Hudební souzvuk z pohledu zvukového spektra

Transkript

1 Výzkumné centrum JAMU Hudební souzvuk z pohledu zvukového spektra MgA. Petr Pařízek, Výzkumné centrum JAMU Tento článek se zabývá otázkou konfrontace dvou různých pohledů na souzvuky - jednou jako na komplexní zvukové barvy, podruhé jako na tónové řady aplikované na hudbu. Svým způsobem je tak poukázáno na primární akustické zákonitosti, které v souzvucích hrají důležitou roli, a tedy i na vývoj hudebních souzvuků s ohledem na jevy existující ještě před vznikem hudby samotné. Informace zde obsažené mohou být velmi užitečné především skladatelům elektronické a případně témbrové hudby, dále skladatelům mikrointervalové a spektrální hudby, částečně také interpretům hudby renesanční a barokní, tvůrcům matematických algoritmů pro modelování zvukových barev a rezonátorů, nebo obecně každému, kdo hledá odpovědi na základní otázky intonace ve vícehlasu a nezaměřuje se např. výhradně na hudbu klasicismu nebo romantismu (kde otázka intonace bývá často brána jako "druhořadá"). V elektronické či témbrové kompozici jde v podstatě o zcela jiný způsob zacházení se zvukem než v kompozici založené na tónech a akordech, takže chceme-li v elektronické skladbě použít prvky vycházející z akordické hudby nebo naopak, je tu určité nebezpečí jednostranného pohledu, podle toho, kterému z těchto dvou oborů se více věnujeme. Cílem následujícího textu je tyto bariéry minimalizovat. Interpret pak bude mít lepší povědomí o otázce dolaďování souzvuků např. při hře starší hudby v komorním souboru nebo při hře mikrointervalů. Skladatel tak bude mít lepší přehled jak o problematice zvukových spekter, tak o problematice hudebních souzvuků, a může pak uvážlivě kombinovat prvky z obou těchto "světů" při vlastní kompozici (např. volit konkrétní kombinace nástrojů a souzvuky cíleně již během komponování, nikoli experimentálně bez předběžné představy o výsledné barvě zvuku). Článek je rozdělen do tří oddílů. První z nich se věnuje otázce vnímání vztahů jednotlivých tónových výšek, druhý popisuje důležité skutečnosti platné u zvukových spekter jakožto komplexních složených tónů, třetí tyto dva pohledy propojuje a následně stručně popisuje, jak k nim bylo různě přistupováno v historii hudebních tónových systémů. I. Vnímání intervalů sluchem Je všeobecně známo, že pro identifkaci velikosti vnímaného intervalu mezi dvěma samostatnými tónovými výškami je důležité, kolikrát vyšší/nižší je frekvence srovnávaného tónu, nikoli o kolik jednotek je vyšší/nižší - tj. vnímaný interval je dán poměrem frekvencí.

2 Příklad: Pokud zvýšíme jakýkoli tón o oktávu, jeho frekvence se zdvojnásobí, zatímco snížením o oktávu se frekvence sníží na její 1/2. Zlomky 2/1 a 1/2 zde fungují jako všeobecné lineární frekvenční faktory, jimiž můžeme vynásobit kteroukoli frekvenci, chceme-li změnit výšku tónu o žádaný interval - 2/1 = zvýšení o oktávu, 1/2 = snížení o oktávu. V následujícím textu budeme pro poměry frekvencí často užívat označení lineární faktory. Příklad: Jestliže tón A1 má podle mezinárodní normy frekvenci 440Hz, pak tóny malé A, velké A a kontra A mají frekvence 220Hz, 110Hz, 55Hz. Zazní-li souzvuk všech čtyř tónů (míněno spolu s A1), ve všech případech slyšíme mezi sousedními tóny tentýž interval - oktávu. Podíváme-li se na rozdíly sousedních frekvencí, zjistíme, že se směrem nahoru zvětšují (55Hz, 110Hz, 220Hz), zatímco poměr sousedních frekvencí je ve všech případech stejný, a sice 2/1, čímž je vyjádřen oktávový interval. Zahrajeme-li tedy na nástroji dvakrát tutéž melodii a pokaždé zvolíme jinou tóninu, druhá verze se pak liší použitými frekvencemi, a proto i jejich rozdíly se mění, ale nemění se jejich poměry, a proto slyšíme stále tytéž intervaly mezi tóny. Tento jev vnímání exponenciálních frekvenčních vztahů si můžeme ověřit i v kontextu zvukových barev. Hrajeme-li na strunném nástroji přirozené fažolety, ozývají se víceméně celé násobky vlastní frekvence struny (za předpokladu, že struna je hodně napnutá a že to není struna opotřebovaná, jejíž fažolety se mohou od pravých harmonických frekvencí lišit někdy až o půltón). Když zahrajeme na celou délku struny, uslyšíme složený tón o jedné konkrétní frekvenci. Zkrátíme-li strunu na polovinu délky, zdvojnásobí se nejen její vlastní frekvence, ale i rozdíly frekvencí sousedních fažoletů. Sluchem však budeme mezi sousedními fažolety vnímat stejné intervaly jako v případě delší struny (nikoli intervaly dvakrát větší) a po zahrání na celou délku struny rovněž uslyšíme jasný složený tón o konkrétní frekvenci. Exponenciální manipulaci s frekvencemi si můžeme předvést i tak, že přehrajeme zvukový záznam jinou než jeho původní rychlostí. Z hudebního hlediska vnímáme výsledný efekt jako změnu nejen rychlosti, ale i výšky. Avšak protože se všechny frekvence změnily ve stejném poměru, lineární faktory použitých intervalů zůstávají nezměněny, a proto slyšíme stále tytéž intervaly mezi tóny. Z uvedených situací je patrné, že pro určování vnímaných intervalů jsou důležité exponenciální vztahy frekvencí, nikoli vztahy lineární, a že sluch tyto vztahy vnímá tak, jako by byly lineární - tj. na logaritmické úrovni. Abychom mohli jasně měřit velikosti vnímaných intervalů, je tedy nutno převést exponenciální vztahy frekvencí na lineární vztahy takových jednotek, které budou s vnímanými intervaly souhlasit. Nejčastěji užívanou jednotkou tohoto druhu je tzv. cent, který dělí současný temperovaný půltón exponenciálně na 100 centů, takže oktáva se rovná 1200 centům. V oddílu III budeme často pracovat zároveň s lineárními faktory i s velikostmi v centech, abychom mohli snadno porovnávat intervaly tvořené lineárními i exponenciálními úpravami.

3 Intervaly v centech a lineární faktory můžeme vzájemně převádět pomocí těchto vzorců, kde f je faktor, c je interval v centech a oba logaritmy mají stejný základ: log( f ) 1200 c= log(2), f =2 (c/1200). II. Akustická periodicita a lineární tónové řady Periodická zvuková spektra vnímáme většinou jako tóny, zatímco neperiodická spektra vnímáme jako šumy nebo hluky. V rámci těchto dvou extrémů existuje řada mezistupňů. Za vzorový matematický příklad periodicity bývá nejčastěji považována funkce sinus. Zvuková reprezentace periody sinusového tvaru zní jako jednoduchý tón o dané frekvenci, který neobsahuje žádné alikvotní tóny. Přísnou sinusovou periodu je možno získat pouze elektronicky, z akustických zvuků se jí zřetelně podobá např. zvuk okariny nebo pískání na ústa. Díky specifckým vlastnostem sinusové periody lze v podstatě jakýkoli pohyb (ať už akustický, hmotný, tepelný či jiný) rozštěpit na sérii sinusových period o různých frekvencích, intenzitách a fázích, a chápat takový pohyb jako paralelní součet všech těchto period. Pokud např. smícháme sinusové periody o frekvencích násobků 100 Hz (od 100 Hz teoreticky do nekonečna) tak, že intenzita každé periody bude nepřímo úměrná frekvenci (tj. nejnižší tón má intenzitu 100%, další 50%, další 33,33% atd.), vznikne přísná klesající perioda pilového tvaru o frekvenci 100 Hz. Z hlediska frekvenční analýzy můžeme tedy popsat pilovou periodu pomocí pravidelné řady harmonických tónů, neboť všechny použité tóny sinusových period jsou "harmonickými tóny" ve vztahu k tónu nejnižšímu - tj. všechny frekvence jsou celými násobky nejnižší použité frekvence. Tento proces, při němž převádíme pohyb v určitém čase na sérii frekvencí, amplitud a fází, je znám jako Fourierova transformace a je klíčovým nástrojem v oboru spektrální analýzy. Takto převedené spektrum však neobsahuje žádnou informaci o průběhu v čase, takže se jedná vlastně o statický obraz zvukového spektra. Zcela přesně lze tedy takto vyjádřit pouze periodická spektra. Akustická periodicita je nejpatrnější u samostatných jednoduchých tónů, které mají svoji konkrétní danou frekvenci. Iracionální vztahy temperovaných hudebních intervalů by mohly někoho přivést k mylnému předpokladu, že souzvuk dvou nebo více tónů je svým úplným charakterem vždy neperiodický. Ve skutečnosti však, zní-li několik tónů současně, může být výsledný souzvuk periodický nebo neperiodický, podle toho, jaké jsou poměry frekvencí znějících tónů. Periodické jsou především souzvuky takových tónů, jejichž frekvence lze všechny dělit jednou nejvyšší společnou hodnotou - bez ohledu na to, zda se jejich periodicita projevuje slyšitelně, nebo ne. Objevuje se tu tedy další frekvence, která nepatří žádnému jednomu ze znějících tónů, ale samotnému souzvuku.

4 Příklad: Mají-li znějící tóny frekvence 401 Hz, 504 Hz a 599 Hz, periodicita výsledného souzvuku má frekvenci 1 Hz a víceméně není slyšet. Naproti tomu, znějí-li tóny o frekvencích 400 Hz, 500 Hz a 600 Hz, výsledný souzvuk vykazuje dobře slyšitelnou periodicitu o frekvenci 100 Hz. Tónu o této nově vzniklé frekvenci říkáme akustický základní tón, někdy jen základní tón nebo fundamentální tón. V obou uvedených případech platí, že za jednu celou dobu trvání periody základního tónu zazní vždy tentýž celý počet period jednotlivých znějících tónů. Proto se vždy po uplynutí jedné periody základního tónu začnou přesně opakovat fázové vztahy jednotlivých kmitů, a tak vzniká synchronní komplexní perioda o frekvenci základního tónu. Např. za 1/100 sekundy zazní 4 periody tónu o frekvenci 400 Hz, 5 period tónu o frekvenci 500 Hz a 6 period tónu o frekvenci 600Hz, takže znějí-li všechny současně, můžeme takový zvuk brát buď čistě jako souzvuk těchto 3 frekvencí, nebo jako složený tón (se svojí specifickou barvou) o frekvenci 100 Hz. Odtud pocházejí počátky souzvukových a harmonických systémů v hudbě. Než začala přicházet do praxe temperovaná ladění, za vzorové čisté souzvuky byly vždy považovány ty, jejichž akustická periodicita byla jasně slyšitelná a někdy skoro navozovala dojem dalšího znějícího tónu. Příklad: Zahrajeme-li současně tóny "C-E-G" v malé oktávě a tón E jemně snížíme oproti běžnému 12tónovému ladění (zhruba o centů), výslednou přibližnou akustickou periodicitu slyšíme jako tón kontra C s proměnlivou barvou (skutečné stabilní periodicity dosáhneme, zvýšíme-li tón G o ~2 centy - tj. C = 0, E = 386, G = 702 centů). Je-li mezi všemi sousedními frekvencemi souzvuku společný lineární rozdíl, souzvuk je periodický, jestliže lze jednotlivé frekvence vyjádřit přirozeným zlomkem rozdílu. Příklad: V souzvuku 200 Hz, 500 Hz a 800 Hz jsou sousední frekvence vzdálené o 300 Hz, přičemž ta nejnižší se rovná 2/3 rozdílu, prostřední 5/3 a nejvyšší 8/3 rozdílu. Vidíme tedy, že mají-li znějící tóny frekvence 200 Hz, 500 Hz a 800 Hz, vzniká zde částečná periodicita o frekvenci 300 Hz a úplná periodicita o frekvenci 100 Hz (jev částečné periodicity je vysvětlen později v tomto oddílu). Z uvedeného vyplývá, že frekvence akustického základního tónu konkrétního souzvuku (tj. jeho úplné periodicity) se rovná nejvyššímu společnému děliteli frekvencí všech znějících tónů, neboť během jedné periody tohoto základního tónu proběhne celý počet period každého znějícího tónu. Začínají-li všechny periody ve stejné fázi, po každém takovém cyklu se fáze všech kmitů sejdou. V opačném případě se sice nesejdou, ale stále platí, že se jejich fázové vztahy pravidelně opakují. Jestliže se frekvence základního tónu pohybuje v rozsahu slyšitelných tónů (zhruba Hz), fázová shoda kmitů přestává být pro sluch postřehnutelná, takže jev periodicity je pak vnímán pouze na základě repetitivních fázových vztahů (tj. nejsou důležité absolutní fázové vztahy, ale jejich pravidelné opakování). Jestliže platí, že během jedné periody základního tónu proběhne celý počet period každého znějícího tónu, pak zároveň naopak platí, že cílenou volbou frekvence základního tónu omezíme výběr frekvencí znějících tónů pouze na její celé násobky. To znamená, že každá smyčka zvuku obsahuje pouze frekvence rovné celým násobkům frekvence samotné smyčky.

5 Příklad: Budeme-li opakovaně přehrávat smyčku trvající 10 ms (1/100 sekundy), frekvence všech znějících tónů pak budou celými násobky 100 Hz. Pokud by smyčka obsahovala pouze jeden nekonečně krátký akustický impulz, všechny frekvence rovné celým násobkům 100 Hz (teoreticky do nekonečna) by se projevily ve stejné intenzitě a se stejnou výchozí fází (v případě kladného jednotkového impulzu se jedná o kosinové periody). Podobně, smícháme-li tóny o frekvencích všech celých násobků 100 Hz o stejné intenzitě a výchozí fázi, vyjde tentýž impulz opakovaný 100x za sekundu. Z takového zvuku není nijak poznat, jestli vznikl pravidelným opakováním prostého impulzu, nebo smícháním frekvencí pravidelné řady harmonických tónů. Jak bylo uvedeno dříve, zvuk, jehož všechny frekvence jsou celými násobky dané základní frekvence, je vždy periodický. V modelovém případě jsou to všechny celé násobky, takže frekvence základního tónu se rovná nejen nejvyššímu společnému děliteli znějících frekvencí, ale i společnému rozdílu sousedních frekvencí - tj. základní tón je zároveň společným rozdílovým tónem. Jestliže se základní tón nerovná rozdílovému tónu, ve výsledném spektru se objeví částečná periodicita, která se projevuje fázovou rotací akustických impulzů, a případně úplná periodicita, pokud lze vyjádřit znějící frekvence přirozeným zlomkem v poměru k rozdílovému tónu. Příklad: Zní-li současně tóny o frekvencích 200, 500, 800, 1100 a 1400 Hz, vzniká částečná periodicita o frekvenci 300 Hz a úplná periodicita o frekvenci 100 Hz. Intenzita a směr fázové rotace u spekter s částečnou periodicitou závisí na poměru nejnižšího a rozdílového tónu. Podle toho, zda se znějící frekvence vzdalují od frekvencí pravidelného harmonického spektra na kladnou nebo zápornou stranu, příslušným směrem pak probíhá fázová rotace částečně periodických impulzů. Příklad: Spektrum obsahující frekvence 100 Hz a vyšší, jehož společnou rozdílovou frekvencí je 300 Hz (tj. 100, 400, 700, 1000 atd.), disponuje částečnou periodicitou o frekvenci 300 Hz a úplnou periodicitou o frekvenci 100 Hz, přičemž fázové vztahy kmitů v sousedních impulzech vzdálených o 1/300 sekundy se liší o 120 stupňů. Naproti tomu, je-li nejnižší frekvencí 200 Hz (tj. 200, 500, 800, 1100 atd.), frekvence základního a rozdílového tónu se sice nemění, avšak sousední impulzy vzdálené o 1/300 sekundy jsou fázově rotovány o -120 stupňů (což lze rovněž chápat jako +240 stupňů). Pokud poměr frekvence nejnižšího a rozdílového tónu nelze vyjádřit přirozeným zlomkem, výsledné spektrum je částečně periodické, ale není úplně periodické, takže jakákoli smyčka takového zvuku je pouhou jeho imitací. III. Propojení hudebního a zvukového vnímání Z předchozího textu je patrné, že lineárně pravidelné tónové řady (tj. ty, které mají shodný lineární rozdíl mezi všemi sousedními frekvencemi) vykazují menší či větší stupeň periodicity v souzvuku a že souzvuk je zcela periodický, rovná-li se rozdílový tón základnímu tónu. Z toho vyplývá, že základní lineárně pravidelnou tónovou řadou je sama řada harmonických tónů. Souzvuk tónů této řady nevnímáme jako souzvuk, ale spíše jako složený tón o frekvenci základního/rozdílového tónu (to platí i v případě, že několik prvních členů řady odstraníme, protože frekvence

6 základního/rozdílového tónu se tím nezmění, přestože sama nebude v souzvuku obsažena). Je to proto, že většina akustických periodických zvuků se odlišuje především zvukovou barvou tj. různou intenzitou jednotlivých harmonických tónů. Je tedy pro sluch žádoucí, aby vnímal např. tón zahraný na houslích nebo zazpívaný hlasem jako jeden tón o konkrétní barvě, spíše než jako souzvuk mnoha tónů o různých frekvencích. Periodické souzvuky jsou tedy pro lidský sluch dobře rozeznatelné a často poměrně atraktivní, takže hrají důležitou roli při posuzování konsonance či disonance souzvuků. Systémy hudebních stupnic a intervalů jsou založeny na exponenciálních vztazích frekvencí, nikoli na lineárních, neboť vnímaná velikost intervalu mezi dvěma tóny není dána rozdílem frekvencí, ale poměrem/podílem. Proto se téměř všechna práce s hudebními intervaly odehrává v oblasti frekvenčních poměrů. Ty pak při úpravách absolutních frekvencí fungují jako lineární frekvenční faktory a jsou často logaritmicky převáděny na jiné jednotky, které odpovídají našemu vnímání velikosti intervalu (nejčastěji centy). Můžeme si všimnout, že mezi vnímáním zvukových barev a vnímáním tónových výšek se objevují rozdíly priorit, a proto v požadavcích na kvalitní tónový materiál vzniká jistá dvojznačnost. Na jedné straně, sluchem vnímáme exponenciální vztahy tónových výšek, takže by bylo žádoucí vycházet z nich při sestavování tónového terénu pro hudbu, chceme-li mít možnost efektivně spojovat akordy, modulovat a podobně. Na druhé straně, za modely konsonance považujeme lineárně pravidelné tónové řady (přestože vnímané intervaly mezi jejich sousedními tóny nejsou stejné, ale směrem nahoru se zmenšují), a bylo by tedy žádoucí mít možnost je ve výsledném tónovém systému hrát, abychom mohli střídat souzvuky plné napětí a "neklidu" se souzvuky znějícími jednolitě a klidně. V rámci jednoho systému však nelze všechny racionální faktory přesně vyjádřit pomocí racionálních exponentů (ani naopak), a proto dobrý prakticky použitelný tónový systém je většinou určitým kompromisem víceméně upřednostňujícím jedno nebo druhé. Jedním takovým kompromisem je i běžné rovnoměrně temperované ladění, které dělí oktávu (lineární faktor 2/1) exponenciálně na 12 půltónů, přičemž kvintu (faktor 3/2) aproximuje zřetězením 7 těchto půltónů (tj. 2 (7/12) ). Aby bylo možno lineární tónové vztahy efektivně aplikovat na hudbu, bývají lineární faktory někdy tříděny podle tzv. prvočíselného limitu daného nejvyšším prvočíslem obsaženým ve zlomku. Příklad: Zlomek 16/15 (tj / 3 / 5) obsahuje nejvyšší prvočíslo 5, a proto takový faktor je "5limitový", zatímco faktor 15/14 (3. 5 / 2 / 7) je "7limitový", neboť jeho zlomek obsahuje nejvyšší prvočíslo 7. Nejstarší civilizovaný hudební tónový systém, který se nazývá pythagorejské ladění (někdy také 3- limitové ladění), tvoří všechny intervaly kombinacemi čistých oktáv (faktor 2/1 = 1200 centů) a kvint (faktor 3/2 = ~702 centů). Proto např. malá tercie je pak vyjádřena faktorem 32/27 (tj. "2 (5 / 3^3) ") nebo velikostí ~294 centů. Zatímco běžné 12tónové temperované ladění je jednorozměrné, pythagorejské ladění je dvojrozměrné, protože jeho intervaly neutváříme vrstvením jednoho nejmenšího intervalu (např. půltónu), ale dvou různých intervalů, jejichž exponenciální vztah nelze vyjádřit přirozeným zlomkem (3/2 nelze vyjádřit jako racionální mocninu 2). Oktávy, kvinty a kvarty znějí v tomto ladění zcela čistě, avšak v terciích a sextách se kvůli složitým faktorům

7 projevují rychlé neharmonické rázy. Proto byly zhruba do 14. století tercie a sexty (a jejich oktávové ekvivalenty) označovány za "nečisté" a každý takový interval bylo nutno rozvést do jiného intervalu čistého. Koncem 15. století přichází do praxe tzv. didymické ladění (často též 5limitové ladění) uplatňující prvočíslo 5 jako další rozměr lineárních faktorů, takže k čisté oktávě a kvintě přibývá další výchozí interval - čistě znějící velká tercie (faktor 5/4 = ~386 centů). Naskýtá se tak možnost "lineárně rozpůlit" kvintu užitím velké a malé tercie v didymickém ladění (5/4. 6/5 = 3/2) a vzniká tak nový prvek, který dříve hudba neznala - akord jakožto samostatně použitelný stabilní souzvuk tónů seřazených po terciích. Ze zvukového hlediska je tedy toto ladění poměrně atraktivní, avšak z pohledu hudebního zápisu není zcela jednoznačné. Běžná hudební notace je totiž pouze dvojrozměrná, zatímco didymické ladění je trojrozměrné, takže některé intervaly zvukově odlišné jsou v notách vyjádřeny stejně, protože neexistuje symbol vyjadřující zvýšení či snížení o syntonické komma (faktor 81/80 = ~21,5 centů). Příklad: Chceme-li získat velkou sextu pomocí čistých oktáv a kvint (např. C, G, D, A), získáme pythagorejskou velkou sextu (27/16) vykazující rychlé rázy. Utvoříme-li však velkou sextu zřetězením kvarty a didymické velké tercie (4/3. 5/4), získáme velkou sextu didymickou (5/3), která je o syntonické komma užší a zní zcela stabilně a čistě. To znamená, že je-li výchozí tóninou např. C-dur a má-li být stupnice uzavřena do oktávy C1-C2, tón A v kvintakordu D-dur by měl být o syntonické komma vyšší než tón A v kvartsextakordu F-dur - ve vztahu k tónu C1 jsou tyto akordy vyjádřeny faktory "9/8, 45/32, 27/16" a "1/1, 4/3, 5/3". Ještě větší dvojznačnost se objevuje u kvintakordu d-moll, který by vlastně měl být hrán ve dvou různých výškách vzdálených o syntonické komma (10/9, 4/3, 5/3 a 9/8, 27/20, 27/16), přičemž volba nižší či vyšší verze akordu by závisela na harmonickém kontextu. Přestože pro hudbu je důležitější reprezentace zvuková než grafcká, dvojrozměrná notace hrála tak významnou roli, že žádné sekundární posuvky nezávislé na "#" a "b" nikdy nevešly do praxe. Ve skutečnosti by takový systém mohl sloužit jako přímá grafcká reprezentace jednoznačně zvolených tónových vztahů v didymickém ladění. Všechny následující tónové systémy řešily otázku lineárních a exponenciálních vztahů pomocí temperování (jemného rozladění některých intervalů za účelem přiblížení se intervalům jiným). Středotónové ladění (zavedené kolem roku 1530 a užívané téměř 200 let) utváří všechny intervaly opět dvojrozměrnou cestou - kombinacemi čistých oktáv (2/1 = 1200 centů) a jemně zúžených kvint (což v nejstarší verzi je 5 (1/4) = ~696,5 centů), aby se tercie a sexty slyšitelně podobaly terciím a sextám didymickým spíše než pythagorejským. Dobře temperovaná ladění zužují kvinty nepravidelně tak, aby zřetězením 12 kvint vznikl interval 7 čistých oktáv, čímž získáme kvintový kruh. Rovnoměrně temperované ladění, které běžně užíváme dodnes, si klade tentýž cíl, ale všechny kvinty jsou zúženy stejně (2 (7/12) = 700 centů). Úkolem temperování ve skutečnosti je proměnit určitý interval, který je v čistém ladění poměrně malý (ideálně zhruba pod 30 centů), v unisono (tj. nulovou vzdálenost = faktor 1/1). Pak říkáme, že původní malý interval byl vytemperován, takže dva tóny nebo intervaly, které se v čistém ladění liší o tento konkrétní interval, jsou nahrazeny jedním tónem nebo intervalem výsledného

8 temperovaného ladění. Ve středotónovém ladění je vytemperováno syntonické komma (81/80 = ~21,5 centů), zatímco v dobře temperovaných laděních a v rovnoměrně temperovaném ladění je vytemperováno pythagorejské komma (3 (12/2^19) = ~23,5 centů). Přestože didymické ladění je původně trojrozměrné, jeho intervaly tedy můžeme přijatelně aproximovat ve dvojrozměrném středotónovém ladění, neboť vzdálenost syntonického kommatu zde mizí. Na konci 19. století se objevují pokusy dělit oktávu rovnoměrně na jiný počet kroků než 12. Avšak teprve v 70. letech 20. století vychází jasně najevo, že hudebně mnohem efektivnější je hledat nová dvojrozměrně temperovaná ladění na základě trojrozměrného ladění didymického - tj. vytemperovat jiný interval než syntonické komma, takže intervalem, který se používá v kombinaci s oktávou pro utváření ostatních intervalů, může být něco jiného než kvinta (tento interval je znám jako generátor). Žádný z těchto nově objevených systémů však zatím nevešel do širší hudební praxe, především proto, že běžná hudební notace dokáže reprezentovat pouze systémy založené na kvintách. Přesto však bylo v těchto speciálních dvojrozměrných laděních zkomponováno několik skladeb, z nichž je zřejmé, že taková ladění nabízejí při menším počtu tónů ve stupnici výrazně lepší možnosti pro hudbu než ladění rovnoměrná. Za všechny tyto systémy uveďme např. ladění hanson (jehož generátor má velikost ~317 centů), tetracot (~176 centů), miracle (~116,7 centů) nebo půlsextové ladění (~443 centů). Z celého předchozího textu je zřejmé, že chceme-li v elektronické kompozici použít melodické či souzvukové prvky, je velmi užitečné pečlivě rozvážit zvolený tónový terén, zvláště pracujeme-li s efekty spjatými s úpravou tónových výšek - např. změna rychlosti přehrávání posouvá frekvence exponenciálně, zatímco amplitudová modulace posouvá frekvence lineárně. Zároveň je dobré mít na paměti, že pomocí lineárně pravidelných tónových řad můžeme utvořit zajímavé zvukové barvy, zatímco exponenciální tónové vztahy jsou důležité pro hudební srozumitelnost. Řada dostupných elektronických nástrojů dovoluje vytvořit vlastní ladění s různou mírou omezení. Toho velmi vhodně využijeme právě při volbě tónového materiálu s ohledem na zvukovou složku konkrétní kompozice. Po dobrém zvládnutí těchto dovedností lze, v rámci určité hudební či zvukové struktury, proměnit zvukovou barvu na řadu tónů nebo naopak - a v ideálním případě i takto proměněný prvek může mít opodstatněný obsahový význam.