Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů"

Transkript

1 Vytvoření kriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a imulace technologických proceů M-file for the Internet Interface Ued in the Subject Analyi and Simulation of Technological Procee. Petr Tomášek Bakalářká práce 007

2 *** nacannované zadání tr. 1 ***

3 *** nacannované zadání tr. ***

4 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ABSTRAKT Tato bakalářká práce e zabývá analýzou a imulací náledujících technologických proceů: průtočný výměník tepla promícháváním, záobníky na kapalinu zapojené za ebou, trychtýřový záobník nekontantním průřezem a kulový záobník nekontantním průřezem. U těchto modelů e imulují tatické a dynamické charakteritiky pomocí M-file ouborů v programu Matlab. Cílem je propojení těchto ouborů pře webové rozhraní za účelem podpory výuky analýza a imulace technologických proceů. Klíčová lova: dynamická charakteritika, tatická charakteritika, bilance, metoda proté iterace, metoda Runge-Kutta, diferenciální rovnice ABSTRACT Thi thei deal with the analyi and imulation of the following technological procee: flow heat exchanger with tirring, two water tank ytem connected one after another, conical tank with a non-contant diameter, and the pherical tank with non-contant diameter. Thoe mode are imulated by tatic and dynamic characteritic uing M-file in the Matlab application. The aim i to make thoe file compatible uing the Internet interface to improve and upport the method when teaching the ubject Analyi and Simulation of Technological Procee. Keyword: dynamic characteritic, tatic characteritic, value balance, the method of imple iteration, the method Runge-Kutta, differential equation

5 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Poděkování: Touto cetou bych chtěl rdečně poděkovat vému vedoucímu bakalářké práce Ing. Jiřímu Vojtěškovi za jeho trpělivot a ochotu ke polupráci, za jehož odborného vedení byla práce dovedena do konečné podoby. Také bych chtěl na tomto mítě poděkovat Ing. Františku Gazdošovi, Ph.D., jehož emináře Analýza a imulace technologických proceů mi rovněž pomohly pochopit některé záležitoti této problematiky. Prohlašuji, že jem na bakalářké práci pracoval amotatně a použitou literaturu jem citoval. V případě publikace výledků, je-li to uvolněno na základě licenční mlouvy, budu uveden jako poluautor. Ve. Zlíně Podpi diplomanta

6 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, OBSAH ÚVOD...8 I TEORETICKÁ ČÁST PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM ANALÝZA PROCESU TEPELNÉ BILANCE ODCHYLKOVÝ MODEL ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU ANALÝZA PROCESU BILANCE SYSTÉMU ODCHYLKOVÝ MODEL TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM ANALÝZA PROCESU BILANCE SYSTÉMU KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM ANALÝZA PROCESU BILANCE SYSTÉMU POUŽITÉ METODY PRO VÝPOČET STATICKÝCH A DYNAMICKÝCH CHARAKTERISTIK V PROGRAMU MATLAB METODA PROSTÉ ITERACE METODA RUNGE-KUTTA... 5 II PRAKTICKÁ ČÁST PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM... 47

7 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA ZÁVĚR SUMMARY SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK SEZNAM OBRÁZKŮ SEZNAM TABULEK SEZNAM PŘÍLOH... 59

8 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ÚVOD Tato bakalářká práce e zabývá analýzou a imulací technologických proceů probíhajících v průtočném výměníku tepla promícháváním, záobnících na kapalinu zapojených za ebou, trychtýřovém záobníku nekontantním průřezem a kulovém záobníku nekontantním průřezem. Tato práce je rozdělena na teoretickou a praktickou čát. V teoretické čáti e provádí analýza proceů v jednotlivých modelech, při níž e pecifikují děje, které v proceu probíhají a určí e veličiny popiující daný model. Výledkem je pak teoretický model, na jehož základě potupně etavujeme matematický model proceu, ve kterém e využijí matematické rovnice vyjadřující známé zákony a vztahy. Z tohoto matematického popiu dále můžeme etavit řešení modelu pro imulační program, kterým e zabývá praktická čát. V praktické čáti e provádí imulace tatických a dynamických vlatnotí jednotlivých modelů na základě matematického popiu z teoretické čáti. Pro imulaci tatické charakteritiky e využívá metoda proté iterace (MPI) a pro imulaci dynamické charakteritiky zae metoda Runge-Kutta. Na základě těchto metod je etaven výpočetní program v jazyku Matlab. Vytvořené programy jou propojené pře webové rozhraní Matlab web erveru (MWS). Tyto programy imulují chování daných ytémů a umožňují náledné vyhodnocení výledků na základě zadaných hodnot.

9 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, I. TEORETICKÁ ČÁST.

10 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM Analýza proceu Jedná e o výměník tvořený nádobou pláštěm za předpokladu dokonalého promíchávání. Do nádoby natéká výchozí chlazená kapalina o objemovém průtoku q a teplotě T v a do pláště chladící kapalina o objemovém průtoku q c a teplotě T cv.. Pro zjednodušení modelu zanedbáme tepelnou kapacitu těny oddělující obě kapaliny. Otatní veličiny, které proce popiují jako koeficient přechodu tepla a průtoky, objemy, hutoty a měrná tepla obou kapalin budou kontantní. Sytém průtočného výměníku tepla chlazením v plášti je zobrazen na obr. 1., kde q jou označeny jako objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ], V objemy v [m 3 ], F přetupná plocha v [m ], α koeficient přechodu tepla v [kj m - K -1 min -1 ], T teploty v [K] a index ( ) c označuje chladicí kapalinu a bez indexu označujeme chlazenou kapalinu. Obr. 1. Průtočný výměník tepla chlazením v plášti Tepelné bilance Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE

11 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Slovní vyjádření bilance chlazené kapaliny Na základě bilancí můžeme charakterizovat tav tohoto proceu hodnotami veličin, které jej popiují. Matematické vztahy mezi těmito veličinami jou v záviloti na čae. Z tepelné bilance chlazené kapaliny zíkáme náledující lineární diferenciální rovnici 1. řádu dt q ρ c ptv = q ρc pt + Fα ( T Tc ) + Vρc p (1.1) dt Tuto diferenciální rovnici můžeme dále upravit na tvar dt dt = q Tv V q Fα T V Vρ c p ( c T T ) (1.) Pro počáteční podmínky T 0) = T (, kde ρ je hutota chlazené kapaliny v [kg m -3 ] a c p měrné teplo chlazené kapaliny v [kj kg -1 K -1 ]. Slovní vyjádření bilance chladící kapaliny Z tepelné bilance chladící kapaliny zíkáme druhou lineární diferenciální rovnici 1. řádu dtc qc ρ c c pctcv + Fα ( T Tc ) = qc ρc c pctc + Vc ρc c pc (1.3) dt Opět upravený tvar diferenciální rovnice chladící kapaliny, který má tvar dt dt c q Fα c = Tcv + ( T Tc ) Vc Vc ρc c pc q V c c T c (1.4)

12 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Pro počáteční podmínkyt ( 0) =, kde ρ c je hutota chladící kapaliny v [kg m -3 ] a c pc c T c měrné teplo chladící kapaliny v [kj kg -1 K -1 ]. Můžeme kontatovat, že model popaný rovnicemi (1.1), (1.3) je lineární, protože vztahy mezi vtupními a výtupními veličinami jou lineární. Jedná e také o model ytému e outředěnými parametry, protože v proceu dochází k dokonalému promíchávání obou kapalin a tím pádem obě ledované tavové veličiny jou nezávilé na ouřadnicích Odchylkový model Odchylkový tvar zíkáme náledujícím způobem. Nejdříve model uvedeme do utáleného tavu. Utálený tav zíkáme anulováním čaových derivací v rovnicích (1.), (1.4) a dále nahradíme vtupní a výtupní veličiny jejich utálenými hodnotami. Poté i vyjádříme dvě tavové veličiny T a Tc z rovnic utáleného tavu. Náledně změníme vtupní a výtupní hodnoty a jejich odchylky od utáleného tavu původních veličin nám dají odchylkový model ve tvaru u x 1 ( t) = T ( t) = T ( t) T, x ( t) = Tc ( t) = Tc ( t) Tc (1.5) 1 ( t) = Tv ( t) = Tv ( t) Tv, u ( t) = Tcv ( t) = Tcv ( t) Tcv (1.6) Dále po doazení odchylkových rovnic (1.5), (1.6) do rovnic (1.1), (1.3) dotaneme odchylkový tvar dx1 Vρ cp + ( qρcp + F α) x1 Fαx = qρcpu1 (1.7) dt dx Vc ρ ccpc + ( qcρcc pc + Fα) x F αx1 = qcρcc pcu (1.8) dt nulovými počátečními podmínkami x 1 (0) = x (0) = 0. Rovnice ve tvaru (1.7), (1.8) upravíme tak, že oamotatníme derivace výtupních veličin a zjednodušíme model zavedením kontant a 11, a1, a1, a, b11, b. Model pak dotaneme ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1x + b11 u 1 (1.9) dt dx = a1x1 + a x + b u (1.10) dt

13 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, kde q Fα a 11 = +, V Vρc p a Fα 1 =, Vρc p a Fα 1 =, V c ρccpc qc Fα a = +, Vc Vcρcc pc q b = V 11, q b = c. Vc Odchylkový tvar rovnic (1.9), (1.10) nám louží k počítání dynamické charakteritiky modelu nulovými počátečními podmínkami.

14 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU 1..1 Analýza proceu Matematický model válcových záobníků na kapalinu je určený pro ledování výšky hladiny kapaliny v něm v záviloti na změnách přítoku. Do obou záobníků přitékají kapaliny q 1v a q v a na odtoku z nádrže vytékají pře ventil. Tyto propojené záobníky jou válcového tvaru a jou zapojené za ebou. Oba záobníky jou ve tejné výšce, jou otevřené a průřezy záobníků jou tejné. Sytém záobníků na kapalinu je zobrazen na obr.., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3-1 ], h výšky hladin v [m] a F průřezy záobníků v [m ] bez ohledu na indexy. Obr.. Záobníky na kapalinu zapojené za ebou 1.. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE Slovní vyjádření bilance pro oba záobníky

15 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Při bilancování celého ytému je bilancovanou veličinou množtví kapaliny, které můžeme vyjádřit objemem V 1 pro první záobník a V pro druhý záobník. Potom zíkáme bilanční rovnice ve tvaru dvou diferenciálních rovnic dv = q1, dt 1 q1 v + dv + q1 = q (1.11) dt q v + Změny objemů V 1 a V můžeme také vyjádřit jako změnu výšek hladin v jednotlivých záobnících v záviloti na průřezech záobníků. V našem případě jou průřezy záobníků tejné. Tento vztah je vyjádřen tvarem dv = F dh a rovnici (1.11) tedy můžeme přepat na tvar Pro počáteční podmínky dh 1 F1 q1 = q1v dt dh +, F + q q1 = qv (1.1) dt h1 ( 0) h1, h (0) = h =, což znamená že na počátku odpovídá výška hladiny utálenému tavu. Jelikož průtoky kapalin vytékají ze záobníků pře ventily, muíme brát v úvahu závilot hydrotatických tlaků půobících na tyto ventily. Jedná e o druhou odmocninu z rozdílu tlaků kapaliny před a za ventilem. Pro náš případ jou hydrotatické tlaky úměrné výškám hladin v záobnících, takže průtoky můžeme vyjádřit dvěma nelineárními rovnicemi q 1 k1 h1 h =, q = k h (1.13) kde k 1, k jou kontanty ventilu. Tento matematický model můžeme popat dvěmi diferenciálními rovnicemi (1.1) a dvěmi nelineárními rovnicemi (1.13). Na základě těchto dvou nelineárních rovnic můžeme tvrdit, že e jedná o nelineární model Odchylkový model Pro zíkání odchylkového tvaru nejdříve převedeme model do utáleného tavu. Z utáleného tavu potom můžeme určit počáteční podmínky, které nám náledně pomohou k etavení linearizovaného modelu a který bude oučaně modelem odchylkovým. Pro utálený tav platí, že průtok q q1 v 1 = a q q1 v + q v doazení těchto vztahů do rovnic (1.13) obdržíme dvě rovnice = a výška hladiny h h 1 >. Po

16 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, q1 v k1 h1 h =, q1 v q v = k h + (1.14) Nyní i z rovnic (1.14) vyjádříme utálené hodnoty výšek hladin h 1 a h. Potom z výšek hladin a vtupních průtoků provedeme odchylky od počátečního utáleného tavu j j j j x ( t) = h ( t) = h ( t) h, u ( t) = q ( t) = q ( t) q, pro j = 1, (1.15) Dále pak převedeme rovnice (1.1) do odchylkového tvaru j jv jv jv d h 1 F1 + q1 = q1v dt d h, F + q q1 = qv dt (1.16) Náledně dochází k linearizaci modelu, když pomocí Taylorova rozvoje nahradíme odchylky průtoků lineárními členy v okolí pracovního bodu ( dotaneme h1 h, ). Pro tyto odchylky potupně q1 q1 q + 1 h1 h h1 h = 1 h k 1 h ( h 1 h k1 h1 h ) = ( h h ) 1 ( h 1 h ) = q1 = ( h1 h ) = K 1( h1 h ) (1.17) ( h h ) 1 q q h h = k h h k q h = h = h = K h (1.18) h h Vyjádříme-li koeficienty K 1 a K, které jou závilé na poloze pracovního bodu a rovněž na počátečním utáleném tavu dotaneme rovnice K q1 q =, K = (1.19) ( h h ) h 1 1 Při další úpravě doadíme rovnice (1.17) a (1.18) polu rovnicemi (1.15) do rovnic (1.16) a tím už dotaneme linearizovaný odchylkový model ytému ve tvaru dx1 F 1 + K1( x1 x ) = u1 (1.0) dt dx F + K x K1( x1 x ) = u (1.1) dt

17 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Počáteční podmínky budou nulové x 1 (0) = x (0) = 0. Rovnice ve tvaru (1.0), (1.1) upravíme a zjednodušíme zavedením kontant a 11, a1, a1, a, b11, b. Model pak dotaneme ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1 x + b11 u 1 (1.) dt dx = a1x1 + a x + b u (1.3) dt kde K K K K + K 1 a = =, a1 =, a1 =, a =, b11 =, b. F1 F1 F F F1 F 1 Tento linearizováný odchylkový model obahuje v kontantách a ij již zmíněné koeficienty K 1 a K a tím pádem je závilý na počátečním utáleném tavu ytému a na poloze pracovního bodu. S nulovými počátečními podmínkami použijeme tento odchylkový tvar rovnic (1.), (1.3) k počítání dynamické charakteritiky modelu.

18 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM Analýza proceu V modelu trychtýřového záobníku e opět budeme zabývat změnou výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Do záobníku nám přitéká kapalina q v, která vytéká pře ventil. Tento záobník je nekontantního průřezu. Sytém trychtýřového záobníku je zobrazen na obr. 3., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ] bez ohledu na index, h je výška hladiny v [m], H je výška záobníku v [m], d je průměr záobníku ve výšce hladiny v [m] a D je průměr záobníku v [m]. Obr. 3. Trychtýřový záobník nekontantním průřezem 1.3. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE

19 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Slovní vyjádření bilance pro trychtýřový záobník Bilancovanou veličinou je množtví kapaliny, které vyjádříme objemem V a ytém popíšeme diferenciální rovnicí ve tvaru dv q v = q + (1.4) dt Tuto diferenciální rovnici lze přepat na tvar, ve kterém změnu objemu vyjádříme pomocí vztahu dv = F dh a pak dotáváme rovnici q v dh = q + F (1.5) dt Odtok ze záobníku vytéká pře ventil. Na ventil půobí hydrotatické tlaky (viz. záobníky na kapalinu), které jou úměrné výšce hladiny v záobníku. Proto pro tento případ platí nelineární vztah přepat na tvar q = k h, který po doazení do rovnice (1.5) nám umožní tuto rovnici q v dh = k h + F (1.6) dt Jelikož je průřez F kruhového tvaru, můžeme ho také vyjádřit jako Pro pravoúhelný trojúhelník obecně platí vztah d F = π (1.7) 4 tg α = a, který můžeme využít v našem b modelu. Pravoúhlý trojúhelník lze vidět na obr. 3., kde je pro ná trana trojúhelníku a=d/ a b=h. Tento vztah potom upravíme pro náš model a dotaneme ho ve tvaru d / tgα = d / = tgα h (1.8) h

20 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, a zároveň platí D/ D tgα = = (1.9) H H Potom po doazení do rovnice (1.8) dotáváme d D = tgα h = h H d 4 D = h (1.30) 4H Dále pro úpravu plochy průřezu doadíme rovnici (1.30) v umocněném tvaru do rovnice (1.7) a zíkáme náledující vztah π d F = 4 π D = h 4H (1.31) Nyní můžeme přepat bilanční rovnici (1.6) na tvar q v = k dh h + F = k dt π D h + 4H h dh dt (1.3) Náledně oamotatníme na levou tranu derivaci výšky hladiny h podle čau t z rovnice (1.3) a dotaneme dh dt = q v π D 4H k h h = ( q k h ) v π D 4H h (1.33) Tato výledná rovnice e použije pro počítání dynamické charakteritiky, kde počáteční podmínkou bude h 0) = h (.

21 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM Analýza proceu Model kulového záobníku je podobný trychtýřovému záobníku, liší e pouze tvarem a potupem při odvozování bilanční rovnice. Do kulového záobníku přitéká kapalina q v, u které změníme přítok a budeme zjišťovat změnu výšky hladiny v záobníku. Přítok kapaliny q v vytéká pře ventil. Záobník má nekontantní průřez. Sytém kulového záobníku je zobrazen na obr. 4., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ] bez ohledu na index, h je výška hladiny v [m] a D je průměr záobníku v [m]. Obr. 4. Kulový záobník nekontantním průřezem 1.4. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE

22 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 Slovní vyjádření bilance pro kulový záobník Diferenciální rovnice popiující daný děj ytému je tejná jako u předešlého modelu. Tvar rovnice je dv q v = q + (1.34) dt Po tejných úpravách jako u trychtýřového záobníku můžeme rovnici (1.34) přepat na tvar q v dh = k h + F (1.35) dt Opět využijeme pro průřez obah kruhu a vyjádříme ho ve tvaru d F = π (1.36) 4 Dále využijeme Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelníka a podle obr. 4. platí Po úpravě této rovnice dotáváme D D x + h = (1.37) x = D h h = h ( D h) (1.38) A jetliže d x = 4, pak můžeme doadit rovnici (1.38) do (1.36) a zíkáme Bilanční rovnice (1.35) nám potom dá tvar q v ( D h) h F =π (1.39) dh dh = k h + F = k h + π ( D h) h (1.40) dt dt

23 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Po oamotatnění derivace na levou tranu, dotaneme výlednou diferenciální rovnici pro počítání dynamiky počáteční podmínkou h 0) = h (. Rovnice má tvar dh dt qv k h = (1.41) π ( D h) h Při tvorbě analýzy proceů a odvozování matematických modelu v teoretické čáti parafrázuji použitou literaturu [4].

24 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, POUŽITÉ METODY PRO VÝPOČET STATICKÝCH A DYNAMICKÝCH CHARAKTERISTIK V PROGRAMU MATLAB Pro výpočet tatických charakteritik e nejčatěji využívá metody proté iterace, co e dynamických metod týče, pak metody Runge-Kutta. Tyto metody jou pro modely popiované v této práci plně dotačující. Obě jou zahrnuty v matematických funkcích programu Matlab, jehož integrované protředí je z tohoto důvodu využito pro řešení a imulaci modelů Metoda proté iterace Pro potupy využívané při imulaci utáleného tavu ytému je tedy využito metody proté iterace (MPI). Tato metoda e používá pro řešení outav nelineárních rovnic. Pro ytémy lineárních rovnic e prakticky nepoužívá. MPI tedy můžeme použít pro numerické řešení rovnic, které mohou být ve tvaru ( x) = 0 f (1.4) Iterační úlohy jou založeny na řešení rovnic (1.4) převedených do ekvivalentního tvaru ( x) x = g (1.43) Tato rovnice louží na nalezení pevných bodu funkce g. Pro ekvivalentnot úloh platí, jetliže ξ je pevný bod funkce g, pak ξ je kořen funkce f a naopak. Dále platí věta, jetliže g C [a,b], g: [a,b] [a,b] pak funkce g má v intervalu [a,b] pevný bod. A jetliže g navíc plňuje Liphitzovu podmínku kontantou q ve vztahu pro x, y [ a, b] g ( x) g( y) q x y pak g má v intervalu jediný pevný bod. Za předpokladu, že [ a b] x,, kde 0 q < 1 (1.44) g C [a,b], g: [a,b] [a,b] e pak zvolí počáteční aproximace 0 a poté e generuje poloupnot { } k k =0 k+1 x = g x náledujícím způobem k ( x ), k=0,1, (1.45)

25 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Pak funkci g nazýváme iterační funkcí a uvedenou metodu iterační metodou nebo metodou proté iterace. Uvedená metoda patří mezi jednokrokové metody. Obecně pak pro j- krokové metody platí vztah Za již zmíněných předpokladů, kde 0 [ a b] je poloupnot { } k k k 1 x k, = g( x ) =0 x, k k 1 k j+ 1 ( x, x,..., x ) k + 1 x = g, k=0,1, (1.46) g C [a,b], g: [a,b] [a,b] pro počáteční konfiguraci x konvergentní a platí, že k lim x =ξ (1.47) k kde ξ je pevný bod funkce g. Nechť pro funkci g jou plněny předchozí předpoklady a k pro poloupnot { } k=0 x, x [ a, b] 0, ( ) k k 1 = g x x dále platí x q 1 q k k 0 1 ξ x x, 1 k (1.48) Při popiu metody proté iterace vycházím ze zdroje [1] uvedeného v eznamu použité literatury Metoda Runge-Kutta Metoda Runge-Kutta patří mezi krokové metody a bere do úvahy i členy vyšších řádů. Potřebné derivace funkce f(t,x) počítá ložitější diferenční metodou pomocí dalších pomocných bodů mezi ouedními uzly v íti. Obecně lze metody Runge-Kutta zapat náledovně i = ki f t α ih, xn h βijk j (1.49) j= 1 p n+ 1 = xn + h wi ki (1.50) i= 1 x Koeficienty u těchto metod jou vypočteny tak, aby metoda řádu p odpovídala Taylorovu polynomu funkce x(t) tejného řádu.

26 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Metod Runge-Kutta je více. Klaická metoda 4. řádu je oučátí funkce ode45 a je vyjádřena z rovnic (1.49), (1.50) a vypadá náledovně ( ) k 1 = f t n, x n (1.51) k h h = f tn +, xn + k1 (1.5) h h k3 = f tn +, xn + k k4 = f ( tn + h, xn + k3h) (1.53) ( t + h x k h) k4 = f n, n + 3 (1.54) h xn + 1 = xn + ( k1 + k + k3 + k4 ) (1.55) 6 Pomocné hodnoty k i předtavují derivace tavu ytému ve peciálních bodech na začátku, na konci a uprotřed intervalu t n, t n + 1. V případě fázového protoru vyšší dimenze m (m>1) je tav ytému popán vektorem x a dynamický ytém vektorovou funkcí f(t,x). Algoritmu Runge-Kutta je pak třeba pát ve vektorové formě, takže pomocné hodnoty k i budou m-ložkové vektory. Pak outava rovnic vyjádřená ze vztahu (1.51) vypadá náledovně ( t x, x x ) k,..., = f n, (1.56) 11 1 n1, n nm ( t x, x x ) k 1 = f,..., (1.57) n, n1, n nm ( t x, x x ) k,..., 1 m = fm n, n1, n nm (1.58) Metodu Runge-Kutta lze použít pro řešeni obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Díky tomu je tato metoda oučátí matematické funkce Matlabu ode45, která je použita při řešení dynamických charakteritik. Funkce ode45 využívá metody Runge-Kutta pro numerické řešení ODR, které obahují derivace jen podle jedné proměnné. Ode45 lze použít pro řešení ODR jak prvního tak i vyššího řádu. Syntaxe funkce ode45 má náledující tvar: [T, Y] = ode45( název funkce, čaový interval, počáteční podmínky)

27 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, kde název funkce čaový interval je název M-file ouboru popiujícího outavu diferenciálních rovnic, v němž je obažena funkce e yntaxí dy = název funkce(t, y), ve které je dy loupcový vektor, předtavující hodnoty derivací pro vektor hodnot y v čae t je vektor o dvou prvcích počáteční a koncový ča řešení počáteční podmínky je vektor počátečních podmínek y 0, pro který platí y(t 0 ) = y 0 T Y je loupcový vektor obahující čaové okamžiky řešení je matice vlatního řešení Při definici funkce Runge-Kutta jem čerpal ze zdroje [] a při popiu funkce ode45 ze zdroje [3], které jou uvedené v eznamu použité literatury.

28 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, II. PRAKTICKÁ ČÁST

29 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM.1.1 Statická charakteritika Statická charakteritika popiuje model v utáleném tavu, který je charakterizován rovnicemi q ρ c T = q ρ c T + Fα ( T T ) (.1) p v p c q c ρ c c pct + Fα ( T T ) = q cv c c ρ c c pct (.) c Jde o rovnice původního modelu u nichž byla anulována derivace podle čau. Po vyjádření tavových veličin T, T jou tyto rovnice ve tvaru c T T c q ρ c ptv + FαTc = (.3) q ρ c + Fα p qc ρc c pctcv + FαT = (.4) q ρ c + Fα c c pc Ve tatické charakteritice e počítá závilot těchto utálených teplot T a Tc na změnách intervalu průtoku q a q c. Při změně intervalu průtoku q e průtok q c nemění a počítá e průběh teplot T a Tc pro utálený tav v daném intervalu průtoku q. Pro změnu intervalu průtoku q c to platí obdobně. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q 0 [m 3 min -1 ] Krok intervalu pro různý průtok q 0,0005 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q 1 [m 3 min -1 ] Začátek intervalu pro různý průtok q c 0 [m 3 min -1 ] Krok intervalu pro různý průtok q c 0,0005 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q c 1 [m 3 min -1 ]

30 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Tab.. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Objemový průtok chlazené kapaliny q 0,08 [m 3 min -1 ] Objemový průtok chladící kapaliny q c 0,03 [m 3 min -1 ] Objem chlazené kapaliny V 1, [m 3 ] Objem chladící kapaliny V c 0,64 [m 3 ] Hutota chlazené kapaliny ρ 985 [kg m -3 ] Hutota chladící kapaliny ρ c 998 [kg m -3 ] Měrné teplo chlazené kapaliny c p 4,05 [kj kg -1 K -1 ] Měrné teplo chladící kapaliny c pc 4,18 [kj kg -1 K -1 ] Přetupná plocha F 5,5 [m ] Koeficient přechodu tepla α 43,5 [kj m - min -1 K] Teplota chlazené kapaliny na vtupu Teplota chladící kapaliny na vtupu T v T cv 33 [K] 93 [K] Vyhodnocením jou 4 grafy imulující tatické chování průtočného výměníku tepla na základě zadaných vtupních hodnot. Grafy jou zobrazeny na obr. 5.

31 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 5. Průběhy utálených teplot T a Tc v záviloti na změnách průtoku q a q c Na obr. 5. je vidět průběh teplot chlazené a chladící kapaliny v záviloti na změně průtoku. Reakce na změnu průtoku q u teploty chlazené kapaliny T e projevila zvýšením a náledným utálením teploty. Teplota chladící kapaliny T c reagovala také zvýšením a náledným utálením vé teploty. Po odezvě změny průtoku q je utálená teplota chlazené kapaliny vyšší než utálená teplota chladící kapaliny. Odezva na změnu průtoku q c e projevila u teploty chlazené i chladící kapaliny nížením a náledným utálením teplot. Při této změně průtoku je utálená teplota chlazené kapaliny vyšší než utálená teplota chladící kapaliny. Z těchto teplot v utáleném tavu e pak mohou určit polohy pracovních bodů. Program tatické charakteritiky je v příloze P I pod názvem Průtočný výměník tatická charakteritika. Program je propojený pře Matlab web erver (MWS), kde e pře webové rozhraní zadávají vtupní hodnoty a naopak vypočtené hodnoty e pošlou opět pře MWS na internetové tránky. Na obr. 6. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky.

32 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 6. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.1. Dynamická charakteritika Dynamická charakteritika e řeší z odchylkového modelu jako funkce čau při nulových počátečních podmínkách. Rovnice mají tvar dx 1 = a11x1 + a1x + b11 u 1 (.5) dt dx dt = a x + a x + b u (.6) 1 1 V dynamice ledujeme jak e změní průběh teploty chlazené kapaliny T a chladící kapaliny T c při kokové změně průtoku q a q c za daný čaový průběh imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky.

33 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Tab. 3. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 150 [] Skoková změna průtoku chlazené kapaliny q [m 3 min -1 ] Skoková změna průtoku chladící kapaliny q c 3 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr.. Výtupem jou grafy dynamického chování průtočného výměníku, které jou zobrazeny na obr. 7. a obr T [K] t[min] Obr. 7. Průběh teploty chlazené kapaliny v záviloti na čae

34 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ] T c[k t[min] Obr. 8. Průběh teploty chladící kapaliny v záviloti na čae Na obr. 7. můžeme pozorovat čaový průběh teploty chlazené kapaliny při kokové změně průtoku q. Graf na obr. 8. ukazuje průběh teploty chladící kapaliny při kokové změně průtoku q c. U obou grafů e dynamické vlatnoti projevily přechodovou charakteritikou 1. řádu, která udává závilot kokové změny na čae. Z přechodové charakteritiky e pak může určit čaová kontanta a zeílení outavy. Po odezvě kokové změny a vyhodnocení přechodové charakteritiky lze vidět, že teplota chladící kapaliny T c je větší než teplota chlazené kapaliny T. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P II pod názvem Průtočný výměník dynamická charakteritika a tvoří ho 3 M-file oubory (vymenik.m, vymenik_hlavni.m, vymenik_kontanty.m), které polu navzájem komunikují. Dynamika e v programu počítá pomocí funkce ode45 pro řešení diferenciálních rovnic. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 9.

35 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 9. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant

36 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU..1 Statická charakteritika Ve tatické charakteritice je uveden model v počátečním utálením tavu, pro který platí vztahy q q1 v v 1 = a q = q1 + q v. Za těchto podmínek je utálený tav ve tvaru q1 v k1 h1 h =, q1 v q v = k h + (.7) kde k 1, k jou kontanty ventilu. Po vyjádření utálených výšek hladin z rovnic (.7) dotaneme dvě rovnice, které nám umožní určení počátečních podmínek a také možnot vypočítat polohu pracovního bodu ( h h 1, ). Rovnice mají tvar q1 v 1 = + h k1 h, h q + q = v 1v k (.8) počátečními podmínkami výška hladiny utálenému tavu. h1 ( 0) h1, h (0) = h =, což znamená že na počátku odpovídá Ve tatické charakteritice počítáme změnu výšky hladin v záobnících. Tyto změny budeme ledovat v záviloti na změnách přítoku bude přítok q 1 v a q v kontantní a počítá e utálená výška hladiny q v. To znamená, že při změně přítoku q 1 v h 1 v prvním záobníku a h v druhém záobníku. Totéž e provede při změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab.4. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku

37 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q 1v 0 [m 3-1 ] Krok intervalu pro různý průtok q 1v 0,1 [m 3-1 ] Konec intervalu pro různý průtok q 1v 1 [m 3-1 ] Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3-1 ] Krok intervalu pro různý průtok q v 0,1 [m 3-1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3-1 ] Tab. 5. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Objemový průtok kapaliny v prvním záobníku Objemový průtok kapaliny v druhém záobníku q 1 v 0,5 [m 3-1 ] q v 0,3 [m 3-1 ] Výška hladiny v prvním záobníku Výška hladiny v druhém záobníku h 1 h 1,5 [m] 1 [m] Průřez prvního záobníku F 1 [m ] Průřez druhého záobníku F [m ] Vyhodnocením jou 4 grafy, které charakterizují tatické chování záobníku na kapalinu za daných podmínek. Grafy jou zobrazeny na obr. 10.

38 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 10. Průběhy výšek hladin h 1 a na změnách průtoku q 1v a q v h v záviloti Na obr. 10. můžeme pozorovat reakci na změnu jednotlivých průtoku v podobě průběhu výšek hladin v jednotlivých záobnících. Odezva na změnu průtoku q 1v v prvním záobníku e projevila zvýšením hladiny v obou záobících, přičemž platí h h 1 >. Při změně průtoku q v e výšky hladin opět zvýší a h 1 bude zae větší než h. Po utálení výšek hladin e mohou určit polohy pracovních bodu h 1, h v okolí kterých e provádí linearizace. Program tatické charakteritiky je v příloze P III pod názvem Záobníky na kapalinu tatická charakteritika. Program je propojený pře MWS na tejném principu jako u předešlého modelu. Na obr. 11. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky.

39 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 11. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme řešit podobně jako u modelu průtočného výměníku tepla. Akorát u tohoto modelu e nejdříve muí nelineární model linearizovat.. Proto e dynamika bude počítat z linearizovaného odchylkového modelu jako funkce čau. Počáteční podmínky budou nulové. Rovnice jou ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1 x + b11 u 1 (.9) dt dx = a1x1 + a x + b u (.10) dt V dynamice pozorujeme změnu výšek hladin v jednotlivých záobnících při kokových změnách přítoků do jednotlivých nádrží záobníků v záviloti na čaovém průběhu imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky.

40 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Tab. 6. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 00 [] Skoková změna průtoku q 1v 0,09 [m 3-1 ] Skoková změna průtoku q v 0,05 [m 3-1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 5. Výtupem jou grafy, které charakterizují dynamické chování záobníku na kapalinu za daných podmínek. Grafy jou zobrazeny na obr. 1. a obr ] 1 [m h t[] Obr. 1. Průběh výšky hladiny v prvním záobníku v záviloti na čae

41 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ] [m h t[] Obr. 13. Průběh výšky hladiny v druhém záobníku v záviloti na čae Na obr. 1. můžeme pozorovat čaový průběh výšky hladiny h 1 při kokové změně průtoku q 1v. Na obr. 13. lze vidět čaový průběh výšky hladiny h při kokové změně průtoku q v. Po odezvě kokových změn je výška hladiny v prvním záobníku vyšší než výška hladiny v druhém záobníku. Průběh změn výšek hladin e projevil přechodovými charakteritikami 1. řádu. Z těchto přechodových charakteritik dále můžeme určit čaové kontanty a zeílení outavy pro jednotlivé průběhy výšek hladin. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P IV pod názvem Záobníky na kapalinu dynamická charakteritika a tvoří ho 3 M-file oubory (zaobnik.m, zaobnik_hlavni.m, zaobnik_kontanty.m). Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 14.

42 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 14. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant

43 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM.3.1 Statická charakteritika Statickou charakteritiku vyjadřuje rovnice počátečního utáleného tavu ve tvaru q v = k h (.11) Z této rovnice můžeme vypočítat utálenou výšku hladiny h q = k v (.1) Ve tatické charakteritice budeme řešit utálenou výšku hladiny v záobníku v záviloti na změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 7. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3 min -1 ] Kontanta ventilu Tab. 8. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Průměr záobníku D Výška záobníku H Výška hladiny h [m] 3 [m] [m] Objemový průtok kapaliny q v 0,6 [m 3 min -1 ] Vyhodnocením je zobrazený graf na obr. 15., který imuluje tatické chování trychtýřového záobníku.

44 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 15. Průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku Na obr. 15. je vidět průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Po odezvě na změnu přítoku a zvolení zadané kontanty ventilu bude výška hladiny toupat než e dotane do rovnovážného tavu. Program tatické charakteritiky je v příloze P V pod názvem Trychtýřový záobník tatická charakteritika. Na obr. 16. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky. Obr. 16. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant

45 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme počítat z diferenciální rovnice popiující daný děj. h = h Počáteční podmínky budou ( ) 0. Rovnice má tvar dh dt = ( q k h ) v π D 4H h (.13) kde k je kontanta ventilu, která je vyjádřena z utáleného tavu a má tvar k = qv (.14) h V dynamice e zabýváme změnou výšky hladiny záobníku při kokové změně přítoku do záobníku v záviloti na čaovém průběhu imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky. Tab. 9. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 150 [min] Skoková změna průtoku q v 0,7 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 8. Výtupem je graf imulující dynamické chování trychtýřového záobníku zobrazený na obr. 17.

46 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, h [m ] t[min] Obr. 17. Průběh výšky hladiny v záviloti na čae Na obr. 17. můžeme vidět čaový průběh výšky hladiny v záobníku. Z reakce na kokovou změně přítoku do záobníku, lze vidět že výška hladiny v záobníku toupne. Průběh výšky hladiny e projevil přechodovou charakteritikou, která opět může vypovědět o zeílení outavy či o čaové kontantě. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P VI pod názvem Trychtýřový záobník dynamická charakteritika. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 18. Obr. 18. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant

47 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM.4.1 Statická charakteritika Statickou charakteritiku řešíme tejně jako u modelu trychtýřového záobníku. Rovnice počátečního utáleného tavu je q v = k h (.15) Utálená výška hladiny vyjádřená z předešlé rovnice má tvar h q = k v (.16) V tomto záobníku ve tatické charakteritice budeme opět počítat změnu výšky hladiny v utáleném tavu v záviloti na změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 10. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3 min -1 ] Kontanta ventilu Tab. 11. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Průměr záobníku D Výška hladiny h 5 [m] 3 [m] Objemový průtok kapaliny q v 0,6 [m 3 min -1 ] Vyhodnocením je graf zobrazený na obr. 19., který charakterizuje tatické chování kulového záobníku na základě zadaných hodnot.

48 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 19. Průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku Na obr. 19. můžeme pozorovat průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Chování ytému je podobné jak u trychtýřového záobníku. Při změně přítoku a zadané kontanty bude výška hladiny toupat než e dotane do utáleného tavu. Program tatické charakteritiky je v příloze P VII pod názvem Kulový záobník tatická charakteritika. Na obr. 0. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky Obr. 0. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant

49 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme počítat z diferenciální rovnice popiující daný děj. S h = h počátečními podmínkami ( ) 0. Rovnice má tvar dh dt q v k h = (.17) π ( D h) h kde k je kontanta ventilu, která je vyjádřena z utáleného tavu a má tvar k = qv (.18) h V dynamice e zabýváme tejným problémem jako u trychtýřového záobníku. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky. Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 800 [min] Skoková změna průtoku q v 0,75 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 11. Vyhodnocením je graf zobrazený na obr. 1., který charakterizuje dynamické chování kulového záobníku.

50 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, h [m ] t[min] Obr. 1. Průběh výšky hladiny v záviloti na čae Na obr. 1. můžeme vidět čaový průběh výšky hladiny v záobníku. Reakce na kokovou změnu přítoku e opět projevila zvýšením výšky hladiny v záobníku v podobě přechodové charakteritiky. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P VIII pod názvem Kulový záobník dynamická charakteritika. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr.. Obr.. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant V praktické čáti jem používal literaturu [5], [6].

51 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ZÁVĚR Hlavním cílem této bakalářké práce bylo vytvoření M-file ouborů v programu Matlab, které budou chopny odimulovat tatické a dynamické charakteritiky technologických modelů využitím MWS. Propojení programů pře MWS zajišťuje možnot chování modelů prakticky vyzkoušet a pozorovat pře webové rozhraní. Zde uživatel zadá vtupní hodnoty, ty jou odelány ke zpracování programem a vypočtené hodnoty e náledně pošlou opět pře MWS na internetové tránky uživateli. M-file oubory bylo tedy potřeba vytvořit takovým způobem, aby program byl chopen zpracovat a vyhodnotit jakékoliv libovolné zadání vtupních hodnot. Proto analýza, která programování předcházela, muela být provedena na zcela obecné úrovni. Po odvození matematického modelu průtočného výměníku tepla můžeme kontatovat, že e jedná o lineární model e outředěnými parametry. Při imulaci tatické charakteritiky e model převedl do utáleného tavu a dynamická charakteritika e imulovala z odchylkového tvaru. Simulování tatického chování vnitřní proměnné za daných podmínek e projevilo změnou teplot obou kapalin přechodem do utáleného tavu. Při změně průtoku chlazené kapaliny e teploty zvýšily a při změně průtoku chladící kapaliny obě teploty zae klely. Z utáleného tavu těchto teplot e dále může určit poloha pracovního bodu. Při imulaci dynamického chování při nulových počátečních podmínkách e průběh teplot projevil přechodovou charakteritikou, která může vypovědět o čaové kontantě a o zeílení outavy. U matematického modelu záobníku na kapalinu zapojených za ebou e ukázalo, že e jedná o nelineární model. Tento model bylo potřeba zlinearizoval a vyjádřit odchylkový tvar potřebný pro imulaci dynamiky. Při imulaci tatické charakteritiky výšky hladin toupnou a utálí e na nové hodnotě rovnovážného tavu, ze kterého e může určit poloha pracovního bodu v okolí kterého tento model linearizujeme. U imulace dynamického chování při nulových počátečních podmínkách e výška hladin projevila přechodovou charakteritikou, ze které e opět může zhodnotit čaová kontanta a zeílení outavy. U trychtýřového i kulového záobníku e rovněž jedná o nelineární modely. Při imulaci tatického chování u těchto modelů e výšky hladin utálí na vyšší hodnotě, než ve které byly před změnou přítoku. Při pozorování dynamického chování za počáteční podmínky

52 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, odpovídající utálené výšce hladiny e změna výšek hladin v trychtýřovém i kulovém záobníku projevila přechodovou charakteritikou. Modely e chovají při imulacích adekvátně podle zadaných vtupních veličin a výledky jou reálné. Mohou tak uživateli loužit pro lepší pochopení problematiky tatických a dynamických charakteritik.

53 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SUMMARY The main aim of thi thei wa to create M-file uing the Matlab application that would be able to imulate tatic and dynamic characteritic of the technological model applying MWS. The interconnection of the program via MWS enable the uer to examine the model in practice and watch it through the Internet interface. There, the uer might enter choen input value that are then ent to be proceed by the program and the computed value are conequently ent back to the uer web page via MWS. Thu, it wa neceary to formulate the M-file in uch a way that the program would be able to proce and compute an arbitrary election of any input value. Therefore, the analyi that preceded programming had to be performed at a general level. After the mathematic model of the flow heat exchanger i defined, we may oberve that it repreent a linear model with condened parameter. When imulating the tatic characteritic, the model tranformed into the equilibrium tate and the dynamic characteritic wa imulated from the deviation tate. The imulation of the tatic behaviour of the internal variable wa manifeted by change of temperature of both liquid with tranition to the equilibrium tate. Thi tate allow to determine the poition of the working point. When imulating the dynamic behaviour uing null initial condition the temperature value progre wa demontrated by tranitional characteritic that can document the time contant and conolidation of the ytem. The mathematic model of the ytem with two water tank i linear. It wa neceary to linearie thi model and to define the deviation needed for the dynamim imulation. When imulating the tatic characteritic, the level of the liquid rie and tabilie at a new poition of the equilibrium tate that might be ued to determine the poition of the working point located in the area of the actual model lineariation. When imulating the dynamic behaviour in the null initial condition the liquid level were demontrated by tranition characteritic that might be ued again for the determination of the time contant and the conolidation of the ytem. Both the pherical and conical tank repreent non-linear model. When imulating the tatic behaviour, the level of the liquid arrive at a new equilibrium tate where their level elevate. Monitoring the dynamic behaviour when the initial condition were et to a level

54 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, that correponded to the tabilied liquid level, the difference between the liquid level in both the pherical and conical tank wa demontrated by the tranitional characteritic. The model behave adequately in imulation accordingly to the input value and the reult are real. Thu, they may erve a a tool for better comprehenion of the iue of tatic and dynamic characteritic.

55 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] TOBOLA, Petr. Matematické základy Numerické řešení outavy rovnic [online], polední aktualizace: [cit ]. Dotupné z WWW: < > [] MACUR, Jiří. Simulace dynamických ytémů v jazyce Java [online], polední aktualizace: [cit ].Dotupné z WWW: < [3] Západočeká univerzita v Plzni, citace: před_matl13.doc [online], polední aktualizace: [cit ].Dotupné z WWW: < [4] Nokievič, P. Modelování a identifikace ytémů. MONTANEX a.., Otrava, 1999, ISBN [5] BAKOŠOVÁ Monika, FIKAR Mirolav, ČIRKA Luboš. Základy automatizácie. ISBN [6] KARBAN, Pavel. Výpočty a imulace v programech MATLAB a Simulink. Vydal: Computer Pre, a.. ISBN

56 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK MWS Matlab web erver. ODR MPI Obyčejné diferenciální rovnice. Metoda proté iterace

57 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1. Průtočný výměník tepla chlazením v plášti 10 Obr.. Záobníky na kapalinu zapojené za ebou Obr. 3. Trychtýřový záobník nekontantním průřezem Obr. 4. Kulový záobník nekontantním průřezem... 1 Obr. 5. Průběhy utálených teplot T a T v záviloti na průtocích q a q c. 31 c Obr. 6. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. 3 Obr. 7. Průběh utálené teploty chlazené kapaliny v záviloti na čae Obr. 8. Průběh utálené teploty chladící kapaliny v záviloti na čae 34 Obr. 9. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. 35 Obr. 10. Průběhy utálených výšek hladin h 1 a h v záviloti na průtocích q 1v a q v Obr. 11. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 39 Obr. 1. Průběh utálené výšky hladiny v prvním záobníku v záviloti na čae Obr. 13. Průběh utálené výšky hladiny v druhém záobníku v záviloti na čae.. 41 Obr. 14. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 4 Obr. 15. Průběh výšky hladiny v záviloti na přítoku 44 Obr. 16. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 44 Obr. 17. Průběh utálené výšky hladiny v záviloti na čae.. 46 Obr. 18. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 46 Obr. 19. Průběh výšky hladiny v záviloti na průtoku.. 48 Obr. 0. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 48 Obr. 1. Průběh utálené výšky hladiny v záviloti na čae.. 50 Obr.. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 50

58 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM TABULEK Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku... 9 Tab.. Tabulka zadaných veličin.. 30 Tab. 3. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 33 Tab.4. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku 37 Tab. 5. Tabulka zadaných veličin.. 37 Tab. 6. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 40 Tab. 7. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku.. 43 Tab. 8. Tabulka zadaných veličin.. 43 Tab. 9. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 45 Tab. 10. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku. 47 Tab. 11. Tabulka zadaných veličin 47 Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku 49

59 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM PŘÍLOH PI: PII: PIII: PIV: PV: PVI: Průtočný výměník tatická charakteritika Průtočný výměník dynamická charakteritika Záobníky na kapalinu tatická charakteritika Záobníky na kapalinu dynamická charakteritika Trychtýřový záobník tatická charakteritika Trychtýřový záobník dynamická charakteritika PVII: Kulový záobník tatická charakteritika PVIII: Kulový záobník dynamická charakteritika

60 PŘÍLOHA P I: PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK STATICKÁ CHARAKTERISTIKA. vymenik_tatika.m clc clear all cloe all V=1.; % m^3 Vc=0.64; % m^3 ro=985; %kg/m^3 roc=998; %kg/m^3 cp=4.05; %kj/kg*k cpc=4.18; %kj/kg*k F=5.5; %m^ a=43.5; %kj/m^*min*k Tv_=33; %K Tcv_=93; %K q_z = input(' zadejte zacatek intervalu pro ruzny prutok q: '); q_kr = input(' zadejte krok intervalu pro ruzny prutok q: '); q_k = input(' zadejte konec intervalu pro ruzny prutok q: '); qc_z = input(' zadejte zacatek intervalu pro ruzny prutok qc: '); qc_kr = input(' zadejte krok intervalu pro ruzny prutok qc: '); qc_k = input(' zadejte konec intervalu pro ruzny prutok qc: '); q = q_z:q_kr:q_k; qc = 0.03; for i = 1:length(q) T_(1,i)=(qc*roc*cpc*Tcv_*F*a+q(i)*ro*cp*Tv_*F*a+qc*roc*cpc*q(i)*ro*cp*Tv_)/(q(i)*ro*cp*F*a+q c*roc*cpc*q(i)*ro*cp+qc*roc*cpc*f*a); end ubplot (,,); plot(q,t_(1,:)); xlabel('q[m^3/min]'); ylabel('t_[k]'); for i = 1:length(q) Tc_(1,i)=(q(i)*ro*cp*qc*roc*cpc*Tcv_+qc*roc*cpc*Tcv_*F*a+q(i)*ro*cp*Tv_*F*a)/(q(i)*ro*cp*F*a +qc*roc*cpc*q(i)*ro*cp+qc*roc*cpc*f*a); end ubplot (,,1); plot(q,tc_(1,:)); xlabel('q[m^3/min]');

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t

Více

Teorie systémů a řízení

Teorie systémů a řízení VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ ECHNICKÁ UNIVERZIA V OSRAVĚ FAKULA HORNICKO - GEOLOGICKÁ INSIU EKONOMIKY A SYSÉMŮ ŘÍZENÍ eorie ytémů a řízení Prof.Ing.Aloi Burý,CSc. OSRAVA 2007 Předmluva Studijní materiály eorie

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Doporučené aplikace stanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb.

Doporučené aplikace stanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb. Doporučené aplikace tanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb. 1 Metodické pokyny pro určení množtví elektřiny z vyokoúčinné

Více

6. ZÁSOBOVÁNÍ 6.1. BILANCE MATERIÁLU 6.2. PROPOČTY SPOTŘEBY MATERIÁLU

6. ZÁSOBOVÁNÍ 6.1. BILANCE MATERIÁLU 6.2. PROPOČTY SPOTŘEBY MATERIÁLU 6. ZÁSOBOVÁÍ 6.1. Bilance materiálu 6.2. Propočty potřeby materiálu 6.3. Řízení záob (plánování záob) Záobování patří mezi velmi ůležité ponikové aktivity. Při řízení záob e jená v potatě o řešení tří

Více

PSK3-4. Přístupová práva. setfacl z balíčku acl.)

PSK3-4. Přístupová práva. setfacl z balíčku acl.) PSK3-4 Název školy: Autor: Anotace: Vzdělávací oblat: Předmět: Tematická oblat: Výledky vzdělávání: Klíčová lova: Druh učebního materiálu: Vyšší odborná škola a Střední průmylová škola, Božetěchova 3 Ing.

Více

MSC 30-45 MSD 55-75 Pohon přes klínové řemeny. RMC 30-45 RMD 55-75 RME 75-90 Pohon pomocí spojky

MSC 30-45 MSD 55-75 Pohon přes klínové řemeny. RMC 30-45 RMD 55-75 RME 75-90 Pohon pomocí spojky MSC MSD Pohon pře klínové řemeny RMC RMD RME Pohon pomocí pojky Olejem mazané šroubové kompreory pevnou nebo proměnnou í Solidní, jednoduché, chytré Zvýšená polehlivot dodávky tlačeného u MSC/MSD Pohon

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

H&0 = ,19(578-Ë&Ë. 9é6783 5&0 X ' + X&0 1(,19(578-Ë&Ë =(0 5 '

H&0 = ,19(578-Ë&Ë. 9é6783 5&0 X ' + X&0 1(,19(578-Ë&Ë =(0 5 ' Vážení zákazníci dovolujeme i Vá upozornit že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

David Prušvic 1 Jiří Přibyl 2. VÚPSV Praha 2006

David Prušvic 1 Jiří Přibyl 2. VÚPSV Praha 2006 Komparace zatížení pracovních příjmů reprezentativních typů domácnotí zamětnanců v Čeké a Slovenké republice oobní důchodovou daní a přípěvky na ociální zabezpečení David Prušvic 1 Jiří Přibyl 2 VÚPSV

Více

Matlab & Simulink. studijní materiály pro předmět Základy kybernetiky. Libor Kupka

Matlab & Simulink. studijní materiály pro předmět Základy kybernetiky. Libor Kupka Matlab & Simulink tudijní materiály pro předmět Základy kybernetiky Libor Kupka Obah Předmluva... 5 Úvod... 7 Základy práce v protředí MATLAB... 9. Práce v příkazovém řádku...3. Proměnné v MATLABu...5.3

Více

Object-oriented Analysis & Design. Requirements Analysis

Object-oriented Analysis & Design. Requirements Analysis Object-oriented Analyi & Deign Requirement Analyi Waterfall Model Sytem Requirement Software Requirement Deign Verification Module Tet Validation Implementation Iteration Agile Unified Proce Inception

Více

Asynchronní stroje. Úvod. Konstrukční uspořádání

Asynchronní stroje. Úvod. Konstrukční uspořádání Aynchronní troje Úvod Aynchronní troje jou nejjednodušší, nejlevnější a nejrozšířenější točivé elektrické troje. Používají e především jako motory od výkonů řádově deítek wattů do výkonů tovek kilowattů.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NOSNÁ OCELOVÁ KONSTRUKCE ADMINISTRATIVNÍ BUDOVY STEEL STRUCTURE OF THE OFFICE BUILDING

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NOSNÁ OCELOVÁ KONSTRUKCE ADMINISTRATIVNÍ BUDOVY STEEL STRUCTURE OF THE OFFICE BUILDING BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF METAL AND TIMBER STRUCTURES NOSNÁ OCELOVÁ KONSTRUKCE ADMINISTRATIVNÍ BUDOVY STEEL STRUCTURE OF THE OFFICE BUILDING DIPLOMA THESIS

Více

Semestrální práce z předmětu MAB

Semestrální práce z předmětu MAB Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu MAB Modely investičního rozhodování Helena Wohlmuthová A07148 16. 1. 2009 Obsah 1 Úvod... 3 2 Parametry investičních

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Jednotka pro zvýšení tlaku Ø40

Jednotka pro zvýšení tlaku Ø40 Jednotk pro zvýšení tlku Ø4 Zákldní informce Síl vyvinutá pneumtickým válcem není v některých přípdech dottečná pro plnění poždovné funkce. Pro plnění tohoto problému je pk nutné, pokud je to možné, buď

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda oddělených elementů (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

FYZIKA 1. ROČNÍK. Tématický plán. Hodiny: Září 7 Říjen 8 Listopad 8 Prosinec 6 Leden 8 Únor 6 Březen 8 Duben 8 Květen 8 Červen 6.

FYZIKA 1. ROČNÍK. Tématický plán. Hodiny: Září 7 Říjen 8 Listopad 8 Prosinec 6 Leden 8 Únor 6 Březen 8 Duben 8 Květen 8 Červen 6. Tématický plán Hodiny: Září 7 Říjen 8 Litopad 8 Proinec 6 Leden 8 Únor 6 Březen 8 Duben 8 Květen 8 Červen 6 Σ = 73 h Hodiny Termín Úvod Kinematika 8 + 1 ½ říjen Dynamika 8 + 1 konec litopadu Energie 5

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Číslo pojistné události ÚDAJE O POJIŠTĚNÉM. Název pojištění: Číslo pojistné smlouvy: Příjmení a jméno: Místo narození: Pohlaví: Muž Žena

Číslo pojistné události ÚDAJE O POJIŠTĚNÉM. Název pojištění: Číslo pojistné smlouvy: Příjmení a jméno: Místo narození: Pohlaví: Muž Žena Čílo pojitné událoti Prezentační razítko Oznámení pojitné událoti Pracovní nechopnot Pokyny pro vyplnění formuláře: 1. Vyplňte formulář ve všech bodech. zapomeňte vyplnit čílo pojitné mlouvy. 2. U políček

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH POROVNÁNÍ NĚKTERÝCH SW PRO ZOBRAZENÍ GRAFU FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Martin Fajkus Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Ústav matematiky, Nad Stráněmi 4511, 760 05 Zlín, Česká

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí Numerické algoritmy KAPITOLA 11 V této kapitole: Vyhledávání nulových bodů funkcí Iterativní výpočet hodnot funkce Interpolace funkcí Lagrangeovou metodou Derivování funkcí Integrování funkcí Simpsonovou

Více

Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2)

Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: AUTOMATIZACE DRUHÝ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 27. 3. 2013 Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2) 5.5 REGULOVANÉ SOUSTAVY Regulovaná

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

VYUŽITÍ GRAFICKÉHO UŽIVATELSKÉHO ROZHRANÍ MATLABU VE VÝZKUMU A VÝUCE MĚŘENÍ

VYUŽITÍ GRAFICKÉHO UŽIVATELSKÉHO ROZHRANÍ MATLABU VE VÝZKUMU A VÝUCE MĚŘENÍ VYUŽITÍ GRAFICKÉHO UŽIVATELSKÉHO ROZHRANÍ MATLABU VE VÝZKUMU A VÝUCE MĚŘENÍ Jan Blaška 1, Michal Krumpholc 2, Miloš Sedláček 2 1 Elektrosystem, spol. s.r.o., Brno 2 České vysoké učení technické v Praze

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669 Gynáziu, Otrava-Poruba, Č. exilu 669 STUDIJNÍ OPORA DISTANČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ŘEŠENÍ FYZIKÁLNÍCH ÚLOH ANTONÍN BALNAR Otrava 005 Recenze: prof. RNDr. Erika Mechlová, CSc. Publikace byla vytvořena v ráci projektu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

CFD SIMULACE VE VOŠTINOVÉM KANÁLU CHLADIČE

CFD SIMULACE VE VOŠTINOVÉM KANÁLU CHLADIČE CFD SIMULACE VE VOŠTINOVÉM KANÁLU CHLADIČE Autoři: Ing. Michal KŮS, Ph.D., Západočeská univerzita v Plzni - Výzkumné centrum Nové technologie, e-mail: mks@ntc.zcu.cz Anotace: V článku je uvedeno porovnání

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

TECHNICKÁ PRAVIDLA. W 921 03 1. návrh ke dni 24. 4. 2007. Svařování termoplastů Svařovací metody Thermoplastics Welding Welding Methods

TECHNICKÁ PRAVIDLA. W 921 03 1. návrh ke dni 24. 4. 2007. Svařování termoplastů Svařovací metody Thermoplastics Welding Welding Methods Kód zařízení: 921 Svařování, pájení, řezání W 921 03 1. návrh ke dni 24. 4. 2007 TECHNICKÁ PRAVIDLA Svařování termoplatů Svařovací metody Thermoplatic Welding Welding Method Schválena dne: Platnot od:

Více

Technické informace. Statika. Co je důležité vědět před začátkem návrhu. Ztužující věnce. Dimenzování zdiva

Technické informace. Statika. Co je důležité vědět před začátkem návrhu. Ztužující věnce. Dimenzování zdiva Co je důležité vědět před začátkem návrhu Nonou kontrukci zděných taveb tvoří zdi a tropy vytvářející protorově tabilní celek, chopný přenét do základů veškerá vilá a vodorovná zatížení a vyrovnávat edání

Více

3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH. VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proces vodní eroze

3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH. VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proces vodní eroze 3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proce vodní eroze DRUHY A VLASTNOSTI SPLAVENIN Rozdělení plavenin: Plaveniny: do 7mm (překryv v 0,1 7,0 mm dle unášecí íly τ 0

Více

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech 4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí

Více

Počítačová podpora automatického řízení - CAAC

Počítačová podpora automatického řízení - CAAC XXVI. AR '2001 eminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26-27, 2001 Paper 47 Počítačová podpora automatického řízení - CAAC NAVRÁTIL, Pavel 1 & BALÁTĚ, Jaroslav 2 1 Ing., Institut Informačních Technologií,

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

Přestup tepla a volná konvekce

Přestup tepla a volná konvekce Přestup tepla a volná konvekce Úvod Řešeno v programu COMSOL Multiphysics 4.2 Tento příklad popisuje proudění tekutiny spojené s přestupem tepla. Jedná se o sestavu ohřívacích trubek umístěných v nádrži,

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

VÝPOČET TEPELNÝCH ZTRÁT

VÝPOČET TEPELNÝCH ZTRÁT VÝPOČET TEPELNÝCH ZTRÁT A. Potřebné údaje pro výpočet tepelných ztrát A.1 Výpočtová vnitřní teplota θ int,i [ C] normová hodnota z tab.3 určená podle typu a účelu místnosti A.2 Výpočtová venkovní teplota

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 14. listopadu 2007 1 Diferenciální 2 Motivace Linearizace Metoda Matematický model Global Positioning System - Diferenciální 24 navigačních satelitů

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

VYUŽITÍ WOLFRAMALPHA VE VÝUCE MATEMATIKY NA MENDELOVĚ UNIVERZITĚ

VYUŽITÍ WOLFRAMALPHA VE VÝUCE MATEMATIKY NA MENDELOVĚ UNIVERZITĚ VYUŽITÍ WOLFRAMALPHA VE VÝUCE MATEMATIKY NA MENDELOVĚ UNIVERZITĚ Dana Říhová Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Abstrakt: Příspěvek se zabývá užitím výpočetního nástroje

Více

2/2007 Media4u Magazine

2/2007 Media4u Magazine 2/2007 Media4u Magazine ISSN 1214-9187 Čtvrtletní čaopi pro podporu vzdělávání The Quarterly Magazine for Education * Квартальный журнал для образования Čaopi je archivován Národní knihovnou Čeké republiky

Více

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory

Ideální plyn. Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, Tepelné motory Struktura a vlastnosti plynů Ideální plyn Vlastnosti ideálního plynu: Ideální plyn Stavová rovnice Děje v ideálním plynu Práce plynu, Kruhový děj, epelné motory rozměry molekul jsou ve srovnání se střední

Více

Základní pojmy a jednotky

Základní pojmy a jednotky Základní pojmy a jednotky Tlak: p = F S [N. m 2 ] [kg. m. s 2. m 2 ] [kg. m 1. s 2 ] [Pa] (1) Hydrostatický tlak: p = h. ρ. g [m. kg. m 3. m. s 2 ] [kg. m 1. s 2 ] [Pa] (2) Převody jednotek tlaku: Bar

Více

Gymnázium, Praha 6, Arabská 16. předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek Lodě Dokumentace ročníkového projektu Martin Karlík, 1E 17.5.

Gymnázium, Praha 6, Arabská 16. předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek Lodě Dokumentace ročníkového projektu Martin Karlík, 1E 17.5. Gymnázium, Praha 6, Arabská 16 předmět Programování, vyučující Tomáš Obdržálek Lodě Dokumentace ročníkového projektu Martin Karlík, 1E 17.5.2014 Anotace In this school year we had to chose some year project.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

SKATEPARK PRACHATICE. Studie přestavby stávajících objektů na zázemí skateparku

SKATEPARK PRACHATICE. Studie přestavby stávajících objektů na zázemí skateparku SKATEPARK PRACHATICE Studie přetavby távajících objektů na zázemí kateparku SKATEPARK PRACHATICE Studie přetavby távajících objektů na zázemí kateparku Objednavatel: Sportovní zařízení Prachatice, přípěvková

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

VŠEOBECNÉ INFORMACE DVI, a. s.

VŠEOBECNÉ INFORMACE DVI, a. s. Huitká 42/22 VŠEOBECNÉ INFORMACE DVI, a.. DVI je vzdělávací firmou, půobící především v oblati dopravy, zejména železniční. Zajišťuje však i celou řadu vzdělávacích aktivit i mimo tento ektor, vždy podle

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Městský dům dětí a mládeže Čelákovice. Výstava výtvarných prací proběhne od 7.2. do 21.2. 2015 v Městském muzeu v Čelákovicích.

Městský dům dětí a mládeže Čelákovice. Výstava výtvarných prací proběhne od 7.2. do 21.2. 2015 v Městském muzeu v Čelákovicích. Mětký dům dětí a mládeže Čelákovice vyhlašuje omý ročník výtvarné outěže ŘEMESLA POLABÍ III DOPROODNÉ TÉMA ROKU 2015 JE Soutěží e ve 4. věkových kategoriích od 3 let po dopělé v edmi řemelných okruzích.

Více

Uživatelská příručka k fotoaparátu

Uživatelská příručka k fotoaparátu Základy práce Uživatelká k fotoaparátu ČESKY fotoaparátu i přečtěte tuto příručku včetně čáti Bezpečnotní upozornění (= 6). Přečtení této příručky vám pomůže naučit e právně používat fotoaparát. Příručku

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

GEA Ultra-DENCO : Přesná klimatizace pro datová centra. Spolehlivost s nízkou spotřebou energie. 09/2012 (CZ) GEA Heat Exchangers

GEA Ultra-DENCO : Přesná klimatizace pro datová centra. Spolehlivost s nízkou spotřebou energie. 09/2012 (CZ) GEA Heat Exchangers GEA Ultra-DENCO : Přesná klimatizace pro datová centra Spolehlivost s nízkou spotřebou energie 09/2012 (CZ) GEA Heat Exchangers vysoké nízké Numerická simulace proudění Tlakové pole Tlakové pole na tepelném

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Oběžný majetek. Peníze Materiál Nedokončená výroba Hotové výrobky Pohledávky Peníze. Plánování a normování materiálových zásob.

Oběžný majetek. Peníze Materiál Nedokončená výroba Hotové výrobky Pohledávky Peníze. Plánování a normování materiálových zásob. Součástí oběžného majetku jsou: zásoby oběžný finanční majetek pohledávky Oběžný majetek Charakteristickým rysem oběžného majetku je jednorázová spotřeba, v procesu výroby mění svoji formu. Tato změna

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý

VZORCE A VÝPOČTY. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý Autor: Mgr. Dana Kaprálová VZORCE A VÝPOČTY Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Inspekce tvaru součásti

Inspekce tvaru součásti Inspekce tvaru součásti. Cílem cvičení je inspekce tvaru součásti spočívající načtení referenčního CAD modelu, v ustavení naskenovaného tvaru vzhledem k tomuto referenčnímu modelu, kontrole průměru spodního

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

Matematické modelování proudění podzemních vod a jeho využití ve vodárenské praxi

Matematické modelování proudění podzemních vod a jeho využití ve vodárenské praxi Matematické modelování proudění podzemních vod a jeho využití ve vodárenské prai Naďa Rapantová VŠB-Technická univerzita Ostrava APLIKACE MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ V HYDROGEOLOGII řešení environmentálních

Více

SenseLab. z / from CeMaS. Otevřené sledování senzorů, ovládání zařízení, nahrávání a přehrávání ve Vaší laboratoři

SenseLab. z / from CeMaS. Otevřené sledování senzorů, ovládání zařízení, nahrávání a přehrávání ve Vaší laboratoři CeMaS, Marek Ištvánek, 22.2.2015 SenseLab z / from CeMaS Otevřené sledování senzorů, ovládání zařízení, nahrávání a přehrávání ve Vaší laboratoři Open Sensor Monitoring, Device Control, Recording and Playback

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU

PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU PENETRACE TENKÉ KOMPOZITNÍ DESKY OCELOVOU KULIČKOU : Ing.Bohuslav Tikal CSc, ZČU v Plzni, tikal@civ.zcu.cz Ing.František Valeš CSc, ÚT AVČR, v.v.i., vales@cdm.cas.cz Anotace Výpočtová simulace slouží k

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Dodatek k ŠVP ZV č. 1

Dodatek k ŠVP ZV č. 1 Dodatek k ŠVP ZV č. 1 Název školního vzdělávacího programu: Škola dobré pohody Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Ředitelka školy: Mgr. Dagmar Bičová Koordinátor ŠVP ZV: Mgr. Magdalena Krausová

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více