Teorie her pro FJFI ČVUT řešené úlohy
|
|
- Dalibor Liška
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Tyto úlohy volně doplňují přednášky z kursu teorie her. Rozsah látky a použité značení odpovídá slajdům dostupným na stránce věnované výuce. Γ S S Γ 3 o = o = o 3 = vítězná o o Γ u u(o ) = u(o ) = u(o 3 ) = 0 (s, s ) S S v = u (s, s ) := u(o i ) {, 0, } o i s, s s s v = u (s, s ) = s v = u (s, s ) = s v = u (s, s ) = 0 3 j {,, 3} j {,, 3} 4 j zpětné indukce N = {,, 3}
2 3 a b a 3 c 3 b 3 a b c d e f g h c d e f (3,, 4) (0, 0, 5) (0, 0, 5) (0,, 3) (, 5, 0) (5, 4, 0) (0,, 5) (0, 0, 3) (, 3, 4) (,, 3) c d 3 a b a 3 c 3 b 3 a b c d e f g h c d e f (3,, 4) (0, 0, 5) (0, 0, 5) (0,, 3) (, 5, 0) (5, 4, 0) (0,, 5) (0, 0, 3) (, 3, 4) (,, 3) 3 3 a b a 3 f c 3 a b (3,, 4) (0,, 3) (, 5, 0) (0,, 5) (, 3, 4)
3 a b (3,, 4) (, 3, 4) 3 a b a 3 c 3 b 3 a b c d e f g h c d e f (3,, 4) (0, 0, 5) (0, 0, 5) (0,, 3) (, 5, 0) (5, 4, 0) (0,, 5) (0, 0, 3) (, 3, 4) (,, 3) i N s i V i s i (x) A(v i ) A(v i ) i x V i (a, c, f ) G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ) n = N β i : S i R i N β i (s i ) = max t i S i u(t i, s i ), s i S i, s i S i i N nejlepší odezvou na (n )-tici strategií s i S i u i (s i, s i ) = β i (s i ). n (s i ) i N S S n s i s i i N u i (s i, s i) u i (t i, s i) t i S i u i (s i, s i) = β i (s i)
4 Test rovnovážného řešení pomocí čistých strategií. G = (N, (S i ) i N, (u i ) i N ) G = (N, ( i ) i N, (U i ) i N ) p := n n i U i (p ) U i (p i, p i), p i i p G i S i = {s i,..., s m i i s j i S i δ s j i δ s j(s k i ) = i { k = j, 0 k j, } m i N k =,..., m i. m i i p i i m i p i = p i (s j i )δ s j. i U i ( mi ) U i (p i, p i) = U i p i (s j i )δ m i ( s j, p i = p i (s j i )U i i j= j= j= δ s j i ), p i U i (p ), p Partnerský spor. K F u (s, s ) u (s, s ) K F K, 0, 0 F 0, 0,
5 (K, K) (F, F ) x := p (K) y := p (K) p (K) K p (K) K p (F ) = p (K) = x p (F ) = p (K) = y [0, ] ({, }, ([0, ], [0, ]), (U, U )), U (x, y) = xy + ( x)( y) U (x, y) = xy + ( x)( y) x, y [0, ] P([0, ]) [0, ] BR, BR : [0, ] P([0, ]) { BR (y) := x [0, ] U (x, y) = max BR (x) := x [0,] { y [0, ] U (x, y) = max U (x, y ) y [0,] } U (x, y), y [0, ], }, x [0, ]. 0 0 y <, x <, 3 BR (y) = [0, ] y = 3, BR (x) = [0, ] x = < y,, 3 < x. 3 3 BR BR 0 y 0 x (x, y ) [0, ] x BR (y ) y BR (x ).
6 BR BR x 0 y (x, y ) [0, ] BR BR {(0, 0), (, ), (, )} 3 3 (F, F ) (K, K) (p, p ) p (K) = 3 p (K) = 3 Matching Pennies. 0 0 u (s, s ) u (s, s ) = u (s, s ) (s, s ) {0, } x := p (0) y := p (0) [0, ] G = ({, }, ([0, ], [0, ]), (U, U )), U (x, y) = 4xy x y + U (x, y) = U (x, y) x, y [0, ] x 0 x <, Λ(x) := min U (x, y) = 0 x = y [0,], x < x, y 0 y <, Λ(y) := max U (x, y) = 0 y = y [0,], y < y.
7 max Λ(x) = min Λ(y) = 0, x [0,] y [0,] G 0 (x, y ) = (, ) S = S = [0, ] u (s, s ) = + (s s ), (s, s ) [0, ]. u [0, ] dolní horní cenu Λ(s ) = min s [0,] u (s, s ), Λ(s ) = max u (s, s ). s [0,] v = max Λ(s ), s [0,] v = min s [0,] Λ(s ). { Λ(s ) = +(s 0 s ), < s +s, Λ(s ) =, s [0, ]. v = Λ( ) = 4 5 < v = Cournotův model duopolu. i =, q i 0 i c > 0 P (q, q ) = a b(q + q ) a, b > 0 a c
8 i f i : [0, ) R f i (q, q ) = P (q, q )q i cq i = (a c)q i bq i bq q. S = S = [0, ) (q, q ) [0, ) f (q, q ) f (q, q ) f (q, q ) f (q, q ) q, q [0, ) (q, q) [0, ) f (., q) f (q,.) [0, ) f q = a c bq bq, f q = a c bq bq. a c bq bq = 0 a c bq bq = 0 q = q = a c 3b f q = f q = b < 0, f (., q) f (q,.) (q, q) = ( a c, a c) 3b 3b ( a b A = c d ), a, b, c, d R. x = (x, x) T y = (x, y) T x, y [0, ] U : [0, ] R U(x, y) = x T Ay = (a + d b c)xy + (b d)x + (c d)y + d, (x, y ) U x (x, y ) = U y (x, y ) = 0.
9 (a + d b c)y + b d = (a + d b c)x + c d = 0 a + d b c 0 x = (x, x ) T = a+d b c (d c, a b)t, y = (y, y ) T = a+d b c (d b, a c)t. a + d b c = 0 U U(x, y) = (b d)x + (c d)y + d. b d c d a = b + c d a c a b A ( ) 0 4 A =. 5 x = (, 0) T y = (0, ) T b d c < d b < d c d b < d c < d 0 A =. 0 x 0 x = (x, x, x 3 ) T x 0 A T x x 0 0, 3 x i =, i= x 0.
10 y 0 y = (y, y ) T y 0 Ay y 0 0, y i =, i= y 0. x 0 x + x 3 x 0 0, x + x x 0 0, x + x + x 3 =, x, x, x 3 0, y 0 y y 0 0, y + y y 0 0, y y 0 0, y + y =, y, y 0. x = (0, 3, 3 )T, y = ( 3, 3 )T, x 0 = y 0 = 3 p U v p min p U(p, p ) = v. p U(p, p ) v
11 p v U(p, p ) = v {, } x x x C x 4 T C T x 3 C T C x 5 T x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 b p x 3 x 8 ρ(x j, (b, b )) b b W = {x } W = {x 4, x 5 } b (α, β) [0, ] b (C, W ) = α b (C, W ) = β W W x 0 p s : {W, W } {C, T, C, T } s (W ) {C, T } s (W ) {C, T } p (s ) = b (s (W ), W ) b (s (W ), W ). ρ (x 8, b ) x 8 b ρ (x 8, b ) = b (T, W ) b (T, W ) = ( α) ( β). s S(x 8 ) x 0 x 8 s (W ) = T s (W ) = T ρ (x 8, p ) = p (s ) = b (T, W ) b (T, W ) = ( α) ( β).
12 ρ (x 3, b ) ρ (x 3, p ) ρ (x 3, b ) = b (C, W ) = α. x 3 s (W ) = C s (W ) = C s (W ) = C s (W ) = T S (x 3 ) = {s, s } ρ (x 3, p ) = p (s ) + p (s ) = = b (C, W ) b (C, W ) + b (C, W ) b (T, W ) = αβ + α( β) = α. ρ(x j, (b, b )) x j b (C, W ) = b (T, W ) = ρ(x 3, (b, b )) = 5 ρ (x 3, b )ρ (x 3, b ) = 5 α, ρ(x 7, (b, b )) = ρ 5 (x 7, b )ρ (x 7, b ) = ( α)β, 5 ρ(x 8, (b, b )) = ρ 5 (x 8, b )ρ (x 8, b ) = ( α)( β), 5 ρ(x 9, (b, b )) = 3ρ 5 (x 9, b )ρ (x 9, b ) = 3 5 ρ(x 0, (b, b )) = 3 5 ρ (x 0, b )ρ (x 0, b ) = 3 5 ρ(x 6, (b, b )) = 3 5 ρ (x 6, b )ρ (x 6, b ) = 3 5. β, ( β), S P S P K N 3 (u, u, u 3 ) W A = {x } W B = {x 3, x 4 } W C = {x }
13 0 A x x C S P P S (,, ) K x 3 N B K x 4 N (,, ) (0, 0, 0) (,, ) (0, 0, 0) (,, ) W B = S A = {S, P }, S B = {K, N}, S C = {P, S }. S A S B S C 3 K S P S (0, 0, 0) (,, ) 4 4 P (,, ) (0, 0, 0) 4 4 N S P S (0, 0, 0) (,, ) 4 4 P (,, ) (0, 0, 0) 4 4 (S, K, S ) (P, N, P ) Γ
14 x 0 A B x L R (6, 0) l r W l r (8, 0) (0, 8) (0, 8) (8, 0) Γ(x 0 ) = Γ Γ(x ) x Γ(x ) x. krok. Γ(x ) i b i β := b (l, W ) γ := b (L, x ) L R l (8, 0) (0, 8) r (0, 8) (8, 0) U (β, γ) = 6βγ 8β 8γ + 8 U (β, γ) = 6βγ + 8β + 8γ. BR BR 0 0 γ <, 0 β <, BR (γ) = [0, ] γ =, BR (β) = [0, ] β = < γ,, 0 < β. (β, γ ) [0, ] β BR (γ ) γ BR (β ).
15 (β, γ ) = (, ) Γ(x ) b (l, W ) =, b (L, x ) =. ( U (, ), U (, )) = (4, 4). krok A x 0 B (4, 4) (6, 0) B b (B, x 0 ) = Závěr: b b v N = {,, 3} { 0 A =, v(a) = A A. A B = A + B A B v v(a B)+v(A B) v(a)+v(b) C(v) x v,π π N π() = π() = 3 π(3) = x = v({}) v( ) = 0, x 3 = v({, 3}) v({}) =, x = v({,, 3}) v({, 3}) =. {(0,, ), (, 0, ), (,, 0)} x + x + x 3 =
16 v : N R N = {,, 3} 0 A =, A = {}, {}, v(a) = A = {3}, 4 A =, 5 A = N. v v v(a B) v(a)+v(b) A, B N A B = v(n) < v({, } + v({3}) v C(v) x C(v) x + x + x 3 = 5 x + x 4 x 3 5 = x + x + x 3 6 Jednoduchá hra v : N {0, } i N vetující v A N v(a\{i}) = 0 i v(n \ {i}) = 0 v W N C(v) = {x R n x(w ) =, x i 0 i W x j = 0 j N \ W }. v(n \ {i}) = 0 v(a \ {i}) = 0 A k N x R n { i = k, x i = 0 i k. v v(n) = = i N x i = x(n) A N k A x(a) = v(a) k / A x(a) = 0 = v(a) k x C(v) v v x C(v) x(n) = i N
17 x i > 0 x(n \ {i}) = x i < i v(n \ {i}) = > x(n \ {i}) x C(v) A N v(a) = A W x x(n) = x(w ) = A N v(a) = 0 x(a) 0 v(a) = A W x(a) x(w ) = = v(a), x C(v) x C(v) x i 0 i N x(n) = x i = 0 i N \ W i N \ W i x(n) = x(n \ {i}) x i = 0 = x(n) x(n \ {i}) v(n \ {i}) =, 3 50 % 5 % v N = {,, 3} { A = N, {, }, {, 3}, v(a) = A N. 0 i i φ S (v) = 3, φs (v) = φ S 3 (v) = 6. φ B (v) 3 3 φ B (v) = 3 5, φb (v) = φ B (v) = 5.
18 v N = {,..., n} C(v) = conv {x v,π π Π}, Π N φ S (v) φ S (v) = π Π c π x v,pi c π 0 π Π c π = i N φ S i (v) = π Π n! (v(aπ π (i) ) v(aπ π (i) )). x v,π x v,π i = v(a π π (i) ) v(aπ π (i) ), c π = n! π Π φs (v) C(v) C(v) ψ : Γ R n Γ ψ i (v) = v({,..., i}) v({,..., i }), i N. ψ i N ψ i (v) = i N v, w Γ (v({,..., i}) v({,..., i })) = v(n) v( ) = v(n). ψ i (v + w) = (v + w)({,..., i}) (v + w)({,..., i }) = (v({,..., i}) v({,..., i })) + (w({,..., i}) w({,..., i })) = ψ i (v) + ψ i (w). i N v(a {i}) = v(a) A N A = {,..., i } ψ i (v) = 0 ψ N = {,, 3} { A = {, 3}, N v(a) = A N. 0 ψ(v) = (0, 0, ) 3 v({, }) = v({, 3})
19 Reference An Introductory Course on Mathematical Game Theory Graduate Studies in Mathematics Game Theory Game theory
Úvod do teorie her. 6. Koaliční hry
Úvod do teorie her 6. Koaliční hry Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2018 ÚTIA AV ČR Různé formy her Známé formy her jsou: rozvinutá, strategická, koaliční. Pro danou množinu hráčů N = {1,...,
Vícek n ( k) n k F n N n C F n F n C F F q n N C F n k 0 C [n, k] [n, k] q C [n, k] k n C C (n k) n C u C u T = T. [n, k] C (n k) n T = k (n k). F n N u = (u 1,..., u n ) v = (v 1,..., v n ) F n d(u, v) u
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
Víceγ α β E k r r ρ ρ 0 θ θ G Θ G U( r, t) w(z) w 0 ω z R z U( r, t) 1 c 2 2 U( r, t) t 2 = 0, U( r, t) U( r, t) = E( r, t) U( r, t) = u( r)e iωt. u( r) + k 2 u( r) = 0, k = ω/c u( r) = A exp( i k r), k
VíceMezi firmami v oligopolu dochází ke strategickým interakcím. Při zkoumání strategických interakcí používáme teorii her.
Teorie her a oligopol Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, oddíly 26.1-9, 27.1-3 a 27.7-8 Varian: Intermediate Microeconomics, Sections 27.1-9, 28.1-3, 28.7-8 () 1 / 36 Obsah přednášky V této přednášce
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceFrikce pracovního trhu
12. listopadu 2010 Literatura Mandelman, F. S. - Zanetti F.: Technical Handbook - No. 1.: Estimating general equilibrium models: an application with labour market frictions Centre for Central Banking Studies,
VíceCvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017
z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceTermomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceSyntetická geometrie I
Kružnice Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceHypergrafové removal lemma a Szemérediho
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných
VíceSyntetická geometrie I
Podobnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceStatika soustavy těles.
Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceDefiniční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.
Víceb) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0
Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceKapitola Výroky
1 Kapitola 1 Výroková logika 1.1 Výroky 1.1.1 Příklad Rozhodněte, zda následující posloupnosti symbolú jsou výrokové formule. Jde-li o formuli, pak sestrojte její strom, určete její hloubku a uved te všechny
VíceROVINNÁ ÚLOHA. Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné
ROVINNÁ ÚLOHA Rovinná úloha Všechny veličiny (geometrie, materiálové vlastnosti, zatížení) jsou nezávislé na jedné prostorové proměnné Rovinná napjatost Rovinná deformace Rotačně symetrická úloha Rovinná
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceZtráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu
Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu ƒeské vysoké u ení technické v Praze 12. zá í 2016 Vedoucí seminární práce: prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 3 4 Cíl práce Cíl práce Nalézt
Více13) 1. Číselné obory 1. 1, 3
1. Číselné obory 1. 0 1 4 3 4 5 6 1 7 6 2. 1 3 0 1 2 3 4 3. 4; 4. C; 5. C; 6. E; 7. A) 104/25; B) 118/21; C) 18/5; 8. 200; 9. 1,056 10 11 ; 10. 2,3472 10 26 ; 11. A) {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B) {-7; -6; -5;
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Vícef konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
VíceCvičení ke kursu Logika II, část III
Cvičení ke kursu Logika II, část III (30. listopadu 2008) Osnova přednášky přednáška je určena studentům, kteří absolvovali úvodní kursy logiky a teorie rekurzívních funkcí. Předpokládané znalosti: syntax
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Více9.6. Odchylky přímek a rovin
9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceTHE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria
THE: Cournotův model oligopolu Existence Nashova ekvilibria Brno University of Technology Brno Czech Republic October 23, 2018 Úvod Čerpáno z: Fudenberg, D., Tirole, J.: Game Theory, The MIT Press, 1991
Více!!! #!! # % & ()!+ %& #( ) +,,!,!!./0./01 2 34 % 00 (1!#! #! #23 + )!!,,5,!+ 4)!005!! 6 )! %,76!,8, )! 44 %!! #! #236!!1 1 5 6 5+!!1 ( 9 9!5 6 + /+ # % 7 8 % : 4; 2,/! = %
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více2016 Česká republika ŽENY (aktuální k )
2016 Česká republika ŽENY (aktuální k 27. 11. 2017) věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002462 0.997538 100 000.00 246.23 99787 8205207 82.05 100 000.00 243.07 5 066 877.57 34 975.90 176 922
VíceČeská republika - ŽENY
2012 Česká republika - ŽENY věk qx px lx dx Lx Tx ex Dx Cx Nx Mx Sx Rx 0 0.002338 0.997662 100000 234 99804 8088058 80.88 100 000.00 229.43 4 164 194.04 22 355.11 130 483 842.84 1 731 180.86 1 0.000144
Víces algebrou, ale nejsou součástí osnovy našeho úvodního předmětu.
Vážení studenti tento dokument obsahuje řešení ke cvičením která najdete ve skriptu Úvod od algebry zejména lineární Zatím nejsou uvedena řešení všechna ovšem postupně během semestru budu přidávat další
VíceTermomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VíceMODELOVÁNÍ CHVOSTŮ TEORIE EXTRÉMNÍCH ODHADY PARETOVA INDEXU. Jan Dienstbier HODNOT. contact:
MODELOVÁNÍ CHVOSTŮ TEORIE EXTRÉMNÍCH HODNOT ODHADY PARETOVA INDEXU Jan Dienstbier contact: dienstbi@karlin.mff.cuni.cz Univerzita Karlova MFF UK - KPMS Praha KPMS, 31.10. 2007 MODELOVÁNÍ CHVOSTŮ JAK TO
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceProjektivní prostor a projektivní zobrazení
Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceOdchylka ekliptiky od roviny Galaxie
Jiří Kapr 1, Jakub Fuis 2, Tomáš Bárta 3 1 Gymnázium Plasy, Plasy 2 Gymnázium Botičská, Praha 3 Gymnázium Nad Štolou, Praha Týden Vědy, 2010 Jiří Kapr 1, Jakub Fuis 2, Tomáš Bárta 3 1 Gymnázium Plasy,
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
Víceo d e vz d á v e j t ek o m p l e t n í, / n e r o z e b r a n é /, a b y s e t y t o
o b d o b í : X e r v e n e c s r p e n z á í 2 0 1 1 U S N E S E N Í Z A S T U P I T E L S T V A Z v e e j n é h o z a s e d á n í Z a s t u p i t e l s t v a o b c e d n e 3 0. 6. 2 0 1 1 p r o s t e
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceLineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
VíceSbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
VíceHome. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec
Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných
VíceÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kapitola Nekonečné číselné řady Definice. Nechť {a n } n= je posloupnost reálných čísel. Symbol a n nebo a + a 2 + a 3 +... n= nazýváme nekonečnou číselnou řadou. s n = n i= a i = a + a 2 +... + a n nazveme
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
Vícesprávně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceSyntetická geometrie I
Podobnost Pedagogická fakulta 2017 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním
VíceI a II. Kvantová mechanika. JSF094 Akademický rok
Kvantová mechanika JSF094 kademický rok 017-018 I a II Čas a místo Úterý 13:10-14:40 Středa 10:40-1:10 cvičení posluchárna ÚČJF3/945 Čtvrtek 10:40-1:10 Přednášející prof. Pavel Cejnar ÚČJF místnost: 934
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VícePOLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceBodová a stejnoměrná konvergence
Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x 2 +... = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x 2 +... = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých
Více5. Aplikace výsledků pro průřezy 4. třídy.
5. plikace výsledků pro průřez 4. tříd. eff / eff / Výsledk únosnosti se používají ve tvaru součinitele oulení ρ : ρ f eff kde d 0 Stěn namáhané tlakem a momentem: Základní případ: stlačovaná stěna: výsledk
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceMatematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceMFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Zapsal Jan Šustek Obsah Seznam použitých symbolů a konvencí.............................................. 2 0. Opakování.........................................................................
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceMechanika zemin a zakládání staveb, 2 ročník bakalářského studia. Zemní tlaky
Mechanika zemin a zakládání staveb, 2 ročník bakalářského studia Zemní tlaky Rozdělení, aktivizace Výpočet pro soudržné i nesoudržné zeminy Tlaky zemin a vody na pažení Katedra geotechniky a podzemního
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceVariační počet 2. Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Obsahuje 1413 hypertextových odkazů. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005)
Prof. RNDr. Olga Krupková, DrSc. Autorizovaný zápis přednášek (letní semestr 2004/2005) Obsahuje 1413 hypertextových odkazů Zapsal Jan Šustek Aktualizováno 29. května 2005 Obsah Seznam použitých symbolů
VíceÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY. Jiří Bouchala
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY Jiří Bouchala Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská
VíceGlobální extrémy (na kompaktní množině)
Globální extrémy (na kompaktní množině) Budeme hledat globální extrémy funkce f na uzavřené a ohraničené (tedy kompaktní) množině M. Funkce f může svého globálního extrému na M nabývat bud v nějaké bodě
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her. Formy her a rovnovážné řešení Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 208 ÚTIA AV ČR Program. Definujeme 2 základní formy pro studium různých her: rozvinutou, strategickou. 2.
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2
VícePodobnost. pracovní list. Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, , příspěvková organizace
Podobnost pracovní list Název školy: Číslo projektu: Autor: Základní škola Zaječí, okres Břeclav Školní 402, 691 05, příspěvková organizace CZ.1.07/1.4.00/21.1131 Mgr. Lenka Němetzová Datum vytvoření:
Více