Proužkové mapování matic na procesory. Týden 11. Maticové výpočty a aplikace. Úlohy ze zpracování signálů a obrazů.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Proužkové mapování matic na procesory. Týden 11. Maticové výpočty a aplikace. Úlohy ze zpracování signálů a obrazů."

Transkript

1 Proužkové mapování matic na procesory Týden. Maticové výpočty a aplikace. Úlohy ze zpracování signálů a obrazů. P procesorů s indey,,..., P- (virtuální lineární pole) matice m řádků, n sloupců; k řádků (sloupců) v bloku. řádkové. sloupcové cykl po blocích ma. velikosti k = m/p nebo k = n/p, k cyklicky po blocích (k mezi a ma) cyklicky po řádcích nebo sloupcích, tj.po blocích min. velikosti (k = ) normální reverzované Šachovnicové mapování matic na procesory P procesorů s indey,,..., P-, virtuální mřížka matice: m řádků, n sloupců P a. cykl po blocích ma. velikosti (m/ P) (n/ P) b. cyklicky po blocích [k řádků, k sloupců na blok] c. cyklicky po blocích min. velikosti (po prvcích) P CPU: Transpozice matice n n (MP, proužky) nic se nepočítá, čistě komunikační záležitost každá CPU má n/p řádků výchozí matice transponuje P submatic velikosti n/p n/p, z nich P- pošle jiným CPU (komunikace AAS) a submatici na diagonále si ponechá doma CPU: P = P = Transpozice matice na svazku (COW, proužky) Transpozice na SF hyperkostce, P/ kroků Každá CPU má blok n/p po sobě jdoucích řádků (lze na ně pohlížet jako na P submatic [ i ] velikosti n/p n/p. AAS: P- kroků, v každém kroku permutační směrování, aby nedošlo k tlačenici v multiportovém přepínači SW řetězení: překryj transpozici následující submatice s odesíláním právě transponované submatice:. Transponuj submatici (myid)mod P. Cykl (P-)- krát, h =,,,P transponuj submatici (myidh)mod P paralelně s odesíláním předchozí submatice (myidh-)mod P (transponovaná submatice (myid) se nikam neodesílá) krok krok krok krok RA T AAS = ( P / )( ts mtw) Plán přesunů: co -kdy-kam RA dimenze krok Relativní adresa zprávy RA = src dst do směru dim se ve fázi krok posílá submatice s indeem myid XOR RA[krok][dim]

2 Transpozice matice n n (proužky) ve SM nic se nepočítá, čistě přemisťovací záležitost každá CPU transponuje svoje řádkové submatice (v cache), pak je zapíše jako sloupcové submatice do paměti; po bariéře si načte nové řádkové submatice ; minimalizovat počet výpadků! celkem se po sběrnici přesune sekvenčně P (P-) submatic; CPU: P = CPU: P = Násobení matic C = A B na D-T (šachovnice) akumulací součinů zkřivených a rotovaných matic A, B. Cannonův algoritmus používá rozčlenění A a B do P P čtvercových submatic a pak jejich zkřivení (skewing). zkřivení podél.osy: -. osy: a b c A = d e f A() = d b i, A( ) g h i g e c Atmp = A (-) ; Btmp = B () ; C = ; inicializace for (i=;i<= P;i) { C=CAtmp*Btmp; maticový součin stejnolehlých submatic!! Atmp = rotace(atmp ve. ose); submatice Btmp = rotace(btmp v. ose); submatice a h f a = e f i b g c d h Faktorizace A = L U A L U Použití: Řešení systému lin. rovnic pro mnoho pravých stran b (Jiná možnost by byla vypočítat inverzní matici A - ). - Cíl: řešit A = LU = b pro. - To lze provést ve dvou snadných krocích: řešit Ly = b pro y (dopředná substituce) řešit U = y pro (zpětná substituce). lze uložit do A (místo A) Postup faktorizace A = L U - Gaussova eliminace (= transformace A na matici U) - Matice L má na hlavní diagonále jedničky, nad ní nuly a prvky pod hlavní diagonálou jsou koeficienty, kterými byl násoben pivot. řádek L[i,k]=A[i,k]/A[k,k] i=k,k,...,n - je-li pivotní prvek nula, došlo by k přetečení; je-li blízký nule, mohlo by dojít k numerické nestabilitě. Proto se vyměňují řádky matice A tak, aby se na diagonálu dostal prvek s největší abs. hodnotou ve sloupci a stal se pivotním (tzv. partial pivoting). V kroku k bude pivot prvek A[i[k],k]. Možnosti paralelního postupu: každý proces vybere maimum ve svém proužku a aktualizuje svou kopii pivotních indeů i. Bez bariéry. jeden proces vybere globální maimum a přehodí řádky; bariéra nutná. každý proces vybere maimum ze své části, pak společně globální maimum; bariéra nutná, privátní kopie i. Sekvenční výměna řádků (partial pivoting) double A[:n,:n],LU [:n,:n],pivot, pivotrow,mult; int i[:n],t; # inicializuj i[i]=i, LU[i,j]=A[i,j]; # proveď přehození řádků před Gaussovou eliminací: for [k= to n-] { # iteruj dolů podél hlavní diagonály pivot = abs(lu[i[k],k]; #vyber prvek na diagonále ve sloupci k for [i=k to n] { if (abs(lu[i[i],k])>pivot) { # je-li pod ním větší prvek pivot=abs(lu[i[i],k]); pivotrow = i; #vezmi ten if (pivotrow!=k) {#došlo-li k výměně, vyměň i indey ve vektoru i t = i[k]; i[k]=i[pivotrow]; i[pivotrow]=t; pivot=lu[i[k],k]; #skutečná hodnota pivotního prvku v kroku k Schema programu SV pro dekompozici LU double A[:n,:n],LU [:n,:n]; #A je již inicializována int i[:n]; # vektor indeů pivotních řádků process worker (w= to P) { double pivot, mult; deklarace dalších lokálních proměnných jako např. privátní kopie i; for [i=w to n by P] #řádky cyklicky procesorům kvůli stejné zátěži inicializuj i a svoje proužky LU; barrier(w); # proveď Gaussovu eliminaci (řádky již přeházeny) for [k= to n-] { #pro všechny řádky submatice mult= LU[i[i],k]/pivot; # vypočítej násobící koeficient LU[i[i],k]=mult; # a ulož jej jako prvek matice L for [j=k to n] # odečítej násobkek pivotního řádku: LU[i[i],j]=LU[i[i],j]-mult*LU[i[k],j]; barrier(w);

3 Úlohy ze zpracování signálů a obrazů Paralelizace umělých neuronových sítí (ANN) jednorozměrná rychlá Fourierova transformace D-FFT D -FFT Vyhlazování, zostření, potlačení šumu; Detekce hran (Sobelův a Laplaceův operátor, CNN) Výpočetní požadavky u zpracování obrazů: pimapa pielů, bitů na piel; paměťová kapacita byte = Mbyte; operací/snímek, tj. ms při trvání jedné operace ns; provoz v RT vyžaduje - snímků/s, tj. - ms/snímek; za dobu snímku musí být zpracovány všechny piely; často složité operace pro každý piel. Paralelní implementace ANN - případová studie Zadání: Paralelní implementace umělých neuronových sítí pro vestavěné aplikace a práci v RT Řešení by mělo zodpovědět otázky: Jako alternativa k neuronovým čipům, je paralelní implementace levnější? snadněji aplikovatelná? výkonnější? Když paralelní implementace, tak která architektura, DM-MP nebo SM se sběrnicí? DSP SHARC CPU je vhodný pro obě řešení. Paralelní implementace ANN Rozčlenění třívrstvé ANN ADSP- SHARC by AMD SM w [ nhn, nin ] w [ non, nhn ] - t - t in [] - t out[] - t out [] in [] out[] out [] MB/s MB/s in [ nin - ] Implementace MP - jen fáze vybavování WHILE TRUE SEQ. Rozhlášení (OAB) vstupního vektoru z uzlu id =. Vypočti výstupní hodnoty přidělených skrytých neuronů (násobení matice vah vektorem aktivací, = a w aw... an wn aw potom funkce ep a dělení) f ( ) = ep( ). AAB, všichni dostanou všechny hodnoty výstupů skrytých neuronů. Vypočti přidělené výstupy. Posbírej výstupní vektor (AOG) v uzlu id =. SW řetězení čas k- k k OAB HID OAB AAB HID OAB OUT AAB HID OAB OAG OUT AAB HID OAB OAG OUT AAB HID OAB OAG OUT AAB HID OAB OAG OUT AAB HID OAG OUT AAB OAG OUT OAG

4 Paralelní implementace se SM WHILE TRUE SEQ. Pouze řídicí CPU: získej nový vstupní vektor ze vstupního buferu do SM; bariéra;. Všichni: načti vstupní hodnoty ze SM; vypočti hodnoty na výstupech přidělených skrytých neuronů; bariéra;. Všichni: čti hodnoty výstupů skrytých neuronů ze SM; vypočti přidělené výstupy; bariéra;. Pouze řídicí CPU: dej výstupní vektor ze SM do výstupního buferu; bariéra; Paralelní implementace se SM - pokrač. Předpoklady: velikost bloku cache byte, data: stačí přesnost REAL výpadek čtení každých načtených čísel u prvků - vstupního vektoru (všechny CPU), - skrytého vektoru (všechny CPUs) nebo - výstupního vektoru (pouze řídicí CPU) pokud není podporován předvýběr dat v HW (IA-) nebo SW operace write back není potřeba, zapisuje se stále do stejných bloků cache (mění se pouze stav z ekluzivního na sdílený). Vstupní a skrytý vektor (kromě přidělené sekce) se jen čtou, takže se nemusí odsunovat do SM, pouze se přepisují. předpokládáme, že matice vah jsou rezidentní ve všech uzlech (např. v privátních ROM), přístup k vahám v taktu. Výsledky a závěry Výsledky a závěry - pokrač. DM small DM medium E [%] DM large SM small SM medium SM large number of processors Speedup DM small DM medium DM large SM small SM medium SM large number of processors Závěry simulované ANN: malé - - střední - - velké - - MP se SW řetězením předčí implementaci SM Nejlepší topologie pro implementaci DM-MP - úplné propojení do P = procesorů - hyperkostka pro P =,,, - jinak kruhová topologie, P =,,,,,, Nepravidelná topologie AMP (A Minimum Path) s tabulkovým směrováním vykazuje horší výkonnost. Příklad: výkonnost paralelní FFT n-bodová Diskrétní Fourierova Transformace je def. jako součin komplení matice W n [n, n] = w n (j,k) a kompleního vektoru [n,]: n n πijk y = W n, y j = wn ( j, k) k = k ep k = k = n kde w n (j,k) jsou tzv. otáčecí činitelé (twiddle factors), jinak též komplení kořeny rovnice n = w n (j,k) = ep (- ijkπ/n ) = (cos π/n - i sin π/n) jk, i = -, j, k =,,, n-. Složitost přímého výpočtu je n aritmetických operací (součin a akumulace dvou kompleních čísel).

5 n-bodová Diskrétní Fourierova Transformace Příklady transformačních matic : jk (mod ) W = W - Algoritmus FFT využívá symetrii matice a opakující se hodnoty W e (-iπ/) - -e (-iπ/) - - -e (-iπ/) - e (-iπ/) Rychlá Fourierova transformace FFT (n = ) = algoritmus výpočtu DFT e -iπ/ - y =( )( ) y =( - )i ( - ) y =( ) ( ) y = ( - ) i ( - ) Stačí operací ± a operace * (obecně komplení) Přímý výpočet: operací ± a operací * FFT symbolicky (n = ) Rychlá Fourierova transformace FFT (n = ) reverzace adres vstupů e -ijkπ/n - j*k y y y y = Počet motýlků: n log n = operace motýlek j*k j*k y y y y y y y y n log n -krát reverzace adres vstupů FFT (n = ), uspořádání motýlků Zisk při použití n-bodové FFT Složitost FFT: log n stupňů výpočtu, n operací ± n operací * v každém stupni (obecně kompleních) O(n log n). přeskládání vstupní nebo výstupní posloupnosti: n log n kroků jako řazení. n n log n n Násobení matice vektorem podle definice DFT: O(n )

6 Motýlkové operace n-bodová paralelní FFT, n= q, P dělí n c id DIT e if w n (j,k) = u iv - C id E if C = c ue - vf D = d uf ve E = c - C F = d - D c id C id C = c e DIF D = d f e if w n (j,k) = - u iv E if * * ± * ± E = (c - e) u - (d - f) v F = (c -e) v -(d -f) u y = W n = T (W P I n/p ) S (I P W n/p ) Π permutace s rozestupem n/p n/p p-bodových FFT P n/p-bodových FFT přeskládání vektoru (permutace) reverzací indeů násobení diagonální maticí rotačních koeficientů T = diag (I n/p, Ω, Ω,, Ω P- ), Ω = diag (, ω, ω,, ω n/p- ), ω=ep(-πi/n) Implementace n-bodové paralelní FFT Paralelizace FFT (n =, P = ) Sekvence n bodů je uložena ve sdílené paměti jako matice P řádků a n/p sloupců (jazyk C).. Procesory provedou paralelně přeskládání posloupnosti reverzací bitů.. Každý procesor provede n/p-bodovou sekvenční FFT na řádcích matice, nejlépe v rámci cache, bez komunikace s ostatními (prvních log (n/p) stupňů výpočtu).. Následuje globální transpozice matice (komunikace všichni všem). Násobení maticí otáčecích činitelů. Každý procesor provede závěrečných log P stupňů výpočtu (P-bodové sekvenční FFT na sloupcích matice, každý procesor n/p sloupců). Globální transpozice matice reverzní adresace Body počítá první procesor Paralelní FFT (n =, P = ) Paralelní FFT (n =, P = ) reverzní adresace FFT komunikace mezi procesory FFT permutace (každý čtvrtý) reverzní adresace komunikace mezi procesory

7 ,,,,,, -, Příklad: FFT pravoúhlého impulsu, n= vstup amplituda /n,,,, -,,,, -, - -, - -, fáze [rad.] DFT ve zpracování obrazů [ ( )] N -D DFT: M jl km X lm = jk ep πi N M j= k = kde j a k jsou indey řádků a sloupců, j N-, k M-. Pro čtvercový obraz N = M a N N km jl X lm = [ jk ep[ πi( ) [ ( )] M ] ep πi N j= k = Vnitřní součet je -D DFT na N bodech řádku, výsledkem je transformovaný řádek. Vnější součet je -D DFT na N bodech sloupce. Můžeme psát: Tudíž -D DFT se dá rozdělit N jl do dvou sekvenčních fází, jedna X lm = X jm ep[ πi( )] N zpracovává řádky, druhá vzniklé j= sloupce. DFT ve zpracování obrazů Vyhlazování obrazů j k transformuj řádky transformuj sloupce jk X jm X lm Aplikace DFT: Kmitočtová filtrace, DFT obrazu se bod po bodu násobí DFT filtru. Inverzní DFT získáme vyfiltrovaný obraz. např. nahrazením hodnoty pielu průměrem v -okolí ' = Počet kroků lze redukovat na vektorové operace:. Přičtení sloupce pielů zleva. Přičtení sloupce pielů zprava. Přičtení řádku pielů shora. Přičtení řádku pielů zdola Obecně lze použít u každého k použít váhu w k (masky s vahami) w w w w w w w w w Vzájemná diskrétní korelace f w k = k = / / / ' zprůměrování redukce šumu zostření Snadná paralelizace jako u metody konečných diferencí. Masky pro detekci hran - Prewittův operátor Používá se aproimace gradientu f ( = vektor, jehož složky jsou derivace skalárního pole f podle souřadnic). Prewitt: f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) y f

8 ) ( ) ( ) ( ) ( y f f Masky pro detekci hran - Sobelův operátor Sobel :

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

[1] LU rozklad A = L U

[1] LU rozklad A = L U [1] LU rozklad A = L U někdy je třeba prohodit sloupce/řádky a) lurozklad, 8, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p. d. 4/2010 Terminologie BI-LIN, lurozklad,

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

IB109 Návrh a implementace paralelních systémů. Kolektivní komunikační primitava. RNDr. Jiří Barnat, Ph.D.

IB109 Návrh a implementace paralelních systémů. Kolektivní komunikační primitava. RNDr. Jiří Barnat, Ph.D. IB109 Návrh a implementace paralelních systémů Kolektivní komunikační primitava RNDr. Jiří Barnat, Ph.D. Kvantitativní parametry komunikace B109 Návrh a implementace paralelních systémů: Kolektivní komunikační

Více

Obecné výpočty na GPU v jazyce CUDA. Jiří Filipovič

Obecné výpočty na GPU v jazyce CUDA. Jiří Filipovič Obecné výpočty na GPU v jazyce CUDA Jiří Filipovič Obsah přednášky motivace architektura GPU CUDA programovací model jaké algoritmy urychlovat na GPU? optimalizace Motivace Moorův zákon stále platí pro

Více

Principy počítačů I Netradiční stroje

Principy počítačů I Netradiční stroje Principy počítačů I Netradiční stroje snímek 1 Principy počítačů Část X Netradiční stroje VJJ 1 snímek 2 Netradiční procesory architektury a organizace počítačů, které se vymykají struktuře popsané Johnem

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2

POSLOUPNOSTI. 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 POSLOUPNOSTI 1. Najděte prvních pět členů posloupnosti (a n ) n=1, je-li a) a n = 1 2 (1 + ( 1)n ), b) a n = n + ( 1) n, c) a n = ( 1) n cos πn2 n+1n, d) a n = n! n n 2. 2. Najděte předpis pro n-tý člen

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

" Furierova transformace"

 Furierova transformace UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM FAKULTA ŽIVOTNÍHO PROSTŘEDÍ " Furierova transformace" Seminární práce z předmětu Dálkový průzkum Země Marcela Bartošová, Veronika Bláhová OŽP, 3.ročník

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Číslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická

Číslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Číslicová filtrace FIR filtry IIR filtry Tyto materiály vznikly za podpory Fondu rozvoje

Více

Strojový kód. Instrukce počítače

Strojový kód. Instrukce počítače Strojový kód Strojový kód (Machine code) je program vyjádřený v počítači jako posloupnost instrukcí procesoru (posloupnost bajtů, resp. bitů). Z hlediska uživatele je strojový kód nesrozumitelný, z hlediska

Více

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice

KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice KTE / PPEL Počítačová podpora v elektrotechnice Ing. Lenka Šroubová, Ph.D. email: lsroubov@kte.zcu.cz http://home.zcu.cz/~lsroubov 3. 10. 2012 Základy práce s výpočetními systémy opakování a pokračování

Více

Základní komunikační operace

Základní komunikační operace Základní komunikační operace Úvod Operace send a recieve Blokující a neblokující posílání zpráv Blokující posílání zpráv Neblokující posílání zpráv One-to-all broadcast/all-to-one reduction All-to-all

Více

Filtrace snímků ve frekvenční oblasti. Rychlá fourierova transformace

Filtrace snímků ve frekvenční oblasti. Rychlá fourierova transformace Filtrace snímků ve frekvenční oblasti Rychlá fourierova transformace semestrální práce z předmětu KIV/ZVI zpracoval: Jan Bařtipán A03043 bartipan@students.zcu.cz Obsah Úvod....3 Diskrétní Fourierova transformace

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

MATrixLABoratory letný semester 2004/2005

MATrixLABoratory letný semester 2004/2005 1Prostedie, stručný popis okien Command Window příkazové okno pro zadávání příkazů v jazyku Matlabu. Workspace zde se zobrazuje obsah paměti; je možné jednotlivé proměnné editovat. Command History dříve

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems

Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems Static Load Balancing Applied to Time Dependent Mechanical Problems O. Medek 1, J. Kruis 2, Z. Bittnar 2, P. Tvrdík 1 1 Katedra počítačů České vysoké učení technické, Praha 2 Katedra stavební mechaniky

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

Princip funkce počítače

Princip funkce počítače Princip funkce počítače Princip funkce počítače prvotní úlohou počítačů bylo zrychlit provádění matematických výpočtů první počítače kopírovaly obvyklý postup manuálního provádění výpočtů pokyny pro zpracování

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Projektč.3dopředmětuIZP. Maticové operace

Projektč.3dopředmětuIZP. Maticové operace Projektč.3dopředmětuIZP Maticové operace 17. prosince 2006 Kamil Dudka, xdudka00@stud.fit.vutbr.cz Fakulta informačních technologií Vysoké Učení Technické v Brně Obsah 1 Úvod 1 2 Analýza problému 1 2.1

Více

ROZ1 - Cv. 2 - Fourierova transformace ÚTIA - ZOI

ROZ1 - Cv. 2 - Fourierova transformace ÚTIA - ZOI Vzorečky Co to je FT? Vzorečky Co to je FT? Transformace signálu z časové (resp. obrazové) reprezentace f(t) do frekvenční reprezentace F(ψ) a zpět. Díky ní můžeme signál analyzovat ve frekvenční oblasti

Více

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. Intervalové stromy Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme průběžně provádět tyto dvě operace: 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. 2. Zjištění součtu čísel

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Základy algoritmizace a programování

Základy algoritmizace a programování Základy algoritmizace a programování Příklady v MATLABu Přednáška 10 30. listopadu 2009 Řídící instrukce if else C Matlab if ( podmínka ) { } else { } Podmíněný příkaz if podmínka elseif podmínka2... else

Více

Systém adresace paměti

Systém adresace paměti Systém adresace paměti Základní pojmy Adresa fyzická - adresa, která je přenesena na adresní sběrnici a fyzicky adresuje hlavní paměť logická - adresa, kterou má k dispozici proces k adresaci přiděleného

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

PPEL_4_cviceni_MATLAB.txt. % 4. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB. % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE %

PPEL_4_cviceni_MATLAB.txt. % 4. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB. % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE % %------------------------------------- % 4. cvičení z předmětu PPEL - MATLAB %------------------------------------- % Lenka Šroubová, ZČU, FEL, KTE % e-mail: lsroubov@kte.zcu.cz %-------------------------------------

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Zpracování obrazu v FPGA. Leoš Maršálek ATEsystem s.r.o.

Zpracování obrazu v FPGA. Leoš Maršálek ATEsystem s.r.o. Zpracování obrazu v FPGA Leoš Maršálek ATEsystem s.r.o. Základní pojmy PROCESOROVÉ ČIPY Křemíkový čip zpracovávající obecné instrukce Různé architektury, pracují s různými paměti Výkon instrukcí je závislý

Více

základní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů

základní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 4 2 Číslicové filtry typu FIR a IIR definice operace filtrace základní rozdělení FIR, IIR základní vlastnosti, používané struktury filtrů návrhové prostředky

Více

Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek

Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek Pohled do nitra mikroprocesoru Josef Horálek Z čeho vycházíme = Vycházíme z Von Neumannovy architektury = Celý počítač se tak skládá z pěti koncepčních bloků: = Operační paměť = Programový řadič = Aritmeticko-logická

Více

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden

Cvičení z Numerických metod I - 12.týden Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Neuropočítače. podnět. vnímání (senzory)

Neuropočítače. podnět. vnímání (senzory) Neuropočítače Princip inteligentního systému vnímání (senzory) podnět akce (efektory) poznání plánování usuzování komunikace Typické vlastnosti inteligentního systému: schopnost vnímat podněty z okolního

Více

IAJCE Přednáška č. 8. double tprumer = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7) / 7; Console.Write("\nPrumerna teplota je {0}", tprumer);

IAJCE Přednáška č. 8. double tprumer = (t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7) / 7; Console.Write(\nPrumerna teplota je {0}, tprumer); Pole (array) Motivace Častá úloha práce s větším množstvím dat stejného typu o Př.: průměrná teplota za týden a odchylka od průměru v jednotlivých dnech Console.Write("Zadej T pro.den: "); double t = Double.Parse(Console.ReadLine());

Více

OPS Paralelní systémy, seznam pojmů, klasifikace

OPS Paralelní systémy, seznam pojmů, klasifikace Moorův zákon (polovina 60. let) : Výpočetní výkon a počet tranzistorů na jeden CPU chip integrovaného obvodu mikroprocesoru se každý jeden až dva roky zdvojnásobí; cena se zmenší na polovinu. Paralelismus

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 Úvodní poznámky... 11 1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 1.1 Základní pojmy... 15 1.2 Aplikační oblasti a etapy zpracování signálů... 17 1.3 Klasifikace diskretních

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

DETEKCE HRAN V BIOMEDICÍNSKÝCH OBRAZECH

DETEKCE HRAN V BIOMEDICÍNSKÝCH OBRAZECH DETEKCE HRAN V BIOMEDICÍNSKÝCH OBRAZECH Viktor Haškovec, Martina Mudrová Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Ústav počítačové a řídicí techniky Abstrakt Příspěvek je věnován zpracování biomedicínských

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Operátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2

Operátory pro maticové operace (operace s celými maticemi) * násobení maticové Pro čísla platí: 2*2 * násobení maticové Pro čísla platí: Pro matice - násobení inverzní maticí inv inverzní matice A -1 k dané matici A je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Inverzní

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Disková pole (RAID) 1

Disková pole (RAID) 1 Disková pole (RAID) 1 Architektury RAID Důvod zavedení RAID: reakce na zvyšující se rychlost procesoru. Pozice diskové paměti v klasickém personálním počítači vyhovuje pro aplikace s jedním uživatelem.

Více

Semestrální projekt. Předmět: Programování v jazyce C. Zadání: Operace s maticemi. Uživatelský manuál. ver. 1.0

Semestrální projekt. Předmět: Programování v jazyce C. Zadání: Operace s maticemi. Uživatelský manuál. ver. 1.0 Semestrální projekt Předmět: Programování v jazyce C Zadání: Operace s maticemi Uživatelský manuál ver. 1.0 Jakub Štrouf Obor: Aplikovaná informatika Semestr: 1. Rok: 2009/2010 Obsah: 1. Úvod 1.1. Technická

Více

Komprese dat Obsah. Komprese videa. Radim Farana. Podklady pro výuku. Komprese videa a zvuku. Komprese MPEG. Komprese MP3.

Komprese dat Obsah. Komprese videa. Radim Farana. Podklady pro výuku. Komprese videa a zvuku. Komprese MPEG. Komprese MP3. Komprese dat Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Komprese videa a zvuku. Komprese MPEG. Komprese MP3. Komprese videa Velký objem přenášených dat Typický televizní signál - běžná evropská norma pracuje

Více

PARALELNÍ PROCESY A PROGRAMOVÁNÍ

PARALELNÍ PROCESY A PROGRAMOVÁNÍ PARALELNÍ PROCESY A PROGRAMOVÁNÍ 12 Paralelní algoritmy - paralelní prefixové součty Ing Michal Bližňák, PhD Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF)

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Vyučovací hodina. 1vyučovací hodina: 2vyučovací hodiny: Opakování z minulé hodiny. Procvičení nové látky

Vyučovací hodina. 1vyučovací hodina: 2vyučovací hodiny: Opakování z minulé hodiny. Procvičení nové látky Vyučovací hodina 1vyučovací hodina: Opakování z minulé hodiny Nová látka Procvičení nové látky Shrnutí 5 min 20 min 15 min 5 min 2vyučovací hodiny: Opakování z minulé hodiny Nová látka Procvičení nové

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Rosenblattův perceptron

Rosenblattův perceptron Perceptron Přenosové funkce Rosenblattův perceptron Rosenblatt r. 1958. Inspirace lidským okem Podle fyziologického vzoru je třívrstvá: Vstupní vrstva rozvětvovací jejím úkolem je mapování dvourozměrného

Více

předmětu MATEMATIKA B 1

předmětu MATEMATIKA B 1 Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory

Více

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Více

Několik aplikací. Kapitola 12

Několik aplikací. Kapitola 12 Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu

Více

Základy logického řízení

Základy logického řízení Základy logického řízení 11/2007 Ing. Jan Vaňuš, doc.ing.václav Vrána,CSc. Úvod Řízení = cílené působení řídicího systému na řízený objekt je členěno na automatické a ruční. Automatickéřízení je děleno

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

for (i = 0, j = 5; i < 10; i++) { // tělo cyklu }

for (i = 0, j = 5; i < 10; i++) { // tělo cyklu } 5. Operátor čárka, - slouží k jistému určení pořadí vykonání dvou příkazů - oddělím-li čárkou dva příkazy, je jisté, že ten první bude vykonán dříve než příkaz druhý. Např.: i = 5; j = 8; - po překladu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNCKÁ NVEZTA V LBEC Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu čební text Josef J a n e č e k Liberec 010 Materiál vznikl v rámci projektu

Více

Dodatky k FT: 1. (2D digitalizace) 2. Více o FT 3. Více k užití filtrů. 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů

Dodatky k FT: 1. (2D digitalizace) 2. Více o FT 3. Více k užití filtrů. 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů Dodatky k FT:. (D digitalizace. Více o FT 3. Více k užití filtrů 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů Martina Mudrová 4 Pořízení digitálního obrazu Obvykle: Proces transformace spojité předlohy (reality

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_148_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Paměťový podsystém počítače

Paměťový podsystém počítače Paměťový podsystém počítače typy pamětových systémů počítače virtuální paměť stránkování segmentace rychlá vyrovnávací paměť 30.1.2013 O. Novák: CIE6 1 Organizace paměťového systému počítače Paměťová hierarchie...

Více

Ivan Šimeček, Pavel Tvrdík

Ivan Šimeček, Pavel Tvrdík Optimalizace a hodnocení efektivity lineárních kódů Ivan Šimeček, Pavel Tvrdík Department of Computer Science and Engineering Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Karlovo nám. 13

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury 1 / 34 Obsah přednášky Základní řídící struktury posloupnost příkazů podmínka cyklus s podmínkou na začátku cyklus s podmínkou na konci cyklus s pevným počtem opakování Jednoduchá

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Hardware - komponenty počítačů Von Neumannova koncepce počítače. Von Neumannova koncepce počítače

Hardware - komponenty počítačů Von Neumannova koncepce počítače. Von Neumannova koncepce počítače V roce 1945 vystoupil na přednášce v USA matematik John von Neumann a představil architekturu samočinného univerzálního počítače (von Neumannova koncepce/schéma/architektura). Základy této koncepce se

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY

KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY KIV/ZI Základy informatiky MS EXCEL MATICOVÉ FUNKCE A SOUHRNY cvičící: Tomáš Ptáček zimní semestr 2012 MS EXCEL MATICE (ÚVOD) Vektor: (1D) v = [1, 2, 3, 5, 8, 13] Např.: matice sousednosti Matice: (2D)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Pokročilé architektury počítačů

Pokročilé architektury počítačů Pokročilé architektury počítačů Tutoriál 3 CUDA - GPU Martin Milata Výpočetní model CUDA Organizace kódu Sériově organizovaný kód určený pro CPU Paralelní kód prováděný na GPU Označuje se jako kernel GPU

Více

4. Úvod do paralelismu, metody paralelizace

4. Úvod do paralelismu, metody paralelizace 4. Úvod do paralelismu, metody paralelizace algoritmů Ing. Michal Bližňák, Ph.D. Ústav informatiky a umělé inteligence Fakulta aplikované informatiky UTB Zĺın Paralelní procesy a programování, Zĺın, 26.

Více

5. Optické počítače. 5.1 Optická propojení

5. Optické počítače. 5.1 Optická propojení 5. Optické počítače Cíl kapitoly Cílem kapitoly je pochopit funkci optických počítačů. Proto tato kapitola doplňuje poznatky z předešlých kapitol k objasnění funkcí optických počítačů Klíčové pojmy Optické

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více