23 - Diskrétní systémy

Transkript

1 23 - Diskrétní systémy Michael Šebek Automatické řízení

2 Vzorkování dané metodou měření Automatické řízení - Kybernetika a robotika Systémy používající radar měření polohy cíle jednou za otáčku radaru motivace v počátcích historie diskrétních modelů Analytické měřicí nástroje proměnné veličiny měří off-line analytickými nástroji (hmotnostní spektrometr, chromatograf) např. při výrobě fotografických filmů Ekonomické systémy účetní procedury v ekonomických systémech jsou často svázány s kalendářem (datem) procesy mohou probíhat kdykoli, ale účtují se (data se statisticky sečítají) za den, týden, měsíc, zůstatek na účtu, zisk, náklady, měnový kurs, cena akcií, výroba, stav skladu, Michael Šebek ARI

3 Pulzně fungující systémy nebo aktuátory Automatické řízení - Kybernetika a robotika Tyristorové řízení Výkonová elektronika s tyristory funguje pulzně Biologické systémy Signály v nervové soustavě jsou pulzy Motory s vnitřním spalování Zápal generuje pulz momentu (= hodiny synchronizující motor) Klasický rotační spalovací motor (potřebuje klikovou hřídel) Nový princip: lineární spalovací motor, katedra řídicí techniky: doc. Vysoký Michael Šebek ARI

4 Nobelova cena za řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Urychlovače částic Holandský inženýr Simon van der Meer výrazně vylepšil urychlovač zavedením ZV do řízení dráhy To umožnilo zvětšit intenzitu a zlepšit podstatně kvalitu paprsku, což bylo klíčovým faktorem úspěšného experimentu v CERN, který vedl k objevu částic W a Z bosonů, zprostředkujících slabou sílu metoda byla nazvána stochastic cooling za to dostal van der Meer a Carlo Rubia Nobelovu cenu za fyziku 1984 částice je vidět jen v detektoru = vzorkování v senzoru postrčit se dá jen v kickeru = vzorkování v aktuátoru Michael Šebek ARI

5 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Aplikace v počítačových oborech Řízení ového server (IBM Lotus Domino), řízení front (Queuing Systems), detekce přetížení routeru, Streaming Media a další příklady viz kniha autorů z IBM Řízení web serveru (Apache web server) Konečný automat sleduje procesy a odpovídá na čekající požadavky Pro rychlou odezvu na požadavky z Webu nesmí být přetížena výpočetní kapacita ani vyčerpaná paměť - zpětnovazební řídicí algoritmus 2 výstupy a 2 reference: zatížení procesoru, využití paměti 2 akční zásahy = mění se parametry MaxClients = maximální počet současně obsluhovaných požadavků KeepAlive maximální dobu, po kterou se udržuje nečinné spojení, než je přerušeno Pracovní bod xcpu =.58, xmem =.55, umc = 6, uka = 11s, v něm linearizace Stavový model a přenosová matice ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xcpu k xcpu k uka k = xmem k xmem k umc k.54.85z z x ( ) 2 2 cpu z z+ z z+ z uka ( z) = xmem ( z).36.2z z umc ( z) z+ z z+ z

6 Diskrétní stavový model a jeho řešení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Diskrétní stavový (v čase neproměnný) model x = k+ 1 Fx + k Guk, x y uk k = Hxk + Juk G Řešení x = Fx + Gu y k k 1 k j 1 x F j= x k = 1+ 1 = ( + ) + 1 = x Fx Gu F Fx Gu Gu F x FGu Gu x k = F + odezva na počáteční stav Gu odezva na k k 1 k j 1 k = HF x + H F Gu j j + Ju = k j J z 1 F x k H Stavová matice přechodu: vstupní signál Φ( k ) = F k yk Michael Šebek ARI

7 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stavový a vnější popis Stavový popis diskrétního systému z-transformace x = -k k+ 1 Fx + k Guk, x x = xz ( ) = xz k k = yk = Hxk + Juk { xk + 1} = zx( z)-zx Vnější popis v z pozor -1 bz ( ) H( zi- F) G+ J = az ( ) bz ( ) c ( ) x z yz ( ) = uz ( ) + c ( ) az ( ) az ( ) -1 x z zh( zi- F) x = az ( ) n ˆ 1 bz ( ) z bz ( ) 1 Vnější popis v z = d přenos = n 1 az ( ) z az ˆ( ) -1 bd ˆ( ) HI ( - df) Gd + J= ad ˆ( ) bd ˆ( ) cˆ x ( d) yd ( ) = ud ( ) + cˆ ( ) ad ˆ( ) ad ˆ( ) -1 x d HI ( - df) x = ad ˆ( ) Stavové realizace se z přenosu najdou stejně jako ve spojitém případě { } Michael Šebek ARI

8 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Kauzalita, ryzost, řád a zesílení Přenos v z: bz ( ) az ( ):deg z az ( ) = n,deg zbz ( ) = m Fyzikální diskrétní přenos v z bývá striktně ryzí yz ( ) = 1 uz ( ) pro n = m reaguje okamžitě (počítá rychle) yk ( ) = uk ( ) pro n < m předpovídá budoucnost (nekauzálnost) y( z) = zu( z) yk ( ) = uk ( + 1) Do přenosu v d = z -1 se to promítne jinak bd ˆ( ) ad ˆ( ) Ryzosti odpovídá kauzální jmenovatel aˆ() Striktní ryzosti navíc ještě b ˆ() = Řád z přenosu se pozná takto: U přenosu v z: řád systému = stupeň jmenovatele (jako u spojitého) U přenosu v d: řád systému = max deg ad ˆ( ),deg bz ˆ( ) ˆ 1 bz ( ) bz ( ) b(1) bˆ(1) DC zesílení = k 1 DC = = az ( ) az ˆ( ) a(1) aˆ(1) ( ) d d Michael Šebek ARI

9 Póly a nuly Automatické řízení - Kybernetika a robotika mezi póly obrazů spojitého a vzorkovaného signálu, např. impulzní odezvy, platí sh ( α+ jω) h αh z = e = e = e ( cosωh+ jsinωh) z je bezrozměrné, s (operátor derivace) má rozměr 1/[čas] mez stability: imaginární ose ose odpovídá jednotková kružnice jωh j2πω ωs jπω ωn z = e = e = e Jedna celá kružnice odpovídá intervalu ω [, ωs], ωs = 2π h = 2ωN vyšší frekvence jsou překryté odpovídajícími nižšími (aliasing) záporná reálná osa reprezentuje Nyquistovy frekvence α + jωn, ωn = ωs 2= π h konkrétně α < (-1,), α > (-,-1), reálné ose odpovídá nezáporná reálná osa: R + [1, ), R - (,1) dominantní polohy: okolí bodu s = odpovídá okolí bodu z = 1 nevýznamné polohy: reálným polohám hodně vlevo odpovídají polohy hodně blízko zprava z Michael Šebek ARI

10 Vliv polohy pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika >> f=z/(1+z) f = z / 1 + z >> ft=f{:-1:-1} ft = >> plot(:1:length(ft)-1,ft) >> picture(f,1) Michael Šebek ARI

11 Diskrétní Bodeho graf Automatické řízení - Kybernetika a robotika Komplexní exponenciála je periodická funkce e jωh = 1 s periodou 2π a uvnitř periody symetrická e jωh = = ω h jωh e = cosωh+ jsinωh Amplituda frekvenčního přenosu Gz ( ) = Ge ( jωh ) je periodická funkce ω s periodou ω ωn = ωs 2= π h a uvnitř periody je symetrická (při lineárním měřítku ω ) Fáze je posunutě periodická a antisymetrická Graf proto kreslíme jen pro ωs = 2ωN = 2π h tedy na horní polovině kružnice Nelze ho kreslit pomocí asymptot Vzorkování + tvarování způsobuje 2 přídavné fázové zpoždění ( e ) ϕ = ( ω) ωh 18 z ( ω) = rad = ω π deg 29ω [ ] [ ] [ deg] G j G j h h 2 2 Michael Šebek ARI Magnitude (db) Phase (deg) ωn = ω 2 = π s h Bode Diagram 2ω N = ωπ = 2 [rad] Frequency (rad/s) s h

12 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Diskrétní Nyquistův graf Gz ( ) = Ge ( jωh ) je periodická funkce ω s periodou ωs = 2ωN = 2π h j h proto Diskrétní Nyquistův graf Ge ( ω ) často kreslíme jen pro ω ωn = ωs 2= π h (na horní polovině kružnice) Control System Tbx ho (default) kreslí na celé kružnici ω ω ω N N Příklad 1 G=1/(1+s); Gs () = 1 + s nyquist(tf(g),c2d(tf(g),.2), c2d(tf(g),1),c2d(tf(g),2)) ω = ω = ω = π h ω = 15,7 s Gz=c2d(tf(G),.2), nyquist(gz) Transfer function: z Sampling time:.2 Michael Šebek ARI

13 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Diskrétní Nyquistovo kritérium Na rozdíl od spojitého případu nestabilita je vně jednotkové kružnice, není jednoduché obkroužit konturou, proto naopak obkroužíme oblast stability stab Uvažujeme L striktně ryzí Hz ( ) = 1 + Lz ( ) má stejně nul a pólů Označíme Z počet nestabilních CL pólů P počet nestabilních OL pólů N počet obkroužení kritického bodu -1 ve stejném směru jako té oblasti (zde obvykle proti hodinovým ručičkám) Z principu argumentu plyne: N = ( n Z) ( n P) = P Z spojité - pro CL systém má Z = P N srovnání nestabilních pólů Nyquistovo kritérium stability: N = Z P Z = N + P CL systém je stabilní P= N (a to proti ručičkám) P= N Zvláštní případ: Je-li OL systém stabilní, pak je i CL systém stabilní Nyquistův graf L(s) neobkrouží kritický bod -1 ale také proti hod.ručičkám Michael Šebek ARI ! n = nestab z

14 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Diskrétní verze Bodeho integrálního omezení Sung a Hara (1988) Pro systém, kde L(z) má n p nestabilních jφi pólů p = re, r > 1 platí omezení π i i i n p jω ln Se ( ) dω = π ln r i srovnej spojitý případ n ln S( jω) dω = π p Re p i Rozdíly proti spojité verzi: není podmínka relativního řádu integrál je přes konečný interval, proto přelévat můžeme jen na tomto konečném intervalu frekvencí Michael Šebek ARI