Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů
|
|
- David Pospíšil
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Vytvoření kriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a imulace technologických proceů M-file for the Internet Interface Ued in the Subject Analyi and Simulation of Technological Procee. Petr Tomášek Bakalářká práce 007
2 *** nacannované zadání tr. 1 ***
3 *** nacannované zadání tr. ***
4 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ABSTRAKT Tato bakalářká práce e zabývá analýzou a imulací náledujících technologických proceů: průtočný výměník tepla promícháváním, záobníky na kapalinu zapojené za ebou, trychtýřový záobník nekontantním průřezem a kulový záobník nekontantním průřezem. U těchto modelů e imulují tatické a dynamické charakteritiky pomocí M-file ouborů v programu Matlab. Cílem je propojení těchto ouborů pře webové rozhraní za účelem podpory výuky analýza a imulace technologických proceů. Klíčová lova: dynamická charakteritika, tatická charakteritika, bilance, metoda proté iterace, metoda Runge-Kutta, diferenciální rovnice ABSTRACT Thi thei deal with the analyi and imulation of the following technological procee: flow heat exchanger with tirring, two water tank ytem connected one after another, conical tank with a non-contant diameter, and the pherical tank with non-contant diameter. Thoe mode are imulated by tatic and dynamic characteritic uing M-file in the Matlab application. The aim i to make thoe file compatible uing the Internet interface to improve and upport the method when teaching the ubject Analyi and Simulation of Technological Procee. Keyword: dynamic characteritic, tatic characteritic, value balance, the method of imple iteration, the method Runge-Kutta, differential equation
5 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Poděkování: Touto cetou bych chtěl rdečně poděkovat vému vedoucímu bakalářké práce Ing. Jiřímu Vojtěškovi za jeho trpělivot a ochotu ke polupráci, za jehož odborného vedení byla práce dovedena do konečné podoby. Také bych chtěl na tomto mítě poděkovat Ing. Františku Gazdošovi, Ph.D., jehož emináře Analýza a imulace technologických proceů mi rovněž pomohly pochopit některé záležitoti této problematiky. Prohlašuji, že jem na bakalářké práci pracoval amotatně a použitou literaturu jem citoval. V případě publikace výledků, je-li to uvolněno na základě licenční mlouvy, budu uveden jako poluautor. Ve. Zlíně Podpi diplomanta
6 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, OBSAH ÚVOD...8 I TEORETICKÁ ČÁST PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM ANALÝZA PROCESU TEPELNÉ BILANCE ODCHYLKOVÝ MODEL ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU ANALÝZA PROCESU BILANCE SYSTÉMU ODCHYLKOVÝ MODEL TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM ANALÝZA PROCESU BILANCE SYSTÉMU KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM ANALÝZA PROCESU BILANCE SYSTÉMU POUŽITÉ METODY PRO VÝPOČET STATICKÝCH A DYNAMICKÝCH CHARAKTERISTIK V PROGRAMU MATLAB METODA PROSTÉ ITERACE METODA RUNGE-KUTTA... 5 II PRAKTICKÁ ČÁST PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM... 47
7 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, STATICKÁ CHARAKTERISTIKA DYNAMICKÁ CHARAKTERISTIKA ZÁVĚR SUMMARY SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK SEZNAM OBRÁZKŮ SEZNAM TABULEK SEZNAM PŘÍLOH... 59
8 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ÚVOD Tato bakalářká práce e zabývá analýzou a imulací technologických proceů probíhajících v průtočném výměníku tepla promícháváním, záobnících na kapalinu zapojených za ebou, trychtýřovém záobníku nekontantním průřezem a kulovém záobníku nekontantním průřezem. Tato práce je rozdělena na teoretickou a praktickou čát. V teoretické čáti e provádí analýza proceů v jednotlivých modelech, při níž e pecifikují děje, které v proceu probíhají a určí e veličiny popiující daný model. Výledkem je pak teoretický model, na jehož základě potupně etavujeme matematický model proceu, ve kterém e využijí matematické rovnice vyjadřující známé zákony a vztahy. Z tohoto matematického popiu dále můžeme etavit řešení modelu pro imulační program, kterým e zabývá praktická čát. V praktické čáti e provádí imulace tatických a dynamických vlatnotí jednotlivých modelů na základě matematického popiu z teoretické čáti. Pro imulaci tatické charakteritiky e využívá metoda proté iterace (MPI) a pro imulaci dynamické charakteritiky zae metoda Runge-Kutta. Na základě těchto metod je etaven výpočetní program v jazyku Matlab. Vytvořené programy jou propojené pře webové rozhraní Matlab web erveru (MWS). Tyto programy imulují chování daných ytémů a umožňují náledné vyhodnocení výledků na základě zadaných hodnot.
9 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, I. TEORETICKÁ ČÁST.
10 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM Analýza proceu Jedná e o výměník tvořený nádobou pláštěm za předpokladu dokonalého promíchávání. Do nádoby natéká výchozí chlazená kapalina o objemovém průtoku q a teplotě T v a do pláště chladící kapalina o objemovém průtoku q c a teplotě T cv.. Pro zjednodušení modelu zanedbáme tepelnou kapacitu těny oddělující obě kapaliny. Otatní veličiny, které proce popiují jako koeficient přechodu tepla a průtoky, objemy, hutoty a měrná tepla obou kapalin budou kontantní. Sytém průtočného výměníku tepla chlazením v plášti je zobrazen na obr. 1., kde q jou označeny jako objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ], V objemy v [m 3 ], F přetupná plocha v [m ], α koeficient přechodu tepla v [kj m - K -1 min -1 ], T teploty v [K] a index ( ) c označuje chladicí kapalinu a bez indexu označujeme chlazenou kapalinu. Obr. 1. Průtočný výměník tepla chlazením v plášti Tepelné bilance Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE
11 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Slovní vyjádření bilance chlazené kapaliny Na základě bilancí můžeme charakterizovat tav tohoto proceu hodnotami veličin, které jej popiují. Matematické vztahy mezi těmito veličinami jou v záviloti na čae. Z tepelné bilance chlazené kapaliny zíkáme náledující lineární diferenciální rovnici 1. řádu dt q ρ c ptv = q ρc pt + Fα ( T Tc ) + Vρc p (1.1) dt Tuto diferenciální rovnici můžeme dále upravit na tvar dt dt = q Tv V q Fα T V Vρ c p ( c T T ) (1.) Pro počáteční podmínky T 0) = T (, kde ρ je hutota chlazené kapaliny v [kg m -3 ] a c p měrné teplo chlazené kapaliny v [kj kg -1 K -1 ]. Slovní vyjádření bilance chladící kapaliny Z tepelné bilance chladící kapaliny zíkáme druhou lineární diferenciální rovnici 1. řádu dtc qc ρ c c pctcv + Fα ( T Tc ) = qc ρc c pctc + Vc ρc c pc (1.3) dt Opět upravený tvar diferenciální rovnice chladící kapaliny, který má tvar dt dt c q Fα c = Tcv + ( T Tc ) Vc Vc ρc c pc q V c c T c (1.4)
12 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Pro počáteční podmínkyt ( 0) =, kde ρ c je hutota chladící kapaliny v [kg m -3 ] a c pc c T c měrné teplo chladící kapaliny v [kj kg -1 K -1 ]. Můžeme kontatovat, že model popaný rovnicemi (1.1), (1.3) je lineární, protože vztahy mezi vtupními a výtupními veličinami jou lineární. Jedná e také o model ytému e outředěnými parametry, protože v proceu dochází k dokonalému promíchávání obou kapalin a tím pádem obě ledované tavové veličiny jou nezávilé na ouřadnicích Odchylkový model Odchylkový tvar zíkáme náledujícím způobem. Nejdříve model uvedeme do utáleného tavu. Utálený tav zíkáme anulováním čaových derivací v rovnicích (1.), (1.4) a dále nahradíme vtupní a výtupní veličiny jejich utálenými hodnotami. Poté i vyjádříme dvě tavové veličiny T a Tc z rovnic utáleného tavu. Náledně změníme vtupní a výtupní hodnoty a jejich odchylky od utáleného tavu původních veličin nám dají odchylkový model ve tvaru u x 1 ( t) = T ( t) = T ( t) T, x ( t) = Tc ( t) = Tc ( t) Tc (1.5) 1 ( t) = Tv ( t) = Tv ( t) Tv, u ( t) = Tcv ( t) = Tcv ( t) Tcv (1.6) Dále po doazení odchylkových rovnic (1.5), (1.6) do rovnic (1.1), (1.3) dotaneme odchylkový tvar dx1 Vρ cp + ( qρcp + F α) x1 Fαx = qρcpu1 (1.7) dt dx Vc ρ ccpc + ( qcρcc pc + Fα) x F αx1 = qcρcc pcu (1.8) dt nulovými počátečními podmínkami x 1 (0) = x (0) = 0. Rovnice ve tvaru (1.7), (1.8) upravíme tak, že oamotatníme derivace výtupních veličin a zjednodušíme model zavedením kontant a 11, a1, a1, a, b11, b. Model pak dotaneme ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1x + b11 u 1 (1.9) dt dx = a1x1 + a x + b u (1.10) dt
13 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, kde q Fα a 11 = +, V Vρc p a Fα 1 =, Vρc p a Fα 1 =, V c ρccpc qc Fα a = +, Vc Vcρcc pc q b = V 11, q b = c. Vc Odchylkový tvar rovnic (1.9), (1.10) nám louží k počítání dynamické charakteritiky modelu nulovými počátečními podmínkami.
14 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU 1..1 Analýza proceu Matematický model válcových záobníků na kapalinu je určený pro ledování výšky hladiny kapaliny v něm v záviloti na změnách přítoku. Do obou záobníků přitékají kapaliny q 1v a q v a na odtoku z nádrže vytékají pře ventil. Tyto propojené záobníky jou válcového tvaru a jou zapojené za ebou. Oba záobníky jou ve tejné výšce, jou otevřené a průřezy záobníků jou tejné. Sytém záobníků na kapalinu je zobrazen na obr.., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3-1 ], h výšky hladin v [m] a F průřezy záobníků v [m ] bez ohledu na indexy. Obr.. Záobníky na kapalinu zapojené za ebou 1.. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE Slovní vyjádření bilance pro oba záobníky
15 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Při bilancování celého ytému je bilancovanou veličinou množtví kapaliny, které můžeme vyjádřit objemem V 1 pro první záobník a V pro druhý záobník. Potom zíkáme bilanční rovnice ve tvaru dvou diferenciálních rovnic dv = q1, dt 1 q1 v + dv + q1 = q (1.11) dt q v + Změny objemů V 1 a V můžeme také vyjádřit jako změnu výšek hladin v jednotlivých záobnících v záviloti na průřezech záobníků. V našem případě jou průřezy záobníků tejné. Tento vztah je vyjádřen tvarem dv = F dh a rovnici (1.11) tedy můžeme přepat na tvar Pro počáteční podmínky dh 1 F1 q1 = q1v dt dh +, F + q q1 = qv (1.1) dt h1 ( 0) h1, h (0) = h =, což znamená že na počátku odpovídá výška hladiny utálenému tavu. Jelikož průtoky kapalin vytékají ze záobníků pře ventily, muíme brát v úvahu závilot hydrotatických tlaků půobících na tyto ventily. Jedná e o druhou odmocninu z rozdílu tlaků kapaliny před a za ventilem. Pro náš případ jou hydrotatické tlaky úměrné výškám hladin v záobnících, takže průtoky můžeme vyjádřit dvěma nelineárními rovnicemi q 1 k1 h1 h =, q = k h (1.13) kde k 1, k jou kontanty ventilu. Tento matematický model můžeme popat dvěmi diferenciálními rovnicemi (1.1) a dvěmi nelineárními rovnicemi (1.13). Na základě těchto dvou nelineárních rovnic můžeme tvrdit, že e jedná o nelineární model Odchylkový model Pro zíkání odchylkového tvaru nejdříve převedeme model do utáleného tavu. Z utáleného tavu potom můžeme určit počáteční podmínky, které nám náledně pomohou k etavení linearizovaného modelu a který bude oučaně modelem odchylkovým. Pro utálený tav platí, že průtok q q1 v 1 = a q q1 v + q v doazení těchto vztahů do rovnic (1.13) obdržíme dvě rovnice = a výška hladiny h h 1 >. Po
16 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, q1 v k1 h1 h =, q1 v q v = k h + (1.14) Nyní i z rovnic (1.14) vyjádříme utálené hodnoty výšek hladin h 1 a h. Potom z výšek hladin a vtupních průtoků provedeme odchylky od počátečního utáleného tavu j j j j x ( t) = h ( t) = h ( t) h, u ( t) = q ( t) = q ( t) q, pro j = 1, (1.15) Dále pak převedeme rovnice (1.1) do odchylkového tvaru j jv jv jv d h 1 F1 + q1 = q1v dt d h, F + q q1 = qv dt (1.16) Náledně dochází k linearizaci modelu, když pomocí Taylorova rozvoje nahradíme odchylky průtoků lineárními členy v okolí pracovního bodu ( dotaneme h1 h, ). Pro tyto odchylky potupně q1 q1 q + 1 h1 h h1 h = 1 h k 1 h ( h 1 h k1 h1 h ) = ( h h ) 1 ( h 1 h ) = q1 = ( h1 h ) = K 1( h1 h ) (1.17) ( h h ) 1 q q h h = k h h k q h = h = h = K h (1.18) h h Vyjádříme-li koeficienty K 1 a K, které jou závilé na poloze pracovního bodu a rovněž na počátečním utáleném tavu dotaneme rovnice K q1 q =, K = (1.19) ( h h ) h 1 1 Při další úpravě doadíme rovnice (1.17) a (1.18) polu rovnicemi (1.15) do rovnic (1.16) a tím už dotaneme linearizovaný odchylkový model ytému ve tvaru dx1 F 1 + K1( x1 x ) = u1 (1.0) dt dx F + K x K1( x1 x ) = u (1.1) dt
17 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Počáteční podmínky budou nulové x 1 (0) = x (0) = 0. Rovnice ve tvaru (1.0), (1.1) upravíme a zjednodušíme zavedením kontant a 11, a1, a1, a, b11, b. Model pak dotaneme ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1 x + b11 u 1 (1.) dt dx = a1x1 + a x + b u (1.3) dt kde K K K K + K 1 a = =, a1 =, a1 =, a =, b11 =, b. F1 F1 F F F1 F 1 Tento linearizováný odchylkový model obahuje v kontantách a ij již zmíněné koeficienty K 1 a K a tím pádem je závilý na počátečním utáleném tavu ytému a na poloze pracovního bodu. S nulovými počátečními podmínkami použijeme tento odchylkový tvar rovnic (1.), (1.3) k počítání dynamické charakteritiky modelu.
18 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM Analýza proceu V modelu trychtýřového záobníku e opět budeme zabývat změnou výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Do záobníku nám přitéká kapalina q v, která vytéká pře ventil. Tento záobník je nekontantního průřezu. Sytém trychtýřového záobníku je zobrazen na obr. 3., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ] bez ohledu na index, h je výška hladiny v [m], H je výška záobníku v [m], d je průměr záobníku ve výšce hladiny v [m] a D je průměr záobníku v [m]. Obr. 3. Trychtýřový záobník nekontantním průřezem 1.3. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE
19 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Slovní vyjádření bilance pro trychtýřový záobník Bilancovanou veličinou je množtví kapaliny, které vyjádříme objemem V a ytém popíšeme diferenciální rovnicí ve tvaru dv q v = q + (1.4) dt Tuto diferenciální rovnici lze přepat na tvar, ve kterém změnu objemu vyjádříme pomocí vztahu dv = F dh a pak dotáváme rovnici q v dh = q + F (1.5) dt Odtok ze záobníku vytéká pře ventil. Na ventil půobí hydrotatické tlaky (viz. záobníky na kapalinu), které jou úměrné výšce hladiny v záobníku. Proto pro tento případ platí nelineární vztah přepat na tvar q = k h, který po doazení do rovnice (1.5) nám umožní tuto rovnici q v dh = k h + F (1.6) dt Jelikož je průřez F kruhového tvaru, můžeme ho také vyjádřit jako Pro pravoúhelný trojúhelník obecně platí vztah d F = π (1.7) 4 tg α = a, který můžeme využít v našem b modelu. Pravoúhlý trojúhelník lze vidět na obr. 3., kde je pro ná trana trojúhelníku a=d/ a b=h. Tento vztah potom upravíme pro náš model a dotaneme ho ve tvaru d / tgα = d / = tgα h (1.8) h
20 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, a zároveň platí D/ D tgα = = (1.9) H H Potom po doazení do rovnice (1.8) dotáváme d D = tgα h = h H d 4 D = h (1.30) 4H Dále pro úpravu plochy průřezu doadíme rovnici (1.30) v umocněném tvaru do rovnice (1.7) a zíkáme náledující vztah π d F = 4 π D = h 4H (1.31) Nyní můžeme přepat bilanční rovnici (1.6) na tvar q v = k dh h + F = k dt π D h + 4H h dh dt (1.3) Náledně oamotatníme na levou tranu derivaci výšky hladiny h podle čau t z rovnice (1.3) a dotaneme dh dt = q v π D 4H k h h = ( q k h ) v π D 4H h (1.33) Tato výledná rovnice e použije pro počítání dynamické charakteritiky, kde počáteční podmínkou bude h 0) = h (.
21 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM Analýza proceu Model kulového záobníku je podobný trychtýřovému záobníku, liší e pouze tvarem a potupem při odvozování bilanční rovnice. Do kulového záobníku přitéká kapalina q v, u které změníme přítok a budeme zjišťovat změnu výšky hladiny v záobníku. Přítok kapaliny q v vytéká pře ventil. Záobník má nekontantní průřez. Sytém kulového záobníku je zobrazen na obr. 4., kde q jou objemové průtoky kapaliny v [m 3 min -1 ] bez ohledu na index, h je výška hladiny v [m] a D je průměr záobníku v [m]. Obr. 4. Kulový záobník nekontantním průřezem 1.4. Bilance ytému Základní bilanční rovnice má tvar: VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE
22 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 007 Slovní vyjádření bilance pro kulový záobník Diferenciální rovnice popiující daný děj ytému je tejná jako u předešlého modelu. Tvar rovnice je dv q v = q + (1.34) dt Po tejných úpravách jako u trychtýřového záobníku můžeme rovnici (1.34) přepat na tvar q v dh = k h + F (1.35) dt Opět využijeme pro průřez obah kruhu a vyjádříme ho ve tvaru d F = π (1.36) 4 Dále využijeme Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelníka a podle obr. 4. platí Po úpravě této rovnice dotáváme D D x + h = (1.37) x = D h h = h ( D h) (1.38) A jetliže d x = 4, pak můžeme doadit rovnici (1.38) do (1.36) a zíkáme Bilanční rovnice (1.35) nám potom dá tvar q v ( D h) h F =π (1.39) dh dh = k h + F = k h + π ( D h) h (1.40) dt dt
23 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Po oamotatnění derivace na levou tranu, dotaneme výlednou diferenciální rovnici pro počítání dynamiky počáteční podmínkou h 0) = h (. Rovnice má tvar dh dt qv k h = (1.41) π ( D h) h Při tvorbě analýzy proceů a odvozování matematických modelu v teoretické čáti parafrázuji použitou literaturu [4].
24 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, POUŽITÉ METODY PRO VÝPOČET STATICKÝCH A DYNAMICKÝCH CHARAKTERISTIK V PROGRAMU MATLAB Pro výpočet tatických charakteritik e nejčatěji využívá metody proté iterace, co e dynamických metod týče, pak metody Runge-Kutta. Tyto metody jou pro modely popiované v této práci plně dotačující. Obě jou zahrnuty v matematických funkcích programu Matlab, jehož integrované protředí je z tohoto důvodu využito pro řešení a imulaci modelů Metoda proté iterace Pro potupy využívané při imulaci utáleného tavu ytému je tedy využito metody proté iterace (MPI). Tato metoda e používá pro řešení outav nelineárních rovnic. Pro ytémy lineárních rovnic e prakticky nepoužívá. MPI tedy můžeme použít pro numerické řešení rovnic, které mohou být ve tvaru ( x) = 0 f (1.4) Iterační úlohy jou založeny na řešení rovnic (1.4) převedených do ekvivalentního tvaru ( x) x = g (1.43) Tato rovnice louží na nalezení pevných bodu funkce g. Pro ekvivalentnot úloh platí, jetliže ξ je pevný bod funkce g, pak ξ je kořen funkce f a naopak. Dále platí věta, jetliže g C [a,b], g: [a,b] [a,b] pak funkce g má v intervalu [a,b] pevný bod. A jetliže g navíc plňuje Liphitzovu podmínku kontantou q ve vztahu pro x, y [ a, b] g ( x) g( y) q x y pak g má v intervalu jediný pevný bod. Za předpokladu, že [ a b] x,, kde 0 q < 1 (1.44) g C [a,b], g: [a,b] [a,b] e pak zvolí počáteční aproximace 0 a poté e generuje poloupnot { } k k =0 k+1 x = g x náledujícím způobem k ( x ), k=0,1, (1.45)
25 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Pak funkci g nazýváme iterační funkcí a uvedenou metodu iterační metodou nebo metodou proté iterace. Uvedená metoda patří mezi jednokrokové metody. Obecně pak pro j- krokové metody platí vztah Za již zmíněných předpokladů, kde 0 [ a b] je poloupnot { } k k k 1 x k, = g( x ) =0 x, k k 1 k j+ 1 ( x, x,..., x ) k + 1 x = g, k=0,1, (1.46) g C [a,b], g: [a,b] [a,b] pro počáteční konfiguraci x konvergentní a platí, že k lim x =ξ (1.47) k kde ξ je pevný bod funkce g. Nechť pro funkci g jou plněny předchozí předpoklady a k pro poloupnot { } k=0 x, x [ a, b] 0, ( ) k k 1 = g x x dále platí x q 1 q k k 0 1 ξ x x, 1 k (1.48) Při popiu metody proté iterace vycházím ze zdroje [1] uvedeného v eznamu použité literatury Metoda Runge-Kutta Metoda Runge-Kutta patří mezi krokové metody a bere do úvahy i členy vyšších řádů. Potřebné derivace funkce f(t,x) počítá ložitější diferenční metodou pomocí dalších pomocných bodů mezi ouedními uzly v íti. Obecně lze metody Runge-Kutta zapat náledovně i = ki f t α ih, xn h βijk j (1.49) j= 1 p n+ 1 = xn + h wi ki (1.50) i= 1 x Koeficienty u těchto metod jou vypočteny tak, aby metoda řádu p odpovídala Taylorovu polynomu funkce x(t) tejného řádu.
26 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Metod Runge-Kutta je více. Klaická metoda 4. řádu je oučátí funkce ode45 a je vyjádřena z rovnic (1.49), (1.50) a vypadá náledovně ( ) k 1 = f t n, x n (1.51) k h h = f tn +, xn + k1 (1.5) h h k3 = f tn +, xn + k k4 = f ( tn + h, xn + k3h) (1.53) ( t + h x k h) k4 = f n, n + 3 (1.54) h xn + 1 = xn + ( k1 + k + k3 + k4 ) (1.55) 6 Pomocné hodnoty k i předtavují derivace tavu ytému ve peciálních bodech na začátku, na konci a uprotřed intervalu t n, t n + 1. V případě fázového protoru vyšší dimenze m (m>1) je tav ytému popán vektorem x a dynamický ytém vektorovou funkcí f(t,x). Algoritmu Runge-Kutta je pak třeba pát ve vektorové formě, takže pomocné hodnoty k i budou m-ložkové vektory. Pak outava rovnic vyjádřená ze vztahu (1.51) vypadá náledovně ( t x, x x ) k,..., = f n, (1.56) 11 1 n1, n nm ( t x, x x ) k 1 = f,..., (1.57) n, n1, n nm ( t x, x x ) k,..., 1 m = fm n, n1, n nm (1.58) Metodu Runge-Kutta lze použít pro řešeni obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). Díky tomu je tato metoda oučátí matematické funkce Matlabu ode45, která je použita při řešení dynamických charakteritik. Funkce ode45 využívá metody Runge-Kutta pro numerické řešení ODR, které obahují derivace jen podle jedné proměnné. Ode45 lze použít pro řešení ODR jak prvního tak i vyššího řádu. Syntaxe funkce ode45 má náledující tvar: [T, Y] = ode45( název funkce, čaový interval, počáteční podmínky)
27 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, kde název funkce čaový interval je název M-file ouboru popiujícího outavu diferenciálních rovnic, v němž je obažena funkce e yntaxí dy = název funkce(t, y), ve které je dy loupcový vektor, předtavující hodnoty derivací pro vektor hodnot y v čae t je vektor o dvou prvcích počáteční a koncový ča řešení počáteční podmínky je vektor počátečních podmínek y 0, pro který platí y(t 0 ) = y 0 T Y je loupcový vektor obahující čaové okamžiky řešení je matice vlatního řešení Při definici funkce Runge-Kutta jem čerpal ze zdroje [] a při popiu funkce ode45 ze zdroje [3], které jou uvedené v eznamu použité literatury.
28 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, II. PRAKTICKÁ ČÁST
29 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK TEPLA S PROMÍCHÁVÁNÍM.1.1 Statická charakteritika Statická charakteritika popiuje model v utáleném tavu, který je charakterizován rovnicemi q ρ c T = q ρ c T + Fα ( T T ) (.1) p v p c q c ρ c c pct + Fα ( T T ) = q cv c c ρ c c pct (.) c Jde o rovnice původního modelu u nichž byla anulována derivace podle čau. Po vyjádření tavových veličin T, T jou tyto rovnice ve tvaru c T T c q ρ c ptv + FαTc = (.3) q ρ c + Fα p qc ρc c pctcv + FαT = (.4) q ρ c + Fα c c pc Ve tatické charakteritice e počítá závilot těchto utálených teplot T a Tc na změnách intervalu průtoku q a q c. Při změně intervalu průtoku q e průtok q c nemění a počítá e průběh teplot T a Tc pro utálený tav v daném intervalu průtoku q. Pro změnu intervalu průtoku q c to platí obdobně. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q 0 [m 3 min -1 ] Krok intervalu pro různý průtok q 0,0005 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q 1 [m 3 min -1 ] Začátek intervalu pro různý průtok q c 0 [m 3 min -1 ] Krok intervalu pro různý průtok q c 0,0005 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q c 1 [m 3 min -1 ]
30 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Tab.. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Objemový průtok chlazené kapaliny q 0,08 [m 3 min -1 ] Objemový průtok chladící kapaliny q c 0,03 [m 3 min -1 ] Objem chlazené kapaliny V 1, [m 3 ] Objem chladící kapaliny V c 0,64 [m 3 ] Hutota chlazené kapaliny ρ 985 [kg m -3 ] Hutota chladící kapaliny ρ c 998 [kg m -3 ] Měrné teplo chlazené kapaliny c p 4,05 [kj kg -1 K -1 ] Měrné teplo chladící kapaliny c pc 4,18 [kj kg -1 K -1 ] Přetupná plocha F 5,5 [m ] Koeficient přechodu tepla α 43,5 [kj m - min -1 K] Teplota chlazené kapaliny na vtupu Teplota chladící kapaliny na vtupu T v T cv 33 [K] 93 [K] Vyhodnocením jou 4 grafy imulující tatické chování průtočného výměníku tepla na základě zadaných vtupních hodnot. Grafy jou zobrazeny na obr. 5.
31 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 5. Průběhy utálených teplot T a Tc v záviloti na změnách průtoku q a q c Na obr. 5. je vidět průběh teplot chlazené a chladící kapaliny v záviloti na změně průtoku. Reakce na změnu průtoku q u teploty chlazené kapaliny T e projevila zvýšením a náledným utálením teploty. Teplota chladící kapaliny T c reagovala také zvýšením a náledným utálením vé teploty. Po odezvě změny průtoku q je utálená teplota chlazené kapaliny vyšší než utálená teplota chladící kapaliny. Odezva na změnu průtoku q c e projevila u teploty chlazené i chladící kapaliny nížením a náledným utálením teplot. Při této změně průtoku je utálená teplota chlazené kapaliny vyšší než utálená teplota chladící kapaliny. Z těchto teplot v utáleném tavu e pak mohou určit polohy pracovních bodů. Program tatické charakteritiky je v příloze P I pod názvem Průtočný výměník tatická charakteritika. Program je propojený pře Matlab web erver (MWS), kde e pře webové rozhraní zadávají vtupní hodnoty a naopak vypočtené hodnoty e pošlou opět pře MWS na internetové tránky. Na obr. 6. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky.
32 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 6. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.1. Dynamická charakteritika Dynamická charakteritika e řeší z odchylkového modelu jako funkce čau při nulových počátečních podmínkách. Rovnice mají tvar dx 1 = a11x1 + a1x + b11 u 1 (.5) dt dx dt = a x + a x + b u (.6) 1 1 V dynamice ledujeme jak e změní průběh teploty chlazené kapaliny T a chladící kapaliny T c při kokové změně průtoku q a q c za daný čaový průběh imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky.
33 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Tab. 3. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 150 [] Skoková změna průtoku chlazené kapaliny q [m 3 min -1 ] Skoková změna průtoku chladící kapaliny q c 3 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr.. Výtupem jou grafy dynamického chování průtočného výměníku, které jou zobrazeny na obr. 7. a obr T [K] t[min] Obr. 7. Průběh teploty chlazené kapaliny v záviloti na čae
34 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ] T c[k t[min] Obr. 8. Průběh teploty chladící kapaliny v záviloti na čae Na obr. 7. můžeme pozorovat čaový průběh teploty chlazené kapaliny při kokové změně průtoku q. Graf na obr. 8. ukazuje průběh teploty chladící kapaliny při kokové změně průtoku q c. U obou grafů e dynamické vlatnoti projevily přechodovou charakteritikou 1. řádu, která udává závilot kokové změny na čae. Z přechodové charakteritiky e pak může určit čaová kontanta a zeílení outavy. Po odezvě kokové změny a vyhodnocení přechodové charakteritiky lze vidět, že teplota chladící kapaliny T c je větší než teplota chlazené kapaliny T. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P II pod názvem Průtočný výměník dynamická charakteritika a tvoří ho 3 M-file oubory (vymenik.m, vymenik_hlavni.m, vymenik_kontanty.m), které polu navzájem komunikují. Dynamika e v programu počítá pomocí funkce ode45 pro řešení diferenciálních rovnic. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 9.
35 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 9. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
36 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ZÁSOBNÍKY NA KAPALINU ZAPOJENÉ ZA SEBOU..1 Statická charakteritika Ve tatické charakteritice je uveden model v počátečním utálením tavu, pro který platí vztahy q q1 v v 1 = a q = q1 + q v. Za těchto podmínek je utálený tav ve tvaru q1 v k1 h1 h =, q1 v q v = k h + (.7) kde k 1, k jou kontanty ventilu. Po vyjádření utálených výšek hladin z rovnic (.7) dotaneme dvě rovnice, které nám umožní určení počátečních podmínek a také možnot vypočítat polohu pracovního bodu ( h h 1, ). Rovnice mají tvar q1 v 1 = + h k1 h, h q + q = v 1v k (.8) počátečními podmínkami výška hladiny utálenému tavu. h1 ( 0) h1, h (0) = h =, což znamená že na počátku odpovídá Ve tatické charakteritice počítáme změnu výšky hladin v záobnících. Tyto změny budeme ledovat v záviloti na změnách přítoku bude přítok q 1 v a q v kontantní a počítá e utálená výška hladiny q v. To znamená, že při změně přítoku q 1 v h 1 v prvním záobníku a h v druhém záobníku. Totéž e provede při změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab.4. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku
37 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q 1v 0 [m 3-1 ] Krok intervalu pro různý průtok q 1v 0,1 [m 3-1 ] Konec intervalu pro různý průtok q 1v 1 [m 3-1 ] Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3-1 ] Krok intervalu pro různý průtok q v 0,1 [m 3-1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3-1 ] Tab. 5. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Objemový průtok kapaliny v prvním záobníku Objemový průtok kapaliny v druhém záobníku q 1 v 0,5 [m 3-1 ] q v 0,3 [m 3-1 ] Výška hladiny v prvním záobníku Výška hladiny v druhém záobníku h 1 h 1,5 [m] 1 [m] Průřez prvního záobníku F 1 [m ] Průřez druhého záobníku F [m ] Vyhodnocením jou 4 grafy, které charakterizují tatické chování záobníku na kapalinu za daných podmínek. Grafy jou zobrazeny na obr. 10.
38 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 10. Průběhy výšek hladin h 1 a na změnách průtoku q 1v a q v h v záviloti Na obr. 10. můžeme pozorovat reakci na změnu jednotlivých průtoku v podobě průběhu výšek hladin v jednotlivých záobnících. Odezva na změnu průtoku q 1v v prvním záobníku e projevila zvýšením hladiny v obou záobících, přičemž platí h h 1 >. Při změně průtoku q v e výšky hladin opět zvýší a h 1 bude zae větší než h. Po utálení výšek hladin e mohou určit polohy pracovních bodu h 1, h v okolí kterých e provádí linearizace. Program tatické charakteritiky je v příloze P III pod názvem Záobníky na kapalinu tatická charakteritika. Program je propojený pře MWS na tejném principu jako u předešlého modelu. Na obr. 11. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky.
39 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 11. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme řešit podobně jako u modelu průtočného výměníku tepla. Akorát u tohoto modelu e nejdříve muí nelineární model linearizovat.. Proto e dynamika bude počítat z linearizovaného odchylkového modelu jako funkce čau. Počáteční podmínky budou nulové. Rovnice jou ve tvaru dx 1 = a11x1 + a1 x + b11 u 1 (.9) dt dx = a1x1 + a x + b u (.10) dt V dynamice pozorujeme změnu výšek hladin v jednotlivých záobnících při kokových změnách přítoků do jednotlivých nádrží záobníků v záviloti na čaovém průběhu imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky.
40 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Tab. 6. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 00 [] Skoková změna průtoku q 1v 0,09 [m 3-1 ] Skoková změna průtoku q v 0,05 [m 3-1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 5. Výtupem jou grafy, které charakterizují dynamické chování záobníku na kapalinu za daných podmínek. Grafy jou zobrazeny na obr. 1. a obr ] 1 [m h t[] Obr. 1. Průběh výšky hladiny v prvním záobníku v záviloti na čae
41 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ] [m h t[] Obr. 13. Průběh výšky hladiny v druhém záobníku v záviloti na čae Na obr. 1. můžeme pozorovat čaový průběh výšky hladiny h 1 při kokové změně průtoku q 1v. Na obr. 13. lze vidět čaový průběh výšky hladiny h při kokové změně průtoku q v. Po odezvě kokových změn je výška hladiny v prvním záobníku vyšší než výška hladiny v druhém záobníku. Průběh změn výšek hladin e projevil přechodovými charakteritikami 1. řádu. Z těchto přechodových charakteritik dále můžeme určit čaové kontanty a zeílení outavy pro jednotlivé průběhy výšek hladin. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P IV pod názvem Záobníky na kapalinu dynamická charakteritika a tvoří ho 3 M-file oubory (zaobnik.m, zaobnik_hlavni.m, zaobnik_kontanty.m). Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 14.
42 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 14. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
43 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, TRYCHTÝŘOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM.3.1 Statická charakteritika Statickou charakteritiku vyjadřuje rovnice počátečního utáleného tavu ve tvaru q v = k h (.11) Z této rovnice můžeme vypočítat utálenou výšku hladiny h q = k v (.1) Ve tatické charakteritice budeme řešit utálenou výšku hladiny v záobníku v záviloti na změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 7. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3 min -1 ] Kontanta ventilu Tab. 8. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Průměr záobníku D Výška záobníku H Výška hladiny h [m] 3 [m] [m] Objemový průtok kapaliny q v 0,6 [m 3 min -1 ] Vyhodnocením je zobrazený graf na obr. 15., který imuluje tatické chování trychtýřového záobníku.
44 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 15. Průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku Na obr. 15. je vidět průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Po odezvě na změnu přítoku a zvolení zadané kontanty ventilu bude výška hladiny toupat než e dotane do rovnovážného tavu. Program tatické charakteritiky je v příloze P V pod názvem Trychtýřový záobník tatická charakteritika. Na obr. 16. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky. Obr. 16. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
45 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme počítat z diferenciální rovnice popiující daný děj. h = h Počáteční podmínky budou ( ) 0. Rovnice má tvar dh dt = ( q k h ) v π D 4H h (.13) kde k je kontanta ventilu, která je vyjádřena z utáleného tavu a má tvar k = qv (.14) h V dynamice e zabýváme změnou výšky hladiny záobníku při kokové změně přítoku do záobníku v záviloti na čaovém průběhu imulace. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky. Tab. 9. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 150 [min] Skoková změna průtoku q v 0,7 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 8. Výtupem je graf imulující dynamické chování trychtýřového záobníku zobrazený na obr. 17.
46 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, h [m ] t[min] Obr. 17. Průběh výšky hladiny v záviloti na čae Na obr. 17. můžeme vidět čaový průběh výšky hladiny v záobníku. Z reakce na kokovou změně přítoku do záobníku, lze vidět že výška hladiny v záobníku toupne. Průběh výšky hladiny e projevil přechodovou charakteritikou, která opět může vypovědět o zeílení outavy či o čaové kontantě. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P VI pod názvem Trychtýřový záobník dynamická charakteritika. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr. 18. Obr. 18. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
47 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, KULOVÝ ZÁSOBNÍK NA KAPALINU S NEKONSTANTNÍM PRŮŘEZEM.4.1 Statická charakteritika Statickou charakteritiku řešíme tejně jako u modelu trychtýřového záobníku. Rovnice počátečního utáleného tavu je q v = k h (.15) Utálená výška hladiny vyjádřená z předešlé rovnice má tvar h q = k v (.16) V tomto záobníku ve tatické charakteritice budeme opět počítat změnu výšky hladiny v utáleném tavu v záviloti na změně přítoku q v. V náledujících tabulkách jou uvedeny použité hodnoty pro počítání tatické charakteritiky. Tab. 10. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Začátek intervalu pro různý průtok q v 0 [m 3 min -1 ] Konec intervalu pro různý průtok q v 1 [m 3 min -1 ] Kontanta ventilu Tab. 11. Tabulka zadaných veličin Kontanty Hodnoty Průměr záobníku D Výška hladiny h 5 [m] 3 [m] Objemový průtok kapaliny q v 0,6 [m 3 min -1 ] Vyhodnocením je graf zobrazený na obr. 19., který charakterizuje tatické chování kulového záobníku na základě zadaných hodnot.
48 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Obr. 19. Průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku Na obr. 19. můžeme pozorovat průběh výšky hladiny v záviloti na změně přítoku. Chování ytému je podobné jak u trychtýřového záobníku. Při změně přítoku a zadané kontanty bude výška hladiny toupat než e dotane do utáleného tavu. Program tatické charakteritiky je v příloze P VII pod názvem Kulový záobník tatická charakteritika. Na obr. 0. je zobrazen vzhled tabulky pro zadávání vtupních hodnot z webové tránky Obr. 0. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant
49 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, Dynamická charakteritika Dynamickou charakteritiku budeme počítat z diferenciální rovnice popiující daný děj. S h = h počátečními podmínkami ( ) 0. Rovnice má tvar dh dt q v k h = (.17) π ( D h) h kde k je kontanta ventilu, která je vyjádřena z utáleného tavu a má tvar k = qv (.18) h V dynamice e zabýváme tejným problémem jako u trychtýřového záobníku. V náledující tabulce jou uvedeny použité hodnoty pro počítání dynamické charakteritiky. Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku Zadané proměnné Hodnoty Doba imulace T im 800 [min] Skoková změna průtoku q v 0,75 [m 3 min -1 ] Otatní zadané veličiny jou tejné jako v tabulce na obr. 11. Vyhodnocením je graf zobrazený na obr. 1., který charakterizuje dynamické chování kulového záobníku.
50 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, h [m ] t[min] Obr. 1. Průběh výšky hladiny v záviloti na čae Na obr. 1. můžeme vidět čaový průběh výšky hladiny v záobníku. Reakce na kokovou změnu přítoku e opět projevila zvýšením výšky hladiny v záobníku v podobě přechodové charakteritiky. Program dynamické charakteritiky je uveden v příloze P VIII pod názvem Kulový záobník dynamická charakteritika. Vzhled webové tránky programu propojeného pře MWS je zobrazen na obr.. Obr.. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant V praktické čáti jem používal literaturu [5], [6].
51 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, ZÁVĚR Hlavním cílem této bakalářké práce bylo vytvoření M-file ouborů v programu Matlab, které budou chopny odimulovat tatické a dynamické charakteritiky technologických modelů využitím MWS. Propojení programů pře MWS zajišťuje možnot chování modelů prakticky vyzkoušet a pozorovat pře webové rozhraní. Zde uživatel zadá vtupní hodnoty, ty jou odelány ke zpracování programem a vypočtené hodnoty e náledně pošlou opět pře MWS na internetové tránky uživateli. M-file oubory bylo tedy potřeba vytvořit takovým způobem, aby program byl chopen zpracovat a vyhodnotit jakékoliv libovolné zadání vtupních hodnot. Proto analýza, která programování předcházela, muela být provedena na zcela obecné úrovni. Po odvození matematického modelu průtočného výměníku tepla můžeme kontatovat, že e jedná o lineární model e outředěnými parametry. Při imulaci tatické charakteritiky e model převedl do utáleného tavu a dynamická charakteritika e imulovala z odchylkového tvaru. Simulování tatického chování vnitřní proměnné za daných podmínek e projevilo změnou teplot obou kapalin přechodem do utáleného tavu. Při změně průtoku chlazené kapaliny e teploty zvýšily a při změně průtoku chladící kapaliny obě teploty zae klely. Z utáleného tavu těchto teplot e dále může určit poloha pracovního bodu. Při imulaci dynamického chování při nulových počátečních podmínkách e průběh teplot projevil přechodovou charakteritikou, která může vypovědět o čaové kontantě a o zeílení outavy. U matematického modelu záobníku na kapalinu zapojených za ebou e ukázalo, že e jedná o nelineární model. Tento model bylo potřeba zlinearizoval a vyjádřit odchylkový tvar potřebný pro imulaci dynamiky. Při imulaci tatické charakteritiky výšky hladin toupnou a utálí e na nové hodnotě rovnovážného tavu, ze kterého e může určit poloha pracovního bodu v okolí kterého tento model linearizujeme. U imulace dynamického chování při nulových počátečních podmínkách e výška hladin projevila přechodovou charakteritikou, ze které e opět může zhodnotit čaová kontanta a zeílení outavy. U trychtýřového i kulového záobníku e rovněž jedná o nelineární modely. Při imulaci tatického chování u těchto modelů e výšky hladin utálí na vyšší hodnotě, než ve které byly před změnou přítoku. Při pozorování dynamického chování za počáteční podmínky
52 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, odpovídající utálené výšce hladiny e změna výšek hladin v trychtýřovém i kulovém záobníku projevila přechodovou charakteritikou. Modely e chovají při imulacích adekvátně podle zadaných vtupních veličin a výledky jou reálné. Mohou tak uživateli loužit pro lepší pochopení problematiky tatických a dynamických charakteritik.
53 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SUMMARY The main aim of thi thei wa to create M-file uing the Matlab application that would be able to imulate tatic and dynamic characteritic of the technological model applying MWS. The interconnection of the program via MWS enable the uer to examine the model in practice and watch it through the Internet interface. There, the uer might enter choen input value that are then ent to be proceed by the program and the computed value are conequently ent back to the uer web page via MWS. Thu, it wa neceary to formulate the M-file in uch a way that the program would be able to proce and compute an arbitrary election of any input value. Therefore, the analyi that preceded programming had to be performed at a general level. After the mathematic model of the flow heat exchanger i defined, we may oberve that it repreent a linear model with condened parameter. When imulating the tatic characteritic, the model tranformed into the equilibrium tate and the dynamic characteritic wa imulated from the deviation tate. The imulation of the tatic behaviour of the internal variable wa manifeted by change of temperature of both liquid with tranition to the equilibrium tate. Thi tate allow to determine the poition of the working point. When imulating the dynamic behaviour uing null initial condition the temperature value progre wa demontrated by tranitional characteritic that can document the time contant and conolidation of the ytem. The mathematic model of the ytem with two water tank i linear. It wa neceary to linearie thi model and to define the deviation needed for the dynamim imulation. When imulating the tatic characteritic, the level of the liquid rie and tabilie at a new poition of the equilibrium tate that might be ued to determine the poition of the working point located in the area of the actual model lineariation. When imulating the dynamic behaviour in the null initial condition the liquid level were demontrated by tranition characteritic that might be ued again for the determination of the time contant and the conolidation of the ytem. Both the pherical and conical tank repreent non-linear model. When imulating the tatic behaviour, the level of the liquid arrive at a new equilibrium tate where their level elevate. Monitoring the dynamic behaviour when the initial condition were et to a level
54 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, that correponded to the tabilied liquid level, the difference between the liquid level in both the pherical and conical tank wa demontrated by the tranitional characteritic. The model behave adequately in imulation accordingly to the input value and the reult are real. Thu, they may erve a a tool for better comprehenion of the iue of tatic and dynamic characteritic.
55 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1] TOBOLA, Petr. Matematické základy Numerické řešení outavy rovnic [online], polední aktualizace: [cit ]. Dotupné z WWW: < > [] MACUR, Jiří. Simulace dynamických ytémů v jazyce Java [online], polední aktualizace: [cit ].Dotupné z WWW: < [3] Západočeká univerzita v Plzni, citace: před_matl13.doc [online], polední aktualizace: [cit ].Dotupné z WWW: < [4] Nokievič, P. Modelování a identifikace ytémů. MONTANEX a.., Otrava, 1999, ISBN [5] BAKOŠOVÁ Monika, FIKAR Mirolav, ČIRKA Luboš. Základy automatizácie. ISBN [6] KARBAN, Pavel. Výpočty a imulace v programech MATLAB a Simulink. Vydal: Computer Pre, a.. ISBN
56 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK MWS Matlab web erver. ODR MPI Obyčejné diferenciální rovnice. Metoda proté iterace
57 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1. Průtočný výměník tepla chlazením v plášti 10 Obr.. Záobníky na kapalinu zapojené za ebou Obr. 3. Trychtýřový záobník nekontantním průřezem Obr. 4. Kulový záobník nekontantním průřezem... 1 Obr. 5. Průběhy utálených teplot T a T v záviloti na průtocích q a q c. 31 c Obr. 6. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. 3 Obr. 7. Průběh utálené teploty chlazené kapaliny v záviloti na čae Obr. 8. Průběh utálené teploty chladící kapaliny v záviloti na čae 34 Obr. 9. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant.. 35 Obr. 10. Průběhy utálených výšek hladin h 1 a h v záviloti na průtocích q 1v a q v Obr. 11. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 39 Obr. 1. Průběh utálené výšky hladiny v prvním záobníku v záviloti na čae Obr. 13. Průběh utálené výšky hladiny v druhém záobníku v záviloti na čae.. 41 Obr. 14. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 4 Obr. 15. Průběh výšky hladiny v záviloti na přítoku 44 Obr. 16. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 44 Obr. 17. Průběh utálené výšky hladiny v záviloti na čae.. 46 Obr. 18. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 46 Obr. 19. Průběh výšky hladiny v záviloti na průtoku.. 48 Obr. 0. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 48 Obr. 1. Průběh utálené výšky hladiny v záviloti na čae.. 50 Obr.. Tabulka pro zadávání vtupních hodnot tabulkou kontant 50
58 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM TABULEK Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku... 9 Tab.. Tabulka zadaných veličin.. 30 Tab. 3. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 33 Tab.4. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku 37 Tab. 5. Tabulka zadaných veličin.. 37 Tab. 6. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 40 Tab. 7. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku.. 43 Tab. 8. Tabulka zadaných veličin.. 43 Tab. 9. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku. 45 Tab. 10. Tabulka zadaných proměnných pro tatickou charakteritiku. 47 Tab. 11. Tabulka zadaných veličin 47 Tab. 1. Tabulka zadaných proměnných pro dynamickou charakteritiku 49
59 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, SEZNAM PŘÍLOH PI: PII: PIII: PIV: PV: PVI: Průtočný výměník tatická charakteritika Průtočný výměník dynamická charakteritika Záobníky na kapalinu tatická charakteritika Záobníky na kapalinu dynamická charakteritika Trychtýřový záobník tatická charakteritika Trychtýřový záobník dynamická charakteritika PVII: Kulový záobník tatická charakteritika PVIII: Kulový záobník dynamická charakteritika
60 PŘÍLOHA P I: PRŮTOČNÝ VÝMĚNÍK STATICKÁ CHARAKTERISTIKA. vymenik_tatika.m clc clear all cloe all V=1.; % m^3 Vc=0.64; % m^3 ro=985; %kg/m^3 roc=998; %kg/m^3 cp=4.05; %kj/kg*k cpc=4.18; %kj/kg*k F=5.5; %m^ a=43.5; %kj/m^*min*k Tv_=33; %K Tcv_=93; %K q_z = input(' zadejte zacatek intervalu pro ruzny prutok q: '); q_kr = input(' zadejte krok intervalu pro ruzny prutok q: '); q_k = input(' zadejte konec intervalu pro ruzny prutok q: '); qc_z = input(' zadejte zacatek intervalu pro ruzny prutok qc: '); qc_kr = input(' zadejte krok intervalu pro ruzny prutok qc: '); qc_k = input(' zadejte konec intervalu pro ruzny prutok qc: '); q = q_z:q_kr:q_k; qc = 0.03; for i = 1:length(q) T_(1,i)=(qc*roc*cpc*Tcv_*F*a+q(i)*ro*cp*Tv_*F*a+qc*roc*cpc*q(i)*ro*cp*Tv_)/(q(i)*ro*cp*F*a+q c*roc*cpc*q(i)*ro*cp+qc*roc*cpc*f*a); end ubplot (,,); plot(q,t_(1,:)); xlabel('q[m^3/min]'); ylabel('t_[k]'); for i = 1:length(q) Tc_(1,i)=(q(i)*ro*cp*qc*roc*cpc*Tcv_+qc*roc*cpc*Tcv_*F*a+q(i)*ro*cp*Tv_*F*a)/(q(i)*ro*cp*F*a +qc*roc*cpc*q(i)*ro*cp+qc*roc*cpc*f*a); end ubplot (,,1); plot(q,tc_(1,:)); xlabel('q[m^3/min]');
ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
VíceKNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ
KNIHOVNA MODELŮ TECHNOLOGICKÝCH PROCESŮ Radim Pišan, František Gazdoš Fakulta aplikované informatiky, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Nad stráněmi 45, 760 05 Zlín Abstrakt V článku je představena knihovna
Více25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13
5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )
VíceANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM
ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM P Kytka J Novák ČVUT v Praze Fakulta tavební katedra fyziky Práce e zabývá analýzou průchodu paprků koutovým odražečem což je typ hranolu který je
VíceAutomatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou
Automatizace Úloha č. Identifikace regulované outavy Strejcovou metodou Petr Luzar 008/009 Zadání. Zapojte regulační obvod reálnou tepelnou outavou a eznamte e monitorovacím a řídicím programovým ytémem
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VOKÁ ŠKOLA BÁŇKÁ TECHNICKÁ NIVEZITA OTAVA FAKLTA TOJNÍ ZÁKLAD ATOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 9. týden doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Otrava 03 doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Vyoká škola báňká Technická univerzita Otrava
Více1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu
..4 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně minut na řešení příkladů
VíceVzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl sloužit jako vzor pro tvorbu vašich vlastních protokolů.
Vzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl loužit jako vzor pro tvorbu vašich vlatních protokolů. Na příkladech je zde ukázán právný zápi výledků i formát tabulek a grafů.
Víces požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do
Vážení zákazníci, dovolujeme i Vá upozornit, že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø
Více7 - Ustálený stav kmitavý a nekmitavý, sledování a zadržení poruchy
7 - Utálený tav kmitavý a nekmitavý, ledování a zadržení poruchy Michael Šebek Automatické řízení 018 31-3-18 Automatické řízení - ybernetika a robotika zeílení ytému na frekvenci ω je G( jω) - viz amplitudový
VíceIDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL
IDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL Ing. Zeněk Němec, CSc. VUT v Brně, Fakulta trojního inženýrtví, Útav automatizace a informatiky. Úvo, vymezení problematiky Přípěvek ouvií řešením
Více( LEVEL 3 Laplaceova transformace jako nástroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. )
( LEVEL 3 Laplaceova tranformace jako nátroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. ) Podívejme e tentokrát na dynamiku pracovní edačky řidiče prizmatem matematiky aneb trocha teorie jitě nikomu neuškodí...
Více21 Diskrétní modely spojitých systémů
21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,
VícePodpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík
Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík Bakalářká práce 6 ABSTRAKT Abtrakt čeky Tato bakalářká práce e zabývá vzorovým vypracováním zápočtových protokolů polu návrhem zadání
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela syntéza elektronických obvodů
Jiří Petržela příklad nalezněte dvě různé realizace admitanční funkce zadané formou racionální lomené funkce Y () () ( ) ( ) : první krok rozkladu do řetězového zlomku () 9 7 9 výledný rozklad ( ) 9 9
VíceVzorový test k přijímacím zkouškám do navazujícího magisterského studijního oboru Automatické řízení a informatika (2012)
Vzorový tet k přijímacím zkouškám do navazujícího magiterkého tudijního oboru Automatické řízení a informatika (22). Sekvenční logický obvod je: a) obvod, v němž je výtupní tav určen na základě vtupních
Více4 HMM a jejich trénov
Pokročilé metody rozpoznávánířeči Přednáška 4 HMM a jejich trénov nování Skryté Markovovy modely (HMM) Metoda HMM (Hidden Markov Model kryté Markovovy modely) reprezentujeřeč (lovo, hláku, celou promluvu)
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t
VíceSystém vztahů obecné pružnosti Zobecněný Hookeův zákon
Stém vtahů obecné pružnoti Zobecněný Hookeův ákon V PPI e řešil úloh pružnoti u prutů. Pro řešení pouvů napětí a přetvoření obecného 3D těleo je třeba etavit a řešit tém vtahů obecné pružnoti. Jeho řešení
VíceRovnice rovnoměrně zrychleného pohybu
..8 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 7 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně píše minut na řešení příkladů
VícePříklad 1 Ověření šířky trhlin železobetonového nosníku
Příklad 1 Ověření šířky trhlin železobetonového noníku Uvažujte železobetonový protě podepřený noník (Obr. 1) o průřezu b = 00 mm h = 600 mm o rozpětí l = 60 m. Noník je oučátí kontrukce objektu pro kladování
VíceNumerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic
Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic Michal Menkina TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceMěřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry
MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický
VícePříklady k přednášce 20 - Číslicové řízení
Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4- Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( )
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo
VíceTeorie systémů a řízení
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ ECHNICKÁ UNIVERZIA V OSRAVĚ FAKULA HORNICKO - GEOLOGICKÁ INSIU EKONOMIKY A SYSÉMŮ ŘÍZENÍ eorie ytémů a řízení Prof.Ing.Aloi Burý,CSc. OSRAVA 2007 Předmluva Studijní materiály eorie
Více5. cvičení z Matematické analýzy 2
5. cvičení z Matematické analýz 2 30. října - 3. litopadu 207 5. linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
ECHNICÁ UNIVERZIA V LIBERCI FAULA SROJNÍ atedra aplikované kybernetiky Obor 3922 Automatizované ytémy řízení ve trojírentví Zaměření Automatizace inženýrkých prací Programový modul pro automatické eřízení
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Gradovaný řetězec úloh Téma: Komolý kužel Autor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy:
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentká, 6 7 Liberec POŽADAVKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z FYZIKY Akademický rok: 0/0 Fakulta mechatroniky Studijní obor: Nanomateriály Tématické okruhy. Kinematika
VíceRozšíření modelů technologických procesů
Rozšíření modelů technologických procesů Pavel Sousedík Vedoucí: František Gazdoš, Ing. PhD. 2009 ABSTRAKT V práci je představena knihovna modelů reálných procesů. Tyto modely jsou vytvářeny v programovém
VíceVýfučtení: Triky v řešení fyzikálních úkolů
Výfučtení: Triky v řešení fyzikálních úkolů Úvod Ve fyzice obča narazíme na problémy jejichž řešení je mnohdy komplikované a zdlouhavé. Avšak v určitých případech e tyto ložité problémy dají vyřešit velmi
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kybernetiky. Bakalářská práce. Řízení Trojkolového vozíku
Západočeká univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra kbernetik Bakalářká práce Řízení Trojkolového vozíku Plzeň, 23 Jan Holub Prohlášení Předkládám tímto k poouzení a obhajobě bakalářkou práci
VíceMODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10
MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický
VíceÚSTŘEDNÍ KOMISE FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY
ÚSTŘEDNÍ KOMISE YZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY E-mail: ivo.volf@uhk.cz, tel.: 493 331 19, 493 331 189 Řešení úloh krajkého kola 55. ročníku yzikální olympiády Kategorie E Předložená řešení by neměla
VíceVYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU. Ing. Aleš Hrdlička
VYUŽITÍ MATLABU PŘI NÁVRHU FUZZY LOGICKÉHO REGULÁTORU Ing. Aleš Hrdlička Katedra technické kybernetiky a vojenké robotiky Vojenká akademie v Brně E-mail: hrdlicka@c.vabo.cz Úvod Tento článek popiuje jednoduchou
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
Více4. Práce, výkon, energie
4. Práce, výkon, energie Mechanická práce - konání mechanické práce z fyzikálního hledika je podmíněno vzájemným ilovým půobením těle, která e přitom vzhledem ke zvolené vztažné outavě přemíťují. Vztahy
VícePříklady k přednášce 2 - Spojité modely
Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 5 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti -5-5 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více1.1.7 Rovnoměrný pohyb II
1.1.7 Rovnoměrný pohyb II Předpoklady: 16 Minulou hodinu jme zakončili předpovídáním dalšího pohybu autíčka. Počítali jme jeho dráhy v dalších okamžicích pomocí tabulky a nakonec i přímé úměrnoti: autíčko
VíceCitlivost kořenů polynomů
Citlivost kořenů polynomů Michal Šmerek Univerzita obrany v Brně, Fakulta ekonomiky a managementu, Katedra ekonometrie Abstrakt Článek se zabývá studiem citlivosti kořenů na malou změnu polynomu. Je všeobecně
VíceÚSTAV PRO VÝZKUM MOTOROVÝCH VOZIDEL s.r.o. TÜV Süddeutschland Holding AG TECHNICKÁ ZPRÁVA
TÜV Süddeutchland Holding AG Lihovarká 12, 180 68 Praha 9 www.uvmv.cz TECHNICKÁ ZPRÁVA Metodika pro hodnocení vozidel v jízdních manévrech na základě počítačových imulací a jízdních zkoušek. Simulační
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceŘízení tepelného výkonu horkovodu simulace řízeného systému i řídicího algoritmu
Řízení tepelného výkonu horkovodu imulace řízeného ytému i řídicího algoritmu Operating of heat rate hot water pipe imulation of control ytem and control algorithm Bc. Michaela Pliková Diplomová práce
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více3. V případě dvou na sebe kolmých posunutí o velikostech 3 cm a 4 cm obdržíme výsledné posunutí o velikosti a) 8 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 5 cm *
Fyzika 1 2009 Otázky za 2 body 1. Mezi tavové veličiny patří a) teplo b) teplota * c) práce d) univerzální plynová kontanta 2. Krychle má hranu o délce 2 mm. Jaký je její objem v krychlových metrech? a)
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT. Institut biostatistiky a analýz
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík,, CSc. III. PŘÍZNAKOVÁ KLASIFIKACE - ÚVOD PŘÍZNAKOVÝ POPIS Příznakový obraz x zpracovávaných dat je vyjádřen n-rozměrným loupcovým vektorem hodnot x i,
VíceSimulátor ochran a protihavarijních automatik (RTDS) - modely měřících a výkonových transformátorů
Simulátor ochran a protihavarijních automatik (RTDS) - modely měřících a výkonových tranformátorů Ing. Petr Neuman, CSc., ČEPS, a.., Praha, Čeká republika E-mail: neuman@cep.cz Anotace Autor přípěvku vytupuje
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceDynamika proudících plynů
Dynamika proudících plynů Při výpočtech se budeme zabývat prouděním ideálních plynů. Jejich vlastnosti již byly popsány na předchozích přednáškách/cvičeních. Při proudění ideálního plynu si zavedeme ještě
Vícei=1..k p x 2 p 2 s = y 2 p x 1 p 1 s = y 1 p 2
i I i II... i F i..k Binární mě, ideální kaalina, ideální lyn x y y 2 Křivka bodů varu: Křivka roných bodů: Pákové ravidlo: x y y 2 n I n x I z II II z x Henryho zákon: 28-2 U měi hexan() + hetan(2) ři
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 28 5-5-8 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { } t f(): t f() t = t
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 016 15-4-17 Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy netvoří těleo (jako reálná číla, racionální funkce, ) ale okruh (jako
Více4. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z Matematické analýzy 2 22. - 26. října 208 4. Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45
VíceMODELOVÁNÍ VYSOKOFREKVENČNÍCH PULSACÍ
VYSOKÉ UČNÍ TCHNICKÉ V BNĚ BNO UNIVSITY OF TCHNOLOGY FAKULTA STOJNÍHO INŽNÝSTVÍ NGTICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MCHANICAL NGINING NGY INSTITUT MODLOVÁNÍ VYSOKOFKVNČNÍCH PULSACÍ HIGH-FQUNCY PULSATIONS MODLING
VíceMANUÁL. Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0
www.eucitel.cz MANUÁL Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0 Autor: RNDr. Jiří Kocourek Licence: Freeware pouze pro oobní potřebu. Použití ve výuce je podmíněno uhrazením ročního předplatného přílušnou
VíceNumerická matematika. Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou
Numerická matematika Zadání 25. Řešení diferenciální rovnice Rungovou Kuttovou metodou Václav Bubník, xbubni01, sk. 60 FIT VUT v Brně, 2004 Obsah Numerická matematika...1 1. Teorie... 3 1.1 Diferenciální
VíceCVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4.
CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného
VíceVYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8 Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Více11 - Regulátory. Michael Šebek Automatické řízení 2015 24-3-15
- Regulátory Michael Šebe Automaticé řízení 5 4-3-5 Nejjednodušší regulátory Automaticé řízení - Kybernetia a robotia v jitém mylu nejjednodušší regulátor je On-Off (Bang-bang) má jen dvě možné výtupní
VícePříklady k přednášce 6 - Spojování a struktury
Příklad k přednášce 6 - Spojování a truktur Michael Šebek Automatické řízení 07 7-3-8 Automatické řízení - Kbernetika a robotika Zpětnovazební pojení tavových modelů Odvození obecného případu (značení
VíceŘešení diferenciálních rovnic v MATLABu
Řešení diferenciálních rovnic v MATLABu Základy algoritmizace a programování Přednáška 23. listopadu 2011 Co řešíme Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu: separovatelné lineární exaktní druhého řádu,
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceVYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9 Nestacionární vedení tepla v rovinné stěně Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento
VíceNávod k použití programu pro výpočet dynamické odezvy spojitého nosníku
Návod k použití programu pro výpočet dynamické odezvy spojitého nosníku Obsah. Úvod.... Popis řešené problematiky..... Konstrukce... 3. Výpočet... 3.. Prohlížení výsledků... 4 4. Dodatky... 6 4.. Newmarkova
VícePracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus
Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je
VíceCVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE
CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem
VíceVYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŽENÝRSTVÍ cvičení 11
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŽENÝRSTVÍ cvičení 11 Termodynamika reálných plynů část 1 Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento studijní
VícePosouzení stability svahu
Inženýrký manuál č. 8 Aktualizace: 02/2016 Poouzení tability vahu Program: Soubor: Stabilita vahu Demo_manual_08.gt V tomto inženýrkém manuálu je popán výpočet tability vahu, nalezení kritické kruhové
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceBENCHMARKOVÝ MODEL CHLADICÍHO ZAŘÍZENÍ V SUPERMARKETECH SUPERMARKET REFRIGERATION BENCHMARK MODEL
BENCHMARKOVÝ MODEL CHLADICÍHO ZAŘÍZENÍ V SUPERMARKETECH D. Honc, F. Dušek Katedra řízení proceů, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Univerzita Pardubice Abtrakt Řízení rozáhlých ytémů je prakticky
VíceLaboratorní model CE 151 Kulička na ploše
Laboratorní model CE 5 Kulička na ploše CE 5 Ball and Plate Apparatu Bc. Mirolav Kirchner Diplomová práce 0 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 0 4 ABSTRAKT Tato diplomové práce e zabývá reálným
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceKatedra geotechniky a podzemního stavitelství
Katedra geotechnik a podzemního taviteltví Modelování v geotechnice Základní veličin, rovnice a vztah (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace tudijního
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VícePROCESNÍ INŽENÝRSTVÍ cvičení 5
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY PROCESNÍ INŽENÝRSTVÍ cvičení 5 Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
VíceAplikace experimentálních identifikačních metod pro modelování reálných procesů. Bc. Miroslav Husek
Aplikace experimentálních identifikačních metod pro modelování reálných proceů Bc. Mirolav Huek Diplomová práce 017 ***nacannované zadání. 1*** ***nacannované zadání. *** Prohlašuji, že beru na vědomí,
Víced T FP = fázový přechod (tání, tuhnutí, vypařování, kapalnění, sublimace)
Fázové rovnováhy jednoložkový ytém Gibbův fázový zákon k f C Popi záviloti tlaku naycených par na teploě Clapeyronova rovnice: d p F P m n e b o F P d l np F P m F P z FP fázový přechod (tání, tuhnutí,
VíceMetoda konečných prvků Základní veličiny, rovnice a vztahy (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace tudijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ..7/../8.9 Metoda konečných prvků Základní veličin, rovnice a vztah (výuková prezentace pro. ročník navazujícího tudijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr. Eva
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Vícepřednáška TLAK - TAH. Prvky namáhané kombinací normálové síly a ohybového momentu
7..0 přednáška TLAK - TAH Prvky namáhané kombinací normálové íly a ohybového momentu Namáhání kombinací tlakové (tahové) íly a momentu tlak Namáhání kombinací tlakové (tahové) íly a momentu Namáhání kombinací
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceVYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 12
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 2 Termodynamika reálných plynů část 2 Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 203 Tento studijní
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
Vícepřírodovědných a technických oborů. Scientia in educatione, roč. 5 (2014), č. 1, s
[15] Nováková, A., Chytrý, V., Říčan, J.: Vědecké myšlení a metakognitivní monitorování tudentů učiteltví pro 1. tupeň základní školy. Scientia in educatione, roč. 9 (2018), č. 1,. 66 80. [16] Bělecký,
Více