MUNDUS SYMBOLICUS 19 (2011)
|
|
- Irena Zdenka Brožová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MUNDUS SYMBOLICUS 19 (2011)!"#$$%&! %' ($ Vítám vás, milí tenái, opt v pohádkovém lese [1], [2]. Setkáme se zase s krásnou a sympatickou princeznou Alguelitou 1 i s vílami a kovílasy 2. Ke správnému pohádkovému lesu patí jeskyn. Nechybí ani u nás. Spolu se skupinou dtí ešících pytagoriádu jeskyni Tináctku navštívíme. A jako já coby autor vítám tenáe, tak princezna Alguelita uvítala skupinu matematikychtivých dtí 3 u vchodu do Tináctky. tená, který není v našem pohádkovém lese ponejprv, už ví, že krásná a vzdlaná princezna Alguelita, matematicky vzdlaná zooložka a ekoložka, se svými krásnými dlouhými kaštanovými vlasy, velkýma dobro vyzaujícíma oima, milým úsmvem, cudností a skromností se svým tradiním pohádkovým kolegyním - princeznám podobá, avšak místo nepraktických princeznovských šat nosívá kalhoty a triko, a je to taková inteligentní a laskavá intelektuálka. Tentokrát mla na sob kalhoty béžové a modré triko, na nmž byly vpedu zobrazeny dv velké soustedné kružnice. Dtem to trochu pipomínalo orloj, nicmén princezna byla tak milá a tak krásn a zajímav povídala, že jim z jeskyn myšlenky na pražské Staromstské ani na olomoucké Horní námstí neutíkaly. Vnitní kružnice byla žlutá a pipomínala ciferník hodin; mla po obvod vyznaených dvanáct bod, oznaených obdobn jako celé hodiny na hodinách, avšak dva rozdíly byly nápadné. Onen horní bod ml oznaení dv nulu a dvanáctku, kterou vyjadovalo písmeno C. Princezna si totiž uvdomila, že by bylo docela nerozumné, když pracujeme s ísly do dvanácti, používat dvojciferná ísla, a tak shodn s konvencí programátor z reálného svta používala pro desítku písmeno A, pro jedenáctku B 1 Princezna je pedstavena v [2], v [1] vystupuje princezna bez jména. Princeznino jméno, inspirované jménem autorky knihy [4], poukazující na možnosti pohádky pro sdlování, vyjaduje dležitost as pro globální ekosystém; alga je latinsky a španlsky asa; španlsky tvoená dvojnásobná zdrobnlina píponou -uelita je Algüelita, do eštiny pepisujeme Alguelita. 2 Mužská obdoba víly. eský slovní základ víl je doplnn pedponou ko- s obdobným významem jako u goniometrických funkcí a píponou -as, která je pevzata z litevštiny jako základní píznak maskulina (tam jde o nominativní pádovou koncovku). 3 Dtem jsou zde pisuzovány znalosti, které se oekávají až od stedoškolák. Autor se za to omlouvá, avšak do pohádky se lépe hodí dti než mládež 1
2 a pro dvanáctku C. Vnjší, ervená kružnice mla po obvod vyznaeno tináct rovnomrn od sebe vzdálených bod. Horní bod byl oznaen 0, a pak, proti smru hodinových ruiek, byly body 1, 2,..., B, C. A jak princezna dti pivítala? Povdla jim, že si váží toho, jak zvládly poítání s ísly 4. íše ísel je krásná, bohatá, dokonce bohatší než všechno lidské poznání svta. Pi tom jim slíbila, že v jeskyni najdou jiný svt. Bude se v nm poítat obdobn jako se v lidském svt poítá s reálnými ísly, avšak v jeskynním svt bude ísel konen mnoho, jak už napovídá název jeskyn Tináctka. Ano, hlavní vtev matematiky v Tináctce vystaí s tinácti ísly, kterým se íká trettoísla 5. A jedno z nich - nula - je docela nezajímavé. A tak je v Tináctce dvanáct zajímavých ísel. Alguelita vyjádila nadji, že chytré dti nejsou povrivé. A kdyby snad nkteré pece jen povrivé bylo a ped tináctkou mlo takový mrazivý respekt, a radji myslí na tch dvanáct zajímavých trettoísel. U vstupu do jeskyn Tináctky Alguelita pedstavila dtem jejich prvodce svtem trettoísel: víly Algebru a Exponenciálu a kovílasy Modula a Logaritma. Pak dti doprovodila do úžasné podzemní sín a tam pedala slovo víle Algebe. Algebra dtem zopakovala ve velkolepé jeskyni pohádkového svta pravidla, která spluje poítání s ísly v lidském svt. Pipomeme si je spolu s nimi. Pro sítání platí: sk) Pro libovovolná dv ísla a, b je a + b = b + a. sa) Pro libovolná ti ísla a, b, c je (a + b) + c = a + (b + c). sn) Existuje práv jedno íslo 0, pro nž pro libovolné íslo a platí 0 + a = a. si) Ke každému íslu a existuje práv jedno takové íslo a, že platí a + a = 0. íslo 0 nazýváme nula, íslo a je opané íslo k íslu a. Poslední pravidlo (si) nám umožuje definovat odítání: Pro libovolná dv ísla a,b definujeme jejich rozdíl a - b = a + b. Podobná pravidla platí pro násobení: mk) Pro libovolná dv ísla a, b je a. b = b. a. ma) Pro libovolná ti ísla a, b, c je (a.b).c = a.(b.c). mn) Existuje práv jedno íslo 1, pro nž pro libovolné íslo a platí 1. a = a. mi) Ke každému íslu a, rznému od nuly existuje práv jedno takové íslo a -1, že platí a.a -1 = 1. íslo 1 nazýváme jednotka, íslo a -1 je pevrácené ili inverzní íslo k íslu a. Poslední pravidlo (mi) nám umožuje definovat dlení nenulovým íslem: Pro libovolné íslo a a libovolné nenulové íslo b definujeme jejich podíl a /b = a. b -1. A samozejm, že víla Algebra pipomnla i distributivní zákon a jednu dležitou vlastnost nuly: d) Pro libovolná ti ísla a, b, c je (a + b).c = a.c + b.c. z) Pro každé íslo a platí 0.a = 0. 4 íslem rozumíme reálné íslo (pípadn racionální íslo). 5 Tretton je švédsky tináct. 2
3 I když takovouto teorii ani dti milující matematiku ve škole nemají v žádné zvláštní oblib, v podání víly Algebry vše poslouchaly úpln se zatajeným dechem. A jejich poznáníchtivost ješt vzrostla, když se Algebra zmínila, že pro platnost tchto pravidel pro poítání není podstatné, že (lidských) ísel je nekonen mnoho. Ale to už pedala slovo kovílasovi Modulovi. Jeho plné jméno je Modul Tináct, ale on je zvyklý na to, že se mu íká krátce Modul. A tak i zde o nm jako o Modulovi budeme mluvit. Modul pišel s tím, že v Jeskyni Tináctce poítají s trettoísly, sítají je a násobí, a také odítají a dlí (nulou ovšem nikoli). Je jich tináct, od nuly do dvanáctky (ale také bychom mohli íci teba od ptky do tyky, piemž po dvanáctce následuje nula). A jak už víme z Alguelitina trika, desítka, jedenáctka a dvanáctka se oznaují jednocifern A, B, a C. A protože trettoísel je konen mnoho, mohou se operace mezi nimi definovat tabulkami. Rychle na plátno v ele jeskyn promítl tabulky sítání a násobení a vyzval dti, aby si je dobe prohlédly: SÍTÁNÍ TRETTOÍSEL A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A A B C B B C A C C A B NÁSOBENÍ TRETTOÍSEL A B C A B C A C B C B A C 3 7 B 2 6 A A 2 7 C B C 5 B 4 A A 4 B 5 C B C 7 2 A A 6 2 B 7 3 C 8 4 A 0 A B C B 0 B C A
4 C 0 C B A Ob tabulky jsou symetrické 6 mezi trettoísly tak platí pro sítání i pro násobení komutativní zákony sk, mk. Proto je také lhostejno, zda první operand hledáme v levém sloupci a druhý v horním ádku i naopak. Z toho, jak vypadá ádek náležející nule u sítání a jednice u násobení, je vidt, že zde platí i zákony sn a mn. V tabulce sítání je v každém ádku práv jednou nula ta je práv ve sloupci, v jehož záhlaví je trettoíslo opané k íslu v záhlaví píslušného ádku. Mžeme si tak vytvoit tabulku opaných ísel: a A B C -a 0 C B A Z ádku i ze sloupce odpovídajícího nule vidíme, že zde platí zákon z, a tedy k nule neexistuje inverzní trettoíslo. K nenulovým trettoíslm však inverzní trettoísla v tabulce snadno vyhledáme tak, že pro vybrané trettoíslo najdeme píslušný ádek, v nm najdeme jedniku, a ta je ve sloupci, v jehož záhlaví je hledané inverzní trettoíslo. Zde je tabulka inverzních trettoísel: a a A B C A 8 B C Pi vyjadování opaných ísel se obejdeme bez znaménka "minus", pi vyjadování pevrácených ísel bez zlomk. K násobení a k pevráceným trettoíslm obrátíme svou pozornost za chvíli; te se zamysleme nad tím, zda bychom pece jen nemohli nkterá trettoísla prohlásit za záporná. Jist, mohli; jde o to, zda by to bylo rozumné, a jaký pístup by byl nejrozumnjší. Jedna možnost by bylo prohlásit za záporná ta ísla, od nichž je (názorn) blíže k nule pomocí pitení než pomocí odetení, tedy 7 až C. Modul poznamenal, že podobn to dlají na zemi programátoi, když eší ukládání celých ísel v poítai, ale když už on by byl tmi zápornost uctívajícími lidmi nucen nkterá trettoísla prohlásit za záporná, byla by to trettoísla 2, 5, 6, 7, 8 a 11. Pro zrovna takto, vysvtlí pozdjí víla Exponenciála. Že by se podobný pístup ve struktue, již používají programátoi, použít nedal, a i kdyby dal, nebylo by to pro práci poítae vhodné, o tom se Modul už nezmínil. Ml Modul platnost zbývajících pravidel dtem prost jen pedložit k vení? On jim to dal jako podnt k pemýšlení, piemž jim prozradil, že souet a souin trettoísel se dá vypoítat tak, že se spoítá jejich souet a souin jako obyejných lidských ísel, získaný výsledek se vydlí (se zbytkem) tinácti; zbytek pi tomto dlení je výsledkem operace mezi trettoísly. Lidé tmto operacím íkají sítání, resp. násobení podle modulu 13. Díky této souvislosti s poítáním s lidskými ísly se na základ asociativity a distributivity jejich sítání a násobení dá pomrn snadno dokázat, že tyto vlastnosti mají i operace s trettoísly. A když mžeme s trettoísly poítat, mžeme v jejich oboru ešit i rovnice. Lineární jsou podle Modula docela nezajímavé, ukázal to na píkladu 5x = B; 6 Nezmní se, zamníme-li ádky a sloupce, pokud jejich poadí zstane zachováno. 4
5 ob strany rovnice vynásobil trettoíslem inverzním k 5, tedy 8: tedy 8.5x = 8.B, x = A. Protože se však pohybujeme v konené, nepíliš poetné množin, mžeme k ešení rovnice použít pímo tabulku násobení; v ádku píslušejícím trettoíslu 5 najdeme výsledek B; nachází se ve sloupci trettoísla A. Poslouchající dti ani neregistrovaly ubíhající as, pesto však Modulova informace, že te pijdou ješt zajímavjší vci, je potšila. Než ped dti pedstoupila usmvavá víla Exponenciála, laskavá Algebra jim pipomnla, jak se zavádí nezáporná celoíselná mocnina mezi ísly. Udlala to poctiv, indukcí: Pro každé íslo a je a 0 = 1. Dále definujeme a n+1 = a.a n Exponenciála své pozorné posluchae upozornila, že definice indukcí uvažuje mocnitel jako libovolné pirozené íslo 7. Mocniny nuly jsou nezajímavé, mocniny nenulových trettoísel jsou zas nenulová trettoísla, a tch je dvanáct; jejich hodnoty se periodicky opakují. Protože nejdelší perioda tohoto opakování je dvanáct, mocnitel budeme vyjadovat pomocí tolvoísel 8, jichž, na rozdíl od trettooísel není tináct, nýbrž dvanáct. Tolvoísla nebudeme násobit, budeme je jen sítat. Jejich sítání vyjaduje tato tabulka: SÍTÁNÍ TOLVOÍSEL A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A A B B B A Dvanáctá mocnina je v našem svt trettoísel vždy stejná jako nultá. Protože by nkdy vypadalo dost násiln dvanáctku nahrazovat nulou, pi poítání s tolvoísly považujeme 0 a C (= 12) za vyjádení téhož ísla. Vtom se tam ukázala princezna Alguelita a ukázala žlutou kružnici na svém triku, kde horní bod ml dv oznaení, 0 a C. Pipomnla, že je to podobné, jako když plnoc nkdy 7 Tedy nezáporné celé íslo; nulu považujeme tedy za pirozené íslo. 8 Tolv je švédsky dvanáct. 5
6 oznaujeme jako 0 hodin, nkdy jako 24 hodin. Lpt na jednom oznaení nemusí být vždy nejšikovnjší. Vzáptí však Alguelita zas udlala prostor víle Exponenciále, a ta ukázala tabulku mocnin; v levém záhlaví jednotlivých ádk jsou nenulová trettoísla, sloupce jsou nadepsány tolvoísly; sloupce nadepsané 0 a C jsou (až na grafickou úpravu) stejné. Nultá mocnina i dvanáctá mocnina jsou vždy rovny 1, nula a dvanáctka pedstavují stejné tolvoíslo. V ádcích odpovídajících trettoíslm 2, 6, 7 a 11 jsou obsažena všechna nenulová trettoísla. Tato trettoísla tzv. primitivní koeny mohou sloužit jako základ jakéhosi speciálního trettoíslového logaritmu. O tom však bude povídat kovílas Logaritmus. Exponenciála dále zmínila, že mezi mocninami ostatních trettoísel se vyskytují jen nkterá trettoísla. Hodnoty mocnin se periodicky opakují, délka periody (íká se též délka cyklu) je vždy dlitelem ísla 12. MOCNINY TRETTOÍSEL exponent n A B C Délka základ x cyklu C B 9 5 A 7 1 C C 9 A C 9 A C C C A C B 1 C A 5 9 B C C C C C A 9 C A 9 C B C A 6 1 C 12 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 2 V tabulce mocnin trettoísel ve sloupci exponentu 2 dvakrát vystupují trettoísla 1, 3, 4, 9, A a C jsou to tzv. kvadratické zbytky. Dále víme, že nula je druhou mocninou nuly. Trettoísla 2, 5, 6, 7, 8 a B, která nejsou druhou mocninou žádného trettoísla, nazýváme kvadratickými nezbytky. Vzdálen to pipomíná dlení lidských ísel na kladná a záporná - záporná ísla nejsou druhou mocninou žádného ísla, kladná pak dvou ísel lišících se znaménkem. A i v lidské aritmetice je nula druhou mocninou nuly a žádného jiného ísla. Te Exponenciála pedala slovo Algebe, aby popovídala o kvadratických rovnicích v oboru trettoísel. Kvadratická rovnice má, podobn jako mezi obyejnými ísly, tvar a.x 2 + b.x + c = 0, 6
7 kde a 0. Protože a je nenulové, mžeme rovnici vynásobit trettoíslem a -1 a uvést ji do normovaného tvaru x 2 + p.x + q = 0, kterou mžeme pevést na tvar (x + 7p) 2 = (7p) 2 - q. Te se na chvíli víla Algebra odmlela a ekala, jak se pozorn poslouchající dti budou tváit na sedmiku. Ale opravdu jen na chviliku, v pohádkovém svt byly všechny poslouchající dti ješt bystejší než jako ešitelé Pytagoriády, a tak si uvdomily, že násobit 7 je vlastn totéž jako dlit 2; 2 a 7 jsou navzájem inverzní trettoísla Konstatování, že poet ešení kvadratické rovnice závisí na tom, zda trettoíslo (7p) 2 - q je kvadratický zbytek, nula i kvadratický nezbytek, už nikoho nepekvapil. V prvním pípad má rovnice dv ešení, v druhém jedno a v posledním žádné. V normované kvadratické rovnici mže každý z koeficient p, q nabývat tinácti rzných hodnot. ešení pro všech 169 rzných rovnic (v závislost na p a q) uvádí tabulka. Aby do ní bylo možno zapsat dva koeny, každému q odpovídají dva sloupce; pi dvou koenech jsou oba využity, pi jednom (dvojnásobném) je v pravém symbol -, pokud ešení neexistuje, je v obou sloupcích #. Pokud máme kvadratickou rovnici v oboru reálných ísel, na jejíž koeny i koeficienty se mžeme dívat jako na trettoísla, pak v oboru trettoísel má tytéž koeny. ešení kvadratické rovnice x 2 + px + q = 0 q p A B C # # A # # # # # # # # B # # 1 C 1 C # # # # # # # # A # # B # # 2 0 B - C 4 7 # # # # # # # # # # 1 A 8 3 # # 3 A 0 # # B C 2 8 # # # # # # # # # # # # A C B # # # # # # # # # # # # C # # A B 1 7 # # # # # # # # # # # # # # # # 8 C 1 6 # # B 9 - A 2 5 # # # # # # # # # # C # # B # # 9 A # # A # # C # # # # # # # # B B 6 # # A 7 # # C # # # # # # # # A 0 3 # # B # # # # # # # # A 6 4 C # # B # # 7 8 B 4 # # # # # # # # 3 C A 5 # # C A # # # # # # # # B # # C # # 7
8 Kovílas Logaritmus už netrpliv ekal, kdy se dostane ke slovu. Když se tak stalo, zaal tím, že jist dobe znají, jak se zavádí logaritmus v oboru reálných ísel. Jde o to, že z exponenciálního vztahu y = a x, kde a je kladné íslo rzné od 1, mžeme vyjádit x jako logaritmus kladného ísla y o základu a: x = log a y Z pravidel o poítání s logaritmy si pipomeme, že platí log a 1 = 0; log a a = 1 log a (x.y) = log a x + log a y A podobn mžeme zavést "logaritmus" i mezi trettoísly. Platí-li y = a x, kde a je primitivní koen a x libovolné tolvoíslo, mžeme vyjádit x jako diskrétní logaritmus (podle modulu 13) 9 nenulového ísla y o základu a: x = dlog a y. Jako píklad zvolme a = 6. Z tabulky mocnin si vyberme ádek mocnin 6 a vytvome samostatnou tabulku mocnin 6: x A B C 6 x 1 6 A C B 1 Když vymníme poadí ádk, upravíme levá záhlaví a sloupce uspoádáme tak, aby se v tabulce pro jednotlivá y dobe hledaly píslušné diskrétní logaritmy, dostaneme tabulku diskrétních logaritm: y A B C dlog 6 y A B 6 Pipomeme, že y je nenulové trettoíslo, kdežto jeho diskrétní logaritmus tolvoíslo. Pro diskrétní logaritmy platí podobn jako pro obyejné logaritmy dlog a 1 = 0; dlog a a = 1 dlog a (x.y) = dlog a x + dlog a y (na pravé stran jde ovšem o sítání tolvoísel). Aby to demonstroval na píklad, zstal kovílas Logaritmus u základu 6 a zvolil x = 5, y = 9. Vynásobíme-li trettoísla 5 a 9, dostaneme 6. V tabulce najdeme dlog 6 5 = 9, dlog 6 9 = 4 9 Nkdy se používá termín index 8
9 a i bez použití tabulky víme, že dlog 6 6 = 1. Seteme-li diskrétní logaritmy initel, tedy 9 a 4 jako tolvoísla, dostaneme skuten 1. Zatímco pevedení násobení ísel na sítání logaritm se mže velice dobe uplatnit pi výpotu, v oblasti trettoísel (a tolvoísel jako exponent) je to jen hezká zajímavost. 10 as neuviteln rychle utíkal, dti se toho dovdly hodn, a tak nadešel as pro Alguelitino závrené slovo. Ta je v nm pochválila za pozornost a pipomnla, že se seznámily s trettoísly, jichž je jen tináct, a pi tom pro operace mezi nimi platí stejné zákona jako pro operace mezi reálnými ísly. Mezi trettoísly zvláštní postavení zaujímá nula; nenulová trettoísla však nerozdlujeme na kladná a záporná. Zápornost se do pohádkové íše nehodí. Alguelita se svými spolupracovníky, vílami a kovílasy, skítky a dalším pohádkovými bytostmi vdí, že smyslem života je spolen konat dobro a usilovat o n. Proto jim velice vyhovuje, že trettoísla nelze njak rozumn uspoádat pomocí vztah 'vtší menší', 'horší lepší'. V pohádkové íši nechtjí konkurenci, jeden v druhém vidí spolupracovníka, pítele, bratra, sestru. Jeskynní setkání ukonila slovy: "Vážím si lidmi používané struktury reálných ísel. Ale nehodí se ke všemu a nkdy vede na scestí. Jejich lineární uspoádání ('vtší menší', 'horší lepší') je užitené pro poítání, ale týká se ísel, a nikoli živých tvor. I ve skuteném svt je dležitá neporovnatelnost. Je krásné, když lidé mohou spolen, každý podle svých schopností a možností, usilovat o dobro. Každý jsme jiný, umíme nco jiného; máme svá obdarování a vzájemn jeden potebujeme druhého. A je skvlé, že máme jeden druhého po boku. Vdom používám první osobu, patím jak svtu pohádek, tak i lidskému svtu, krásnému, bohatému, trpícímu rostoucím násilím a oekávajícímu rozmnožování dobra. Doufám, že jste v naší jeskyni Tináctce prožily píjemné a ducha oberstvující chvíle, že vám bylo dobe spolu s vílami a kovílasy a i se mnou. Kéž byste se odtud vrátily obohaceny nejen matematicky, ale i všeobecn lidsky. Mjte se moc dobe a a je i dobe všem, s nimiž se setkáte." Literatura 1. NEAS, J.: Vlci a zajíci v pohádkovém lese. Envigogika 2009/IV/2 (Inspirace) Mundus Symbolicus NEAS, J.: Princezna Alguelita a rozmanitost v pírod. Envigogika 2011/VI/1 (Inspirace) 3. PELIKÁN, J. HENZLER, J.: Matematické základy informatiky. Praha, Oeconomica ELIZAGARAY, Alga M.: Nios, Autores y Libros. La Habana, Gente Nueva Pokud bychom pracovali s podobnou strukturou, poet jejíchž prvk by místo 13 byl vyjáden nesmírn velkým prvoíslem, nalezly by diskrétní logaritmy významné uplatnní v kryptografických metodách 9
10 10
Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly.
Výkaz rozvaha Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly. Po spuštní modulu se zobrazí základní okno výkazu: V tabulce se zobrazují sloupce výkazu. Ve
VíceCykly Intermezzo. FOR cyklus
Cykly Intermezzo Rozhodl jsem se zaadit do série nkolika lánk o základech programování v Delphi/Pascalu malou vsuvku, která nám pomže pochopit principy a zásady pi používání tzv. cykl. Mnoho ástí i jednoduchých
Více4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu
4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv.
VícePravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)
NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceVlci a zajíci v pohádkovém lese
Vlci a zajíci v pohádkovém lese 1/6 Vlci a zajíci v pohádkovém lese Jií Neas Vstupujeme do pohádky o jednom zvláštním lese. Ona ovšem celá pohádka to bude ponkud zvláštní. Nebudou v ní víly ani králové,
VíceZákladní pojmy klasického sudoku hlavolamu. Techniky odkrývání bunk. Technika Naked Single. Technika Hidden Single
Základní pojmy klasického sudoku hlavolamu Sudoku hlavolam (puzzle) obsahuje celkem 81 bunk (cells), devt vodorovných ádk (rows), devt svislých sloupc (columns) a devt skupin po 3 3 bukách nazývaných bloky
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceDlitel, násobek Znak dlitelnosti Prvoíslo, íslo složené, rozklad na prvoinitele Nejvtší spolený dlitel, nejmenší spolený násobek
1.1. Základní pojmy V tomto uebním bloku budeme pracovat pouze s pirozenými ísly ( bez nuly ) a budeme studovat vztahy dlitelnosti mezi nimi. Seznámíme se s tmito základními pojmy: Název Dlitel, násobek
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2011-2012
Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2011-2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,
VíceGYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010
Tematický plán uiva z matematiky pro 6. roník na školní rok 2009-2010 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 5.roníku Pirozená ísla íselná osa, porovnávání, zaokrouhlování, operace s nimi, pevody,
VíceGYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST
1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceSpráva obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema
Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Jaroslav Šmarda, smarda@vema.cz Vema, a. s., www.vema.cz Abstrakt Spolenost Vema patí mezi pední dodavatele informaních systém v eské a Slovenské republice.
Víceíslo ryze periodické íslice /skupina íslic ), která se opakuje nazýváme perioda. V našem p ípad je perioda íslice 6.
2. Racionální ísla 7. roník -2. Racionální ísla 2.1. Vymezení pojmu Každé íslo, které lze vyjáditjako podíl dvou celýchísel, je íslo racionální. Pi podílu dvou celýchísel a a bmohou nastattyto situace
Více2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceDRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA
DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Více1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D)
1.16 Lineární stabilita (pouze Fin 3D) 1.16.1 Teoretický úvod Nedílnou souástí návrhu štíhlých prutových konstrukcí by ml být spolen se statickým výpotem také výpoet stabilitní, nebo podává z inženýrského
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou
Algebraické výrazy výrazy s promnnou S výrazy jsme se setkali v matematice a fyzice již mnohokrát. Pomocí výraz zapisujeme napíklad matematické vzorce. Vyskytují se v nich jednak ísla, kterým íkáme konstanty
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceR O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)
R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
Více15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï
15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných
VíceZbytky zákaznického materiálu
Autoi: V Plzni 31.08.2010 Obsah ZBYTKOVÝ MATERIÁL... 3 1.1 Materiálová žádanka na peskladnní zbytk... 3 1.2 Skenování zbytk... 7 1.3 Vývozy zbytk ze skladu/makulatura... 7 2 1 Zbytkový materiál V souvislosti
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceKUSOVNÍK Zásady vyplování
KUSOVNÍK Zásady vyplování Kusovník je základním dokumentem ve výrob nábytku a je souástí výkresové dokumentace. Každý výrobek má svj kusovník. Je prvotním dokladem ke zpracování THN, objednávek, ceny,
VíceL I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:
L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo
VíceMocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.
Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více3 NÁHODNÁ VELIINA. as ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt
NÁHODNÁ VELIINA as ke studiu kapitoly: 8 minut Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt obecn popsat náhodnou veliinu pomocí distribuní funkce charakterizovat diskrétní i spojitou náhodnou veliinu
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceLineární algebra Petriho sítí
) Notace Lineární algebra Petriho sítí Definice: Neznaená PN je taková tveice Q = P Pre Post kde P = {P P n } je množina míst (konená nenulová) = { m } je množina pechod (konená nenulová) Pre: P {} vstupní
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceCílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
VíceM N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY
M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY V této kapitole se budeme zabývat množinami (skupinami) bod, které spojuje njaká spolená vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceAlgebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
VíceRovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceSBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.
Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy
Vícey = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +
Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou
VícePromnné. [citováno z
Promnné [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Abychom s datovým objektem mohli v programu njak rozumn pracovat, potebujeme se na nj njakým zpsobem odkázat. Potebujeme Pythonu íct, aby napíklad
Více1. Signatura datového typu
1. Signatura datového typu a) popisuje vlastnosti operací datového typu b) popisuje sémantiku datového typu c) popisuje jména druh a operací a druhy argument a výsledku d) je grafickým vyjádením implementace
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM / Přednáška Struktury se dvěma binárními operacemi O čem budeme hovořit: opakování struktur s jednou operací struktury se dvěma operacemi Struktury
VíceDatový typ POLE. Jednorozmrné pole - vektor
Datový typ POLE Vodítkem pro tento kurz Delphi zabývající se pedevším konzolovými aplikacemi a základy programování pro mne byl semestr na vysoké škole. Studenti nyní pipravují semestrální práce pedevším
VíceTematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012
Tematický plán uiva z matematiky pro 7. roník na školní rok 2011 2012 Msíc: Záí Uivo: Shrnutí a opakování uiva z 6.roníku Aritmetika desetinná ísla, dlitelnost pirozených ísel Geometrie úhel a jeho velikost,
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceWWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi
eské vysoké uení technické v Praze Fakulta elektrotechnická Bakaláské práce WWW poštovní klient s úložištm v MySQL databázi Jií Švadlenka Vedoucí práce: Ing. Ivan Halaška Studijní program: Elektrotechnika
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceObsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3.
Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3. Popis prostedí...4 3.1 Hlavní okno...4 3.1.1 Adresáový strom...4
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceKaždý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu.
Datový objekt [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Identita Identita datového objektu je jedinený a
VícePrbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
VíceIMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL
IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - IMPORTU DAT DO PÍSLUŠNÉ EVIDENCE YAMACO SOFTWARE 2005 1. ÚVODEM Všechny produkty spolenosti YAMACO Software
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VíceTabulkový procesor Excel
Tabulkový procesor Excel Excel 1 SIPVZ-modul-P0 OBSAH OBSAH...2 ZÁKLADNÍ POJMY...4 K EMU JE EXCEL... 4 UKÁZKA TABULKOVÉHO DOKUMENTU... 5 PRACOVNÍ PLOCHA... 6 OPERACE SE SOUBOREM...7 OTEVENÍ EXISTUJÍCÍHO
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceVyhodnocování úspšnosti
Poítaové zpracování pirozeného jazyka Vyhodnocování úspšnosti Daniel Zeman http://ckl.mff.cuni.cz/~zeman/ Úspšnost zpracování PJ Jak ovit, že program funguje správn? 2 ásti: programátorská (nepadá to)
VíceAlgebraické rovnice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Ohraničenost kořenů a jejich. Aproximace kořenů metodou půlení intervalu.
Algebraické rovnice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Základní pojm 2 Metod řešení algebraických rovnic Algebraické řešení Grafické řešení Numerické řešení 3 Numerické řešení Ohraničenost
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Více2. PÍKLAD DÍLÍ ÁSTI SOUSTAVY - DÍLÍ ÁST SDÍLENÍ TEPLA
2. PÍKLAD DÍLÍ ÁSTI SOUSTAVY - DÍLÍ ÁST SDÍLENÍ TEPLA 2.1. OBECN Tepelné požadavky na dílí ást sdílení tepla zahrnují mimoádné ztráty pláštm budovy zpsobené: nerovnomrnou vnitní teplotou v každé tepelné
VíceLingebraické kapitolky - Počítání s maticemi
Lingebraické kapitolky - Počítání s maticemi Jaroslav Horáček KAM MFF UK 20 Rozehřívačka: Definice sčítání dvou matic a násobení matice skalárem, transpozice Řešení: (A + B ij A ij + B ij (αa ij α(a ij
Více