Uzavřená cesta- (kružnice)

Transkript

1 1 Defnce zálaních omů Graf- teor grafů se grafem rozumí obety osané množnou hran a množnou rcholů orentoaný X neorentoaný Neorentoaný graf- usořáaná troce množny rcholů množny hran a ncence G=(VX Incence grafu řřazue ažé eho hraně neusořáanou oc rcholů. Říá teré a rcholy ohrančuí hranu. Daný rchol e raním říslušné hrany. Stueň rcholu st(- uáá očet hran ncuících s rcholem. Mohutnost množny rcholu- očet rcholů celém grafu n = /V/ Mohutnost množny hran- očet hran celém grafu q = /X/ 2 Pografy různé tyy ografů Pografem grafu G = (VX rozumíme graf G = (VX ro terý latí: V e omnožnou množny V X e omnožnou množny X a ažá hrana grafu musí ncoat se stenou ocí rcholů ao ůoním grafu. Zráceně zasueme: G e omnožnou množny G Tyy: - Pograf nuoaný množnou rcholů - Pograf nuoaný množnou hran - Pograf nuoaný množnou yuštění rcholů 3 Fatoroý ograf Komlementární grafy Fatoroým ografem (fatorem grafu G = (VX rozumíme graf G = (VX ro terý latí: V = V X e omnožnou množny X (h = (h. Komlementární (olňoý graf- e olně ůonímu obyčenému grafu a žy senocení musí tořt omletní graf. 4 Komlementární grafy Autoomlementární grafy Komlementární grafy- z. otáza 3 Autoomlementární grafy- 2 grafy G 1 a G 2 musí být zároeň Dolňoé a Izomorfní. Nutné omíny Autoomlementárních grafů grafu G. - graf e omletním grafem - očet hran grafu e celočíselně ěltelný ěma 5 Izomorfsmus grafů 2 grafy sou zomorfní yž se lší ouze nareslením (omenoáním rcholů a hran ncence zůstáá stená. Grafy teré sou zomorfní maí stený očet rcholů hran a taé maí stený očet rcholů steného stuně. 6 Matce na grafech Matce řlehlost (sousenost = 0 hrana neexstue = 1 hrana exstue - řáoé součty matce yařuí stueň rcholu - sloucoé součty matce yařuí stueň rcholu Matce ncence b = 0 rchol nencue s hranou b = 1 rchol ncue s hranu - řáoé součty matce yařuí stueň rcholu - sloucoé součty matce yařuí ncenc hrany h Matce římých záleností = 0 ro = (na agonále = o(h-ohonocení hrany soue-l rcholy ena hrana = - nesoue-l rcholy ena hrana 7 Zůsoby rezentace grafů Množnoá (ýčtoá rezentace grafu - Výčet hran a ech ncence - Výčet hran ncuících s ažým rcholem - Výčet usořáaných oc rcholů - Výčet množn souseů Matcoá rezentace grafu z. otáza 6 Graf 8 Sle Tah Cesta Sle- stříaá oslounost rcholů a hran e teré se rcholy hrany oauí začíná a ončí e rcholu sle:{1 h1 2 h6 5 h6 2} Tah- e sle e terém se neoaue žáná hrana rcholy se oaoat mohou (nař. omeče ením tahem- hrany se neoauí rcholy ano tah:{1 h1 2 h6 5 h5 1} Cesta- e tah e terém se neoaue žáný rchol cesta: m(u {1 h2 2} Secální říay: Uzařený tah- lascý tah ale začíná a ončí e steném rcholu Uzařená cesta- (ružnce 9 Theseoa metoa Algortmus rozmotáání nt. a Theseus stouí o omnaty X e e Mnotaurus ->theseus e cíl zabe Mnotautra a o cestě určené omotanou ntí se rátí Arané(očáte b Theseus stouí o omnaty X e není Mnotaurus a e sleá(ustí ouze ena choba ->Theseus se rátí o řechozí omnaty označí rošlou chobu barou rotože rošel obou směrech c Theseus stouí o omnaty X e není Mnotaurus a není sleá -> možnost: 1theseus uzařel říchoem o omnaty X ružnc roto se rátí zět namotáá nt a obarí choby ružnce. Kružnce e cesta e teré e ýchozí omnata schoná s oncoou. 2 Theseus uzařel ružnc šechny choby ústící o X sou už zabareny až na chobu terou Theseus o X řšel-touto chobou se rátí namotáá nt a chobu zabarí. 3Theseus neuzařel ružnc exstue ša alesoň ena choba terá není zabarená-theseus ozě ouže a oračue rozmotáání nt. Algortmus ř namotáání nt. Namotááním se Theseus ostane o omnaty X. Mohou nastat násleuící stuace: α analoge a nastat nemůže β analoge b nastane yž X=A (rošel šue a nenašel Mnotaura γ analoge c mohou nastat říay αaz omnaty ee choba terou oračue nt ostatní choby sou označeny barou Theseus se yá o nt a namotáá lubo βb z omnaty ee alesoň ena neoznačená choba terou T. nešel zolí enu z nch a rochází í rozmotáae nt γc z omnaty X neee an označená an neoznačená choba romě té označené terou řšel T. e e ýchozí omnatě 10 Souslost grafů Číslo rcholoé a hranoé souslost grafů Souslost grafů Sle Tah Cesta- z. otáza 8 Graf nazýáme souslým ou mez lboolnou ocí rcholů u exstue alesoň ena cesta. Déla cesty: (součet hran m (u = o(h Vzálenost ou rcholů: (u = mn{ o(h} Číslo hranoé souslost γ(g- e mnmální očet hran terý e nutné ostrant z grafu aby znl nesouslý (sláá se ze 2 omonent mez nmž neexstue cesta nebo srétní (ouze množna rcholů graf. γ(g = 0 ro nesouslé grafy γ(g = 1 ro grafy obsahuící most γ(g = n-1 ro omletní grafy Most-e hrana grafu eímž ostraněním se graf rozane na íce omonent. Číslo rcholoé souslost δ(g- e mnmální očet rcholů teré e nutno ostrant z grafu (četně ncuících hran ta aby znl nesouslý srétní nebo trální (ouze een rchol graf. δ(g = 0 ro nesouslé grafy δ(g = 1 ro grafy s artulací δ(g = n-1 ro omletní grafy Artulace- e rchol grafu ehož ostraněním z grafu se zýší očet omonent alesoň o enu. 11 Orentoané grafy Matce řechůců Matce násleoníů Matce ncence Orentoaný graf- G = (VY Množna Y e tořena usořáaným ocem [u] rů množny V řčemž u a ažá taoáto oce exstue neýše enou. Pry množny Y nazýáme orentoaným hranam (orhranam. Kažá orhrana má orentac yářenou šou. (orentace hrany ením směrem- nař. enosměry slnční oraě Matce ncence ( yáření orentoaného grafu 1 -hrana ychází z rcholu -1 -hrana chází o rcholu Matce sousenost (násleoníů řechůců 12 Déla cesty Vzálenost rcholů Déla cesty: mez ěma rcholy u є V hranoé ohonocení grafu G e efnoáno ao: m ( u hm ( u o h 1

2 Vzálenost ou rcholů: u є V grafu G=(VX e efnoána: ( u mn m( u M hm ( u o( h e o(h e ohonocení hrany h X yařuící élu a M e množna šech cest mez rcholy u a. 13 Dstrů algortmus - algortmus nalezení mnmální cesty Uažueme hranoě ohonocený souslý graf G=(VX e V= n. Ohonocení hran o(h yařue ech álu. Algortmus: V grafu G V X omocí tabuloé metoy. K ýočtu mnmální cesty touto metoou otřebueme tabulu terá sestáá z n+2 slouců a n+1 řáů (n e očet rcholů grafu ( n V 1... n. V tabulce označíme n slouců označením rcholů grafu resete 0... n 1. Přeoslení slouec označíme W (množna efntně označených rcholů grafu oslení slouec otom D (etor efntního ohonocení rcholů grafu V říslušnému. Složa etoru efntního ohonocení ooíaící rcholu z očátečního rcholu V V určue élu mnmální cesty o rcholu V řestaue éla mnmální cesty zálenost rcholů ( ( V rchol. Pole efnce a. Metoa sočíá ohonocoání rcholů grafu ocí čísel V e e rcholem řecházeícím m a na atuálně známé cestě élou této cesty (součet ohonocení hran této cesty. Algortmus řešení: 1. Kro 1a Zolíme očáteční rchol cesty 1b Zolíme oncoý rchol cesty V V 2. Kro 2a Počáteční rchol cesty ohonotíme ocí čísel (00 ostatní rcholy ocí (0 2b Počáteční rchol cesty zařaíme o množny W 2c Ohonocení očátečního rcholu slouce D 2 Slouec ooíaící rcholu 3. Kro Ostatní rcholy grafu čísel e o V 0 řeíšeme o yustíme z tabuly ohonotíme ocí estlže h X h estlže h X h 4. Kro Obecný ro: 4a Z množny rcholů V \ W ybereme rchol r V \ W ro terý latí: r mn V \ W Poznáma: Je-l taoýchto rcholů íce ybereme lboolný z nch res. ybereme rchol s nemenším nexem. 4b Položíme r e 4c Zařaíme 4 Ohonocení rcholu slouce D o množny W 4e Slouec ooíaící rcholu V r \ W řeíšeme o yustíme z tabuly 4f Změníme (říaně nezměníme ohonocení zbylých rcholů množny a latí-l: V \ W - e-l rchol - oložíme: ole násleuících rael: sousením rcholem rcholu o o - ále oložíme: - rchol ohonotíme ocí 4g 4. ro oaueme o té oby ou nenastane ena ze stuací: - šechny rcholy ž byly zařazeny o množny W - o množny W byl zařazen rchol 5. Kro Proeeme reonstruc mnmální cesty ta že určíme oslounost rcholů r. Obrácením této oslounost a olněním říslušných hran obržíme mnmální cestu rcholu 1 m. Položíme řecházeícího. S reonstrucí cesty začneme oncoém rchol 0 0. Inex 1 rcholu na neratší cestě nalezneme ao rní číslo oce ohonocení růsečíu řáu a slouce ooíaích rcholu 0 tabuly ooíaícímu rcholu 2. Dále se řesuneme o řáu 1. Inex 2 rcholu nalezneme ao rní číslo e oc ohonocení růsečíu řáu a slouce ooíaích rcholu 1. Analogcy oračueme ále o té oby ou se neostaneme o očátečního rcholu r Pou grafu exstue mez zoleným a očátečním a oncoým rcholem íce mnmálních cest e možné aný ostu oaoat a zstt ta šechny cesty. 14 Tabuloá metoa určoání mnmální cesty 15 Floyů algortmus - se oužíá ro nalezení šech neratších orentoaných cest mez šem ocem uzlů (ro enouchý orentoaný graf. autorem e R.W. Floy 16 Solehlost cesty Nesolehlěší cesta Algortmus Hrany grafu sou ohonoceny (může ít naříla o raěoobnost že na úseu omunace neoe haár roblémem e yhleání cesty terá e z hlesa raěoobnost nerůchoněší- nesolehlěší Solehlost cesty : s(m(u = Π (h Π- součn (h- ohonocení hrany <01> Nesolehlěší cesta: s(m(u = max {s(m(u.} Algortmus: Uažueme obyčený souslý hranoě ohonocený neorentoaný graf G. 1.ro: grafu G zolíme očáteční rchol cesty u a oncoý rchol 2.ro: ou ohonocení hran yařue raěoobnost usěšného růchou hranou oračueme roem 3 Nebo: Pou ohonocení hran yařue raěoobnost neusěchu růchou hranou změníme ůoní ohonocení násleoně:. 2

3 ( h 1 ( h oračueme roem 3 ále oložáme 3.ro: noě ohonotíme hrany grafu: ( h ( h o( h log ( h 4.ro: grafu s ohonocením ole rou 2 yhleáme mnmální cestu. Tato cesta e zároeň nesolehlěší cestou. 17 Kaacta cesty Cesta s maxmální aactou algortmus Ohonocení hran řestaue aactu (roustnost omunací Kaacta cesty: K(m(u = mn o ( h hm ( u Cesta s maxmální aactou: K(m(u = max m( u M a {K(m(u} Algortmus: 1.ro: zolíme očáteční rchol cesty u a oncoý rchol. 2.ro: Zolíme lboolnou množnu žezoou množnu X R 3.ro: Určíme K= maxo ( h R V a určíme ooíaící hx R 4.roV grafu zrátíme šechny hrany ro teré o(h>=k. 5.ro: Poronáme oncoý a očáteční rchol cesty mohou nastat a říay: -zrácením oe e ztotožnění rcholů u a otom násleue řecho na 6.ro -zrácením hran neoe e ztotožnění rcholů u a tomto říaě násleue řecho na ro 2 6.ro: ůoním grafu zareslíme fatoroý ograf ehož množna hran e množnou šech zrácených hran. V tomto ografu yhleáme cestu terá e cestou s maxmální aactou 18 Maxmální ráha Algortmus Dráha: Orentoaná cesta m [u] Dráhou nazeme orentoaný sle e terém se neoaue žáný rchol. Algortmus: 1.ro: ažému rcholu orgrafu =012..n 2.ro: hleáme hranu orgrafu h latí: t t o V Y h řřaíme honotu t =0 ro orhrana slňuící neronost exstue otom rcholu řřaíme noé ohonocení: t t o terou změníme ohonocení t = t a oračueme roem 2 orhrana slňuící neronost neexstue oračueme roem 3. 3ro: osleně určená honota t n uáá élu maxmální ráhy u M e m 4.ro: Dráhu Z nožny ( m u u= 0 a = n určíme ta že začneme e rcholu 0 = n. ybereme uzel 1 19 Síťoá analýza CPM (z. ytsnuté lsty Síťoá analýza V rax se ená o omlex čnností teré na sebe časoě a ěcně naazuí. Kažá čnnost yžaue určtý čas realzac sotřeboáá zroe a yžaue lsou attu. Pro efetní řízení systémů e otřebné: - stanoení obetně nutného času realzac roetu - stanoení ílčích (etaoých časů - oužíat efetních rostřeů ro ontrolu ostuu rací Říící systém- určue strateg choání systému čase Řízený systém- na zálaě říících nformací realzue zamýšlenou čnnost systému Řízení- e čnnost eoucí e stanoení cílů řízeného systému Použtí meto síťoé analýzy rocesu řízení e honé zeména ro: - sestau lánů ostuu rací řízeného obetu - ontrolu růběhu rací (sronáání sutečnost s lánem - nárau sluzů časoého lánu oatřením ycházeícího z časoého rozboru CPM (Crtcal Path Metho Pro roety e známe řesný čas trání čnností. U ažého rcholu sou časoé úae. Vrchol- oamž zaháení nebo uončení čnnost. Ohonocení hrany e čas stráený obou čnnost. 20 PERT (z. ytsnuté lsty Doba trání čnností se bue ohaoat. Časy: Otmstcý (a Pesmstcý (b Neraěoobněší (m Síťoý graf e orentoaný neorentoaně souslý hranoě ohonocený acylcý graf yařuící záslost ílčích čnností roetu. Vrchol síťoého grafu řestaue časoou uálost terou e začáte nebo onec čnnost. Hrana síťoého grafu řestaue čnnost terá lae nároy na čas zroe a má ynamcý charater. Čnnost e efnoána očátečním a oncoým rcholem. Znázorňueme orentoanou hranou. Krtcá čnnost e čnnost eímž roloužením oby trání o lboolnou lanou obu e oe roloužení oby trání celého roetu o obu e. Krtcá cesta e sle rtcých čnností mez začátem a oncem roetu. Roztyl yařue míru roztýlení honot náhoné roměnné oolo střeu. Směroatná ochyla e ruhá omocnna z roztylu. Měří arabltu ůoních enotách náhoné roměnné. Očeáaný čas trání čnnost (stření honota řeáí tř časoé ohay ob trání čnnost ený oha stření honoty oby trání čnnost. Pro otřeby určení času te byl sestaen zorec: Roztyl oby trání čnnost ro čas te byla honota roztylu stanoena s yužtím rala 3σ ro normální rozělení raěoobnost na: Neříe možný onec čnností cházeících o rcholu E T res. neříe možný začáte čnností ycházeících z rcholu e án součtem časů te teré toří maxmální ráhu z rcholu o o rcholu. Žánou čnnost nelze zahát ou nesou uončeny šechny čnnost teré bezrostřeně řecházeí. Čas E T cháeme ao stření honotu roměnné s normálním rozělením raěoobnost. Neozě nutný onec čnností cházeících o rcholu L T res. neozě nutný začáte čnností ycházeících z rcholu e án součtem časů te teré toří maxmální ráhu z rcholu o rcholu n. Aby neošlo e sluzu obě trání roetu musí šechny čnnost cházeící o aného rcholu být uončeny stém časoém oamžu ta aby bylo možné realzoat násleuící čnnost ožaoaných termínech. Čas L T cháeme ao stření honotu roměnné s normálním rozělením raěoobnost. Směroatná ochyla času E T určí se analogcy ole efnce času E T 21 Doraní síť- efnce To na sít lastnost lneární moel Krchhoffoy záony Doraní síť- e orentoaný neorentoaně souslý hranoě ohonocený acylcý graf Ohonocení hrany- aacta (roustnost hrany c[h] 0 Doraní síť obsahue: zro- ze zroe hrany ouze ycházeí ústí- o ústí hrany ouze cházeí ntřní rcholy To na sít (y- e funce terá ežé hraně sítě řřaí reálnou honotu Nasycená orentoaná hrana: y[h] = c[h] Síť nazeme ronnou e-l graf ronným- ronně zaresleným orentoaným grafem. 22 Tyy oraních sítí Ronná- Síť nazeme ronnou e-l graf ronným- ronně zaresleným orentoaným grafem. Hrany se neříží. Všeobecná- šeobecná oraní síť e rostoroý graf (obsahue rotínaící se hrany a nelze zareslt ta aby rotnutí neošlo. Hrany se říží. V sítích efnueme omy ao: Řezoá množna Kaacta řezoé množny Interaloě ohonocená- hrany těchto sítí sou ohonoceny ocí čísel: b[h]c[h] 23 For-Fulersonů algortmus ro ronné sítě Maxmální to ronné sít 3

4 Sestroení maxmálního tou ronné sít nasycoáním hran 1. ro: V sít určíme neýše oloženou ráhu m [z u]. Po této ráze eeme tol enote tou aby ošlo nasycení alesoň ené hrany. Nasycenou hranu označíme a alším ostuu s ní neuažueme (označení hrany znamená eí yloučení z grafu. 2. ro: Postu ole 1. rou oaueme ou exstue alesoň ena neýše oložená ráha m[z u] obsahuící ouze nenasycené hrany. Jestlže taoá ráha neexstue řeeme na 3. ro. 3. ro: Sestroený to e maxmálním toem. Jeho honotu zstíme ta že sečteme to ycházeící ze zroe o hranách ončících množně Ґ + z Sestroení maxmálního tou ronné sít snžoáním aact 1. ro: Kažou hranu oraní sítě ohonotíme číslem c(s čarou na[h] = c[h]. 2. ro: V sít určíme neýše oloženou ráhu m[z u]. Na této ráze určíme mnmální atuálně latnou olnou aactu: MIN= mn h náleží [zu] {c(s čarou na[h] } 3. ro: O honotu MIN zmenšíme atuálně latnou aactu šech hran neýše oložené ráhy. c(s 2čáram[h] = c(s čarou[h] - MIN; h m[z u] a oložíme c(s čarou[h] = c(s 2čaram[h] Tímto ostuem oe tomu že mnmálně ena hrana bue mít aactu ronou nule C(s čarou[h] = 0. Hrany s nuloou aactou yustíme z alšího ostuu. 4. ro: Postu ole rou 2. a 3. oaueme ou se nám aří určoat neýše oložená ráha obsahuící ouze hrany s nenuloou aactou c(s čarou[h]. Jna násleue 5. ro. 5. ro: Určíme to na hranách sítě ole násleuících rael. Pro hrany ro teré e: c(s čarou[h] = 0 e honota tou y[h] = c[h] c(s čarou[h] = c[h] e honota tou y[h] = 0 0 < c (s čarou[h]<c[h] e honota tou y[h] = c[h] c(s čarou[h]. 6. ro: Honotu celoého maxmálního tou zstíme ta že sečteme to ycházeící ze zroe o hranách ončících množně Ґ + z. 24 For-Fulersonů algortmus ro obecné sítě Značoací metoa For-Fulersonů algortmus ro sestroení maxmálního tou e šeobecné oraní sít 1. ro: V sít sestroíme úlný to.4 (Úlného tou oraní sít e osaženo tehy yž ažá ráha m[z u] M sít D = (V Y obsahue alesoň enu nasycenou hranu 2. ro: Označueme rcholy sítě ole násleuících ou rael (značoací metoa: 2a - rchol z e žy označen O - nacházíme-l se označeném rcholu V označíme nexem + rchol Ґ + yž ro hranu [ ] Y latí c[ ] > y[ ] toto ralo oužíáme ou to lze 2b - nacházíme-l se označeném rcholu K z množny Ґ - ybereme rchol a označíme nexem - ou ro hranu [ ] latí Y [ ] > 0 Kombnací rael a a b se snažíme označt ústí. Mohou nastat ě možnost: aneoařlo se označt ústí oraču 4. roemb oařlo-l se označt ústí oračueme3. roem 3. ro: Na označeném řetězc m(zu určíme: 3a mn h náleží(zu {c[h] - y[h] } - ro ohrany teré ončí uzlu označeném + 3b mn h náleží(zu {y[h] } - ro ohrany teré začínaí uzlu označeném - 3c ezmeme menší z honot určených rocích 3a a 3b. O tuto honotu zětšíme res. zmenšíme honotu tou na orhranách nslušného řetězce (honotu řčteme tou hran řetězce ončících e rcholu označeném nexem se znaménem +; honotu oečteme o tou hran řetězce ycházeících z rcholů označených nexem se znaménem -. Tímto ostuem oe buď: - nasycení mnmálně ené orhrany nebo - ynuloání tou alesoň naená orhraně. 3 nárat na 2. ro. 4. ro: To oraní sít e toem maxmálním 25 For-Fulersonů algortmus ro nteraloě ohonocené sítě říustný to Určení maxmálního tou nteraloě ohonocené sít Exstuí ratcé úlohy e terých se setááme s nteraloě ohonoceným úsey sítě. V těchto sítích sou orhrany ohonoceny ocí čísel <b[h] c[h]> řčemž 0 b[h] c[h]. Ohonocení b[h] yařue honotu mnmálního tou terý musí hranou rotéat. Jestlže b[h] = 0 ro šechny hrany h Y e o lascou úlohu určení maxmálního tou a ostuueme ole řeešle osaného algortmu. Zatímco oraní sít žy exstue něaý to (může být nuloý nteraloě ohonocené sít tomu ta nemusí být. To nteraloě ohonocené sít ehož honoty na hranách slňuí omínu b[h] y[h] c[h] nazeme říustným toem. Postu ř onstruc maxmálního tou na nteraloě ohonocené sít 1. ro: Vytoříme noou (ftní síť terá e tořena: ůoním grafem sítě D = (V Y roustnost ůoních hran změníme na c(s čarou[h] = c[h] - b[h] ftním zroem -z ftním ústím u orentoaným hranam [z ] a [w u] s roustností b[w ] ftní orhranou [u z] s aactou c[u z] = max 2. ro: Ve ftní sít určíme maxmální to - y z známým algortmem ou y -max z =Suma h náleží Y [h] sít D = (VYexstue říustný to; oraču 3. ro ou y -max z Suma h náleží Y[h] říustný to sít neexstue=>neexstue max.to.onec 3. rovrátímesedopůonísítě.honpříustnéhotounahranáchurčím: y[h]=b[h]+y -max [h] 4. ro: V ůoní sít určíme max.to značoací metoou se změnou rale b. Změna se týá ýběru rcholu Ґ -. Jao rchol yber rchol ro t.latí: y[ ] > b[h] 26 Alace úloh o tocích na oraních sítích Nearesné toy Přřazoací roblém Alace For-Fulersono metoy - Přřazoací roblém Daná množ.rací U={u1u2.ut} U = t a množna raconíů V={12...} V =. Seřaíme raconíy a ráce. Mez a eeme orhranu ou raconí má alfac yonáat rác u. Do grafu řáme ftní zro - z ftní ústí - u a orhrany [z ] [u u]. Ohonocení šech hran grafu oložíme rono ené o[h] = 1. Dostaneme ftní oraní síť G t e teré určíme maxmální to ForFulersono. Maxmální to y max z uáá maxmální řřazení raconíů racím. Pou na hraně [z ] exstue to y [z ] = 1; raconí bue yonáat rác. Pou na hraně [u u] exstue to y [u u] = 1; ráce u bue yonána. Pou na hraně [ u] exstue to [ u] = 1; raconí bue yonáat rác u. Nearesné toy Řešíme-l orau stého substrátu o oaatelů D e sotřebtelům S o zaané sít bueme ostuoat násleoně: seřaíme oaatele D; = m a sotřebtele S; =12... n řáme ftní zro - z ftní ústí - u a ftní hrany [z D] a [S u] aactou hran [z A] e množstí substrátu oáané oaatelem A aactou hran [S u] e množstí substrátu ožaoané sotřebtelem S aacta hran [D r][r s][s S] e aa.onrétních úseů ora.sítěřčemž r V této sít určíme maxmální to F-F alg. Honota tou y [z D]; = l... m určue a bue yužta aacta oaatele D. Honota tou y[s u]; = l... n určue a bue nasycen ožaae sotřebtele S. Honota tou na ostatních hranách určue yužtí roustnost onrétních úseů sítě mez oaatel a sotřebtel. 27 Loační úlohy Sotá a srétní loace Loace na oraních sítích V rax se ená o rozmístění nař.: max stanošť ozel hasčsé ochrany záchranné služby eáren yhslaů yoštoních z úřaů h Y z 4

5 Solečným roblémem e otřeba ýběru místa z terého bueme obsluhoat rcholy a úsey sítě. Olšné ro úlohy e: očet rozmísťoaných střese e-l o obsluhu rcholů úseů nebo hran sítě rtérum alty řešení zůsob obsluhy úseů. Sítí rozumíme souslý rcholoě a hranoě ohonocený graf bez smyče. Síť yařue běžnou omunační síť. w(- áha rcholu (ožaae uzlu na obsluhu o(h- ohonocení hrany (éla úseu w(h- áha hrany (nař. ůležtost omunace Deem rozumíme místo na sít e e umístěno střeso obsluhy 28 Atrační oboy- efnce lastnost Atrační obo A(- e množna rcholů a hran sítě ro terou latí: u A( ou neexstue žáné alší eo ro teré latí w D ta že zálenost (wu < (u Protní atrační obo A (- e množna rcholů a hran ro teré latí: u A ( ou neexstue žáné eo w D (wu (u Přělený atrační obo A( 29 Vážená excentrcta rcholu/bou Vzálenostně otmální eo Absolutní eo Vážená excentrcta rcholu : ec( = max {(u x w(u} Vzálenostně otmální umístění ea e rchol : ec( = mn {ec(} Absolutní eo e bo y ro terý latí: ec(y = mn {ec(y} 30 Hamho ěta Hamho algortmus Pro šechny hrany h X určíme bo (boy y h s mnmální áženou excentrctou. Na hraně (hranách může exstoat íce boů s touže mnmální áženou excentrctou. Ze šech y ( = 1... m; m q q = X určíme bo y G terý má mnmální áženou excentrctu. Bo y e absolutním eem. Pratcý ostu: 1. ro:v záslost na e sestroíme ro ažou hranu sítě agram honot: / T T / T w( ( e ( b w( ( ( a c ab e e cab e éla hrany (a b. 2. ro: Určíme lomenou čáru určuící olní ohrančení T a ro šechny rcholy V. 3. ro: Určíme nemenší horní ohrančení šech řechozích olních ohrančení. 4. ro: Mnmum z tohoto ohrančení e ec(y říslušnou olohu y určue e. Ueený ostu e značně racný rotože e otřebné ytořt agramy ro šechny hrany sítě. Počet agramů můžeme omezt na zálaě násleuících úah: Kažé absolutní eo na hraně ( e soeno s honotou: max w( mn ( tv t t ( tato honota e olní ohrančení ážené excentrcty absolutního ea ležícího na hraně (. Dolní ohrančení absolutního ea sít G = (V X e áno: mn ( X Uažueme-l že absolutní eo e na hraně ( otom honota: h 1/ 2 c w( r e w(r e áha rcholu ro terý e maxmální e horním ohrančením ážené excentrcty absolutního ea ležícího na hraně ( Horní ohrančení absolutního ea sít G = (V X e áno: t H mn ( X 1/ 2 c w( Kažá hrana ( X ro terou latí H může být yloučená z množny hran ro teré se sestrouí agramy. 31 Krtéra ro řešení loačních úloh Obsluha rcholů sítě množnu e nazeme rcholoě otmálním umístěním e na sít Obsluha hran sítě - množnu e nazeme hranoě otmálním umístěním e na sít ea musí být obecně umístěna ouze e rcholech sítě ale mohou být umístěna na hranách sítě 32 Iteratní algortmus 1.ro: Zolíme množnu ýchozích e ->určíme množnu nerozoumaných rcholů ->oložíme z=0 -> 2.ro: zstíme za e množna nerozoumaných rcholů rázná->e-l N=0 oračueme roem 4 nebo e-l N 0 ybereme lboolný rchol a ytoříme množny 3.ro: oronááme honoty rtéra 4.ro: e-l z=0 oračueme roem 5 nebo e-l z>0 oložíme znou z=0 určíme noou množnu N=V/D a oračueme roem 2 33 Stromy lastnost tyy Zálaní omy Strom T e souslý graf terý neobsahue ao ograf ružnc. Strom ále bueme značt T = (V X. Pro graf terý e stromem latí q = n - 1 e q = X a n = V. Pro T mez ažou ocí rcholů u V u exstue ráě ena cesta ažá hrana stromu e mostem a ažý rchol stromu maící st( 2 e artulací. Les e nesouslý graf ehož omonentam sou stromy (oř. trální grafy. Hěza secální řía stromu e terém een rchol má st( = n 1 a n 1 rcholů má stueň st( = 1. Excentrcta (ýstřenost rcholu e( e číslo teré uáá { } ( max ( u ev u = Vážená excentrcta rcholu ec( e číslo teré uáá { } ( ( max ( u w u ecv u = e w(u e áha rcholu u V Ráus (oloměr grafu T = (V X r(t e číslo teré uáá { } ( mn ( e T rv = Dametr (růměr grafu T = (V X (T e číslo teré uáá { } ( max ( e T V = Centrální rchol e rchol V ro terý latí e( = r(t. Centrum grafu množna šech centrálních rcholů. Věte rcholu ro V nazýáme ograf terý e stromem obsahue rchol a maxmální očet rcholů a latí něm st( = 1. Síla rcholu s( uáá očet rcholů ěte terá obsahue maxmální očet rcholů. Centroní rchol rchol s mnmální slou. Centro množna šech centroních rcholů. 34 Konstruční úlohy na grafech Kostra grafu Kostra grafu G = (V X e graf T = (W Y W = V Y množnou X terý e stromem(protože množna rcholů ostry grafu e shoná s množnou rcholů ůoního grafu e ostra fatoroým ografem Mnmální ostra souslého hranoě ohonoceného grafu e taoá ostra ro terou e součet ohonocení hran mnmální. Maxmální ostra souslého hranoě ohonoceného grafu e taoá ostra ro terou e součet ohonocení hran maxmam. Sestroení ostry grafu Sestro.mnmální(maxmálníostry gr.ostuným ýběrem hran 1. ro: Položíme Y= {0} 2. ro: Vybereme hranu h X s mnmálním (maxmálním ohonocením: o(h=mn h X {o(h} a zařaíme o ostry grafu (h => Y. 3. ro: Z osu neybraných hran ybereme alší hranu s mnmálním (maxmáhím ohonocením. Do ostry zařaíme říaě že eím zařazením neznne ružnce. V oačném říaě ybereme alší hranu. 4. ro: Pole 3. rou ostuueme o té oby ou e možné ybrat alesoň enu hranu eíž zařazení nezůsobí zn ružnce na řeeme na ro ro:sečteme ohonocení ybraných hranhon.součtu e honotou mn.(max.ostry grafu 35 Eulerosý graf Eulerosý tah Neorentoaný graf ehož ažý rchol má suý stueň nazýáme eulerosým grafem r 5

6 (E-grafem. Graf G = (V X e E-grafem ráě tehy lze-l e yářt ao senocení soustay záemně hranoě suntních ružnc: Eulerosý tah (E-tah může. ale nemusí začínat a ončt témže rcholu. Pole toho hooříme o oteřeném nebo uzařeném E-tahu. Nutnou a ostačuící omínou tomu abychom onečný souslý G=(V X mohl sestrot 1uzařeným E-tah.eaby byl E-grafem Nutnou a ostačuící omínou tomu abychom onečný souslý graf G = (V X mohl sestrot ením oteřeným E-tahem eaby graf obsahoal ráě a rcholy lchého stuně; eulerosý tah enom z nch začíná a e ruhém ončí. V onečném souslém grafu terý má 2t uzlů lchého stuně t l se ažé mnmální orytí grafu(o hraně grafu hooříme že e oryta E-tahem ou e E-tahu obsažena sláá z t oteřených E-tahů z nchž ažý soue oc uzlů lchého stuně. Na sestroení uzařeného E-tahu E-grafu a grafu se ěma rcholy lchého stuně oužeme Fleuryho alg.. V grafech s očtem rcholů lchého stuně ětším než a oužeme Emonsů alg. 36 Hamltonosý graf Hamltonosá ružnce omíny exstence Hamltonosá ružnce e ograf grafu terý e ružncí a obsahue šechny rcholy grafu. Hamltonosou ružnc můžeme roněž efnoat ao souslý raelný graf ruhého stuně terý obsahue šechny rcholy grafu. Nutnou omínou ro exstenc hamltonosé ružnce e že nesmí obsahoat most artulac a rcholy stuně 1. Slnění nutné omíny není ostačuící exstenc hamltonosé ružnce. Jsou známy ostačuící omíny exstence hamltonosé ružnce teré naoa nesou nutným omínam co znamená že z ech nelatnost neylýá ro exstenc hamltonosé ružnce žáné trzení. Ueeme ě známé ostačuící omíny teré sou ůsleem Posoy ěty: a uažume graf G = (V X e V = 3 ro ehož a různé neřlehlé rcholy u V latí ztah: st(u+st( otom graf G=(VXobsahue hamlton.ružnc(e hamltonosý b nechť obyčeném grafu G = (V X s 3 ro ažý rchol V latí: st( /2 otom graf G = (V X obsahue hamltonosou ružnc (e hamltonosý. Pro řešení ratcých úloh e otřebné yhleáat mnmální (maxmální hamltono sé ružnce hranoě ohonocených grafech (o(h > 0. Mnmální (maxmam hamlto-nosá ružnce e taoá hamltonosá ružnce eíž součet ohonocení hran e mnmál(maxmál 37 Fleuryho algortmus Emonů algortmus Fleuryho algortmus 1. ro: Konstruc E-tahu začneme lboolném rcholu grafu. Vybereme lboolnou hranu ncuící s tímto rcholem a roeme í. Prošlou hranu označíme. 2. ro: Př říchou o rcholu V grafu ny neoužeme hranu terá e ané stuac mostem ehož ostraněním by se graf složený z osu neoznačených hran rozal na: a netrální omonenty; b netrální omonentu a rchol e terém tah začíná. Pou oužeme algortmus sráně sončíme e rcholu e terém E- tah začíná. Fleuryho algortmus oužeme říaě že graf obsahue a rcholy lchého stuně. Tyto a rcholy soíme násobnou hranou (znne multgraf terou roeme ao rní. Po oončení uzařeného E-tahu hranu oět yustíme; tím znne oteřený E-tah.. V hranoě ohonocených grafech s očtem rcholů lchého stuně ětším než a efnueme uzařený E-tah mnmální ély.e-tah mnmální ély e tahehož součet ohonocení hran e mnmální Emonsů algortmus 1. ro:v gr G=(VXurč rcholy lchého stuně očtu 2t t 1(t =očet oc lchého st. 2. ro: Sestroíme omletní graf K 2t (eho rcholy sou rcholy lchého stuně grafu G. 3. ro: Hrany omletního grafu ohonotíme záleností říslušných rcholů grafu G. 4. ro: Určíme ároání mnmální ély. 5. ro: Hrany mnmálního ároání řáme o ůoního grafu mez říslušné rcholy znne graf (říaně multgraf terý e E-grafem. 6. ro: V grafu (multgrafu z 5. rou sestroíme uzařený E-tah Fleuryho algortmem. Tento tah e E-tahem mnmální ély. 7. ro: V E-tahu nahraíme ažou hranu ároání ooíaící cestou mnmální ély. Dostaneme sle terý e uzařeným E-sleem orýaícím hrany grafu mnmální ély. 38 Heurstcý algortmus yhleáání HK omletním grafu Heurstcý algortmus určení hamltonosé ružnce omletním grafu 1. ro: Uažume graf K n = (VX. Určíme mnmální hamltonosou ružnc H=(WY. Kce. hamltonosé ružnce začneme lboolném rcholu V ( e očáteční rchol: a oložíme W = 0 Y = 0 b očáteční rchol zařaíme o W ( => W oložíme s = c určíme Ґ ( -e to množna řlehlých rcholů rcholu olož Ґ(s čarou( =( /W 2. ro:vyber hranu h X (h = ( Ґ(s čarou( s mnmálním ohonocením o(h = mn Ґ(s čarou( {o( } a zařaíme o hamltonosé ružnce h => Y 3. ro: Položíme = a určíme Ґ(s čarou= Ґ ( \W : a e-l Ґ (s čarou( = {0}; zařaíme oslení hranu uzaíraící hamltonosou ružnc ( s => Y a oračueme 4. roem b e-l Ґ(s čarou( {0}; oračueme 2. roem. 4. ro: Sečteme ohonocení hran zařazených o hamltonosé ružnce. Součet e honotou mnmální hamltonosé ružnce. 39 Metoa Branch an Boun Lttlů algortmus Formulace úlohy obchoního cestuícího Prnc metoy Branch & Boun (ěte a hrance Nechť E={S 1 S 2... S n} e množna řešení něteré úlohy srétní otmalzace a f e funce efnoaná na této množně. Je otřeba nalézt omnožnu E m množnou E na teré funce f osahue mnma (estlže exstue. Metoy ěte a hrance lze oužít ro yhleáání omnožny E m množnou E maxmálních řešení. Uažume že s omocí lastnost P A e možné rozělt E na 2omnož.A A(s čarouřčemž: A A(s čarou={0}a A(s čarou=e Přeoláe že oážeme nalézt soní hranc b0 honot funce f na E. Dále řeoláeme že oážeme stanot soní hrance b1 b0 b1 b0 funce f na A res. A(s čarou. Vlastnost P B P C a alší roněž ooluí rozložt E na ě část. Potom lastnostem P B P A P B(s čarou P A P A(s čarou P B P A(s čarou P B(s čarou ooíaí omnožny B A B(s čarou A A(s čarou B A(s B(s čarou. Kažou omnožnu oažueme za rchol grafu. Tímto zůsobem e možné ytořt graf. Postu ytáření rastromu e násleoný: řeoláeme že sme sestal část rastromu yužtím - lastností P1 P2... P a našl soní hranc funce/této část ezmeme sící rchol rastromu terý má nenžší hranc s omocí lastností nebo možná + l lastností obržíme alší a noé rcholy ro teré určíme soní hranc b. Pro rcholy rastromu rerezentuící omnožny množny řešení E latí: senocením šech rcholů (sících ažé fáz ostaneme ůoní množnu řešení E. E = A(s čarou (A B (A B(s čarou C(s čarou (A B(s čarou C Je-l ýsleem aného rocesu sící rchol terý řestaue enoroou množnu otom funce f nabýá na této množně mn.honotu.nazýáme metoou otm. omocí síta čarou Algortmus ro nalezení mnmální hamltonosé ružnce grafu s n rcholy(ltlů alg uažume symetrcý(neorentoanýnebo nesymetrcý(orentoanýhranoě ohonoc.graf ažá hrana grafu má ohonocení 0. nebo = honoty ; = l 2... n; =12...n toří matc sazeb V=( n =1 symbol yařue sut.že mez rcholy a neexstue hrana nebo e zaázáno oužít 1. ro: V ažém řáu matce V oečteme o šech rů mnmální re řáu. Dostaneme matc V e: = - mn {} ro = n. 2. ro: V ažém slouc matce V oečteme o šech rů mnmální re slouce. Dostaneme matc F e: = mn { } ro = l 2... n. Poznáma: Výsleem l. a 2. rou e mnmálně ena nula ažém řáu a slouc. 3. ro: Kro 3a se roee ouze ř 1.růchou algortmem na roeeme ro 3b. 3a Vytoříme ořen rastromu řešení úlohy E a řřaíme mu honotu b0 ronaící se součtu oečítaných mnmálních honot l. a 2. rou: a řeeme na 4. ro algortmu 6

7 3b Sečteme řáoá a sloucoá mnma oečítaná 1. a 2. rou za účelem ytoření nul reuoané matc a řeeme na 9. ro. Poznáma: Honota b 0 yařue sutečnost že žáná hamltonosá ružnce grafu nebuemít menší honotu než b o. 4. ro: Ohonotíme šechny nuly matc V číslem γ ta ze sečteme mnmální re říslušném -tem řáu -tém slouc (ráě ohonocoanou nulu nebereme na zřetel: 5.ro: Vybereme ole ( l teré obsahue nulu s max.ohonocením γ l=max {γ } toto ole určue lastnost P l (P l (s čarou; P l znamenáže hamlton.ružnce bue obsahoat hranu( /;lastnost P l(s čarouznamenáže hamlton.ružnce hranu( lobsahoat nebue 6.ro: Rozneme rastrom o rchol s lastností P l(s čarou; rchol ohonotíme ta že ohonocení řechůce řčteme γ l 7. ro: Rozneme rastrom o rchol ooíaící lastnost P l yloučíme z matce -tý řáe a l-ty slouec čímž oe reuc matce sazeb o 1řáe a slouec. Ty ry reuoané matcet.by umožnly zn hamltonosé ružnce menší ély než n olož= 8. ro: S matcí terá e ýsleem 7. rou roeeme l. a 2. ro algortmu. 9. ro: S matcí terá e ýsleem 8. rou roeeme 3b ro; honotu součtu řčteme ohonocení řechůce a tímto součtem ohonotíme rchol s lastností P l. 10. ro: Jestlže ýsleem 7. roue matce rozměru l x l e roces uončený oačném říaě oračueme 11. roem. 11. ro: Z sících rcholů ybereme rchol s nemenším ohonocením (e-l ch íce ybereme lboolný z nch. 12. ro: Jestlže ybraný rchol ooíá osleně uažoané lastnost P l řeeme na 4. ro na řeeme na 13. ro. 13. ro: Mohou nastat ě možnost: 13a Vsící rchol ybraný l. rou ooíá lastnost P(s čarouotom matc ooíaící této lastnost změníme honotu = -tém řáu res. -tém slouc určíme mnmální re a tento oečteme o šech honot řáu res. slouce; násleue řecho na 4. ro 13b Vsící rchol ybraný l. rou ooíá lastnost P oračueme 4. roem s matcí ooíaící lastnost P. lboolné rcholy sou řlehlé ( X estlže stát rezentoaný rcholem souseí se státem Graf G = (V X nazeme n zabatelným yž n různým baram můžeme zabart eho rcholy ta aby žáné a řlehlé rcholy neměly stenou baru. Chromatcým číslem grafu - b(g - nazeme to číslo n teré uáá mnmální očet bare otřebných na to aby graf G = (V X byl n - zabartelný. Oha chromatcého čísla- b (G 1+ elta G elta G- maxmální stueň rcholu grafu 44 Heurstcý algortmus barení grafu Hyotéza 5/4 bare Heurstcý algortmus barení grafu 1. ro: Vrcholy grafu G = (V X seřaíme o oslounost P = { } ta aby latlo: st(1 st(2... st(. 2. ro: Položíme = l (rní bara. 3. ro: 3a ybereme z P osu nezabareny rchol terý není řlehlý rcholům ž zabareným barou/ a zabaríme e. 3bostu ole a oaueme ou lze P ybrat alší rchol na řeeme na 4. ro. 4. ro: Pou ř barení rcholů grafu barou nezabaríme šechny rcholy z P oložíme = + l a oračueme 3. roem oačném říaě oračueme 5. roem. 5. ro: Poslení honoty uáá oha chromatcého čísla grafu. 45 Alace ronných grafů Alace ronných grafů: eletrona; exstue n oc boů teré e nutné eletrcy sot. Problém sočíá tom že se yžaue aby maxmální očet soení mohl být "natštěn" na neoou esu a ouze obetně nutný (mnmální očet soů se realzoal lascou technologí tzn. řemostěním a áo áním očů(teleomunace; určoání mnmálního očtu ysílacích ásem ro ysílače telezního ysílání; geografe; barení oltcé may Cílem úlohy obchoního cestuícího e naštít šechny místa (rcholy grafu ažé ouze enou a rátt se o místa ou yšel s tím že zálenost terou ue musí být mnmální. 40 Alace úlohy obchoního cestuícího Přřazoací roblém z. otázy 39 a Ronné grafy Kuratowsého ěta Graf nazeme ronným grafem yž e možné tento graf ronně zareslt. O grafu hooříme že e ronně zareslený yž e zareslen ta že se žáné z eho hran nerotínaí ne než e rcholech. Ronně zareslený graf můžeme taé efnoat násleoně: e to graf e terém žáné ě hrany nemaí solečný ntřní bo hrany e to graf e terém ě hrany mohou mít solečný ouze een a to oncoý bo hrany terý řestaue raní (ncuící rchol hrany. Kuratowsého ěta: Graf e ronný ráě tehy yž neobsahue ograf terý e homeomorfní s grafem K 5 nebo s grafem K Petersonů graf Homeomorfsmus Homeomorfsmus- Uažume a ronné grafy G1 a G2. Graf G1 e homeomorfnís grafem G2 yž: a e s grafem G2 zomorfní (G1 =(s lnooug2 be možné onečným ůlením hran5 (nebo youštěním rcholů grafu G1; osáhnout toho že znlé grafy sou zomorfní. Petersonů graf- není ronný rotože obsahue ograf terý e homeomorfní s grafem 43 Barení grafů Chromatcé číslo grafu Ohay chromatcého čísla Barení grafů Problém určení mnmálního očtu bare otřebných zabarení oltcé may. Př barení oltcé may se ožaue aby státy teré maí solečnou hranc nenuloé ély byly zabareny různou barou. Požaae mnmálního očtu bare sousí s roblémy tsu. Grafcým moelem ol.may e ronný graf němž rcholy řestauí státy. 2 7