Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu"

Transkript

1 Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu RNDr. František Slanina,CSc. Fyzikální ústav AV ČR Řekne-li se, že všechno souvisí se vším, zní to jako pustá banalita. Stejně trapné by nám připadalo, kdyby nám dnes někdo nadšeně vykládal, že je člověk společenský tvor. Kdybychom ale měli říci, jak přesně spolu souvisí zdánlivě odlehlé věci a kudy vlastně vedou rušné tepny společenského života, ukázalo by se, jak málo o tom všem víme a jak jsou ty otřepané pravdy skutečně banální. Abychom jim totiž opravdu porozuměli, musíme se podívat mnohem hlouběji na strukturu lidské společnosti, musíme zmapovat topografii světa kolem nás. A k tomu právě v posledních letech dochází. Jsme svědky bouřlivého rozvoje oboru, kterému se začalo říkat teorie komplexních sítí, a sítě, o nichž zde mluvíme, nacházíme snad všude, kamkoli se jen podíváme. 1. Pro matematiky to není zase až tak nic nového. Jako už tolikrát se ukázalo, že matematikové tvořili, svým obvyklým tichým a skromným způsobem, teorémy a teorémy, které teprve nedávno lidé oprášili a poznali jejich praktický význam. Matematicky řečeno mluvíme zde o teorii náhodných grafů. Graf, to je abstraktní objekt, který si můžeme představit například jako schéma známostí mezi obyvateli jednoho města. Takové schéma snadno nakreslíme, stačí jen mít dostatečně velký papír (pro Prahu by musel být opravdu dost velký!). Každého člověka si zakreslíme jako malý plný kroužek,

2 a pokud se nějací dva lidé osobně znají, spojíme jejich kroužky čárou. V matematické hantýrce říkáme kroužkům uzly a čarám hrany. Fyzikové někdy místo hrany říkají vazby, podle chemických vazeb, poutajících k sobě atomy v molekulách. Jistě všichni známe modely molekul z chemického kabinetu, kde vazby či hrany ztělesňují umělohmotné tyčinky. Nic překvapivého: například schéma molekuly benzenu je také jedním z příkladů grafu, jak mu rozumějí matematici. Jiným příkladem je schéma propojení elektrorozvodné sítě či sítě počítačů v rámci jedné firmy či školy. Další příklady si čtenář jistě snadno doplní sám. Teorie grafů dlouhá léta přistupovala ke grafům jako k přesně daným objektům, které sice mohly být a byly velmi složité a nepřehledné, ale na nichž nebylo nic neurčitého. Nedovedli jsme se sice často vyznat v jejich spletitých vlastnostech, ale měli jsme alespoň jejich jednoznačnou definici. Tak například rovinný graf je takový graf, který lze nakreslit na papír způsobem, aby se jeho hrany nikde nekřížily. (Tato vágní definice se dá formulovat velmi přesně, ale to pro nás nyní není důležité.) O rovinných grafech platí nejrůznější teorémy, například že k jejich obarvení stačí pouhé čtyři barvy. (Dokázání tohoto teorému dalo vědcům pořádně zabrat a dodnes není znám důkaz, který by nevyžadoval použití počítače ) Nicméně jakmile víme, že graf, který máme před sebou, je rovinný, máme také jistotu o jeho obarvitelnosti. To se ovšem změní, pokud si dovolíme do určité míry o povaze grafu pochybovat: možná že je rovinný, ale možná také ne, víme jen, s jakou pravděpodobností nastane první či druhá možnost. V tom okamžiku i všechny ostatní vlastnosti grafu mají jen pravděpodobnostní platnost. Můžeme se například ptát, s jakou pravděpodobností je graf souvislý neboli se skládá jen z jednoho kusu, nerozpadá se na více nesouvisejících částí. 2. První matematické výsledky týkající se náhodných grafů získali v padesátých letech maďarští matematici Pál Erdős a Afred Rényi. Svůj náhodný graf konstruovali podle jednoduchého receptu. Vzali určitý počet vrcholů a ty spojovali hranami zcela náhodně. Každá náhodně vybraná dvojice uzlů má pravděpodobnost p, že bude spojena hranou, a pravděpodobnost 1 - p, že mezi nimi hrana nebude. Tento Erdősův-Rényiho graf lze prostudovat poměrně podrobně. Jednou z otázek, které si matematikové kladli, bylo například pravděpodobnostní rozdělení konektivit. Konektivitou uzlu zde myslíme počet hran, které z uzlu vycházejí (někdy se také používá termín řád uzlu, my se pro jednotnost přidržíme termínu konektivita). Otázka pak zní takto: vyberu-li zcela náhodně jeden uzel grafu, jaká je

3 pravděpodobnost, že bude mít konektivitu právě k? Tato veličina, označme si ji P(k), má pro nás obrovský význam, protože mimo jiné určuje míru homogenity grafu či sítě, její kompaktnost, stabilitu, a nebo také, máme-li na mysli graf popisující mezilidské styky, jak snadno se budou šířit infekční nemoci. Erdős s Rényim vypočetli, že se konektivita v jejich grafu řídí Poissonovým rozdělením, které je dáno vzorcem P λ λk ( k) = e e / k! Toto rozdělení se vyznačuje velmi strmým maximem v okolí průměrné konektivity. To znamená, že téměř všechny uzly budou mít konektivitu nepříliš vzdálenou od průměru a pravděpodobnost, že konektivita výrazně přesáhne průměr, je zcela zanedbatelná. Erdősova- Rényiho síť je velmi homogenní. 3. Po dlouhá desetiletí, která následovala, se v teorii náhodných grafů zdánlivě nic nedělo. Do určité míry to byla pravda, protože matematikové stále jen vylepšovali a oprašovali, co před nimi vybudovali Erdős a Rényi. Na druhé straně zde byli různí neexaktní vědci, např. ekonomové a sociologové, které čím dále tím více zajímala skutečná struktura sítě skrývající se za lidskou společností. Například americký sociolog Mark Granovetter si na začátku šedesátých let kladl otázku, jakými cestami si lidé hledají zaměstnání. Došel k paradoxnímu závěru, že nejvíce jim při tom pomáhají vzdálení známí, nikoli nejbližší přátelé. Své výzkumy zahrnul do práce s názvem Síla slabých vazeb, kde prezentoval vizi společnosti jakožto sítě složené z mnoha modulů neboli těsně propojených shluků uzlů, kde se každý zná s každým, přičemž moduly jsou spolu navzájem spojeny malým počtem vzdálených slabých vazeb. Tyto slabé vazby spojující lidi, kteří si jinak nejsou příliš blízcí, hrají při hledání nové práce rozhodující roli: mí nejbližší přátelé mají většinou podobné informace jako já a málokdy mi poradí hledat něco, o čem bych již sám předtím nevěděl. Zato někdo, koho znám jen letmo, kdo se častěji vyskytuje v mně neznámém prostředí, mi může spíše poradit něco, na co bych vlastními silami nepřišel. Modulární struktura společnosti, představená Granovetterem, opsala standardní kruh, který bývá osudem velkých objevů. Nejprve Granovetterovu práci všichni šmahem odmítli,

4 takže se mu nepodařilo publikovat svůj článek v žádném z odborných časopisů. Když se mu to s velkým zpožděním povedlo, stal se rázem slavným a jeho článek patří dnes mezi nejcitovanější ve společenských vědách vůbec. Dnes je jeho představa tak přirozená, že ji mnozí považují za banalitu. Jiný americký sociolog, Stanley Milgram, pracoval nevědomky na stejném poli, i když úplně jinými prostředky. Milgramovou doménou byla experimentální sociologie a někomu se možná vybaví jeho pokusy s lidmi, kteří byli nuceni dávat elektrické šoky jiným pokusným osobám (což by dnes žádná etická komise nepovolila, ale v šedesátých letech bylo možné leccos). V pokusu, o který nám nyní jde, neobíhal lidmi elektrický proud, ale kolovaly obyčejné dopisy. Milgrama zajímalo, jak složitou cestou bude dopis putovat z jednoho místa v Americe na jiné, pokud si jej budou moci předávat jen lidé osobně, a to jen mezi dobrými známými. Rozdal tedy odesílatelům větší množství dopisů a zvědavě čekal, zda některý z nich skutečně dorazí do cíle. Větší části z nich se to podařilo a Milgram nyní počítal, kolik prostředníků bylo potřeba, než se dopis dostal tam, kam měl. Výsledek byl překvapující: Průměrně stačilo neuvěřitelně málo, pouhých šest kroků. Co z tohoto překvapivého výsledku plyne? Síť mezilidských vazeb obepínající celou planetu je podivuhodně hustá a v průměru dělí libovolné dvě osoby, ať je to opravář televizorů v indické vesnici nebo obchodník s kůžemi v Patagonii, řetězec známostí čítající šest kroků. Když si to rozmyslíme, není to až tak překvapivé: například někdo (říkejme mu pro jistotu X) zná někoho, kdo je dobrým známým Václava Havla, který se jistě zná s Billem Clintonem, a ten měl určitě co do činění s Georgem Bushem mladším (i starším), který se pravidelně stýká se zahradníkem na svém soukromém ranči, a tedy manželku Bushova zahradníka dělí od našeho X právě šest kroků. Pojem šest kroků od sebe se svého času stal tak populárním, že byl i umělecky zpracován. Světu, kde od člověka k člověku je vlastně velice blízko, se začalo říkat malý svět. Jak uvidíme dále, teorie náhodných grafů má pro malé světy velmi přímočaré vysvětlení. 4. Vraťme se nyní opět k matematice a k tomu, jak je zde užitečná statistická fyzika. Lidé si přirozeně kladli otázku, jak by se daly sítě mezilidských vztahů modelovat matematicky. Erdősovy-Rényiho náhodné grafy se nabízely jako skvělé východisko. Nicméně zjištění, k nimž došli sociologové, tak jak jsme je naznačili v předchozí kapitolce, rozhodně s Erdősem

5 a Rényim nesouhlasily. Především modulární struktura byla tím prvkem, který se modelování náhodnými grafy vzpouzel. A tak jsme museli čekat až na konec devadesátých let, kdy se najednou jako houby po dešti začaly objevovat zcela nové myšlenky vtělené do originálních modelů. Nejprve to byli Duncan Watts a Steven Strogatz, kteří přišli s ideou, které říkali prostě sítě malého světa (small world networks). Jejich nápad je tak průzračný, že je s podivem, že na něj lidstvo muselo čekat tak dlouho. Wattsův-Strogatzův model vychází z představy, že v zásadě jsou lidé vázáni na dvourozměrný povrch zeměkoule, a tudíž největší počet vzájemných kontaktů je určen geografickou blízkostí. Není nic překvapivého na tom, že velkou část našich přátel tvoří naši spolužáci, kteří se jimi stali prostě proto, že bydleli v tomtéž městě nebo v téže čtvrti jako my. To ale není všechno. Kromě toho máme pár přátel a známých v jiných městech, jiných státech a na jiných kontinentech. Wattsův-Strogatzův model tedy bere za základ sítě pravidelnou mřížku (dvourozměrnou či pro jednoduchost jednorozměrnou), kterou doplní malým množstvím vazeb, které mohou spojovat libovolně vzdálené uzly sítě. Ilustrativní příklad vidíme na obr. 1. Obr. 1. Síť malého světa Nalevo vidíme pravidelnou jednorozměrnou mřížku, stočenou do kruhu. Graf vpravo znázorňuje přidané dalekodosahové vazby, které vedou k efektu malého světa. To, co se u Granovettera popisovalo jako modulární struktura sítě, měří Watts se Strogatzem pomocí veličiny, kterou nazvali koeficient shlukování. Jde o to, že znám-li já X a také Y, pak se dá očekávat, že X a Y se budu také navzájem znát. My tři tvoříme malý shluk, kde se všichni navzájem známe. U Erdősovy-Rényiho sítě tomu tak ale není. Jelikož všechny vazby jsou na sobě nezávislé a náhodné, nedá se z existence vazby mezi mnou a X a mezi mnou a Y vyvodit nic o existenci vazby mezi X a Y. Koeficient shlukování bude zanedbatelně malý. Naproti tomu v pravidelné síti dané prostorovou blízkostí bude shlukování samozřejmě velké, protože dva body blízké třetímu bodu musí být k sobě blízko, jak nám říká trojúhelníková nerovnost. U Wattse a Strogatze zajišťuje vysoké shlukování základní pravidelná mřížka. Dalekodosahové vazby v jejich modelu naopak vedou k tomu, že jejich svět je opravdu malý, že i mezi geograficky vzdálenými jednotlivci mohou vznikat krátké

6 posloupnosti známostí. V našem příkladu s manželkou Bushova zahradníka je takovou vzdálenou vazbou známost Havla s Clintonem, která překračuje oceán. Wattsův-Strogatzův model mohl zůstat jen zajímavou hříčkou, která možná vysvětluje některá sociologická pozorování, ale nic víc, kdyby jeho autoři nešli dál a neprovedli důkladné srovnání reálných sítí s předpovědí jejich modelu. A nyní se ukázalo, že řada sítí kolem nás úžasně dobře s Wattsovým-Strogatzovým modelem souhlasí. A to nejen sociální sítě, jako jsou vazby mezi herci v Hollywoodu (ty mají výhodu, že se dají poměrně snadno dokumentovat), mezi členy správních rad velkých korporací (to už je těžší, ale stále ještě to lze, protože všechna jména jsou veřejně známá) a tak podobně, ale i potravní sítě popisující vztahy v ekosystému. Kupodivu to však funguje stejně dobře i u neživých objektů, jako je elektrorozvodná síť v USA nebo schéma zapojení mikroprocesoru. 5. Pravé překvapení nás však čekalo, když se badatelé, inspirovaní Wattsem a Strogatzem, pustili do studia sítě, která je snad běžnému člověku ze všech nejznámější: internetu, nebo přesněji world-wide webu. Není totiž problém napsat krátký program, který stáhne webovou stránku, zanalyzuje její obsah, najde všechny odkazy, pak jednu po druhé stáhne všechny stánky, na které první stránka odkazovala, opět vyhledá všechny odkazy na stažených stránkách a pokračuje stále dál, dokud jej nezastavíme. Takovéto roboty rutinně používají všechny internetové vyhledávače, jako je např. Google, a příklady jednoduchých robotů najdeme v řadě učebnic programování (ne pro začátečníky, samozřejmě). Podobného robota sestavili studenti na univerzitě Notre Dame v South Bendu ve státě Indiana, ve skupině profesora teoretické fyziky Alberta-László Barabásiho. Podařilo se jim stáhnout všechny webové stránky uvnitř jejich vlastní domény nd.edu (bylo jich něco přes 300 tisíc) a získanou síť potom analyzovali. Zjistili, že web tvoří také malý svět, i když vzdálenost mezi uzly je znatelně větší než u sociálních sítí: průměrná hodnota se pohybovala kolem devatenácti. Nečekaný výsledek se dostavil, když vypočetli pravděpodobnostní rozdělení konektivity. V získaném grafu nebylo ani památky po výrazném maximu, charakteristickém jak pro Erdősův-Rényiho, tak pro Wattsův-Strogatzův model. Ve skutečnosti se rozdělení řídilo mocninným zákonem, γ P ( k) k

7 (viz obr. 2ab). Laikovi možná na mocninném rozdělení nepřipadá nic zvláštního, koneckonců funkce jako funkce. Odborník, a zvláště teoretický fyzik toho ražení, jako byl Barabási, však musel při takovém objevu pocítit lehkou závrať. Přítomnost mocninných zákonů v různých fyzikálních systémech byla totiž dlouhá desetiletí velikou záhadou. Mocninné zákony například řídí chování řady veličin, jako např. měrného tepla nebo susceptibility, v okolí kritického bodu u fázových přechodů. Odvození těchto mocninných zákonů z teorie bylo velmi tvrdým oříškem a teprve v polovině sedmdesátých let došlo k výraznějšímu pokroku, když byla zformulována metoda renormalizační grupy. Kennethu Wilsonovi, jejímu autorovi, byla krátce poté za tento počin udělena Nobelova cena za fyziku. a) b) Mocninné zákony také charakterizují c) fraktály, široce populární vizuální objekty. Obr. 2. Bezškálová síť Není to náhoda; charakteristickou vlastností V horních dvou panelech vidíme rozdělení konektivit fraktálů je totiž to, že se při změně měřítka na WWW, a to odděleně pro odkazy vycházející z jedné stránky (a) a mířící na jednu stránku (b). V panelu (c) na pohled nemění. Vyříznutím malé části je znázorněno rozdělení konektivity získané simulací a zvětšením na původní velikost dostaneme modelu Barabásiho-Albertové. Mocninná závislost se opět tentýž tvar. Tato absence charakteristické délky, někdy zvaná bezškálovost, je měřítku. projevuje jako přímka v dvojitém logaritmickém matematicky dobře vyjádřena mocninným rozdělením. Mocninné rozdělení pravděpodobnosti má také následující vlastnost. Změníme-li jednotky, tedy vynásobíme-li naši veličinu x číslem s, pak dostáváme

8 γ γ P( sx) ( sx) x P( x), a pravděpodobnostní rozdělení tudíž nemění svůj tvar. Ve skutečnosti se dá dokázat, že mocnina je právě jediný možný typ funkce, která je bezškálová. Barabási tehdy zajásal, když zjistil, že rozdělení konektivit na webu je mocninné a souvisí tedy jakýmsi záhadným způsobem s fázovými přechody a kritickými jevy a navíc odhaluje skrytou fraktální strukturu této sítě. Přinejmenším to znamenalo, že ani Erdősův- Rényiho, ani Wattsův-Strogatzův model se nedají v žádném případě použít pro popis struktury webu. Narazili jsme na cosi úplně nového, na něco, co vyžaduje zcela neotřelé myšlenky na bezškálové sítě (scale-free networks). 6. Barabásiho invence plně dostála této výzvě. Prakticky ihned po objevu bezškálové povahy sítě webových stránek přišel, spolu se svou studentkou Rékou Albertovou, s modelem, který mocninné rozdělení elegantně vysvětloval. Podstatou je souhra a vzájemné vyvažování dvou mechanismů. Prvním z nich je neustálý růst sítě. Síť je dynamická a neustále se proměňuje. V každém kroku časového vývoje se k síti přidá jeden uzel. Druhým principem je preferenční připojování nového uzlu k starším. Nový uzel, nová webová stránka, s sebou nese určitý počet vazeb, otázkou ale je, ke kterým stávajícím uzlům se mají připojit. Pravidlo preferenčního připojování říká, že pravděpodobnost připojení nové vazby je přímo úměrná počtu vazeb, které již starý uzel má. Je to koneckonců přirozené: na oblíbené stránky, na něž odkazuje mnoho jiných stránek, se nově příchozí připojí s větší pravděpodobností než na nějaké nekvalitní, které si žádnou oblibu nezískaly. Skutečná hodnota stránek je přitom druhořadá. Podstatný je efekt napodobování, který dobře známe u knih a populární hudby: všichni to poslouchají, pustím si to taky; všichni to už četli, musím si to taky přečíst. Na obrázku 2c vidíme výsledky simulací modelu Barabásiho-Albertové (BA) a můžeme je srovnat s daty pro web. Vidíme, že shoda je nápadná. Nemusíme však ještě cítit uspokojení. Možná, že je web mezi sítěmi naprostou výjimkou. Možná, že se model BA na nic jiného nehodí.

9 Ukázalo se ale, že opak je pravdou. Když byla provedena analýza americké elektrorozvodné sítě, získali jsme stejnou mocninnou závislost jako u webu. A totéž nás čekalo u sítě vztahů mezi hollywoodskými herci nebo při zkoumání sítě reprezentující vzájemné citace vědeckých prací. Najednou se začalo ukazovat, že bezškálové sítě ovládají velkou část lidské společnosti a vévodí i technickým výtvorům. Nebylo už pak velkým překvapením, když se zjistilo, že také internet, jakožto fyzická struktura kabelů, počítačů a směrovačů, má bezškálovou strukturu (pro ilustraci viz obr. 3). Obr. 3. Struktura internetu Mapa části internetu v roce Různé barvy odpovídají různým doménám. Nyní začaly přicházet rychle za sebou objevy dalších bezškálových sítí. Zmiňme se ještě o dvou, které jsou obzvlášť nečekané a důležité. V každé živé buňce probíhá neustále spousta biochemických reakcí. Schémata těchto reakcí se dají nakreslit do takzvaných metabolických drah. Jejich schéma je skutečně velice

10 komplikované. My se na takový diagram můžeme dívat jako na graf, na metabolickou síť, v níž uzly představují jednotlivé chemikálie (voda, cukry, proteiny atd.) a hrany spojují látky, které spolu reagují. Podobná síť se dá nakreslit pro vzájemnou interakci proteinů nebo pro genetickou regulaci. Tato poslední síť je pro buňku obzvlášť důležitá a popisuje, jak geny vzájemně ovládají své zapínání a vypínání. A všechny tyto tři sítě řídící buněčné pochody jsou bezškálové. Schéma proteinové interakční sítě v buňce kvasinky vidíme na obr. 4. Obr. 4. Interakční síť proteinů kvasinky Každý uzel odpovídá jednomu proteinu. Další bezškálovou síť objevili matematičtí lingvisté. Představme si jednotlivá slova jazyka jako uzly a gramatické a sémantické vazby mezi nimi jako hrany. Například v češtině se velmi často vyskytuje slovní spojení byl jsem, a tudíž slova byl a jsem jsou spojena vazbou. Naproti tomu kytara a cihla se zřídkakdy dostanou do vzájemné souvislosti, vazba tedy mezi nimi není. Tato lingvistická síť je bezškálová a nikdo dosud nepřišel s vysvětlením proč. 7. Nyní se dostáváme k praktické otázce: jaké důsledky má bezškálová struktura na fungování sítí, o nichž zde byla řeč? U internetu nás například zajímá, jak odolný bude vůči selhání některých jeho uzlů. Na tom bude také záviset jeho spolehlivost jako informačního média. Barabási a další provedli jednoduchou simulaci; ze sítě představující internet odebírali jeden po druhém uzly a čekali, kdy se síť rozpadne na nesouvislé kusy. To je okamžik, kdy se internet zhroutí. Problémy tohoto typu jsou poměrně dobře známé ve statistické fyzice, kde se jim říká perkolace. Představme si například desku, do níž vrtáme jednu díru za druhou. Nějakou dobu to potrvá, než otvory zeslabí desku natolik, že se nám rozpadne. Taková hustota otvorů, která vede právě k rozpadu, se nazývá perkolační práh. Nízký perkolační práh

11 znamená malou odolnost k poškození, vysoký perkolační práh naopak velkou robustnost. Kupodivu se ukázalo, že bezškálová síť má neobyčejně vysoký perkolační práh a zůstává funkční, i když narušíme většinu jejích uzlů. Proto je internet vysoce stabilní vůči náhodným poruchám. Něco jiného je ovšem útok zlomyslných hackerů. Ti se sotva budou zaměřovat na náhodně vybrané uzly, protože s největší pravděpodobností budou jen málo významné. Místo toho se soustředí na nejvýznamnější centra s vysokou konektivitou. A tady se ukazuje, že bezškálový charakter sítě je naopak obrovskou nevýhodou. Internet tedy ztělesňuje příklad sítě velmi odolné k náhodným poruchám a zároveň velice citlivé na nepřátelský útok. Jelikož metabolická síť v buňce je také bezškálová, vysvětluje se tím, proč buňka dokáže přežít, i když ji neustále ohrožuje řada nepříznivých vlivů okolního prostředí. Jiný zajímavý výsledek se týká šíření počítačových virů. Běžné epidemiologické modely, úspěšné při popisu epidemií spalniček a jiných chorob, mají jeden společný rys. Říkají totiž, že osud epidemie, tedy zda se zastaví či zda přetrvá, závisí na stupni nakažlivosti viru. Pokud je nakažlivost menší než určitá kritická hodnota, vznikne nanejvýš krátkodobá lokální epidemie a nemoc zase vymizí. Když ale nakažlivost přesáhne kritickou hodnotu, epidemie se stále stupňuje, až zasáhne vše, co jen může. A nyní se ukazuje, že výše kritické hodnoty je dána strukturou sítě, po níž se nemoc šíří. Máme-li studovat počítačové viry, je touto sítí internet, u němž víme, že je bezškálový. K překvapení všech se ukázalo, že na bezškálové síti je práh nakažlivosti nulový. To znamená, že sebeméně nakažlivý virus dříve nebo později zachvátí celý systém, a co je horší, přetrvává v něm velmi dlouho. A to se u počítačových virů skutečně pozoruje. Nejenže jsme pravidelně svědky celoplanetárních poplachů vyvolaných ovými červy, ale dokonce i staré viry, proti nimž již dlouho existuje antivirová ochrana, se stále tu a tam objevují. Není je možné vymýtit. Obr. 5. Síť sexuálních kontaktů Konektivita uzlu jedince je dána počtem jeho/jejích partnerů. Mocninné rozdělení, demonstrované tímto grafem, ukazuje, že síť je bezškálová. Zakončeme naši procházku složitými sítěmi jednou varovnou zprávou. Dokážeme-li tak dobře studovat šíření virů počítačových, co nám

12 to napoví o šíření virů lidských? K tomu potřebujeme mít informace o síti mezilidských kontaktů, jimiž se nemoc přenáší. Pokud jde o pohlavní choroby, je to síť sexuálních styků. Ačkoli se jedná o informace, které jen málokdo hodlá prozrazovat, byly ve Švédsku prováděny studie sexuálního chování, které hodně napovídají o struktuře takové sítě. Pro nás je podstatné, že se jedná o síť bezškálovou, jak naznačují data vynesená na obrázku 5. Když si to dáme dohromady s děsivou snadností, s jakou se v bezškálových sítích šíří viry, můžeme se jen neklidně ptát, spolu s autory uvedené švédské studie: Dokážeme vůbec někdy zastavit epidemii AIDS? LITERATURA: [1] Barabási, A.-L.: V pavučině sítí, Paseka, 2005.

DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU

DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU Projekt MOTIVALUE Jméno: Třida: Pokyny Prosím vyplňte vaše celé jméno. Vaše jméno bude vytištěno na informačním listu s výsledky. U každé ze 44 otázek vyberte a nebo

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

VODA S ENERGIÍ Univerzita odhalila tajemství vody Objev hexagonální vody

VODA S ENERGIÍ Univerzita odhalila tajemství vody Objev hexagonální vody VODA S ENERGIÍ Univerzita odhalila tajemství vody Objev hexagonální vody Čtvrté skupenství vody: Hexagonální voda: Na univerzitě ve Washingtonu bylo objeveno čtvrté skupenství vody, což může vysvětlit

Více

Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí <>

Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí <<include>> Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí autor RNDr. Ilja Kraval leden 2008 www.objects.cz Úvod Tento článek navazuje jako pokračování na články předešlé. Minule jsme si zde

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

Jak se sociální sítě zpracovávají?

Jak se sociální sítě zpracovávají? SOCIÁLNÍ SÍTĚ Sociální sítě většina jedinců je zapojena ve více sociálních sítích jak jsou tyto vazby strukturovány? analýza sociálních sítí (social network analysis) zmapování mezilidských vztahů určitých

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Utajené vynálezy Nemrtvá kočka

Utajené vynálezy Nemrtvá kočka Nemrtvá kočka Od zveřejnění teorie relativity se uskutečnily tisíce pokusů, které ji měly dokázat nebo vyvrátit. Zatím vždy se ukázala být pevná jako skála. Přesto jsou v ní slabší místa, z nichž na některá

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Tabulka 1 Rizikové online zážitky v závislosti na místě přístupu k internetu N M SD Min Max. Přístup ve vlastním pokoji 10804 1,61 1,61 0,00 5,00

Tabulka 1 Rizikové online zážitky v závislosti na místě přístupu k internetu N M SD Min Max. Přístup ve vlastním pokoji 10804 1,61 1,61 0,00 5,00 Seminární úkol č. 4 Autoři: Klára Čapková (406803), Markéta Peschková (414906) Zdroj dat: EU Kids Online Survey Popis dat Analyzovaná data pocházejí z výzkumu online chování dětí z 25 evropských zemí.

Více

Kinematika Trajektorie pohybu, charakteristiky pohybu Mirek Kubera

Kinematika Trajektorie pohybu, charakteristiky pohybu Mirek Kubera Kinematika Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: žák užívá základní kinematické vztahy při řešení problémů a úloh o pohybech rovnoměrných a rovnoměrně zrychlených/zpomalených trajektorie, rychlost, GPS,

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 DOLOVÁNÍ V DATECH (DATA MINING) OBJEVUJE SE JIŽ OD 60. LET 20. ST. S ROZVOJEM POČÍTAČOVÉ TECHNIKY DEFINICE PROCES VÝBĚRU, PROHLEDÁVÁNÍ A MODELOVÁNÍ

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

školní vzdělávací program ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 RVP ZV Základní vzdělávání Zeměpis Základní škola Český Krumlov, Plešivec 249

školní vzdělávací program ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 RVP ZV Základní vzdělávání Zeměpis Základní škola Český Krumlov, Plešivec 249 školní vzdělávací program ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 PLACE HERE ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 Název školy Adresa Název ŠVP Plešivec 249, 381 01 Český Krumlov ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec

Více

1. Je pravda, že po třicítce je matematik odepsaný?

1. Je pravda, že po třicítce je matematik odepsaný? Kapitola 8 1. Je pravda, že po třicítce je matematik odepsaný? Matematika Tento široce rozšířený mýtus je založen na chybné představě o povaze matematického nadání. Lidé si s oblibou představují matematiky

Více

Hrozba epidemie, pandemie chřipka, HIV

Hrozba epidemie, pandemie chřipka, HIV Inovace a zkvalitnění výuky v oblasti přírodních věd Člověk a příroda 8.ročník červenec 2012 Hrozba epidemie, pandemie chřipka, HIV Anotace: Kód: VY_52_INOVACE_ Čap-Z 8.,9.26 Vzdělávací oblast: Autor:

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

Obří prvky: jak postavit větší kostky

Obří prvky: jak postavit větší kostky Obří prvky: jak postavit větší kostky KAPITOLA 5 V této kapitole: Zvětšení měřítka: jak na to Ostatní měřítka: která fungují a proč Shrnutí: obří kostky jsou jen začátek V kapitole 3 jsme pracovali s měřítkem

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

5.2.8 Zobrazení spojkou II

5.2.8 Zobrazení spojkou II 5.2.8 Zobrazení spojkou II Předpoklady: 5207 Př. 1: Najdi pomocí význačných paprsků obraz svíčky, jejíž vzdálenost od spojky je menší než její ohnisková vzdálenost. Postupujeme stejně jako v předchozích

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

2.5.11 Přímá úměrnost II

2.5.11 Přímá úměrnost II .5.11 Přímá úměrnost II Předpoklady: 00510 Př. 1: Jirka odebral za celý rok na zahradě pouze 300 kwh a zaplatil za 1575 Kč. Platí za kwh více nebo méně než je typická cena? Doplň pro jeho cenu za kwh tabulku.

Více

odpovědí: rizikové již při prvním užití, rizikové při občasném užívání, rizikové pouze při pravidelném užívání, není vůbec rizikové.

odpovědí: rizikové již při prvním užití, rizikové při občasném užívání, rizikové pouze při pravidelném užívání, není vůbec rizikové. TISKOVÁ ZPRÁVA Centrum pro výzkum veřejného mínění Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Jilská, Praha Tel.: 8 840 9 E-mail: jan.cervenka@soc.cas.cz Postoj veřejnosti ke konzumaci vybraných návykových látek

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika Fyzika pro střední školy II 84 R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A R10.1 Fotovoltaika Sluneční záření je spojeno s přenosem značné energie na povrch Země. Její velikost je dána sluneční neboli solární

Více

Praktikum II Elektřina a magnetismus

Praktikum II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Praktikum II Elektřina a magnetismus Úloha č. IV Název: Měření malých odporů Pracoval: Matyáš Řehák stud.sk.: 13 dne: 10.10.2008 Odevzdal

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Albert-László Barabási

Albert-László Barabási Obsah 1. Úvod, kdo je kdo :-) 2. Co to je síťování? Od definice po praktické ukázky 3. MAS jako platforma pro cestovní ruch 4. Cílené formování sítí (osobní, profesní, placené) 5. Informační technologie

Více

Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu:

Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: VY_32_INOVACE_06_INTERNET_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

Rychlost světla. Kapitola 2

Rychlost světla. Kapitola 2 Kapitola 2 Rychlost světla Michael Faraday, syn yorkshirského kováře, se narodil v jižním Londýně roku 1791. Byl samoukem, který školu opustil ve čtrnácti, aby se stal učněm u knihaře. Zajistit si vstup

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301

{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301 1.3.2 Množina všech dělitelů Předpoklady: 010301 Pedagogická poznámka: Na začátku si rozebereme řadu z poslední Odpočítávané. Na způsob jejího generování většinou nikdo nepřijde a proto ji dostanou žáci

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

VY_32_INOVACE_IKTO2_0260 PCH

VY_32_INOVACE_IKTO2_0260 PCH VY_32_INOVACE_IKTO2_0260 PCH VÝUKOVÝ MATERIÁL V RÁMCI PROJEKTU OPVK 1.5 PENÍZE STŘEDNÍM ŠKOLÁM ČÍSLO PROJEKTU: CZ.1.07/1.5.00/34.0883 NÁZEV PROJEKTU: ROZVOJ VZDĚLANOSTI ČÍSLO ŠABLONY: III/2 DATUM VYTVOŘENÍ:

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Internet - základní pojmy

Internet - základní pojmy Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: VY_32_INOVACE_07_INTERNET_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

Otázka: Sociologie jako věda. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): EM

Otázka: Sociologie jako věda. Předmět: Základy společenských věd. Přidal(a): EM Otázka: Sociologie jako věda Předmět: Základy společenských věd Přidal(a): EM Sociologie je věda, která se snaží podat celkový obraz společnosti, společenských jevů a vztahů, struktury společnosti a zákonitosti

Více

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202

5.2.3 Duté zrcadlo I. Předpoklady: 5201, 5202 5.2.3 Duté zrcadlo I Předpoklady: 5201, 5202 Dva druhy dutých zrcadel: kulové = odrazivá plocha zrcadla je částí kulové plochy snazší výroba, ale horší zobrazení (aby se zobrazovalo přesně, musíme použít

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

2.1.18 Optické přístroje

2.1.18 Optické přístroje 2.1.18 Optické přístroje Předpoklad: 020117 Pomůck: kompletní optické souprav I kdž máme zdravé oči (správné brýle) a skvěle zaostřeno, neuvidíme všechno. Př. 1: Co děláš, kdž si chceš prohlédnout malé,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

EVROPA A GLOBALIZACE

EVROPA A GLOBALIZACE EVROPA A GLOBALIZACE 2011 Ing. Andrea Sikorová, Ph.D. 1 Evropa a globalizace V této kapitole se dozvíte: Kdy vznikla globalizace. Proč se 80. léta 20. století nazývají jako turbulentní. Jak moc jsou média

Více

Pracovní celky 3.2, 3.3 a 3.4 Sémantická harmonizace - Srovnání a přiřazení datových modelů

Pracovní celky 3.2, 3.3 a 3.4 Sémantická harmonizace - Srovnání a přiřazení datových modelů Pracovní celky 3.2, 3.3 a 3.4 Sémantická harmonizace - Srovnání a datových modelů Obsah Seznam tabulek... 1 Seznam obrázků... 1 1 Úvod... 2 2 Metody sémantické harmonizace... 2 3 Dvojjazyčné katalogy objektů

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

Co nám ukázala pandemie prasečí chřipky v letech 2009/2010.

Co nám ukázala pandemie prasečí chřipky v letech 2009/2010. Co nám ukázala pandemie prasečí chřipky v letech 2009/2010. Russell L. Blaylock, Anna Strunecká Zkušenost a historie nám ukazují, že lidé a vlády se nikdy z dějin nepoučí... G.W.F. Hegel Vývoj názorů na

Více

SEZNAM POKUSŮ TEPLO 1 NÁVODY NA POKUSY MĚŘENÍ TEPLOT. Měření teplot. Používání teploměru. (1.1.) Kalibrace teploměru. (1.2.

SEZNAM POKUSŮ TEPLO 1 NÁVODY NA POKUSY MĚŘENÍ TEPLOT. Měření teplot. Používání teploměru. (1.1.) Kalibrace teploměru. (1.2. TEPLO TA1 419.0008 TEPLO 1 SEZNAM POKUSŮ MĚŘENÍ TEPLOT Měření teplot. Používání teploměru. (1.1.) Kalibrace teploměru. (1.2.) KALORIMETRIE Teplotní rovnováha. (2.1.) Studium kalorimetru. (2.2.) Křivka

Více

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika. Ak. rok 2011/2012 vbp 1

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika. Ak. rok 2011/2012 vbp 1 SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika Ak. rok 2011/2012 vbp 1 ZÁKLADNÍ SMĚRY A DISCIPLÍNY Teoretická kybernetika (vědecký aparát a metody ke zkoumání kybernetických systémů; používá abstraktní modely

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely 2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor Ing. K.

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Vesmír je souhrnné označení veškeré hmoty, energie

Více

"Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110)

Zajisté, odvětí strážce. (Str. 110) "Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110) Kapitola 17 Normální rozdělení Nejdůležitější pravděpodobnostní rozdělení se nazývá normální či Gaussovo. Má zajímavou historii. To druhé jméno dostalo na počest slavného

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Obsah. 1. Výklad pojmů 3. 2. Vývoj outsourcingu 9. 3. Strategie vyrob nebo kup (Strategy make or buy) 13

Obsah. 1. Výklad pojmů 3. 2. Vývoj outsourcingu 9. 3. Strategie vyrob nebo kup (Strategy make or buy) 13 Seznam tabulek vi Seznam obrázků vii Úvod 1 1. Výklad pojmů 3 1.1. Outsourcing 3 1.2. Insourcing 5 1.3. Vnímání outsourcingu v českých médiích 6 2. Vývoj outsourcingu 9 2.1. Z pohledu teorie ekonomie 9

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Vliv Mosteckého jezera na teplotu a vlhkost vzduchu a rychlost větru. Lukáš Pop Ústav fyziky atmosféry v. v. i. AV ČR

Vliv Mosteckého jezera na teplotu a vlhkost vzduchu a rychlost větru. Lukáš Pop Ústav fyziky atmosféry v. v. i. AV ČR Vliv Mosteckého jezera na teplotu a vlhkost vzduchu a rychlost větru Lukáš Pop Ústav fyziky atmosféry v. v. i. AV ČR Motivace a cíle výzkumu Vznik nové vodní plochy mění charakter povrchu (teplotní charakteristiky,

Více

Masarykova univerzita. Fakulta informatiky. Evoluce pohybu

Masarykova univerzita. Fakulta informatiky. Evoluce pohybu Masarykova univerzita Fakulta informatiky Evoluce pohybu IV109 Tomáš Kotula, 265 287 Brno, 2009 Úvod Pohyb je jedním ze základních projevů života. Zdá se tedy logické, že stejně jako ostatní vlastnosti

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

Protokol. Vzdáleně měřený experiment charakteristiky šesti různých zdrojů světla

Protokol. Vzdáleně měřený experiment charakteristiky šesti různých zdrojů světla Protokol Vzdáleně měřený experiment charakteristiky šesti různých zdrojů světla Datum měření: Začátek měření: Vypracoval: Celková doba měření: Místo měření: Umístění měřeného experimentu: Katedra experimentální

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra

37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra 445 37 MOLEKULY Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra Soustava stabilně vázaných atomů tvoří molekulu. Podle počtu atomů hovoříme o dvoj-, troj- a více atomových molekulách.

Více

5.2.7 Zobrazení spojkou I

5.2.7 Zobrazení spojkou I 5.2.7 Zobrazení spojkou I Předpoklady: 5203, 5206 Př. : Prostuduj na obrázku znaménkovou konvenci pro čočky a srovnej ji se znaménkovou konvencí pro zrcadla. Jaké jsou rozdíly, čím jsou zřejmě způsobeny?

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 3) Borovského Ţáky

Více

magnetizace M(t) potom, co těsně po rychlé změně získal vzorek magnetizaci M 0. T 1, (2)

magnetizace M(t) potom, co těsně po rychlé změně získal vzorek magnetizaci M 0. T 1, (2) 1 Pracovní úkoly Pulsní metoda MR (část základní) 1. astavení optimálních excitačních podmínek signálu FID 1 H ve vzorku pryže 2. Měření závislosti amplitudy signálu FID 1 H ve vzorku pryže na délce excitačního

Více

Kružnice. Délka kružnice (obvod kruhu)

Kružnice. Délka kružnice (obvod kruhu) Kružnice Délka kružnice (obvod kruhu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing Šárka Macháňová Dostupné z Metodického portálu wwwrvpcz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

2. Prostudovat charakter interakcí různých částic v hadronovém kalorimetru

2. Prostudovat charakter interakcí různých částic v hadronovém kalorimetru Pracovní úkol: 1. Seznámit se s interaktivní verzí simulace 2. Prostudovat charakter interakcí různých částic v hadronovém kalorimetru 3. Kvantitativně srovnat energetické ztráty v kalorimetru pro různé

Více

SPSOA_ICT_4_NSD Vypracoval Petr Novosad. Vytvořeno z projektu EU Peníze středním školám

SPSOA_ICT_4_NSD Vypracoval Petr Novosad. Vytvořeno z projektu EU Peníze středním školám SPSOA_ICT_4_NSD Vypracoval Petr Novosad Vytvořeno z projektu EU Peníze středním školám Internet = spojení milionů počítačů Server = výkonný počítač pro přístup k internetu (on-line 24 hodin denně) Server,

Více

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1

P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1. Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 P R O J E K T O V É Ř Í Z E N Í A M A R K E T I N G 1 Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing - VŽ 1 Vznik a historie projektového řízení Akad. rok 2015/2016, LS Projektové řízení a marketing

Více

8. Věda a technologie, informační společnost

8. Věda a technologie, informační společnost 8. Věda a technologie, informační společnost V každé společnosti je její důležitou a nedílnou součástí oblast výzkumu a vývoje. Jedná se o systematickou tvůrčí práci konanou za účelem získání nových znalostí

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

5.1.3 Lom světla. vzduch n 1 v 1. n 2. v 2. Předpoklady: 5101, 5102

5.1.3 Lom světla. vzduch n 1 v 1. n 2. v 2. Předpoklady: 5101, 5102 5..3 Lom světla Předpoklady: 50, 50 Pokus s mincí a miskou: Opřu bradu o stůl a pozoruji minci v misce. Paprsky odražené od mince se šíří přímočaře ke mně, miska jim nesmí překážet v cestě. Posunu misku

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Role experimentu ve vědecké metodě

Role experimentu ve vědecké metodě Role experimentu ve vědecké metodě Erika Mechlová Ostravská univerzita v Ostravě Obsah Úvod 1. Pozorování 2. Uvedení a formulace problému. Sbírání informací 3. Stanovení hypotéz řešení problému 4. Provedení

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

SCLPX 07 2R Ověření vztahu pro periodu kyvadla

SCLPX 07 2R Ověření vztahu pro periodu kyvadla Klasické provedení a didaktické aspekty pokusu U kyvadla, jakožto dalšího typu mechanického oscilátoru, platí obdobně vše, co bylo řečeno v předchozích experimentech SCLPX-7 a SCLPX-8. V současném pojetí

Více