Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu"

Transkript

1 Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu RNDr. František Slanina,CSc. Fyzikální ústav AV ČR Řekne-li se, že všechno souvisí se vším, zní to jako pustá banalita. Stejně trapné by nám připadalo, kdyby nám dnes někdo nadšeně vykládal, že je člověk společenský tvor. Kdybychom ale měli říci, jak přesně spolu souvisí zdánlivě odlehlé věci a kudy vlastně vedou rušné tepny společenského života, ukázalo by se, jak málo o tom všem víme a jak jsou ty otřepané pravdy skutečně banální. Abychom jim totiž opravdu porozuměli, musíme se podívat mnohem hlouběji na strukturu lidské společnosti, musíme zmapovat topografii světa kolem nás. A k tomu právě v posledních letech dochází. Jsme svědky bouřlivého rozvoje oboru, kterému se začalo říkat teorie komplexních sítí, a sítě, o nichž zde mluvíme, nacházíme snad všude, kamkoli se jen podíváme. 1. Pro matematiky to není zase až tak nic nového. Jako už tolikrát se ukázalo, že matematikové tvořili, svým obvyklým tichým a skromným způsobem, teorémy a teorémy, které teprve nedávno lidé oprášili a poznali jejich praktický význam. Matematicky řečeno mluvíme zde o teorii náhodných grafů. Graf, to je abstraktní objekt, který si můžeme představit například jako schéma známostí mezi obyvateli jednoho města. Takové schéma snadno nakreslíme, stačí jen mít dostatečně velký papír (pro Prahu by musel být opravdu dost velký!). Každého člověka si zakreslíme jako malý plný kroužek,

2 a pokud se nějací dva lidé osobně znají, spojíme jejich kroužky čárou. V matematické hantýrce říkáme kroužkům uzly a čarám hrany. Fyzikové někdy místo hrany říkají vazby, podle chemických vazeb, poutajících k sobě atomy v molekulách. Jistě všichni známe modely molekul z chemického kabinetu, kde vazby či hrany ztělesňují umělohmotné tyčinky. Nic překvapivého: například schéma molekuly benzenu je také jedním z příkladů grafu, jak mu rozumějí matematici. Jiným příkladem je schéma propojení elektrorozvodné sítě či sítě počítačů v rámci jedné firmy či školy. Další příklady si čtenář jistě snadno doplní sám. Teorie grafů dlouhá léta přistupovala ke grafům jako k přesně daným objektům, které sice mohly být a byly velmi složité a nepřehledné, ale na nichž nebylo nic neurčitého. Nedovedli jsme se sice často vyznat v jejich spletitých vlastnostech, ale měli jsme alespoň jejich jednoznačnou definici. Tak například rovinný graf je takový graf, který lze nakreslit na papír způsobem, aby se jeho hrany nikde nekřížily. (Tato vágní definice se dá formulovat velmi přesně, ale to pro nás nyní není důležité.) O rovinných grafech platí nejrůznější teorémy, například že k jejich obarvení stačí pouhé čtyři barvy. (Dokázání tohoto teorému dalo vědcům pořádně zabrat a dodnes není znám důkaz, který by nevyžadoval použití počítače ) Nicméně jakmile víme, že graf, který máme před sebou, je rovinný, máme také jistotu o jeho obarvitelnosti. To se ovšem změní, pokud si dovolíme do určité míry o povaze grafu pochybovat: možná že je rovinný, ale možná také ne, víme jen, s jakou pravděpodobností nastane první či druhá možnost. V tom okamžiku i všechny ostatní vlastnosti grafu mají jen pravděpodobnostní platnost. Můžeme se například ptát, s jakou pravděpodobností je graf souvislý neboli se skládá jen z jednoho kusu, nerozpadá se na více nesouvisejících částí. 2. První matematické výsledky týkající se náhodných grafů získali v padesátých letech maďarští matematici Pál Erdős a Afred Rényi. Svůj náhodný graf konstruovali podle jednoduchého receptu. Vzali určitý počet vrcholů a ty spojovali hranami zcela náhodně. Každá náhodně vybraná dvojice uzlů má pravděpodobnost p, že bude spojena hranou, a pravděpodobnost 1 - p, že mezi nimi hrana nebude. Tento Erdősův-Rényiho graf lze prostudovat poměrně podrobně. Jednou z otázek, které si matematikové kladli, bylo například pravděpodobnostní rozdělení konektivit. Konektivitou uzlu zde myslíme počet hran, které z uzlu vycházejí (někdy se také používá termín řád uzlu, my se pro jednotnost přidržíme termínu konektivita). Otázka pak zní takto: vyberu-li zcela náhodně jeden uzel grafu, jaká je

3 pravděpodobnost, že bude mít konektivitu právě k? Tato veličina, označme si ji P(k), má pro nás obrovský význam, protože mimo jiné určuje míru homogenity grafu či sítě, její kompaktnost, stabilitu, a nebo také, máme-li na mysli graf popisující mezilidské styky, jak snadno se budou šířit infekční nemoci. Erdős s Rényim vypočetli, že se konektivita v jejich grafu řídí Poissonovým rozdělením, které je dáno vzorcem P λ λk ( k) = e e / k! Toto rozdělení se vyznačuje velmi strmým maximem v okolí průměrné konektivity. To znamená, že téměř všechny uzly budou mít konektivitu nepříliš vzdálenou od průměru a pravděpodobnost, že konektivita výrazně přesáhne průměr, je zcela zanedbatelná. Erdősova- Rényiho síť je velmi homogenní. 3. Po dlouhá desetiletí, která následovala, se v teorii náhodných grafů zdánlivě nic nedělo. Do určité míry to byla pravda, protože matematikové stále jen vylepšovali a oprašovali, co před nimi vybudovali Erdős a Rényi. Na druhé straně zde byli různí neexaktní vědci, např. ekonomové a sociologové, které čím dále tím více zajímala skutečná struktura sítě skrývající se za lidskou společností. Například americký sociolog Mark Granovetter si na začátku šedesátých let kladl otázku, jakými cestami si lidé hledají zaměstnání. Došel k paradoxnímu závěru, že nejvíce jim při tom pomáhají vzdálení známí, nikoli nejbližší přátelé. Své výzkumy zahrnul do práce s názvem Síla slabých vazeb, kde prezentoval vizi společnosti jakožto sítě složené z mnoha modulů neboli těsně propojených shluků uzlů, kde se každý zná s každým, přičemž moduly jsou spolu navzájem spojeny malým počtem vzdálených slabých vazeb. Tyto slabé vazby spojující lidi, kteří si jinak nejsou příliš blízcí, hrají při hledání nové práce rozhodující roli: mí nejbližší přátelé mají většinou podobné informace jako já a málokdy mi poradí hledat něco, o čem bych již sám předtím nevěděl. Zato někdo, koho znám jen letmo, kdo se častěji vyskytuje v mně neznámém prostředí, mi může spíše poradit něco, na co bych vlastními silami nepřišel. Modulární struktura společnosti, představená Granovetterem, opsala standardní kruh, který bývá osudem velkých objevů. Nejprve Granovetterovu práci všichni šmahem odmítli,

4 takže se mu nepodařilo publikovat svůj článek v žádném z odborných časopisů. Když se mu to s velkým zpožděním povedlo, stal se rázem slavným a jeho článek patří dnes mezi nejcitovanější ve společenských vědách vůbec. Dnes je jeho představa tak přirozená, že ji mnozí považují za banalitu. Jiný americký sociolog, Stanley Milgram, pracoval nevědomky na stejném poli, i když úplně jinými prostředky. Milgramovou doménou byla experimentální sociologie a někomu se možná vybaví jeho pokusy s lidmi, kteří byli nuceni dávat elektrické šoky jiným pokusným osobám (což by dnes žádná etická komise nepovolila, ale v šedesátých letech bylo možné leccos). V pokusu, o který nám nyní jde, neobíhal lidmi elektrický proud, ale kolovaly obyčejné dopisy. Milgrama zajímalo, jak složitou cestou bude dopis putovat z jednoho místa v Americe na jiné, pokud si jej budou moci předávat jen lidé osobně, a to jen mezi dobrými známými. Rozdal tedy odesílatelům větší množství dopisů a zvědavě čekal, zda některý z nich skutečně dorazí do cíle. Větší části z nich se to podařilo a Milgram nyní počítal, kolik prostředníků bylo potřeba, než se dopis dostal tam, kam měl. Výsledek byl překvapující: Průměrně stačilo neuvěřitelně málo, pouhých šest kroků. Co z tohoto překvapivého výsledku plyne? Síť mezilidských vazeb obepínající celou planetu je podivuhodně hustá a v průměru dělí libovolné dvě osoby, ať je to opravář televizorů v indické vesnici nebo obchodník s kůžemi v Patagonii, řetězec známostí čítající šest kroků. Když si to rozmyslíme, není to až tak překvapivé: například někdo (říkejme mu pro jistotu X) zná někoho, kdo je dobrým známým Václava Havla, který se jistě zná s Billem Clintonem, a ten měl určitě co do činění s Georgem Bushem mladším (i starším), který se pravidelně stýká se zahradníkem na svém soukromém ranči, a tedy manželku Bushova zahradníka dělí od našeho X právě šest kroků. Pojem šest kroků od sebe se svého času stal tak populárním, že byl i umělecky zpracován. Světu, kde od člověka k člověku je vlastně velice blízko, se začalo říkat malý svět. Jak uvidíme dále, teorie náhodných grafů má pro malé světy velmi přímočaré vysvětlení. 4. Vraťme se nyní opět k matematice a k tomu, jak je zde užitečná statistická fyzika. Lidé si přirozeně kladli otázku, jak by se daly sítě mezilidských vztahů modelovat matematicky. Erdősovy-Rényiho náhodné grafy se nabízely jako skvělé východisko. Nicméně zjištění, k nimž došli sociologové, tak jak jsme je naznačili v předchozí kapitolce, rozhodně s Erdősem

5 a Rényim nesouhlasily. Především modulární struktura byla tím prvkem, který se modelování náhodnými grafy vzpouzel. A tak jsme museli čekat až na konec devadesátých let, kdy se najednou jako houby po dešti začaly objevovat zcela nové myšlenky vtělené do originálních modelů. Nejprve to byli Duncan Watts a Steven Strogatz, kteří přišli s ideou, které říkali prostě sítě malého světa (small world networks). Jejich nápad je tak průzračný, že je s podivem, že na něj lidstvo muselo čekat tak dlouho. Wattsův-Strogatzův model vychází z představy, že v zásadě jsou lidé vázáni na dvourozměrný povrch zeměkoule, a tudíž největší počet vzájemných kontaktů je určen geografickou blízkostí. Není nic překvapivého na tom, že velkou část našich přátel tvoří naši spolužáci, kteří se jimi stali prostě proto, že bydleli v tomtéž městě nebo v téže čtvrti jako my. To ale není všechno. Kromě toho máme pár přátel a známých v jiných městech, jiných státech a na jiných kontinentech. Wattsův-Strogatzův model tedy bere za základ sítě pravidelnou mřížku (dvourozměrnou či pro jednoduchost jednorozměrnou), kterou doplní malým množstvím vazeb, které mohou spojovat libovolně vzdálené uzly sítě. Ilustrativní příklad vidíme na obr. 1. Obr. 1. Síť malého světa Nalevo vidíme pravidelnou jednorozměrnou mřížku, stočenou do kruhu. Graf vpravo znázorňuje přidané dalekodosahové vazby, které vedou k efektu malého světa. To, co se u Granovettera popisovalo jako modulární struktura sítě, měří Watts se Strogatzem pomocí veličiny, kterou nazvali koeficient shlukování. Jde o to, že znám-li já X a také Y, pak se dá očekávat, že X a Y se budu také navzájem znát. My tři tvoříme malý shluk, kde se všichni navzájem známe. U Erdősovy-Rényiho sítě tomu tak ale není. Jelikož všechny vazby jsou na sobě nezávislé a náhodné, nedá se z existence vazby mezi mnou a X a mezi mnou a Y vyvodit nic o existenci vazby mezi X a Y. Koeficient shlukování bude zanedbatelně malý. Naproti tomu v pravidelné síti dané prostorovou blízkostí bude shlukování samozřejmě velké, protože dva body blízké třetímu bodu musí být k sobě blízko, jak nám říká trojúhelníková nerovnost. U Wattse a Strogatze zajišťuje vysoké shlukování základní pravidelná mřížka. Dalekodosahové vazby v jejich modelu naopak vedou k tomu, že jejich svět je opravdu malý, že i mezi geograficky vzdálenými jednotlivci mohou vznikat krátké

6 posloupnosti známostí. V našem příkladu s manželkou Bushova zahradníka je takovou vzdálenou vazbou známost Havla s Clintonem, která překračuje oceán. Wattsův-Strogatzův model mohl zůstat jen zajímavou hříčkou, která možná vysvětluje některá sociologická pozorování, ale nic víc, kdyby jeho autoři nešli dál a neprovedli důkladné srovnání reálných sítí s předpovědí jejich modelu. A nyní se ukázalo, že řada sítí kolem nás úžasně dobře s Wattsovým-Strogatzovým modelem souhlasí. A to nejen sociální sítě, jako jsou vazby mezi herci v Hollywoodu (ty mají výhodu, že se dají poměrně snadno dokumentovat), mezi členy správních rad velkých korporací (to už je těžší, ale stále ještě to lze, protože všechna jména jsou veřejně známá) a tak podobně, ale i potravní sítě popisující vztahy v ekosystému. Kupodivu to však funguje stejně dobře i u neživých objektů, jako je elektrorozvodná síť v USA nebo schéma zapojení mikroprocesoru. 5. Pravé překvapení nás však čekalo, když se badatelé, inspirovaní Wattsem a Strogatzem, pustili do studia sítě, která je snad běžnému člověku ze všech nejznámější: internetu, nebo přesněji world-wide webu. Není totiž problém napsat krátký program, který stáhne webovou stránku, zanalyzuje její obsah, najde všechny odkazy, pak jednu po druhé stáhne všechny stánky, na které první stránka odkazovala, opět vyhledá všechny odkazy na stažených stránkách a pokračuje stále dál, dokud jej nezastavíme. Takovéto roboty rutinně používají všechny internetové vyhledávače, jako je např. Google, a příklady jednoduchých robotů najdeme v řadě učebnic programování (ne pro začátečníky, samozřejmě). Podobného robota sestavili studenti na univerzitě Notre Dame v South Bendu ve státě Indiana, ve skupině profesora teoretické fyziky Alberta-László Barabásiho. Podařilo se jim stáhnout všechny webové stránky uvnitř jejich vlastní domény nd.edu (bylo jich něco přes 300 tisíc) a získanou síť potom analyzovali. Zjistili, že web tvoří také malý svět, i když vzdálenost mezi uzly je znatelně větší než u sociálních sítí: průměrná hodnota se pohybovala kolem devatenácti. Nečekaný výsledek se dostavil, když vypočetli pravděpodobnostní rozdělení konektivity. V získaném grafu nebylo ani památky po výrazném maximu, charakteristickém jak pro Erdősův-Rényiho, tak pro Wattsův-Strogatzův model. Ve skutečnosti se rozdělení řídilo mocninným zákonem, γ P ( k) k

7 (viz obr. 2ab). Laikovi možná na mocninném rozdělení nepřipadá nic zvláštního, koneckonců funkce jako funkce. Odborník, a zvláště teoretický fyzik toho ražení, jako byl Barabási, však musel při takovém objevu pocítit lehkou závrať. Přítomnost mocninných zákonů v různých fyzikálních systémech byla totiž dlouhá desetiletí velikou záhadou. Mocninné zákony například řídí chování řady veličin, jako např. měrného tepla nebo susceptibility, v okolí kritického bodu u fázových přechodů. Odvození těchto mocninných zákonů z teorie bylo velmi tvrdým oříškem a teprve v polovině sedmdesátých let došlo k výraznějšímu pokroku, když byla zformulována metoda renormalizační grupy. Kennethu Wilsonovi, jejímu autorovi, byla krátce poté za tento počin udělena Nobelova cena za fyziku. a) b) Mocninné zákony také charakterizují c) fraktály, široce populární vizuální objekty. Obr. 2. Bezškálová síť Není to náhoda; charakteristickou vlastností V horních dvou panelech vidíme rozdělení konektivit fraktálů je totiž to, že se při změně měřítka na WWW, a to odděleně pro odkazy vycházející z jedné stránky (a) a mířící na jednu stránku (b). V panelu (c) na pohled nemění. Vyříznutím malé části je znázorněno rozdělení konektivity získané simulací a zvětšením na původní velikost dostaneme modelu Barabásiho-Albertové. Mocninná závislost se opět tentýž tvar. Tato absence charakteristické délky, někdy zvaná bezškálovost, je měřítku. projevuje jako přímka v dvojitém logaritmickém matematicky dobře vyjádřena mocninným rozdělením. Mocninné rozdělení pravděpodobnosti má také následující vlastnost. Změníme-li jednotky, tedy vynásobíme-li naši veličinu x číslem s, pak dostáváme

8 γ γ P( sx) ( sx) x P( x), a pravděpodobnostní rozdělení tudíž nemění svůj tvar. Ve skutečnosti se dá dokázat, že mocnina je právě jediný možný typ funkce, která je bezškálová. Barabási tehdy zajásal, když zjistil, že rozdělení konektivit na webu je mocninné a souvisí tedy jakýmsi záhadným způsobem s fázovými přechody a kritickými jevy a navíc odhaluje skrytou fraktální strukturu této sítě. Přinejmenším to znamenalo, že ani Erdősův- Rényiho, ani Wattsův-Strogatzův model se nedají v žádném případě použít pro popis struktury webu. Narazili jsme na cosi úplně nového, na něco, co vyžaduje zcela neotřelé myšlenky na bezškálové sítě (scale-free networks). 6. Barabásiho invence plně dostála této výzvě. Prakticky ihned po objevu bezškálové povahy sítě webových stránek přišel, spolu se svou studentkou Rékou Albertovou, s modelem, který mocninné rozdělení elegantně vysvětloval. Podstatou je souhra a vzájemné vyvažování dvou mechanismů. Prvním z nich je neustálý růst sítě. Síť je dynamická a neustále se proměňuje. V každém kroku časového vývoje se k síti přidá jeden uzel. Druhým principem je preferenční připojování nového uzlu k starším. Nový uzel, nová webová stránka, s sebou nese určitý počet vazeb, otázkou ale je, ke kterým stávajícím uzlům se mají připojit. Pravidlo preferenčního připojování říká, že pravděpodobnost připojení nové vazby je přímo úměrná počtu vazeb, které již starý uzel má. Je to koneckonců přirozené: na oblíbené stránky, na něž odkazuje mnoho jiných stránek, se nově příchozí připojí s větší pravděpodobností než na nějaké nekvalitní, které si žádnou oblibu nezískaly. Skutečná hodnota stránek je přitom druhořadá. Podstatný je efekt napodobování, který dobře známe u knih a populární hudby: všichni to poslouchají, pustím si to taky; všichni to už četli, musím si to taky přečíst. Na obrázku 2c vidíme výsledky simulací modelu Barabásiho-Albertové (BA) a můžeme je srovnat s daty pro web. Vidíme, že shoda je nápadná. Nemusíme však ještě cítit uspokojení. Možná, že je web mezi sítěmi naprostou výjimkou. Možná, že se model BA na nic jiného nehodí.

9 Ukázalo se ale, že opak je pravdou. Když byla provedena analýza americké elektrorozvodné sítě, získali jsme stejnou mocninnou závislost jako u webu. A totéž nás čekalo u sítě vztahů mezi hollywoodskými herci nebo při zkoumání sítě reprezentující vzájemné citace vědeckých prací. Najednou se začalo ukazovat, že bezškálové sítě ovládají velkou část lidské společnosti a vévodí i technickým výtvorům. Nebylo už pak velkým překvapením, když se zjistilo, že také internet, jakožto fyzická struktura kabelů, počítačů a směrovačů, má bezškálovou strukturu (pro ilustraci viz obr. 3). Obr. 3. Struktura internetu Mapa části internetu v roce Různé barvy odpovídají různým doménám. Nyní začaly přicházet rychle za sebou objevy dalších bezškálových sítí. Zmiňme se ještě o dvou, které jsou obzvlášť nečekané a důležité. V každé živé buňce probíhá neustále spousta biochemických reakcí. Schémata těchto reakcí se dají nakreslit do takzvaných metabolických drah. Jejich schéma je skutečně velice

10 komplikované. My se na takový diagram můžeme dívat jako na graf, na metabolickou síť, v níž uzly představují jednotlivé chemikálie (voda, cukry, proteiny atd.) a hrany spojují látky, které spolu reagují. Podobná síť se dá nakreslit pro vzájemnou interakci proteinů nebo pro genetickou regulaci. Tato poslední síť je pro buňku obzvlášť důležitá a popisuje, jak geny vzájemně ovládají své zapínání a vypínání. A všechny tyto tři sítě řídící buněčné pochody jsou bezškálové. Schéma proteinové interakční sítě v buňce kvasinky vidíme na obr. 4. Obr. 4. Interakční síť proteinů kvasinky Každý uzel odpovídá jednomu proteinu. Další bezškálovou síť objevili matematičtí lingvisté. Představme si jednotlivá slova jazyka jako uzly a gramatické a sémantické vazby mezi nimi jako hrany. Například v češtině se velmi často vyskytuje slovní spojení byl jsem, a tudíž slova byl a jsem jsou spojena vazbou. Naproti tomu kytara a cihla se zřídkakdy dostanou do vzájemné souvislosti, vazba tedy mezi nimi není. Tato lingvistická síť je bezškálová a nikdo dosud nepřišel s vysvětlením proč. 7. Nyní se dostáváme k praktické otázce: jaké důsledky má bezškálová struktura na fungování sítí, o nichž zde byla řeč? U internetu nás například zajímá, jak odolný bude vůči selhání některých jeho uzlů. Na tom bude také záviset jeho spolehlivost jako informačního média. Barabási a další provedli jednoduchou simulaci; ze sítě představující internet odebírali jeden po druhém uzly a čekali, kdy se síť rozpadne na nesouvislé kusy. To je okamžik, kdy se internet zhroutí. Problémy tohoto typu jsou poměrně dobře známé ve statistické fyzice, kde se jim říká perkolace. Představme si například desku, do níž vrtáme jednu díru za druhou. Nějakou dobu to potrvá, než otvory zeslabí desku natolik, že se nám rozpadne. Taková hustota otvorů, která vede právě k rozpadu, se nazývá perkolační práh. Nízký perkolační práh

11 znamená malou odolnost k poškození, vysoký perkolační práh naopak velkou robustnost. Kupodivu se ukázalo, že bezškálová síť má neobyčejně vysoký perkolační práh a zůstává funkční, i když narušíme většinu jejích uzlů. Proto je internet vysoce stabilní vůči náhodným poruchám. Něco jiného je ovšem útok zlomyslných hackerů. Ti se sotva budou zaměřovat na náhodně vybrané uzly, protože s největší pravděpodobností budou jen málo významné. Místo toho se soustředí na nejvýznamnější centra s vysokou konektivitou. A tady se ukazuje, že bezškálový charakter sítě je naopak obrovskou nevýhodou. Internet tedy ztělesňuje příklad sítě velmi odolné k náhodným poruchám a zároveň velice citlivé na nepřátelský útok. Jelikož metabolická síť v buňce je také bezškálová, vysvětluje se tím, proč buňka dokáže přežít, i když ji neustále ohrožuje řada nepříznivých vlivů okolního prostředí. Jiný zajímavý výsledek se týká šíření počítačových virů. Běžné epidemiologické modely, úspěšné při popisu epidemií spalniček a jiných chorob, mají jeden společný rys. Říkají totiž, že osud epidemie, tedy zda se zastaví či zda přetrvá, závisí na stupni nakažlivosti viru. Pokud je nakažlivost menší než určitá kritická hodnota, vznikne nanejvýš krátkodobá lokální epidemie a nemoc zase vymizí. Když ale nakažlivost přesáhne kritickou hodnotu, epidemie se stále stupňuje, až zasáhne vše, co jen může. A nyní se ukazuje, že výše kritické hodnoty je dána strukturou sítě, po níž se nemoc šíří. Máme-li studovat počítačové viry, je touto sítí internet, u němž víme, že je bezškálový. K překvapení všech se ukázalo, že na bezškálové síti je práh nakažlivosti nulový. To znamená, že sebeméně nakažlivý virus dříve nebo později zachvátí celý systém, a co je horší, přetrvává v něm velmi dlouho. A to se u počítačových virů skutečně pozoruje. Nejenže jsme pravidelně svědky celoplanetárních poplachů vyvolaných ovými červy, ale dokonce i staré viry, proti nimž již dlouho existuje antivirová ochrana, se stále tu a tam objevují. Není je možné vymýtit. Obr. 5. Síť sexuálních kontaktů Konektivita uzlu jedince je dána počtem jeho/jejích partnerů. Mocninné rozdělení, demonstrované tímto grafem, ukazuje, že síť je bezškálová. Zakončeme naši procházku složitými sítěmi jednou varovnou zprávou. Dokážeme-li tak dobře studovat šíření virů počítačových, co nám

12 to napoví o šíření virů lidských? K tomu potřebujeme mít informace o síti mezilidských kontaktů, jimiž se nemoc přenáší. Pokud jde o pohlavní choroby, je to síť sexuálních styků. Ačkoli se jedná o informace, které jen málokdo hodlá prozrazovat, byly ve Švédsku prováděny studie sexuálního chování, které hodně napovídají o struktuře takové sítě. Pro nás je podstatné, že se jedná o síť bezškálovou, jak naznačují data vynesená na obrázku 5. Když si to dáme dohromady s děsivou snadností, s jakou se v bezškálových sítích šíří viry, můžeme se jen neklidně ptát, spolu s autory uvedené švédské studie: Dokážeme vůbec někdy zastavit epidemii AIDS? LITERATURA: [1] Barabási, A.-L.: V pavučině sítí, Paseka, 2005.

Moderní aplikace statistické fyziky II - TMF050

Moderní aplikace statistické fyziky II - TMF050 Moderní aplikace statistické fyziky II - TMF050 Body 2, E-Kredity 3, 2/0 Zk - LS Miroslav Kotrla a František Slanina kotrla@fzu.cz slanina@fzu fzu.cz kmenově: externě: ÚTF UK FZÚ AV ČR, v.v.i. oddělení

Více

Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování

Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování Metody analýzy dat I (Data Analysis I) Rozsáhlé struktury a vlastnosti sítí (Large-scale Structures and Properties of Networks) - pokračování Základní (strukturální) vlastnosti sítí Stupně vrcholů a jejich

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU

DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU Projekt MOTIVALUE Jméno: Třida: Pokyny Prosím vyplňte vaše celé jméno. Vaše jméno bude vytištěno na informačním listu s výsledky. U každé ze 44 otázek vyberte a nebo

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí <>

Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí <<include>> Čtvrtá část odpovědi aneb jak je to vlastně s interakcí autor RNDr. Ilja Kraval leden 2008 www.objects.cz Úvod Tento článek navazuje jako pokračování na články předešlé. Minule jsme si zde

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Vojtěch Hrubý: Esej pro předmět Seminář EVF

Vojtěch Hrubý: Esej pro předmět Seminář EVF Vojtěch Hrubý: Esej pro předmět Seminář EVF Plazma Pod pojmem plazma většinou myslíme plynné prostředí, které se skládá z neutrálních částic, iontů a elektronů. Poměr množství neutrálních a nabitých částic

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

Fraktály. Ondřej Bouchala, George Dzhanezashvili, Viktor Skoupý

Fraktály. Ondřej Bouchala, George Dzhanezashvili, Viktor Skoupý Fraktály Ondřej Bouchala, George Dzhanezashvili, Viktor Skoupý 19.6.2012 Abstrakt Tato práce se zabývá vlastnostmi a vykreslováním fraktálů. Popisuje fraktální dimenzi (soběpodobnostní a mřížkovou), dále

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

VODA S ENERGIÍ Univerzita odhalila tajemství vody Objev hexagonální vody

VODA S ENERGIÍ Univerzita odhalila tajemství vody Objev hexagonální vody VODA S ENERGIÍ Univerzita odhalila tajemství vody Objev hexagonální vody Čtvrté skupenství vody: Hexagonální voda: Na univerzitě ve Washingtonu bylo objeveno čtvrté skupenství vody, což může vysvětlit

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

Hrozba epidemie, pandemie chřipka, HIV

Hrozba epidemie, pandemie chřipka, HIV Inovace a zkvalitnění výuky v oblasti přírodních věd Člověk a příroda 8.ročník červenec 2012 Hrozba epidemie, pandemie chřipka, HIV Anotace: Kód: VY_52_INOVACE_ Čap-Z 8.,9.26 Vzdělávací oblast: Autor:

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

Látkové množství n poznámky 6.A GVN

Látkové množství n poznámky 6.A GVN Látkové množství n poznámky 6.A GVN 10. září 2007 charakterizuje látky z hlediska počtu částic (molekul, atomů, iontů), které tato látka obsahuje je-li v tělese z homogenní látky N částic, pak látkové

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Utajené vynálezy Nemrtvá kočka

Utajené vynálezy Nemrtvá kočka Nemrtvá kočka Od zveřejnění teorie relativity se uskutečnily tisíce pokusů, které ji měly dokázat nebo vyvrátit. Zatím vždy se ukázala být pevná jako skála. Přesto jsou v ní slabší místa, z nichž na některá

Více

Jak se sociální sítě zpracovávají?

Jak se sociální sítě zpracovávají? SOCIÁLNÍ SÍTĚ Sociální sítě většina jedinců je zapojena ve více sociálních sítích jak jsou tyto vazby strukturovány? analýza sociálních sítí (social network analysis) zmapování mezilidských vztahů určitých

Více

1. Je pravda, že po třicítce je matematik odepsaný?

1. Je pravda, že po třicítce je matematik odepsaný? Kapitola 8 1. Je pravda, že po třicítce je matematik odepsaný? Matematika Tento široce rozšířený mýtus je založen na chybné představě o povaze matematického nadání. Lidé si s oblibou představují matematiky

Více

Pracovní celky 3.2, 3.3 a 3.4 Sémantická harmonizace - Srovnání a přiřazení datových modelů

Pracovní celky 3.2, 3.3 a 3.4 Sémantická harmonizace - Srovnání a přiřazení datových modelů Pracovní celky 3.2, 3.3 a 3.4 Sémantická harmonizace - Srovnání a datových modelů Obsah Seznam tabulek... 1 Seznam obrázků... 1 1 Úvod... 2 2 Metody sémantické harmonizace... 2 3 Dvojjazyčné katalogy objektů

Více

"Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110)

Zajisté, odvětí strážce. (Str. 110) "Zajisté, odvětí strážce." (Str. 110) Kapitola 17 Normální rozdělení Nejdůležitější pravděpodobnostní rozdělení se nazývá normální či Gaussovo. Má zajímavou historii. To druhé jméno dostalo na počest slavného

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika

R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A. R10.1 Fotovoltaika Fyzika pro střední školy II 84 R10 F Y Z I K A M I K R O S V Ě T A R10.1 Fotovoltaika Sluneční záření je spojeno s přenosem značné energie na povrch Země. Její velikost je dána sluneční neboli solární

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Obří prvky: jak postavit větší kostky

Obří prvky: jak postavit větší kostky Obří prvky: jak postavit větší kostky KAPITOLA 5 V této kapitole: Zvětšení měřítka: jak na to Ostatní měřítka: která fungují a proč Shrnutí: obří kostky jsou jen začátek V kapitole 3 jsme pracovali s měřítkem

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony Astronomové při sledování oblohy zaznamenávají především úhly a pozorují něco, co se nazývá nebeská sféra. Nicméně, hvězdy nejsou od Země vždy

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

Hlavolamy a teorie grafů

Hlavolamy a teorie grafů Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 11. 2006 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Kinematika Trajektorie pohybu, charakteristiky pohybu Mirek Kubera

Kinematika Trajektorie pohybu, charakteristiky pohybu Mirek Kubera Kinematika Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: žák užívá základní kinematické vztahy při řešení problémů a úloh o pohybech rovnoměrných a rovnoměrně zrychlených/zpomalených trajektorie, rychlost, GPS,

Více

ETIKA. Benedictus de SPINOZA

ETIKA. Benedictus de SPINOZA ETIKA Benedictus de SPINOZA Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Benedictus de Spinoza ETIKA ETIKA Benedictus de SPINOZA ETIKA Translation Karel Hubka, 1977 Czech edition dybbuk, 2004

Více

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Vesmír je souhrnné označení veškeré hmoty, energie

Více

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou

Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21

Více

Cíl a následující tabulku: t [ s ] s [ mm ]

Cíl a následující tabulku: t [ s ] s [ mm ] .. Rychlost Předpoklady: 0 Rychlost: kolik ukazuje ručička na tachometru jak rychle se míhá krajina za oknem jak rychle se dostaneme z jednoho místa na druhé Okamžitá rychlost se při jízdě autem neustále

Více

Ludwig WITTGENSTEIN: Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 Překlad: Jiří Fiala, Praha: Svoboda, 1993

Ludwig WITTGENSTEIN: Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 Překlad: Jiří Fiala, Praha: Svoboda, 1993 Ludwig WITTGENSTEIN: Tractatus Logico-Philosophicus, 1922 Překlad: Jiří Fiala, Praha: Svoboda, 1993 l Svět je všechno, co fakticky je. 1.l Svět je celkem faktů a nikoli věcí. l.2 Svět se rozpadá na fakty.

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

1 Úvod. Zdálo by se, že vyložit, jak je to s lidskou myslí, není až tak obtížné:

1 Úvod. Zdálo by se, že vyložit, jak je to s lidskou myslí, není až tak obtížné: 1 Úvod Zdálo by se, že vyložit, jak je to s lidskou myslí, není až tak obtížné: My všichni lidé jsme myslící bytosti, neboli všichni máme mysl. Do své mysli můžeme každý nahlížet, rojí se nám tam různé

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

2.1.7 Zrcadlo I. Předpoklady: Pomůcky: zrcadla, laser, rozprašovač, bílý a černý papír, velký úhloměr

2.1.7 Zrcadlo I. Předpoklady: Pomůcky: zrcadla, laser, rozprašovač, bílý a černý papír, velký úhloměr 2.1.7 Zrcadlo I ředpoklady: 020106 omůcky: zrcadla, laser, rozprašovač, bílý a černý papír, velký úhloměr edagogická poznámka: K pokusům používám obyčejné velké, které si beru z pánských záchodů, aby bylo

Více

Výsledky a prezentace české vědy z pohledu veřejnosti

Výsledky a prezentace české vědy z pohledu veřejnosti TISKOVÁ ZPRÁVA Centrum pro výzkum veřejného mínění Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Jilská 1, Praha 1 Tel./fax: +420 210 310 584 E-mail: jiri.vinopal@soc.cas.cz Výsledky a prezentace české vědy z pohledu

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

školní vzdělávací program ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 RVP ZV Základní vzdělávání Zeměpis Základní škola Český Krumlov, Plešivec 249

školní vzdělávací program ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 RVP ZV Základní vzdělávání Zeměpis Základní škola Český Krumlov, Plešivec 249 školní vzdělávací program ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 PLACE HERE ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec 249 Název školy Adresa Název ŠVP Plešivec 249, 381 01 Český Krumlov ŠVP ZŠ Český Krumlov, Plešivec

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient I I.I Pearsonův korelační koeficient Úvod Předpokládejme, že náhodně vybereme n objektů (nebo osob) ze zkoumané populace. Často se stává, že na každém z objektů měříme ne pouze jednu, ale několik kvantitativních

Více

SEZNAM POKUSŮ TEPLO 1 NÁVODY NA POKUSY MĚŘENÍ TEPLOT. Měření teplot. Používání teploměru. (1.1.) Kalibrace teploměru. (1.2.

SEZNAM POKUSŮ TEPLO 1 NÁVODY NA POKUSY MĚŘENÍ TEPLOT. Měření teplot. Používání teploměru. (1.1.) Kalibrace teploměru. (1.2. TEPLO TA1 419.0008 TEPLO 1 SEZNAM POKUSŮ MĚŘENÍ TEPLOT Měření teplot. Používání teploměru. (1.1.) Kalibrace teploměru. (1.2.) KALORIMETRIE Teplotní rovnováha. (2.1.) Studium kalorimetru. (2.2.) Křivka

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor017 Vypracoval(a),

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Dějiny sociologie I. Periodizace, protosociologie a klasická sociologie (Comte, Spencer) VY_32_INOVACE_ZSV3r0103 Mgr.

Dějiny sociologie I. Periodizace, protosociologie a klasická sociologie (Comte, Spencer) VY_32_INOVACE_ZSV3r0103 Mgr. Dějiny sociologie I. Periodizace, protosociologie a klasická sociologie (Comte, Spencer) VY_32_INOVACE_ZSV3r0103 Mgr. Jaroslav Knesl Dějiny sociologie - periodizace 1. Protosociologie: Antika 40 léta 19.stol.

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301

{ } 1.3.2 Množina všech dělitelů. Předpoklady: 010301 1.3.2 Množina všech dělitelů Předpoklady: 010301 Pedagogická poznámka: Na začátku si rozebereme řadu z poslední Odpočítávané. Na způsob jejího generování většinou nikdo nepřijde a proto ji dostanou žáci

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Internet - základní pojmy

Internet - základní pojmy Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: VY_32_INOVACE_07_INTERNET_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 4 Název: Určení závislosti povrchového napětí na koncentraci povrchově aktivní látky Pracoval: Jakub Michálek

Více

Nástin formální stavby kvantové mechaniky

Nástin formální stavby kvantové mechaniky Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu:

Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: VY_32_INOVACE_06_INTERNET_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1 NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.

Více

Reaktivní turbína a zákon zachování energie

Reaktivní turbína a zákon zachování energie Reaktivní turbína a zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V článku [2] jsem se snažil vysvětlit fenomén Clemova motoru pomocí školské fyziky, kde jsem našel popis experimentu, který odporuje

Více

PROBLÉMY ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ ORGANISMY

PROBLÉMY ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ ORGANISMY PROBLÉMY ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ ORGANISMY 2010 Ing. Andrea Sikorová, Ph.D. 1 Problémy životního prostředí - organismy V této kapitole se dozvíte: Co je to organismus. Z čeho se organismus skládá. Jak se dělí

Více

Masarykova univerzita. Fakulta informatiky. Evoluce pohybu

Masarykova univerzita. Fakulta informatiky. Evoluce pohybu Masarykova univerzita Fakulta informatiky Evoluce pohybu IV109 Tomáš Kotula, 265 287 Brno, 2009 Úvod Pohyb je jedním ze základních projevů života. Zdá se tedy logické, že stejně jako ostatní vlastnosti

Více

TERMODYNAMIKA Ideální plyn TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY.

TERMODYNAMIKA Ideální plyn TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. TERMODYNAMIKA Ideální plyn TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY. Ideální plyn je zjednodušená představa skutečného plynu. Je dokonale stlačitelný

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více