MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechanky Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. MEZNÍ STAVY A SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ LIMIT STATES AND RELIABILITY OF STEEL STRUCTURES TEZE PŘEDNÁŠKY K PROFESORSKÉMU JMENOVACÍMU ŘÍZENÍ V OBORU TEORIE A KONSTRUKCE STAVEB Brno 2007

2 Klíčová slova Mezní stavy, ocelová konstrukce, spolehlvost, stablta, mperfekce, pravděpodobnost, fuzzy množny Key words Lmt states, steel structure, relablty, stablty, mperfectons, probablty, fuzzy sets Zdeněk Kala, 2007 ISBN ISSN X

3 OBSAH 1 PŘEDSTAVENÍ AUTORA ÚVOD ANALÝZA SPOLEHLIVOSTI OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ Pravděpodobnostní analýza Ctlvostní analýza Statstcká analýza Alternatvní přístupy reprezentace neurčtost Fuzzy pravděpodobnostní analýza VERIFIKACE NÁVRHOVÝCH KRITÉRIÍ MEZNÍCH STAVŮ Kombnace zatížení Modely základních velčn PŘÍKLADY APLIKACÍ SPOLEHLIVOSTNÍ ANALÝZY Mezní stav únosnost ocelového válcovaného prutu Fuzzy pravděpodobnostní analýza Ctlvostní analýza Statstcká a ctlvostní analýza tenkostěnného nosníku Mezní stav únosnost Napjatost mezní stav únavy Shrnutí a nejdůležtější závěry ZÁVĚR KONCEPCE DALŠÍ VĚDECKÉ A PEDAGOGICKÉ ČINNOSTI LITERATURA Seznam odkazů na ctovanou lteraturu Přehled autorových nejvýznamnějších publkací ABSTRACT

4 1 PŘEDSTAVENÍ AUTORA Doc. Ing. Zdeněk Kala, Ph.D. Datum narození: 15. září 1971 Místo narození: Brno, Československo (nyní ČR) Národnost: česká Stav: ženatý Adresa do zaměstnání: Ústav stavební mechanky, Fakulta stavební VUT v Brně, Veveří 95, Brno, ČR Telefon: , fax: , e mal: kala.z@fce.vutbr.cz Bydlště: Provazníkova 1258/47, Brno, ČR Vzdělání, ttuly, pedagogcké a vědecké hodnost: Maturtní zkouška s vyznamenáním, , gymnasum Táborská v Brně Ing.: , státní závěrečné zkoušky s klasfkací výborně, FAST VUT v Brně Dr. (Ph.D.): , Fakulta stavební VUT v Brně Doc.: , Fakulta stavební VUT v Brně Znalost czích jazyků: anglčtna, ruštna Zaměstnání: Odborný asstent ( ), Fakulta stavební VUT v Brně Docent (2003 dosud), Fakulta stavební VUT v Brně Specalzace: Spolehlvost stavebních konstrukcí, stochastcká výpočtová mechanka, smulační metody typu Monte Carlo, ctlvostní analýza, fuzzy množny, stabltní problémy ocelových konstrukcí, nelneární mechanka, navrhování ocelových konstrukcí. Pedagogcká čnnost: - Vedení přednášek: Pružnost a plastcta resp. Pružnost a pevnost (2000 dosud), Stavební mechanka (2001 dosud), Vybrané statě ze stavební mechanky (2005 dosud). - Vedení cvčení: Pružnost a plastcta resp. Pružnost a pevnost (1995 dosud), Statka stavebních konstrukcí II. ( ), Spolehlvost stavebních konstrukcí (1999), Automatzace statckých výpočtů (2000), Stavební mechanka (2001 dosud). - Vedení dplomových prací: Ing. Tomáš Blumensten (2002). - Vedení doktorandských prací: Ing. Abayom Omshore, Ph.D. ( ) práce obhajoba v anglčtně. Odborný garant předmětu: Automatzace statckých výpočtů ( ), Stavební mechanka ( ), Pružnost a plastcta resp. Pružnost a pevnost (2003 dosud). Zahranční kurzy a školení: - Bauhaus Unverstät Wemar, Faculty of Cvl Engneerng, Advanced Studes n Structural Engneerng CAE, Wemar, 1st August to 14th August 1998 (2 týdny). - Unverstà degl Stud d Roma La Sapenza, 25th October to 7th November 2005 (2 týdny). Členství ve společnostech: Člen České společnost pro mechanku (2005 dosud). Odborná praxe: projektant konstruktér výpočtového středska RIA, Královopolská strojírna, a.s., specalzujícího se na výpočty, návrhy a výzkum ocelových konstrukcí a technologckých zařízení jaderných elektráren Temelín (ČR) a Mochovce (SR) projektant konstruktér frmy Stress Analyss Group, s.r.o (dceřná společnost Královopolské strojírny RIA, a. s.), specalzující se na statckou a dynamckou analýzu nosných ocelových konstrukcí. 4

5 Přehled udělených grantů (odpovědný řeštel): - Grant č. 103/99/P023 GAČR Nelneární odezva ocelových prutových konstrukcí s uvážením mperfekcí pravděpodobnostní přístup, Grant č. 103/01/D022 GAČR Spolehlvostní analýza prutových ocelových konstrukcí, Grant č. 103/03/0233 GAČR Ctlvostní analýza stabltních problémů tenkostěnných konstrukcí, Grant č. KJB AVČR Vlv mperfekcí na neurčtost chování ocelových konstrukcí, Grant č. 103/07/1067 GAČR Identfkace a modelování nejstot př navrhování ocelových konstrukcí, Přehled udělených grantů (odpovědný spoluřeštel): - Grant č. MPO ČR č. 2A 1TP1/107 Nové technologe zvyšování spolehlvost a bezpečnost tlakových systémů a ocelových konstrukcí, Přehled o projektech, na kterých navrhovatel spolupracoval (člen řeštelského týmu): - Grant č. 103/97/0074 GAČR Účnky smyku a jejch vlv na přetvoření a napjatost tenkostěnných a deskových konstrukcí, Grant č. 103/96/1673 GAČR Návrhové mezní stavy tlačeného prutu vystaveného opakovanému zatížení, Grant č. 103/00/0603 GAČR Ocenění rzka ztráty únosnost a provozuschopnost stavebních konstrukcí, Grant č. 103/00/0758 GAČR Výzkum reálných vlastností hutních materálů pro zajštění spolehlvost ocelových nosných prvků, Výzkumný záměr Mnsterstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR, CEZ J22/98: , Grant č. 103/05/0417 GAČR Zvýšení spolehlvost konstrukcí ze skla, Grant č. 103/05/1107 GAČR Expermentální a teoretcká analýza ocelových rozpěrných kotev př namáhání statckým a dynamckým účnky zatížení, MPO 2A 1TP/107 Verfkované postupy stanovení technckého žvota dynamcky zatěžovaných konstrukcí, Grant č. 103/07/0760 GAČR Soft computng ve stavební mechance, Výzkumný záměr Mnsterstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR, Progresvní spolehlvé a trvanlvé nosné stavební konstrukce, Členství v organzačních výborech: - VII. ročník celostátní konference se zahranční účastí Spolehlvost konstrukcí, Praha, Výzkumný záměr Mnsterstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR, Progresvní spolehlvé a trvanlvé nosné stavební konstrukce, Odborné zprávy úkolů v prax: přes 20 odborných zpráv frem Královopolská a SAG. Recenzní a odborné posudky: 44 projektů FRVŠ, 8 projektů GAČR, 1 projekt APPV (SR), 2 dsertační práce, 11 publkací v časopsech, 3 recenzní posudky skrpt. Publkace: 159 odborných článků a jných příspěvků (70 uveřejněno v zahrančí). - monografe: 1x - zahranční recenzované časopsy: 20x (z toho v SR: 3x) - recenzované časopsy v ČR: 17 - techncké lsty CIDEAS: 2x - skrpta: 3x Publkace ve sbornících konferencí: - zahranční konference: 83x (z toho v SR: 27x) - konference v ČR: 33x 5

6 2 ÚVOD Podstatnou součástí návrhu konstrukčních systémů stavebních objektů jsou zejména postupy a metody zabezpečující spolehlvost a efektvnost nezbytných dmenzí nosných prvků a dílců ve vztahu k účnkům působícího zatížení a namáhání konstrukce. Běžné návrhové postupy používané př dmenzování nosných konstrukcí stavebních objektů jsou v zásadě založeny na výpočetním postupu ověřujícím platná normatvní krtéra vycházející ze statckého, resp. dynamckého řešení modelu reálného konstrukčního systému, v současné době dle metodky mezních stavů [18]. Mezním stavy rozumíme takové stavy, př jejchž překročení ztrácí konstrukce schopnost plnt funkční požadavky na užtné vlastnost. U ocelových konstrukcí se dělí na dvě základní skupny: Mezní stavy únosnost souvsejí se zřícením a podobným porucham: ztrátou únosnost konstrukce nebo její část jako tuhého tělesa, transformací v mechansmus č poruchu nadměrným přetvořením, ztrátou stablty podpor a základů, poruchou způsobenou únavou nebo jným časově závslým účnkem. Mezní stavy použtelnost souvsejí se splněním provozních požadavků a jsou charakterzovány deformacem, posuny, kmtáním a takovým jevy, které mohou nepříznvě ovlvnt vzhled, trvanlvost nebo funkc konstrukce. Kromě těchto základních druhů se v poslední době objevují další mezní stavy např. trvanlvost [44]. Obecně bychom mohl spolehlvost konstrukce (nebo prvků konstrukce) defnovat jako schopnost plnt požadavky, které jsou na konstrukc kladeny v daném časovém období a v daných provozních podmínkách [37]. Konstrukce, prvek č průřez je spolehlvý, je l splněna základní podmínka spolehlvost ve tvaru: ( X ) g( X X,..., X ) 0 g (1) = 1, 2 M kde X 1, X 2,, X M jsou velčny pro její výpočet. Tyto velčny představují zpravdla geometrcké a materálové charakterstky, zatížení a případně další vlvy. Funkce g je přtom představována explctně vyjádřtelnou funkcí (v jednoduchých případech), nebo složtějším výpočtovým algortmem (ve většně případů modelů spolehlvost systému). 3 ANALÝZA SPOLEHLIVOSTI OCELOVÝCH KONSTRUKCÍ 3.1 PRAVDĚPODOBNOSTNÍ ANALÝZA Metoda navrhování konstrukcí podle mezních stavů vychází z pravděpodobnostního přístupu k podmínce spolehlvost (1). Teore stavební spolehlvost vešla do povědomí odborné veřejnost poté, co Streleckj [33] a Freudhental [6] uvedl klasckou teor ve formě dvou náhodných velčn: R F 0 (2) kde symbol R vyjadřuje schopnost konstrukce vzdorovat vnějším vlvům, které jsou zastoupeny symbolem F. Výklad a praktcké používání vztahu (2) prošly vývojem, jehož nejvýznamnějším etapam jsou teore mezních stavů a dovolených namáhání. Velčnou, která kvantfkuje spolehlvost, nebo nespolehlvost, je pravděpodobnost, že nerovnost (2) nebude splněna, a to po dobu žvotnost konstrukce, přčemž je třeba zohlednt konstrukční, estetcká, provozní, energetcká, ekonomcká a ekologcká hledska [35]. Dosažení mezního stavu (obecně vznku poruchy) nelze absolutně vyloučt (z technckých ekonomckých důvodů), a proto se konstrukce snažíme navrhovat tak, aby pravděpodobnost P f vznku poruchy byla velm malá. Pravděpodobnost poruchy P f je nejdůležtějším a objektvním ukazatelem spolehlvost obvykle vztaženým k jsté referenční době, tj. k časovému úseku, ve kterém má být daná míra spolehlvost zachována. Konstrukce se považuje za spolehlvou, jestlže je splněna nerovnost: 6

7 Pf P f,t (3) kde P f,t je směrná hodnota pravděpodobnost poruchy, jejíž normové hodnoty se uvádějí v závslost na významu konstrukce a skupně mezních stavů, vz [45]. V prax se častěj pro větší názornost jako ukazatel spolehlvost používá zobecněný ndex spolehlvost β [15]. Předmětem teore spolehlvost jsou především mezní stavy průřezů, prvků nebo konstrukcí jako celku. Dosažení mezního stavu je obecně náhodný jev, který se v teor spolehlvost zkoumá pomocí teore pravděpodobnost a matematcké statstky. Přímé posouzení vztahu (2) poskytují plně pravděpodobnostní postupy navrhování konstrukcí [36], které jsou v náročných případech často založeny na smulačních postupech např. metodou Monte Carlo (MC) [3, 146]. 3.2 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA U složtějších konstrukcí je vhodným doplňkem posudku spolehlvost ctlvostní analýza, která odpovídá na otázku, jakým způsobem ovlvňují vstupní parametry výsledek nebo jným slovy jaká je ctlvost odezvy na změnu vstupního parametru. Mějme výpočtový model se vstupním velčnam (X 1, X 2,, X M ) jejchž rozptyly (nebo neurčtost) jsou nenulové, a sledujme vlv těchto velčn na výstupní velčnu Y: ( X ) f ( X X ) Y =,..., (4) 1, 2 Obecná defnce ctlvostní analýzy je tato: Ctlvostní analýza (senstvty analyss) studuje neurčtost výstupu modelu (numerckého nebo jného) způsobenou rozdílným příčnam neurčtostí modelových vstupů [28]. S ctlvostní analýzou úzce souvsí tzv. neurčtostní analýza (uncertanty analyss), která je zaměřena spíše na kvantfkac neurčtostí modelových výstupů [27]. V deálním případě by se ctlvostní a neurčtostní analýza měly vyhodnocovat společně [29]. Účelem stochastcké ctlvostní analýzy je posoudt relatvní ctlvost náhodné proměnlvost sledovaného jevu k náhodné proměnlvost jednotlvých vstupních velčn. Určuje se, jak náhodná proměnlvost určté vstupní velčny ovlvňuje (v porovnání s ostatním) náhodnou proměnlvost sledovaného výstupu (např. únosnost konstrukce, pravděpodobnost poruchy apod.). U hromadně vyráběných výrobků je možno určt, které velčny jsou domnantní, a je jm proto nutno věnovat zvýšenou pozornost př () přípravě vstupních hodnot; () úvahách a rozhodování o zlepšení technologckých postupů; () koncpování a organzac kontrolních čnností. Často je v rámc smulačních metod používán tzv. Spearmanův koefcent pořadové korelace r : r = 6 ( p j nj ) j N( N 1) 1 2 X M 2 r 0; 1 (5) kde p j je číslo vrstvy v j té smulac pro tou vstupní velčnu, n j je pořadí hodnot výstupu y v uspořádaném souboru y 1 <y 2 < <y N. Popsaný postup je založen na předpokladu, že velčny, k nmž je výstup ctlvější, budou mít stupeň korelace s výstupem vyšší. Pokud je hodnota korelačního koefcentu kladná, jedná se o přímou úměrnost mez X a Y (s rostoucí hodnotou vstupní velčny X roste hodnota výstupní velčny Y), v opačném případě se jedná o nepřímou úměrnost. Výhodou výpočtu dle (5) je, že ho lze použít u všech smulačních metod typu MC [20]. Podmínkou pro použtí vztahu (5) je, aby výstupní velčna byla monotónně závslá na každé vstupní velčně, v opačném případě není použtí korelace r vhodným ndkátorem ctlvost. Druhý postup, který je uveden v [20], je založen na porovnání součntelů ctlvost k defnovaných vztahem: k [ Var( Y X = m, X = m,..., X = m, X = m,..., X = m )] 1 X = X X [ Var( Y )] 1 X M X M 2 [%] (6) 7

8 Výraz v čtatel je druhá mocnna varačního koefcentu výstupní velčny za předpokladu, že všechny vstupní velčny s výjmkou té jsou považovány za determnstcké (v rámc smulace jsou rovny střední hodnotě); výraz ve jmenovatel je druhá mocnna varačního koefcentu výstupní velčny za předpokladu, že všechny vstupní velčny jsou uvažovány jako náhodné. Nevýhodou použtí (6) je, že ctlvostní koefcent té velčny se vyhodnocuje za předpokladu, že zbývající vstupní velčny jsou konstantní, tj. rovny střední hodnotě. V [82] byly uvedeny příklady rovnných rámů, jejchž střední hodnoty prutových a systémových geometrckých mperfekcí jsou nulové, což praktcky znemožňuje vyhodnott ctlvostní analýzu mez vstupním mperfekcem a únosností počítanou geometrcky nelneárním výpočtem MKP, přestože je zřejmý negatvní vlv. U některých úloh lze tyto numercké problémy částečně překonat užtím vztahu (7). kde ( Y ) k [ ] 2 [ Var( Y )] Var( Y X = mx ) [ Var( Y )] 2 [%] = 100 (7) 2 Var X = m X je varační koefcent výstupní velčny za předpokladu, že všechny vstupní velčny s výjmkou té jsou považovány za náhodné ( tá vstupní velčna je v rámc smulace ponechána rovna střední hodnotě m X ). Vztah (7) je v porovnání s (6) robustnější, hlavní nevýhoda fxace vstupní velčny na jedné konstantní hodnotě však přetrvává. Sobolovy ctlvostní koefcenty V praktckých aplkacích se velm často používají ctlvostní koefcenty ruského matematka Ilj M. Sobola [30, 31]. Sobolův ctlvostní koefcent prvního řádu je defnován vztahem: ( E( Y X )) V s = 0; 1 V s (8) ( Y ) kde E(Y X ) je podmíněný artmetcký průměr výstupní velčny Y počítaný pro vstupní náhodné velčny (X 1, X 2,, X 1, X +1,, X M ) a fxovanou velčnu X. V(E(Y X )) je rozptyl (varance) tohoto artmetckého průměru počítaný pro vstupní náhodnou (nefxovanou) velčnu X. V(Y) je rozptyl výstupní náhodné velčny Y za předpokladu, že všechny vstupní velčny jsou náhodné. Výpočtový vztah (8) je robustní. V porovnání s (6) a (7) je odstraněna hlavní nevýhoda fxace vstupní velčny na jedné konstantní hodnotě; v porovnání s (5) lze (8) použít u úloh s nemonotónní závslostí mez vstupem a výstupem. Sobol v [32] navrhl alternatvní defnc s = corr( Y, E( Y X )), která je založena na výpočtu korelace mez výstupní náhodnou velčnou Y a podmíněným náhodným artmetckým průměrem E ( Y X ). Analogcky je možno výsledky obdržené dle (8) doplnt ctlvostní analýzou vlvu dvojc ( X, X j ) na sledovaný výstup. Sobolův ctlvostní koefcent druhého řádu je defnován vztahem: V ( E( Y X, X ) s j j = s s j 0; 1 V s (9) j ( Y ) Obdobně je možno zapsat další Sobolovy ctlvostní koefcenty umožňující kvantfkovat nterakce vyšších řádů. Za předpokladu statstcké nezávslost vstupních náhodných velčn platí: j> s + sj + sjl s123...m = 1 (10) j> l> j Většnou se neuvádějí ctlvostní koefcenty všech řádů, ale ctlvostní koefcenty prvního řádu (8) a tzv. úplný vlv (total effect) nterakce vstupní velčny s ostatním na sledovaný výstup, např. s T1 =s 1 +s s 123,,M [29]. Přehled dalších metod ctlvostní analýzy je uveden v [27, 29]. 8

9 3.3 STATISTICKÁ ANALÝZA Účelem statstcké analýzy je získání odhadů statstckých parametrů charakterzujících náhodné jevy sledované na konstrukc. V souvslost s metodou mezních stavů se nejčastěj statstcky vyhodnocují materálové a geometrcké charakterstky ocelových válcovaných nosníků a plechů, které jsou nejčastějším výrobním artklem [52, 57]. Statstcké charakterstky meze kluzu, pevnost a tažnost českých ocelí byly porovnány s výsledky rakouských ocelí v rámc dlouhodobé spolupráce s Unversty of Natural Resources and Appled Lfe Scences, Venna [61]. Pravděpodobnostním posudky spolehlvost bylo prokázáno, že kvalta výrobků hutní produkce ČR je v rámc střední Evropy plně konkurenceschopná [62]. Obr. 1: Statstcké vyhodnocení materálových charakterstk plechů do 20 mm ocel S ALTERNATIVNÍ PŘÍSTUPY REPREZENTACE NEURČITOSTI V poslední době se kromě klasckých stochastckých metod stále častěj uplatňují alternatvní přístupy reprezentace neurčtost modelové predkce, jmž jsou fuzztvnost (vágnost), nespecfčnost (špatné vymezení) a spor (konflkt), které jsou vyšetřovány v rámc pět teorí, v nchž je vybudován aparát pro jejch kvantfkac (teore klasckých množn, teore fuzzy množn, teore pravděpodobnost, teore možnost a Dempster Shaferova teore) [5, 8, 16, 24, 39]. Základním přístupem pro alternatvní pops neurčtost je teore fuzzy množn. Pojmu fuzzy poprvé použl prof. Lotf Zadeh v roce 1962 [42]. V roce 1965 publkoval Zadeh průkopncký, dnes jž klascký článek s názvem Fuzzy sets [43]. V klascké teor množn lze u každého prvku jednoznačně určt, zda patří k dané množně. Tuto příslušnost (její míru) je pak možné vyjádřt pomocí bnární logky hodnotou 0, nebo 1. Zobecněním těchto klasckých množn vznknou fuzzy množny, u kterých je příslušnost prvku k dané množně vyjádřena funkcí, jež nabývá hodnot v ntervalu 0 ; 1. Př nulové hodnotě prvek k množně nepatří, př jednčkové hodnotě k ní patří zcela, v ostatních případech patří k množně částečně. Jednou z možností znázornění fuzzy množny je grafcký způsob, vz obr. 2. Číslo vynesené na vodorovné ose vyjadřuje hodnotu, která je nepřesná, tj. as x 1. Kvaltatvně jnou nformac vyjadřuje funkce hustoty pravděpodobnost, která determnuje četnost výskytu nějakého hromadného jevu, vz obr. 3. Obr. 2: Příklad fuzzy čísla Obr. 3: Příklad hustoty pravděpodobnost 9

10 V teor konstrukcí se fuzzy analýza uplatňuje především na výpočtových modelech, jejchž vstupní a výstupní hodnoty jsou konvexní fuzzy čísla defnovaná na reálné ose [12, 13]. Jedním z nejdůležtějších prncpů, který umožňuje převést lbovolnou operac v klasckých množnách na operac ve fuzzy množnách, je obecný prncp rozšíření [2, 14, 22, 23]. U dvou fuzzy čísel x 1, x 2 R lze prncp rozšíření popsat takto: Nechť x 1, x 2 jsou konvexní fuzzy čísla a nechť je dána bnární funkce f: y=f(x 1, x 2 ). Pak funkc příslušnost µ f fuzzy čísla y lze určt dle (11). (11) Výsledkem je fuzzy číslo y, jež obsahuje prvky se stupněm příslušnost µ f, který je určen jako supremum (maxmum) z mnma(µ 1 (x 1 ), µ 2 (x 2 )) přes všechna x 1, x 2, pro která f(x 1, x 2 )=y [14]. Pro fuzzy množny se zavádějí tř základní operace průnk, sjednocení a doplněk (někdy se též zavádí řada dalších, např. omezený součet, omezený rozdíl, součn, mocnna, pravděpodobnostní součet, Lukasewczovy operace průnku a sjednocení). Vztah (11) je pro přímý výpočet dost nevhodný. Proto byla pro jednoduché úlohy, kde je možno odezvu systému (konstrukce) vyjádřt polynomckou funkcí, zpracována základní fuzzy artmetka [40, 22, 23]. U složtějších úloh však fuzzy analýza s využtím obecného prncpu rozšíření (stejně tak jako stochastcké metody) podléhá omezení v důsledku nutnost zpracování obrovského množství všech kombnací vstupních dat. Jednou z možností, jak tento problém řešt, je aproxmace odezvy konstrukce tzv. funkcí plochy odezvy v co nejjednodušším tvaru, vz [34]. To ční z fuzzy analýzy velm slný prostředek uplatntelný všude tam, kde je třeba zohlednt nejstoty, které nejsou stochastcké povahy [4, 19]. 3.5 FUZZY PRAVDĚPODOBNOSTNÍ ANALÝZA Běžné úlohy, se kterým se nejčastěj setkáváme, jsou charakterzovány jak fuzzy, tak stochastckou neurčtostí. Tuto kombnovanou fuzzy náhodnou neurčtost lze modelovat s použtím fuzzy náhodných proměnných a fuzzy náhodných funkcí [19]. Základní termíny a defnce souvsející s fuzzy náhodností (fuzzy randomness) byly zavedeny v [17, 25, 41]. Fuzzy náhodnost vznká tehdy, když nelze uskutečnt pozorování za exaktně defnovaných okrajových podmínek [19]. Fuzzy náhodnou velčnu lze chápat jako náhodnou velčnu, která byla měřena za neurčtých podmínek. Pokud je fuzzy náhodná velčna závslá na čase, jedná se o fuzzy náhodný proces, který je možno modelovat časovým řadam s fuzzy vstupním nformacem. Na obr. 4 je zobrazen příklad zobrazení fuzzy náhodné velčny x dle [19]. Fuzzy náhodný vektor X může být matematcky popsán fuzzy náhodnou dstrbuční funkcí F ( x), vz obr. 4. Fuzzy náhodná dstrbuční funkce ( x) funkcí F j ( x) vektoru X s hodnotam funkcí příslušnost ( x) F vektoru X je množna dstrbučních ( ) F j µ. Obr. 4: Fuzzy pravděpodobnostní funkce f ( x) a fuzzy dstr. funkce ( x) F fuzzy náhodné velčny 10

11 4 VERIFIKACE NÁVRHOVÝCH KRITÉRIÍ MEZNÍCH STAVŮ Ve stavební prax se často používají prutové konstrukce sestavené z ocelových válcovaných nosníků. S ohledem na požadovanou nízkou hmotnost, a tím nízké výrobní náklady je u konstrukce nutno zabezpečt optmální využtí materálu pro přenos daného zatížení. Základním problémem je v této souvslost defnování optmální úrovně spolehlvost konstrukčních systémů a zejména její zabezpečení z hledska reálné varablty parametrů kvalty (velkost a rozptylu pevnostních materálových charakterstk rozměrových tolerancí) hutní produkce v jednotlvých zemích. Př tom je využto výsledků různých výzkumných programů, které jsou zaměřeny na statstcké zpracování pevnostních a geometrckých charakterstk reálných ocelových materálů, nosných prvků nebo konstrukcí, aby bylo možno určt a zajstt jejch požadovanou funkční spolehlvost současně s rostoucím nároky na snadnou provedtelnost a celkovou efektvnost. Hlavním výsledkem předkládaných studí je pravděpodobnostní ověření hodnot dílčích součntelů spolehlvost konstrukčních ocelí pro novou generac evropských norem navrhování ve smyslu EUROKÓDŮ. Vzhledem k různorodost zatížení nejsou statstcké charakterstky většnou předem jednoznačně dány. Často se proto úlohy řeší jako parametrcké stude, u nchž se vhodně volí statstcké charakterstky účnků zatížení, např. dle doporučení [45]. 4.1 KOMBINACE ZATÍŽENÍ Základní dělení zatížení zahrnuje složku zatížení stálého G, užtného Q a větru W [45, 9, 10,11]. Zatížení větrem se zde předpokládá jako zatížení nedomnantní. Symboly G, Q a W označují v celé stud dílčí složky účnku zatížení. Konečné znění EN 1990 [45] uvádí pro základní kombnac těchto tří zatížení v trvalé dočasné návrhové stuac tř varanty kombnací zatížení: A. Podle vztahu (6.10) v EN 1990 [45] se návrhová hodnota F d účnku zatížení stanoví: F d = γ G G k + γ Q Q k + γ W ψ W W k (12) B. Podle rovnc (6.10a) a (6.10b) v EN 1990 [45] je možno alternatvně použít výrazů F d = γ G G k + γ Q ψ Q Q k + γ W ψ W W k (13) F d = ξ γ G G k + γ Q Q k + γ W ψ W W k (14) Př výpočtu rozhoduje méně příznvý ze vztahů (13) a (14). C. Další postup se lší od postupu B pouze tím, že se v rovnc (13) uvažuje pouze stálé zatížení, a zjednoduší se tedy na tvar F d = γ G G k (15) Př výpočtu pak rozhoduje méně příznvý ze vztahů (14) a (15). Pokud by byl domnantní vítr W, pak se v rovncích (12) a (13) zatížení větrem neredukuje a uplatní se redukce užtného zatížení Q součntelem ψ Q. Pro stanovení vlvu nahodlých zatížení na spolehlvost konstrukce jsou charakterstcké hodnoty G k, Q k, W k vyjádřeny prostřednctvím poměru δ [9, 10, 11] nahodlých zatížení Q k + W k k celkovému zatížení G k + Q k + W k a poměrem nahodlých zatížení k. δ = (Q k + W k ) / (G k + Q k + W k ); k = W k / Q k (16) 11

12 4.2 MODELY ZÁKLADNÍCH VELIČIN Geometrcké a materálové charakterstky ocelových válcovaných proflů jsou náhodné velčny, pro které je relatvní dostatek nformací z expermentů [52, 57, 61] teoretckých podkladů z tolerančních norem [47]. Na zcela jné úrovn je dostupnost statstckých charakterstk systémových mperfekcí a účnků zatížení. Jelkož je každá stavební konstrukce (až na výjmky) unkátní, není možno objektvně změřt všechny materálové a geometrcké mperfekce na větším počtu konstrukcí. Velm mlhavé jsou např. nformace o varabltě vlastních pnutí v důsledku válcování a svařování [1]. V období návrhu konstrukce často zcela chybí nformace o hstogramech zatížení, jmž bude konstrukce vystavena po dobu své žvotnost. Př defnování statstckých charakterstk zatížení lze předpokládat, že návrhová hodnota účnků zatížení F d je rovna návrhové hodnotě únosnost stanovené dle EC3, tj. že konstrukce je dle EC navržena s maxmálním využtím. Je uvažován základní případ, kdy účnek zatížení zahrnuje složku zatížení stálého G a užtného Q. Charakterstcké hodnoty G k a Q k je možno určt dle varant A, B, C pro hodnoty γ G =1,35 a γ Q =1,5 uvedené v [45]. Velčny ψ Q a ξ jsou v [45] uvedeny hodnotam 0,7 a 0,85. U stálého zatížení je možno uvažovat, že charakterstcká hodnota G k je zároveň střední hodnotou normálního rozdělení hustoty pravděpodobnost [11]. Dle [11] je možno předpokládat varační koefcent 0,1. U dlouhodobého nahodlého zatížení lze dle [11] uvažovat Gumbelovu funkc hustoty pravděpodobnost se střední hodnotou m Q = 0,6 Q k a směrodatnou odchylkou S Q = 0,21 Q k, vz obr. 5. Statstcké charakterstky Gumbelova rozdělení hustoty pravděpodobnost vycházejí z předpokladu, že se v ntervalu 0; Q k nachází 95 % realzace náhodného zatížené. Pro zohlednění účnků nahodlého zatížení se někdy používají neparametrcká rozdělení ve tvaru hstogramu, vz obr. 6 [83]. Hstogram reálného zatížení dostaneme, pokud tento hstogram vynásobíme extrémní hodnotou zatížení. Obr. 5: Gumbelovo rozdělení užtného zatížení Obr. 6: Hstogram užtného zatížení Účnek zatížení, který se může velm lšt co do ntenzty a doby trvání, je typckou fuzzy náhodnou velčnou, kterou nelze měřt za exaktně defnovaných okrajových podmínek. Podklady pro vyhodnocení hstogramu zatížení nelze získat, protože skutečné statstcké charakterstky zatížení působící po dobu žvotnost nemohou být v období návrhu konstrukce známy. Míra neurčtost návrhu konstrukce je tím vyšší, čím složtější systém navrhujeme [121]. Problém neurčtost vstupních náhodných velčn účnků nahodlého zatížení lze částečně překonat užtím dostupných statstckých dat a sofstkovaných postupů komplexní analýzy neurčtost [83]. 12

13 5 PŘÍKLADY APLIKACÍ SPOLEHLIVOSTNÍ ANALÝZY 5.1 MEZNÍ STAV ÚNOSNOSTI OCELOVÉHO VÁLCOVANÉHO PRUTU Fuzzy pravděpodobnostní verfkac spolehlvost lze názorně vysvětlt na problému návrhu ocelové vzpěry dle EUROCODE 3 [46]. Uvažujme ocelovou vzpěru IPE 220 délky L = 2,35m s poměrnou štíhlostí λ =1, 0, jejíž návrhovou únosnost uvádí norma [46]: 3 6 χ f y,k An 0,597 3, Rd = = = 468,6 kn (17) γ 1,0 M1 kde χ je vzpěrnostní součntel pro vybočení ve směru kolmém k rovně stojny průřezu, A n je nomnální plocha průřezu, f y,k je charakterstcká mez kluzu a γ M1 je dílčí součntel spolehlvost. Předpokládejme ekonomcký návrh, tj. návrhové zatížení F d je rovno návrhové únosnost R d. Prut je zatížen kombnací stálého G a dlouhodobého nahodlého Q zatížení: F d = γ G + γ Q (18) G k Q k kde γ G, γ Q jsou dílčí součntelé spolehlvost γ G =1,35 a γ Q =1,5 [45]. Podíl G k a Q k je dle (16) určen vztahem δ = Q k /(G k +Q k ) [11]. Za předpokladu F d =R d a δ 0;1) lze z (18) stanovt charakterstcké hodnoty G k a Q k, které jsou zároveň parametry Gaussova a Gumbelova rozdělení náhodných účnků stálého a nahodlého zatížení, vz kaptola 4.2 a obr. 5. Osa skutečného prutu je obecně křvka, o zcela přímý prut se nejedná praktcky nkdy. Únosnost vzpěry velm ctlvá na velkost počátečního zakřvení osy prutu pro poměrnou štíhlost λ 1,0 [54], což je zde uvažovaný případ. S cílem zohlednt jak velkost, tak tvar počátečního zakřvení byla osa prutu modelována metodou prutových konečných prvků s využtím náhodných polí [21], vz obr. 7. Obr. 7: Geometrcká mperfekce počátečního zakřvení osy prutu a mperfekce rozměrů průřezu Tvar počátečního zakřvení prutu na obr. 7 je určen 21 výchylkam y vzájemně korelovaným, aby tak byly vyloučeny nereálné tvary. Korelace byla uvažována dle exponencální autokorelační funkce [21] s korelační délkou L cor =1,2m, která nejvěrněj odpovídá expermentálně zjštěným výsledkům [7]. Dle [51] bylo předpokládáno, že velčny y mají Gaussovo rozdělení se střední hodnotou rovnou nule a směrodatnou odchylkou danou funkcí snus: x S y S y10 sn π (19) L 13

14 přčemž S y10 = 1,8 mm je směrodatná odchylka prostředního uzlu odvozená z předpokladu, že se v tolerančních mezích ± 3,525 mm normy [47] nachází 95 % náhodných realzací zakřvení. Obr. 8: Příklad náhodných realzací počátečního zakřvení osy prutu pro L cor = 1,2m Dalším náhodným velčnam jsou mez kluzu f y a geometrcké charakterstky h, b, t 1, t 2 (vz obr. 7), jejchž statstcké charakterstky byly uvažovány hstogramy dle výsledků expermentálního výzkumu [52]. Varablta modulu pružnost E byla uvažována dle [26]. Podmínka spolehlvost (2) byla uvažována ve tvaru: ( G + Q) 0 K (20) R R K F > kde K R a K F jsou součntelé modelových nejstot, jež zohledňují neurčtost, která je do řešení vnesena užtím toho č onoho výpočtového modelu. V nternetovém dokumentu [48] je v případě namáhání prutu na vzpěr doporučeno uvažovat součntele K R a K F jako náhodné velčny s lognormálním rozdělením se střední hodnotou 1,0 a směrodatnou odchylkou 0,05. Je třeba poznamenat, že střední hodnota součntele nejstot odolnost K R je v případě namáhání tahem uvažována hodnotam 1,1 a v případě namáhání smykem hodnotam až 1,2. U vzpěru prutu se někdy uvažuje zvýšení únosnost v důsledku okrajových podmínek, které neodpovídají deálnímu kloubu. Naopak vlv vlastního pnutí a excentrcty zatížení únosnost snžuje. Srovnáním únosnost vyjádřené analytcky s nelneárním řešením MKP programem ANSYS bylo zjštěno [145], že se součntele modelových nejstot mohou významně odlšovat od hodnot doporučených v [48]. Exstují tedy nejstoty jednak ve statstckých charakterstkách těchto součntelů (modelových nejstot), jednak je dskutablní jejch fyzkální význam. Alternatvní možností je uvažovat součntele modelových nejstot jako fuzzy čísla. Cílem fuzzy analýzy není hledání příčn neurčtostí výpočtových modelů, ale teoretcká kvantfkace jejch vlvu (ctlvost) na pravděpodobnost poruchy. Za tímto účelem byly součntele modelových nejstot K R a K F uvažovány jako lneární symetrcká fuzzy čísla, vz obr. 9 a obr. 10. Obr. 9: Modelové nejstoty únosnost Obr. 10: Modelové nejstoty zatížení Únosnost prutu byla řešena MKP geometrcky nelneárním výpočtem Euler Newton Raphsonovou metodou s řízeným zjemňováním zatěžovacího kroku s přesností 0,01 % výstupní únosnost. Pro výpočet pravděpodobnost poruchy P f bylo použto tolka kroků metody MC, aby k nesplnění podmínky (20) došlo mnmálně 200krát, což zaručuje chybu odhadu P f přblžně 7 %, přčemž maxmální počet smulací byl 10 mlónů. 14

15 5.1.1 Fuzzy pravděpodobnostní analýza Fuzzy analýza pravděpodobnost poruchy (20) byla vyhodnocena podle obecného prncpu rozšíření (11) pro 10 α řezů [2, 14, 23]. Postup fuzzy analýzy je možno vysvětlt na řezu A. Uvažujme δ = 1,0. Mnmum P f,mn =10 E 5 je vyhodnoceno pro K F = 0,97, K R =1,03 a maxmum P f,max = 37,6 E 5 je vyhodnoceno pro K F = 1,03, K R = 0,97, tj. fuzzy neurčtost únosnost a zatížení ±3 % vymezuje fuzzy neurčtost P f ntervalem P f 10E 5; 37,6E 5. Interval řezu A (nosče) je zobrazen čárkovanou čarou, vz obr. 11. Pro řez B, řez C a další řezy se postupuje obdobně. Obr. 11: Fuzzy analýza nevyrovnanost pravděpodobnost poruchy Čstě stochastcké řešení (K F =1,0, K R =1,0) je v trojrozměrném dagramu zobrazeno plnou čarou v půdorysu. Z průběhu křvky je patrná značná nevyrovnanost pravděpodobnost poruchy P f. Pokud je návrh konstrukce pro padesátletou žvotnost vyhovující, neměla by být pravděpodobnost poruchy P f vyšší (příp. ndex spolehlvost β nžší) než směrná hodnota P f,t = 7,2E 5 (β t =3,8) [45]. Relatvně nízká spolehlvost návrhu P f >7,2E 5 (β < 3,8) byla obdržena pro δ>0,74 (u lehkých ocelových konstrukcí může být δ až 0,8). Dle výsledků studí [11, 80, 81] dává vyrovnanější průběh kombnace zatížení B (kaptola 4.1). Výsledky fuzzy analýzy kvantfkují závslost pravděpodobnost poruchy P f na změně součntelů modelových nejstot K F a K R. Z obr. 11 jsou parné nelneární a asymetrcké výstupní funkce příslušnost P f versus lneární a symetrcké vstupní funkce příslušnost koefcentů K F a K R. V důsledku nelneárního a asymetrckého průběhu funkcí příslušnost P f je defuzzfkovaná hodnota (čerchovaná čára) určená metodou těžště plochy COG (Center of Gravty) vyšší než čstě stochastcké řešení (jádro). Nevyrovnanost pravděpodobnost poruchy P f dle konceptu metody dovolených namáhání byla analyzována ve stud [98]. Metoda dílčích součntelů (mezních stavů) ve smyslu EUROCODE je v současné době nejdokonalejší operatvní metoda navrhování stavebních konstrukcí umožňující vysoký stupeň sjednocení alternatvních postupů v jednotlvých zemích CEN. V porovnání s normam ČSN (které jsou souběžně platné až do r. 2010) povede zavedení norem EUROCODE ke zvýšení spolehlvost, trvanlvost, ale pravděpodobně ke zvýšení spotřeby materálu. 15

16 5.1.2 Ctlvostní analýza Ctlvostní analýzou byl sledován vlv změny počátečních mperfekcí h, b, t 1, t 2, f y, E, e 0 na změnu únosnost. Abychom mohl posthnout vlvy vzájemného působení dvou a více vstupních velčn na sledovaný výstup, byla ctlvostní analýza vyhodnocena s užtím Sobolových ctlvostních koefcentů, vz [86]. Sobolova dekompozce funkce odezvy (4) a z ní odvozený vztah (10) vyžadují uvažovat všechny vstupní náhodné velčny jako statstcky nezávslé. Z tohoto důvodu bylo počáteční zakřvení osy prutu zavedeno ve tvaru jedné půlvlny funkce snus s náhodnou ampltudou e 0 s Gaussovou funkcí pravděpodobnost se střední hodnotou m e0 = 0. Směrodatná odchylka S e0 byla (obdobně jako v předchozí kaptole) odvozena za předpokladu, že v tolerančních mezích ± 0,15 % L normy [47] se nachází 95 % náhodných realzací ampltudy počátečního zakřvení e 0. Ctlvostní analýza byla vyhodnocena v závslost na délce prutu L. Na obr. 12 jsou vykresleny průběhy Sobolových ctlvostních koefcentů s prvního řádu, kde z = 24,8 mm je nomnální hodnota poloměru setrvačnost proflu IPE220 [46]. Praktcky se postupovalo tak, že se délka prutu L zvyšovala od nuly s krokem L = 0, 094 m. Ctlvostní analýza byla dále vyhodnocena pro směrodatné odchylky odvozené z tolerančních mezí (± 0,1 % L; ± 0,2 % L), vz šedě vyznačené zóny kolem průběhů ctlvostních koefcentů s na obr. 12. Nerovnost 0,98 < s <1 ndkuje přítomnost slabých v závslost na štíhlost λ = L /( z 93,9) vyšších nterakcí pro všechny řešené štíhlost, což potvrdla analýza úplného vlvu, kde s T > s. Obr. 12: Sobolovy koefcenty s vs. λ Obr. 13: Sobolovy koef. s vs. S e0 Na obr. 13 jsou vykresleny průběhy Sobolových ctlvostních koefcentů s prvního řádu v závslost na směrodatné odchylce S e0 ampltudy e 0 prutu délky L = 2,35 m; nterval (± 0,1 % L; ± 0,2 % L) je obdobně jako na obr. 12 zvýrazněn šedým pozadím. Vstupní náhodné mperfekce můžeme rozdělt přblžně do dvou základních skupn na ty, jejchž statstcké charakterstky lze výrobou příznvě ovlvnt (mez kluzu f y a geometrcké charakterstky h, b, t 1, t 2, e 0 ), a na ty, které nejsou na změny v technolog výroby dostatečně ctlvé (proměnlvost modulu pružnost E). První skupnu velčn je ještě možno dále rozdělt na dvě podskupny: () mez kluzu f y, u níž můžeme zkvaltněním výroby měnt jak střední hodnotu, tak směrodatnou odchylku, a () geometrcké charakterstky h, b, t 1, t 2, e 0, jejchž střední hodnotu není možno výrazněj měnt, protože by se měla rovnat nomnální hodnotě [54]. Výsledky na obr. 12 a 13 byly vyhodnoceny metodou MC ze základní defnce (8) pro N=3000 realzací E ( Y X ), přčemž v každé realzac bylo vypočteno N realzací ( Y X ). Celkový počet smulací je N 2, což je extrémně výpočtově náročné a slně to omezuje použtí tohoto typu analýzy u numercky náročných modelů. Postup redukující počet smulací MC až na N(M+2) je uveden v [29], u analýzy použté zde však praktcky nepřnesl významnější úsporu strojového času. 16

17 5.2 STATISTICKÁ A CITLIVOSTNÍ ANALÝZA TENKOSTĚNNÉHO NOSNÍKU Současná tendence př navrhování ocelových konstrukcí se soustředí na raconalzac (resp. optmalzac) návrhu konstrukce zejména s ohledem na snížení ceny př zachování užtných parametrů. Jedním z nejnadějnějších nástrojů pro úsporu ocel a fnancí jsou tenkostěnné ocelové konstrukce. Získané úspory však nejsou zadarmo, neboť tenkostěnný systém vždy vykazuje větší deformace a především je vystaven nebezpečně náhlému růstu deformace v důsledku ztráty stablty vybočením štíhlých deskových prvků, čímž je velm podstatně ovlvněn mezní stav únosnost, a tedy bezpečnost a sama exstence díla. Pokud je tenkostěnný systém namáhaný mnohonásobně opakovaným zatížením, jeho působení a mezní stavy jsou složtější. Jsou totž ovlvněny mnohonásobně opakovanou ztrátou stablty deskových prvků soustavy tzv. dýcháním prvků. V rámc projektu GAČR 103/03/0233 byly v kooperac se spoluřeštelským pracovštěm ÚTAM AVČR v Praze teoretcky a expermentálně analyzovány mezní stavy únosnost a únavy tenkostěnného nosníku, jehož chování je výrazně ovlvněno boulením štíhlé stěny [58, 95, 102, 104, 107, 111, 117]. Geometre nosníku je zobrazena na obr. 14. Jedná se o typcký mostní prvek, u něhož v důsledku opakovaného namáhání dochází ke vznku a šíření únavových trhln v těsné blízkost koutových svarů spojujících dýchající stěnu s jejím obvodovým prvky, tj. s pásncem a výztuham. Tyto únavové trhlny se s růstem počtu zatěžovacích cyklů šíří, až v konečné fáz přeseknou tahovou dagonálu pokrtcky působící stěny, vz obr. 14. Žvotnost nosníku je pak omezena vznkem tohoto mechansmu porušení. Obr. 14: Geometre tenkostěnného nosníku Obr. 15: Boulení štíhlé stěny nosníku Nosník byl velm podrobně modelován pomocí programu ANSYS LS Dyna sítí skořepnových prvků SHELL 181, vz obr. 15. Únosnost a napjatost nosníku byla analyzována geometrcky a fyzkálně nelneárním řešením MKP Euler Newton Raphsonovou metodou. Bylo využto symetre nosníku zatížení. Realzace vstupních náhodných velčn byly smulovány numerckou smulační metodou Latn Hypercube Samplng Method (LHS) [21]. Většna vstupních velčn byla považována za náhodně proměnné velčny. Proměnlvost meze kluzu f y štíhlých plechů byla zohledněna hstogramem obdrženým dle výsledků expermentálního výzkumu [52], vz obr. 1. Vlv odchylek fyzkálně mechanckých vlastností materálu (především nehomogenty) byl zohledněn proměnlvostí modulu pružnost E. Dle expermentálních výsledků [7, 26] bylo u modulu pružnost E uvažováno Gaussovo rozdělení se střední hodnotou m E = 210 GPa a směrodatnou odchylkou S E = 12,6 GPa. Počáteční zakřvení štíhlé stěny nosníku bylo v první fáz řešení zavedeno ve tvaru půlvlny funkce snus (vz obr. 19) s náhodnou ampltudou e 0. Vstupní náhodné velčny jsou přehledně uvedeny v tab

18 Tab. 1: Vstupní náhodné velčny č. Náhodná velčna Hustota Střední Směrodatná Jednotky pravděpodobnost hodnota odchylka 1. Ampltuda počátečního zakřvení e 0 Lognormal mm 3,574 3, Tloušťka stěny Gauss mm 4 0,15 3. Mez kluzu stěny Hstogram MPa 284,5 21,6 4. Modul pružnost stěny Gauss GPa ,6 5. Tloušťka horní pásnce Gauss mm 10 0,7 6. Mez kluzu horní pásnce Hstogram MPa 284,5 21,6 7. Modul pružnost horní pásnce Gauss GPa ,6 8. Tloušťka dolní pásnce Gauss mm 10 0,7 9. Mez kluzu dolní pásnce Hstogram MPa 284,5 21,6 10. Modul pružnost dolní pásnce Gauss GPa ,6 11. Tloušťka levé výztuhy Gauss mm 12 0, Mez kluzu levé výztuhy Hstogram MPa 284,5 21,6 13. Modul pružnost levé výztuhy Gauss GPa ,6 14. Tloušťka prostřední výztuhy Gauss mm 12 0, Mez kluzu prostřední výztuhy Hstogram MPa 284,5 21,6 16. Modul pružnost prostřední v. Gauss GPa ,6 17. Tloušťka pravé výztuhy Gauss mm 12 0, Mez kluzu pravé výztuhy Hstogram MPa 284,5 21,6 19. Modul pružnost pravé výztuhy Gauss GPa , Mezní stav únosnost V metodě konečných prvků je tuhost konstrukce reprezentována matcí tuhost jejího modelu. Členy matce tuhost se skládají z příspěvků tuhostí jednotlvých konečných prvků. Př postupném zatěžování a z toho plynoucí plastzac a změně geometre konstrukce se tuhost jednotlvých prvků mění a to ovlvňuje výslednou matc tuhost celé konstrukce. Pokud klesne determnant matce tečné tuhost k nule, konstrukce jž nemůže přenést další přírůstek zatížení, únosnost nosníku je vyčerpána a nastává mezní stav. Inkrementací zatěžovacího kroku Eulerovy metody je tak geometrcky a fyzkálně nelneárním řešením smulována skutečná zatěžovací zkouška, během níž se plastcké oblast na nosníku postupně zvětšují. Př počítačové smulac jsme pro ocel S235 předpokládal blneární knematcké zpevnění, přčemž k počátku zplastzování ocel dochází tehdy, když Msesovo (srovnávací) napětí v příslušném místě dosáhne meze kluzu. Hstogram statcké únosnost vyhodnocený z 800 smulací LHS je zobrazen na obr. 16. Ctlvostní analýza únosnost byla vyhodnocena s pomocí Spearmanova koefcentu pořadové korelace (5) a vztahu (6). Vyhodnott ctlvostní analýzu s pomocí Sobolových ctlvostních koefcentů dle (8), (9) a (10) se ukázalo jako praktcky nemožné z důvodu extrémně vysoké numercké náročnost nelneárního výpočtového modelu MKP, a to ve spojení s nejmodernější výpočetní technkou. Výsledky ctlvostní analýzy vlvu proměnlvost vstupních mperfekcí z tab. 1 na proměnlvost únosnost jsou Obr. 16: Hstogram statcké únosnost zobrazeny na obr. 17 a obr

19 Obr. 17: Ctlvostní analýza dle (5) Obr. 18: Ctlvostní analýza dle (6) Z obr. 17 a obr. 18 je patrné, že domnantním velčnam jsou tloušťka stěny, tloušťka horní pásnce a mez kluzu horní pásnce. Pokud rostou hodnoty těchto velčn, roste únosnost nosníku. Naopak ampltuda e 0 počátečního zakřvení stěny ovlvňuje únosnost záporně Napjatost mezní stav únavy Protože výsledky četných expermentálních zkoušek mezního stavu únavy realzované na ÚTAM v Praze vykazovaly velký rozptyl, bylo třeba hledat příčny. Ukázalo se, že jednou z hlavních příčn je vlv tvaru a velkost počátečních mperfekcí štíhlé stěny na její napjatost po obvodu v těsné blízkost koutových svarů, kde př opakovaném zatížení vznkají a šíří se únavové trhlny. Pro únavové jevy je relevantní analyzovat ohybové napětí kolmé k obvodu stěny, jehož velkost byla stanovena jako rozdíl dvou normálových napětí na obou površích stěny [58, 102]. Zatížení bylo uvažováno determnstcky hodnotou 60 % průměrné statcké únosnost m Fd = 695,6 kn stanovené z hstogramu na obr. 16. Průběh průměrné hodnoty ohybového napětí po obvodu stěny je zobrazen plnou čarou na obr. 20. Čárkované čáry byly určeny přčtením a odečtením dvou směrodatných odchylek a vymezují nterval, ve kterém se nachází přblžně 95 % všech realzací ohybového napětí. Obr. 19: Počáteční zakřvení stěny Obr. 20: Ohybové napětí po obvodu stěny 19

20 Hodnoty provozního zatížení běžných mostních konstrukcí se nacházejí přblžně v ntervalu 10 % až 60 % průměrné statcké únosnost. V ntervalu na obr. 20 se s 95% pravděpodobností nachází horní hodnota ohybového napětí, jíž může být př změně zatížení do 60 % (např. přejezdy vozdel) opakovaně dosahováno. V článku [107] byl tento nterval stanoven rovněž pro Msesovo napětí. Výsledky ctlvostní analýzy vlvu proměnlvost mperfekcí na náhodnou proměnlvost ohybového napětí po obvodu štíhlé stěny jsou znázorněny na obr. 21 a obr. 22. Jsou zobrazeny pouze velčny s domnantním vlvem. Výsledky statstcké a ctlvostní analýzy byly publkovány v [111, 100]; výsledky potvrdly nejdůležtější závěry determnstckých studí [95]. Obr. 21: Ctlvostní analýza ohybového napětí dle (5) Obr. 22: Ctlvostní analýza ohybového napětí dle (6) 20

21 Z výsledků ctlvostní analýzy je zřejmé, že ohybové napětí po obvodu stěny je na hodnotu počáteční ampltudy e 0 zakřvení stěny ctlvé zejména pro nžší hodnoty provozního zatížení 10 %. Př zatížení 60 % jsou dalším domnantním velčnam také tloušťka stěny a modul pružnost stěny. Za účelem důkladnější analýzy tohoto jevu bylo počáteční zakřvení zavedeno ve tvaru dvojté Fourerovy řady (21); l = 1m, 1. člen řady 1x1 vz obr. 19. w 3 3 ( x, y) = e j = 1 j= 1 πx sn l πy sn j l (21) Jelkož se ukázalo, že napjatost v místech ncace a šíření trhln je ctlvá zejména na počáteční zakřvení stěny, bylo v rámc řešení úkolů GAČR 103/03/0233 provedeno měření tvaru a velkost zakřvení 15 štíhlých stěn nosníku z obr. 14. Deformace měřené v předem zvolených uzlech sítě byly aproxmovány dvojtou Fourerovou řadou (21). Ampltudy e 11 až e měřených nosníků byly publkovány v [104, 111, 137]. Statstcké charakterstky e 11 až e 33 obdržené vyhodnocením ze souboru 15 nosníků jsou uvedeny v tab. 2. Tab. 2: Statstcké charakterstky náhodných ampltud e 11 až e 33 e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 23 e 31 e 32 e 33 Střední hod. 0,865 0,545 0,089 0,093 0,246 0,006 0,044 0,029 0,365 Směr. odchylka 4,895 2,756 2,647 0,869 0,908 0,569 0,318 0,261 0,530 Z tab. 2 je zřejmé, že největší směrodatnou odchylku má koefcent e 11. I když nám takto obdržené výsledky dávají jstou představu o tvaru počátečního zakřvení, jedná se o relatvně malý statstcký vzorek, u něhož byly vyšší statstcké charakterstky (např. škmost, špčatost, korelační koefcenty) určeny s relatvně vysokou statstckou chybou, a proto zde nejsou uvedeny. Lze předpokládat, že př velkém počtu měření bychom měl kladné a záporné hodnoty ampltud obdržet přblžně se stejnou četností výskytu, tj. střední hodnota koefcentů e 11 až e 33 v tab. 2 by se měla přblžně rovnat nule [104, 111, 137]. Pokud vyhodnocujeme ctlvostní analýzu ve tvaru Spearmanova koefcentu pořadové korelace, je třeba zajstt, aby mez vstupem a výstupem byla monotónní závslost. Proto se předpokládalo, že domnantní tvar počátečního zakřvení 1x1 (s ampltudou e 11 ) bude mít vždy kladnou hodnotu. V případě, že jsme u koefcentu e 11 naměřl hodnotu se záporným znaménkem, bylo zaměněno znaménko u všech koefcentů e 11 až e 33 tak, aby koefcent e 11 byl vždy kladný [104, 111, 137], vz tab. 3. Zjednodušeně s lze představt, že rozdílné znaménko ampltud e 11 až e 33 je možno obdržet měřením pořadnc počátečního zakřvení z druhé strany nosníku, který je dvouose symetrcký. Tab. 3: Statstcké charakterstky náhodných ampltud e 11 až e 33 e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 23 e 31 e 32 e 33 Střední hod. 3,574 1,544 0,950 0,106 0,005 0,117 0,040 0,182 0,078 Směr. odchylka 3,335 2,315 2,461 0,937 0,570 0,298 0,650 0,577 0,583 Výsledky ctlvostní analýzy vyhodnocené pro zatížení 10 % a 60 % průměrné únosnost potvrdly, že vlv náhodné proměnlvost koefcentů na proměnlvost napjatost po obvodu stěny je významný zejména pro nžší hodnotu zatížení 10 %, přčemž zajímavý je velký vlv koefcentů e 21, e 22, e 23, e 31, e 32, e 33 s relatvně nízkou varabltou [111]. V návaznost na tyto výsledky byla zpracována další teoretcká stude, ve které se všechny ampltudy e 11 až e 33 uvažovaly se stejným statstckým charakterstkam, což umožnlo porovnat 21

22 jejch vzájemný vlv. U velčn e 11 až e 33 bylo zvoleno Gaussovo rozdělení, přčemž byl stanoven požadavek, aby se v tolerančním ntervalu 0 ; 5mm nacházelo mnmálně 95 % všech realzací funkce w(x, y), a to v každém bodě stěny. Po náročné stud bylo zjštěno, že podmínkám přblžně vyhovuje střední hodnota 0,757 mm a varační koefcent 0,1. Ostatní náhodné velčny 2 až 19 z tab. 1 byly uvažovány determnstcky svým středním hodnotam. Zatížení bylo uvažováno hodnotou 60 % průměrné statcké únosnost. S cílem snížt statstckou chybu odhadu Spearmanova korelačního koefcentu na mnmum bylo použto 1000 kroků metody LHS. Výsledky ctlvostní analýzy vlvu proměnlvost koefcentů e 11 až e 33 na proměnlvost ohybového napětí dle (5) jsou uvedeny na obr Shrnutí a nejdůležtější závěry Obr. 23: Ctlvostní analýza ohybového napětí dle (5) Výsledky ctlvostní analýzy nosníku na obr. 14 ukázaly, že statcká únosnost je relatvně málo ctlvá na proměnlvost počáteční mperfekce stěny ampltudou e 0. Naopak relatvně velký vlv měla na únosnost tloušťka stěny, tloušťka horní pásnce a mez kluzu horní pásnce. Výsledky ctlvostních a statstckých analýz napjatost jasně ukazují významný vlv jak velkost, tak tvaru počátečního zakřvení stěny; patrný je měnící se význam jednotlvých mperfekcí v závslost na hodnotě provozního zatížení [104, 111, 139]. Velm vysoké hodnoty ctlvostních koefcentů mez napjatostí po obvodu stěny a ampltudou počátečního zakřvení e 0 byly zjštěny pro zatížení 10 % průměrné statcké únosnost. Pro zatížení 60 % jsou dalším domnantním velčnam také tloušťka stěny a modul pružnost stěny. Kromě zmíněných studí byla zpracována ctlvostní analýza hlavního tahového a Msesova napětí dle (5) a (6) [111]. V [107] byly zpracovány ctlvostní a statstcké analýzy chování nosníku se stěnou tloušťky 6 mm. Bylo zjštěno, že ctlvost únosnost na počáteční zakřvení stěny 1x1 je vyšší něž u nám řešené stěny s tloušťkou 4 mm [107]. Výsledky stude na obr. 23, ve které se koefcenty e 11 až e 33 uvažovaly se stejným statstckým charakterstkam, dokládají domnantní vlv proměnlvost vyšších tvarů počátečního zakřvení e 23 (tvar 2x3) a e 32 (tvar 3x2) na proměnlvost ohybového napětí [111, 139]. Tyto poznatky jsou důležté zejména př analýze mezního stavu únavy, kdy je ncace a šíření trhln lmtována opakovanou napjatostí. 22

23 6 ZÁVĚR Základní metodou pro ověřování mezních stavů ve smyslu EUROCODE je metoda dílčích součntelů spolehlvost, když lze př navrhování alternatvně uplatnt pravděpodobnostní přístup. V tomto smyslu je v současné době aktuální rozpracování pravděpodobnostních studí spolehlvost z hledska transparentnost a verfkace postupů zaváděných v prax. Výsledky aplkací pravděpodobnostní analýzy dokládají značnou nevyrovnanost spolehlvost návrhu ocelové konstrukce dle konceptu EUROCODE, z čehož plyne potřeba další kalbrace součntelů spolehlvost. Fuzzy analýza pravděpodobnost poruchy ukázala, že nevyrovnanost pravděpodobnost poruchy může být zřetelně překryta fuzzy neurčtostí vstupních dat a výpočtových postupů, která může u složtých konstrukcí významně převládnout nad neurčtostí stochastckou. Pravděpodobnostní posudek spolehlvost umožňuje porovnávání, zobecňování a další zdokonalování normových postupů. Př praktckých aplkacích jsou pro stanovení spolehlvost konstrukce obvykle využívány klascké smulační metody typu Monte Carlo. Součástí statstcké smulace je ctlvostní analýza, která umožňuje sledovat vlv náhodných vstupních parametrů na odezvu konstrukce, případně na její spolehlvost. Kromě tradčních pravděpodobnostních metod jsou poslední dobou stále častěj uplatňovány alternatvní přístupy k reprezentac neurčtost na báz teore fuzzy množn, teore možnost a Dempster Shaferovy teore. S cílem zlepšt spolehlvost nosných konstrukcí je nutno uslovat jednak o zdokonalování postupů prokazování spolehlvost, jednak uslovat o zlepšování kvalty výroby ocelových konstrukcí. Př formulac závěrů je kromě jného velm důležté odborné hledsko a dlouholeté zkušenost. Je nutno nadále sledovat materálové a geometrcké charakterstky průmyslově vyráběných konstrukcí a uslovat o šrší spoluprác odborníků jednotlvých oborů. V budoucnost je třeba pokračovat v expermentálním měření a v analýze spolehlvost nejčastěj vyráběných nosných konstrukcí. Je nutno zaměřt se na jné případy namáhání samostatných prvků, zejména tenkostěnných konstrukcí, a dále na případy rozsáhlejších systémů sestavených z více prutů. 7 KONCEPCE DALŠÍ VĚDECKÉ A PEDAGOGICKÉ ČINNOSTI V budoucnu by autor rád pokračoval ve spoluprác s řeštelským týmy výzkumných projektů zejména v oblast spolehlvost, stablty, nelneárního chování a mezních stavů ocelových konstrukcí. V rámc plnění vědeckovýzkumných úkolů bude autor uslovat o nové pohledy na řešené problémy, uplatnění orgnálních přístupů a koncepc vědeckých témat vhodných pro získávání nových grantových projektů. Ve vědecké čnnost bude pokračováno v uveřejňování nejvýznamnějších výsledků výzkumu ve významných perodkách, zejména zahrančních. V pedagogcké čnnost se předpokládá dokončení učebních textů pro výuku stávajících předmětů. Autor se hodlá nadále odpovědně věnovat ndvduálnímu vedení dplomantů a doktorandů a poslovat jejch motvac a zájem o studovanou problematku. U nadaných studentů doktorandského studa považuje autor za zásadní jejch aktvní zapojování do výzkumných projektů a motvování těchto studentů k formulac a podávání vlastních návrhů výzkumných projektů. Student Abayom Omshore ukončl úspěšně doktorandské studum v roce 2006 (dsertační práce obhajoba v anglčtně) a poté získal postdoktorandský grant a místo vědeckého pracovníka na STM FAST. V současné době vede autor dva doktorandy. Ve vědeckovýzkumné čnnost se autor hodlá zaměřt na prohloubení meznárodní spolupráce s pracovšt Unversty of Natural Resources and Appled Lfe Scences (Vídeň), Techncal Unversty of Łódź a Unverstà degl Stud d Roma La Sapenza (Řím), kde absolvoval studjní pobyt. Autor předpokládá další ntenzvní spoluprác s odborným pracovštěm ÚTAM AVČR Praha, se kterým je v kontaktu v rámc řešení projektů GAČR, a s organzacem v prax, především s ÚAM, s.r.o Brno, se kterým spolupracuje na řešení projektů MPO. 23