Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová

Transkript

1 Fyzikajekolemnás(Práce výkon energie) Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová Obsah Několikslovúvodem Mechanická práce 4 Příklad1 nosičivkrkonoších Příklad2 zvedánísloupuzvodyven Příklad3 jedoucíautomobil Úlohyksamostatnémuřešení Výkon, práce počítaná z výkonu 8 Příklad4 stoupajícívýtah Příklad5 cyklistajedoucídokopce Příklad6 odplatazanepozornost Úlohyksamostatnémuřešení Polohová energie 12 Příklad7 jeřábapanel Příklad8 skokdovýšky Příklad9 železnátrubkapřistavbělešení Příklad10 alpskávesničkaschneedorf Úlohyksamostatnémuřešení Pohybová energie 15 Příklad11 předjíždění Příklad12 rozjíždějícísecyklista Příklad13 kapkavody Úlohyksamostatnémuřešení Zákon o zachování mechanické energie 18 Příklad14 volnýpád Příklad15 sportovecskáčedovody Příklad16 vrcholovýsportovec Příklad17 sportovecnakruhách Úlohyksamostatnémuřešení

2 6 Úlohy o pohybu, řešené pomocí ZZE 23 Úlohyksamostatnémuřešení Komplexní úlohy 28 Příklad18 klukovskázbraň:prak Příklad19 lanovolněvisícípřeskladku Příklad20 adrenalinovélyžování Úlohyksamostatnémuřešení Cododatnazávěr Řešení úloh 34 2

3 Několikslovúvodem... Pojem práce je bezprostřední součástí našeho života. Běžně dělíme život na dny plnépráceanadnyodpočinku.otecmáneustáleněconapráci,myslínasvou práci,nevyhýbáseaniprácidoma.učitelmáplnoprácespřípravounahodiny isesvýmižáky.takéstudentimajíhodněprácestím,abypochopilisvětkolem sebe, a především aby získali obraz o životě. Sportovci zase podávají dobré či špatnévýkony.dobrýmvýkonemprosprinteraječas10,0snadráze100m. Skokan naopak dosáhl výborného výkonu 5,50 m při skoku o tyči. Sportovní výkon20,0mvevrhukoulítakéneníkzahození.acoenergie hyperaktivní dítě má tolik energie, že se musí jeho aktivita tlumit. Máme-li málo energie, můžeme sníst např. tabulku čokolády, která nás posílí. Energii také získáme vypitím energetického nápoje. Někteří sportovci získávají energii posilováním před závodem, jiní zase používají nelegálního a nepovoleného dopingu. Diváci často vybíjejí svou energii na fotbalovém zápase skandováním, jiní ničí lavice a dalšízařízení.acojetoduševníenergie,kteroujetřebavrhnoutnapapír,to vědíspisovateléabásníci... U živočichů(sportovců, chlapců, zvířat aj., kteří v této publikaci vystupují v textu úloh) víme, že mechanická práce nevyjadřuje zcela skutečnost. Zvednutí závaží u vzpěrače sice nahradíme působením síly na závaží a určíme mechanickou práci, avšak toto zvedání je doprovázeno natahováním a smršťováním svalů to ale nedokážeme precizně vyjádřit. Proto reálné úlohy musíme zjednodušovat na jednoduché modely činností a zabývat se jen problémy, které jsou spojeny s výsledky fyziologických činností. Získané hodnoty sil a práce jsou zpravidla minimálními hodnotami. Přesto jsme takové úlohy do naší publikace zařadili. Víme však přesně, co je to práce, výkon a energie? Jsme schopni pochopit, žetytopojmy,snimižpřicházejížáciveškoledostykuvpředmětufyzika,jsou přesně vymezeny? Tak o tom je naše malé zamyšlení, které jste právě otevřeli. Úvodní poznámka Při praktickém měření veličin v běžném životě vystačíme s přesností číselnýchhodnotna2 3číslice.Ztohotodůvoduaproto,abychommohlidospět rychlejikčíselnýmvýsledkům,uvažujemevcelémtextusg=10m s 2. 3

4 1 Mechanická práce F F Mechanickou práci spojujeme s působením sílyfpo určité dráze s. Práce je skalární veličinou. V případě, že se těleso o hmotnosti m posunuje ve směru působícísíly,můžemeprácivypočítat W= Fs,kde FjevelikostsílyF.Jednotkoupráceje1J(joule),častopoužívanénásobkyjsou1kJ=1000J,1MJ= = J,1GJ=10 9 J,popř.díly1mJ=0,001J,1 µj=0,000001j. F1α s s Obr.1Práce W= Fscos α Jestliže však vektor sílyfsvírá se směrem pohybu úhel α, pak nejprve stanovímeprůmětsílydosměrupohybu,tj. F 1 = Fcosα,apotomprácistanovíme ze vztahu W= Fscosα. Později se dozvíte, že práci určujeme pomocí skalárního součinu vektoru sílyf avektoruposunutís,tedy W=F s. Odtud plyne závěr, že při posunutí tělesa působením sílyfse koná práce, kterázávisínavelikostisíly F,drázepřiposunutí s,aletakénaúhlu α,který působící síla svírá se směrem posunutí. Prácejenulováprotřipřípady:sílanepůsobí(F=0),tělesoseneposunuje (s=0),působícísílajekolmákesměruposunutí(cosα=0). Prácipovažujemezakladnoupropřípad,žepro F 0, s 0jecosα >0,a tedyproúhel αplatí0 < α <90 ;zazápornouje-li F 0, s 0acosα <0, tj.když90 < α <180.Totovšejemožnéshrnoutdonížeuvedenéhopřehledu. Pro F 0, s 0platí α=0 W= Fs(nejjednoduššípřípad) 0 < α <90 W= Fscosα >0 α=90 W=0 90 < α <180 W= Fscosα <0. Působící síla pak pohyb vyvolá nebo udržuje(síla práci koná) nebo pohybu brání(odporové síly). Poznámka V případě působení odstředivé nebo dostředivé síly při rovnoměrném pohybu po kružnici(pokud zanedbáme odpor prostředí) tyto síly práci nekonají, protožecosα=0. 4

5 Příklad 1 nosiči v Krkonoších Když ještě nebyla v Krkonoších lanovka, vynášeli nosiči zásoby pro horskou boudu nasněžcenasvýchzádech.nosičohmotnosti80kg(včetněkrosny)sido krosny naložilnáklad60kgavyneslhozpecep. Sněžkou(nadmořská výška asi 850 m) na Sněžku(nadmořská výška asi 1600 m). Jakou práci vykonal? Obr. 2 Sněžka Řešení Protože tíhová síla má ve všech místech pohybu svislý směr, vytvoříme následující model pohybu nosiče. Nejprve necháme nosiče projít vodorovným tunelem ažpodvrcholsněžky,apotomstoupatsvislevzhůru(jakosvislým výtahem) po žebříku. Práce vykonaná při přemístění nákladu má velikost W 1 = F(h 2 h 1 )=600N 750m=450kJ. Nosič však musí přemístit i sám sebe s krosnou, přitom vykoná práci W 2 = F G (h 2 h 1 )=800N 750m=600kJ. Celková práce, kterou nosič při přemístění vykoná je W c = W 1 + W 2 =1050kJ. Ztohoprácepronosiče užitečná (tedynesoucíprofit),je W 1 =450kJ,tj. W 1 = 450. =43%. W c 1050 Příklad2 zvedánísloupuzvodyven Přiarcheologickémvýzkumubylnadnějezeravhloubce15m podhladinouobjevenkamennýsloupovýšce8mahmotnosti 6000 kg. Sloup nejprve opatrně postavili do svislé polohy, upevnili na rameno jeřábu a začali vytahovat vzhůru. Zvedání bylo ukončeno tak, že sloup dolní patkou byl umístěn vesvislémsměrupřipravenéholešenívevýšce5mnadhladinou vody v jezeře. Hustota materiálu, že kterého byl sloup vytvořen,je2500kg m 3,hustotavodyje1000kg m 3. Jakou práci vykonal jeřáb při zvedání sloupu již stojícího na dně? Obr. 3 Sloup 5

6 Řešení Nejprve si musíme uvědomit, že při zvedání sloupu ve vzduchu musel jeřáb působitsilou F 2 =60kN,alepřizvedánívevoděsiloumenší.PodleArchimédova zákonaje F vz = V vody g.objemsloupuje V= m3 =2,40m 3. Jeřábtedypůsobípřipomalémzvedánísloupuvevoděprvních7mstálousilou36kN.Problémyzačnoupřivytahovánísloupuzvodyven sloup těžkne,lanojeřábujezatěžovánoproměnnousilouod36kndo60kn.bude tedy nejlepší znázornit si graficky změny velikosti síly, napínající lano jeřábu, a tedy zvedající sloup. F kn F 2 F 1 W 1 W 2 W s m Obr. 4 Práce vykonaná při zvedání sloupu Vprvnífázipůsobínasloupstálásílaovelikosti F 1 =36kNpodráze s 1 =7m. Vykonanápráceje W 1 = F 1 s 1 =252kJ. Vedruhéfázipůsobínasloupproměnnásíla F(x),jejížvelikostzávisínadélce ponořené(nebo vynořené) části sloupu. Vykonanou práci stanovíme pomocí vztahu W 2 = F 1+ F 2 s 2 2 = kJ=384kJ. 2 Vetřetífázipůsobínasloupstálásílaovelikosti F 2 =60kNpodráze s 3 =5m, vykonanáprácepakje W 3 = F 2 s 3 =300kJ. Vykonaná práce nutná k vytažení sloupu je dána součtem těchto tří prací, tj. Příklad 3 jedoucí automobil W c = W 1 + W 2 + W 3 =936kJ. Kdyžjedeautomobilstálourychlostí90km h 1 (maximálnírychlostpovolená na vozovce mimo obec), působí na něj tahová síla motoru, která musí překonávatnavodorovnévozovcesíluvalivéhoodporuatřenívložiskách F 0. =300N 6

7 aodporprostředí F odp =0,54 v 2.Jakouprácivykonámotorautomobiluna udržení vozidla tak, aby jelo rovnoměrným pohybem na dráze 10 km? Řešení Pro udržení stálé rychlosti na vodorovné silnicimusíbýttahovásíla F t motoruvozidla F t = F 0 + F odp. Síla valivého odporu a tření v ložiskách je dána, F 0 =300N,síluodporuprostředí určímeužitímvztahu F odp =0,54 v 2. Obr.5Jedoucíautomobil Prorychlost90km h 1 =25m s 1 je F odp =0, N=338N.Tedy tahovásílamotorumusíbýtnejméně F t =638N.Natrase s=10kmje vykonanápráce W= F t s=6,38mj.kdybychompropočítaliprácinadráhu 100km(např.spotřebabenzínusepočítávždynatutotrasu),potombycelková prácebyla W c =63,8MJ. Poznámka Kdyžspotřebujeme1kgbenzínuvmotoruautomobilu(V 1. =1,4l),pakpři dokonalém spálení získáme teplo 46 MJ, avšak dnešní technika dokáže využít tototeplojenze22%.protosespotřebabenzínudástanovit: W c =63,8MJ; využitelnéteplospálením1litrubenzínujeasi33mj,využijemehojenze 22%,tj.7,26MJ.Spotřebabenzínuna100kmsestanoví V= 63,8 7,26 l. =8,8l. Úlohy k samostatnému řešení 1 Úloha 1 poštovní doručovatel Poštovní doručovatel balíkové služby o hmotnosti 75 kg má doručit balíček o hmotnosti 5 kg adresátovi, který bydlí v nejvyšším patře 14 podlažního domu. Bohuželzjistil,ževýtahnejede,neboťjevpravidelnéúdržbě,ataksevydal pěšky po schodech. Podlaha nejvyššího patra je ve výšce 38 m nad terénem. Určete, jakou minimální práci vykonal doručovatel jen při doručení balíku, jakou práci vykonal celkem a jak byla tato fáze doručování efektivní. 7

8 Úloha2 cyklistajedoucíporoviněi Cyklista jede po rovině a může se přemisťovat buď rychlostí18km h 1 nebo54km h 1 potrase36kmvrovinné krajině. V obou případech je valivý odpor a tření v ložiskách vznikající při jízdě pneumatik po asfaltové silnici30n,odporovásílapřirychlostiovelikosti vje dánavztahem F = 0,30 v 2.Jakvelkouprácivykoná cyklista na stanovené trase? Úloha3 rumpál Velmi hluboká studna má hladinu vody 16 m pod úrovní okraje studny. K vytažení vody máme k dispozicirumpál:naválciopoloměru r=5,0cmjenamotánolanko,najehožkoncijevědro,doněhožvdolní poloze se dostane voda. Hmotnost lanka neuvažujeme, hmotnostvědrasvodouje12,5kg.vědrozavěsímea začnemeotáčetklikouodélce d=40cm.přijednom otočeníkliky(2π d)sevědrozvedneovýšku s=2πr. Určete: a) kolikrát musíme otočit klikou, b) jak velkou práci vykonáme při zvednutí vědra, c) jak velkou silou musí ruka působit na kliku. Obr. 6 Cyklista Obr. 7 Rumpál 2 Výkon, práce počítaná z výkonu Stejnou práci můžeme vykonat v různém časovém režimu. Poštovní doručovatel balíkovéslužbymuselstoupatposchodechasi5minut,alepočítalstím,že použijevýtahu,jehoždobajízdyjemenšínež1minuta.voboupřípadechse dostanedotéževýškyapřipřemístěnísevykonástejněvelkápráce.obaděje selišídoboutrvání,cožnásvedekzavedeníveličinyprůměrnývýkon P= W t. Jednotkouvýkonuje1W(watt),častopoužívámenásobky1kW=1000W, 1MW= W,1GW=10 9 Wnebodíly1mW=0,001W,1µW= =10 6 W. 8

9 Příklad 4 stoupající výtah Kabinavýtahumáhmotnost150kgavevýškovém domě stoupá ze sklepa do nejvyššího patra podráze42mpodobu80s.vkabiněmohoubýt nejvýše tři osoby o celkové hmotnosti 250 kg. Určete celkovou tahovou sílu v lanech při rovnoměrném stoupání, celkovou i užitečnou práci motoru, užitečný i celkový výkon a podíl užitečné práce na práci celkové. Obr.8Výtah Řešení Celkováhmotnostkabinyapřepravujícíchosobje m=400kg,tahovásílapři rovnoměrnémpohybuje F=4000N.Práce W= F s=168kj.tutopráci konáelektromotorpodobu80s,tedy P= W =2100W. t Dáleurčímeprácinapřepravuosob, W 1 =105,0kJ,výkon1312W.Podíl užitečnéprácenacelkovéprácije =0,625,tj.62,5%.Zbylápráce(37,5%) je sice práce neužitečná, ale nutná(osoby nelze přepravovat v lehkém igelitovém pytli). Poznámka 1 Přirovnoměrnémpohybu s=v t,takžeplatí P= W = F s = F v. t t Kvýpočtuprovýkonylzepoužítiv=0,525m s 1,potom P=2100W. Poznámka 2 Podílpráceužitečnéacelkovéoznačujeme η= W už W c anazývámehoúčinnost. Protože neexistují ani ideální stroje ani ideální děje, je vždy η < 1. Účinnost vyjadřujeme často v procentech. Poznámka 3 Známe-livýkonmotoru,můžemezevztahu P = W t,stanovitpráci W = = P t.tomuříkámeprácepočítanázvýkonu.jednotkouje1ws=1j, případně1wmin=60j,1wh=3600j,1kwh=3, J.JednotkakWh je často používána při určování práce elektrických zařízení. 9

10 Příklad 5 cyklista jedoucí do kopce Cyklistaohmotnosti80kgiskolemjedestálourychlostí27km h 1 domírnéhokopcese stoupáním p=3,0%potraseodélce1500m. Síla valivého odporu a tření v ložiskách je 30 N, odporovou sílu určíme užitím vztahu F odp =0,30 v 2 asílaprostoupánídokopce jedánavztahem F 1 = mgp. Obr.9Cyklistajedoucídokopce Určete, jakou silou musí cyklista pohánět kolo při jízdě do mírného kopce přijízděstálourychlostí,jakouprácivykonácelkemnadanétraseajakýjejeho výkon. Když by se vracel zpět stejnou rychlostí, musel by šlapat do pedálů? Jaké rychlosti by dosahoval bez šlapání? Řešení Úloha je zdánlivě složitá, protože je v textu mnoho údajů. Určíme nejprve působícísíly: F 0 =30N, F odp =0,30 7,5 2 N=17N, F 1 =24N.Velikost celkové působící síly F= F 0 + F odp + F 1 =71N. Potomprácenatrase1500mje106,5kJapožadovanývýkon P = F v= =533W,cožjereálnýúdaj. Při jízdě s kopce je velikost síly působící směrem dolů(rovnoběžně s vozovkou) F 1 =24N,odporovésílypřirychlosti7,5m s 1 jsou F odp + F 0 =47N. Cyklistaproudrženírychlostimusí šlapatdopedálů.protoževalivýodpor, třenívložiskáchaodporovásílajevětšínežsílapůsobícískopcedolů(složka tíhové síly rovnoběžná s vozovkou), při tomto 3,0% sklonu se cyklista samovolně nerozjede. Velikost rychlosti v, jaké by cyklista dosáhl bez šlapání, můžeme určit z podmínky, že F 1 = F 0 +0,30 v 2. Protoževšakje F 0 > F 1,paksituace,žebycyklistamohljetbezšlapání,při daném sklonu vůbec nemůže nastat. Příklad 6 odplata za nepozornost Když přijela rodina na víkend na chalupu, zjistil tatínek, že jeho synáček sice tvrdil, že všechno vypnul, ale nechal v neděli večer svítitvestolnílampěžárovku40w,jejíž svit přes okenice nebyl zvenčí vidět. Obr. 10 Pracující chlapec 10

11 A tak tatínek rozhodl, že syn musí odpracovat přesně stejnou práci, jakou vykonalelektrickýproudzbytečnýmsvícením,nebozaplatí pokutu snížením kapesnéhoo50kč.projednoduchostzvolildobusvícení5dní(odjezdvneděli v18hodin,příjezdvpátektakév18hodin).kolikhlínyapískubymusel chlapec naložit na valníky do výšky 2 m(okraj valníku)? Řešení Nejprvestanovíme zbytečnouelektrickoupráci přivýkonužárovky40w: 5dnípo24hodináchje120hodin,práce W= P t=40 120Wh=4,8kWh. Protože1kWh=3,6MJ,jezbytečnáprácerovna17,3MJ. Při vyhození 1 kg zeminy do výšky 2 m vykonáme minimální práci 10N 2m=20J,zvedneme-linalopatě5kgzeminynebopísku,pakvyhození1lopatypředstavujepráci100J. Napracovat práciztracenouzbytečným svícenímbyznamenalonavalníkydostat865000kg=865t.pokudbysena valník vešlo 5 t, je to naplnění 173 valníků, což představuje krát hodit lopatou.kdybynabránílopatyavyhozenítrvalo15s,jdeasio s,tj. 30dní(pokudbysepracovaloipřesnoc)!Moudrýchlapec,kterýsidokázal tento důsledek propočítat, raději oželel padesátikorunu. Poznámka Elektrická zařízení jsou nám tak běžná, že si jich ani nevážíme. Spící televizorynebopočítače užívají vždyjenněkolikwattů.avšak6wattůza1den představujeuž0,5kwh(vizdáleúlohu5). Úlohy k samostatnému řešení 2 Úloha4 cyklistajedoucíporoviněii Vúloze2jelporoviněcyklistarychlostí18km h 1 nebo54km h 1.Určete meze jeho dosaženého výkonu. Úloha 5 mechanická práce 1kWh Kdyžseještětopilovestaršíchdomechuhlímvkamnech,muselosenosituhlí v kbelíku ze sklepa např. do třetího poschodí po schodišti o výškovém rozdílu 15m.a)Kolikuhlímusímajitelbytunanosit,abyvykonalpráci1kWh? b) Uvažujte, že do kbelíku se vejde 16 kg uhlí, hmotnost kbelíku vzhledem k hmotnosti uhlí zanedbejte. Určete počet kbelíků odpovídajících vykonané práci. 11

12 Úloha 6 jedoucí automobil I když už víme, že při jízdě automobilu závisí odporové síly částečně na rychlosti vozidla, zvolíme modelovou situaci, kdy během jízdy působí výsledná odporová sílaovelikosti400nprotipohybupřirychlosti45km h 1.Jakýjemechanický výkon automobilu? Jakou práci vykonají odporové síly při zastavování vozidla o hmotnosti 800 kg? Úloha7 lyžařskývlek Malýhorskýlyžařskývlekmádélku300m atáhnelyžaředokopcesilou300nstálou rychlostíovelikosti0,6m s 1.Určete,jakou práci vlek při vytažení lyžaře vykoná a jaký je mechanický výkon motoru vleku. Obr. 11 Lyžařský vlek 3 Polohová energie Představmesi,žemámezvednoutčinkuzvýšky h 1 =60cmdovýšky h 2 = =220cm,hmotnostčinkyje40kg.Budemejizdvihatsilou F =400Npo dráze s=h 2 h 1 avykonámepráci W= Fs=mg(h 2 h 1 )=mgh 2 mgh 1 = 640J.Součin mghoznačímejako E p = mgh.tatoveličinanámpopisujetěleso ohmotnosti mvevýšce(vpoloze) hnadjistounulovouvýškou(hladinou) v tíhovém poli zemském a nazývá se polohová energie tíhová. Působením síly Fsemůžeměnitvýška hnadnulovouhladinou,konásepráce W aměníse polohováenergie, W= E p = E p2 E p1. Příklad7 jeřábapanel Jeřábzvedápanelohmotnosti2400kgzplošinynákladníhoautomobiluvevýšce1,6maumisťujehona stavbě výškového domu ve výšce 38,0 m; zvedání trvá 2,0 minuty. Jakou mechanickou práci vykoná jeřáb při zvedání panelu a jaký je odpovídající mechanický výkon? Řešení Panelohmotnosti m=2400kgjetřebazvedatstálou silou F= mg=24knpodráze s=h 2 h 1 =36,4m. Obr. 12 Jeřáb 12

13 Vykonanápráce W = F(h 2 h 1 )=mgh 2 mgh 1 = E p2 E p1,tedy E p1 =38,4kJ, E p2 =912kJ, W=873,6kJ.Obdobněbychomsektomuúdaji takédostaliužitím W=24,0 36,4kJ=873,6kJ.Výkon P=7,28kW. Příklad8 skokdovýšky Přiskokudovýškysesportovecohmotnosti60kgodrazíodpodložkyajeho těžištěsepřemístízpůvodnívýšky h 1 =1,00mdovýšky h 2 =1,80m,přičemž přeskočí laťku ve výšce 165 cm. Jakou mechanickou práci sportovec vykoná? Řešení Polohováenergienapočátkuzávisínavýšce h 1 = 1,00 m,nakonci h 2 = =1,80m,takže E p1 = mgh 1 =600J, E p2 = mgh 2 =1080J.Vykonanápráce W= E p =480J. Příklad 9 železná trubka při stavbě lešení Železná trubka má hmotnost 40 kg, délku6,0mavnějšíprůměr6,0cm. Trubka na počátku leží na betonovém podkladu. Jak velkou silou musíme na trubku působit, abychom ji zvedli na jednom konci? Dále budeme zvedat trubku ručkováním tak, že její druhý Obr. 13 Zvedání trubky konec zůstane na jednom místě. Jak velkou práci musíme vykonat, abychom trubku postavili do svislé polohy? Řešení Při ručkování se mění vzdálenost ramene síly způsobující zvedání od místa otáčení trubky. V důsledku toho se musí zvětšovat velikost této síly(zmenšuje se rameno).výpočetprácepodlevztahu W= Fscosαbybylobtížný.Stanovíme protopůvodnípolohovouenergii E p0 = mgh 0 =0Jakoncovoupolohovou energii E pk = mg h 2 trubky1.vykonanápráce W= E p =1200J. 1 Přivýpočtuzanedbávámepříčnérozměrytrubky,jinakbychommuselipočítatsnenulovou h 0 =3cm. 13

14 Poznámka V homogenním tíhovém poli, tj. v nepříliš rozsáhlém okolí určitého bodu nacházejícího se na povrchu Země, v němž známe hodnotu i směrg, považujeme g=konst. Příklad 10 alpská vesnička Schneedorf V alpské vesničce Schneedorf si postavili malou vodní elektrárnu. Voda nejprve nateče do nádrže ve výšce 80 m nad Peltonovou turbínou a potom potrubím teče voda sobjemovýmprůtokem2,5m 3 s 1.Jakýjevýkonturbíny při zanedbání odporů, vzniklých prouděním? Řešení Vodavnádržimávyššípolohovouenergii E p = mgh oproti vstupu do turbíny, kde ji položíme nulovou. Změna polohové energie je pak rovna práci na roztoče- Obr.14Malávodní elektrárna níturbíny, W= E p.protože m= Q V t,kde Q V jeobjemovýprůtok,potom P= W t = Q Vtgh,poúpravěje P= Q t V gh=1000 2, W=2,0MW. Úlohy k samostatnému řešení 3 Úloha8 pavoučímuž Pavoučí muž je fantómem vysokých staveb šplhá po jejich stěnách. Zdolal i Eiffelovu věž. Kdyby se vyšplhal až nahoru do výšky 307 m, jakou mechanickouprácibymuselvykonatpřisvéhmotnosti70kg? Úloha9 čerpánívody Přišel tzv. přívalový liják a zaplnil sklep o rozměrech 8,0m 12,0mdovýšky80cm.Podlahasklepaje 1,80 m pod úrovní okolního terénu. Přivolaní hasiči Obr. 15 Eiffelovka vhodili do sklepa hadici a odčerpávali vodu čerpadlem s objemovým průtokem 240l min 1.Jakdlouhočerpánítrvalo,jakouprácičerpadlovykonaloajaký muselo mít průměrný výkon? 14

15 Úloha 10 přehradní hráz vodní elektrárny Jedna turbína v tepelné elektrárně mívá výkon 110 MW. Na horním Labi protékářečištěm11m 3 s 1.Prozlepšeníživotníhoprostředínavrhlikonstruktéři postavit přehradní hráz o výšce h, jež by umožnila instalaci vodní turbíny téhož výkonu. Jak vysoká by musela být hráz? 4 Pohybová energie Po vodorovné přímé silnici se pohybuje automobil o hmotnosti m stálou rychlostíovelikosti v 0,kdyžzačnepředjíždět. Přidáplyn,tj.naautomobilzačnepůsobittahovásílamotoruovelikosti F = ma,kdezrychleníovelikosti a= v v 0 způsobízměnuvelikostirychlostinadráze s= 1 t 2 (v+ v 0)t.Práce, nutná na zvýšení rychlosti, je dána vztahem W= Fs=m v v 0 1 t 2 (v+ v 0)t= 1 2 mv2 1 2 mv2 0. Veličinu E k = 1 2 mv2,kterávyjadřujepohybovýstavtělesaohmotnosti m vzhledem ke vztažné soustavě, k níž se pohybuje rychlostí o velikosti v, nazýváme pohybová(kinetická) energie. Příklad 11 předjíždění Automobilohmotnosti1200kgjedestálourychlostí90km h 1 povodorovnémúsekudálnice.kdyžzačnepředjíždět,dosáhnerychlosti126km h 1 za dobu20s.určete,jakdlouhýjeúseknutnýkzískánízvýšenérychlostiajakou práci je nutno vynaložit. Řešení Rychlostautomobilusezvýšízhodnoty v 1 =25m s 1 na v 2 =35m s 1, tedyo10m s 1 zadobu20s,zrychleníautomobiluje a=0,50m s 2.Tahová síla, nutná na zvýšení rychlosti(neuvažujeme-li odpor vzduchu ani žádné další odpory),je F = ma=600n,dráha s= 1 2 (v 1+ v 2 )t=600m.prácenutná prozvýšenírychlostije360000j.ktétohodnotějemožnodospětivýpočtem pomocípohybovýchenergií.napočátkumanévruje E k1 = 1 2 mv2 1 =375kJ, nakoncizrychlováníje E k2 = 1 2 mv2 2 =735kJ, W= E k=360kj. 15

16 Poznámka Problémem zůstává, že valivý odpor způsobený jízdou pneumatik po asfaltu se nezměnil, ale odporová síla, jíž vzduch působí na automobil, se podstatně zvětšila, takřka na dvojnásobek. To pochopitelně ovlivňuje výkon motoru automobilu. Příklad 12 rozjíždějící se cyklista Cyklistasezklidurozjíždítak,žeběhem25 szískárychlost45 km h 1 ; hmotnost cyklisty i s kolem je 80 kg. Jak se změnila pohybová energie cyklisty? Jakou práci musel cyklista vykonat při rozjíždění? Jaký výkon měl cyklista ve 2 3 rozjížděcídráhy? Řešení Napočátkumělcyklistapohybovouenergiinulovou(E k0 =0),nakoncirozjíždění E k = 1 2 mv2 = 6250 J.Přirozjížděnímuselvykonatpráci6250 J (neuvažujeme-li odpory působící proti pohybu). Tahovásílapůsobícínajízdníkolomávelikostdanouvztahem F = ma, kde a= v t =0,50m s 2,takže F =80 0,50N=40N.Výkoncyklistyna koncirozjížděníbyl P= F v=500w. Ve 2 3 dráhy,tj.při s 1= 2 3 s,vykonalcyklistapráci W 1= F s 1 = F 2 3 s,a tatopráceseprojevilazvýšenímpohybovéenergiena E k1 = 1 2 mv2 1.Obdobně přiabsolvovánícelédráhy sbylapohybováenergienakonci E k = 1 2 mv2. Můžeme tedy přehledně napsat: W 1 = F s 1 = F 2 3 s=1 2 mv2 1, W= F s= 1 2 mv2, Po vydělení první rovnice druhou dostaneme ( ) = v1 2 v v 1 = v 3. Podosazeníza v=12,5m s 1 je v 1 =10,21m s 1,výkon P 1 = F v 1 =408W. 16

17 Příklad13 kapkavody Zmrakuvevýšce800 mnadpovrchemzeměpadámalá kapkavodyohmotnosti m=0,15g.jakseměníjejípolohová energie? Jakou rychlostí by dopadla kapka na povrch Země, kdyby nebylo odporu vzduchu? Odpor je však rozhodující a ve skutečnosti dopadne tato kapka(co smetla Ferdu Mravencenajehoprvnícestě)rychlostí8m s 1.Jakoumá kapka pohybovou energii? Co způsobilo zmenšení pohybové energie? Obr.16Mrak Řešení Polohováenergiekapkyvody E p = mgh=0, J=1,2J. Zezákonůvolnéhopáduvevakuuvyplýváprorychlostdopaduvztah v 1 = = 2gh=126,5m s 1.Pohybováenergiedopadajícíkapkybymělatedybýt E k1 = 1 2 mv2 1 =1,2J.Veskutečnostijevšak E k = 1 2 0, J= =4, J,tj.250-krátmenší,cožjezpůsobenoodporemvzduchu. Poznámka Často při řešení problémů ve fyzice odpor vzduchu, popř. valivý odpor či smykové tření zanedbáváme. Zde však vidíme, že řešení úloh ve zjednodušeném modelu nemusí dávat reálné výsledky. Úlohy k samostatnému řešení 4 Úloha 11 přistání letadla Přistávající letadlo má hmotnost 120 t a na ranvej dosednepřirychlosti240km h 1.Pakmátrasu 1200m 2000mnazabrzdění.Kdybydocházelo k ideálnímu brzdění stálou brzdicí silou, určete tuto sílu i zpomalení letadla na ranveji. Obr. 17 Přistávající letadlo Úloha 12 cyklista Cyklistaocelkovéhmotnosti80kgiskolemsenadráze60mrozjíždíúčinkem tahovésíly50n.jakérychlostibydosáhl?veskutečnostijevšaktahovásíla zmenšenavalivýmodporematřenímvložiskácho24n.jaktovypadányní s rychlostí? 17

18 Úloha13 kosmickáloď r a Hmotnostkosmickélodisposádkouje6,4tapohybuje se kolem Země po eliptické trajektorii, pro kte- r p rou zavádíme názvy rychlost lodi v přízemí(perigeu) v p arychlostlodivodzemí(apogeu) v a. Obr. 18 Kosmická loď VzdálenostperigeaodstředuZeměje r p,apogea r a =2r p.podle2.keplerova zákonaje r p v p = r a v a,rychlostkosmickélodiseměníběhemletupoeliptické trajektorii.zvolme r p =6600km,potom r a =2r p =13200km.Jakýjepoměr pohybových energií kosmické lodi? 5 Zákon o zachování mechanické energie Přivolnémpádumíčkuzbalkónuve12.patřesesčasemzmenšujejehovýška, atedyijehopolohováenergie E p = mgh,současněsezvětšujevelikostjeho rychlosti,atedyipohybováenergie E k = 1 2 mv2.obecnálidskázkušenost, ale také i přesná měření dávají tyto změny do vzájemné souvislosti. V případě volného pádu se ukazuje(tj. neuvažujeme odporové síly proti pohybu), že tyto změny jsou stejné: zmenšení polohové energie způsobuje stejnou změnu energie pohybové,tj.vyjádřenomatematicky E k = E p,neuvažujeme-liznaménko. Poodrazuodbetonovédeskyzměnímíčeksměrrychlostio180 (abohužel i velikost) za jistých podmínek a začne stoupat vzhůru, změny jsou pak opačné s potřebným zvětšováním výšky dochází ke zmenšování rychlosti. Změnupohybovéenergiezapisujeme E k = 1 2 mv mv2 1,změnapolohové energie E p = mgh 2 mgh 1.Potom,vyjádřenopřesněji, E k = E p,tedy 1 2 mv mv2 1 = (mgh 2 mgh 1 )= mgh 2 + mgh 1. Po úpravě 1 2 mv2 1+ mgh 1 = 1 2 mv2 2+ mgh 2. Tento závěr můžeme také vyjádřit slovně: za jistých podmínek je součet pohybové a polohové energie, tj. mechanické energie tělesa, konstantní. Podívejme senyníještěblíženavolnýpádtělesazvýšky h. Příklad14 volnýpád Zbalkónuvedvanáctémpatřeseuvolnilkolíčeknaprádloohmotnosti25g azvýšky36mzačalpadatdolů.jakseměnilapolohová,pohybováicelková 18

19 mechanická energie kolíčku? Řešení x h x h=36m: E p = mgh; E k =0; E p + E k = mgh h x: E p = mg(h x); E k = 1 2 m( 2gx ) 2 = mgx; E p + E k = mgh h=0: E p =0; E k = 1 2 m( 2gh ) 2 = mgh; Ep + E k = mgh Obr. 19 Volný pád kolíčku Prokonkrétníhodnoty:nahoře E p =0, J=9,0J,dole v= 2hg= =26,8m s 1, E k = 1 2 0,025 26,82 J=9,0J. Bohužel kolíček bude asi citelně brzděn odporovou silou, takže v reálné situaci rovnost energií platit nebude. Poznámka Mnoholidítvrdí(adokoncejetonázormeziučiteli),žekdyž E 1 = E p +0= = E p vhornípolozeae 2 =0+E k = E k vdolnípolozeajdeostejnouhodnotu, pakdošlo kpřeměněpolohovéenergienaenergiikinetickou.vnašempojetí je však energie fyzikální veličina, a ta má určitou hodnotu. Energie se tedy nepřeměnila, ale při volném pádu se polohová energie zmenšuje a pohybová energie zvětšuje, avšak jejich součet má stálou hodnotu. To bychom rovněž mohlitvrdit,ževýškanadterénemseměnínarychlostkolíčkunebovpřípadě vrhu,senapětívpryžiměnínarychlostkamene,popř.vevzduchovcesetlak vzduchu mění na rychlost broku. Ponechme tedy pojmu energie jeho původní význam: jde o stavovou veličinu, která v mechanice vyjadřuje polohový nebo pohybový stav tělesa vzhledem k určité soustavě. Příklad15 sportovecskáčedovody Jsouskokydovodynebezpečné?Skokanskáče ponohách (obr.20)dovody zmůstkuovýšce3m,5m,10mnadhladinouvody.jakpřiskoku ponohách takipřiskoku šipkou pružnéprknovymrštískokanaponěkudkupředu vzhůru,takžejehotěžištěsedostanedovýškyo1,2mvětšínežjeuvedenávýška prkna můstku nad hladinou vody v klidovém stavu. Jakou rychlostí dopadne nahladinu?změnísetatorychlost,kdyžskáče šipkou (obr.21)? 19

20 Obr.20Skok ponohách Obr.21Skok šipkou Řešení Vzhledemkodrazusemusívoboupřípadechpočítatsvýškoutěžištěo1,2m vyšší výškyjsou4,2m;6,2ma11,2m.naprkněmůstkumáskokanvzhledem khladiněvodypolohovouenergii E p = mghapohybovouenergiinulovou. V okamžiku, kdy se dotýká nohama či rukama hladiny, jeho pohybová energie jerovna E k = 1 2 mv2,polohováenergiejenulová.napíšemezákonozachování mechanické energie mgh+0= mv2, odtud v= 2gh. Podosazenívychází v 3 = 9,2 m s 1 = 33 km h 1 ; v 5 = 11,1 m s 1 = =40km h 1 ; v 10 =15,0m s 1 =54km h 1. V okamžiku dotyku hladiny se voda rozestoupí a zmírňuje dopad, brzdí pohyb jednak hydrostatickou vztlakovou silou, jednak viskozitou. Kdyby sportovec dopadl na betonové okolí můstku, jeho dopadová rychlost by sice byla stejná, ale důsledky strašné. Podle zákona o zachování mechanické energie bude rychlost dopadu skokana mít v obou případech stejnou velikost. 20

21 Příklad 16 vrcholový sportovec Vrcholový sportovec stojí na vodorovném hřištiajehotěžištějevevýšce1,1mnad zemí.pakserozběhneaskočípřeslaťkutak, žejehotěžištěstoupneaždovýšky2,5 m nad zemí. Jakou minimální rychlostí se musí odrazit? Obr. 22 Skok do výšky Řešení Sportovecmusízvýšitpolohutěžiště zvýšky h=1,1mdovýšky h 2 =2,5m, tedyo1,4m.jehopolohováenergiebylapůvodně E p1 = mgh 1,připřeskoku E p2 = mgh 2.Vesvislémsměrumusípřijednomodrazuzískatpohybovou energii E k1 = 1 2 mv2,připřeskokusevesvislémsměruskokantéměřzastaví (má jen malou vodorovnou složku rychlosti). Platí zčehož mgh mv2 = mgh 2, v= 2g h=5,3m s 1 =19,0km h 1. Poznámka Všimněte si, že se tedy žádná energie nepřeměňuje, ale pohybová energie sesnížilanaminimum,adíkytomusepolohováenergie,atedyivýškatěžiště sportovce mohla zvýšit. Příklad 17 sportovec na kruhách Vtělocvičněsenakruháchhoupesportovectak,žejehotěžištěsenacházívevzdálenosti6,0modupevněníkruhůke stropu. Když sportovec prochází rovnovážnou polohou, těžištěsportovcejevevýšce h 2 =1,5mnadpodlahou.Když se sportovec dostane do krajní polohy, je výška jeho těžiště vevýšce h 1 =2,5mnadpodlahou.Určete,jakourychlostí prochází těžiště tohoto sportovce rovnovážnou polohou při zanedbání odporových sil. Řešení Probodyobratujevýškatěžiště h 1 =2,5marychlosttěžiště je nulová. Při průchodu rovnovážnou polohou je výška těžiště h 2 =1,5mavelikostrychlostitěžištěoznačíme v. Obr. 23 Kruhy 21

22 Pro polohové a pohybové energie bude platit mgh 1 +0=mgh mv2, odtud v= 2g h= 2g(h 1 h 2 ). Podosazení v =4,5m s. 1 =16,2km h 1. Při průchodu rovnovážnou polohou se z kruhů seskakovat nemá. Po dopadu na podlahu tělocvičny se nohy zastaví a těžiště se touto rychlostí chce pohybovat setrvačností dále. Úlohy k samostatnému řešení 5 Úloha14 tobogan Na koupališti je instalován tobogan. Jeho výška nadvodníhladinouje15madélkadráhydosahuje75m.pokusteseurčitsklondráhykvodorovnému směru. Nezodpovědný mladík si přinesl skateboard a pokoušel se sjet po toboganu dolů(jdeopřípad,žesetřeníminimalizujea třecí síla je nulová). Všichni ostatní si sedli na zadníčástsvéhotělaavseděčivležesjíždějíza spoluúčasti tření takřka rovnoměrným pohybem (poustálení)stálourychlostí1,0m s 1.Určete rychlost skateboardisty. Obr. 24 Tobogan Úloha15 panelovýdům Jakvysokýjepanelovýdůmsrovnoustřechou,kdyžna něj chlapec dokáže vyhodit míček, který získal počáteční rychlost15m s 1?Míčekopouštírukuchlapcevevýšce 1,8mnadzemí. Obr.25Hod Úloha 16 brzdění automobilu Automobilohmotnosti1200kgjedepodálnicistálourychlostí126km h 1. V dálce zpozoroval řidič benzínovou pumpu a začal brzdit stálou silou o velikosti 2000N.Zajakdlouhoanajakédrázedokážezabrzdit?Pročseasispředstihem umisťují informační značky u vozovky? 22

23 Úloha 17 ohňostroj Při ohňostroji vyletí raketa do určité výšky, kde se rozprskne na všechny strany. Předpokládejme, že rozprsknutí nastane v nejvyšším bodě dráhy rakety, která se ve svislém směru již nepohybuje a vodorovná složka je minimální. Určete, jakou rychlostí by jednotlivé části dopadly na povrch země při zanedbání odporových sil. Obr. 26 Ohňostroj 6 Úlohyopohybu,řešenépomocíZZE Do této kapitoly jsme zařadili několik problémů, jejichž řešení s využitím Newtonova pohybového zákona či jen se základy kinematiky činí řadu potíží, zatímco energetický postup je velmi jednoduchý. Také styl této kapitoly bude poněkud jiný: uvádíme obecné řešení naznačených problémů a doplňujeme je úlohami pro samostatné řešení. a) Určení síly nutné ke zvýšení rychlosti. Automobil o hmotnosti m se pohybuje stálou rychlostív1 po přímé vodorovné silnici a poté, co urazil dráhu s, se jeho rychlost zvýšila nav2. Nebudeme-li uvažovat změny odporovýchsil,potomnadráze s se změnila pohybová energie vozidlazhodnoty 1 2 mv2 1 na1 2 mv2 2 účinkem sílyf, která konala na dráze spráci W= F s. Obr.27Rozjížděníautomobilu Potom F s= 1 2 mv mv2 1 aodtudhledanásíla F=m 2s (v2 2 v2 1 ). b)jakámusíbýtbrzdnásílaf,abysenadráze ssnížilavelikostrychlosti v 1 nahodnotu v 2 (v 2 < v 1 )? Problém lze řešit stejně, výslednárovnice F s= 1 2 mv mv2 1 ukazuje,žesílavychází záporně,tj.jdeosílusměřující proti směru pohybu. Obr. 28 Brzdění automobilu 23

24 c) Jaká síla působí při zrychlování letadlazklidu v 1 =0narychlostovelikosti v 2 naranvejinadráze s?problémřešíme pro v 1 =0,tedy F= m 2s v2 2. Obr.29Startletadla d) Jakou silou musí působit motor vozidla, aby se nejen rychlost zvyšovala, ale vozovka má přitom stoupání p = sinα = h s?sílapůsobící na vozidlo změní jednak energiipohybovou E k = 1 2 m(v2 2 v2 1 ), dále také zvýší energii polohovou E p = mgh,kde h=s p.potom Obr.30Autojedoucídokopce F s= 1 2 mv mv2 1 + mgsp, F= m 2s (v2 2 v2 1 )+mgp. e) Při prostřelování prkna o tloušťce d působí nastřeluohmotnosti mstáláodporovásílaf. Přitomserychloststřelysnížízhodnoty v 1 na hodnotu v 2.Provelikostodporovésíly Fplatí zčehož F d= 1 2 mv mv2 1, F= m 2d (v2 2 v2 1 ). m v1 v2 Obr. 31 Střela Protože v 2 < v 1,jdeosílusměřujícíprotipohybustřely.Známe-listřední odporovou sílu působící proti pohybu střely, můžeme určit i vzdálenost x, do níž se střela dostane v případě, že prkno nebude prostřeleno. Potom neboli lépe x= m 2F (v2 2 v2 1 )(Pozor,síla F <0), x= m 2F (v2 1 v2 2 ). Největšívzdálenostje d,přičemž v 2 =0.Tímmůžemeurčitminimálnírychlost střely, nutnou k prostřelení prkna: 2Fd v min = m. 24

25 f) Určete rychlost kuličky matematického kyvadla o hmotnosti m, kterou vychýlíme do výšky h nad rovnovážnou polohu popř. tak, že vlákno svírá se svislým směrem úhel α(obr. 32). Vkrajnípolozemákuličkavýšku h,tedy E p1 = mgh,a rychlostnulovou,tj. E k1 =0.Kdyžsekuličkadostane zpětdorovnovážnépolohy,je E p2 =0, E k2 = 1 α 2 mv2. Podle zákona o zachování mechanické energie 0+mgh= 1 2 mv2 x + mgx, atedy v x = 2g(h x). Odtudvšakplyne,žepolohukuličkyjenutnoomezitna x h. m m h Obr. 32 Matematické kyvadlo g)rychlostdopadu v 1 tělesaohmotnosti msnulovoupočátečnírychlostízvýšky h 1 (volnýpád),určíme ze vztahu mgh 1 +0= mv2 1, zčehož v 1 = 2gh 1. Budeme-livýšky h 1, h 2 (vizobr.33)měřitodpovrchu země,amístodopadubudemítvýšku h 2 nadpovrchem země, platí m h 1 v 2 =? h 2 v 1 =? Obr.33Volnýpád zčehož mgh 1 +0=mgh mv2 2, v 2 = 2g(h 1 h 2 ). h) Těleso o hmotnosti m bylo odpáleno svislým směrem vzhůrurychlostív0vevýšce h 1 (vrhsvislevzhůru). Počátečnímechanickáenergietělesaje E 0 = mgh mv2 0, vnejvyššípolozemátělesomechanickouenergii E 1 = mgh max, vevýšce h 2 mátělesomechanickouenergii E 2 = mgh mv2 2. Ze zákona o zachování mechanické energie vyplývá, že E 0 = E 1 = E 2. Zrovnosti E 0 = E 1 vyplývá m v0 h 1 Obr.34Vrh svisle vzhůru mgh max = 1 2 mv2 0+ mgh 1,zčehož h max = v2 0 2g + h 1. 25

26 Případnězrovnosti E 2 = E 0 vyplývá,že mgh mv2 2= mgh mv2 0,zčehož v 2 = v0 2+2g(h 1 h 2 )= v0 2 2g(h 2 h 1 ). i) Stejné vztahy platí i pro vrh vodorovný. Počátečnímechanickáenergieje mgh mv2 0,mechanickáenergiepřidopaduje mv2,mechanickáenergie v0 m h 1 vevýšce h 2 je mgh mv2 2. Opět ze zákona o zachování mechanické energie určíme velikost dopadové rychlosti 1 2 mv2 = mgh mv2 0,tedy v= v gh 1, případněmůžemetakéurčitvelikostrychlosti v 2 vevýšce h 2 nadpovrchem země, tj. 1 2 mv2 2+ mgh 2 = 1 2 mv2 0+ mgh 1,zčehož v 2 = v g(h 1 h 2 ). Úlohy k samostatnému řešení 6 Úloha18 brzděnípředznačkouobce Obr.35Vrhvodorovný Automobilohmotnosti1000kgjedeposilnici mimo uzavřenou obec stálou rychlostí 90 km h 1, v obci je povolena rychlost 50km h 1.Přibrzděnísevyvinestálásíla 1000 N. Jak daleko před značkou místního označení musí řidič začít brzdit? Obr. 36 Auto vjíždějící do obce Úloha19 cihlynastavbě Předpokládejme, že hmotnost cihly je 6,0 kg. Cihly potřebné při stavbě druhého podlaží podává nejprve jeden pomocník tak, že ze země vyhodí cihlu do patra výšky4,0m,odtuddruhýdodruhéhopatradovýšky3,0m.pracovníkcihlu přijímající vždy počká na okamžik, kdy má cihla nejmenší rychlost. Určete rychlost, kterou cihla opouští ruku(prvního i druhého pracovníka). 26

27 Úloha20 ruskékuželky Ruskékuželkyjespolečenskáhra,přinížsez daného prostoru vyrážejísestavenékuželky pomocí koule, upevněné na lanku(obr. 37). Kouleseuvádídopohybutak,žesepřinapjatémlankuodélce240cm(měřímeodmísta závěsudostředukoule)vychýlílankooúhel α (koule se zvedne tak, že se její těžiště přemístí o výšku h oproti původní rovnovážné poloze) a následně uvolní. Při neopatrné manipulaci byla koule uvolněna předčasně a při průchodu rovnovážnou polohou narazila do holenní kosti instruktora. Jaká byla rychlost setkání, bylo-li h=80cm?jakýúhelsvíralakoulesesvislou polohou,je-li l=2,4m? Obr. 37 ruské kuželky Úloha 21 startující airbus Airbusohmotnosti360tmůženazastavení využít ranveje o délce nejvýše 2,0km,přičemžrychlost,přinížseodpoutá od zemského povrchu, dosahuje 270až324km h 1.Jakounejmenšítahovou sílu musí motory vyvinout? Obr. 38 Startující airbus Úloha22 neopatrýmyč 2 Při mytí oken a průhledných ploch vysokých domů se používá plošina, která je zavěšena na lanech.neopatrnýmyčupustilvevýšce38mnad terénem plastovou nádobku s ironem o hmotnosti přibližně 0,50 kg. Jak velkou rychlostí nádobka dopadla na zem a jaká byla její kinetická energie? Obr.39Mytíoken 2 Mužumývajícíoknaaprůhlednéplochyvysokýchdomů. 27

28 Úloha23 golfovýmíček Přihřeodpálilgolfistamíčekrychlostí30m s 1 šikmo vzhůru.míčekstoupalnejprvevzhůruapakaždookamžikudopaduzpětna green (trávník)klesal.největší dosaženávýškabyla25m.jakérychlostivtétovýšce míčekdosáhl,jakdlouhobylvevzduchuavjakévzdálenosti dopadl na trávník? Obr. 40 Golfový míček 7 Komplexní úlohy Nyní obrátíme pozornost na několik obtížnějších problémů, při jejichž řešení můžeme využít zákona o zachování mechanické energie. Nejprve musíme doplnit naše poznatky. Příklad 18 klukovská zbraň: prak Mechanická energie souvisí i s jevy pružnosti. Ve starších klukovských knížkáchseněkdypíšeo praku.tato klukovskázbraň(obr.41)seskládázdřevěnéčásti(1),uníž je připojeno pryžové vlákno(2), v jehož polovině býval umístěnkousekkůže(3),donížsevkládalkámen. 3 Přinapínání vláknabylotřebavykonatpráci W,vláknobylovnapjatém stavu, který popisuje tzv. elastická energie (energie pružnosti). Odhadněte velikost rychlosti, s jakou může být pomocí praku vystřelen kámen. Obr. 41 Prak Řešení Při napínání vlákna silouftato síla způsobuje prodloužení x. Experimentálně je možno zjistit, že velikost napínací síly F rovnoměrněrostesprodloužením x,tj. F= kx (toto platí při pružných deformacích). Nejprve vlákno trochu napneme, při prodloužení x 1 platí F 1 = kx 1.Pakpokračujemevnapínánítak,že F 2 = kx 2. F 2 F F 1 W x O x 1 x 2 Obr. 42 Napínání vlákna 3 Někdysepřímonavlákněumísťovalypapírovénebokovové skobičky. 28

29 Práci vykonanou při napínání pak určíme jako obsah plochy znázorněné na obr.42,tj. W= 1 2 (F 1+ F 2 )(x 2 x 1 )= 1 2 k(x 2+ x 1 )(x 2 x 1 )= 1 2 kx kx2 1. Veličinu 1 2 kx2 označíme E el = 1 2 kx2,jdeoenergiipružnostivlákna. Při střelbě prakem vložíme kámen do místa 3 a vlákno natáhneme. Délky levéipravéčástipryžovéhovláknajsou l 0,poprodloužení l 0 +x,takžeenergie pružnosti E el =2 1 2 kx2 = kx 2.Zezákonaozachovánímechanickéenergiena počátku E 1 = kx 2 +0.Poté,coprakukončízrychlováníkamene,dostaneme E 0 = mv2.zrovnosti E 1 = E 2 dostaneme kx 2 = 1 2 mv2,zčehož 2k v= m x. Předpokládejme, že silou 20 N prodloužíme pryžové vlákno o 12 cm, tj. k= F x =167N m 1.Potomkamenuohmotnosti100gudělíprakrychlost v= 0,1 x=57,8 x. Při prodloužení vlákna o dvakrát 0,1 m(na každé straně), bude kámen vystřelenzprakurychlostíovelikosti v=18,3m s 1. Poznámka Víceinformacíokonstrukciaprácisprakemjemožnonaléztnapř.na Při manipulaci s prakem je však třeba si uvědomit,žetatozbraňjenebezpečnáprookolíažejetřebadodržovatbezpečnostní předpisy, abychom touto zbraní neohrožovali své okolí. Příklad19 lanovolněvisícípřeskladku Lanoohmotnosti madélce ljevolněpřehozenopřesmalou kladku, jejíž rotační pohyb(a tedy i kinetickou energii) nebudeme uvažovat. Lano je v rovnovážné poloze, když na každé straně kladky visí jeho polovina. Za jeden konec lana zatáhneme, tím dojde k porušení rovnováhy na jedné ( l 2 + x ),nadruhé straně kladky bude viset lano o délce ( ) l straně 2 x.vdůsledkutohoselanozačnepohybovat. Určete, jakou rychlostí opustí lano kladku. Obr. 43 Kladka 29

30 Řešení Při pohybu lana se původní poloha jeho těžištězměnízpolohy T 1 na T 2 (obr.44). Referenční polohu budeme vztahovat k ose kladky. Počáteční polohová energie lana sezměnína E p1 = mg l 4 E p2 = mg l 2. Počáteční pohybová energie lana je E k1 =0, na konci bude mít lano pohybovou energii E k2 = 1 2 mv2. Podle zákona o zachování mechanické energie platí mg l 4 +0=1 2 mv2 mg l 2. l 2 T 1 l 2 T 2 Obr.44Pohyblananakladce Tuto rovnici dále upravíme na tvar 1 2 mv2 = mg l 4, pak vyjádříme velikost rychlosti v, kterou lano opouští kladku. Dostaneme 1 v= 2 gl. Poznámka 1 V tomto modelu jsme neuvažovali odporové síly. Je zřejmé, že uvážíme-li odporovésílyarotačnípohybkladky,potomskutečnávelikostrychlosti v s < v. l Poznámka 2 Energetické řešení dané úlohy je přístupné našemu čtenáři, ovšem řešení na základě pohybových zákonů vede k nutnosti znát základy vyšší matematiky. 30

31 Příklad 20 adrenalinové lyžování Při adrenalinovémlyžování selyžař (obr. 45), hazardující se svým zdravím a životem, rozjíždí z malého svahu, který je ukončen krátkou vodorovnou plošinkou (obr.46). Pod ní je velmi strmý sráz, který budeme modelovat prudkým svahem. Po rozjezdu dosáhne lyžař na hraněplošinkyrychlosti8,0m s 1 ana svahdopadnevhloubce16mpodplošinkou. Určete rychlost dopadu lyžaře a vzdálenost místa dopadu od okraje plošinky. Zamysletesenadtímapokustesevysvětlit, proč je adrenalinové lyžování zdraví a životu nebezpečné. Obr. 45 Adrenalinové lyžování Obr.46Skokzesrázu Řešení Vztažnou soustavu spojíme s okrajem plošinky(obr.47).naokrajiplošinkymályžař kinetickou a potenciální energii danou níže uvedenými vztahy: E p1 =0; E k1 = 1 2 mv2 0. O h 0 =16mnížepakbude E p2 = mgh 0 ; E k2 = 1 2 mv2. Podle zákona o zachování mechanické energie bude platit E k1 + E p1 = E k2 + E p2. Obr.47Dopadzesrázu Po dosazení níže výše uvedených vztahů pro jednotlivé energie, dostaneme 1 2 mv2 0 =1 2 mv2 mgh 0, 31