. Přitom formule A je jednoznačně určená, je-li dána formule A. Tvrzení 2. Ke každé formuli A systému predikátové logiky lze najít odpovídající formuli B,která je v prenexní normální formě. Tvrzení 3. Je-li formule B prenexní normální formou formule A, pak platí / _ A B. Def. 2 Říkáme, že formule je ve Skolemově normální formě,jestliže je v prenexní formě, neobsahuje žádné volné individuální proměnné a její prefix má tvar: α1, α2,..., αm, Vβ1, Vβ2,... Vβn, kde m 1 a n = 0 Tvrzení 5. Jestliže C je Skolemova normální forma formule A, pak platí / _ A, tehdy a jedině tehdy, jestli platí / _ C. 168

169 Def. 5. Budeme říkat, že formule A je obecně platná, je-li platná v libovolné neprázdné oblasti. Def. 6. Budeme říkat, že formule A je obecně splnitelná, je-li splnitelná na nějaké neprázdné oblasti. 169

170 a) Formule A je platná na nějaké neprázdné oblasti, tehdy a jedině tehdy, není-li na této oblasti splnitelná formule Ā. a ) Formule A je obecně platná pouze tehdy, není-li formule Ā obecně splnitelná. b) Formule A je splnitelná na nějaké oblasti pouze tehdy, není-li na této oblasti formule Ā platná. b ) Formule A je obecně splnitelná pouze tehdy, není-li formule Ā obecně platná. 170