RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

Transkript

1 RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka řešených příkladů je určena jako orientační pomůcka pro samostatnou přípravu ke konzultacím kombinovaného studia FSI VUT v Brně. BRNO, září 00 autor

2 Řazení příkladů: ) Množiny ) Matematická logika... ) Reálná a komplení čísla... ) Matice a algebraické vektory. 5) Determinanty 6) Soustavy lineárních rovnic 7) Polynomy a jejich podíly. 8) Geometrické vektory 9) Analytická geometrie v prostoru.... 0) Funkce jedné reálné proměnné... ) Limita a spojitost.. ) Derivace funkce.. ) Taylorova věta a aplikace.. ) Primitivní funkce. 5) Riemannův integrál 6) Aplikace Riemannova integrálu Seznam použité literatury:. Eliaš,J.,Horváth,J.,Kajan,J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky..časť (.vydanie),bratislava, Alfa,976. Jirásek,F.,Kriegelstein,E,Tichý,Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha,SNTL-Alfa,987. Mrhačová,H.: Cvičení z lineární algebry, Skriptum, VUT v Brně, ES Brno, 98. Nedoma,J.: Matematika I,Shrnutí a přehled, Orientační metodická pomůcka, rukopis,00 5. Nedoma,J.: Matematika I. Skriptum FSI VUT v Brně, Skála,J.: Matematika I, řešené úlohy pro cvičení, Skriptum, VŠST v Liberci, Tomica,R.: Cvičení z matematiky pro I.ročník, Skriptum, VUT Brno, SNTL Praha, Vosmanská,G.,Rádl,P.: Cvičení z matematické analýzy, Skriptum,(.vydání), VŠZ Brno,99

3 . Množiny.. Určete všechny podmnožiny množiny M{,,5}. Množina M má tyto podmnožiny: Prázdná množina Podmnožiny o jednom prvku {, } {,5 } { } Podmnožiny o dvou prvcích {, },{,5 },{,5} Podmnožiny o třech prvcích {,,5} M Množina M obsahuje 8 podmnožin včetně prázdné množiny a dané množiny... Určete průnik A B množin A, B, kde A je množina všech prvočísel, B množina všech sudých čísel. A{,,5,7,,... }, B{,,6,8,0,... } A B { }.. Jsou dány množiny A{,,5,7}, B{,5,6,7,8}, C{,5,6,7,8,9}. Určete a) A B, B C b) A B C c) A B, B C d) A B C Hledané množiny jsou : a) A B{5,7}, B C {5,6,7,8} b) A B C {5,7} c) A B {,,,5,7,8}, B C {,,5,6,7,8,9} d) A B C {,,,5,6,7,8,9}.. Jsou dány intervaly A (-,), B <-,>, C(,5>. Určete: a) A B c) B C e) A B g) B C b) A C d) A B C f) A C h) A B C Hledané množiny jsou : a) A B (-,) c) B C <-,5> e) A B <-,> b) A C (-,5> d) A B C (-,5> f) A C (,) g) B C (,> h) A B C (,>.. Jsou dány intervaly A(-,), B,, C -,, ). Určete: a) (A B) C b) ( C B) A c) A B C d) A B C Výsledné intervaly jsou: a) (A B) C -,, b) ( C B) A -,) c) A B C { } d) A B C ( -, )

4 . Matematická logika.. Rozhodněte, které z následujících slovních spojení je výrok. Pokud se jedná o výrok, určete jeho pravdivost: a) Číslo je nezáporné. b) Číslo 5 je záporné. c) Každý obdélník je rovnoběžník. d) Trojúhelník ABC je pravoúhlý. e) :0 je 0 Řešení : a) není výrok, protože o nic nevíme b) je výrok a to nepravdivý c) je výrok a to pravdivý d) není výrok, protože o trojúhelníku ABC nic nevíme e) není výrok, protože dělení nulou není definováno.. Utvořte negaci výroků: a) dnes je svátek b) všichni žijící lidé jsou menší než 80 cm c) >, je-li reálné číslo Řešení: a) dnes není svátek b) eistuje žijící člověk, který má 80 cm nebo více c), je-li reálné číslo.. Utvořte disjunkci dvou výroků p, q a určete pravdivost složeného výroku, je-li p číslo je násobkem čísla, q číslo je násobkem čísla 5, Řešení : p q (číslo je násobkem čísla ) (číslo je násobkem čísla 5) číslo je násobkem čísla nebo 5 Složený výrok je pravdivý přesto, že výrok q je nepravdivý... Určete konjunkci dvou výroků p, q, je-li p reálné číslo je menší než, q reálné číslo je větší nebo rovno číslu, Řešení : p q ( ) ( > ) (,

5 5..5 Dosaďte výroky p, q + 7 do uváděné výrokové formule a) p q b) p q c) q p d) q p a) je-li, pak +7 výrok pravdivý Řešení : b) je-li, pak +7 výrok pravdivý c) je-li +7, pak, výrok nepravdivý d) je-li + 7, pak, výrok pravdivý..6 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku ((. 6) (. 6)) ( < ) p (. 6), q (. 6), p q ((. 6) (. 6)), v ((. 6) (. 6)) (< ) Pravdivostní tabulka pak má tvar: p q p q v 0 Z uvedené tabulky plyne, že složený výrok je pravdivý...7 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) ( p q)

6 6. Reálná a komplení čísla.. Určete supremum, infimum, maimum a minimum množiny M a) M -5,-) b) M 0,, c) M (-, ) a) sup M -, inf M -5, ma M neeistuje (otevřená množina), min M -5 b) sup M, inf M 0, ma M, min M 0 c) sup M neeistuje, inf M -, ma M neeistuje (otevřená množina), min M neeistuje.. Zapište pomocí nerovnic s absolutní hodnotou okolí daného čísla o daném poloměru: a) okolí čísla 6 o poloměru b) okolí čísla o poloměru c) okolí čísla.5 o poloměru 0.5 Řešením jsou nerovnice: a) (6-,6+) (, 8 ) { R ; 6 < } b) (--,-+) (-, - ) { R ; + < } c) (.5-0.5,.5+0.5) (, ) { R ;.5 < 0.5 }.. Pomocí binomické věty řešte ( ) 0 0 ( )..( ) +..( ) +..( ) +..( ) Vypočtěte ( + i) + ( i) ( + i) + ( i) ( + i).( + i) + ( i). +.i+.i+.i + i + 6i+ 6i 9+ i + 0i.. Vypočtěte i 5+ i i i 5 i ( i).(5 i) 0 5i i+ 6i. 5+ i 5+ i 5 i (5+ i).(5 i) 5 + 0i 0i i 0 9i 6 9i 9 i

7 7.. Vypočtěte i i Řešte binomickou rovnici 0 0 ( ):( ) , ± Kořeny jsou Zkouška : , + i, + i ( -).( + i Řešte rovnici. z + 0 ).( i ) ( ).( ) ± Budeme hledat řešení rovnice převedením na problematiku nalezení kořenů kompleního čísla z z + 0 z z číslo z - převedeme na goniometrický tvar cosπ + i sinπ 5 0 pak π + kπ π + kπ cos + i sin pro k 0,,,,. 5 5 Dos taneme tedy pět kořenů : z z z z z 0 0 cos6 isin 6, cos08 isin08, cosπ + i sin π, cos 5 i sin 5, cos i sin.. i 7

8 8. Vektory a matice.. Sečtěte vektory a [,, ], b [,, ] a+b.. Odečtěte vektory a [,, ], b [,, ] a-b b-a [,, ] + [,, ] [ +,, + ] [,, 0] Platí tedy: [,, ] [,, ] [, +, ] [, 6, ] [,, ] [,, ] [,, + ] [, 6, ] a-b - (b-a).. Určete vektor v a, je-li a [,-5,,9,-7] v [, 5,,9, 7] [. 0,,8, ].. Určete vektor v -a-0b, je-li a[,,-] b[0,,9] [ ] v -a-0b -[,,-] -0[0,,9] -9,-6,.. Jsou dány čtvercové matice A,B,C 0 A 5 B 6 5 C a) vypočtěte A+B A+B b) vypočtěte B-A 0 6 B - A c) vypočtěte.c C d) vypočtěte A-B+C 8

9 9 0 0 A-B+C e) vypočtěte (A+B)-(B-A)-A (A+B)-(B - A)-A Vypočtěte A+E,je-li A , 0 E A+E Vypočtěte A+B, je-li a c -a b A, B d b c -b a c -a b 0 c+b A+ B d b + c -b d+c 0 9

10 0.. Vypočtěte součin matic A. B a B. A, jestliže A, B ( 5).( ) ( 5). 7.7 A.B ( ).+ 9.( ) +.5 ( ) ( ).( 5) B.A. ( )..( ) ( ).( 5).9 ( ) ( ) 5.( 5) Přesvědčeme se, že platí A. E E. A A je-li E jednotková matice stejného řádu jako matice A, -7 která je tvaru A ( 7) A.E. A ( 7) E.A. A ( 7) Vypočtěte součin matic A. B a B. A, jestliže A B A.B B.A

11 .. Vypočtěte součin matic A. B a B. A, jestliže A [ 5 -] B - A.B [ ] [ ] 0 6 B.A -.[ 5 - ] Vypočtěte součin A, A, je-li A - 6 A A,A A A,A.A.. A.A Vypočtěte součin matic A.B, kde A 0, B AB

12 .. Vypočtěte hodnost h(a) matice A, je-li A /() 0. ř A 7 5 ~ (. ř).( ) ~ /() (. ř).( 5) 0 0 ~ 0 5 ~ 0 5 h(a) 0 5vynech... Vypočtěte hodnost h(a) matice A, je-li - A - -. ř - A.(. ř) ~ ~ (. ř +. ř) 0 0vynech ř 0 0 vynech. h(a).. Rozhodněte, pro které číslo a má matice A hodnost h(a) - 0 A 0 a - 0. ř. ř. ř A. ř ~ 0 a. ř ~ 0 a. ř ~ 0 a 0 a. ř (. ř) 0.(. ř) 0 0 a 9 h(a) jen pro a 0, tedy pro a

13 5. Determinanty 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu dta e 5 6 det A ( ).( 6) ().(5) Vypočtěte hodnotu determinantu a det A e c g a c det A ag. ce e g. 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu + i + i det A i i + i + i det A ( + i).( i) ( + i).( i) (+ 9) (+ ) i i 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu 0 det E det E Vypočtěte hodnotu determinantu sin cos detc cos sin sin cos det C sin.sin cos.( cos ) sin cos cos sin 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu pomocí Sarrusova pravidla ( ) ( 7).( 9) ( 9) ( ).( 7)

14 5.. Vypočtěte hodnotu determinantu a b c b c a c a b pomocí Sarrusova pravidla a b c b c a acb bac cba ccc bbb ccc abc c b a c a b.cos sin Vypočtěte hodnotu determinantu det J(r,,z) rsin rcos cos sin 0 det J(r,,z) rsin rcos 0 cos.( rcos ).+ sin ( rsin ) r r r r 0.( cos ).0 cos.0.0 sin.(.sin )..cos sin r.(cos sin ) r. r + T 5.. Přesvědčete se, že determinant matice A a transponované matice A mají stejnou hodnotu, - když matice A Původní matice - A , transponovaná matice T A - 5 0, - det A det A T

15 Vypočtěte hodnotu determinantu.řádu det D pomocí Laplaceovy věty o rozvoji determinantu a to podle.řádku det D.( ). ( 7).( ). + 6.( ).( ) 7.( ) ( ) Přesvědčete se, že různé rozvoje dají stejnou hodnotu determinantu. Rozviňte determinant.řádu podle.řádku a podle.sloupce ( ). 0 +.( ) ( ).( ) ( ) ( ) + ( ) ( ). 0 +.( ).0 +.( ) ( ).( ).( )

16 6 5.. Rozvojem dle řádku samých nul se přesvědčete, že hodnota determinantu A, jehož řádek (sloupec) obsahuje samé nuly má nulovou hodnotu det A det A 0.( ). 0 0.( ). 0 0.( ). + 0.( ) Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu det D 0 0. ř. ř det D 0. 0.(. ř). 0.( ). 0. ř 0 0.(. ř) 0 + ( )(. ř ) 0.( ). 0.( ) Zkouška pomocí Sarrusova pravidla : ( ) ( ) + 0 6

17 7 5.. Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu ř 7. ř (. ř) 0 0. ř ( 5).(. ř) (. ř) (. ř) (. ř) 7. ř 7. ř 0 0. ř 0 0. ř ř ř (. ř) (. ř) ( ) Přesvědčete se, že hodnota determinantu A a determinantu transponované matice k matici A je stejná. a c det A a.( a) cb. a cb. b a a T det A.( ).. c b a a bc a cb a 5.. Přesvědčete se, že výměna dvou po sobě jdoucích řádků způsobí změnu znaménka. det A 9 0 Výměna prvých dvou řádků: det A

18 8 6. Řešení soustav lineárních rovnic 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody y+ z 8 + 5y z 0 7 y+ 7z 5 8. ř 8. ř (,5).(. ř) ~ 0 9,5 7. ř ~ 0 9, (,5).(. ř) 0 9,5 ( ). (. ř) Protože matice soustavy má hodnost h(a) a rozšířená matice soustavy má hodnost h(a B), nemá soustava A.XB dle Frobeniovy věty řešení 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody + y z 5 y+ 5z 6 5. ř 5 ~ ( ).(. ř) Matice soustavy i rozšířená matice soustavy mají hodnost h (A)h (A B), počet proměnných n. Podle věty Frobeniovy je n-h (A) proměnná volitelná. Zvolme tedy z t. Pak ze soustavy plyne zt y (t + 9) ( t+ 6), 0 5 kde t je libovolné reálné číslo. 8

19 9 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody 5 9y+ 5z y+ z 0 + y+ z ř 0. ř 0. ř ~ (. ř) ~ (. ř) ~.(. ř) 0 7.(. ř) 0. ř 0. ř ~ 0 0. ř ~ 0 0. ř (. ř) (. ř) zpětný chod : z 5 y 0 z + y 5+ 7, když dosadíme vypočtené hodnoty y a z. 6.. Řešte soustavu lineárních rovnic A.X0 pomocí Gaussovy eliminační metody ř. ř. ř 7 5.(. ř) 0 7. ř ~ ~ 0-7.( ) 6 0 (.) ř 0 7.(.) ř ~ ().(. ř) (. ř) 0 7 ( vynech) +. ř 0 7. ř ~ 0 7, 0 0 / ( ) 0 0 h (A)h (A B)n, soustava má triviální řešení 0 9

20 Řešte soustavu lineárních rovnic A.XB pomocí Gaussovy eliminační metody h(a), h(a/ B), n, tedy jednu proměnnou volíme jako parametr t t 0.( t ). t t Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic + y+ z 7 y+ z 5 + y+ z det(a) , det(a) 0, tedy soustava má právě jedno řešení 7 det(a ) 8 det(a) 8 7 det(a y ) 0 det(a y ) y 0 det(a) 8 tedy det(a ) det(a ) 6 det(a) 8 tedy y 0 Z det(a z ) z tedy z 0

21 7. Polynomy a jejich podíl 7.. Rozložte polynom + + na součin kořenových činitelů ( + ) + ( + ) ( + )( + ) nebo ± 9 8 ± ,,.( ).( ) ( )( ) 7.. Rozložte polynom na součin kořenových činitelů. + ( ) +.( ).( + ) + ( )( + + ) ( ).( + ) 7.. Rozložte polynom + 7+ na součin kořenových činitelů ( + ).( + ) 7.. Rozložte polynom na součin kořenových činitelů ( ) ( )( + + ) 7 ( ) ( )( 7 ) ( )( 5 ) ( )( )( ) 7..5 Rozložte polynom + na součin kořenových činitelů. + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( + ) 7.. Užitím Hornerova schematu rozložte na součin kořenových činitelů ( )( ) ( )( )( 6) + + ( )( ) ( )

22 7.. Užitím Hornerova schematu rozložte na součin kořenových činitelů ( )( + )( ) Rozložte racionální lomenou funkci f ( ) ( + )( + ) na parciální zlomky A B + ( + )(+ ) + +.( + )( + ) A(+ ) + B( + ) ( A+ B) + ( A+ B) A+ B, A+ B 0 tedy A, B + ( + )(+ ) Rozložte racionální lomenou funkci f( ) ( ) na parciální zlomky A B C D A B C A B C D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( 6 + 8) + ( + ) + ( ) + D vyřešením soustavy pro ABCD,,, dostaneme A, B 0, C, D ( ) ( ) ( )

23 7.. Rozložte racionální lomenou funkci f( ) na parciální zlomky 8 A B +.( 7)( ) A( ) + B( 7) užijeme dosazovací metodu 6 B( 7) B 7 56 A(7 ) A Rozložte racionální lomenou funkci f( ) na parciální zlomky + A B+ C ( + )( + ) + A ( + ) + ( B+ C)( + ) ( A+ B) + ( A+ B+ C) + ( A+ C).( + ) A+ B 0 A+ B+ C 0 A, B, C A + C Rozložte racionální lomenou funkci f( ) + ( + ) na parciální zlomky + A+ B C+ D +.( + ) ( + ) + ( + ) A B C D + ( + )( + ) + + A B A C B + ( ) + ( ) + ( + ) + ( + D) A B 0 A + C C, D B + D + + ( + ) + ( + )

24 8. Geometrické vektory uur r uur r 8.. V trojúhelníku ABC je AB a, BC b, S je střed strany BC, T těžiště trojúhelníka. r r uur uur uur P omocí vektorů a a b určete vektory AC, AS, AT. uur uur uur r r uur r r uur uur r r A C AB + BC a + b, AS a + b, AT AS a + b r 8.. Určete projekci vektoru a na přímku p, je-li dáno r r π ϕ, a. ap a.cos ϕ, proto ap.cos Jaké musí být číslo, aby dané dva vektory a i + 5 j, b i j r π r byly kolineární. r r Musí platit a k. b 5 j k. j k 5. Tedy je k. ( 5). 5. r r r 8.. Vyšetřete, zda dané tři vektory a k, b i j k, c i j+ k Jestliže ano, nalezněte vztah mezi nimi. jsou komplanární. Pro závislost musí platit , tedy musíme řešit soustavu tří lineárních rovnic : 0. m+. n+. p 0 0. m. n. p 0. m. n+. p 0 Z prvních dvou rovnic plyne p r r r r m a nb pc Dané tři vektory jsou komplanární. n - a, dosazením do třetí rovnice je m. r r 8.. Vynásobte skalárně vektory a (i j), b ( i+ j). r r ab. (i j).( i+ j). + ( ) Vynásobte skalárně vektory r r ab i j k i j k r a i+ j+ k, b i+ j+ k. ( + + ).( + + ).( ) r.

25 5 r r 8.. Určete úhel vektorů a i+ j, b i+ 5j. r r a i+ j, b i+ 5j r r ab..+.5 cosϕ r r a. b π tedy ϕ r 8.. Zjistěte, zda vektory a i 5 j+ k, b i+ j+ k jsou na sebe kolmé. r a i 5 j+ k, b i+ j+ k r r ab.. + ( 5) π cosϕ r r 0 ϕ a. b + ( 5) Tedy vektory jsou na sebe kolmé. r r 8.. Určete vektorový součin vektorů a i j+ k, b i+ j k. r r a b (i j+ k) ( i+ j k) i j k i j+ k k i+ 8j 0i+ 7j+ k r 8.. Vypočtěte a b r a určete geometrický význam vypočtené hodnoty, je-li r r a i+ j, b j+ k r r a b (i+ j ) ( j+ k) i j k 0 6i+ 0+ 6k 0 0 j 6i j+ 6k 0 r r a b ( ) 6 88 Geometrický význam je obsah rovnoběžníka z uvedených vektorů. 5

26 6 r rr 8.5. Vypočtěte hodnotu smíšeného součinu abc, jsou-li vektory dány r r r a i j+ k, b i+ j k, c i+ j+ k rrr r r r r r r abc ( a b) c c.( a b) a a a nebo b b b c c c c c c a a a b b b Zjistěte, zda zadané vektory jsou komplanární r r r a i j+ k, b i+ j k, c 7i+ j k rrr r r r abc ( a b) c Tedy zadané vektrory jsou komplanární Vypočtěte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, jsou-li dány vrcholy A[,0,], B[-,-,7], C[0,-,-], E[6,5,]. uuuuruuuuruuuur Objem je dán jako smíšený součin tří vektorů AB AC AE uuuur uuuur uuuur AB (,, ), AC (,, 7), AE (, 5, 0) Vypočtěte objem čtyřstěnu ABCD, jsou-li dány body A[,,], B[-,0,0], C[0,-,0], D[0,0,-]. Objem čtyřstěnu ABCD je dán jako uuuuruuuuruuuur AB AC AD. 6 uuuuruuuuruuuur AB AC AD ( ) uuuuruuuuruuuur AB AC AD 6 6

27 7 9. Analytická geometrie v prostoru 9.. Napište rovnici roviny, která je určena body A[,-,], B[-,5,6], C[7,8,-9]. ) Jeden způsob řešení: Normálový vektor n je kolmý k vektorům AB (r r ) c(-5,7,) a AC (r r ) b(6,0,-), i j k Tedy n b c 6 0 i + j +9 k (,,9). 5 7 Rovnice hledané roviny je (r r ).n0, tedy (-,y+,z-). (,,9)0. Tedy rovnice je tvaru 57+y+6z -50. ) Druhý způsob řešení: V kartézské soustavě souřadnic má rovnice hledané roviny tvar y+ z 5 7 8( ) 50( z ) + 8( y+ ) 6 0 ( z ) 0( ) 60( y+ ) y 9z y+ 6z 5 0 Tedy rovnice je tvaru 57+y+6z Určete rovnici roviny, která prochází body M[,,5 ] a N[-6,7,] a je kolmá k rovině - y +z 50. Vektor n normály hledané roviny je kolmý k vektoru MN (r r )(-9,,-) a k normálovému vektoru n (,-,) dané roviny, a proto je n (r r ) n. Rovnice hledané roviny je pak (r- r ). n 0 respektive (r- r ). n 0. i j k n 9 i + 0 j + k (,0,) (r- r ) (-,y-,z-5), (r- r ) (+6,y-7,z-) pak rovnice je tvaru (-)+0(y-)+(z-5)0, nebo (+6)+0(y-7)+(z-)0. Po úpravách dávají obě rovnice týž výsledek + 0y + 7z Napišme obecnou rovnici roviny, která je určena parametrickými rovnicemi u + v, y + u - v, z u + v. Z daných tří rovnic vyloučíme nejprve parametr u. Dostaneme + y 5 - v, z + y 7 7v. Vyloučením parametru v z těchto dvou rovnic dostaneme -7-0y + z -8, Po úpravě je obecný tvar rovnice roviny 7 + 0y z

28 8 9.. Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A[,-,5], B[-5,7,], C[,,-5]. Platí AB s(-8,,-), AC t(-,8,-0). Tedy parametrické rovnice jsou - 8u - v, y - +u + 8v, z 5 - u -0v. 9.. Určeme vzdálenost bodu T[,6,] od roviny + 0y + 7z Ze vzorce o vzdálenosti plyne v ( Určete úhel rovin + y + z + 0 a - 5y - z + 0. Jde o ostrý úhel, který svírají normály obou rovin. Vypočteme jej pomocí skalárního součinu těchto normálových vektorů n (,,) a n (,-5,-). cos ϕ nn. 5 8 n. n Napište rovnici přímky dané dvěma body M[,9,] a N[5,,]. Směrový vektor přímky MN s(5-,-9,-)s(,-6,8). Parametrické rovnice přímky jsou + t, y 9 6t, z + 8t. nebo 5 + t, y 6t, z + 8t. Vyloučením parametru dostaneme kanonický tvar rovnice přímky y 9 z 5 y z nebo Přímku můžeme také určit jako průsečnici dvou rovin. Rovnice dostaneme vyloučením parametru t z parametrických rovnic, takže daná přímka je dána vždy dvojicí rovnic : +y, y + z 5 nebo +y, 8 z 7 nebo y + z 5, 8 z Napište rovnici přímky, která je rovnoběžná s přímkou p, určenou body A[,,], B[7,,] a prochází bodem C[-,5,9]. Směrový vektor dané přímky je AB s(7-,-,-) s(5,,-). + y 5 z 9 Kanonické rovnice mají tvar, 5 Nebo jako průsečnice dvou rovin 5y + 0 a + 5z 9 0 8

29 Vypočtěte vzdálenost bodu M[,-5,-] od přímky y + z. 7 6 Bodem M proložíme rovinu kolmou k zadané přímce. Obecná rovnice roviny je tvaru 7(-) + 6(y+5) + (z+) 0, úpravou 7 + 6y + z Přímku vyjádříme jako průsečnici dvou rovin ve tvaru 6 7y 7 a 7z -. Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých 7 + 6y + z y 7 7z -, která má právě jedno řešení 9 9 P[,, ], což je průsečík přímky s rovinou Vzdálenost bodu M od zadané přímky je vzdáleností bodů M a P v MP ( ) ( 5) ( ) Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: t +, y t, z t + a roviny ρ : y z 0 Dosazením z rovnice přímky do rovnice roviny dostaneme t + ( t ) (t + ) 0 t 0 t 0 tedy přímka p leží v rovině ρ 9.5. Určete úhel přímky p : t +, y t +, z, který svírá s rovinou ρ : + y + z 0. Normálový vektor roviny je: n r (,,), směrový vektor přímky je : s r (,,0). Tedy úhel ϕ, který svírá přímka s rovinou získáme z rovnice sin ϕ r r ns. r r n. s odkud plyne ϕ π Vypočtěte ostrý úhel dvou rovin ρ : + y + z, τ : y + z Ostrý úhel dvou rovin je ostrý úhel jejich normál, tedy platí co sϕ π ϕ r r nρ.nτ r r n. n ρ τ ( ) + 9

30 0 0. Funkce jedné proměnné 0.. Určete sudost, lichost a periodičnost funkcí : a) f ( ) 6.sin b) f ( ) c) f ( ) ( ) Zadané funkce mají tyto vlastnosti : a) f ( ) 6.sin (-) -6.sin - f ( ) f( + π ) 6.sin (+ π ) 6.sin f ( ) lichá funkce periodická funkce b) f ( ).( ).( ).( ).( ) polynom není periodická funkce - f ( ) lichá funkce ( ) ( + ) c) f ( ) - f ( ) ( ) ( + ) f ( ) f ( ) eponenciální funkce není periodická funkce není lichá funkce není ani sudá funkce 0.. Určete definiční obor funkce f ( ) ln( ) Zadaná funkce je posunutý přirozený logaritmus o jedničku doprava. Pro argument této funkce platí nerovnice ( ) > 0 > (, ) Tedy D( f) { ; > } 0

31 0.. Určete definiční obor funkce f ( ) arcsin Složená cyklometrická funkce má za argument polynom.stupně. Tento argument je tedy určen nerovnicí 6 6,6 Definiční obor D( f) { ; 6} 0.. Určete definiční obor funkce f ( ).ln f( ).ln je součin dvou funkcí f, která má D(f ) < 0. ), a f ln, která má D(f ) (0, ). D(f)D(f ) D(f ), tedy D(f) < 0. ) (0, ) (0, )

32 . Limita a spojitost n + an n n+ n li m an lim lim + lim lim+ lim + 0 n n n n n n n n n n.. Vypočtěte limitu posloupnosti { a n }, jestliže.. Vypočtěte limitu posloupnosti { a n }, jestliže a n n n+ n + n n+ lim an lim ( v čitateli je polynom n n n + nižšího stupně než ve jmenovateli, proto limita)0.. Vypočtěte limitu lim( + ) lim( ) lim lim lim (lim ) lim lim n ebo přímo dosazenim do polynomu + + π.. Vypočtěte limitu lim( ).(sin ) lim( ).(sin π ) lim( ).lim(sin π ) ( ).sin π.. Vypočtěte limitu lim ( )( + ) ( + ) lim lim lim + ( )( ) ( ) ( )( + ) ( + ) lim lim ( )( + ) ( + )

33 .. Vypočtěte limitu cos sin lim cos π cos + sin (cos sin ) (cos sin ) lim lim lim π cos π cos sin π (cos sin )(cos + sin ) lim π (cos + sin ) +..5 Pomocí vztahu sin lim vypočtěte limitu 0 sin 5 lim 0 sin 5 sin 5 sin 5 li m 5.lim protože lim Vypočtěte jednostrannou limitu pomocí substituce a-t (resp.a+t) Výpočet: a) lim b) lim + a) ( t) t t lim lim lim lim lim t 0 ( t) t 0 t t 0 t t 0 b) ( + t) t t lim lim lim lim lim + t 0 ( + t) t 0 t t 0 t t 0.. Vypočtěte jednostrannou limitu lim ( 5) lim( 5) lim(( t) 5) lim( t) lim t 0 t 0 t 0.. Vypočtěte nevlastní limitu lim ln( ) ( t) t lim lim lim ln( ) ln(( t) ) ln( t) t 0 t 0 ( + t) + t lim lim lim + ln( ) ln(( + t) ) ln( + t) + t 0 t 0

34 .. Vypočtěte nevlastní limitu lim 9 ( t) 5 t lim lim lim ( t) 6t t t 0 t 0 ( + t) 5+ t 5+ t lim lim lim lim 9 9 ( + t) 6t t 6t+ t + t 0 t 0 t 0 lim +.5. Vypočtěte limitu funkce v nevlastním bodě + lim lim t lim t lim + + t + t + t t + t 0 t 0 t 0.5. Vypočtěte limitu v nevlastním bodě lim + lim + lim + + lim + : 0 lim :.0.5. Vypočtěte pomocí vztahů lim( + ) e resp. lim( + ) 0 e limitu v nevlastním bodě lim( + ) X X z z lim( + ) lim( + ) ( lim( + ) ) e z z z z.5. Vypočtěte pomocí vztahů e lim resp. lim ln 0 0 a e a limitu lim 0 e li m z e e lim. lim. z 0 0 z 0

35 5.6. Zjistěte, kde je nespojitá funkce f ( ) ( ) f( ) j ( ) e racionální funkce, která není definovaná v nulovém bodě jmenovatele 0, ale je definovaná v levém i pravém okolí tohoto bodu. Tedy funkce v bodě není spojitá..6. Zjistěte, kde je spojitá funkce f ( ) sin( + π ) f( ) sin( +π ) π je goniometrická funkce sin posunutá o se základní periodou π. Je definována pro všechna reálná čísla. Jde tedy o funkci spojitou v R. 5

36 6. Derivace funkce.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) 6.sin f ( ) 6.cos.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) e.ln f ( ) e.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) f ( ) ( ) (5 ) ( ) + (8 ) (7 ) (6) Vypočtěte.derivaci funkce f ( ).( + ) 7 f ( ) (.( + )) (.. + ) ( + ) Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) 0 5log f ( ) (0 5log ) (0 ) 5.(log ) 0.ln0 5.. ln.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) ( ) ( ).( + + ) ( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) f ( ).( ) ( ).( ) Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) sin.cos f ( ) (sin.cos ) (sin ).cos + sin.(cos ) cos.cos + sin.( sin ) cos sin cos 6

37 7.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ). + arcsin f ( ) (. arcsin ) (. ) (arcsin ) ( ). +.( ) + (arcsin ) ( ) + +.( ).. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) ( ).( ) ( ).( ) f ( ) ( ) + ( ) ( ).( ).( ) ( ) e... Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) sin e ( e ).sin e.(sin ) e.sin e cos f ( ) sin (sin ) sin e.(sin cos ) sin.. Vypočtěte.derivaci funkce f ( ) ln + ln ( ).(+ ln ) ( ln ).( ) ln ( ln ).( + ln ) ( ln ).(+ ln ) f ( ) + ln ( + ln ) ( + ln ) ( ).((+ ln ) + ( ln )) (+ ln ) (+ ln ).(+ ln ).. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) sin f ( ) (sin ) cos.( ) cos.( ) cos 7

38 8 5.. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) arccos 5 5 f ( ) arccos ( 5) 9 ( 5).. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) e + f ( ) ( e + ) ( e + ).( + ) e Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) arctan(5 ) (5 ) 5 5 f ( ) (arctan(5 )) (5 ) Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ). ln.n l f ( ) ( ) ( e ) ( e ).(( ).ln+ (ln ) ) ( ).(ln +. ) ( ).(ln + ).( ).(ln + ).5. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) sin f ( ) (sin ) cos f ( ) ( co s ) sin.5. Vypočtěte.derivaci složené funkce f ( ) e e e f ( ) e e + e e + e e e f ( ) 8

39 9.5. Vypočtěte derivaci složené funkce f( ) f( ).( ).( ) ( + + ) f ( ) ( ) ( ) ( ).5. Vypočtěte. derivaci složené funkce f ( ) 5 f ( ) 5 f ( ) 5 f ( ) 0 f ( ) 0.6. Vypočtěte.a. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi ( t + ), y. t t + & t && ( ),, y. t, y& 6 t, && y t y& 6t y y t & t y& y.. y t.t.6t t y ( )& && & && & y & & ( t) 8t t.6. Vypočtěte.a. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi cos t, y sin t cos t, & sin t, && cost y sin t, y& cos t, & y sin t y& cost y y cot t & sin t y& && y. & &&. y& y ( )& ( sin t).( sin t) ( cos t).(cos t) y & & ( sin t) sin t cos + t sin t sin t 9

40 0. Taylorova věta a aplikace.. Vypočtěte diferenciál df ( ) funkce f( ) ( ) df ( ) ( ) ( ( ) ( ) f ( ). d d.ln) d π.. Vypočtěte diferenciál df ( ) funkce f( ) cos v bodě 0 π df ( 0 ) f ( 0).( 0) (cos ) ( 0 ).( ) π π π. ( sin( π π )).( π) 0.( π) 0.. Vypočtěte druhý diferenciál d f( ) funkce f ( ) tan. cos d f( ) f ( ).( d) (tan ).( d) ( ).( d) ( d) sin sin.. Vypočtěte Taylorův rozvoj.stupně funkce f( ) v bodě 0 f( ) ( ) f() f ( ) ( ).( ).( ) f () ( ) ( ) f ( ) ( ).( ).( ) f () ( ) ( ) f ( ).( ).( ).( ) f () ( ) ( ) 6 8 f () f () f () f () + ( ) + ( ) + ( )!!! 8 + ( ) + ( ) + ( ) 6 + ( ) ( ) + ( ) 8 6 0

41 .. Vypočtěte Maclaurinův rozvoj funkce f ( ) cos f( ) cos f(0) f ( ) sin f (0) 0 f ( ) cos f (0) f ( ) sin f (0) 0 f ( ) cos f (0) f (0) f (0) f (0) f (0) cos f(0) !!!! Zjistěte, kde funkce f ( ) je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maima. ( ) f ( ) 0 f stacionární body.( ) 0.( ).( + ) 0, f( ) 9 > 0 f(0) < 0 f() 9 > 0 V intervalu (-,-) funkce roste, v intervalu (-,) funkce klesá, v intervalu (, ) funkce roste. Bod - je bodem lokálního maima, bod bodem lokálního minima... Zjistěte, kde funkce f ( ) e je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maima. f( ) e f ( ) e > 0 f ( ) > 0.derivace je stále kladná funkce je rostoucí na celém definičním oboru D(f) R, nemá žádné etrémy.. Zjistěte, kde funkce f( ) + je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maima. f( ) f ( ) < 0 + ( + ) Funkce je tedy po částech rostoucí na intervalech (-,-), (-, ) s vyjímkou bodu -, kde f() není definovaná

42 .. Zjistěte inflení body, konvenost a konkávnost funkce f( ) ( ).. f f f ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 6( ) f ( ) 0 6( ) 0 f (0) 6 < 0, f () 6 > 0, tedy je inflení bod na intervalu (-,) je funkce konkávní (pod tečnou) na intervalu (, ) je funkce konvení (nad tečnou).. Zjistěte inflení body, konvenost a konkávnost funkce f( ) ln( ). f( ) ln( ) f ( ) f ( ) ( ) Na D(f)(, ) je funkce konkávní, inflei nemá. < 0.5. Nalezněte tečnu a normálu k funkci 8 f( ) v bodě T(,?) f( ), f ( ) + + Rovnice tečny Rovnice normály ( ) 8 f(), f () + ( + ) 6... y-f( ) f ( ).( ) y-f( ).( ) 0 0 f ( 0 ) t: y ( ) + y 0 n: y.( ) y 0 0

43 .5. Nalezněte tečnu a normálu k funkci zadané parametrickými rovnicemi at at, y v bodě t. + t + t at at 6a a a a, y () y() + t + t 9 9 a.( + t ) at.t 6 at.( + t ) at.t &, y& ( + t ) ( + t ) 6 at.( + t ) at.t y& ( + t ) 6at at at.( t ) t. ( t ) y &.( a + t ) at.t a 6at.( a t ) ( t ) ( + t ) y () 5 t : 5y+ a 0 n: 5+ y 6a 0.6. Pomocí L Hospitalova pravidla vypočtěte limitu cos sin lim. 0 cos sin cos sin cos sin sin lim lim lim lim Pomocí L Hospitalova pravidla vypočtěte limitu e e lim 0 sin e e e + e e + e e e li m lim lim lim 0 sin 0 cos 0 sin 0 cos.7. Vyšetřete průběh funkce f( ) + +

44 , tedy D(f)(-,) (, ) ( ) f ( ),, kořeny, ( ) lokální minimum + na intervalech (-, + ),(,), (, ) je klesající na intervalu (, ) je rostoucí ( ) + f ( )., kořeny, inflení bod ( ) konvení na intervalech (-, + ), (, ), (, ) konkávní na intervalu (,) + Asymptota bez směrnice :, lim f( ), lim f( ) +.7. Vyšetřete průběh funkce f ( ) + Funkce je lichá funkce, definovaná v R. Nulové body má 0, ±. Lokální minimum je y- v bodě -, lokální maimum je y v bodě. Je klesající na intervalech (-,) a (,+ ),rostoucí na intervalu (-,). Inflení bod je 0, na (-,0) je konvení, na (0, ) je konkávní. lim lim f( ) +, f ( ), +

45 5.5. Vyšetřete průběh funkce f( ) + Všude definovaná, nezáporná, sudá funkce. Nulové hodnoty nabývá v bodě 0. Lokální minimum v bodě 0, na (-,0) je klesající, na intervalu (0, ) rostoucí. - Inflení body jsou [, [, ], ]. - - V intervalech (-, ) a (,+ ) je konvení, v intervale (, ) konkávní. lim f( ) lim f( ), asymptota se směrnicí je tedy y..5.5 Vyšetřete průběh funkce ln f( ) D(f)(0,+ ), nulový bod. Lokální maimum y v bodě e, na (0,e ) je rostoucí, na (e, + ) klesající. e e Inflení bod [ e, ],na intervalu (0, e ) je konvení, na intervalu ( e,+ ). lim Asymptoty : bez směrnice - f( ), tedy 0, 0+ lim se směrnicí - f( ) 0, tedy y

46 6.7. Vyšetřete průběh funkce f ( ) arctan Funkce je všude definovaná, nezáporná a sudá. Nulové hodnoty nabývá v bodě 0, minima nabývá v bodě 0, na intervalu (-,0) je klesající, na intervalu (0, ) je rostoucí, funkce nemá inflení body a je stále konvení. π Asymptoty bez směrnice nejsou, asymptoty se směrnicí jsou y- pro -, π y pro..5.6 Vyšetřete průběh funkce cos f( ) arccos D(f)(-,0> <, ), nulový bod 0. Platí y - (0) y + ( ). Lokální minimum y0 v bodě 0, lokální maimum y π v bodě, na intervalech (-,0) a (, ) je klesající. Na intervalu (-,0) je funkce konkávní a na intervalu (, ) je konvení. π Asymptota se směrnicí y pro + i pro -. 6

47 7.5.7 Vyšetřete průběh funkce f ( ) X D(f)(0, ), funkce je kladná, nulový bod nemá. e Lokální minimum y( ) v bodě e e Na intervalu (0, ) je klesající, na intervalu (, ) je rostoucí. e e Na celém definičním intervalu je konvení. lim 0+ lim f ( ), f( ) Vyšetřete průběh funkce f ( ) e sin D(f)(-, ), spojitá, ani sudá ani lichá. π Nulové body jsou k, kde k je celé číslo. - V bodech, kde tan( ), má lokální etrémy, inflení body v, pro něž tan( ). 5 7

48 8. Primitivní funkce.. Užitím základních vzorců integrujte: 5 5 ( ) d d + d d + d + d C C Užitím základních vzorců integrujte: cos (sin ) d sin d cos d cos sin C Užitím základních vzorců integrujte: d arctan + C Užitím základních vzorců integrujte: cos d ln sin + C sin.. Integrujte pomocí úpravy integrandu: d vydělíme ( + ) d + arctan C Integrujte pomocí úpravy integrandu: d gon. vzorce d d t an + C + cos + cos sin cos.. Integrujte pomocí úpravy integrandu: + cos cos d gon. vzorce d d + cos d + sin + C.. Pomocí substituce integrujte: d sub. t dt t C ( ) d dt ( ) C t + + 8

49 9.. Pomocí substituce integrujte: sub. t d dt e d e dt e C d dt t +... Pomocí substituce integrujte: cos sub. dt cot d d ln t C sin t cos d dt t +... Pomocí substituce integrujte: sub. 5 + t sin(5+ ) d sin tdt cost C cos(5 ) C 5d dt Pomocí substituce integrujte: sin sin cos d sin d sin d + cos + cos + cos sub. cos t t t + dt dt sin d dt t + t + ( t )( t+ ) ( t + ) dt dt + t + t cos t+ ln t+ + C cos + ln cos + + C.. Pomocí per partes integrujte: pp.. u e u e e d e e d e e +C v v.. Pomocí per partes integrujte: pp.. v v ln d. ln d ln d ln + C u ln u 9

50 50.. Pomocí opakované per partes integrujte: pp.. v v sin d cos + cos u sin u cos d pp.. v v cos + ( sin sin d) u cos u sin cos sin cos C.. Pomocí per partes a převedením na rovnici integrujte: e pp.. u e u e cos d e cos + e sin d v cos v sin pp.. u e u e e cos + e sin v sin v cos e cos d e cos + e sin e ( cos cos d e + e sin ) e cos d.5. Integrujte racionální funkci: sub.+ t 5 d dt 5 dt 5 5t 5 d t dt + 6 C ( ) 5 t + t 5d dt 5 + C 6( + ).5. Integrujte racionální funkci: + (+ ) d d d d ( ) d I I ln arctan C Integrál I řešíme podle vzorce I f ( ) d ln f ( ) + c f( ) d ln 0 C 50

51 5 Integrál I řešíme úpravou a substitucí I d d d ( + + ) + 9 ( + ) + 9 t ( + ) dt arctan( ) + C arctan + C (9 + t ) sub. + t d dt.5. Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: d d d d I ( ) 6 ( )( + ) ( )(+ ) 9 Rozklad na parciální zlomky: A B C A, B, C ( )(+ ) d d 9 d I ln ln ln C Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: I + d ( + + ) + ( + ) d Rozklad na parciální zlomky: + A B C + + { A, B, C 6} ( + ) + ( + ) ( + ) d d d I 6 ln ln + 6 C + + ( + ) + 6 ln ln C + 5

52 5.5.5 Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: I d d + ( ) + ) + ( Rozklad na parciální zlomky: A M+ N + + A, M, N ( )( ) ( ) ( ) I d d d d d d d d d d + ln + ln ( + ) + 6 ( ) C ( ) ln arctan Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: sin sin cos d sin d sin d + cos + cos + cos.cos t t + ( t )( t+ ) dt dt t + t + t + ( ) d d dt + ( t ) dt + t+ t+ t cos t+ ln t+ + C cos + ln cos + + C sub t sin d dt.6. Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: d sin sin d d ( + cos )sin ( + cos ) sin ( + cos )( cos ) sub. cos t dt sin d dt ( + t)( t ) {...}...pomocí rozkladu na parciální zlomky... dt dt dt ln ln ln + + t + t t+ + t 6t + C t+ 6 (cos+ ) (cos ) ln + C 6 (cos + ) 5

53 5.6. Univerzální metodou integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: sub. tan t, arctan t, d dt + t t sin, cos t + t + t t sin sin( ) sin cos t + t + t + t t cos cos( ) cos sin t + t + + t d dt dt dt sin cos t t + t 6 t + t t + t + t + t dt {...pomocí rozkladu na parciální zlomky... } (t )( t+ ) tan dt dt ln t ln t C ln t 5 C t tan +.7. Integrujte iracionální funkci: t + sub. + t t t d tdt dt t t d dt d t dt dt + dt dt + {...rozklad na parciální zlomky... } ( t )( t+ ) dt dt + + dt + t + ln t + ln t + C + + ln + C t+ t + 5

54 5.7. Integrujte iracionální funkci: + 5 sub. t t t d tdt dt d t dt + t t + t t t dt dt t dt dt t ln t C + + t + t + ln + + C.7. Integrujte iracionální funkci: d d 5 5 ( + + ) + 9 ( + ) sub. + t t dt arcsin + C d dt 9 t + arcsin + C d.8. Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci: sub. cost 9 d 9 9cos t ( )sintdt 9 sin t sintdt d sintdt cost sint sin tdt 9 dt 9( t ) + C arccos + sin( arccos ) + C arccos + sin arccos arccos cos + C arccos + (cos arccos ) + C 9 arccos C 5

55 55.8. Integrujte pomocí goniometrických funkcí iracionální funkci: + d d d ( + + ) ( + ) sub. + cost sin t sin t cost sin t d dt dt dt dt cos t cos t cos cos t cos t t t arccos cos t + cost cost dt dt cos t sin t ln( ) sub. sint u du {... rozklad na parc. zlomky... } costdt du u du du + sint + ln + u ln u + C ln + C + u u sint + sin arccos + ( ) ln + + C ln + + C {... úpravou... } sin arccos ( ) C 55

56 56 5. Riemannův určitý integrál 5.. Metodou per partes vypočtěte hodnotu určitého integrálu: 0 pp.. u u ln( + ) d [ ln( + ) ] d 0 v ln( + ) v [ ln 0ln] d ln [ ] + [ ln( + ) ] ln Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu: (pomocí transformací mezí) e e sub. ln t + ln t 9 d d dt ( t) dt t e e t 5.. Metodou substituční vypočtěte hodnotu určitého integrálu: (pomocí dosazení do primitivní funkce) d d ln (ln 5 ln 5) ln Výpočet primitivní funkce: sub. t dt d ln t + C ln C t + ( ) d dt 56

57 57 6. Aplikace Riemannova integrálu 6.. Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou y, osou a přímkami, 5 b 5 5 P f( ) d d ln ln 5 ln ln 5 a + y 6.. Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkou a osou Průsečíky s osou jsou : + ( + )( ) 0, 0, v intervalu,0 je funkce nezáporná v intervalu 0, je funkce záporná 57

58 58 0 P ( + ) d+ ( + ) d Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami, y y + Vypočteme souřadnice průsečíků grafů: sub z z + z. 0 ( z+ )( z ) 0 z, z ±,, Integrujeme v intervalu -,, kde +. Proto b ( f( ) g( ) ) d ( ) arctan d 6 + a P π π π arctan arctan( )

59 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami + ( y ), y 0 Záměnou závislosti proměnných při průsečících y0 a y obdržíme: 0 y y + ydy ) ( y ) dy y y P 6 6 ( y Vypočtěte obsah P kruhu o poloměru r Kruh je obrazec symetrický dle osy, proto vezmeme dvakrát obsah horní poloviny + y r y + r, y r sub. r cost r 0 π P r d d rsin tdt r r cos t ( rsin t) dt r sin t dt r π 0 r r t π 0 π π cost π sin π r dt r t t r 0 0 r 6..6 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami, které jsou dány parametrickými rovnicemi t t y t t t ϕ() t t t d & ϕ() t dt ( ) t dt P ψ () t & ϕ() t dt y t t t t t ψ () 0, 5 ( t t )( t) dt ( t t + t ) dt t t + t

60 Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o rovnici ( y ) pod osou rovnice dolní půlkružnice je tvaru y- průsečíky s osou jsou - y, + b ) d + L + ( y ( ) + d d a d sub. cost d sintdt ( 5π π t 6 6 5π π π 6 6 π 5π 5π π sint sin t 6 ) dt ( ) dt dt [ t] π 5π cos t π sin t π Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o parametrických rovnicích t y + t pro t 0, t ϕ() t t & ϕ() t L & ϕ ( t) + ψ& () tdt t 0, y ψ() t + t ψ& () t t 0 0 [ ] + dt 5 dt 5 5( 0)

61 6 6.. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce P kolem osy. Obrazec P je omezen křivkami y p,. b V π f ( d ) π pd π p π p( 9 0) 9π p a Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce P kolem osy. Obrazec P je omezen křivkami y,,. V b f ( ) d π d 6 d 6 6 ( ) π a π π π π 6.. Vypočtěte obsah rotační plochy (plášť rotačního tělesa) vzniklého rotací rovinného obrazce P omezeného přímkami,, osou y 0 a grafem funkce y 9 S b y f( ) 9 π f( ) + ( f( ) ) d, a y f ( ) π 9 d 9 π d 6π d 6 [ ] 6 ( ) 6 π π π 9 6

62 6 6