Historický vývoj matematiky ve vyučování matematice v ZŠ

Transkript

1 Historický vývoj matematiky ve vyučování matematice v ZŠ Eduard Fuchs Magdalena Hykšová Studijní materiály k projektu č. projektu: CZ /3..5./037 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů JČMF 006

2 Obsah. Počátky počítání. Formování prvních matematických poznatků. Aritmetika. Kolik je všech prvočísel. Jak jsou prvočísla rozmístěna.3 Formule pro vyhledávání prvočísel.4 Dokonalá čísla.5 Spřátelená čísla.6 Fermatova prvočísla.7 Proč vůbec hledáme velká prvočísla.8 Mersennova prvočísla.9 Prvočíselná dvojčata.0 Goldbachova hypotéza 3. Geometrie 3. Obsahy rovinných útvarů 3. Objemy a povrchy těles 3.3 Pythagorova věta 3.4 Archimedova statika v geometrii 3.5 Konstrukce pravítkem a kružítkem 4. Funkce 4. Vývoj pojmu funkce 4. Goniometrické funkce 4.3 Logaritmy 4.4 Exponenciální funkce 5. Matematika kolem nás 5. Zlatý řez 5. Chaos Literatura strana

3 . Počátky počítání Pokusme se ve stručnosti naznačit základní rysy vývoje matematiky od prehistorie po dnešek. Přitom je snad zřejmé, že zachycení vývoje vědy v období několika tisíciletí je na několika stránkách nemožné. Proto tato úvodní kapitola nemůže sledovat jiný cíl, než poskytnout čtenáři nejzákladnější orientaci a umožnit mu, aby si mohl následující texty zařadit do širších souvislostí časových i věcných.. Formování prvních matematických poznatků Je nepochybné, že první matematické poznatky vznikaly jako jeden z nástrojů popisu a poznávání reálného světa. Vytvoření přesného obrazu dávného vývoje prvních matematických pojmů a znalostí jistě aritmetických a geometrických je však nemožné, neboť se nám o tomto vývoji nedochovaly ze zřejmých důvodů žádné konkrétní doklady. Vznik prvních matematických pojmů spadá do oblastí nejstarších říčních kultur (Egypt, Mezopotámie, Čína, Indie). První souvislé matematické texty, jež se nám dochovaly, pocházejí z Egypta a Mezopotámie z přelomu 3. a. tisíciletí př.n.l. Je však evidentní, že jim předcházelo dlouhé období formování pojmů, které se v těchto textech vyskytují. O tomto období však nemáme žádné písemné doklady a jen velmi málo dokladů hmotných. Chceme-li si utvořit obraz tohoto prehistorického období, jsme nuceni obracet se k nepřímým pramenům, takže naše představy budou jen logickým modelem. Odkud čerpáme přesvědčení, že náš model je alespoň částečně věrný a jaké jsou tyto nepřímé prameny? Jde zejména o: studium způsobů počítání u etnických skupin na nízké úrovni kulturního vývoje; studium jazyka, který dlouhodobě fixuje jisté postoje k matematickým pojmům; srovnávání početních postupů v různých oblastech světa; analogie mezi ontogenezí a fylogenezí (tj. mezi tím, jak si nové poznatky osvojuje jednotlivec a jak se k nim propracovávalo lidstvo). K jednotlivým bodům bychom nyní mohli přinést řadu konkrétních poznatků, značně bychom však překročili stanovený rozsah tohoto textu. Podrobnější informace však čtenář může nalézt v literatuře. Řadu poznatků o úrovni matematických znalostí lze odvodit z dalších artefaktů, zejména ze stavitelství. Za všechny jmenujme alespoň egyptské pyramidy vznikající ve Staré říši zhruba v polovině 3. tisíciletí př. n.l. I když odhlédneme od různých nesmyslných interpretací, jimiž se to v pokoutní literatuře v této souvislosti jen hemží, svědčí pyramidy o řadě praktických matematických znalostí. Nejspolehlivějším zdrojem informací však samozřejmě zůstávají písemné záznamy. Jak jsme již uvedli, nejstarší vskutku matematické texty se nám dochovaly z Egypta a Mezopotámie. Nejvýznamnějším zdrojem našich znalostí o egyptské matematice je tzv. Moskevský papyrus a Londýnský (Rhindův) papyrus z 9. a 7. století př.n.l. strana 3

4 Obr. : Rhindův papyrus počítání sklonu pyramid Při podrobnějším popisu vývoje matematiky v tomto tzv. předvědeckém období bychom samozřejmě museli hovořit o celé řadě dalších faktorů. Stačí jen, abychom si uvědomili, jak podstatná je zdánlivě tak okrajová věc, jako je vývoj číselných zápisů. Představme si, jak komplikovaný by byl náš kalkulus, kdybychom dodnes užívali například římských číslic! Vývoj počítání a zápisu čísel Oddělení pojmu čísla od skutečného předmětu představovalo dlouhý proces. Prvními náznaky bylo srovnávání neznámého počtu předmětů se známým počtem jiných předmětů. Nejčastější bylo srovnávání s prsty na rukou nebo na nohou. Dodnes lze vysledovat pozůstatky tohoto vnímání čísel. V mnohých jazycích jsou příbuzná, často i totožná slova pro číslo 5 a ruka, 0 a obě ruce, pro 0 a celý člověk (např. v italštině znamená slovo le dita jednak čísla do deseti, jednak prsty). První počítání asi probíhalo na prstech. Že i takové počítání mohlo být dovedeno ke značné dokonalosti, dokládá například tabulka znázorňující čísla pomocí prstů pocházející ze spisu Summa de arithmetica, jejímž autorem je italský matematik Luca Pacioli (445 54). Můžeme si povšimnout, že v tomto systému záleželo nejen na poloze prstů, ale také na tom, zda byla použita ruka pravá či levá. strana 4

5 Obr. : Počítání na prstech Co si však počít, když potřebujeme vyjádřit číslo vyšší? Vezmeme si na pomoc dřívka nebo kamínky a můžeme je skládat do řady, na hromádky, případně je můžeme navlékat na provázky. Tímto způsobem se zrodila první počítadla. (Jde to však vymyslet i jinak, např. jihoafričtí domorodci přišli na zajímavý způsob. Jeden počítá na prstech své ruky jednotky, druhý desítky a třetí sta.) První pokusy o zápis čísel Současně s počítáním sílila i potřeba zaznamenávat počet. Nejjednoduššími zápisy čísel byly zářezy na kostech nebo dřevěných holích, tzv. vrubovkách. Zápisy pomocí vrubů byly obvyklé jak u nás, tak i třeba v Persii, Arábii, Indii a Číně. (Dodnes se nám dochovala rčení: máš u mě vroubek či místo na dluh se používá výrazu na vrub.) Jedna z takových vrubovek, tzv. věstonická vrubovka, dokládající paleolitické pokusy o zápis čísel, byla nalezena i na našem území. Je to asi 8 cm dlouhá vřetenní kost mladého vlka, kterou v roce 937 nalezl prof. Karel Absolon ve Věstonicích. Je na ní 57 hlubokých zářezů: prvních 5 stejně dlouhých zářezů je při troše fantazie uspořádáno do skupin po pěti, pak následují dlouhé zářezy, které oddělují dalších 30 krátkých zářezů. Obr. 3: Věstonická vrubovka strana 5

6 Nejstarší známá vrubovka byla nalezena v Africe v pohoří Lebombo na hranicích Svazijska. Jedná se o malou část stehenní kosti paviána s 9 zářezy, která je stará asi let. Zcela odlišný způsob zápisu čísel byl pomocí uzlů. Uzlových zápisů se používalo např. v Číně, nejznámější takové zápisy však pocházejí od jihoamerických Inků; barevné svazky provázků s uzly se nazývají kipu. V muzeích je jich dnes uloženo kolem 600. Asi čtyři pětiny z nich zaznamenávají pouze čísla, pětinu se ještě nepodařilo rozluštit. Kipu se četly zrakem i hmatem. Záleželo na barvě, tloušťce, popisovaném tématu a také na druhu uzlu. Čísla byla vyjadřována v desítkové soustavě a číselnou hodnotu uzlu udávalo to, kolikrát se provlékl provázek uzlem. Obr. 4: Kipu Zápis čísel pomocí vrubovek či uzlů se udržel dlouho. Pro běžný život to zpočátku postačovalo. Avšak vývoj šel dál a člověk objevil další způsob zaznamenávání, totiž na větší hladké plochy. Začal objevovat písmo. První zápisy jsou jen malby na stěnách jeskyň představující nějakou událost. Postupem času se události začaly vyjadřovat pomocí více obrázků. Později se obrázky ještě zjednodušily, značně jich přibylo (např. obrázky pro vlastnosti předmětů) a ustálily se. Před asi 5000 lety tak vzniklo hieroglyfické písmo. strana 6

7 Egyptské hieroglyfy Egypťané užívali nepoziční desítkovou soustavu. Hieroglyfy označující násobky desíti shromažďovali do skupin, které vyjádřily dané číslo, tak jak je to naznačeno na následujícím obrázku. Obr. 5: Egyptské hieroglyfy Hieroglyfické písmo bylo příliš pracné pro denní používání, proto se časem obrázky ještě zjednodušily a vzniklo tzv. písmo hieratické. Hieroglyfy se potom dále používaly jen při tesání do kamene, na papyrech zvítězilo hieratické písmo. Ne však na dlouho. Asi v 8. 7.stol. př.kr. začalo i to ustupovat tzv. démotickému (lidovému) písmu, ještě o něco vhodnějšímu pro běžný život. Hieratické písmo pak zůstalo vyhrazeno kněžím. strana 7

8 Obr.6: Hieratické a démotické písmo Mezopotámské klínové písmo Ve 4. tisíciletí př.n.l. vznikly v nížině mezi Eufratem a Tigridem dva velké otrokářské státy: na jihu říše sumerská a na severu říše akkadská. Budovaly velká města s bohatou výstavbu stupňovitých chrámů z velkých cihel, měly již techniku, která znala vodní čerpací kolo a zvířaty poháněnou soustavu po laně klouzajících věder. To vše podněcovalo vývoj věd a mezi nimi též matematiky. Z této sumersko-akkadské doby se zachovalo mnoho klínových hospodářských zápisů o dodávkách obilí, dobytka apod. Všechny tyto dokumenty podávají jasný obraz o způsobu počítání, který později převzali a přizpůsobili si podmanitelé Mezopotámie Babyloňané. Motivace pro jejich systémy psaní a počítání byly především administrativní a ekonomické. Sumerové počítali v šedesátkové soustavě, v některých případech však užívali i soustavy desítkové. Zatímco Egypťané ryli své znaky kladivy a dláty nebo je kreslili rákosovými rydly na papyry, Sumerové psali na hliněnou tabulku, do níž tlačili znaky pomocí dvou typů rydel z rákosu či slonoviny. Okolo roku 600 př.n.l. došlo ke změně způsobu zápisu sumerských čísel. Důvodem byla nová technologie psaní. Bylo zavedeno klínové rydlo, které mohlo vytvářet ostřejší čáry a klínovité tvary rozličného druhu. Tak se objevily klínové znaky. Byly užívány dva základní tvary, vertikální klín označující jedna a špice představující deset. Tyto dva symboly se spojovaly tak, aby se vytvořila potřebná čísla. Způsob zápisu čísel od do 59 byl podobný egyptskému zápisu, jak ukazuje následující tabulka. strana 8

9 Obr. 7: Klínopisné znaky Od čísla 60 výše bylo využito pozičního systému, znak pro 60 byl stejný jako pro. Mělo-li se zapsat např. 63, připisoval se ke znaku 60 napravo znak trojky. Aby se nestal omyl a zápis se nečetl + 3 = 4, byla mezi oběma znaky mezera (obr. 8). Obr. 8: Číslo 63 Podobně 0 = 60 mělo stejný znak jako, 80 jako 3, 600 = 0 60 jako 0 atd. Stejným způsobem byla zapisována i čísla vyšší než 60 = Tento způsob psaní však nebyl jednoznačný, skutečná hodnota čísla se určovala podle smyslu úlohy. Tato soustava tedy čísla přesně neurčovala, nelze ji považovat za striktně poziční. Například symboly pro 60 = mohly být snadno chybně přečteny jako 0 +0, viz. obr. 6. strana 9

10 Obr. 9: Babylonské zápisy čísel 60 a 0 bylo možno snadno zaměnit Nesnáze s interpretací se stupňovaly, nebyl-li v některých řádech žádný vstup. Proto si poziční soustava notace nakonec vyžádala vynález symbolu nula, který by vyznačil prázdné místo v poziční reprezentaci čísla. Čím složitější byly babylonské obchodní systémy, tím větší byl tlak to udělat. Přesto to trvalo zhruba 500 let, než byl kolem roku 400 př.n.l. zaveden separační ukazatel, případně, který signalizoval, že v dané pozici nic nevystupuje. Sestával ze dvou klínových znaků, jednoho nad druhým. Obr. 0: Separátor, symbol, který zaplnil prázdné místo Tento příklad byl nalezen na tabulce zaznamenávající astronomická pozorování. Je datován mezi závěr třetího a začátek druhého století př.n.l. Separátor se objevuje v písemnostech ze 4. století př.n.l.; vzhledem k vzácnosti starých dokumentů a pravděpodobnosti, že některé z nich jsou kopiemi starších originálů, však patrně existoval již dříve. První symbolická reprezentace nuly v lidské kultuře se tak objevila v babylonské společnosti. Přesto však babylonská nula nemůže být úplně ztotožněna s naší. Pro písaře, který vyrážel znamení dvojí špice na hliněnou tabulku, tyto symboly neznamenaly nic víc než prázdný prostor v daném registru. Nenacházíme žádné další stopy nějakého významu babylonského nic. Jejich znak pro nulu nebyl nikdy zapsán jako odpověď na otázku, kolik je např Nebyl nikdy užit k vyjádření výsledku operace, po níž nic nezůstalo. Takovýto výsledek byl vždy vyjadřován slovy. Nezávisle na Babylonu se takto nula objevila v dějinách několikrát. Jak uvidíme, nula v našem smyslu se však objevila až zhruba za tisíc let v Indii. strana 0

11 Obr. : Objevování nuly Početní soustava ve starověké Číně Číňané vytvořili desítkovou soustavu a číslice používané pro vědecké účely zapisovali pomocí vodorovných a kolmých svislých čárek. Pokud čísla od do 9 používali na místě desítek, stovek a tisíců, zapsali je obráceně. strana

12 Číslo zapsané v této čínské desítkové soustavě by vypadalo takto: Tento způsob zápisu vědeckých číslic je odvozen ze zvyku zapisovat čísla na kosti a později na bambusové tyče. Musíme ho odlišovat od tradičních obrázkových symbolů, které se psaly na papír, hedvábí nebo dřevo štětcem namočeným v tuši a uplatňovaly se pro daňové účetnictví. Na následujícím obrázku je číslo 637 v desítkové soustavě zapsané tradičními symboly. Zatímco poziční soustava se na čínských mincích vyskytuje už v letech př.n.l., symbol nuly (opět ve tvaru kruhu) se do této soustavy dostal mnohem později, až v 8. stol. n.l., a to z Indie. Početní soustava ve starověké Indii a objev nuly Hindové v oblasti údolí Indu měli velmi rozvinutou kulturu již okolo roku 3000 př.n.l. Pečetidla, způsoby psaní a záznamy výpočtů svědčí o vysoké úrovni společnosti. V následujících tisíciletích se psaní a počítání šířilo na celý indický subkontinent. Bohatou různorodost stylu psaní a početních soustav nacházíme jak v centrální Indii, tak i v blízkých oblastech jihovýchodní Asie, které užívaly bráhmanských číslic. Tato notace se objevila poprvé okolo 350 př.n.l., ačkoliv na kamenných monumentech se dochovaly pouze příklady číslic,, 4 a 6. Opisy číslic z prvního a druhého století př.n.l. jsou na obr.. strana

13 Obr. : Rané indické symboly pro číslovky. Existence speciálních symbolů pro čísla od do 9 je charakteristickým a významným rysem indické aritmetiky. Právě tato skutečnost však byla základním předpokladem pro vytvoření poziční desítkové číselné soustavy. Bráhmanská soustava se proměnila v poziční se základem 0 pravděpodobně v šestém století. Využila existence různých znaků pro čísla až 9 a úsporné notace pro větší čísla i názvů pro vyšší mocniny deseti. Nejstarší písemný doklad jejího užívání, ovšem bez nuly, je z roku 595 na měděné náhrobní desce ze Sankhedy. Nejběžnější poziční notace užívala písma nagari, jež vidíme na obr. 3. Mnohé z těchto číslovek jsou již podobné číslovkám našim. Obr. 3: Vývoj číslovek nagari strana 3

14 V Indii se takto rodila desítková číselná soustava s pozičním způsobem zápisu. Dokonale rozvinutá poziční soustava však potřebuje také znak nuly, který vyjadřuje v daném čísle neobsazení některých řádů. Nejstarším příkladem užití znaku pro nulu je indická nula z roku 458, která se vyskytuje v dochovaném spise o kosmologii. Jsou však nepřímé doklady, že byla v užívání již 00 let před naším letopočtem. Nejprve byla označována tečkou, později malým kroužkem. Ačkoliv indická nula byla poprvé zavedena k označení chybějícího čísla podobně jako u Babyloňanů a Mayů, rychle nabyla postavení jednoho z čísel. Na rozdíl od těchto národů ji indičtí počtáři bez váhání uznali za výsledek odečtení čísla od sebe samého. Roku 68 ji indický astronom Brahmagupta tímto způsobem definoval a vyjádřil algebraická pravidla pro sčítání, odečítaní, násobení a což je nejpřekvapivější i pro dělení. Uveďme alespoň jedno z jeho pravidel: Od většího je nutno odečíst menší, výsledek je kladný, jestliže odečítáme kladné od kladného, a záporný, jestliže odečítáme záporné od záporného. Jestliže se odečítá větší od menšího, tento rozdíl (co do znaménka) se obrací, záporné se stává kladným a kladné se stává záporným. Jestliže se kladné odečítá od záporného nebo záporné od kladného, je nutné je sečíst. V Indii se tedy zrodila nula v podstatě v dnešním smyslu. To však nebyl jediný zásadní přínos indické matematiky. Pozoruhodné je, že Brahmagupta definoval i nekonečno jako číslo, které vznikne dělením každého jiného čísla nulou, a vypracoval obecný soubor pravidel pro násobení a dělení kladných i záporných veličin. Řecké číslice Staří Řekové původně označovali číslice začátečními písmeny jejich názvů. Teprve později vznikla zjednodušená soustava psaní číslic. Prvnímu písmenu abecedy bylo přiřazeno číslo, druhému atd., pokud stačila abeceda. Když byla u písmena čárka, znamenalo to, že se má číslo násobit tisícem, znak M značil násobení desetitisícem. Takto šla jednoduše zapsat jakkoli velká čísla. Obr. 4: Řecký zápis čísel strana 4

15 Způsob zápisu čísel u Mayů Mayové měli velmi vyspělou číselnou symboliku. Používali poziční dvacítkovou soustavu. Protože však čísla používali především ke kalendářním údajům, základ 0 se nedodržoval důsledně. Vzhledem k tomu, že součin 8 0 udává zhruba počet dní v roce, narušilo číslo 8 dvacítkovou hierarchii. Prvních dvacet jednotek (nultého řádu) tvořilo jednu jednotku řádu vyššího (prvního), pak však jen 8 jednotek tohoto řádu vytvořilo jednotku řádu druhého. Jednotka druhého řádu tak měla jen 360 původních jednotek. Tvoření jednotek vyšších řádů pak už pokračovalo opět po dvaceti. Tento způsob psaní čísel Mayové užívali již kolem počátku našeho letopočtu. (Největší rozkvět jejich kultury je odhadován na 6.. stol.) Mayský zápis čísel je zřejmý z následujícího obrázku. Obr. 5: Mayské číslice Římské číslice Tyto číslice byly v Evropě nejznámější. Udržely se až do 5. stol., kdy je začaly vytlačovat číslice arabské. Původní tvar počítání číslic připomíná počítání na prstech. Pro jedničku je to I jako jeden prst či jeden vrub, písmeno V je znak pro pětku (připomíná zjednodušenou ruku s odstávajícím palcem), desítka se zapíše jako dvě pětky (dvě ruce). Původ dalších číslic je nejasný. (Znaky V a X pro čísla 5 a 0 nejsou výsadou pouze římských číslic. Nálezy s vruby těchto tvarů na kostech pocházejících ze starší doby kamenné naznačují, že nešlo jen o náhodně vybraná písmena.) strana 5

16 Obr. 6: Původní římské číslice Podoba římských číslic se do dnešní doby přizpůsobila latinským písmenům, kterým se číslice podobaly, např. 00 C (lat. centum), 000 M (lat. mille). Způsob novějšího zapisování čísel pomocí římských číslic je nestandardní v tom, že používá při zápisu odečítání. Obr. 7: Dnes užívané římské číslice Pronikání arabských číslic do Evropy To, že číslicím pocházejícím z Indie říkáme arabské, má svůj důvod, neboť Arabové se zasloužili o jejich rozšíření do Evropy. (Označení cifra je také arabského původu, původně označovalo nulu.) V 7. století si arabské kmeny podmanily mnoho sousedních států a vytvořily tak jednotnou říši. V 8. století vtrhli Arabové do Evropy a obsadili Španělsko, boje o španělské území potom trvaly celá staletí. Byly však střídány s obdobími míru, kdy arabští kupci obchodovali s Francií a Itálií a kdy evropská mládež jezdila studovat do vyhlášených arabských kulturních center jako byly Cordoba a Toledo. Tak se postupně dostávaly od Arabů do Evropy věda a umění z Egypta (přes ten také ze starého Řecka), Mezopotámie i Indie. Arabské číslice přivítali zejména evropští obchodníci, protože počítání s nimi bylo mnohem jednodušší než pomocí římských číslic. Proč tedy trvalo tak dlouho, než římské číslice v Evropě ustoupili praktičtějším? Západní Evropě přišla pohanská věda podezřelá. Arabské číslice byly prohlášeny za ďáblův nástroj. Ještě v srpnu roku 359 se na jednání významných osob té doby v domě kanovníka Franceska Granacciho ve Florencii rokovalo dny a noci o arabských číslicích (a záporných číslech), avšak jejich používání nebylo ani doporučeno ani zakázáno. Nakonec zvítězila neústupnost kupců a bankéřů, hlavně však také moudrost a poznání, jakým přínosem je používání arabských číslic. Číslice až 9 užívá Evropa od. století. Nulu jako číslo uznává běžněji (díky Leonardu Pisánskému, zvanému Fibonacci,) až ve století třináctém. Číslice samotné však v té době neměly ustálený tvar. V roce 99 ve Florencii muselo být dokonce nařízeno, že ve smlouvách se musí čísla vypisovat slovně, aby se zamezilo švindlování. Podíváme-li se na proměnlivost tvaru třeba jen jediné číslice ve středověkých rukopisech, jistě pochopíme, proč bylo toto nařízení potřeba. strana 6

17 Obr. 8: Různé zápisy číslice ve středověkých rukopisech Zastánci římských číslic počítali tak, že pohybovali žetony či kuličkami na počítacím stole nebo abaku. Nemohli gumovat a měli mnohem méně prostoru pro uchování informací během výpočtu i po něm. Do 4. století se díky zvyšujícím se nárokům na složité matematické výpočty a díky rostoucí dostupnosti papíru prokázalo, že pero je mocnější než abakus. Dřevoryt Gregora Reische z roku 504 s názvem Margareta philosophica (Perla filozofie) ukazuje kontrast mezi výkonností algoritmika vlevo (Boetius) a neschopností abakisty vpravo (nešťastný Pythagoras). Obr. 9: Margareta philosophica strana 7

18 Obr. 0: Vývoj indicko-arabských číslic strana 8

19 . Aritmetika Jedním z velkých a těžkých úkolů učitele matematiky je ukázat dětem, že matematika není soubor vzorců a pouček, které nám byly zjeveny, ale neustále se vyvíjející systém, v němž dosud existuje spousta nevyřešených problémů a otazníků. Na úrovni školské matematiky je samozřejmě obtížné hovořit o většině problémů moderní matematiky, jimž rozumějí jen profesionální matematikové. V této kapitole si však ukážeme, že i tak zdánlivě jednoduché téma, jako jsou přirozená čísla, obsahuje řadu dodnes nevyřešených problémů. Dětem samozřejmě nebudeme zastírat, že hledání odpovědí je komplikované a není prakticky možné, aby naznačené problémy vyřešily. V každém případě jim však můžeme dát řadu návodů k přemýšlení.. Kolik je všech prvočísel? Tato otázka je samozřejmě pouze řečnická. Každý středoškolák by měl umět dokázat, že prvočísel je nekonečně mnoho. Připustíme-li totiž, že všech prvočísel je pouze konečně mnoho, můžeme je označit například p, p,, p n. Číslo p p p n + pak ale není dělitelné žádným z čísel p i, i =,, n (neboť při dělení je zbytek ), takže je prvočíslem různým od všech p i nebo je dělitelné některým dalším prvočíslem. Předpoklad tedy vede ke sporu, takže prvočísel je nekonečně mnoho. Naznačený důkaz je možno nalézt již v Eukleidových Základech. Eukleidés z Alexandrie (asi 340 asi 78 př.n.l.) byl jedním z největších starořeckých matematiků. V knize Základy shrnul většinu tehdejších matematických poznatků. Protože se v dalším textu budou často vyskytovat různá velká čísla, uvědomme si, o čem to vlastně bez obav a strachu hovoříme. Uvažujme knihu standardní velikosti, která má na stránce cca 50 řádků a na řádku je cca 70 znaků, takže průměrná stránka obsahuje přibližně symbolů. Protože snad až na naprosté výjimky mají všechny knihy maximálně stránek, obsahují maximálně 35 miliónů znaků. Uvědomíme-li si, že jakýkoliv text (alespoň ve standardních evropských jazycích) dnes napíšeme pomocí počítače, jehož klávesnice má přibližně 00 kláves, zjistíme snadno, že všech textů udané délky (a samozřejmě i všech kratších stačí je přece doplnit mezerníkem) je maximálně Proč jsme slovo texty dali do uvozovek? Většina těchto textů totiž budou jen chaotické posloupnosti symbolů. Přesto však mezi nimi budou prakticky všechna smysluplná díla, která kdy kdo napsal a v budoucnosti napíše (a navíc každé z nich v překladu do všech evropských jazyků). Budou zde všechny vaše dopisy, i ty nikdy nenapsané, a všechny písemky, které si kdy vymysleli a v budoucnosti učitelé na své žáky vymyslí, všechny vědecké práce, které kdy lidé napsali a napíší. A to všechno lze vyrobit v konečném čase. Kdybychom obrazně řečeno posadili k počítači šimpanze, který bude namátkově tisknout klávesy na počítači rychlostí 0 úhozů za sekundu, pak by (kdyby pracoval bez přestávky) všechny popisované záznamy vyrobil za 0 sekund. Abychom si ujasnili, jakou informaci vlastně poslední věta sděluje, zamysleme se nad tím, jak dlouho by ona hypotetická opice musela ve skutečnosti pracovat; pak si ihned uvědomíme, že se strana 9

20 velikost udaného čísla vymyká naší veškeré představivosti. Stačí snad, abychom si připomenuli, že od tzv. velkého třesku, při němž vznikl náš vesmír, uplynulo cca 5 miliard let, což je méně než 0 7 sekund. Náš fiktivní šimpanz by ovšem neměl málo jen času, ale i materiálu k uskutečnění popsaného procesu. Počet všech atomů v našem vesmíru je totiž odhadován číslem Je nám nyní jasná velikost čísla ? A snad budeme také trochu méně sebevědomě přistupovat k faktu, že teprve za tímto číslem následuje podstatná část množiny N všech přirozených čísel, o níž tak suverénně v hodinách matematiky hovoříme.. Jak jsou prvočísla rozmístěna v N? Vraťme se nyní k úvahám o množině všech prvočísel, která jak jsme si již připomenuli je rovněž nekonečná. Za každým přirozeným číslem tedy následuje nekonečně mnoho prvočísel. Jak však jsou prvočísla v množině N rozmístěna? Obr. : Ulamova spirála Některé hypotézy je obtížné byť jen zformulovat. Na ukázku uvádíme zajímavost, kterou odhalil americký matematik polského původu Stanislaw Marcin Ulam ( ) při řešení úloh na šachovnici. Když začneme do polí (nekonečné) šachovnice zapisovat postupně do spirály přirozená čísla, začnou se prvočísla zajímavým způsobem skládat do různě dlouhých úhlopříček vytvářeného schématu. Prohlédneme-li si na hořejším obrázku uvedený začátek této Ulamovy spirály (prvočísla jsou zvýrazněna), je zřejmé, že prvočísla zde nejsou rozložena nahodile. Nějaká zákonitost však zatím popsána není. Žáci, kteří alespoň v minimální míře ovládají například Excel, si mohou tuto tabulku v mnohem větším měřítku snadno vygenerovat. Vraťme se však k některým klasickým výsledkům. Zajímavou hypotézu vyslovili nezávisle na sobě v roce 783 Leonhard Euler ( ) a v r. 785 Adrian-Marie Legendre (75 833): Jsou-li a, b libovolná přirozená nesoudělná čísla, obsahuje aritmetická posloupnost a, a+b, a+b,, a+nb, nekonečně mnoho prvočísel. strana 0

21 Přesný důkaz podal až v roce 837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ). Položme si v této souvislosti opačný úkol, o který se mohou pokoušet i žáci: chceme najít úsek aritmetické posloupnosti tvořený výhradně prvočísly. První tři následující příklady lze nalézt vcelku snadno: 3, 5, 7 5,, 7, 3, 9 7, 37, 67, 7, 7, 57 Podstatně komplikovanější je však nalezení delších úseků aritmetických posloupností. Nejdelší dodnes známý příklad je tvořen 8 prvočísly: k , k = 0,,,, 7. Jen pro ilustraci výsledků, které bylo možno zjistit jen s nasazením výkonné výpočetní techniky, uveďme ještě jeden výsledek o aritmetických posloupnostech přirozených čísel. Když si prohlédneme uvedené aritmetické posloupnosti, vidíme, že až na první velmi jednoduchý příklad jsou sice uvedené úseky aritmetických posloupností tvořeny prvočísly, avšak tato prvočísla nenásledují bezprostředně po sobě; některá jsou jednoduše vynechána (například ve druhé jsou vynechána prvočísla 7, 3 a 9). Nabízí se tedy otázka, jaká je nejdelší známá aritmetická posloupnost po sobě jdoucích prvočísel? Harvey Dubner a Harry Nelson nalezli dne takovou posloupnost tvořenou sedmi prvočísly: k 0, k= 0,,...,6. Dne byla nalezena posloupnost osmi takových čísel a v r. 998 nalezl Manfred Toplic z Klagenfurtu v Rakousku dokonce posloupnost o 9 a posléze i 0 členech. Nejdelší dnes známá aritmetická posloupnost po sobě jdoucích prvočísel je tvořena čísly k 0, k = 0,,, 9. Snad ještě zajímavější a žákům zcela srozumitelný je však problém, jak dlouhý může být v N úsek bez prvočísel? Při pozorné prohlídce tabulky prvočísel bychom takovou pauzu například mohli nalézt mezi čísly a Existují však v množině prvočísel mezery podstatně delší? Do značné míry je překvapující zjištění, že v množině přirozených čísel existují bez prvočísel libovolně dlouhé úseky. Důkaz tohoto překvapujícího zjištění je navíc zcela banální. Zvolíme-li totiž libovolné přirozené n, neleží v úseku (n+)! +, (n+)! + 3,, (n+)! + n + zcela jistě žádné prvočíslo, protože číslo (n+)!+ je dělitelné, číslo (n+)!+3 je dělitelné 3 atd. (Připomeňme si v této souvislosti, jak obrovská mohou být přirozená čísla a znovu si uvědomme, že strana

22 jakkoliv velké přirozené číslo zvolíme, existuje v N úsek této délky bez prvočísel, ačkoliv je jich nekonečně mnoho!).3 Formule pro vyhledávání prvočísel Přestože je posloupnost všech prvočísel nekonečná, neřekli jsme si zatím nic o tom, jak lze prvočísla vyhledávat, respektive jak je lze postupně vypočítávat. První relativně účinnou metodu pro vyhledávání prvočísel popsal již kolem roku 5 př. Kr. Eratosthenés z Kyrény (asi 76 př.n.l. asi 94 př.n.l.), starořecký matematik a astronom, přítel Archimédův. Tzv. Eratosthenovo síto spočívá v postupném vyškrtávání násobků přirozených čísel, takže nakonec v takto vzniklém sítu uvíznou jen prvočísla. Tomuto postupu se učí školáci již déle než dva tisíce let. Za zmínku však stojí skutečnost, že je vhodné si toto síto představit napsáno do šesti sloupců. Protože každé prvočíslo větší než 5 je evidentně tvaru 6k+ nebo 6k+5, zůstanou kromě prvního řádku všechna další prvočísla v. a 5. sloupci: Obr.. Eratosthenovo síto Jakkoliv je Eratosthenovo síto jednoduché a užitečné, je zřejmé, že k vyhledávání větších prvočísel nám příliš nepomůže. Označíme-li rostoucí posloupnost všech prvočísel p, p,..., p n, (a toto označení budeme dodržovat v celém dalším textu), bylo by jistě nejpohodlnější, kdyby existovala taková funkce f (x), že by pro každé přirozené n platilo f (n) = p n. Potíž je v tom, že takovou formuli dodnes neznáme, a dokonce ani nevíme, zda taková formule v rozumném tvaru vůbec existuje. Když tedy není k dispozici formule, která by umožňovala počítat postupně všechna prvočísla, je přirozené snažit se odvodit takovou formuli g n =, ( ) p n k že p n je rostoucí posloupnost prvočísel, tj. jinak řečeno g(n) postupně nabývá stále větších k prvočíselných hodnot. O tom, že ani tato úloha není dodnes vyřešena, a o zajímavých výsledcích s ní spojených se zmíníme později. strana

23 Nyní se zmiňme o ještě mírnější úpravě popsaného problému. Neznáme-li funkci g(x), která by v přirozených číslech postupně nabývala prvočíselných hodnot, je přirozené hledat takovou funkci h(x), že funkce h(n) je rostoucí a nabývá co nejčastěji prvočíselných hodnot. Pozoruhodných výsledků v tomto směru dosáhl především již zmiňovaný LEONHARD EULER. Z řady funkcí s uvedenou vlastností, které nalezl, uveďme jen následující tři polynomy: x + x+ 7, x + x+ 4, x _ 79x+, které nabývají prvočíselných hodnot bez přerušení pro x = 0,,...,5, resp. x = 0,,, 39, resp. x = 0,,..., 78. V jistém smyslu nejlepší z uvedených tří polynomů je druhý nich, který pro hodnoty x = 0,,..., 377 nabývá prvočíselných hodnot v polovině případů..4 Dokonalá čísla Již starořečtí matematikové znali čtyři pozoruhodná čísla, která je fascinovala. Byla to čísla 6, 8, 496 a 8 8. V čem spočívala jejich pozoruhodnost? Každé z těchto čtyř čísel je rovno součtu všech svých vlastních dělitelů. (Připomeňme si, že vlastní dělitel čísla n je každý dělitel menší než n.) Skutečně, 6 = ++3, 8 = atd. Tato vlastnost musela doslova uchvátit zejména pýthagorejce, kteří prohlásili číslo za základ a podstatu světa. Podle jejich učení řád světa vzniká spojováním protikladů v určitých číselných poměrech a jen dodržování těchto poměrů zaručuje harmonii. Čísla s popsanou vlastností proto nazvali dokonalá. První skutečně mimořádně důležitý výsledek o těchto číslech odvodil již kolem roku 300 př.n.l. Eukleides v Základech, o nichž jsme se již zmiňovali. V IX. knize dokázal následující tvrzení: Když jest dáno po řadě od jednotky několik čísel v poměru jedné ku dvěma, až součet všech se stane prvočíslem, a když se ten součet znásobí číslem posledním a vznikne jiné, vzniklé číslo bude dokonalé. Jinak řečeno, je-li n prvočíslo, pak je číslo n ( n ) dokonalé. Protože však n = n+, můžeme Eukleidův výsledek zformulovat takto: je-li M n = n prvočíslo, je číslo P n = M n ( n ) dokonalé. strana 3

24 V právě zavedeném označení tedy můžeme říci, že již v antice byla známa dokonalá čísla P, P 3, P 5 a P 7. (Pro úplnost dodejme, že označení M n souvisí s tím, že prvočí sla tohoto tvaru se nazývají Mersennova. O důvodech se více dozvíme v dalším oddílu.) Uvedená čtyři čísla uvádí ve své učebnici Arithmétiké eisagógé (tj. Úvod do matematiky) i Níkomachos z Gerasy, řecký filosof z první poloviny. století n.l. Tuto učebnici komentoval zhruba o 50 let později Iamblichos z Chalkidy (asi ), který ještě 800 let po pythagorejcích připisoval číslům různé magické vlastnosti. Protože čísla 6, 8, 496 a 8 8 mají postupně,, 3 a 4 cifry, vyslovil hypotézu, že pro každé přirozené n existuje právě jedno dokonalé číslo o n cifrách a na posledním místě se pravidelně střídají číslice 6 a 8. První část Iamblichovy hypotézy je nesprávná, což koneckonců není překvapující. Vycházela totiž z preference dekadického zápisu čísel, ačkoliv z čistě matematického hlediska není žádný důvod, proč desítkovou soustavu preferovat proti ostatním. V první kapitole jsme viděli, že v historii lidstvo používalo i zcela jiné početní soustavy. Druhá část Iamblichovy hypotézy je alespoň zčásti správná; každé dokonalé číslo skutečně končí cifrou 6 nebo 8. Víme dokonce ještě více: každé dokonalé číslo končí (v dekadickém zápisu) buďto dvojčíslím 8 nebo cifrou 6, před níž stojí liché číslo. Číslice 6 a 8 se však pravidelně nestřídají. Již ve středověkých rukopisech je zmiňováno páté dokonalé číslo ( = P 3 ), není však známo, kdo je objevil. (Někdy je jeho objevení připisováno J. Müllerovi ( ), známému pod jménem Regiomontanus. Další dvě dokonalá čísla, šesté a sedmé, našel v r. 603 Pietro Cataldi (55 66); jejich hodnoty jsou (= P 7 ) a (= P 9 ). Všechna tato čísla přitom byla tvaru, který uváděl Eukleidés, přestože ten dokázal pouze dostatečnost výše uvedené podmínky. Že tyto výsledky byly zákonité, dokázal až v 8. století, dva tisíce let po Eukleidovi, Euler, který odvodil, že sudá dokonalá čísla jsou právě čísla popsaná Eukleidem. Sám Euler našel další, již osmé dokonalé číslo P 3 = 30 M 3. Obr. 3: Euler na východoněmecké známce Toto číslo bylo dlouho považováno za největší dokonalé číslo, které bylo možno odhalit. (Přesněji řečeno, Eulerovým cílem bylo zjistit, zda je číslo M 3 prvočíslo. O důvodech těchto snah budeme podrobně hovořit později. Dokonalé číslo P 3 pak bylo vedlejším produktem tohoto snažení.) Ještě například v roce 84 napsal anglický matematik P. Barlow ve své knize A New Mathematical and Philosophical Dictionary, že toto poslední dokonalé číslo je největším dokonalým číslem známým v současnosti a pravděpodobně největším, jaké kdy bude objeveno. strana 4

25 Nalezení podstatně větších dokonalých čísel umožnil až nástup výpočetní techniky ve 0. století. O tom však budeme podrobněji hovořit v části o hledání velkých prvočísel. Ještě jsme však nevysvětlili jednu věc. Všechna prozatím popisovaná dokonalá čísla byla sudá. Jak je to tedy s lichými dokonalými čísly? Odpověď je dosti překvapivá: nevíme! Jejich existence je jedním z dosud nevyřešených problémů a o nalezení důkazu jejich existence či neexistence panuje dosti velká skepse. Je pouze známa řada dílčích výsledků typu: Liché dokonalé číslo pokud existuje musí být větší než 0 00, musí mít alespoň 8 prvočíselných dělitelů, z nichž aspoň jeden musí být větší než ; je-li menší než 0 9 8, musí být dělitelné 6. mocninou některého prvočísla, atd..5 Spřátelená čísla S dokonalými čísly úzce souvisí tématika tzv. spřátelených čísel. Proto se o nich stručně zmíníme. Přirozená čísla a, b se nazývají spřátelená, jestliže součet vlastních dělitelů každého z nich je roven druhému z těchto čísel. První a nejmenší dvojici spřátelených čísel tvoří čísla 0 a 84. Skutečně, 0 = 5, 84 = 7. Vlastní dělitelé čísla 0 jsou tedy,, 4, 5, 0,, 0,, 44, 55 a 0, vlastní dělitelé čísla 84 jsou,, 4, 7 a 4 a přitom platí =84, =0. Podle již zmíněného Iamblicha znal tuto dvojici spřátelených čísel již Pýthagorás. Ani Iamblichos však ještě nevěděl, zda existují nějaká jiná spřátelená čísla a neznal ani žádnou metodu, jak je případně hledat. Zásadní krok v tomto směru učinil až arabský matematik, fyzik a astronom Thabit ibn Qurra (asi ), který podrobně studoval a popsal Eukleidovy poznatky o dokonalých číslech a v této souvislosti odhalil následující pozoruhodný výsledek: Jsou-li a, b, c prvočísla a pro vhodné n > platí pak jsou čísla a = 3 n, b = 3 n-, c = 9 n-, spřátelená. n a b a n c Přes důmyslnost Thabitovy formule však není nalezení dalších dvojic podle ní vůbec jednoduché, neboť to vyžaduje současné nalezení tří prvočísel předepsaného tvaru. Thabit sám ostatně žádnou další dvojici nenalezl. To se podařilo až jinému arabskému matematikovi, ibn al- strana 5

26 Bannovi, který objevil dvojici 7 96 a Tato čísla odpovídají Thabitově formuli pro n = 4. Thabitovy výsledky i uvedená druhá dvojice spřátelených čísel však upadly v zapomenutí. Jejich znovuobjevení čekalo téměř 800 let na geniálního Pierra Fermata ( ), o němž budeme blíže hovořit v dalším odstavci. Ten o této dvojici v roce 636 napsal Marinu Mersennovi ( ), o němž se ještě zmíníme později. O pouhé dva roky později nalezl René Descartes ( ) třetí dvojici: a Z Thabitovy formule ji obdržíme pro n = 7. Thabitově formuli přitom nevyhovují všechny dvojice spřátelených čísel. Dodnes není známo, kolik spřátelených dvojic ji splňuje, víme však, že pro n < jsou to právě jen uvedené dvojice pro n =, 4; a 7. Problematice spřátelených čísel se intenzivně věnoval již několikrát zmiňovaný L. Euler. Ten nalezl více než 60 dvojic těchto čísel a jeho teoretické výsledky dodnes tvoří základ dalších zkoumání. V průběhu 7. a 8. století bylo postupně nalezeno mnoho dalších dvojic spřátelených čísel. Vesměs však tato čísla byla velká řádově v milionech či miliardách. Proto bylo pro matematickou veřejnost značným překvapením, když šestnáctiletý italský školák Niccolò Paganini v roce 866 nalezl dvojici překvapivě malých spřátelených čísel: 84 a 0. V současnosti jsou spřátelených dvojic známy tisíce, včetně všech těch, jejichž menší člen nepřesahuje jeden milion. Na Internetu lze prakticky denně nalézt zprávu o rozšíření počtu těchto dvojic, včetně například dvojice a ( ) ( ). Každé z těchto čísel má 5 číslic. Víme, že dvojic spřátelených čísel je nekonečně mnoho. Všechny dosud známé dvojice jsou však tvořeny soudělnými čísly a není známo, zda existuje dvojice nesoudělných spřátelených čísel. Víme pouze, že v kladném případě by jejich součin musel být větší než Ve všech dosud známých dvojicích jsou obě čísla sudá nebo obě lichá. Neví se však, zda takové jsou všechny dvojice. U dvojic sudých čísel nemůže být žádný člen dělitelný 3, známé dvojice lichých čísel jsou naopak zásadně násobky 3, není však dokázáno, zda tomu tak musí být vždy. Čtenáři se tedy mohou pokusit o nalezení dvojice sudo-lichých spřátelených čísel. Třeba budou mít podobné štěstí jako v minulém století N. Paganini. strana 6

27 .6 Fermatova prvočísla Pierre Fermat ( ) byl jedním z matematických géniů 7. století. Celý život prožil v jihofrancouzském Toulouse a jeho nejbližším okolí, nikdy dokonce ani nenavštívil Paříž, ačkoliv si s tamější vědeckou komunitou dopisoval. Nebyl dokonce ani povoláním matematik, těch ostatně bylo v té době nemnoho. Nevíme ani, zda jeho nejbližší okolí za jeho života tušilo, že jedna ze zálib ctihodného soudního rady, pana P. de Fermat, jak byl někdy též titulován, ho zařadí mezi nejvýznamnější světové matematiky všech dob. S největší pravděpodobností spíše oceňovalo jeho vynikající klasické vzdělání, dokonalou znalost latiny, řečtiny, italštiny a španělštiny; tyto jazyky znal natolik dobře, že v nich psal i verše a na překlady z řečtiny byl vyhlášeným expertem. Rekapitulujeme-li jeho matematické výsledky, musíme se zmínit o tom, že dosáhl významných výsledků v matematické analýze, jimiž připravoval půdu k založení infinitesimálního počtu o několik desetiletí později; že společně s Descartem položil základy analytické geometrie a že je považován za zakladatele teorie čísel. Fermatova intuice a jasnozřivost byla opravdu mimořádná. (Jedním z nejznámějších dokladů je tzv. Velká Fermatova věta, tj. tvrzení, že rovnice x n + y n = z n nemá pro n > netriviální celočíselné řešení. Důkaz této věty byl po staletích marného snažení proveden až v r. 995.) O to zajímavější je následující případ, v němž se Fermat spletl, a to naprosto zásadně. Jak k tomu došlo? Fermat studoval dokonalá čísla. Jak již víme, souvisejí tato čísla bezprostředně s Mersennovými prvočísly, tj. prvočísly tvaru n. Není tedy překvapující, že si položil otázku, kdy jsou prvočísly čísla podobného tvaru: n +. Fermat vyslovil, že čísla tvaru F m = + jsou pro m = 0,,, prvočísla. Jak na tuto hypotézu Fermat přišel? Snadno lze dokázat, že číslo tvaru n + může být pro n > prvočíslem pouze tehdy, když exponent n nemá lichého prvočinitele, tj. je tvaru m. Fermat navíc spočítal pět prvních čísel F m : F 0 = 3, F = 5, F = 7, F 3 = 57, F 4 = a zjistil, že jsou to vesměs prvočísla. Formulace výše uvedené hypotézy se tedy zdá naprosto logická. Fermat sám několikrát ve své korespondenci uvedl, že obecný důkaz této hypotézy se mu sice nepodařilo nalézt, věnoval však problematice tolik úsilí a provedl tolik namáhavých výpočtů, že je o pravdivosti této hypotézy zcela přesvědčen. (Poznamenejme, že Fermat své výsledky až na čestné výjimky nepublikoval a zachovaly se jen v jeho četné korespondenci nebo jako vpisky do literatury, kterou studoval. Za zachování většiny výsledků tak vděčíme Fermatovu synovi Samuelovi, rovněž soudnímu radovi v Toulouse, který se po otcově smrti vydání jeho díla intenzivně věnoval.) Fermat tedy zemřel v domnění, že jeho hypotéza je pravdivá, že všechna čísla F m jsou prvočísla. Další vývoj byl zajímavý a v mnoha ohledech poučný. Fermatovo dílo, alespoň v oblasti teorie čísel, upadalo po jeho smrti v zapomnění; zřejmě předběhl dobu a matematika nebyla na rozvoj této disciplíny připravena. Až o necelé století později m strana 7

28 se o definitivní zrod teorie čísel zasloužil největší matematik 8. století, Leonhard Euler. Ten řadu Fermatových výsledků znovuobjevil, v mnohém na Fermata navázal a jako první zasáhl do historie Fermatových čísel F m, když v r. 83 dokázal, že číslo F 5 je složené! Nalezl totiž faktorizaci F 5 = 3 + = = Tím byla samozřejmě Fermatova hypotéza vyvrácena, nebylo však ani zdaleka jasné, jak je to s dalšími čísly F m. (V dalším budeme Fermatovým prvočíslem rozumět číslo F m, které je prvočíslem.) Zájem o Fermatova prvočísla výrazně vzrostl koncem 8. století, kdy německý matematik Carl Friedrich Gauss ( ) odvodil následující překvapující souvislost Fermatových prvočísel s pravidelnými mnohoúhelníky: Pravidelný mnohoúhelník je eukleidovsky konstruovatelný právě tehdy, když počet jeho vrcholů je roven číslu k n = p p K ps kde p, p,, p s jsou navzájem různá Fermatova prvočísla. Odtud okamžitě vyplývá, že pravidelné n-úhelníky jsou eukleidovsky konstruovatelné například pro n = 3, 4, 5, 6, 8, 0,, 5, 6, 7, a nejsou eukleidovsky konstruovatelné například pro n = 7, 9,, 3, 4,. Protože Fermatových prvočísel bylo v onu chvíli známo pouze 5 (a jak uvidíme, tento počet se dodnes nezvýšil), bylo podle Gausse možno dokázat existenci eukleidovské konstrukce pouze pro 5 = 3 pravidelných mnohoúhelníků s lichým počtem vrcholů. Další krok v poznávání Fermatových čísel se podařilo udělat až za 50 let po Eulerovi, v roce 880, kdy F. Landry dokázal, že F 6 je součinem dvou prvočísel: F 6 = 64 + = Ani další číslo tedy nesplňovalo Fermatovu předpověď! A vývoj byl i nadále k Fermatově hypotéze neúprosný. V r.897 dokázal Felix Klein (849 95), že číslo F 7 je složené, nenašel však žádného dělitele. V roce 909 dokázali analogický výsledek pro číslo F 8 J.C. Moreheard a A. E. Western. Faktorizaci čísla F 7 se podařilo nalézt až v r. 970: F 7 = ( ) ( ), jednoho dělitele čísla F 8 nalezli Brent a Pollard až v roce 98; je jím číslo Abychom mohli docenit, jak obtížné bylo uvedené výsledky získat, stačí si uvědomit, jak rychle posloupnost Fermatových čísel roste. Podívejme se, jak bychom zjišťovali standardními metodami, zda je například F m prvočíslo. Víme, že k tomu je stačí dělit všemi prvočísly, která nepřevyšují číslo bychom tedy prověřovali například číslo F 8? F m. Jak dlouho strana 8

29 Celá část čísla F 8 má 39 cifer, takže lze vcelku snadno odvodit, že před ním je cca ln prvočísel. Vzhledem k tomu, že rok má cca sekund, potřebovali bychom při miliardě dělení za sekundu k provedení potřebných výpočtů přibližně let. Jen pro porovnání: stáří vesmíru odhadujeme na cca let. Pokusme se pod dojmem právě uvedených odhadů alespoň představit, jakými metodami mohl polský matematik Waclaw Sierpinski (88 969) v roce 96, bez využití výpočetní techniky, dokázat, že číslo F 945 není prvočíslo. Dekadický zápis tohoto čísla zcela jistě nikdy nikdo nenapíše, protože počet jeho číslic je Ještě neuvěřitelnější je fakt, že v r. 983 W. Keller odvodil, že číslo F 3 47 je dělitelné číslem Toto Fermatovo číslo má více než cifer. Pozor: velikost posledního čísla si nesmíme plést s číslem Toto číslo má jen 700 cifer. Nyní již můžeme uzavřít historii probírané Fermatovy hypotézy. Zdá se, že Fermat se v tomto případě mýlil naprosto fatálně. Všechna dosud prozkoumaná Fermatova čísla, kromě prvních pěti, jsou složená. Dodnes sice není dokázáno, že žádné další Fermatovo prvočíslo neexistuje, mnohé však tomu nasvědčuje. Téměř šokující je přitom skutečnost, že teoreticky se Fermat vlastně vůbec neměl splést. Z výsledků, které sám odvodil a dokázal, totiž plynulo, že číslo F 5, které posléze rozložil Euler, může mít prvočíselné dělitele pouze tvaru 64n + a číslo 64, o němž Fermat bezpochyby i zpaměti věděl, že je prvočíslem, je opravdu dělitelem. Zdá se téměř neuvěřitelné, že tento fakt Fermat, který byl v praktických výpočtech mimořádně zběhlý a i mnohem větší čísla faktorizoval prakticky obratem, mohl přehlédnout. A přitom, jak jsme již uvedli, sám napsal, že výpočtům v tomto směru věnoval mnoho úsilí! Jediné vysvětlení je, že se prostě při pokusu o faktorizaci čísla F 5 spletl a svůj výpočet již nikdy neprověřoval. Kdyby této Fermatovy pravděpodobné chyby nebylo, nikdy by nezformuloval onu hypotézu. Vývoj teorie čísel by možná v některých ohledech byl jiný. Ona osudná chyba však rozhodně nesnižuje Fermatovu genialitu a možná paradoxně přispěla k mnoha zajímavým objevům v této oblasti..7 Proč vůbec hledáme velká prvočísla Víme, že prvočísel je sice nekonečně mnoho; jak jsme však již uvedli, nejen že neznáme žádnou formuli, která by nám postupně umožňovala počítat všechna prvočísla, ale nemáme k dispozici dokonce ani formuli f (n), která by v přirozených číslech nabývala postupně (navzájem různých) prvočíselných hodnot, byť ne nutně všech. Je však zřejmé, že hledání stále větších a větších prvočísel bylo pro matematiky od dávnověku intelektuální výzvou. Nemá smyslu se ptát, k čemu bylo toto hledání dobré. K čemu je dobré malování obrazů, hraní šachů či zdolávání velehor? Konáme mnoho činností jen proto, že jsme lidé obdaření intelektem a emocemi, kteří cítí alespoň někteří z nás vnitřní potřebu poznávat nepoznané, zdolávat nezdolané a sdělovat jiným své vidění světa, své myšlenky a obohacovat se navzájem. Každý z nás, kdo svůj život více či méně spojil s matematikou, proto dobře rozumí i v této oblasti pohnutkám našich předchůdců. strana 9

30 A jak už nám historie mnohokrát ukázala, ideje a teorie, které se zpočátku zdály jen intelektuální hříčkou bez hlubšího významu a bez praktického využití, se dříve či později ukázaly přínosné a často nepostradatelné v oborech, o nichž v době jejich vzniku nebylo a nemohlo být ani potuchy. Tak našla teorie grup užití ve fyzice či krystalografii, teorie kvaternionů v kosmonautice a mohli bychom jmenovat mnoho dalších příkladů. Podobný osud čekal i na zdánlivě zcela neužitečné hledání velkých prvočísel, která dnes nacházejí zásadní využití například v testování hardwaru a softwaru či v intenzivně se rozvíjející kryptografii. Hledání velkých prvočísel v dobách, kdy ještě nebyla k dispozici výpočetní technika, rozhodně nebylo snadnou záležitostí. Vzhledem k tomu, že pro výpočet prvočísel není známa žádná zákonitost, začala být v průběhu staletí studována prvočísla jistých tvarů ve víře, že mezi nimi budou adepti na nově objevená prvočísla. Již jsme se zmínili o tzv. Mersennových a Fermatových prvočíslech. (Připomeňme, že Mersennova prvočísla jsou prvočísla tvaru p, Fermatova prvočísla mají tvar m +.) Již v minulém paragrafu jsme uvedli, že největší prvočíslo ve své době nalezl Euler, když v r. 77 dokázal, že prvočíslem je číslo 3 = , tj. 3. Mersennovo prvočíslo. Další pokrok přišel až po téměř 00 letech, když v r. 867 našel Landry prvočíslo V r. 876 nalezl Francois Edouard Anatole Lucas (84 89) prvočíslo 7, které má dokonce 39 cifer. Poslední pokrok v předpočítačovém věku byl učiněn v r. 95, kdy Ferrier našel prvočíslo ( 48 + )/7, které má 44 cifer. Již v témže roce však bylo nalezeno pomocí počítače další prvočíslo o 79 cifrách a definitivně tak skončila éra samostatných počtářů, kteří pracovali v nejlepším případě s mechanickým počitadlem. Současně bylo čím dál jasnější, že nejvhodnějšími kandidáty na hledání velkých prvočísel jsou tzv. Mersennova prvočísla, o nichž jsme se již několikrát zmínili. Tato čísla dnes hrají ve sledované problematice centrální roli; proto se o nich v další části zmíníme podrobněji..8 Mersennova prvočísla Francouzský fyzik, matematik a teolog Marin Mersenne ( ) studoval na jezuitské koleji současně s Descartem a poté na pařížské Sorbonně. Po studiích vstoupil do kláštera. Dopisoval si s mnoha učenci, například s Galileem, Fermatem, Pascalem a dalšími. Stal se centrem významné pařížské vědecké komunity, z níž se časem vyvinula Francouzská akademie (660). V Mersennově době bylo známo, že když n není prvočíslo, nemůže být prvočíslem ani číslo n. S obráceným tvrzením je to však podstatně komplikovanější. Pro prvočíslo n číslo n může, avšak jak lze lehce ukázat nemusí být prvočíslem. Z důvodů, které za chvíli uvidíme, je dnes obvyklé nazývat čísla M n = n Mersennovými čísly. Následující Mersennova prvočísla znali již staří Řekové: M = 3, M 3 = 7, M 5 = 3, M 7 = 7, M 3 = 8 9. strana 30

31 Již v souvislosti s dokonalými čísly jsme uvedli, že v r. 603 dokázal CATALDI, že prvočísly jsou čísla M 7 a M 9. V r. 644 vyslovil MERSENNE hypotézu, že pro n < 58 jsou prvočísly právě M n s indexy,, 3, 5, 7, 3, 7, 9, 3, 67, 7, 57. (Mersenne na rozdíl od dnešní terminologie považoval za prvočíslo i číslo.) Již jsme uvedli, že čísla M 3 (Euler 77) a M 7 (Lucas 876) jsou opravdu prvočísla. V r. 883 odvodil Ivan Michejevič Pervušin (87 900), že Mersenne zapomněl na index 6; číslo M 6 je také prvočíslem. První chybu v Mersennově seznamu objevil v r. 903 americký matematik Frank Nelson Cole (86 96), který na říjnovém zasedání American Mathematical Society v New Yorku předvedl, že M 67 = 67 = Jak sám uvedl, hledal tuto faktorizaci celé víkendy po tři roky. Později se ještě ukázalo, že v Mersennově seznamu chybějí prvočísla M 89 a M 07 a nepatří tam složené číslo M 57. Přestože tedy Mersennova hypotéza byla v řadě případů nesprávná, nemění to nic na skutečnosti, že právě tato čísla se ukázala jako mimořádně vhodná při snahách o nalezení velkých prvočísel. Svou roli zde sehrává řada okolností. Především to je samozřejmě skutečnost, že těchto prvočísel je zřejmě relativně dost, alespoň v tom smyslu, že je nestihl například osud Fermatových prvočísel. Pro počítačovou éru se však mimořádně užitečnou a příznivou ukázala ještě další skutečnost. Již Lucas v roce 870 odvodil test prvočíselnosti Mersennových čísel, který ještě zjednodušil v roce 930 Lehmer. Tento test spočívá v následujícím tvrzení. Položme S(n) = 4, S(n +) = S(n). Nechť p je liché prvočíslo. Pak je M p prvočíslem právě tehdy, když dělí číslo S(p ). Onou příznivou skutečností, o níž jsme se výše zmínili, je fakt, že tento test je mimořádně vhodný pro programování, neboť umožňuje relativně rychlé prověřování, jak ještě uvedeme. Vývoj po roce 95, kdy se tedy do hledání prvočísel zapojily počítače byť z dnešního hlediska pomalé a nevýkonné rychle gradoval. Když bylo v r. 957 nalezeno prvočíslo M 37, které má 969 cifer, bylo s napětím očekáváno, kdy padne bariéra 000 cifer; takto velkým prvočíslům se začalo říkat titánská. Tato hranice padla v r. 96, kdy Hurwitz nalezl první titánské prvočíslo M 443, které má 33 cifer. Obr. 4: Příležitostné razítko vydané na počest objevení čísla M 3 strana 3

32 A vývoj se nezastavil a překonával všechna očekávání. Když pracovníci University of Illinois v r. 963 nalezli na počítači ILLIAC v pořadí již 3. Mersennovo prvočíslo M 3, které má 3376 cifer, opatřovali poštu matematického ústavu speciálním razítkem, které do celého světa oznamovalo, že 3 je prvočíslo! Do dnešního dne již bylo nalezeno celkem 43 Mersennových prvočísel. V tabulce uvádíme i počty cifer příslušného Mersennova prvočísla a od něho odvozeného dokonalého čísla. Jak dlouhé je poslední z dosud známých prvočísel? Při desetibodovém písmu, což je běžná velikost knižních publikací, to činí metrů! Významnou roli v tomto procesu sehrává v posledních letech nadnárodní skupina GIMPS (the Great Internet Mersenne Prime Search), která sdružuje několik tisíc nadšenců z celého světa, kteří společně pracují na projektu vyhledávání dalších prvočísel. Velký úspěch tato skupina zaznamenala 7. ledna 998, kdy její člen, devatenáctiletý student kalifornské univerzity Roland Clarkson, nalezl po několikadenní práci svého osobního počítače 37. Mersennovo prvočíslo M Jeho výpočet prověřil dne na superpočítači Cray jeden z intelektuálních vůdců celé skupiny David Slowinski, který se významně podílel na objevení mnoha prvočísel. Toto číslo má cifer, takže další bariérou se stalo nalezení tzv. megaprvočísla, které bude mít více milion cifer. I tato bariéra však již v r. 999 padla. Protože však skok od 38. Mersennova čísla k dalšímu je nápadně velký, je možné, že některé Mersennovo číslo bylo vynecháno. Proto jsou u pořadí posledních čísel v tabulce uvedeny otazníky. TABULKA DOD ZNÁMÝCH MERSENNOVÝCH PRVOČÍSEL P cifer M p cifer P p rok Objevil ? Cataldi Cataldi rulet Pervušin Powers Powers Lucas Robinson Robinson Robinson Robinson Robinson diesel Hurwitz Hurwitz Gillies Gillies Gillies Tucker Noll, Nickel Noll Nelson, Slowinski strana 3

33 TABULKA DOD ZNÁMÝCH MERSENNOVÝCH PRVOČÍSEL P cifer M p cifer P p rok Objevil Slowinski Colquitt, Welsh Slowinski Slowinski Slowinski, Gage Slowinski, Gage Slowinski, Gage GIMPS GIMPS GIMPS GIMPS 39? Cameron, GIMPS 40? GIMPS 4? GIMPS 4? GIMPS 43? GIMPS.9 Prvočíselná dvojčata Ve druhé polovině 0. století byly vyřešeny některé slavné problémy, s nimiž se matematikové potýkali mnohdy celá staletí. Již jsme se zmínili, že v r. 995 byla dokázána tzv. Velká Fermatova věta a již dříve byla rozřešena hypotéza kontinua a problém čtyř barev. (Hypotéza kontinua byla asi nejslavnějším matematickým problémem 0. století. Týkala se toho, zda existuje množina, která má větší mohutnost než množina všech přirozených čísel, avšak menší než množina všech reálných čísel. V roce 963 dokázal americký matematik Paul Cohen, že tuto hypotézu nelze v Zermelo- Fraenkelově teorii množin ani dokázat ani vyvrátit. Problém čtyř barev z teorie grafů se obrazně řečeno týkal toho, jaký je nezbytný počet barev, s nimiž vystačíme při vybarvování jakékoliv politické mapy tak, že sousední území budou vybarvena rozdílně. Přesná formulace ovšem vyžaduje precizaci uvedených pojmů. V r. 976 bylo dokázáno, že stačí čtyři barvy. K důkazu bylo zásadním způsobem využito počítačů.) Přesto dodnes zůstává a to i v teorii čísel mnoho nevyřešených problémů, které odolávají všem pokusům o jejich zdolání. Formulace mnohých z nich je přitom až překvapivě jednoduchá. Zmiňme se tedy na závěr alespoň o některých. Jak známo, prvočíselnými dvojčaty rozumíme prvočísla, jejichž rozdíl je. Čtenář si jistě okamžitě vybaví například prvočísla, 3 nebo 9, 3. Dobře zapamatovatelná prvočíselná dvojčata jsou například a I při hledání nových prvočíselných dvojčat v posledních letech sehrává zásadní roli výpočetní technika. Tak se například v roce 995 podařilo najít prvočíselná dvojčata ±, která mají 59 číslic. Největší dosud známá prvočíselná dvojčata byla objevena v r Jsou to čísla ± která mají cifer. strana 33

34 Přestože se však prvočíselná dvojčata vyskytují prakticky v celém dosud probádaném úseku přirozených čísel, není dodnes známo, zda je jich konečně, nebo nekonečně mnoho. Mezi známými předpověďmi přitom panují značné rozpory, neboť indicie naznačují zcela rozdílné výsledky. Jistou nápovědou by například mohla být následující skutečnost. Víme, že tzv. harmonická řada n= n diverguje, tj. ke každému kladnému číslu A > 0 existuje takové přirozené číslo n 0, že n O = K + > A. n 3 n n= 0 Dovolme si nyní krátkou odbočku. Skutečnost, že harmonická řada diverguje, je všeobecně známa a sdělení tohoto faktu nechává studenty při přednášce z matematické analýzy zcela chladnými. Při vhodné interpretaci však je tato okolnost přímo děsivá. Představme si úsečku o délce rovné například vzdálenosti naší Země od nejbližší hvězdy mimo naši sluneční soustavu, což jak známo je více než 4 světelné roky. Divergence harmonické řady znamená, že když začneme tuto úsečku pokrývat postupně úsečkami, z nichž první bude dlouhá mm, druhá / mm, třetí /3 mm atd., pak konečným počtem těchto úseček uvedenou vzdálenost k Proximě Centauri pokryjeme. Kolik by těch úseček ovšem mělo být jak za okamžik uvedeme nelze dost dobře vůbec vyčíslit. Popisovaný příklad nám však poslouží k dokumentaci dvou na první pohled nesouvisejících faktů. Především si můžeme opětovně uvědomit, jak odvážného kroku se dopouštíme, když ve vyučování běžně a bez rozpaků hovoříme o součtech celých nekonečných (například geometrických) řad. Vlastnosti harmonické řady současně dobře ilustrují zcestnost v poslední době častých názorů, že role matematiky klesá, neboť počítat za nás budou počítače a zatěžovat žáky nějakou teorií je tak v podstatě zbytečné. Divergentní řada totiž roste tak pomalu, že ani sebelepší počítače dodnes nepoznají, že tato řada nemá konečný součet. Žádný dnešní superpočítač nedovede sečíst ani tolik členů, aby dosáhl například mezisoučtu 0. Jinak řečeno, žádný počítač nepozná, že skládáním výše uvedených krátkých úseček může dosáhnou délku 0 mm. Jak by tedy mohl dohlédnout až k nejbližší hvězdě! Zatím jsme však ani nenaznačili, jak harmonická řada souvisí s problémem prvočíselných dvojčat. Nyní to tedy napravíme. Vybereme-li z harmonické řady některé členy, může tato vybraná řada divergovat i konvergovat. Například řada diverguje, zatímco řada = K + n= n + K n = K + + K n n n= jak známo konverguje, neboť je to geometrická řada s kvocientem /. Nyní již můžeme zformulovat jeden významný rozdíl mezi posloupností ( p ) n n= a posloupností těch prvočísel, která tvoří prvočíselná dvojčata. Řada všech prvočísel strana 34

35 3 5 7 = K + n n= p n K utvořená pomocí všech prvočísel diverguje. Kdyby divergovala i řada K, v níž se ve jmenovateli postupně objevují všechna prvočíselná dvojčata, existovalo by samozřejmě prvočíselných dvojčat nekonečně mnoho. Jak však ukázal Brun, tato řada konverguje. Určit její součet, jemuž se říká Brunova konstanta, je velmi obtížné. V r. 974 určili D. Shanks a J. W. Wrench její přibližnou hodnotu, , v únoru 999 ji na hodnotu, zpřesnil Thomas Nicely, který k tomuto zpřesnění využil všech prvočíselných dvojčat až do řádu,5 05. Při těchto výpočtech objevil chybu procesoru Intel Pentium. Tím jen ilustrujeme fakt, který jsme již uvedli: zdánlivě samoúčelná hledání velkých prvočísel a jiné analogické činnosti dnes pomáhají, kromě jiného, i při testování hardwaru a softwaru. Co lze vydedukovat z konvergence druhé z uvedených řad? Samozřejmě by tato řada měla konečný součet (a tedy konvergovala), pokud by prvočíselných dvojčat bylo pouze konečně mnoho. I kdyby jich však bylo nekonečně mnoho, je zřejmě přechod od všech prvočísel k prvočíselným dvojčatům výraznějším kvalitativním zlomem než přechod od přirozených čísel k prvočíslům. Právě uvedený fakt naznačuje, že prvočíselných dvojčat by mohlo být pouze konečně mnoho, jiné skutečnosti či hypotézy však napovídají opak. Zjištění počtu prvočíselných dvojčat tak patří, přes svou zdánlivou jednoduchost, k těm nejtěžším problémům současné matematiky..0 Goldbachova hypotéza Zadejme dětem následující úkol. Nechť si zvolí libovolné sudé číslo větší než a snaží se je vyjádřit jako součet co nejmenšího počtu prvočísel. Kolik těchto prvočísel budou potřebovat? Po chvíli jistě žáci zjistí, že se jim zvolené sudé číslo podařilo vyjádřit jako součet dvou prvočísel, např. 36 = Jak to však dopadne, kdybychom si zvolili nějaké hodně velké sudé číslo? Bude se potřebný počet prvočísel zvyšovat? Narazili jsme tak na další z nejobtížnějších matematických problémů. Německý právník, pruský velvyslanec v Rusku a matematický samouk Christian Goldbach ( ), který se v matematice zabýval především teorií čísel, zformuloval dne v dopise Eulerovi hypotézu, že, každé přirozené číslo n > 5 je součtem nejvýše tří prvočísel. Euler mu obratem odpověděl, že toto tvrzení je ekvivalentní s tím, že každé sudé n > je součtem dvou prvočísel. Této Eulerově formulaci se dnes říká Goldbachova hypotéza. (Jejím důsledkem je tzv. ternární Goldbachův problém: Každé liché číslo n >7 je součtem tří prvočísel.) Uvedená Goldbachova hypotéza nebyla dodnes, přes nesmírné úsilí mnoha generací matematiků, ani dokázána, ani vyvrácena. Mimořádně obtížnými metodami bylo dokázáno jen několik dílčích výsledků. strana 35

36 V roce 937 dokázal ruský matematik Ivan Matvějevič Vinogradov (89 983) první definitivní výsledek: Existuje číslo n 0 takové, že každé liché n > n 0 je součtem tří prvočísel. Z mimořádně obtížného důkazu však neplynulo, jak velké je ono číslo n 0. Odhady ukazovaly, že může být nepředstavitelně velké. Přesto však Vinogradovův výsledek byl zásadním pokrokem: ternární Goldbachův problém byl vyřešen alespoň od jistého byť ne známého čísla. Po téměř dvaceti letech, v roce 956 dokázal Borodzkin, že Vinogradovovo číslo n nepřevyšuje hodnotu 3 5 < 0. V r. 989 posléze dokázali Chen a Wang tuto hodnotu ještě snížit na číslo Částečného pokroku v řešení Goldbachovy hypotézy dosáhl v r. 930 ruský matematik Lev Genrichovič Šnirelman ( ), když dokázal, že každé dostatečně velké číslo je součtem nejvýše k prvočísel. Jeho metodami však nebylo možno dokázat, jak velké je ono číslo k, odhady ukazovaly hodnotu cca Přestože od tohoto Šnirelmanova výsledku bylo k důkazu Goldbachovy hypotézy nesmírně daleko, byl to výrazný přínos, neboť bylo alespoň dokázáno, že sudá čísla jsou součtem takového počtu prvočísel, který nepřesáhne jistou hranici. Hodnota Šnirelmanova čísla k byla postupně snižována. Prozatím nejlepšího výsledku dosáhl v r. 995 O. Ramaré: Každé sudé číslo lze vyjádřit jako součet nejvýše šesti prvočísel. Současně s popsanými teoretickými výsledky prověřování Goldbachovy hypotézy na počítačích. V r. 993 potvrdil Sinisalo Goldbachovu hypotézu pro všechna přirozená čísla menší než 4 0. Tuto hodnotu později za pomoci superpočítače Cray C90 a za podpory množství pracovních stanic zvýšili Jean-Marc Deshouillers, Yanick Saouter a Herman te Riele dokonce na 04. Zatím poslední verifikaci až do hodnoty 4 04 provedl v říjnu 998 Joerg Richstein. Přes všechny dílčí úspěchy se však dosud definitivní odpověď na Goldbachovu hypotézu nepodařilo najít. 3. Geometrie 3. Obsahy rovinných útvarů Představa obsahu rovinného obrazce byla pro lidi důležitá od pradávných dob ať již se jednalo o velikost a přeměnu polí či například rozměry základů obydlí. Úlohy na výpočet obsahu základních geometrických útvarů v rovině jsou obsaženy v nejstarších dochovaných písemných památkách. Praktickou motivaci vzniku geometrie ilustruje vyprávění nejstaršího řeckého dějepisce Hérodota (5. stol. př. n. l.) o tom, jak faraón Ramses II. rozdělil půdu mezi Egypťany tak, že každý obdržel pole čtyřúhelníkového tvaru a stejného obsahu. Z jeho výnosu odváděl každoročně faraónovi daně. Jestliže někomu byla část pole odplavena při nilských záplavách, bylo jeho strana 36

37 povinností oznámit to faraónovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správně určili novou daň. Obdélník Egyptské papyry a mezopotámské hliněné tabulky z druhé poloviny druhého tisíciletí před naším letopočtem dokládají, že obsah obdélníka byl určován obvyklým způsobem jako součin délek jeho stran (označovaných jako délka a šířka). Podívejme se například do starého Egypta. Obdélník zde byl základním tvarem pole. Odvození vzorce pro jeho obsah mohlo vycházet z tzv. pruhové míry, která byla založena na pruhu zorané půdy. Počet těchto vyoraných pruhů vynásobený délkou pruhu poskytoval poměrně přesný odhad pro stanovení množství zasévaného obilí. Trojúhelník Obsah trojúhelníka byl ve starém Egyptě určován jako součin poloviny základny a výšky; řečeno dnešními slovy, trojúhelník se převáděl na rovnoplochý obdélník (viz.obr. vlevo). Trojúhelník byl většinou rovnoramenný; není zcela jisté, zda údaj, který chápeme jako výšku, nebyl v egyptských textech ve skutečnosti délkou jedné ze stran trojúhelníka pak by byl vzorec samozřejmě jen přibližný. Lichoběžník Obsah lichoběžníka se určoval rovněž převedením na rovnoplochý obdélník; postup pro výpočet odpovídá dnešnímu vzorci, kde se násobí aritmetický průměr základen a výška lichoběžníka (viz obr. vpravo). Obr. Obecný čtyřúhelník Obsah obecného čtyřúhelníka Egypťané počítali podle přibližného vzorce S = a+ b c+ d. strana 37

38 Kruh Výpočet obsahu kruhu používaný ve starém Egyptě odpovídá vzorci, který bychom v dnešní symbolice pro kruh o průměru d napsali takto: ( ) ( ) 8 64 = = =. S d d d d Slovní popis tohoto postupu je obsažen v příkladu č. 50 v Rhindově papyru, který je nadepsaný Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy. Jaký je obsah plochy? Odečti /9 z toho, je to, zbytek je 8. Počítej s 8 osmkrát, vyjde 64. Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet. Srovnáme-li předpis odpovídající egyptskému postupu s naším vzorcem pro výpočet obsahu kruhu, dostaneme egyptskou hodnotu čísla π: 64 π d = d, tj. π = 64 =& 3, Jeden z mnoha způsobů, jimiž mohli Egypťané k tomuto výsledku dospět, lze popsat následujícím způsobem. Danému kruhu opišme čtverec a ten rozdělme na 8 8 stejných čtverečků. V každém rohu opsaného čtverce odeberme čtverec obsahující 3 3 čtverečky a dva sousední čtverce obsahující čtverečky. Obsah kruhu aproximujme obsahem takto vytvořeného útvaru: Obr. strana 38

39 Celkem jsme odebrali 68 čtverečků (v každém rohu 9+ 4 ), obsah kruhu jsme tak odhadli 8 68= 56= 6 čtverečky o straně, což odpovídá čtverci o straně 8 d ( ) 6 d = 8 d = d d Popsaný způsob odpovídá hojnému využívání čtvercové sítě při projektování egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod. Ve staré Mezopotámii byl pro výpočet obsahu kruhu používán algoritmus, který lze v dnešní symbolice vyjádřit pomocí vzorce S = O, kde O je obvod kruhu. Tento vztah by odpovídal hodnotě π = 3, kterou získáme snadným dosazením: πr = π r. Na některých tabulkách však byl použit i odhad π = Eudoxova exhaustivní metoda Výrazný pokrok v oblasti určování obsahů a objemů umožnila tzv. exhaustivní (vyčerpávací) metoda vypracovaná řeckým matematikem Eudoxem z Knidu (asi př. n. l.). Tato metoda byla založena na následujícím tvrzení: Jsou-li dány dvě nestejné veličiny a od větší odečteme její část větší než její polovina a od zbytku opět jeho část větší než jeho polovina a budeme tak činit stále, zbude nějaká veličina, jež bude menší než libovolná kladná veličina. Díky tomuto tvrzení lze například obsah rovinného útvaru A získat pomocí vepisování mnohoúhelníků P, P, K, Pn, jejichž obsahy jsou známé, tvoří monotónní posloupnost SP ( ) < SP ( ) < L < SP ( n ) a platí pro ně nerovnosti: S( A) ( S( A) SP ( )) S( A) S( A) S A SP S A SP S A SP 4 ( ) ( ) <, ( ) ( ) < <, K, ( ) ( n) <. n Podle výše uvedeného tvrzení je při dostatečně vysokém n rozdíl S( A) SP ( n ) menší než libovolná kladná veličina (dnes bychom napsali S( A) = lim SP ( )). Eudoxos tedy hledal takové číslo B, pro něž je rozdíl B SP ( n ) menší než libovolná kladná veličina; sporem se pak snadno dokáže, že S( A) = B. Původní Eudoxovy práce se nezachovaly, jeho metoda je však podrobně rozpracována v Eukleidových Základech napsaných o několik desetiletí později. Kromě dalších tvrzení souvisejících s objemy těles, o kterých se zmíníme později, Eukleides například pomocí exhaustivní metody odvodil, že obsahy kruhů jsou v témže poměru jako obsahy čtverců sestrojených nad jejich průměry. Důkaz lze poněkud zjednodušeně popsat následujícím způsobem. Do daných kruhů k, k o průměrech d, d vepišme čtverce ABCD, EFGH. Obsahy těchto čtverců jsou ve stejném poměru jako druhé mocniny průměrů d, d : d ( ) S( ABCD) =. SEFGH ( ) d' n n strana 39

40 Již dříve Eukleides dokázal, že stejný vztah platí pro libovolnou dvojici podobných mnohoúhelníků vepsaných do daných kruhů k, k. Protože v dalším budeme uvažovat jen pravidelné mnohoúhelníky, vystačíme si s jednoduchou úvahou o obsahu libovolného pravidelného n-úhelníka. Obr. 3 Obr. 4 Libovolný pravidelný n-úhelník vepsaný do kruhu k o poloměru r lze rozdělit na n shodných trojúhelníků s vrcholem ve středu kruhu, kde a α α 360 = rsin, v= rcos, α=. Obsah každého takového trojúhelníka je α α S = r sin cos = r sinα, pro obsah n-úhelníka proto platí: S = r nsinα = d nsinα. n 8 n Pro libovolnou dvojici n-úhelníků vepsaných do kruhů k, k je tedy poměr jejich obsahů roven S ( ) n = d. S d' n Nyní se vraťme zpět k původnímu obrázku. Obsah čtverce P4 = ABCD je roven jedné polovině obsahu čtverce opsaného kruhu k, je proto větší než polovina obsahu tohoto kruhu; ze stejného důvodu je také obsah čtverce P4 = EFGH větší než polovina obsahu kruhu k. Dále vepišme do obou kruhů pravidelné osmiúhelníky rozdělením příslušných oblouků na poloviny. Obsah trojúhelníka AOB je roven polovině obsahu obdélníka opsaného kruhové úseči AOB, je proto větší než jedna polovina obsahu této úseče; obsah osmiúhelníka P8 = AOBPCQDR je tedy větší než ¾ strana 40

41 obsahu kruhu k. Podobně obsah osmiúhelníka P8 = EKFLGMHN je větší než ¾ obsahu kruhu k. Tímto způsobem můžeme pokračovat libovolně dlouho: do kruhů můžeme vepsat pravidelné šestnáctiúhelníky, dvaatřicetiúhelníky atd. Pro jejich obsahy bude stále platit týž poměr: SP ( 4) SP ( 8) SP ( 6) SP ( 3) = = = = L = d ( ( ). SP4 ) SP ( 8 ) SP ( 6 ) SP ( 3 ) d' Zároveň budou tyto mnohoúhelníky postupně vyčerpávat kruhy k, k. Podle Eudoxovy věty platí, že zbývající části kruhů lze libovolně zmenšit; sporem lze ukázat, že poměr obsahů kruhů k, k nemůže být ani větší, ani menší než výše uvedená hodnota, proto d ( ) Sk ( ) = Sk ( ) d' Dnes, kdy již máme k dispozici pojem limity, bychom řekli, že obsah kruhu je limitou příslušné posloupnosti obsahů vepisovaných n-úhelníků, a okamžitě bychom tak dostali příslušnou rovnost. Z výsledku je patrné, že obsah kruhu je přímo úměrný druhé mocnině jeho poloměru, tj. S = πr pro nějakou konstantu π. Podobně bylo známo, že obvod kruhu je přímo úměrný první mocnině jeho poloměru, tj. O= π r pro nějakou konstantu π. To, že jsou obě konstanty shodné, dokázal až Archimédes (asi 87 př. n. l.) ve svém spise Měření kruhu, z něhož se zachoval zlomek obsahující tři pozoruhodné matematické věty; první z nich udává právě vztah mezi obvodem a obsahem kruhu: Obsah kruhu je roven obsahu pravoúhlého trojúhelníku, jehož délky odvěsen jsou rovny poloměru a obvodu kruhu. Obr. 5. V dnešní symbolice lze uvedené tvrzení vyjádřit vzorcem S = O r, kde r je poloměr daného kruhu, O jeho obvod a S jeho obsah. Po dosazení dostáváme π r = π r r, tj. π = π ; ve vzorci pro výpočet obsahu a obvodu kruhu proto figuruje stejná konstanta, kterou jsme dnes zvyklí označovat symbolem π. Označme písmenem T obsah příslušného pravoúhlého trojúhelníka. Důkaz tvrzení, že platí rovnost S = T, provedl Archimedes exhaustivní metodou; základní myšlenku lze nastínit takto. strana 4

42 Předpokládejme, že je S > T. Uvažujme posloupnost obsahů S n vepsaných n-úhelníků pro n = 4,8,6, K. Pro dostatečně vysoké n se bude obsah S n lišit od S o méně než S T, bude tedy S > Sn > T. Hodnota S n je však součtem obsahů n trojúhelníků, jejichž výšky jsou menší než r a součet délek jejich základen je menší než O, proto musí být Sn < T ; předpoklad S > T tedy vede ke sporu. Obr. 6 Dále naopak předpokládejme, že je S < T, a uvažujme posloupnost obsahů S n opsaných n- úhelníků pro n = 4,8,6, K. Pro dostatečně vysoké n se bude obsah S n lišit od S o méně než T S, bude tedy T > Sn > S. Hodnota S n je však součtem obsahů n trojúhelníků, jejichž výšky jsou rovny r a součet délek jejich základen je menší než O, proto musí být Sn > T ; předpoklad S > T tedy rovněž vede ke sporu. Platí proto S = T. Archimedův důkaz lze zjednodušeně prezentovat tak, že se daný kruh rozdělí na n shodných výsečí, které se poskládají tak, jak ukazuje následující obrázek. S rostoucím n se bude vzniklý útvar přibližovat obdélníku o stranách r a O /, jehož obsah je S = r O. Obr. 7 strana 4

43 Podobnou z dnešního pohledu ne zcela přesnou úvahu provedl Jan Kepler (57 630) v 7. století. Kruh si představil rozdělen na nekonečně malé výseče, které považoval za rovnoramenné trojúhelníky; kružnici tak rozvinul do úsečky AC o délce O, kde délka úsečky X Y je rovna délce úsečky XY: Obr. 8 Tyto trojúhelníky je možné nahradit jinými se stejnými základnami a výškou tedy se stejným obsahem; pouze vrchol je vždy posunut do středu kružnice, takže tyto trojúhelníky dohromady vyplňují pravoúhlý trojúhelník ABS odvěsnami délek O a r: Obr. 9 Dodejme, že Archimedes ve svém spise Měření kruhu rovněž uvedl odhad pro poměr obvodu O a průměru d libovolného kruhu; protože dnes poměr O/ d značíme symbolem π, můžeme tento výsledek napsat ve tvaru 3 0 < π < 3 = Vzhledem k tomu, že =& 3,486 a navíc se s tímto zlomkem dobře počítá, bývala, a ve škole 7 dosud bývá, tato hodnota používána jako vhodná přibližná hodnota čísla π. strana 43

44 Výpočtem obvodů vepsaných a opsaných n-úhelníků pro n = 6,, K,96 Archimedes odvodil i přesnější odhad: < π < Objemy a povrchy těles Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem byli egyptští počtáři schopni počítat i objem kvádru. Mezopotámské tabulky obsahují úlohy, kde se hledá objem krychle, kvádru či několika kvádrů. Postup výpočtu lze v naší symbolice napsat obvyklým způsobem: V = a 3, resp. V = abc, kde a je délka hrany krychle, resp. a, b, c jsou délky hran kvádru. Mezopotámští počtáři rovněž počítali objem hranolu jako součin obsahu základny a výšky, dále objem klínu (i nepravidelného) a různých těles s lichoběžníkovými podstavami (koryto, hráz). Válec Objem válce byl ve starém Egyptě i Mezopotámii počítán obvyklým způsobem jako součin obsahu základny a výšky, přičemž obsah kruhové základny byl počítán tak, jak jsme viděli výše. Formulace úloh byla i zde praktická hledal se například objem obilnice či studny kruhového průřezu. Jehlan Zastavme se ve starém Egyptě. Rhindův papyrus obsahuje několik úloh, v nichž je počítán například sklon stěny pyramidy o čtvercové základně, kde je známa délka strany základny a výška, či výška pyramidy s danou čtvercovou základnou a se známým sklonem stěny. Moskevký papyrus obsahuje velice zajímavou úlohu na výpočet objemu pravidelné komolé pyramidy, tedy pravidelného kolmého komolého jehlanu. Slovní popis řešení této úlohy můžeme v dnešní symbolice vyjádřit vzorcem, který je zcela správný: V = h ( a + ab+ b ), 3 kde a je délka strany dolní čtvercové základny, b je délka strany horní čtvercové základny a h je výška pyramidy. strana 44

45 Obr. 0 Zdá se velmi pravděpodobné, že Egypťané k tomuto vzorci dospěli teoreticky; řada historiků matematiky se proto snažila vysvětlit, jakým způsobem. Jeden z možných postupů je následující. Představme si, že daný pravidelný kolmý komolý jehlan rozdělíme na 9 částí: jeden hranol výšky h se čtvercovou základnou o straně b, čtyři jehlany výšky h se čtvercovými základnami o straně ( a b) a čtyři trojboké hranoly poloviny kvádru výšky h se základnou o stranách b, ( a b) : Obr. Sečteme-li objemy těchto těles, dostaneme: ( ) V b h 4 h 4 bh = + a b + a b = a + ab+ b 3 3. strana 45

46 Uvedené vysvětlení je didakticky názorné, zároveň však z historického hlediska poněkud problematické, protože nemáme žádný doklad o tom, že by Egypťané používali matematickou symboliku a prováděli algebraické úpravy (i když někteří badatelé provádění algebraických úprav připouštějí). Jiné možné odvození je ryze geometrické (viz [BBV], str. 99): Uvažujme tři takovéto komolé jehlany, první ponechejme celý a druhé dva si představme rozložené na výše uvedená tělesa. K prvnímu komolému jehlanu přidejme čtyři trojboké hranoly (na obrázku modře) odebrané od druhého jehlanu a osm jehlanů odebraných od druhého a třetího jehlanu (na obrázku červeně). Obr. Součet objemů těchto těles je roven objemu hranolu s podstavnou hranou a a výškou h, tedy ah. Obr. 3 Z druhého komolého jehlanu zbude hranol s podstavnou hranou b a výškou h, který má objem bh. Třetí komolý jehlan s odebranými rohy přeskládáme tak, že vznikne kvádr s délkami stran a, b, h: strana 46

47 Obr. 4 Tato tři tělesa mají dohromady objem h ( a ab b ) proto roven + +, objem jednoho komolého jehlanu je ( ) V = h a + ab+ b. 3 Ve výše uvedených úvahách jsme ovšem využívali poznatek, že objem jehlanu (v tomto případě pravoúhlého) je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou. Je pravděpodobné, že tento poznatek staří Egypťané znali ať již na základě měření či úvah o rozřezávání hranolu. Snadno si představíme, že krychli lze rozdělit na tři shodné jehlany: Obr. 5 U kvádru je to o něco složitější; nelze jej rozložit na tři shodné jehlany, je však možné jej rozdělit na tři pravoúhlé jehlany, které mají stejný objem (mezi délkami stran podstavy a výškou jsou vždy všechny tři hodnoty a, b, c). strana 47

48 Obr. 6 Podle dochovaných pramenů byl poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, zformulován až ve starém Řecku. Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat: Obr. 7 Důkaz vzorce pro objem jehlanu se dochoval v. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Pomocí exhaustivní metody Eukleides nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany o shodných mnohoúhelníkových základnách a výškách. Dále dokázal, že libovolný trojboký hranol lze rozdělit na tři trojboké jehlany téhož objemu: strana 48

49 Obr. 8 ABED je rovnoběžník, trojúhelníky ABE, EDA jsou proto shodné a leží v jedné rovině; jehlany s podstavami ABE, resp. EDA a vrcholem C mají proto stejný objem. Analogicky lze ukázat, že stejný objem mají i jehlany s podstavami ACD, resp. FDC a vrcholem E. Původní hranol jsme tak rozdělili na tři jehlany se shodným objemem: ACDE, ABEC, FDCE. Protože libovolný hranol s mnohoúhelníkovou podstavou lze rozložit na trojboké hranoly, platí i pro libovolný jehlan s mnohoúhelníkovou podstavou, že jeho objem je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou. Podle zmínky v Archimedově spise O metodě dospěl ke správnému vztahu mezi objemem trojbokého jehlanu a příslušného hranolu (stejně jako pro vztah mezi kuželem a válcem se shodnou podstavou a výškou) již Demokritos z Abdery ( př. n. l.) na základě své atomistické teorie; jeho práce se však nezachovaly a dnes se můžeme jen domýšlet, jakým způsobem postupoval. Kužel Důkaz tvrzení, že objem kužele je roven jedné třetině objemu válce se stejnou podstavou a výškou, dokázal rovněž Eukleides v. knize Základů, a to opět exhaustivní metodou. Důkaz není příliš náročný, je však poněkud pracný. Ve školské matematice se dnes toto tvrzení odvozuje jednodušeji pomocí principu, který vyložil Bonaventura Cavalieri ( ) ve svém díle Geometria indivisibilius continuorum z roku 635. Cavalieri určoval objem tělesa na základě porovnání plošných vrstviček, tzv. indivisibilií (nedělitelné), daného tělesa s obdobnými vrstvičkami v jiném tělese známého objemu. Své výsledky shrnul ve formulaci, kterou dnes nazýváme Cavalieriho principem: Když dvě tělesa mají stejnou výšku a když řezy rovinami, které jsou rovnoběžné s jejich podstavami a mají od nich stejnou vzdálenost, jsou takové, že poměr jejich obsahů je vždy stejný, potom objemy těles mají týž poměr. V případě kužele s poloměrem podstavy r a výškou h stačí uvažovat jehlan se stejnou výškou a se čtvercovou podstavou o straně : strana 49

50 Obr. 9 Roviny, které jsou rovnoběžné s podstavami obou těles a jsou vedeny ve stejné výšce, protínají tato tělesa v kruhu, resp. čtverci, jejichž obsahy jsou v konstantním poměru π r :. Pro objemy těles pak podle Cavalieriho principu platí: Vk = πr, tedy Vk= πrvj, V kde V k je objem daného kužele a roven V = h. Objem kužele je proto roven V = π rh. j 3 j V je objem uvedeného jehlanu s jednotkovou podstavou, který je j k Dodejme, že vztah pro povrch pláště kužele odvodil ve svém spise O kouli a válci Archimedes. S využitím exhaustivní metody dokázal: Povrch pláště kužele o poloměru základny r a straně s je roven obsahu kruhu o poloměru rs. 3 Koule Ve stejném spise Archimedes pomocí exhaustivní metody rovněž dokázal: Obr. 0 Povrch koule je roven čtyřnásobku obsahu kruhu o stejném poloměru. Objem koule je roven čtyřnásobku objemu kužele, jehož poloměr základny i výška jsou rovny poloměru koule. Uvědomme si, že z uvedených tvrzení vyplývá to, že známá konstanta, která vystupuje ve vzorcích pro výpočet obvodu a obsahu kruhu, se objevuje i ve vzorcích pro výpočet objemu a povrchu koule. strana 50

51 Tato tvrzení lze zformulovat i následujícím způsobem: Povrch koule je roven dvěma třetinám povrchu opsaného válce, tj. povrchu pláště opsaného válce. Objem koule je roven dvěma třetinám objemu opsaného válce. Uvedená tvrzení jsou pro žáky dobře zapamatovatelná, a mohou jim proto sloužit k vybavení vzorců pro výpočet povrchu a objemu koule. Budeme-li totiž uvažovat kouli o poloměru r a jí 3 opsaný válec, tedy válec o poloměru r a výšce r, pak objem tohoto válce je πr r = πr a povrch πr r+ πr = 6πr ; podle zmíněných tvrzení tedy pro objem a povrch koule platí: 4 3 V = πr, S = 4 πr. 3 Obr. Důsledkem posledního uvedeného tvrzení je následující vztah mezi objemy koule, kužele a válce, který je s Archimedovým jménem neodlučitelně spjat: Objemy kužele o poloměru základny r a výšce r, koule o poloměru r a válce o poloměru r a výšce r jsou v poměru ::3. V souvislosti s výpočtem obsahu kruhu jsme zmínili jméno Jana Keplera. Podobnými úvahami, které sice nejsou zcela přesné, zato však velmi názorné, odvodil kromě jiného i předpis pro objem koule: strana 5

52 Obr. Kouli o poloměru r si představil rozřezanou na nekonečně mnoho jehlanů s vrcholy ve středu koule, základnou na povrchu koule a výškou rovnou poloměru koule. Součet objemů těchto 4 jehlanů je roven V = Ar kde A= 4π r je povrch koule. 3, 4 3 Objem koule je tedy V = π r Pythagorova věta Starověk Pythagorova věta byla známa již ve starověku. V Egyptě možná používali již ve třetím tisíciletí před naším letopočtem pro vytyčování pravého úhlu lano, na němž bylo ve stejných vzdálenostech rozmístěno uzlů. Napne-li se lano pomocí tří kolíků tak, že vznikne trojúhelník s vrcholy v prvním, čtvrtém a osmém uzlu, pak řečeno dnešními slovy, tento trojúhelník je podle obrácené Pythagorovy věty pravoúhlý s pravým úhlem u čtvrtého uzlu. Obr. 3 V Mezopotámii je znalost Pythagorovy věty doložena již v době Starobabylonské říše. Úlohy pocházející z tohoto období svědčí o tom, že Pythagorova věta byla chápána jako vztah mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníka. Nevíme, zda starobabylonští počtáři objevili i důkaz této věty. Je však třeba zmínit, že hliněná tabulka Plimpton 3 z období př. n. l. strana 5

53 obsahuje patnáct dvojic přirozených čísel a, c, pro která je c a druhou mocninou jistého přirozeného čísla b, neboli a+ b= c; takovouto trojici přirozených čísel a, b, c dnes nazýváme Pythagorejskou trojicí. Je možné, že byly tyto trojice původně vyčteny z tabulek druhých mocnin, které byly v Mezopotámii hodně užívané. V průběhu dvacátého století byla tabulka předmětem mnoha studií. Bylo zjištěno, že všechny v ní obsažené pythagorejské trojice jsou až na jednu výjimku tvaru a= p q, b= pq, c= p+ q, kde p > q jsou nesoudělná přirozená čísla. Tabulka je navíc zajímavá také tím, že obsahuje i druhou mocninu podílu c/ b, který dnes nazýváme funkcí kosekans úhlu. Bylo by však příliš odvážné považovat Plimptonovu tabulku za tabulku trigonometrickou. Antika První důkaz Pythagorovy věty se obvykle připisuje Pythagorovi ze Samu (570? 500? př. n. l.). Bohužel dnes nevíme, jaký důkaz podal a byl-li to skutečně on. Je však možné, že postupoval následujícím způsobem. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c a dva shodné čtverce o straně a+ b. Obr. 4 Druhý čtverec rozdělme na pět částí: čtverec o straně c a opět čtyři pravoúhlé trojúhelníky shodné se zadaným trojúhelníkem. Odečteme-li v obou případech od obsahu velkého čtverce obsahy čtyř shodných trojúhelníků, zbudou útvary, jejichž obsahy musí být rovněž shodné. Pythagorejské škole je rovněž připisován vzorec, pomocí něhož lze nalézt nekonečně mnoho pythagorejských trojic (ne však všechny): (k+ ) k + (k+ ) = (k+ k+ ), tj. a= k+ k, b= k+, c= k+ k+, kde k je libovolné přirozené číslo. Možné zdůvodnění je patrné z následujícím obrázku. strana 53

54 Obr. 5 Předpokládejme, že c= a+. Pak je b a tedy i b liché, např. b= k + ; odtud b = 4k + 4k+. Podle obrázku je a = ( b ) = k + k a konečně c= k + k+. Platonův spis Menon obsahuje jiný vztah, který lze odvodit následujícím způsobem. Obr. 6 Z obrázku je patrné, že druhá mocnina sudého čísla je číslo sudé, ( p) = 4p (a), a druhá mocnina lichého čísla je číslo liché, (p+ ) = 4 p ( p+ ) + (b). Obr. c) ukazuje, že je ( p ) 4 p ( p ). + = + Je-li p čtvercem, tj. p = m, pak 4p = 4 m = ( m) a tedy ( m + ) = ( m) + ( m ), tj. a = m, b= m, c= m +, kde m je libovolné přirozené číslo. strana 54

55 V souvislosti s Pythagorejskými trojicemi poznamenejme, že v čínském spise Matematika v devíti knihách, který byl sestaven snad v prvním století našeho letopočtu, avšak shrnuje poznatky z předcházejících staletí, je použito pravidlo, jehož pomocí se v pravoúhlých trojúhelnících docílí racionálních a celočíselných stran. Toto pravidlo vychází z identity: p q p q ( pq) + + =. Na závěr této části uveďme důkaz Pythagorovy věty, který je uveden v. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Obr. 7 Uvažujme takto: Trojúhelníky FAB, CAD jsou shodné podle věty sus. Obsah trojúhelníka FAB je roven polovině obsahu čtverce ACGF (FA je základna a CA odpovídající výška trojúhelníka FAB). Obsah trojúhelníka CAD je roven polovině obsahu obdélníka ADYX (AD je strana a XA odpovídající výška trojúhelníka CAD). Obsah čtverce ACGF je proto roven obsahu obdélníka ADXY (tím jsme zároveň dokázali Eukleidovu větu o odvěsně). Analogicky dokážeme, že obsah čtverce BJHD je roven obsahu obdélníka EBXY. Součet obsahů čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníka ABC je proto roven obsahu čtverce ADEB nad přeponou. strana 55

56 3.4 Archimedova statika v geometrii Za připomenutí jistě stojí dnes již téměř zapomenutá metoda, pomocí níž podal Archimedes historicky první známý důkaz věty o těžnicích trojúhelníka a řady dalších vlastností rovinných útvarů. Uvedená metoda je pro školskou matematiku vhodná díky tomu, že kromě jiného připomíná, proč se vlastně spojnici vrcholu se středem protější strany říká těžnice, umožní větu o těžnicích dokázat analogicky s obvyklým důkazem věty o průsečíku os stran, tedy na základě množin bodů dané vlastnosti, a zároveň poukazuje na oboustranně užitečnou symbiózu matematiky a fyziky. Archimedes jako první systematizoval jednotlivé poznatky o těžištích konkrétních těles a vybudoval statiku jako axiomatickou teorii, která má význam nejen pro fyziku, ale i pro geometrii. Základem této teorie jsou následující axiomy:. Existence a jednoznačnost: Každá hmotná soustava (soustava hmotných bodů, přímek apod.) má právě jedno těžiště.. Zákon páky: Těžiště dvou hmotných bodů A, B o hmotnostech m, m je ten bod T úsečky AB, pro který platí: m AT = m BT. 3. Redukční princip: Těžiště hmotné soustavy se nezmění, zaměníme-li libovolnou její část jedním hmotným bodem splývajícím s těžištěm této části a majícím celou její hmotnost. Podívejme se, jakým způsobem lze pomocí Archimedovy statiky jednoduše odvodit polohu těžiště v trojúhelníku. Uvažujme soustavu S tří hmotných bodů o téže hmotnosti (například rovné jedné) vrcholů A, B, C daného trojúhelníka. Podle 3. axiomu lze dvojici bodů BD zaměnit hmotným bodem A 0 o hmotnosti. Těžiště soustavy S leží na úsečce AA 0 a podle zákona páky platí: AT : AT 0 = :. Obr. 8 Podobně redukcí soustavy S na soustavy tvořené body B, B 0, resp. C, C 0, dospějeme k závěru, že těžiště soustavy S leží na všech třech těžnicích AA 0, BB 0, CC 0 a dělí každou z nich v poměru :. strana 56

57 Dodejme, že například těžnici AA 0 lze chápat jako množinu všech soustav hmotných bodů A, B, C, kde je hmotnost bodu A rovna hmotnosti bodu C. Podobnými úvahami lze vyšetřovat i průsečík výšek trojúhelníka, os úhlů apod. Podrobněji se o této zajímavé tematice lze dočíst v článku J. Šimši [Šim94]. 3.5 Konstrukce pravítkem a kružítkem Základními principy, podle kterých byl v antickém Řecku budován geometrický svět, byly konstrukce pravítkem a kružítkem. Zde se pracuje s body jako základními prvky celé geometrie a dále s objekty, které jsou určeny dvěma body tedy s přímkami a kružnicemi. Požadavky na tyto konstrukce zformuloval Eukleides v úvodu Základů v tzv. postulátech:. Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku.. A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. 3. A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh. 4. A že všecky pravé úhly sobě rovny jsou. 5. Když přímka protínající dvě přímky tvoří na téže straně vnitřní (přilehlé) úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. K tomu dodejme, že přímkou Řekové rozuměli jen část přímky v našem smyslu konečné délky, kterou lze v principu libovolně prodloužit. Uvědomme si, že první dva postuláty popisují užití pravítka, třetí popisuje použití kružítka. Pátý postulát se týká následující situace: Obr. 9 Tvrdí, že je-li součet úhlů α, β menší než 80, pak se přímky p, q protínají v té polorovině s hraniční přímkou r, v níž leží uvažované úhly. Čtvrtý postulát byl možná přidán dodatečně, snad proto, že v posledním postulátu se hovoří o pravých úhlech. Během více než dvou následujících tisíciletí se matematici pokoušeli pátý postulát dokázat ze zbývajících postulátů. Tyto snahy byly ukončeny až v 9. století objevem neeukleidovské geometrie. strana 57

58 V dnešním pojetí lze geometrické konstrukce pravítkem a kružítkem charakterizovat takto: Jsou dány body C, C, K, Cm. Další bod můžeme získat jako průsečík dvou přímek určených danými body, dvou kružnic, které jsou určeny danými body, přímky a kružnice, které jsou určeny danými body. 4. Funkce 4. Vývoj pojmu funkce Cesta, která vedla k pojmu funkce v dnešním smyslu, sahá daleko do minulosti. Z dnešního pohledu bychom mohli za matematické vyjádření závislosti pokládat již mezopotámské tabulky z druhého tisíciletí před naším letopočtem, které obsahují převrácené hodnoty, druhé a třetí mocniny a odmocniny přirozených čísel aj. Podobně ve starém Řecku lze vysledovat řadu úvah, o kterých bychom dnes řekli, že vyjadřují funkční závislost; uveďme například snahu Pythagorejců o nalezení základních zákonů akustiky, která vedla k určení vztahu mezi délkou a tloušťkou struny a výškou tónu. Řečtí geometři rovněž studovali křivky vzniklé spojitým pohybem bodu, studovali jejich vlastnosti a formulovali kinematické zákony jejich vzniku. Úvahy vedoucí k pojmu funkce se dále rozvíjely ve středověku a novověku; podrobnosti o historickém vývoji spolu s odkazy na další zdroje čtenář nalezne například v práci A. Kopáčkové [Kop]. My se na tomto místě podívejme na definici vlastního pojmu funkce a na historii konkrétních funkcí, které se ve školské matematice studují. Definice pojmu funkce Podle toho, co je dnes historikům matematiky známo, se slovo funkce poprvé objevilo v roce 673 v Leibnizově rukopise Inverzní metoda tečen neboli o funkcích. Pojem funkce je zde chápán ryze geometricky a je pevně spojen s křivkou: funkcemi křivky Leibniz rozuměl úseky na osách objevující se při konstrukci tečny a dalších přímek a křivek vztažených k danému bodu křivky. Poprvé bylo toto pojetí slova funkce publikováno v roce 69. První definici pojmu funkce v téměř současném pojetí publikoval Johann Bernoulli ( ) v roce 78: Funkcí proměnné veličiny se nazývá veličina sestavená libovolným způsobem z této proměnné veličiny a konstant. ([Kop], str. 6) Přesnější definici podal v roce 748 Leonhard Euler ( ): Funkce proměnné veličiny je analytický výraz sestavený libovolně z této proměnné veličiny a konstantních veličin. Euler si sám uvědomoval, že toto pojetí funkce jako analytického výrazu není postačující. V roce 755 pak uvedl širší definici: Když některé veličiny závisejí na druhých takovým způsobem, že při změně těchto samy podléhají změně, pak první nazýváme funkcemi druhých. Tento název má mimořádně širokou povahu; zahrnuje všechny způsoby, jakými lze jednu veličinu vyjádřit pomocí jiných. Jestliže tedy x strana 58

59 označuje proměnnou veličinu, pak všechny veličiny, které jsou na x závislé jakýmkoli způsobem nebo jsou jím určené, se nazývají jeho funkcemi. Významným matematikem, který přispěl k rozvoji nauky o funkcích, byl Joseph Fourier ( ), který narušil do té doby vžité představy o tom, že funkce musí být spojité; připouštěl však jen konečný počet bodů nespojitosti. Příklady hodně nespojitých funkcí se objevily později. Připomeňme, že v roce 89 uvedl Peter Lejeune Dirichlet ( ) známý příklad funkce, která je nespojitá v každém bodě: funkční hodnotu definoval tak, že se pro racionální hodnoty proměnné rovná určité konstantě c a pro iracionální hodnoty se rovná jiné konstantě d. Dirichlet rovněž podal moderní definici pojmu funkce, v níž zdůraznil jednoznačnost funkční hodnoty i skutečnost, že není podstatné, zda existuje vzorec, který by uvedenou závislost popisoval: y je funkce x, jestliže každé hodnotě x z daného intervalu odpovídá jediná hodnota y. V devatenáctém století se nauka o funkcích významným způsobem rozvíjela. Kromě jiného se matematika musela vypořádat se správným zavedením a pochopením pojmů spojitosti a derivace funkce včetně poznání, že existují spojité funkce, které nemají v žádném bodě svého definičního oboru derivaci. Rozvíjelo se rovněž studium reálných a komplexních funkcí komplexní proměnné a funkcí více proměnných. Vznik teorie množin pak umožnil definici obecného zobrazení jedné množiny do druhé, kterou podal v roce 887 Julius Wilhelm Richard Dedekind (83 96). V definici však stále zůstává nedefinovaný výraz přísluší : Pod zobrazením ϕ nějakého systému S se rozumí pravidlo, podle něhož každému určitému prvku s systému S přísluší jedna určitá věc, která se nazývá obrazem s a označuje se pomocí ϕ () s ; říkáme také, že ϕ () s odpovídá prvku s, že ϕ () s vznikne nebo se vyrobí z s pomocí zobrazení ϕ, že s přechází na ϕ () s zobrazením ϕ. Ve 0. století již bylo zobrazení chápáno jako uspořádaná trojice f, XY,, kde X, Y jsou neprázdné množiny (v případě funkce jsou to podmnožiny některého číselného oboru), f X Y a každý prvek x X je prvním prvkem právě jedné uspořádané dvojice z f. Více podrobností o vývoji pojmu funkce ve 0. století se lze dočíst v článku [Šim]. 4. Goniometrické funkce Goniometrie a trigonometrie Připomeňme, že uvedená slova jsou řeckého původu; goniometrie znamená v doslovném překladu měření úhlu, trigonometrie znamená měření trojúhelníka (určení jeho stran a úhlů ze tří daných prvků). Podstatným podnětem pro rozvoj trigonometrie byla astronomie nezbytná mimo jiné pro mořeplavectví, které vyžadovalo správné určování kurzu lodí na širém moři podle polohy nebeských těles. Stejně tak byl rozvoj rovinné i sférické trigonometrie podněcován potřebami sestavit přesné zeměpisné mapy, určit vzdálenosti na zemském povrchu, určit správnou orientaci budov (například mešit, které musí vždy směřovat směrem k Mekce). strana 59

60 Antika Určité zárodky trigonometrických znalostí lze vystopovat již ve starém Egyptě, kde byly při stavbě pyramid a vyměřování pozemků používány věty o poměrech stran v podobných trojúhelnících. Ve staré Mezopotámii se určité trigonometrické úvahy rozvíjely v souvislosti s astronomií; hledaly se zde délky tětiv. Od mezopotámských astronomů převzali jejich poznatky staří Řekové, jak o tom svědčí mimo jiné i dělení kruhu na 360 dílů. Za zakladatele trigonometrie je obvykle považován Hipparchos (. stol. př. n. l.), který podle komentářů pozdějších autorů napsal knih o počítání tětiv a sestavil tabulky, které udávaly délky tětiv příslušejících různým středovým úhlům v kružnici o daném poloměru. V dnešní terminologii se jednalo o tabulky dvojnásobků sinů polovin středových úhlů (viz následující obrázek). Kolem roku 00 n. l. napsal rozsáhlé dílo o počítání s tětivami Menelaos z Alexandrie; z tohoto díla se dochovala jen část věnovaná sférické trigonometrii. Obr. 30 V dnešním značení: α AB = R sin, pro délku tětivy AB tedy platí: α AB = R sin. Zvolíme-li R =, bude α AB = sin. Hipparchovo a Menelaovo dílo završil Claudius Ptolemaios (. stol. n. l.), který napsal spis Megalé syntaxis (Velká skladba, arabsky Almagest), kde popsal svou geocentrickou soustavu a systematicky vyložil trigonometrii tětiv. Ptolemaios vyšel z věty, která je dnes po něm pojmenovaná (i když ji znal již Hipparchos): Obsah obdélníka, sestrojeného z úhlopříček čtyřúhelníka vepsaného do kružnice, se rovná součtu obsahů obdélníků sestrojených z protilehlých stran tohoto čtyřúhelníka. Díky této větě pak vypočítal ze známých tětiv dvou úhlů tětivu součtu, polovičního rozdílu a dvojnásobku těchto úhlů. Obr. 3 Ptolemaios rovněž dokázal, že pro libovolný trojúhelník ABC platí sinová věta, kterou dnes zapisujeme ve tvaru: a = b = c sinα sinβ sinγ (Ptolemaios ovšem nehovořil o sinech, ale o tětivách). strana 60

61 Ptolemaios dělil kruh na 360 a průměr na 0 shodných dílů a vyjadřoval jejich zlomky v šedesátkové soustavě. Při výpočtu tětiv postupoval tak, že do kružnice vepisoval pravidelné mnohoúhelníky se 3, 4, 5, 6 a 0 stranami. To mu umožnilo vypočítat délky tětiv odpovídajících středovým úhlům o velikostech 0, 90, 7, 60 a 36. Díky metodě určení tětivy odpovídající polovičnímu středovému úhlu a s využitím interpolace pak Ptolemaios s mimořádnou přesností počítal délky tětiv odpovídajících úhlům od 0,5 do 80 s krokem 0,5, což odpovídá sinům od 0,5 do 90 s krokem 0,5. Dodejme, že Menelaos, Hipparchos a Ptolemaios se soustředili především na sférickou trigonometrii, která měla zásadní význam v astronomii. Trigonometrii rovinnou rozvíjeli spíše jako pomocnou vědu pro výpočty tabulek tětiv a k dokazování vět sférické trigonometrie. Středověká Asie V době od 5. do. století byla trigonometrie rozvíjena především v Indii. Při výpočtech zde začala být užívána polovina tětivy odpovídající středovému úhlu, tedy budeme-li uvažovat jednotkový poloměr sinus v dnešním smyslu. Indové rovněž zavedli funkci kosinus a znali vzorce cosα = sin(90 α), sin α + cos α =. Stejně tak používali vzorce pro funkce součtu a rozdílu dvou úhlů. Nejstarší indický spis obsahující trigonometrii funkce sinus pochází od Arjabhaty a byl sepsán kolem roku 500 n. l.; jedná se zároveň o nejstarší dochovaný indický astronomický spis vůbec. Mimořádné přesnosti dosáhl Bhaskara ve. století (například pro sinus 3 45 nalezl hodnoty sinu a kosinu lišící se od přesných hodnot o 0, poloměru). Dále se trigonometrie rozvíjela ve střední Asii. Syrský astronom Al-Battani (zemřel roku 99 n. l.) zavedl na základě pozorování výšky slunce pomocí vertikální tyče a jejího stínu funkci, kterou dnes označujeme pro tyč jednotkové délky jako kotangens, a sestavil tabulku obsahující hodnoty této funkce pro úhly rostoucí po. Astronom Abu Lvafa sestavil v 0. století tabulku hodnot funkce tangens jako délku stínu vrženého horizontální tyčí dané délky na vertikální stěnu. Asijští vědci označovali funkce kotangens a tangens jako přímý stín a obrácený stín, latinsky umbra recta a umbra versa; latinské názvy tangens a kotangens se objevily v Evropě až v 6. a 7. století. Obr. 3 strana 6

62 Evropa Z evropských matematiků je třeba zmínit Johanna Müllera z Königsbergu u Hassfurtu ( ), nazývaného podle latinského názvu jeho rodiště Regiomontanus. Jeho spis O trojúhelnících všelikých knih patero (sepsán v letech , publikován 533) představuje první evropskou práci, kde byla trigonometrie chápána široce jako samostatná matematická disciplína. Regiomontanus převzal velkou část výsledků z arabské literatury, zasloužil se však o výborný výklad doplněný řadou vlastních dílčích výsledků a originálních důkazů. Podstatné je, že vyložil trigonometrii jako samostatnou vědu, nezávislou na astronomii. Zavedl také funkci tangens, která byla do té doby v Evropě neznámá. Při výpočtech Regiomontanus uvažoval poloměr kružnice 0 000, resp ; goniometrické funkce tedy vyjadřoval v desetinných zlomcích a upustil od výpočtů v šedesátkové soustavě. Další pokrok ve vývoji trigonometrie představuje spis O pohybech těles nebeských, který napsal slavný polský hvězdář Mikuláš Koperník ( ). Zatím byly goniometrické funkce zaváděny na základě kružnice, jejíž poloměr se nazýval sinus totus (úplný sinus; největší hodnota, jíž sinus pro daný poloměr nabýval). Koperníkův žák Georg Joachim Rhaeticus (54 574) vyšel při definici goniometrických funkcí z pravoúhlého trojúhelníka, jehož přepona byla poloměrem kružnice, na níž se měřily příslušné oblouky. Sestavil sedmimístné tabulky funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans, kosekans, sinus totus a sinus versus. Připomeňme, že pro pravoúhlý trojúhelník s jednotkovou přeponou lze uvedené funkce znázornit následujícím způsobem: Obr. 33 sinustotusα = = sin90 = OA sinusversusα = cosα = BD sinα = AB, cosα = OB tgα = CD, cotgα = EF secα = OC, cosecα = OF Jednotkový poloměr však důsledně zavedl teprve Leonhard Euler, který dal trigonometrii její nynější podobu. Ve svém spise Úvod do analysy z roku 748 vybudoval trigonometrii jako vědu o goniometrických funkcích, zavedl vhodnou symboliku (strany trojúhelníka označil malými písmeny latinské abecedy, jim protilehlé úhly označil odpovídajícími písmeny velké abecedy, což umožnilo výhodnou cyklickou záměnu), goniometrické funkce označil zkratkami sin Z, tang Z, cos Z aj. strana 6

63 Celý souhrn goniometrických vzorců Euler odvodil z několika základních vztahů. Nalezl rovněž souvislost goniometrických funkcí s imaginární jednotkou, ix e = cosx+ isin x, a díky tomu ukázal krásný a překvapivý vztah mezi konstantami e, i,, které spolu na první pohled nemají nic společného: i e π =. Triangulace a rozměry Země Dodejme, že trigonometrie zásadním způsobem přispěla kromě astronomie také k poznání skutečných rozměrů Země. V roce 64 provedl Willebrord Snellius (58 66) měření části poledníku pomocí triangulace, tedy způsobem, který se používá i dnes. Vyšel ze základny o délce 87 rýnských prutů (asi 36 m) a vhodným skládáním trojúhelníků dospěl k určení vzdálenosti mezi dvěma body téhož poledníku. Odtud vypočítal délku zemského kvadrantu, která by v přepočtu na dnešní jednotky činila km. Ke konci 7. století bylo provedeno významné měření části zemského poledníku mezi Dunquerkem a Barcelonou, jehož se zúčastnila řada francouzských vědců, například astronom Pierre François André Méchain a Jean Babtiste Delambre. Z výsledků měření byla vypočtena délka části zemského poledníku se středovým úhlem a délka čtvrtiny poledníku. Tyto hodnoty byly určeny v tehdy používané francouzské délkové míře tois ( 949 m). Desetimiliontina čtvrtiny poledníku byla nazvána metr (mètre) a zavedena jako zákonná jednotka délkové míry ve Francii a později i ve většině ostatních civilizovaných zemí. 4.3 Logaritmy Dnes se ve školské matematice nejprve zavádí exponenciální funkce a následně pak funkce logaritmická, která pro dané číslo udává exponent, na který se musí umocnit daný základ, aby vzniklo toto číslo. Pro žáky i učitele může být překvapivé, že historický vývoj byl zcela odlišný; mimo jiné i proto, že v době, kdy byly logaritmy do matematiky zavedeny, nebyla ještě vytvořena vhodná symbolika. Michael Stifel srovnání aritmetické a geometrické posloupnosti Archimedes (asi 87 př.n.l.) jako jeden z prvních vědců vedle sebe postavil geometrickou a aritmetickou posloupnost a povšiml si, že násobení v jedné posloupnosti odpovídá sčítání v druhé. Tato skutečnost však, jak se zdá, byla považována spíše za zajímavou než užitečnou. Michael Stifel ( ) tuto skutečnost pojmenoval zřetelněji. Ve své práci Aritmetica integra z roku 544 studoval následující dvojici posloupností: strana 63

64 Stifel pak jasně vyjádřil to, čemu dnes říkáme logaritmický princip: Sečítání v řadě aritmetické odpovídá násobení v řadě geometrické, právě tak odčítání v oné odpovídá dělení v této. Jednoduché násobení v aritmetických řadách stává se násobením sama sebe (umocňováním) v řadě geometrické. Dělení v řadě aritmetické je přiřazeno odmocňování v řadě geometrické jako třeba půlení druhé odmocnině. Obecně můžeme uvažovat jakoukoli dvojici posloupností tvaru: q 4 q 3 q q q q q q q q q q q q q... Druhý řádek obsahuje vždy mocninu čísla q na exponent uvedený v prvním řádku nad ním. Protože při násobení, resp. dělení dvou čísel o stejném základu se sčítají, resp. odčítají jejich exponenty, je jasné, že násobení čísel v druhém řádku odpovídá součtu příslušných čísel v prvním řádku a dělení čísel v druhém řádku odpovídá rozdílu příslušných čísel v prvním řádku, například: q q = q = q, q q = q = q. Podobně umocňování, resp. odmocňování čísel v druhém řádku odpovídá násobení, resp. dělení příslušných čísel v prvním řádku, například: ( ) :3 3 q = q = q, q = q = q. Početní operace sčítání a odčítání jsou podstatně jednodušší než násobení a dělení, stejně tak násobení a dělení jsou jednodušší než umocňování a odmocňování; tabulka tedy může být velmi užitečná pro provádění složitějších výpočtů. Joost Bürgi Joost Bürgi (55 63) publikoval v roce 60 tabulky logaritmů sestavené pravděpodobně již o mnoho let dříve. U Stifelovy tabulky si Bürgi mohl povšimnout, že v druhém řádku narůstají mezery mezi čísly a nelze například vynásobit Uvědomil si, že logaritmická vlastnost se vztahuje na řady s libovolným kvocientem, a že mají-li mít posloupnosti skutečně praktické využití, je třeba, aby členy geometrické posloupnosti byly pokud možno blízko u sebe, čehož dosáhl tím, že kvocient zvolil velmi blízký jedné: q =,000 jako první člen pak uvažoval a 0 = Diferenci aritmetické posloupnosti, jejíž členy nazýval červenými čísly, zvolil rovnu 0, a sestavil následující tabulku seřazenou nikoli podle čísel, která se mají násobit, ale podle logaritmů: strana 64

65 červená ,000 čísla ~ logaritmy Bürgi neznal základ logaritmu v našem smyslu, pokud bychom jej však z jeho tabulky vypočítali, vyšel by roven,784593, což se od hodnoty čísla e liší teprve na čtvrtém desetinném místě; jedná se však spíše o náhodu, neboť číslo e v té době ještě nebylo zavedeno a známo. John Napier Za vynálezce logaritmů je dnes zpravidla považován John Napier (550 67), který práci o logaritmech publikoval nakonec dříve než Bürgi, a to v roce 64; přísluší mu rovněž zásluha na zavedení slova logaritmus. Napier odvodil tabulky logaritmů sinů s krokem po jedné minutě. Proto lze usuzovat, že motivací pro zavedení logaritmů mu mohly být vzorce = ( ) ( + ) či α β = ( α β) + ( α+ β) sinαsin β [cos α β cos α β ] sin cos [sin sin ] které v sobě ukrývají jádro, v němž spočívá síla logaritmů: převedení součinu na součet (popř. rozdíl). Napier zavedl logaritmy následujícím způsobem. Uvažujme dva body, z nichž jeden se pohybuje rovnoměrnou rychlostí po polopřímce AB a druhý se pohybuje po úsečce CD rovnoměrně zpomaleně tak, že v každém bodě je jeho okamžitá rychlost rovna vzdálenosti zbývající do bodu D: Obr Napier zvolil CD = 0 a získal tabulku obsahující pro jednotlivé časové okamžiky aritmetickou posloupnost tvořenou vzdálenostmi x y = YD : čas n x n, = AX a geometrickou posloupnost tvořenou vzdálenostmi = ( ) 7 y = , , , n strana 65

66 Vzdálenost x pak definuje Napierův logaritmus vzdálenosti y, x= Naplog y. Z dnešního pohledu odpovídá Napierův logaritmus vztahu 7 7 Naplogy = 0 log y/0. / e ( ) Napierovy tabulky vyvolaly značný zájem. V roce 65 navštívil Napiera Henry Briggs (56 63). Během této návštěvy se Napier s Briggsem domluvili, že tabulky budou užitečnější, změníli se tak, že logaritmus jedné bude roven nule a logaritmus deseti bude roven jedné; tak byl zaveden dekadický logaritmus. Briggs následně vypracoval rozsáhlé4-místné tabulky logaritmů. 4.4 Exponenciální funkce V roce 683 Jacob Bernoulli ( ) studoval problém složeného úročení a při té příležitosti se snažil najít limitu výrazu ( ) odhad lze považovat za první aproximaci čísla e. n n +, o níž dokázal, že leží mezi hodnotami a 3; tento Označení e pak zavedl Leonhard Euler, jemuž v této oblasti přísluší řada dalších zásluh; jako první například definoval logaritmus jako exponent: y log a x je exponent y, pro který platí: a = x. Euler dále ukázal, že platí: n e = L, e = lim!! 3! n ( + n ), a vypočítal e s přesností na 8 desetinných míst: e =, strana 66

67 5. Matematika kolem nás Ve druhé kapitole jsme viděli, že v rámci klasické matematiky lze snadno ukázat řadu otevřených problémů, jimž mohou bez potíží porozumět i žáci základní nebo střední školy. V této kapitole si ukážeme, že matematika pomáhá řešit i problémy, které s ní zdánlivě nemají nic společného. 5. Zlatý řez Podívejme se na následující dvě fotografie: Pravděpodobně se shodneme, že ta vlevo se nám líbí víc. Čím je tu způsobeno? Je prokázáno, že určité proporční vztahy celku působí na člověka lépe, přirozeněji než jiné. Umělci se snažili přijít na jistou obecnou zákonitost, v jakém poměru co nejlépe dělit úsečku či plochu, aby na nás daný dělený objekt působil harmonicky. Nalezený poměr byl nazván zlatý řez. (Jak v závěru ukážeme, nesčetněkrát se opakuje v přírodě okolo nás, proto není divu, že je na něj lidské oko podvědomě zvyklé.) Zlatý řez je označení pro poměr, který vznikne, rozdělíme-li úsečku AB bodem X na dvě části tak, že poměr délek delší (řekněme AX) ku kratší (XB) je roven poměru délek celé úsečky ku delší části. Když si to znázorníme, dostáváme: Podle zadání chceme, aby a = x a tj. x ax a = 0. Kořeny této kvadratické rovnice jsou x a, + 5 x = a = a, , 5 x = a = a ( 0, ). strana 67

68 Záporný kořen x můžeme vzhledem k zadání vyloučit. Uvažujme tedy kořen x= a, Zlatý řez, který se obvykle označuje velkým řeckým písmenem Φ, je tedy podle definice roven poměru + 5 a x + 5 Φ= = = =, a a Toto číslo je iracionální číslo a má mnoho zajímavých matematických vlastností. Převrácená hodnota čísla Φ, tedy Φ - = 0, se často značí malým řeckým písmenem ϕ a někdy se nazývá stříbrný řez. Snadno lze dokázat následující vztahy: Φ =, tj. Φ ϕ =, Φ Φ = Φ +, 3 Φ = Φ +, 4 Φ = 3Φ +, M n Φ = n Φ + n. Historie zlatého řezu Není přesně známo, ve kterém historickém období byl poprvé zlatý řez objeven a záměrně použit. Lze však předpokládat, že byl v průběhu dějin na různých místech různými lidmi znovu objevován. Nejstarší zmínky o zlatém řezu (i když tento název nebyl tehdy samozřejmě používán) najdeme již ve starověkém Egyptě v Rhindově papyru. Zde se zmiňuje jako tajemné číslo skryté v základech pyramid. Poněkud exaktněji se tomuto tématu věnovala starořecká matematika. Sochař Feidias (5. st. př.n.l.) studoval zlatý řez a použil ho v proporcích soch pro athénský Parthenon. Najdeme jej také u Eukleida ve druhém díle Základů. Se zlatým řezem se setkáváme i ve středověku v období renesance, době rozkvětu vědy a umění, která vycházela z antické kultury. V počátcích této éry, jejíž kolébkou byla Itálie, žil i významný matematik Leonardo Pisánský, známý též pod jménem Fibonacci. V souvislosti s jeho jménem se nám jistě vybaví tzv. Fibonacciova čísla. Jak uvidíme dále, souvisí tato čísla úzce se zlatým řezem. Renesanční matematikové i umělci byli natolik okouzleni poměrem zlatého řezu, že jej nazývali božským poměrem (divina proportio). Umělci jej vědomě používali ve svých výtvarných dílech pro dosažení rovnováhy a krásy. Mezi představiteli italského umění, věnujícími seriózní pozornost matematice, byl nejvýznamnější geniální umělec, učenec a vynálezce Leonardo da Vinci (45 Tento symbol řecké písmeno Φ se používá až od 0. století, kdy jej pro vyjádření zlatého řezu zavedl americký matematik Mark Barr. Φ je řeckým ekvivalentem pro F první písmeno ve jméně Fibonacciho, je také. písmenem v řecké abecedě ( je Fibonacciho číslo), atd. Skrytých významů pro tuto volbu by se jistě dalo najít více. Na webové stránce se můžete podívat na číslo Φ vypsané na 0 tisíc desetinných míst. strana 68

69 59). V jeho obrazech (například Poslední večeře Páně) lze využití proporcí zlatého řezu nalézt na mnoha místech. Jeden z renesančních matematiků, Luca Pacioli, vydal roku 509 pojednání nazvané O božském poměru s ilustracemi Leonarda da Vinciho. I v dalším průběhu dějin má zvláštní a pozoruhodné číslo vyjadřující poměr zlatého řezu tendenci objevovat se v často udivující rozmanitosti různých míst a souvislostí. Souvisí to samozřejmě s rozvojem vědy a technických možností. Fibonacciova čísla Leonardo Pisánský, známý pod přezdívkou Fibonacci, byl prvním významným matematikem evropského středověku. Narodil se v Pise v Itálii kolem roku 70, ale vzdělání získal v Severní Africe, kde pracoval jeho otec. Znalosti si později Leonardo rozšiřoval při cestách za obchodem ve Středomoří a v Orientu. Seznámil se s pracemi islámských matematiků, s některými výsledky řecké, egyptské a mezopotámské matematiky, inspiroval se však i dalšími matematickými pracemi, se kterými se na svých cestách setkal. Kolem roku 00 se vrátil do Pisy, která tehdy patřila mezi nejmocnější a nejbohatší italská města. Zemřel kolem roku 50 zřejmě v Pise. Fibonacciho práce sehrály významnou roli v oživení starých matematických dovedností. Z jeho díla se dochovaly kopie knih Liber abbaci (0), Practica geometriae (0), Flos (5) a Liber quadratorum (5). Jeho nejdůležitější kniha Liber abaci se zabývá aritmetikou a algebrou. Fibonacci v ní shrnul své znalosti získané na cestách. Do Evropy přinesla mimo jiné poziční dekadický systém a používání arabských číslic. Ve třetí části knihy Liber abaci Fibonacci uvádí známou úlohu o králících, v níž se objevuje zajímavá lineární rekurentní posloupnost,,, 3, 5, 8, 3,,. Tato posloupnost má první dva členy rovny jedné, každý další člen je pak roven součtu dvou předcházejících členů. Členy takto vzniklé posloupnosti (F n ) se nazývají Fibonacciova čísla, posloupnost se nazývá Fibonacciova. Snadno lze ukázat překvapivou souvislost těchto čísel se zlatým řezem. Spočtěme si několik podílů dvou po sobě jdoucích Fibonacciových čísel _ Fn +. = = 3 =,5 5 =,666 8 =,6 3 =,65 =, K =, K 55 =, K 89 =,68 8K F n Tyto výsledky naznačují, co lze i snadno dokázat: uvedené podíly rychle konvergují k hodnotě Φ zlatého řezu. strana 69

70 Geometrický paradox S Fibonacciovými čísly souvisí jedna geometrická hříčka, která se často objevuje v nejrůznějších časopisech a která na první pohled vypadá jako geometrická záhada, kterou si děti neumějí vysvětlit. Než ji však zformulujeme, ukažme si další vlastnost Fibonacciových čísel. Jistě platí: a obecně FF F 3 F = F4 F3 = FF F 3 5 F4 = 4F6 F5 =, ( ) n n n n, F F + F = n N Nyní již můžeme zformulovat zmíněnou úlohu. Rozstříhejme čtverec o straně délky 8 jednotek na 4 díly tak, jak je to naznačeno na uvedeném obrázku, a pak z nich poskládejme obdélník. Podivnost úlohy spočívá v tom, že ze čtverce o ploše 64 jednotek poskládáme obdélník, jehož velikost plochy je 5 3 = 65 jednotek. Jak je to možné? Kdybychom narýsovali obdélník na obrázku přesně a dostatečně velký, zjistili bychom, v čem je háček. Body A, K, L a C které se zdají být body jedné přímky, ve skutečnosti na přímce neleží. Jsou to vrcholy rovnoběžníku, jehož plocha je rovna. Uvědomme si, že čísla 5, 8, 3 jsou tři po sobě jdoucí Fibonacciova čísla, pro něž platí ( ) =, tj =. strana 70

71 Fibonacciova čísla a Pascalův trojúhelník Fibonacciovai čísla úzce souvisí i s kombinačními čísly. Pokud si Pascalův trojúhelník nakreslíme tak, jak je to uvedeno na obrázku, zjistíme, že součty čísel ve stoupajících úhlopříčkách (v obrázku podél čar) dávají postupně Fibonacciova čísla. Konstrukce zlatého řezu Konstrukce zlatého řezu byly známy už ve starověkém Řecku. V období renesance umělci tyto konstrukce používali při tvorbě, jak dokazují některé dochované náčrty. Ukažme konstrukci alespoň v případě, že chceme danou úsečku rozdělit v poměru zlatého řezu. Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník ABC, kde BC = AB. Z bodu C opíšeme kružnici o poloměru BC. Na straně AC tak najdeme bod Y, pro který platí CY = CB. Z bodu A opíšeme kružnici o poloměru AY, v jejímž průsečíku se stranou AB leží hledaný bod X tak, že platí AX = AY. Bod X rozdělil úsečku AB v poměru zlatého řezu. strana 7

72 Z obrázku je totiž zřejmé, že platí následující rovnosti: Z Pythagorovy věty plyne, že takže AB = BC, CY = BC. AC = 5 BC, AX AY = AC CY = ( 5 )BC =. Dále zřejmě AB AX = BC ( 5 ) BC = ( 5 + ) ( 5 + ) = = Φ 5. Zlatý obdélník, zlatá spirála, Zlatý trojúhelník Zlatý obdélník je obdélník se stranami v poměru zlatého řezu. Zlatý obdélník má zajímavou vlastnost. Lze jej rozdělit na čtverec, jehož strana má délku rovnu kratší straně původního obdélníka, a obdélník se stejným poměrem stran jako měl původní obdélník! Takto můžeme obdélník dělit dál a dál a získávat tak stále menší a menší zlaté obdélníky. Pokud do každého čtverce tohoto obdélníka vepíšeme čtvrtkružnici tak, aby na sebe v rozích, které jsou vždy společné pro dva sousední čtverce, navazovala, dostaneme tzv. zlatou spirálu. Tato spirála přibližně napodobuje tzv. logaritmickou spirálu, která se často vyskytuje v přírodě. Tzv. zlatý trojúhelník je rovnoramenný trojúhelník, pro nějž podobně jako pro zlatý obdélník platí, že poměr jeho dvou různých stran je roven číslu Φ. Jedná se o takový trojúhelník, jehož úhly při základně mají velikost 7 a vrcholový úhel je 36 a platí, že poměr odvěsny a základny je Φ nebo takový, jehož úhly při základně mají velikost 36 a vrcholový úhel je 08 a poměr základny a odvěsny je Φ. strana 7

73 Pravidelný pětiúhelník a pentagram Za symbol zlatého řezu je často považován pravidelný pětiúhelník s vepsanými úhlopříčkami. Úhlopříčky tvoří pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět pravidelný pětiúhelník, do nějž je možno vepisovat úhlopříčky, které vymezí další pravidelný pětiúhelník Poměr stran původního a hvězdou z úhlopříček vymezeného pětiúhelníku je Φ. Na všech úhlopříčkách platí stejné poměry jako pro úhlopříčku AD: AX AY AD = = =Φ. XY AX AY Poměry délek stran XY, AX, AY, AD =Φ =Φ = =Φ AB AB AB AB tvoří geometrickou posloupnost. V obrazci ABCDE vznikly dva různé rovnoramenné trojúhelníky: trojúhelník typu EXD s úhly a trojúhelník typu XEY s úhly Všechny možné trojúhelníky objevující se v tomto pětiúhelníku jsou zlaté. Pravidelný pětiúhelník včetně jeho úhlopříček můžeme nakreslit jedním tahem. Je jediným mnohoúhelníkem, který má stejný počet stran a úhlopříček. Pěticípá hvězda, která vznikne nakreslením úhlopříček se nazývá pentagram (penta pět, grame čára). Pentagram jako symbol má v mnoha různých kulturách mystický význam. Řekové měli pentagram ve velké úctě, pythagorejci si jej dokonce zvolili za znak svého tajného bratrstva. Obecně je považován za symbol krásy a dokonalosti. Ve středověku se z něj stal symbol tajemnosti, lidé ho používali pro zahánění ďábla. Kde všude najdeme zlatý řez Architektura Zřejmě nejstarší architektonické skvosty, při jejichž stavbě se zlatý řez vyskytl, byť možná nevědomě, nacházíme v Egyptě. Vyznavači zlatého řezu považují za největší památník zlatého řezu Chufevovu pyramidu, největší pyramidu v Gíze. Tato stavba je jediným ze sedmi starověkých divů, který se dochoval až do naší doby. strana 73

74 Představme si řez pyramidou a v něm pravoúhlý trojúhelník znázorněný na obrázku modře. Pro pravoúhlý trojúhelník se stranami o délkách, Φ, Φ podle Pythagorovy věty platí rovnost Φ ( Φ) = +, tj. Φ = Φ+. Poslední vztah pro zlatý řez jsme však již uvedli. V takovém o trojúhelníku by úhel α měl velikost 5,87, což je úhel, který byl na některých pyramidách fakticky naměřen. Zatímco využití zlatého řezu v egyptských stavbách je hypotetické, v antickém Řecku bylo nepochybně cílené a promyšlené. Ukažme si to alespoň na jednom příkladě. Jednou z nejvýznamnějších antických staveb byl nejkrásnější chrám postavený v dórském stylu Parthenón na Akropoli v Athénách, zasvěcený bohyni Athéně. Byl postaven kolem roku 440 př.n.l. Jeho průčelí tvoří 8 sloupů a je možné do něj vepsat část desetiúhelníka, který souvisí se zlatým řezem. (Pravidelný desetiúhelník je tvořen 0 stejnými rovnoramennými trojúhelníky s vrcholovým úhlem 36 zlatými trojúhelníky, v nichž je poměr délky odvěsny ku základně roven hodnotě zlatého řezu). strana 74

75 Zlatý řez se velmi často objevuje v architektuře období gotiky. Mezi skvosty středověké architektury, zejména pro svůj unikátní přechod od pozdně románské ke gotické architektuře, patří nesporně katedrála Notre-Dame v Paříži. Její průčelí je zdobeno četnými sochami a právě zde nacházíme v nejrůznějších souvislostech poměry zlatého řezu (jsou znázorněny v obrázku). Zlatý řez lze samozřejmě najít i na stavbách současných. Za mnohé uveďme alespoň dva tak odlišné příklady jako je pětiúhelníková budova ministerstva obrany ve Washingtonu D.C., známý Pentagon, a nejvyšší volně stojící stavba světa, CN Tower v Torontu v Kanadě. Její celková výška je 553,33 metrů, Skypod (kulovitá část) je ve výšce 34 metrů, což znamená, že dělí výšku věže v poměru zlatého řezu. strana 75

76 Zlatý řez ve fotografii Mezi základní kameny fotografické techniky patří kompozice. Obdélníkový tvar fotografie umožňuje různé umístění fotografovaného předmětu ve scéně. Vhodnou kompozicí lze plně využít prostor, který fotografie nabízí, a vyjádřit i svůj subjektivní názor. Jedním z nástrojů, který pomáhá při komponování scény, je zlatý řez. Obdélníkový formát je pro lidské oko příznivý, protože jsme na něj zvyklí z knih, novin či televize. Když si tuto informaci uvědomíme, můžeme ji využít už při samotném komponování objektu v hledáčku fotoaparátu. Tak jako knihy jsme zvyklí číst zleva doprava a shora dolů, i fotografii čteme stejným způsobem. Čtení fotografie zleva doprava Příliš souměrná a symetrická kompozice působí staticky (i to jistě může být uměleckým záměrem), klidně, její volba je však ve většině případů chybná. Kolem předmětu bývá zbytečně moc nic neříkajícího místa, některá strana obvykle vyžaduje volnější prostor. Umístěním předmětu s využitím zlatého řezu fotografii kompozici oživíme a dodáme jí na dynamičnosti. Přesné nalezení zlatého řezu není složité, lze vyjít z již popsaného postupu konstrukce zlatého řezu. Postup je patrný z obrázku. Je zřejmé, že v obrázku můžeme nalézt čtyři zlaté body. V praxi se však tento postup samozřejmě nepoužívá. Nemusíte umisťovat předmět do přesně konstruovaného zlatého řezu, protože často v dalších úpravách fotografie dochází k ořezům a tím se změní i formát původní fotografie. Stačí pouze vědět, že fotografii si lze rozdělit pomyslnými úsečkami na třetiny. Zlaté body leží přibližně v průsečících těchto třetin. strana 76

77 Sochařství a proporce lidského těla Dokonalost antického sochařského umění obdivujeme dodnes. Jeho krása spočívá v zachování proporcí. Antičtí sochaři tvořili nejen na základě umělecké intuice, ale i na základě vypočtených proporcí. Umělci zabývající se estetikou našli i na lidském těle poměr zlatého řezu délek částí těla nad a pod pasem. Byly stanoveny další ideální poměry různých částí těla, tzv. kánony, začaly se studovat proporce, které mají značný význam zejména v sochařství. Mezi nejznámější patří tzv. Vitruviova figura (na obrázku), pojmenovaná podle Marka Vitruvia, vynikajícího římského architekta, který opěvoval zlatý poměr. U Vitruviovy figury se délka rozepjatých horních končetin rovná výšce těla, a tudíž lze lidské tělo zakreslit do čtverce. Kolem této figury jde opsat kružnici se středem v pupku, který se tím stává přirozeným středem, ne však půlícím bodem těla. Vitruviovu figuru v období renesance používali Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer. Psychologie Proč věnovali zlatému řezu pozornost výtvarní umělci? Tuto otázku si položila i psychologie. Tvrzení, že zlatý řez je nejuspokojivější proporcí, vybízelo k přezkoumání. Koncem 9. století bylo provedeno několik experimentů, které se zabývaly estetickým působením jednoduchých předmětů na člověka. Pokusné osoby měly vybrat z řady pravoúhelníků různých proporcí ten tvar, který se jim nejvíce líbil a který se jim nejvíce nelíbil. Výsledkem bylo zjištění, že proporce zlatého řezu vykazuje nejvyšší procento přednostní volby a zároveň nebyla v žádném případě označena jako nejméně líbivá. (Na dalších místech žebříčku líbivosti se objevovaly pravoúhelníky s proporcí velmi blízkou zlatému řezu; obdobně krom zlatého řezu měly nejmenší procentuální zastoupení v hodnocení nelíbivosti proporce pravoúhelníků velmi blízké zlatému řezu.) Další zkoumání v této problematice, užívající i jiných metod, vedla vždy k potvrzení zlatého řezu jako nejuspokojivějšího poměru. Výsledky prací nasvědčují, že tato skutečnost souvisí s činností mozku, přesněji řečeno s tím, že při pozorování předmětů obsahujících poměry zlatého řezu vyvolávají vzniklé signály mimořádně příznivou informační rezonanci. strana 77

78 Biologie V polovině 9. století pozoroval francouzský botanik Louis Bravais s bratrem Augustem zákonitosti postavení listů na rostlinách (botanický název Phillotaxis). Zjistili, že nové listy vyrůstají na stonku nad předchozím listem posunuté o úhel 37,5. Copak je to za zvláštní úhel? Lze jej vyjádřit takto: = 37,5. Tento úhel, který je pro každou rostlinu Φ charakteristický, vyjadřují botanici ve tvaru zlomku, který udává, jakou část obvodu kružnice vytíná. Čísla v čitatelích zlomků tvoří Fibonacciovu posloupnost:,,,,,... Úhel 37,5 vytíná 44 obvodu a do posloupnosti také patří. Z jakého důvodu vyrůstají listy zrovna tímto způsobem, lze racionálně vysvětlit. Listy vyrůstající pod takovým úhlem se jen minimálně překrývají, tudíž jejich postavení je výhodné a důležité např. při získávání slunečního světla nebo zachycování co největšího množství vláhy. 55 Okvětní lístky otevírající se pro vysypání semínek na borovicové šišce, semínka slunečnice, segmenty na slupce ananasu, růžičky květáku nebo brokolice, ty všechny vyrůstají ve spirálách jdoucích dvěma směry. U borovicových šišek je těchto spirál zpravidla 5 a 8, někdy i 3, u slunečnice pak 34 a 55 nebo 55 a 89 v různých směrech, u ananasu 3 nebo. Čtenář si jistě uvědomil, že se vesměs jedná o Fibonacciova čísla. I stavba těla některých živočichů v sobě nese nápadnou souvislost se zlatým řezem. Zlaté spirály charakterizují růst neživých části u živých tvorů, např. parohů, zobáku, ulit, schránek měkkýšů. Nejkrásnějším příkladem výskytu ukázkové logaritmické spirály je ulita mořského hlavonožce rodu Nautilus, který podle toho, jak v průběhu života roste, staví prostůrky tak, že když je mu jeden malý, postaví vedle další o kousek větší, ale stejného tvaru. strana 78

79 Astrofyzika Spirální galaxie dostaly své pojmenování díky spirálním ramenům, která jsou jejich nedílnou součástí. Tato spirální ramena jsou zformována do tvaru logaritmické spirály. Zlatý řez vystupuje dokonce i v termodynamice jistých rotujících černých děr. Ty mohou existovat ve dvou různých stavech. V jednom se zahřívají a ztrácí při tom energii, u druhého stavu je tomu naopak. Mohou také projít stádiem přeměny z jednoho stavu do druhého. K přeměně může dojít pouze pokud černá díra dosáhne stavu, ve kterém je druhá mocnina její hmotnosti rovná Φ - násobku druhé mocniny momentu hybnosti. 5. Chaos V posledních letech se objevil mocný nástroj, který učitelům matematiky umožňuje předvést dříve netušené možnosti matematického experimentování, propojení různých vzdělávacích předmětů, matematického vidění reálného světa atd. Tím nástrojem jsou samozřejmě počítače. Je přitom do značné míry absurdní, že nástup počítačů místo toho, aby posílil roli matematiky, často vede k úvahám, že výuka matematiky začíná být zbytečná, když za nás přece počítají počítače. Tato úvaha je oprávněná asi stejně, jako kdybychom řekli, že je zbytečné učit se cizím jazykům, když jsou na světě slovníky, dnes už dokonce i elektronické. Na řadě příkladů lze snadno dokumentovat, proč je zmíněná teze naprosto nesmyslná a neodůvodněná. Jakmile však ve společnosti toto mínění zapustí kořeny, je velmi obtížné s ním polemizovat a bránit se mu. Účinnější než vyvracení těchto názorů tam, kde argumenty stejně vážnější roli nehrají, je ukazovat dětem, že matematika je v tom nejkrásnějším slova smyslu dobrodružstvím poznávání a že nespočívá jen v učení se formulkám a konstrukcím, jejichž smysl jim uniká. Pokusíme se nyní ukázat, že i na tak jednoduchém učivu jako jsou kvadratické funkce lze i na úrovni základní školy demonstrovat krásu matematiky a dětem dát prostor k samostatnému matematickému experimentování pomocí počítače. Předtím si však uvedeme několik faktů z nedávné matematické historie. První projevy V některých oblastech je využití matematiky samozřejmé i pro naprostého laika. Když máme vypočítat objem nějakého tělesa, spočítat úroky v bance či určit dobu, za niž doletí raketa k Měsíci, je zřejmé, že využijeme nějaké matematické vztahy. Několikrát v historii vědy však nastala situace, kdy se matematické zákonitosti projevily v oblastech zcela nečekaných. Zkusme si jen představit, jak překvapující muselo v 7. století být, když se v díle Fermata, Pascala a dalších začala formovat strana 79

80 teorie pravděpodobnosti a když se ukázalo, že matematickým zákonitostem je podrobeno to, co se již svým pojmenováním zákonitosti vzpírá a to náhoda. Od středověku bylo v podstatě samozřejmé, že matematika nalézá uplatnění v přírodních vědách, především pak ve fyzice. V posledním století však matematika postupně pronikala i do řady vědních disciplín, kde se její využití dříve zdálo takřka vyloučené do lingvistiky, hudební teorie, psychologie apod. Přesto však existovaly oblasti, kde se zdálo, že matematické metody jsou nepoužitelné. Jejich společným jmenovatelem byl jediný pojem: chaos. Tam, kde začíná chaos, tam končí klasická věda. Chaos představoval náhodnou, nepředstavitelnou a nepředvídatelnou tvář přírody, vzpírající se kauzalitě a všem známým zákonitostem. Všichni dobře známe Brownův pohyb. Miniaturní částečky se trhavě pohybují v nepředvídatelných kličkách. Jako by v jejich klikatém pohybu byl jistý řád a přesto je pohyb jednotlivých částeček zcela nepředvídatelný. Uveďme nyní za mnohé tři příklady navzájem rozdílných chaotických jevů, které na první pohled nemají nic společného; jak se však posléze ukázalo, právě matematická teorie nalezla jejich společné rysy a umožnila pochopení alespoň některých zákonitostí. Typickým příkladem chaotického chování jsou turbulence, které představují vážné problémy pro konstruktéry letadel a ponorek, pro lékaře i atomové fyziky. Vzdušné turbulence likvidují nosnou sílu letadel, vodní turbulence mohou způsobit havárii ponorek, turbulentní jevy při proudění krve v cévách jsou vážným zdravotním rizikem. Nástup turbulence je možné laboratorně měřit a popisovat, všechny poznatky jsou však jen dílčí a podstata jevu nám stále uniká. Řada slavných fyziků se zabývala studiem turbulencí a výsledek byl téměř nulový. O vynikajícím německém fyzikovi, jednom ze zakladatelů kvantové mechaniky Werneru Heisenbergovi, se vyprávělo, že na smrtelném loži prohlásil, že bude mít na Boha dvě otázky: Proč teorie relativity a proč turbulence. A pak prý tiše dodal: Opravdu věřím, že by na první otázku mohl mít odpověď. Pro druhý příklad sáhněme do živočišné říše. Biologové pro zkoumání populačního vývoje pracovali (a pracují) se zjednodušeným modelem známým pod názvem dravec a kořist. Přitom nezáleží na tom, zda se jedná o lišky a králíky, ryby a jejich potravu v rybníku či káňata a myši. Je-li dostatek kořisti, dravci se množí a kořisti se začíná nedostávat. Populace dravců klesá, kořist začíná mít příznivější podmínky k množení a přibývá jí, na což dravci reagují zvyšováním svého stavu a tak stále dokola. Tyto procesy popisuje tzv. logistická rovnice, která z početního hlediska není nijak komplikovaná. Popisy jednotlivých situací se liší různou hodnotou jistého parametru, který v této rovnici vystupuje. Ukázalo se však, že při některých hodnotách tohoto parametru systémy spějí k jistému víceméně stabilnímu stavu, při jiných hodnotách hodnoty populace oscilují mezi několika významně odlišnými hodnotami a pro některé hodnoty se systém chová naprosto chaoticky, nepředvídatelně. Důvody tohoto stavu a nějaké zákonitosti těchto jevů se však nedařilo nalézt. Pro třetí příklad se obraťme k chování počasí. Předpověď počasí se po dlouhá staletí pravděpodobně řídila vypozorovanou analogií. Přestože bylo samozřejmé, že je vývoj počasí podroben stejným fyzikálním zákonitostem jako ostatní přírodní procesy, bylo chování počasí natolik složité a podřízeno tolika faktorům, že teprve zhruba od poloviny dvacátého století se začalo pracovat na modelech jeho vývoje. Že je však tento vývoj deterministický, bylo samozřejmé, a tak se zdálo, že zlepšování prognóz je jen otázkou dostatečně rychlého zpracování dostatečně přesných vstupních údajů. Jak to napsal Laplace již v 8. století ve svých úvahách o nejvyšší inteligenci a kauzálním vývoji světa: Tato inteligence by stejným způsobem uchopila pohyby největších vesmírných těles, jako i nejlehčích atomů, neboť nic by nebylo ponecháno nejistotě a budoucnost bychom měli před očima stejně jako minulost. strana 80

81 Nám samozřejmě není dáno poznat přesně stavy všech částic ve vesmíru v daném okamžiku, takže naše předpovědi dalšího vývoje jsou nutně nepřesné. Zmenšování chyb ve vstupních datech by však logicky mělo vést ke zpřesňování předpovědí. To se samozřejmě netýká jen počasí a zkušenost nás v tom samozřejmě utvrzovala. Při výpočtu návratu pozorované komety je samozřejmě předpověď tím lepší, čím přesněji změříme její aktuální polohu při přiblížení ke Slunci. Při navádění kosmické sondy k přistání na Marsu samozřejmě potřebujeme co nejpřesnější údaje o její poloze a rychlosti; zpřesnění těchto údajů usnadní přistávací manévr. Zdálo se, že víra v konvergenci předpovědí ke skutečnému vývoji při zlepšování vstupů je zcela oprávněná. Tento předpoklad se stal jedním z pilířů klasické vědy. Často bylo toto přesvědčení formulováno zhruba takto: Není potřeba brát v úvahu list padající na planetě v jiné galaxii, když se pokoušíme popsat pohyb kulečníkové koule na stole na Zemi. Velmi malé vlivy je možné zanedbat. V chování věcí se uplatňuje konvergence; zanedbatelně malé vlivy se neznásobí tak, aby měly libovolně velké účinky. Brzy se však mělo ukázat, jak naivní byly tyto představy. Jejich zborcení přineslo právě zkoumání vývoje počasí. Na počátku šedesátých let 0. století byla výpočetní technika stále ještě na počátku svého rozvoje. Přestože i ty největší počítače té doby byly ve srovnání s tím, co má dnes většina z nás na svém pracovním stole, pouhými muzeálními zkamenělinami, umožnily i tyto počítače zahájení prací na strojovém zpracování matematických modelů vývoje počasí. Jednou z vůdčích osobností v tomto směru byl Edward Lorenz, který pracoval v proslulém Massachusettském technologickém institutu. Do svého počítače vkládal dlouhé řetězce dat o stavu atmosféry a počítač pomalu vydával své předpovědi dalšího vývoje. Jednoho dne v roce 96 chtěl Lorenz jeden z dřívějších výpočtů podrobněji zkontrolovat, a tak pustil stejný program znovu. Ke svému úžasu však zjistil, že počítač vydává předpověď, která se záhy velmi dramaticky lišila od původní. To se zdálo samozřejmě nemožné, neboť ze stejných vstupních údajů nebylo možno stejným programem obdržet odlišné řešení. Celá věc se však velmi rychle vyřešila. Původní program pracoval se vstupními údaji uváděnými na šest desetinných míst. Při opakování výpočtu však Lorenz vložil vstupní údaje tak, jak je tiskla připojená tiskárna zaokrouhlené na tři desetinná místa. Tento rozdíl prakticky neměl mít na další vývoj žádný vliv. Vždyť čtvrté desetinné místo je stejně víceméně fiktivní; například při měření teploty odpovídá desetitisícině stupně Celsia. S takovou přesností žádná meteorologická stanice stejně nepracuje. A přesto se ukázalo, že tento zanedbatelný rozdíl má přímo fatální důsledky pro další vývoj. Od doby, kdy si uvedeného faktu povšiml Lorenz, se vývoj samozřejmě nezastavil. Modely vývoje počasí se výrazně vylepšily, počítače nám umožňují v nepředstavitelně krátkém čase vypočítat dříve netušené množství výsledků a přesto se nám mnohdy oprávněně zdá, že s námi příroda přímo laškuje. V matematické teorii, která se v této souvislosti vyvinula a která rozbourala dřívější naivní představy o možném zpřesňování výsledků, které přinese pouhé zpřesňování vstupních údajů, se ustálil termín efekt motýlího křídla. Obrazně řečeno: vzlétnutí motýla v povodí Amazonky může ve svých důsledcích o týden později způsobit řádění uragánu na Floridě. Fraktály Klíčovou osobností pro rozvoj teorie chaosu se stal matematik Benoit Mandelbrot. Narodil se ve Varšavě v roce 94, ještě před druhou světovou válkou však jeho rodina emigrovala do Francie, kde Benoit vystudoval. Po krátkém působení na akademickém pracovišti přešel do aplikovaného výzkumu a posléze odešel do USA. V šedesátých letech pracoval u IBM a zabýval se problematikou přenosu informací. Šum v telefonních linkách občas překryl originální signál. A tak se v přenosu střídala místa bez chyb strana 8

82 s místy, kde se chyby nakupily. Při podrobnějším zkoumání se však ukázalo, že i úseky s mnoha chybami se skládají z kratších úseků bez chyb vystřídaných úseky s více chybami. Takto se Mandelbrot nořil hlouběji a hlouběji do struktury těchto přenosů a uvědomil si analogii se situací, kdy se zabýval ekonomickými aplikacemi a studoval vývoj cen na burze. Ceny střídavě rostly a klesaly, v každém delším úseky s růstem cen se však vyskytovaly kratší úseky, kdy cena klesala a naopak. Oba tyto případy mu připomínaly jistou matematickou strukturu známou v čisté matematice, tzv. Cantorovo diskontinuum: Zakladatel teorie množin, německý matematik Georg Cantor, studoval tuto množinu samozřejmě ze zcela jiných důvodů na sklonku 9. století. Diskontinuum vznikne tak, že se z úsečky o délce vyjme prostřední třetina. V každé ze zbylých dvou úseček se opět vyjme prostřední třetina atd. Cantorovo diskontinuum je množina bodů, které zůstanou z původní úsečky po provedení nekonečně mnoha popsaných kroků. Tato množina má řadu pozoruhodných vlastností a pro Mandelbrota se stala odrazovým můstkem pro další úvahy. Zhruba ve stejné době se Mandelbrotovi dostal do rukou článek jistého anglického obskurního vědce z první poloviny 0. století, Lewise F. Richardsona, který si povšimnul řady nesrovnalostí v různých pramenech o délce vzájemné hranice některých evropských států. Richardsonovy výsledky Mandelbrota inspirovaly k úvahám o délce pobřeží Velké Británie. Přes zdánlivou banalitu je v této otázce skryt velký problém: v jistém smyslu je délka tohoto pobřeží nekonečná. Jak ji totiž můžeme měřit? Představme si, že si vezmeme do ruky metrovou tyč a celé pobřeží s ní obejdeme. Naměřená délka je samozřejmě jen aproximací skutečné délky, protože při kladení metrové tyče řadu zákoutí a jiných nepravidelností přehlédneme a zanedbáme. Při měření decimetrovou tyčkou bychom zřejmě přišli k jinému výsledku. A jaký je vlastně tvar tohoto pobřeží? Při pohledu z družice bychom zřejmě viděli něco jiného než při chůzi a ještě jinak by to vše vnímal mravenec, který by pečlivě obkroužil každý oblázek a každou nerovnost. Přesto však něco blíže nespecifikovaného při změně měřítka ve tvaru pobřeží zůstává zachováno, podobně jako vzájemně do sebe vnořeny zůstávají zachovány některé rysy přenosu signálů nebo vývoje cen na burze; analogickou soběpodobnost však lze nalézt ve spoustě jiných příkladů, které si Mandelbrot začal vybavovat záznam EKG, historické záznamy o záplavách na Nilu, stavba vesmíru, tvar mraků na obloze aj. Reálný svět je odlišný od světa klasické eukleidovské geometrie, která zkoumá úsečky, přímky, roviny, koule, jehlany a obdobné plochy a tělesa. Mrak však není koule, blesk se nešíří po přímce, hory nejsou kužele reálný svět je jiný než svět klasické geometrie. Jak však tuto stavbu světa popsat? Východiskem se Mandelbrotovi stal v matematice dobře známý pojem dimenze. Aniž bychom se pouštěli do podrobnějšího popisu, i našim žákům je jasné, co rozumíme tím, když říkáme, že přímka má dimenzi, rovina dimenzi a prostor, v němž žijeme, má (alespoň doufáme) dimenzi 3. Jaká je však dimenze takových podivných množin, jako je výše zmíněné Cantorovo diskontinuum? Odpověď na tuto otázku nabídl již na počátku 0. století německý matematik Felix Hausdorff, který strana 8

83 zavedl pojem dimenze tak, že mohla nabývat i neceločíselných hodnot. Tento Hausdorffův pojem Mandelbrotovi umožnil přesně matematicky popsat řadu podivuhodných struktur, které v průběhu let zkoumal a pro které se vžilo pojmenování fraktály. O vzniku tohoto pojmenování sám Mandelbrot, napsal. že ho napadlo někdy v roce 975, kdy chystal svou první knihu na toto téma a přemýšlel, jak studované útvary a geometrii s nimi spojenou pojmenovat. Tehdy listoval v synově latinském slovníku a narazil na přídavné jméno fractus (zlomený). Podobnost s anglickými slovy fracture (zlomenina) a fraction (zlomek) se mu zdála přiléhavá, a tak vymyslel nové slovo fraktál, které znělo ve francouzštině i v agličtině (a dnes již i v češtině) stejně a dobře vystihovalo směr jeho úvah. Fraktální geometrie se v posledních třech desetiletích intenzívně rozvíjela a umožnila popsat řadu struktur, které vzdorovaly klasické matematice. Teorie fraktálů se tak stala jedním z nejvýznamnějších výsledků moderní matematiky konce 0. století. Obrázky uměle vytvořených fraktálů jsou navíc neobyčejně esteticky působivé a tak se začaly objevovat na obálkách knih, v kalendářích, reklamách a jinde, aniž si vůbec jejich tvůrci a diváci uvědomovali, že se dívají na matematické objekty. Mandelbrotova množina S Mandelbrotovým jménem je spojen i jiný matematický objekt, který umožnil popsat některé stránky a projevy chaosu, tzv. Mandelbrotova množina. Řada matematiků včetně Mandelbrota se snažila přijít na nějaké jednoduché modely, které by umožnily zkoumat některé složité jevy, jako je již zmíněná turbulence. Díky výpočetní technice se ukázalo, že některé na první pohled jednoduché modely umožňují nahlédnout doslova do nekonečných hlubin přírodních jevů. Východiskem se stala metoda tzv. iterací, což je relativně snadno popsatelná záležitost, kterou žáci snadno zvládnou. strana 83

84 Uvažme nějakou funkci f ( x) definovanou pro jednoduchost na množině R všech reálných čísel. Když zvolíme nějaký bod a R, můžeme spočítat funkční hodnotu f ( a ) = a, poté opět funkční hodnotu f ( a ) = a3 atd. Takto postupně sestrojíme iterovanou posloupnost a,, a K, a n, K. Když zvolíme například funkci f ( x) = x + aritmetickou posloupnost, 3, 5, 7,, když zvolíme funkci f ( x) 3x, můžeme takto pro počáteční bod získat = a stejný počáteční bod, dostaneme geometrickou posloupnost, 3, 9, 7,. Zajímavější případy dostaneme, když zvolíme nějakou kvadratickou funkci, například f ( x) = x. Když iteraci začneme například v bodě, obdržíme posloupnost, 4, 6, 56,, když však za počáteční bod zvolíme, dostaneme posloupnost,,,, K Zatímco členy první z těchto posloupností rychle rostou, členy druhé posloupnosti konvergují k 0. (Žákům lze obrazně konvergenci vysvětlit, i když ještě neznají pojem limity.) Nyní již můžeme přikročit k první zajímavé aplikaci kvadratických funkcí. Budeme uvažovat obdobné iterované posloupnosti v komplexní rovině. Přitom budeme potřebovat pouze znalost sečítání a násobení komplexních čísel. Následující příklad však lze snadno předvést i na základní škole bez formální znalosti komplexních čísel. Dětem lze vysvětlit, že budeme počítat s body v rovině tak, že pro jejich součet a součin platí následující pravidla: [ a, b] + [ c, d] = [ a + c, b + d], a [ a, b] [ c, d] = [ ac bd, ad bc]. (Zatímco součet se v tomto případě jeví jako přirozený, definici součinu lze odůvodnit třeba tak, že chceme, aby součin dvou bodů ležících na ose x i dvou bodů ležících na ose y byl v obou případech bod na ose x.) Dokonce nemusíme dětem ani tato pravidla uvádět a vysvětlovat a následující postup jim můžeme v počítači předchystat. Nyní se budeme zabývat komplexní funkcí f ( z) = z + c, kde c je (komplexní) konstanta, iteraci ve všech případech začneme v bodě z = 0. Utvoříme-li nyní iterovanou posloupnost naprosto stejně jako před chvílí, budeme postupně dostávat body v rovině a tyto posloupnosti se samozřejmě budou chovat rozdílně. Zvolíme-li například c = 0, pak iterovaná posloupnost je posloupnost samých nul, pro c = obdržíme posloupnost 0,,, 5, 6,. Představme si nyní, že na monitor počítače si doprostřed umístíme kartézskou soustavu souřadnic a zvolíme měřítko tak, aby například na ose x byl interval (-3, 3) a na ose y interval (-, ). Když si nyní ve funkci f(z) zvolíme komplexní konstantu c, odpovídá jí bod v rovině, který pro vhodné hodnoty bude ležet na obrazovce monitoru. Nyní utvoříme popsaným způsobem iterovanou posloupnost (přesněji řečeno: necháme počítač tuto posloupnost počítat) a naprogramujeme vybarvení bodů v rovině takto: když všech prvních 000 členů posloupnosti zůstane na obrazovce, vybarvíme bod odpovídající dané konstantě černě, když posloupnost z obrazovky uteče, vybarvíme tento bod strana 84

85 bíle. Z výše uvedeného je tak například zřejmé, že bod [, 0] bude vybarven bíle, počátek [0, 0] černě. Intuice nám napovídá, že černě bude vybarvena nějaká oblast kolem počátku; pravděpodobně nikdo však nečeká, že tato oblast, tzv. Mandelbrotova množina, bude vypadat tak, jak je to uvedeno na následujícím obrázku. Bílá a černá plocha sama o sobě není nijak zajímavá; to podstatné se odehrává na rozhraní černé a bílé barvy. To, co na obrázku vypadá jako mírné roztřepení okrajů, se při podrobnějším zkoumání ukazuje jako tajuplný propletenec nejrůznějších tvarů, jako podivuhodná fraktálová struktura, jejíž tajuplnosti nejsou dodnes úplně odhaleny. To však není to nejzajímavější, co si mohou žáci vyzkoušet. V této chvíli totiž můžeme začít užívat počítače jako lupy nebo mikroskopu. Na monitoru si změníme měřítko kartézské soustavy a podíváme se na některé místo rozhraní černé a bílé podrobněji. A opět jsme svědky podobné situace: rozhraní se rozpadá stále více a začíná vytvářet pozoruhodné obrazce. Obr. : Mandelbrotova množina Body, které určují charakter iterovaných posloupností, se proplétají pozoruhodným způsobem. A přitom nejde o nic jiného, než o počítání funkčních hodnot kvadratické funkce! 3 Na obr. je znázorněna série takto do sebe vnořených výseků okraje Mandelbrotovy množiny. 33 Efekt takto získávaných obrázků lze ještě výrazně zvětšit, když barevně odlišíme rychlost, s níž se body posloupností dostanou mimo obrazovku. Například modře vybarvíme body, které utečou již po 00 krocích, červeně po 00 krocích atd. Pozoruhodné obrázky tohoto typu se často objevují v nejrůznějších publikacích, aniž jejich autoři možná vědí, co vlastně znázorňují. strana 85

86 Prohlédneme-li si pozorně uvedenou sérii obrázků, jistě si povšimneme, jak se při nepředstavitelném zvětšení původního výřezu některé struktury opakují a jak se k dovršení všeho na posledním obrázku z hloubi opět noří Mandelbrotova množina. Tento fakt je způsoben tím, že tato množina je typickým reprezentantem fraktálů, o nichž jsme se zmiňovali. I když se bližší popis vymyká možnostem tohoto článku, je jistě možnost, že si studenti mohou takové útvary na počítači sami vyrábět, fascinující. Generace matematiků, kteří se studiu této problematiky věnovali, o takové možnosti mohli pouze snít. V současnosti lze na Internetu nalézt celé galerie obrázků nejrůznějších fraktálů a dokonce i videosekvence, které modelují průlet pozorovatele tímto pozoruhodným světem. Domníváme se, že při vhodném výkladu lze žákům ukázat, jak matematika popisuje tento neznámý a divukrásný svět. Obr. : Hranice Mandelbrotovy množiny strana 86