Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu"

Transkript

1 Teorie sítí: společný jazyk buňky a internetu RNDr. František Slanina,CSc. Fyzikální ústav AV ČR Řekne-li se, že všechno souvisí se vším, zní to jako pustá banalita. Stejně trapné by nám připadalo, kdyby nám dnes někdo nadšeně vykládal, že je člověk společenský tvor. Kdybychom ale měli říci, jak přesně spolu souvisí zdánlivě odlehlé věci a kudy vlastně vedou rušné tepny společenského života, ukázalo by se, jak málo o tom všem víme a jak jsou ty otřepané pravdy skutečně banální. Abychom jim totiž opravdu porozuměli, musíme se podívat mnohem hlouběji na strukturu lidské společnosti, musíme zmapovat topografii světa kolem nás. A k tomu právě v posledních letech dochází. Jsme svědky bouřlivého rozvoje oboru, kterému se začalo říkat teorie komplexních sítí, a sítě, o nichž zde mluvíme, nacházíme snad všude, kamkoli se jen podíváme. 1. Pro matematiky to není zase až tak nic nového. Jako už tolikrát se ukázalo, že matematikové tvořili, svým obvyklým tichým a skromným způsobem, teorémy a teorémy, které teprve nedávno lidé oprášili a poznali jejich praktický význam. Matematicky řečeno mluvíme zde o teorii náhodných grafů. Graf, to je abstraktní objekt, který si můžeme představit například jako schéma známostí mezi obyvateli jednoho města. Takové schéma snadno nakreslíme, stačí jen mít dostatečně velký papír (pro Prahu by musel být opravdu dost velký!). Každého člověka si zakreslíme jako malý plný kroužek,

2 a pokud se nějací dva lidé osobně znají, spojíme jejich kroužky čárou. V matematické hantýrce říkáme kroužkům uzly a čarám hrany. Fyzikové někdy místo hrany říkají vazby, podle chemických vazeb, poutajících k sobě atomy v molekulách. Jistě všichni známe modely molekul z chemického kabinetu, kde vazby či hrany ztělesňují umělohmotné tyčinky. Nic překvapivého: například schéma molekuly benzenu je také jedním z příkladů grafu, jak mu rozumějí matematici. Jiným příkladem je schéma propojení elektrorozvodné sítě či sítě počítačů v rámci jedné firmy či školy. Další příklady si čtenář jistě snadno doplní sám. Teorie grafů dlouhá léta přistupovala ke grafům jako k přesně daným objektům, které sice mohly být a byly velmi složité a nepřehledné, ale na nichž nebylo nic neurčitého. Nedovedli jsme se sice často vyznat v jejich spletitých vlastnostech, ale měli jsme alespoň jejich jednoznačnou definici. Tak například rovinný graf je takový graf, který lze nakreslit na papír způsobem, aby se jeho hrany nikde nekřížily. (Tato vágní definice se dá formulovat velmi přesně, ale to pro nás nyní není důležité.) O rovinných grafech platí nejrůznější teorémy, například že k jejich obarvení stačí pouhé čtyři barvy. (Dokázání tohoto teorému dalo vědcům pořádně zabrat a dodnes není znám důkaz, který by nevyžadoval použití počítače ) Nicméně jakmile víme, že graf, který máme před sebou, je rovinný, máme také jistotu o jeho obarvitelnosti. To se ovšem změní, pokud si dovolíme do určité míry o povaze grafu pochybovat: možná že je rovinný, ale možná také ne, víme jen, s jakou pravděpodobností nastane první či druhá možnost. V tom okamžiku i všechny ostatní vlastnosti grafu mají jen pravděpodobnostní platnost. Můžeme se například ptát, s jakou pravděpodobností je graf souvislý neboli se skládá jen z jednoho kusu, nerozpadá se na více nesouvisejících částí. 2. První matematické výsledky týkající se náhodných grafů získali v padesátých letech maďarští matematici Pál Erdős a Afred Rényi. Svůj náhodný graf konstruovali podle jednoduchého receptu. Vzali určitý počet vrcholů a ty spojovali hranami zcela náhodně. Každá náhodně vybraná dvojice uzlů má pravděpodobnost p, že bude spojena hranou, a pravděpodobnost 1 - p, že mezi nimi hrana nebude. Tento Erdősův-Rényiho graf lze prostudovat poměrně podrobně. Jednou z otázek, které si matematikové kladli, bylo například pravděpodobnostní rozdělení konektivit. Konektivitou uzlu zde myslíme počet hran, které z uzlu vycházejí (někdy se také používá termín řád uzlu, my se pro jednotnost přidržíme termínu konektivita). Otázka pak zní takto: vyberu-li zcela náhodně jeden uzel grafu, jaká je

3 pravděpodobnost, že bude mít konektivitu právě k? Tato veličina, označme si ji P(k), má pro nás obrovský význam, protože mimo jiné určuje míru homogenity grafu či sítě, její kompaktnost, stabilitu, a nebo také, máme-li na mysli graf popisující mezilidské styky, jak snadno se budou šířit infekční nemoci. Erdős s Rényim vypočetli, že se konektivita v jejich grafu řídí Poissonovým rozdělením, které je dáno vzorcem P λ λk ( k) = e e / k! Toto rozdělení se vyznačuje velmi strmým maximem v okolí průměrné konektivity. To znamená, že téměř všechny uzly budou mít konektivitu nepříliš vzdálenou od průměru a pravděpodobnost, že konektivita výrazně přesáhne průměr, je zcela zanedbatelná. Erdősova- Rényiho síť je velmi homogenní. 3. Po dlouhá desetiletí, která následovala, se v teorii náhodných grafů zdánlivě nic nedělo. Do určité míry to byla pravda, protože matematikové stále jen vylepšovali a oprašovali, co před nimi vybudovali Erdős a Rényi. Na druhé straně zde byli různí neexaktní vědci, např. ekonomové a sociologové, které čím dále tím více zajímala skutečná struktura sítě skrývající se za lidskou společností. Například americký sociolog Mark Granovetter si na začátku šedesátých let kladl otázku, jakými cestami si lidé hledají zaměstnání. Došel k paradoxnímu závěru, že nejvíce jim při tom pomáhají vzdálení známí, nikoli nejbližší přátelé. Své výzkumy zahrnul do práce s názvem Síla slabých vazeb, kde prezentoval vizi společnosti jakožto sítě složené z mnoha modulů neboli těsně propojených shluků uzlů, kde se každý zná s každým, přičemž moduly jsou spolu navzájem spojeny malým počtem vzdálených slabých vazeb. Tyto slabé vazby spojující lidi, kteří si jinak nejsou příliš blízcí, hrají při hledání nové práce rozhodující roli: mí nejbližší přátelé mají většinou podobné informace jako já a málokdy mi poradí hledat něco, o čem bych již sám předtím nevěděl. Zato někdo, koho znám jen letmo, kdo se častěji vyskytuje v mně neznámém prostředí, mi může spíše poradit něco, na co bych vlastními silami nepřišel. Modulární struktura společnosti, představená Granovetterem, opsala standardní kruh, který bývá osudem velkých objevů. Nejprve Granovetterovu práci všichni šmahem odmítli,

4 takže se mu nepodařilo publikovat svůj článek v žádném z odborných časopisů. Když se mu to s velkým zpožděním povedlo, stal se rázem slavným a jeho článek patří dnes mezi nejcitovanější ve společenských vědách vůbec. Dnes je jeho představa tak přirozená, že ji mnozí považují za banalitu. Jiný americký sociolog, Stanley Milgram, pracoval nevědomky na stejném poli, i když úplně jinými prostředky. Milgramovou doménou byla experimentální sociologie a někomu se možná vybaví jeho pokusy s lidmi, kteří byli nuceni dávat elektrické šoky jiným pokusným osobám (což by dnes žádná etická komise nepovolila, ale v šedesátých letech bylo možné leccos). V pokusu, o který nám nyní jde, neobíhal lidmi elektrický proud, ale kolovaly obyčejné dopisy. Milgrama zajímalo, jak složitou cestou bude dopis putovat z jednoho místa v Americe na jiné, pokud si jej budou moci předávat jen lidé osobně, a to jen mezi dobrými známými. Rozdal tedy odesílatelům větší množství dopisů a zvědavě čekal, zda některý z nich skutečně dorazí do cíle. Větší části z nich se to podařilo a Milgram nyní počítal, kolik prostředníků bylo potřeba, než se dopis dostal tam, kam měl. Výsledek byl překvapující: Průměrně stačilo neuvěřitelně málo, pouhých šest kroků. Co z tohoto překvapivého výsledku plyne? Síť mezilidských vazeb obepínající celou planetu je podivuhodně hustá a v průměru dělí libovolné dvě osoby, ať je to opravář televizorů v indické vesnici nebo obchodník s kůžemi v Patagonii, řetězec známostí čítající šest kroků. Když si to rozmyslíme, není to až tak překvapivé: například někdo (říkejme mu pro jistotu X) zná někoho, kdo je dobrým známým Václava Havla, který se jistě zná s Billem Clintonem, a ten měl určitě co do činění s Georgem Bushem mladším (i starším), který se pravidelně stýká se zahradníkem na svém soukromém ranči, a tedy manželku Bushova zahradníka dělí od našeho X právě šest kroků. Pojem šest kroků od sebe se svého času stal tak populárním, že byl i umělecky zpracován. Světu, kde od člověka k člověku je vlastně velice blízko, se začalo říkat malý svět. Jak uvidíme dále, teorie náhodných grafů má pro malé světy velmi přímočaré vysvětlení. 4. Vraťme se nyní opět k matematice a k tomu, jak je zde užitečná statistická fyzika. Lidé si přirozeně kladli otázku, jak by se daly sítě mezilidských vztahů modelovat matematicky. Erdősovy-Rényiho náhodné grafy se nabízely jako skvělé východisko. Nicméně zjištění, k nimž došli sociologové, tak jak jsme je naznačili v předchozí kapitolce, rozhodně s Erdősem

5 a Rényim nesouhlasily. Především modulární struktura byla tím prvkem, který se modelování náhodnými grafy vzpouzel. A tak jsme museli čekat až na konec devadesátých let, kdy se najednou jako houby po dešti začaly objevovat zcela nové myšlenky vtělené do originálních modelů. Nejprve to byli Duncan Watts a Steven Strogatz, kteří přišli s ideou, které říkali prostě sítě malého světa (small world networks). Jejich nápad je tak průzračný, že je s podivem, že na něj lidstvo muselo čekat tak dlouho. Wattsův-Strogatzův model vychází z představy, že v zásadě jsou lidé vázáni na dvourozměrný povrch zeměkoule, a tudíž největší počet vzájemných kontaktů je určen geografickou blízkostí. Není nic překvapivého na tom, že velkou část našich přátel tvoří naši spolužáci, kteří se jimi stali prostě proto, že bydleli v tomtéž městě nebo v téže čtvrti jako my. To ale není všechno. Kromě toho máme pár přátel a známých v jiných městech, jiných státech a na jiných kontinentech. Wattsův-Strogatzův model tedy bere za základ sítě pravidelnou mřížku (dvourozměrnou či pro jednoduchost jednorozměrnou), kterou doplní malým množstvím vazeb, které mohou spojovat libovolně vzdálené uzly sítě. Ilustrativní příklad vidíme na obr. 1. Obr. 1. Síť malého světa Nalevo vidíme pravidelnou jednorozměrnou mřížku, stočenou do kruhu. Graf vpravo znázorňuje přidané dalekodosahové vazby, které vedou k efektu malého světa. To, co se u Granovettera popisovalo jako modulární struktura sítě, měří Watts se Strogatzem pomocí veličiny, kterou nazvali koeficient shlukování. Jde o to, že znám-li já X a také Y, pak se dá očekávat, že X a Y se budu také navzájem znát. My tři tvoříme malý shluk, kde se všichni navzájem známe. U Erdősovy-Rényiho sítě tomu tak ale není. Jelikož všechny vazby jsou na sobě nezávislé a náhodné, nedá se z existence vazby mezi mnou a X a mezi mnou a Y vyvodit nic o existenci vazby mezi X a Y. Koeficient shlukování bude zanedbatelně malý. Naproti tomu v pravidelné síti dané prostorovou blízkostí bude shlukování samozřejmě velké, protože dva body blízké třetímu bodu musí být k sobě blízko, jak nám říká trojúhelníková nerovnost. U Wattse a Strogatze zajišťuje vysoké shlukování základní pravidelná mřížka. Dalekodosahové vazby v jejich modelu naopak vedou k tomu, že jejich svět je opravdu malý, že i mezi geograficky vzdálenými jednotlivci mohou vznikat krátké

6 posloupnosti známostí. V našem příkladu s manželkou Bushova zahradníka je takovou vzdálenou vazbou známost Havla s Clintonem, která překračuje oceán. Wattsův-Strogatzův model mohl zůstat jen zajímavou hříčkou, která možná vysvětluje některá sociologická pozorování, ale nic víc, kdyby jeho autoři nešli dál a neprovedli důkladné srovnání reálných sítí s předpovědí jejich modelu. A nyní se ukázalo, že řada sítí kolem nás úžasně dobře s Wattsovým-Strogatzovým modelem souhlasí. A to nejen sociální sítě, jako jsou vazby mezi herci v Hollywoodu (ty mají výhodu, že se dají poměrně snadno dokumentovat), mezi členy správních rad velkých korporací (to už je těžší, ale stále ještě to lze, protože všechna jména jsou veřejně známá) a tak podobně, ale i potravní sítě popisující vztahy v ekosystému. Kupodivu to však funguje stejně dobře i u neživých objektů, jako je elektrorozvodná síť v USA nebo schéma zapojení mikroprocesoru. 5. Pravé překvapení nás však čekalo, když se badatelé, inspirovaní Wattsem a Strogatzem, pustili do studia sítě, která je snad běžnému člověku ze všech nejznámější: internetu, nebo přesněji world-wide webu. Není totiž problém napsat krátký program, který stáhne webovou stránku, zanalyzuje její obsah, najde všechny odkazy, pak jednu po druhé stáhne všechny stánky, na které první stránka odkazovala, opět vyhledá všechny odkazy na stažených stránkách a pokračuje stále dál, dokud jej nezastavíme. Takovéto roboty rutinně používají všechny internetové vyhledávače, jako je např. Google, a příklady jednoduchých robotů najdeme v řadě učebnic programování (ne pro začátečníky, samozřejmě). Podobného robota sestavili studenti na univerzitě Notre Dame v South Bendu ve státě Indiana, ve skupině profesora teoretické fyziky Alberta-László Barabásiho. Podařilo se jim stáhnout všechny webové stránky uvnitř jejich vlastní domény nd.edu (bylo jich něco přes 300 tisíc) a získanou síť potom analyzovali. Zjistili, že web tvoří také malý svět, i když vzdálenost mezi uzly je znatelně větší než u sociálních sítí: průměrná hodnota se pohybovala kolem devatenácti. Nečekaný výsledek se dostavil, když vypočetli pravděpodobnostní rozdělení konektivity. V získaném grafu nebylo ani památky po výrazném maximu, charakteristickém jak pro Erdősův-Rényiho, tak pro Wattsův-Strogatzův model. Ve skutečnosti se rozdělení řídilo mocninným zákonem, γ P ( k) k

7 (viz obr. 2ab). Laikovi možná na mocninném rozdělení nepřipadá nic zvláštního, koneckonců funkce jako funkce. Odborník, a zvláště teoretický fyzik toho ražení, jako byl Barabási, však musel při takovém objevu pocítit lehkou závrať. Přítomnost mocninných zákonů v různých fyzikálních systémech byla totiž dlouhá desetiletí velikou záhadou. Mocninné zákony například řídí chování řady veličin, jako např. měrného tepla nebo susceptibility, v okolí kritického bodu u fázových přechodů. Odvození těchto mocninných zákonů z teorie bylo velmi tvrdým oříškem a teprve v polovině sedmdesátých let došlo k výraznějšímu pokroku, když byla zformulována metoda renormalizační grupy. Kennethu Wilsonovi, jejímu autorovi, byla krátce poté za tento počin udělena Nobelova cena za fyziku. a) b) Mocninné zákony také charakterizují c) fraktály, široce populární vizuální objekty. Obr. 2. Bezškálová síť Není to náhoda; charakteristickou vlastností V horních dvou panelech vidíme rozdělení konektivit fraktálů je totiž to, že se při změně měřítka na WWW, a to odděleně pro odkazy vycházející z jedné stránky (a) a mířící na jednu stránku (b). V panelu (c) na pohled nemění. Vyříznutím malé části je znázorněno rozdělení konektivity získané simulací a zvětšením na původní velikost dostaneme modelu Barabásiho-Albertové. Mocninná závislost se opět tentýž tvar. Tato absence charakteristické délky, někdy zvaná bezškálovost, je měřítku. projevuje jako přímka v dvojitém logaritmickém matematicky dobře vyjádřena mocninným rozdělením. Mocninné rozdělení pravděpodobnosti má také následující vlastnost. Změníme-li jednotky, tedy vynásobíme-li naši veličinu x číslem s, pak dostáváme

8 γ γ P( sx) ( sx) x P( x), a pravděpodobnostní rozdělení tudíž nemění svůj tvar. Ve skutečnosti se dá dokázat, že mocnina je právě jediný možný typ funkce, která je bezškálová. Barabási tehdy zajásal, když zjistil, že rozdělení konektivit na webu je mocninné a souvisí tedy jakýmsi záhadným způsobem s fázovými přechody a kritickými jevy a navíc odhaluje skrytou fraktální strukturu této sítě. Přinejmenším to znamenalo, že ani Erdősův- Rényiho, ani Wattsův-Strogatzův model se nedají v žádném případě použít pro popis struktury webu. Narazili jsme na cosi úplně nového, na něco, co vyžaduje zcela neotřelé myšlenky na bezškálové sítě (scale-free networks). 6. Barabásiho invence plně dostála této výzvě. Prakticky ihned po objevu bezškálové povahy sítě webových stránek přišel, spolu se svou studentkou Rékou Albertovou, s modelem, který mocninné rozdělení elegantně vysvětloval. Podstatou je souhra a vzájemné vyvažování dvou mechanismů. Prvním z nich je neustálý růst sítě. Síť je dynamická a neustále se proměňuje. V každém kroku časového vývoje se k síti přidá jeden uzel. Druhým principem je preferenční připojování nového uzlu k starším. Nový uzel, nová webová stránka, s sebou nese určitý počet vazeb, otázkou ale je, ke kterým stávajícím uzlům se mají připojit. Pravidlo preferenčního připojování říká, že pravděpodobnost připojení nové vazby je přímo úměrná počtu vazeb, které již starý uzel má. Je to koneckonců přirozené: na oblíbené stránky, na něž odkazuje mnoho jiných stránek, se nově příchozí připojí s větší pravděpodobností než na nějaké nekvalitní, které si žádnou oblibu nezískaly. Skutečná hodnota stránek je přitom druhořadá. Podstatný je efekt napodobování, který dobře známe u knih a populární hudby: všichni to poslouchají, pustím si to taky; všichni to už četli, musím si to taky přečíst. Na obrázku 2c vidíme výsledky simulací modelu Barabásiho-Albertové (BA) a můžeme je srovnat s daty pro web. Vidíme, že shoda je nápadná. Nemusíme však ještě cítit uspokojení. Možná, že je web mezi sítěmi naprostou výjimkou. Možná, že se model BA na nic jiného nehodí.

9 Ukázalo se ale, že opak je pravdou. Když byla provedena analýza americké elektrorozvodné sítě, získali jsme stejnou mocninnou závislost jako u webu. A totéž nás čekalo u sítě vztahů mezi hollywoodskými herci nebo při zkoumání sítě reprezentující vzájemné citace vědeckých prací. Najednou se začalo ukazovat, že bezškálové sítě ovládají velkou část lidské společnosti a vévodí i technickým výtvorům. Nebylo už pak velkým překvapením, když se zjistilo, že také internet, jakožto fyzická struktura kabelů, počítačů a směrovačů, má bezškálovou strukturu (pro ilustraci viz obr. 3). Obr. 3. Struktura internetu Mapa části internetu v roce Různé barvy odpovídají různým doménám. Nyní začaly přicházet rychle za sebou objevy dalších bezškálových sítí. Zmiňme se ještě o dvou, které jsou obzvlášť nečekané a důležité. V každé živé buňce probíhá neustále spousta biochemických reakcí. Schémata těchto reakcí se dají nakreslit do takzvaných metabolických drah. Jejich schéma je skutečně velice

10 komplikované. My se na takový diagram můžeme dívat jako na graf, na metabolickou síť, v níž uzly představují jednotlivé chemikálie (voda, cukry, proteiny atd.) a hrany spojují látky, které spolu reagují. Podobná síť se dá nakreslit pro vzájemnou interakci proteinů nebo pro genetickou regulaci. Tato poslední síť je pro buňku obzvlášť důležitá a popisuje, jak geny vzájemně ovládají své zapínání a vypínání. A všechny tyto tři sítě řídící buněčné pochody jsou bezškálové. Schéma proteinové interakční sítě v buňce kvasinky vidíme na obr. 4. Obr. 4. Interakční síť proteinů kvasinky Každý uzel odpovídá jednomu proteinu. Další bezškálovou síť objevili matematičtí lingvisté. Představme si jednotlivá slova jazyka jako uzly a gramatické a sémantické vazby mezi nimi jako hrany. Například v češtině se velmi často vyskytuje slovní spojení byl jsem, a tudíž slova byl a jsem jsou spojena vazbou. Naproti tomu kytara a cihla se zřídkakdy dostanou do vzájemné souvislosti, vazba tedy mezi nimi není. Tato lingvistická síť je bezškálová a nikdo dosud nepřišel s vysvětlením proč. 7. Nyní se dostáváme k praktické otázce: jaké důsledky má bezškálová struktura na fungování sítí, o nichž zde byla řeč? U internetu nás například zajímá, jak odolný bude vůči selhání některých jeho uzlů. Na tom bude také záviset jeho spolehlivost jako informačního média. Barabási a další provedli jednoduchou simulaci; ze sítě představující internet odebírali jeden po druhém uzly a čekali, kdy se síť rozpadne na nesouvislé kusy. To je okamžik, kdy se internet zhroutí. Problémy tohoto typu jsou poměrně dobře známé ve statistické fyzice, kde se jim říká perkolace. Představme si například desku, do níž vrtáme jednu díru za druhou. Nějakou dobu to potrvá, než otvory zeslabí desku natolik, že se nám rozpadne. Taková hustota otvorů, která vede právě k rozpadu, se nazývá perkolační práh. Nízký perkolační práh

11 znamená malou odolnost k poškození, vysoký perkolační práh naopak velkou robustnost. Kupodivu se ukázalo, že bezškálová síť má neobyčejně vysoký perkolační práh a zůstává funkční, i když narušíme většinu jejích uzlů. Proto je internet vysoce stabilní vůči náhodným poruchám. Něco jiného je ovšem útok zlomyslných hackerů. Ti se sotva budou zaměřovat na náhodně vybrané uzly, protože s největší pravděpodobností budou jen málo významné. Místo toho se soustředí na nejvýznamnější centra s vysokou konektivitou. A tady se ukazuje, že bezškálový charakter sítě je naopak obrovskou nevýhodou. Internet tedy ztělesňuje příklad sítě velmi odolné k náhodným poruchám a zároveň velice citlivé na nepřátelský útok. Jelikož metabolická síť v buňce je také bezškálová, vysvětluje se tím, proč buňka dokáže přežít, i když ji neustále ohrožuje řada nepříznivých vlivů okolního prostředí. Jiný zajímavý výsledek se týká šíření počítačových virů. Běžné epidemiologické modely, úspěšné při popisu epidemií spalniček a jiných chorob, mají jeden společný rys. Říkají totiž, že osud epidemie, tedy zda se zastaví či zda přetrvá, závisí na stupni nakažlivosti viru. Pokud je nakažlivost menší než určitá kritická hodnota, vznikne nanejvýš krátkodobá lokální epidemie a nemoc zase vymizí. Když ale nakažlivost přesáhne kritickou hodnotu, epidemie se stále stupňuje, až zasáhne vše, co jen může. A nyní se ukazuje, že výše kritické hodnoty je dána strukturou sítě, po níž se nemoc šíří. Máme-li studovat počítačové viry, je touto sítí internet, u němž víme, že je bezškálový. K překvapení všech se ukázalo, že na bezškálové síti je práh nakažlivosti nulový. To znamená, že sebeméně nakažlivý virus dříve nebo později zachvátí celý systém, a co je horší, přetrvává v něm velmi dlouho. A to se u počítačových virů skutečně pozoruje. Nejenže jsme pravidelně svědky celoplanetárních poplachů vyvolaných ovými červy, ale dokonce i staré viry, proti nimž již dlouho existuje antivirová ochrana, se stále tu a tam objevují. Není je možné vymýtit. Obr. 5. Síť sexuálních kontaktů Konektivita uzlu jedince je dána počtem jeho/jejích partnerů. Mocninné rozdělení, demonstrované tímto grafem, ukazuje, že síť je bezškálová. Zakončeme naši procházku složitými sítěmi jednou varovnou zprávou. Dokážeme-li tak dobře studovat šíření virů počítačových, co nám

12 to napoví o šíření virů lidských? K tomu potřebujeme mít informace o síti mezilidských kontaktů, jimiž se nemoc přenáší. Pokud jde o pohlavní choroby, je to síť sexuálních styků. Ačkoli se jedná o informace, které jen málokdo hodlá prozrazovat, byly ve Švédsku prováděny studie sexuálního chování, které hodně napovídají o struktuře takové sítě. Pro nás je podstatné, že se jedná o síť bezškálovou, jak naznačují data vynesená na obrázku 5. Když si to dáme dohromady s děsivou snadností, s jakou se v bezškálových sítích šíří viry, můžeme se jen neklidně ptát, spolu s autory uvedené švédské studie: Dokážeme vůbec někdy zastavit epidemii AIDS? LITERATURA: [1] Barabási, A.-L.: V pavučině sítí, Paseka, 2005.

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU. Definice laktátového prahu

Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU. Definice laktátového prahu Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU Definice laktátového prahu Laktátový práh je definován jako maximální setrvalý stav. Je to bod, od kterého se bude s rostoucí intenzitou laktát nepřetržitě zvyšovat.

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Albert-László Barabási

Albert-László Barabási Obsah 1. Úvod, kdo je kdo :-) 2. Co to je síťování? Od definice po praktické ukázky 3. MAS jako platforma pro cestovní ruch 4. Cílené formování sítí (osobní, profesní, placené) 5. Informační technologie

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV

. Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon. Lukáš Richterek. lukas.richterek@upol.cz. Podklad k předmětu KEF/FPPV Filozofické problémy přírodních věd Teorie a zákon Lukáš Richterek Katedra experimentální fyziky PF UP, 17 listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc lukasrichterek@upolcz Podklad k předmětu KEF/FPPV 2 / 10 Logické

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů?

StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? StatSoft Jak se pozná normalita pomocí grafů? Dnes se podíváme na zoubek speciální třídě grafů, podle názvu článku a případně i ilustračního obrázku vpravo jste jistě již odhadli, že půjde o třídu pravděpodobnostních

Více

Pavel Martinec 4.A 2011/2012

Pavel Martinec 4.A 2011/2012 Pavel Martinec 4.A 2011/2012 Tato úloha se skládala z několika částí: 1) Získávání informací 2) Instalace operačního systému 3) Konfigurace serverů 4) Testování propojení Bod 1: Získávání informací I když

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Zákony ideálního plynu

Zákony ideálního plynu 5.2Zákony ideálního plynu 5.1.1 Ideální plyn 5.1.2 Avogadrův zákon 5.1.3 Normální podmínky 5.1.4 Boyleův-Mariottův zákon Izoterma 5.1.5 Gay-Lussacův zákon 5.1.6 Charlesův zákon 5.1.7 Poissonův zákon 5.1.8

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2. Určete frakční objem dendritických částic v eutektické slitině Mg-Cu-Zn. Použijte specializované programové vybavení pro obrazovou analýzu.

2. Určete frakční objem dendritických částic v eutektické slitině Mg-Cu-Zn. Použijte specializované programové vybavení pro obrazovou analýzu. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte střední velikost zrna připraveného výbrusu polykrystalického vzorku. K vyhodnocení snímku ze skenovacího elektronového mikroskopu použijte kruhovou metodu. 2. Určete frakční

Více

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů

Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů Termodynamika (td.) se obecně zabývá vzájemnými vztahy a přeměnami různých druhů energií (mechanické, tepelné, elektrické, magnetické, chemické a jaderné) při td. dějích. Na rozdíl od td. cyklických dějů

Více

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice

Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích. Institute of Technology And Business In České Budějovice ZASÍLATELSTVÍ KAPITOLA 13 GEOGRAFIE Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Institute of Technology And Business In České Budějovice Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

StatSoft Jaký je mezi nimi rozdíl?

StatSoft Jaký je mezi nimi rozdíl? StatSoft Jaký je mezi nimi rozdíl? GAINS ROC X P okud se zabýváte klasifikačními úlohami, pak většinou potřebujete nějakým způsobem mezi sebou porovnat kvalitu vyprodukovaných modelů. Mezi základní pomůcky

Více

k a p i t O l a 1 Záhada existence

k a p i t O l a 1 Záhada existence Kapitola 1 Záhada existence Všichni existujeme jen krátkou chvíli a během ní prozkoumáme jen malou část celého vesmíru. Ale lidé jsou zvídavý druh. Žasneme a hledáme odpovědi. Žijíce v tomto obrovském

Více

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR

VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR VY_32_INOVACE_FY.19 VESMÍR Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Vesmír je souhrnné označení veškeré hmoty, energie

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Internet - základní pojmy

Internet - základní pojmy Název školy: Střední odborná škola stavební Karlovy Vary Sabinovo náměstí 16, 360 09 Karlovy Vary Autor: Ing. Hana Šmídová Název materiálu: VY_32_INOVACE_07_INTERNET_P2 Číslo projektu: CZ 1.07/1.5.00/34.1077

Více

Milí studenti, Vaši zkoušející.

Milí studenti, Vaši zkoušející. Milí studenti, rádi bychom se vyjádřili k vašim připomínkám. Předně, v žádném případě naše nároky nejsou přehnané. Rozsah látky jen mírně překračuje to, co by měl znát absolvent slušné střední školy. Vyžaduje

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Hierarchický databázový model

Hierarchický databázový model 12. Základy relačních databází Když před desítkami let doktor E. F. Codd zavedl pojem relační databáze, pohlíželo se na tabulky jako na relace, se kterými se daly provádět různé operace. Z matematického

Více

NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE!

NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE! NAUČTE SE MALOVAT SI INSTANCE! část 2. RNDr. Ilja Kraval, září 2009 http://www.objects.cz ÚVOD V předešlém článku jsme otevřeli jeden ze základních problémů, který musí analytik řešit: Jak vypadá skladba

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

ASPERGERŮV SYNDROM CO TO JE?

ASPERGERŮV SYNDROM CO TO JE? ASPERGERŮV SYNDROM CO TO JE? Brožura pro dospívající s Aspergerovým syndromem PhDr. Lucie Bělohlávková Dostal jsem diagnózu Aspergerův syndrom. V hlavě mi běží řada myšlenek a otázek... Je to některá z

Více

Za hranice současné fyziky

Za hranice současné fyziky Za hranice současné fyziky Zásadní změny na počátku 20. století Kvantová teorie (Max Planck, 1900) teorie malého a lehkého Teorie relativity (Albert Einstein) teorie rychlého (speciální relativita) Teorie

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely

2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely 2. přednáška z předmětu GIS1 Data a datové modely Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Pro přednášku byly použity texty a obrázky z www.gis.zcu.cz Předmět KMA/UGI, autor Ing. K.

Více

Frekvenční rozsah wifi s ideálním rozdělením sítí na kanálu 1, 6 a 11

Frekvenční rozsah wifi s ideálním rozdělením sítí na kanálu 1, 6 a 11 OBSAH: WIFI KANÁLY TEORETICKY WIFI KANÁLY V PRAXI ANTÉNY Z HLEDISKA ZISKU ANTÉNY Z HLEDISKA POČTU ŠÍŘENÍ SIGNÁLU ZLEPŠENÍ POKRYTÍ POUŽITÍ VÍCE VYSÍLAČŮ WIFI KANÁLY TEORETICKY Wifi router vysílá na určité

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Projekt VODA ve výuce chemie na Gymnáziu Komenského v Havířově ve školním roce 2011/2012

Projekt VODA ve výuce chemie na Gymnáziu Komenského v Havířově ve školním roce 2011/2012 Projekt VODA ve výuce chemie na Gymnáziu Komenského v Havířově ve školním roce 2011/2012 Třída: sekunda osmiletého gymnázia Počet žáků: 28 Počet skupin zpracovávajících projekt: 5 Časové rozvržení projektu

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Aplikace Pattern Constructor je navržena pro tvorbu osové souměrnosti tak, aby odpovídala úrovni dovedností dětí. Tím, že mohou jednoduše

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

2.1 Empirická teplota

2.1 Empirická teplota Přednáška 2 Teplota a její měření Termika zkoumá tepelné vlastnosti látek a soustav těles, jevy spojené s tepelnou výměnou, chování soustav při tepelné výměně, změny skupenství látek, atd. 2.1 Empirická

Více

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Praktikum z pevných látek (F6390)

Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM. Praktikum z pevných látek (F6390) Fyzikální sekce přírodovědecké fakulty Masarykovy univerzity v Brně FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Praktikum z pevných látek (F6390) Zpracoval: Michal Truhlář Naměřeno: 13. března 2007 Obor: Fyzika Ročník: III Semestr:

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Genetická "oblast nejasnosti" u HCH: co to znamená? Genetický základ

Genetická oblast nejasnosti u HCH: co to znamená? Genetický základ Novinky ve výzkumu Huntingtonovy nemoci. Ve srozumitelném jazyce. Napsáno vědci. Určeno široké huntingtonské veřejnosti. Genetická "oblast nejasnosti" u HCH: co to znamená? Přechodní alely a alely s redukovanou

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

Kružnice. Délka kružnice (obvod kruhu)

Kružnice. Délka kružnice (obvod kruhu) Kružnice Délka kružnice (obvod kruhu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing Šárka Macháňová Dostupné z Metodického portálu wwwrvpcz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

L07 Univerzální Robot verze 1.2

L07 Univerzální Robot verze 1.2 Zeleně jsou čísla pracovních karet a aktivit, kde je možné robota využít. L07 Univerzální Robot verze 1.2 světelné čidlo sledování čáry Z10, J10, P8 P10 dálkově ovládaný robot J11 hledání naleziště P11S

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 ZŠ Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 3) Borovského Ţáky

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

Gymnázium, Český Krumlov

Gymnázium, Český Krumlov Gymnázium, Český Krumlov Vyučovací předmět Fyzika Třída: 6.A - Prima (ročník 1.O) Úvod do předmětu FYZIKA Jan Kučera, 2011 1 Organizační záležitosti výuky Pomůcky související s výukou: Pracovní sešit (formát

Více

2.9.3 Exponenciální závislosti

2.9.3 Exponenciální závislosti .9.3 Eponenciální závislosti Předpoklady: 9 Pedagogická poznámka: Látka připravená v této hodině zabere tak jeden a půl vyučovací hodiny. Proč probíráme tak eotickou funkci jako je eponenciální? V životě

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Automatický optický pyrometr v systémové analýze

Automatický optický pyrometr v systémové analýze ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ K611 ÚSTAV APLIKOVANÉ MATEMATIKY K620 ÚSTAV ŘÍDÍCÍ TECHNIKY A TELEMATIKY Automatický optický pyrometr v systémové analýze Jana Kuklová, 4 70 2009/2010

Více

1 Zdraví, právo na zdraví

1 Zdraví, právo na zdraví 1 Zdraví, právo na zdraví V současné době není žádný stát na světě schopen zabezpečit takovou zdravotní péči, která by jeho občanům poskytla vše, co medicína umožňuje. Uvedený problém není pouze problémem

Více

Výstupy Učivo Průřezová témata

Výstupy Učivo Průřezová témata 5.2.5.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu VZDĚLÁVACÍ OBLAST: Informační a komunikační technologie PŘEDMĚT: Informatika ROČNÍK: 6. Výstupy Učivo Průřezová témata - orientuje se v druzích PC - vysvětlí

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

CO UMÍ EXCEL? CVIČEBNICE PŘÍKLADŮ PRO UČITELE. Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK. v přírodních vědách a informatice

CO UMÍ EXCEL? CVIČEBNICE PŘÍKLADŮ PRO UČITELE. Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK. v přírodních vědách a informatice Modulární systém dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků JmK v přírodních vědách a informatice CZ.1.07/1.3.10/02.0024 CO UMÍ EXCEL? CVIČEBNICE PŘÍKLADŮ PRO UČITELE 1 Tabulkový kalkulátor představuje

Více

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ

Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ Stanovení forem, termínů a témat profilové části maturitní zkoušky oboru vzdělání 78-42-M/01 Technické lyceum STROJNICTVÍ 1. Mechanické vlastnosti materiálů 2. Technologické vlastnosti materiálů 3. Zjišťování

Více

Zjišťování toxicity látek

Zjišťování toxicity látek Zjišťování toxicity látek 1. Úvod 2. Literární údaje 3. Testy in vitro 4. Testy na zvířatech in vivo 5. Epidemiologické studie 6. Zjišťování úrovně expozice Úvod Je známo 2 10 7 chemických látek. Prostudování

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Multimediální prezentace MS PowerPoint I

Multimediální prezentace MS PowerPoint I Multimediální prezentace MS PowerPoint I Informatika Multimediální prezentace zažívají v poslední době obrovský rozmach. Jsou používány například k reklamním účelům, k předvedení výrobků či služeb. Velmi

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 8 0 7 6 1 Edice Osobní a rodinné

Více

Viola Horská, Helena Zemánková: Pracovní sešit Volba povolání, nakl. Hněvín, Most, 2001, ISBN 80-902651-0-3, počet stran 105

Viola Horská, Helena Zemánková: Pracovní sešit Volba povolání, nakl. Hněvín, Most, 2001, ISBN 80-902651-0-3, počet stran 105 Pořadové číslo I-1-8.r. Název materiálu Dotazník - Co je nutné zvážit před volbou povolání Autor Použitá literatura a zdroje Metodika ročníku pro úvod a motivaci k výuce nového předmětu. Žáci diskutují

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Experiment P-10 OHMŮV ZÁKON. Sledování vztahu mezi napětím a proudem procházejícím obvodem s rezistorem známého odporu.

Experiment P-10 OHMŮV ZÁKON. Sledování vztahu mezi napětím a proudem procházejícím obvodem s rezistorem známého odporu. Experiment P-10 OHMŮV ZÁKON CÍL EXPERIMENTU Sledování vztahu mezi napětím a proudem procházejícím obvodem s rezistorem známého odporu. MODULY A SENZORY PC + program NeuLog TM USB modul USB 200 senzor napětí

Více

2.4.6 Hookův zákon. Předpoklady: 2405. Podíváme se ještě jednou na začátek deformační křivky. 0,0015 0,003 Pro hodnoty normálového napětí menší než σ

2.4.6 Hookův zákon. Předpoklady: 2405. Podíváme se ještě jednou na začátek deformační křivky. 0,0015 0,003 Pro hodnoty normálového napětí menší než σ .4.6 Hookův zákon Předpoklady: 405 Podíváme se ještě jednou na začátek deformační křivky. 500 P 50 0,0015 0,00 Pro hodnoty normálového napětí menší než σ U je normálové napětí přímo úměrné relativnímu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Uzávěrka druhého kola FKŠ je 28. 2. 2010 Kde udělal Aristotelés chybu? Aristotelés, jeden z největších učenců starověku, z jehož knih vycházela

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Zaručený návod, jak mít

Zaručený návod, jak mít Zaručený návod, jak mít jistou práci a mzdu Rady k nezaplacení 1. Jak získat práci a začít vydělávat peníze 2. Že vám agentura práce najde práci za vás 3. Co říkají lidé, kteří pracují pro agenturu práce

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

4.5.7 Magnetické vlastnosti látek

4.5.7 Magnetické vlastnosti látek 4.5.7 Magnetické vlastnosti látek Předpoklady: 4501 Předminulá hodina magnetická indukce závisí i na prostředí, ve kterém ji měříme permeabilita prostředí = 0 r, r - relativní permeabilita prostředí (zda

Více

METROLOGIE V CHEMII DAVID MILDE, 2013. Metrologie = věda o měření a jeho aplikaci

METROLOGIE V CHEMII DAVID MILDE, 2013. Metrologie = věda o měření a jeho aplikaci METROLOGIE V CHEMII DAVID MILDE, 2013 Metrologie = věda o měření a jeho aplikaci Měření - proces experimentálního získávání jedné nebo více hodnot veličiny (měření = porovnávání, zjišťování počtu entit).

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

www.milionoveimperium.cz

www.milionoveimperium.cz www.milionoveimperium.cz David Kirš, autor Miliónového impéria a EmailAcademy uvádí ebook WEB MILIONÁŘE A KRUH BOHATSTVÍ Tento ebook (dokument) můžete šířit a přeposílat dále, ale pouze jako celek. Není

Více