Optimalizace portfolia a míry rizika. Pavel Sůva

Transkript

1 Základní seminář 6. října 2009

2 Obsah Úloha optimalizace portfolia Markowitzův model Míry rizika Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk Drawdown míry rizika Minimalizační formule Optimalizační modely Empirická aplikace Tato prezentace je ke stažení na webu suvap6am/

3 Úloha optimaliazce portfolia Chceme investovat do aktiv z nějaké předem dané množiny. Nevíme, jaké výnosy jednotlivá aktiva v budoucnu přinesou, pokládáme je za náhodné. Cíl: Nalezení investiční strategie, která bude maximalizovat výnos a minimalizovat riziko ztráty. Jak na to: Nějakým způsobem (historická data, generování scénářů) odhadneme rozdělení výnosů, potom budeme maximalizovat očekávaný výnos portfolia (tj. střední hodnotu výnosů) a minimalizovat riziko ztráty. Problémy: výnosy jsou náhodné úloha vícekriteriální optimalizace jak měřit riziko? Měření rizika: Markowitzův model; moderní míry rizika (VaR, CVaR); dynamické míry rizika (drawdown)

4 Markowitzův model m aktiv (akcíı), do nichž můžeme investovat r i... náhodný výnos i-tého aktiva, i = 1,..., m r = (r 1, r 2,..., r m ) T ˆr = (ˆr 1, ˆr 2,..., ˆr m ) T = Er... vektor středních hodnot náhodného vektoru r V = [cov(r i, r j ), i, j = 1,..., m] = var r... varianční matice náhodného vektoru r x i... váhy určující složení portfolia, i = 1,..., m, m i=1 x i = 1 x = (x 1, x 2,..., x m ) T ˆr (p) (x) = x Tˆr m = ˆr i x i... očekávaný výnos portfolia σ 2 (x) = x T Vx = i=1 m x i cov(r i, r j )x j... rozptyl výnosu portfolia, riziko i,j=1

5 Markowitzův model Minimalizujeme riziko (rozptyl) za podmínky, že očekávaný výnos portfolia bude alespoň roven dané hodnotě µ, tj. min x X xt Vx s.t. x Tˆr µ kde X je konvexní polyedrická množina omezení, definovaná požadavkem m i=1 x i = 1, případně dalšími lineárními podmínkami. Protože V je pozitivně semidefinitní matice, je účelová funkce konvexní.

6 Markowitzův model Varianty Markowitzova modelu: ekvivalentně lze maximalizovat výnos za podmínky na riziko, nebo minimalizovat rozdíl výnosu a rizika možnost investice do bezrizikového aktiva podmínky nezápornosti a další lineární omezení Nevýhody Markowitzova modelu: nejedná se o úlohu lineárního programování - účelová funkce je kvadratická rozptyl není nejvhodnějším prostředkem k měření rizika (penalizuje odchylky od očekávaného výnosu nahoru i dolů a navíc není subaditivní) Vylepšení: nahrazení rozptylu tzv. semivariancí, která se ale v praxi obtížně počítá

7 Míry rizika m aktiv, do nichž můžeme investovat r = (r 1, r 2,..., r m ) T... vektor náhodných výnosů x = (x 1, x 2,..., x m ) T... vektor vah X... množina možných rozhodnutí jak a do kterých aktiv investovat Definice Ztrátovou funkcí rozumíme náhodnou veličinu Z = g(x, r), která je funkcí vektoru x X R m a náhodného vektoru r se složkami definovanými na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) a majícími hodnoty v (E, B(E)), kde B(E) je Borelovská σ-algebra generovaná metrickým prostorem E R. Definice Necht Z je množina ztrátových funkcí. Potom mírou rizika rozumíme funkcionál ρ : Z R.

8 Míry rizika Definice Necht ρ je míra rizika a necht Z, Y Z. Řekneme, že ρ je koherentní, jestliže pro ni platí: Ekvivariance vůči posunutí: ρ(z + c) = ρ(z) + c. Pozitivní homogenita: ρ(λz) = λρ(z), λ 0. Monotonie: Necht Y Z všude na Ω, potom ρ(y ) ρ(z). Subaditivita: Necht navíc Y + Z Z, pak ρ(y + Z) ρ(y ) + ρ(z). Tyto vlastnosti jsou hezké v tom smyslu, že je intuitivně očekáváme od nástroje určeného k měření rizika.

9 Value-at-Risk m aktiv, do nichž můžeme investovat, k nim navíc bezrizikové aktivum r = (r 0, r 1, r 2,..., r m ) T... vektor výnosů, kde r 0 je pevný výnos bezrizikového aktiva a r 1,..., r m jsou náhodné výnosy (za nějakou danou časovou jednotku) x = (x 0, x 1, x 2,..., x m ) T X... vektor vah X... konvexní polyedrická množina omezení, definovaná požadavkem m i=0 x i = 1, případně dalšími lineárními podmínkami r (p) (x) = r T x = m r i x i... výnos portfolia i=0 g(x, r) = r (p) (x)... ztráta portfolia g(x, r) je náhodná veličina s distribuční funkcí ψ(x, ξ) = P[g(x, r) ξ].

10 Value-at-Risk Value-at-Risk (VaR) na hladině α definujeme jako hodnotu ztráty portfolia, která bude překročena s (malou) pravděpodobností nejvýše 1 α, tzn. ztráta bude s (velkou) pravděpodobností menší, než VaR. Definice Necht α (0, 1) a g(x, r) je ztrátová funkce. Value-at-Risk VaR α (x) definujeme předpisem Dále definujeme horní VaR jako VaR α (x) = min{ξ ψ(x, ξ) α}. VaR + α(x) = inf{ξ ψ(x, ξ) > α}. VaR α (x) je tedy α-kvantil ztráty portfolia.

11 Value-at-Risk pravděpodobnost VaR α pravděpodobnost 1 α největší ztráta ztráta

12 Value-at-Risk Value-at-Risk je v současnosti nejpoužívanější míra rizika, je doporučen Basilejskou komisí. Nevýhody Value-at-Risk: není subaditivní a tedy ani koherentní mírou rizika neobsahuje informaci o závažnosti ztráty, ke které může dojít ve zbývajících (1 α) 100% případů Vylepšení: tyto problémy odstraňuje Conditional (podmíněný) Value-at-Risk.

13 Conditional Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk (CVaR, také známý jako expected shortfall a expected tail loss ) na hladině α definujeme jako střední hodnotu (1 α) 100% největších ztrát, tj. lze si jej představit jako střední hodnotu ztrát, které překročí VaR (to ale nemusí přesně platit vždy). Definice Necht g(x, r) je ztrátová funkce. Definujeme α-chvost jako náhodnou veličinu T α s distribuční funkcí 0, ξ < VaR α (x), ψ α (ξ) = ψ(x, ξ) α, ξ VaR α (x). 1 α Potom definujeme Conditional Value-at-Risk jako CVaR α (x) = ET α.

14 Conditional Value-at-Risk Tvrzení (CVaR jako vážený průměr) Necht λ α (x) = ψ α (VaR α (x)), tedy Pro CVaR α (x) platí rovnost λ α (x) = ψ(x, VaR α(x)) α. 1 α CVaR α (x) = λ α (x)var α (x) + (1 λ α (x))e[g(x, r) g(x, r) > VaR α (x)]. Tvrzení (Vztah VaR a CVaR) Pro každé α (0, 1) a váhy x platí VaR α (x) CVaR α (x). Rovnost nastane pouze tehdy, když pravděpodobnost ztráty větší než VaR α (x) je nulová. Navíc: CVaR je konvexní a koherentní míra rizika.

15 Conditional Value-at-Risk pravděpodobnost VaR α pravděpodobnost 1 α největší ztráta CVaR α ztráta

16 Conditional Value-at-Risk Pokud náhodné výnosy budou mít absolutně spojité rozdělení s hustotou p(r), potom bude platit: ψ(x, ξ) = p(r)dr, g(x,r) ξ P[g(x, r) VaR α (x)] = 1 α, CVaR α (x) = 1 g(x, r)p(r)dr. 1 α g(x,r) VaR α(x) Nás však kvůli praktickému využití (scénáře) víc zajímá případ, kdy rozdělení diskrétní.

17 Conditional Value-at-Risk Tvrzení (CVaR pro diskrétní rozdělení) Necht náhodný vektor výnosů r má diskrétní rozdělení soustředěné v konečně mnoha bodech. Potom ztráta portfolia g(x, r) bude mít pro pevné x rovněž diskrétní rozdělení soustředěné v konečně mnoha bodech v 1 < v 2 <... < v S, pro něž bude platit P[g(x, r) = v s ] = p s, S s=1 p s = 1. Pro α (0, 1) najdeme právě jeden index s α takový, že Pak platí s α 1 s=1 p s < α s α s=1 p s. a VaR α (x) = v sα [( CVaR α (x) = 1 sα ) p s α v sα + 1 α s=1 S s=s α+1 p s v s ].

18 Drawdown míry rizika 0, T... časový interval rozdělený na konečný počet podintervalů [t k 1, t k ], k = 1,..., N, t 0 = 0, t N = T m aktiv, do nichž můžeme investovat, k nim navíc bezrizikové aktivum r(t k ) = (r 0 (t k ), r 1 (t k ), r 2 (t k ),..., r m (t k )) T... vektor výnosů v čase t k (tj. za období [t k 1, t k ]), kde r 0 (t k ) je pevný výnos bezrizikového aktiva a r 1 (t k ),..., r m (t k ) jsou náhodné. x(t k ) = (x 0 (t k ), x 1 (t k ), x 2 (t k ),..., x m (t k )) T... vektor vah v čase t k X... konvexní polyedrická množina omezení pro váhy, definovaná požadavkem m i=0 x i(t k ) = 1, k = 1,..., N, případně dalšími lineárními podmínkami r (p) k (t k ) = r(t k ) T x(t k ) = m i=0 r i(t k )x i (t k )... výnos portfolia v čase t k w k = k j=1 r (p) j (x(t j ))... částečný součet výnosů portfolia do času t k (uncompounded cumulative portfolio rate of return) w = (w 1, w 2,..., w N ) T

19 Drawdown míry rizika Definice Drawdown portfolia definujeme jako vektor AD(w) = AD = (AD 1,..., AD N ) T, AD k = max 0 j k w j w k. Drawdown portfolia v čase t k, tj. AD k, nám říká, jaký největší nezáporný rozdíl byl mezi některým z předešlých částečných součtů výnosů (tj. těch v časech t 0,..., t k ) a částečným součtem výnosů v čase t k, tedy o kolik nejvíc jsme na tom v minulosti byli lépe než ted. w t AD t t

20 Drawdown míry rizika Definice Necht [0, T ] je časový interval, který je rozdělen na konečný počet podintervalů [t k 1, t k ], k = 1,..., N, t 0 = 0, t N = T. Maximální drawdown na tomto intervalu je definován jako MaxDD(AD(w)) = max 1 k N AD k. a průměrný drawdown na tomto intervalu jako AvDD(AD(w)) = 1 N N AD k. k=1 Analogicky k CVaR chceme zavést takovou drawdown míru, která nám bude pro zvolené α (0, 1) udávat střední hodnotu (1 α) 100% největších (nejhorších) drawdownů.

21 Drawdown míry rizika Definujeme pomocnou funkci π AD (z) = 1 N indikátorová funkce. N I {ADk z}, kde I je z 1 7/8 AD t 3/4 5/8 z 1/2 3/8 1/4 1/8 z 0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 AD2 AD7 AD8 AD6 AD1 AD5 AD4 AD3 k=1

22 Drawdown míry rizika π 1 AD (α) = { inf {z π AD (z) α}, α (0, 1] 0, α = 0. Byla-li by π AD prostá, pak by π 1 AD byla funkcí k ní inverzní. z 1 7/8 3/4 5/8 1/2 3/8 1/4 1/8 z 0 AD2 AD7 AD8 AD6 AD1 AD5 AD4 AD3 AD5 AD1 AD6 AD8 AD3 AD7 AD4 AD /8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1

23 Drawdown míry rizika 1 AD5 AD1 AD6 AD8 AD3 AD7 AD4 AD2 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 Dále definujeme pomocnou množinu Ξ α = {AD k AD k > π 1 AD (α), k = 1,..., N} Definice Necht α [0, 1). Podmíněný drawdown (Conditional Drawdown at Risk) na hladině α definujeme jako ( πad (π 1 CDaR α (AD(w)) = AD (α)) α 1 α ) π 1 AD (α)+ 1 (1 α) N AD k Ξ α AD k.

24 Drawdown míry rizika Vlastnosti CDaR: maximální a průměrný drawdown jsou limitní případy podmíněného drawdownu (pro α 1, resp. α 0 + ) dynamická (multi-period) míra rizika (tzn. bere v úvahu velikost možných ztrát přes delší časový horizont, zatímco CVaR uvažuje pouze jednorázové ztráty) konvexní a koherentní míra rizika (stejně jako CVaR)

25 Minimalizační formule Definujeme funkci F α (x, y) = y α E [[g(x, r) y] +]. Lze ukázat, že tato funkce je konvexní v y a navíc platí CVaR α (x) = min y R F α(x, y). Přitom množina arg min y F α (x, y) je neprázdný, uzavřený, omezený interval, jehož levým krajním bodem je VaR α (x) a tedy platí F α (x, VaR α (x)) = CVaR α (x). V případě, že náhodný vektor r bude mít diskrétní rozdělení soustředěné v konečně mnoha bodech r s, s = 1,..., S s pravděpodobnostmi p s, s = 1,..., S, bude mít funkce F α (x, y) tvar F α (x, y) = y α S s=1 p s [ r (p) s y] +.

26 Minimalizační formule Tvrzení (Minimalizační formule pro CVaR) Necht g(x, r) je ztráta portfolia a α (0, 1). CVaR α (x) lze vypočítat vyřešením úlohy [ CVaR α (x) = min y + 1 y 1 α E [g(x, r) y] +] vedoucí k jediné optimální hodnotě y = VaR α (x) nebo k uzavřenému intervalu optimálních hodnot y [VaR α (x), VaR + α(x)].

27 Minimalizační formule Tvrzení (Minimalizační formule pro CVaR - diskrétní případ) Necht náhodný vektor výnosů r má diskrétní rozdělení soustředěné v konečně mnoha bodech r s, s = 1,..., S, s pravděpodobnostmi p s, s = 1,..., S. Necht r s (p) = rs T x. Pak lze lze CVaR α (x) vypočítat vyřešením úlohy CVaR α (x) = min y y α Tuto formuli lze ekvivalentně zapsat jako S s=1 p s [ r (p) s y] +. CVaR α (x) = min y,z s.t. y + 1 (1 α) S p s z s s=1 z s r (p) s y, z s 0, s = 1,..., S.

28 Minimalizační formule Analogicky postupujeme pro CDaR: Tvrzení (Minimalizační formule pro CDaR) Necht AD(w) = (AD 1,..., AD N ) T je drawdown funkce a α (0, 1). Výpočet hodnoty CDaR α (AD(w)) lze redukovat na úlohu lineárního programování CDaR α (AD(w)) = min y,z y + 1 (1 α)n N z k k=1 s.t. z k AD k y, z k 0, k = 1,..., N, vedoucí k jediné optimální hodnotě y = π 1 AD (α) nebo k uzavřenému intervalu optimálních hodnot y [π 1 AD (α), π 1 AD (α +)] (kde α + značí limitu zprava).

29 Optimalizační modely Chceme modely optimalizace portfolia pomocí CVaR a CDaR tak, abychom oba mohli aplikovat stejným způsobem na stejná data. Předpokládejme, že dostaneme historická data o výnosech, obsahující pozorování v N stejně dlouhých obdobích (např. každodenní uzavírací kurzy akcíı na burze). Potom tato data budeme považovat za N stejně pravděpodobných scénářů (indexovaných k = 1,..., N namísto s = 1,..., S a majících pravděpodobnost 1 N ) jednorázových ztrát pro CVaR, ale zároveň za jeden scénář s N obdobími pro CDaR jakožto dynamickou míru rizika. Zároveň budeme předpokládat, že složení portfolia bude po celou dobu stejné (tj. váhy portfolia konstantní). Výnos portfolia určeného vahami x odpovídající k-tému období našeho scénáře označíme ˆr (p) k (x).

30 Optimalizační modely Budeme hledat takové váhy x X, abychom minimalizali CVaR (resp. CDaR) za podmínky, že očekávaný výnos portfolia bude alespoň roven dané hodnotě µ, tj. půjde o úlohu min CVaR α(x) nebo CDaR α (x) x X N 1 s.t. N r (p) k (x) µ, k=1 Lze ukázat, že minimalizace CVaR α (x) přes všechna x X je ekvivalentní minimalizaci funkce F α (x, y) přes všechna x X a všechna y R, tj. min CVaR α(x) = min F α(x, y). x X x X,y Ke konstrukci modelu optimalizace portfolia pomocí CVaR lze proto využít minimalizační formule. Analogie platí i pro CDaR.

31 Optimalizační modely Optimalizace portfolia pomocí CVaR úloha LP: min x X,y,z s.t. 1 N y + 1 (1 α)n N k=1 z k ˆr (p) k N z k k=1 ˆr (p) k (x) µ, y, z k 0, k = 1,..., N Optimalizace portfolia pomocí CDaR úloha LP: min x X,u,y,z s.t. 1 N y + 1 (1 α)n N k=1 N z k k=1 ˆr (p) k (x) µ, z k u k y, z k 0, u k u k 1 ˆr (p) k (x), u 0 = 0, u k 0, k = 1,..., N

32 Empirická aplikace Úkol: S pomocí CVaR a CDaR hledáme optimální portfolio akcíı obchodovaných na Burze cenných papírů Praha, z nichž se ke dni skládalo portfolio pražské burzy index PX, tj. tituly: CETV, ČEZ, Erste Bank, Komerční banka, Orco, Phillip Morris ČR, Telefónica O2 C.R., Unipetrol, Zentiva. Data: Týdenní výnosy těchto titulů za období až Riziko měříme na hladině α = 0, 95. Voĺıme požadované očekávané týdenní výnosy µ = 0, 08% až 1, 18%. Zjistíme, co se změní, nepovoĺıme-li nákup bezrizikového aktiva (bezriziková úroková míra je 4% p.a.). Krátké prodeje nejsou povoleny (tj. pro váhy platí x i 0 i).

33 Empirická aplikace Výsledky s bezrizikovým aktivem CVaR i CDaR dávají velmi podobná portfolia, která obsahují jen bezrizikové aktivum a dva nejvýnosnější tituly.

34 Empirická aplikace 1,4% Eficientní hranice CDaR 1,4% Eficientní hranice CVaR 1,2% 1,2% 1,0% 1,0% pož. výnos 0,8% 0,6% pož. výnos 0,8% 0,6% 0,4% 0,4% 0,2% 0,2% 0,0% 0,0% 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 CDaR 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 CVaR Srovnání efic. hranic vzhledem k CDaR Srovnání efic. hranic vzhledem k CVaR 1,4% 1,4% 1,2% 1,2% 1,0% 1,0% pož. výnos 0,8% 0,6% 0,4% pož. výnos 0,8% 0,6% 0,4% 0,2% 0,2% 0,0% 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 CDaR 0,0% 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 CVaR CDaR-eficientní CVaR-eficientní CDaR-eficientní CVaR-eficientní

35 Empirická aplikace Výsledky bez bezrizikového aktiva rozmanitější portfolia; CVaR-eficientní portfolia jsou více diverzifikovaná, než CDaR-eficientní; složení CVaR-eficientní a CDaR-eficientní pro nižší hodnoty µ jsou velmi odlišná

36 Empirická aplikace Srovnání část. součtů výnosů efic. portfolií a indexu PX 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% CDaR-eficientní, PX CVaR-eficientní, PX CDaR-eficientní, 0,75% CVaR-eficientní, 0,75% Index PX Částečné součty výnosů pro eficientní portfolia s oček. výnosem 0, 53% (=výnos indexu PX) a 0, 75% a pro portfolio indexu PX.

37 Empirická aplikace 1,4% Eficientní hranice CDaR 1,4% Eficientní hranice CVaR 1,2% 1,2% 1,0% 1,0% pož. výnos 0,8% 0,6% pož. výnos 0,8% 0,6% 0,4% 0,4% 0,2% 0,2% 0,0% 0,0% 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 CDaR 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 CVaR Srovnání efic. hranic vzhledem k CDaR Srovnání efic. hranic vzhledem k CVaR 1,4% 1,4% 1,2% 1,2% 1,0% 1,0% pož. výnos 0,8% 0,6% 0,4% pož. výnos 0,8% 0,6% 0,4% 0,2% 0,2% 0,0% 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 CDaR 0,0% 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 CVaR CDaR-eficientní CVaR-eficientní CDaR-eficientní CVaR-eficientní

38 Empirická aplikace Viděli jsme: na nižších hladinách očekávaných výnosů (µ < 0, 8%) jsou CVaR-eficientní portfolia velmi riziková vzhledem k CDaR a naopak, CDaR-eficientní portfolia velmi riziková vzhledem k CVaR Tituly, které do portfolíı zařadil pouze CVaR, mohly mít malé mezitýdenní poklesy, ale zato dlouhodobější klesající tendence. Tituly, které do portfolíı zařadil pouze CDaR, mohly mít neklesající dlouhodobý trend, ale občasné větší jednorázové odchylky. Důvod: Rozdílný způsob měření rizika CVaR je citilivější na jednorázové propady zatímco CDaR je citlivý na dlouhodobější klesající trendy

39 Literatura Branda M. (2006) Míry rizika - dynamika, citlivost. (diplomová práce) Chekhlov A., Uryasev S., Zabarankin M. (2004) Drawdown Measure in Portfolio Optimization. Krokhmal P., Uryasev S., Zrazhevsky G. (2003) Numerical Comparison of CVaR and CDaR Approaches: Application to Hedge Funds. Rockafellar R. T., Uryasev S. (2002) Conditional Value-At-Risk for General Loss Distributions. Sůva P. (2009) Drawdown v úlohách optimalizace portfolia. (bakalářská práce)