Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Transkript

1 EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů a profesní orienace v prvních dvou ročnících bakalářského sudijního programu Savební inženýrsví

2 Pokud na ěleso působí na čase závislá vnější síla f() a pokud neuvažujeme lumení, rovnice pro volné nelumené kmiání (viz [1] nebo [, sr. 15]) přejde v nehomogenní rovnici my ()+ky() = f(). Zajímavé a pro praxi důležié je kmiání ělesa, na keré působí periodická síla f() = F cosω [3, sr. 35], kde F je konsana k a ω je budicí frekvence. Zavedeme-li označení ω = m (viz [1]), řešíme edy rovnici y ()+ω y() = F cosω. (1) m

3 Úloha A. Zkoumeje chování osciláoru, pokud se budicí frekvence ω liší od jeho vlasní kruhové frekvence ω. Předpokládejme, že lumení je zanedbaelné a že na počáku je ěleso v klidu v rovnovážné poloze. Řešíme edy počáeční úlohu pro rovnici (1) s počáečními podmínkami y() = y () =. ()

4 Obecné řešení je součem homogenního a parikulárního řešení. Homogenní řešení rovnice (1) je uvedeno např. v prezenaci [1]. Parikulární řešení y p hledáme pomocí zv. meody speciální pravé srany (viz [3, sr. 31]). y p = A cosω + B sinω y p = ωa sinω +ωb cosω y p = ω A cosω ω B sinω (3) Výraz pro parikulární řešení a jeho derivace (3) dosadíme do (1) a dosáváme Tedy A = ω A+ω A = F m, ω B +ω B =. F m(ω ω ), B =.

5 Obecné řešení rovnice (1) je y() = C 1 cosω + C sinω + F m(ω cosω. (4) ω ) Počáeční podmínky () dosadíme do (4) a odvodíme Řešení počáeční úlohy A je F C 1 = m(ω ω ), C =. y() = F m(ω ω ) (cosω cosω ). (5)

6 Grafy výchylek y() pro úlohu A [F = 1, m = 1] ω =. ω = ω = ω = y(). y()

7 Grafy výchylek y() pro úlohu A [F = 1, m = 1] ω = 1.8 ω = ω = 1.6 ω = 1 y() y()

8 Grafy výchylek y() pro úlohu A [F = 1, m = 1] ω = 1.4 ω = ω = 1. ω = 1 y() y()

9 Na předchozím grafu vpravo (pro ω = 1. a ω = 1) je vidě jev, kerý bude ješě zřeelnější na následujících grafech pro ω = 1.1 a ω =.9. Pokud vyvoříme křivku spojením lokálních maxim a druhou křivku spojením lokálních minim, pozorujeme, že yo křivky popisují periodický děj, zv. zázněj.

10 Grafy výchylek y() pro úlohu A [F = 1, m = 1] ω = 1.1 ω = ω =.9 ω = 1 y() y()

11 Úloha B. Rezonance. Zkoumeje chování osciláoru, pokud je budicí frekvence ω rovna vlasní kruhové frekvenci ω osciláoru. Opě předpokládejme, že lumení je zanedbaelné a že na počáku je ěleso v klidu v rovnovážné poloze. Řešíme počáeční úlohu y ()+ω y() = F m cosω (6) se sejnými počáečními podmínkami () y() = y () =.

12 Parikulární řešení hledáme sejně jako v úloze A pomocí meody speciální pravé srany. y p = (A cosω + B sinω ) y p = A cosω + B sinω + ω ( A sinω + B cosω ) y p = ω ( A sinω + B cosω ) ω (A cosω + B sinω ) (7) Výraz pro parikulární řešení a jeho derivace (7) dosadíme do (6) a dosáváme A =, B = F mω.

13 Obecné řešení rovnice (6) je y() = C 1 cosω + C sinω + F mω sinω [y () = ω C 1 sinω +ω C cosω + + F mω (sinω +ω cosω )] (8) Počáeční podmínky () dosadíme do (8) a obdržíme Řešení počáeční úlohy B je C 1 =, C =. y() = F mω sinω. (9)

14 Grafy výchylek y() pro úlohu A (vlevo) a úlohu B (vpravo) [F = 1, m = 1] ω = 1.5 ω = 1 Rezonance: ω = 1 ω = y() y()

15 Graf vlevo ješě není rezonance. Ale má naznači, že rezonance je liminím přechodem předchozí úlohy A. Pokud se ω blíží k ω, pak řešení úlohy A v limiě přechází v řešení úlohy B. Na grafu vpravo je parné, že (při pevném ω ) v rezonanci ampliuda kmiů rose lineárně s rosoucím časem.

16 Řešení (5) počáeční úlohy A y() = lze vyjádři pomocí F m(ω ω ) (cosω cosω ) ve varu cosα cosβ = sin α+β sin α β F y() = m(ω ω ) sin(ω +ω ) sin( ω ω ). (1) Proože F m 1 ω +ω 1 ω ω = F m 1 ω+ω 1 ω ω = F m 1 ω+ω 1 ω ω,

17 řešení (1) je y() = F m A proože se ω blíží k ω, sin( ω+ω ) sin( ω ω ). ω+ω ω ω sin( ω ω ) lim ω ω ω ω = 1 a lim ω ω ω +ω = ω, dosáváme y() = F mω sinω, což je řešení (9) počáeční úlohy B.

18 [1] Harmonický pohyb ělesa na pružině. České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky. Posílení vazby eoreických předměů a profesní orienace v prvních dvou ročnících bakalářského sudijního programu Savební inženýrsví [] Bubeník F.: Maemaika, České vysoké učení echnické v Praze. Nakladaelsví ČVUT. Praha, 6 [3] Zindulka O.: Maemaika 3, České vysoké učení echnické v Praze. Nakladaelsví ČVUT. Praha, 7