= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin cos 9 = 1 0, ( 0, ) = 1 ( 0, ) + 6 0,

Transkript

1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete na setiny. a) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (, 6), nová soustava je vůči otočená o ve směru hodinových ručiček. b) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou ( 3, 5), nová soustava je vůči otočená o ve směru hodinových ručiček. c) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (, ), nová soustava je vůči otočená o ve směru hodinových ručiček. d) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou ( 3, ), nová soustava je vůči otočená o proti směru hodinových ručiček. e) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou ( 5, ), nová soustava je vůči otočená o 5 proti směru hodinových ručiček. f) Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (3, ), nová soustava je vůči otočená o 3 proti směru hodinových ručiček. Řešení a Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (, 6), nová soustava je vůči otočená o ve směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou cos sin sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (, 6). Platí tedy, že, 6 V nové soustavě bude mít bod souřadnice (, ). Úhel otočení je ve směru hodinových ručiček, tedy 9 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů cos 9 6 sin 9 Provedeme výpočet Odtud Zaokrouhlíme dle zadání sin cos 9, (,33) (,33) + 6,939696, ,963558,99 5,3

2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 6, Řešení b Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou ( 3, 5), nová soustava je vůči otočená o ve směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou cos sin sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (, 6). Platí tedy, že 3, 5 V nové soustavě bude mít bod souřadnice (, ). Úhel otočení je ve směru hodinových ručiček, tedy,5 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů ( 3) cos,5 ( 5) sin,5 ( 3) sin + ( 5) cos,5,5 Provedeme výpočet ( 3),7663 ( 5) (,67876) ( 3) (,67876) + ( 5),7663 Odtud 5,57378, Zaokrouhlíme dle zadání 5,5,9 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 5, Řešení c Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (, ), nová soustava je vůči otočená o ve směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou cos sin sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (, 6). Platí tedy, že

3 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST, V nové soustavě bude mít bod souřadnice (, ). Úhel otočení je ve směru hodinových ručiček, tedy 9 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů cos 9 sin 9 sin + cos 9 9 Provedeme výpočet, (,33) (,33) +, Odtud 3, ,77396 Zaokrouhlíme dle zadání 3,5 3,7 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost, Řešení d Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou ( 3, ), nová soustava je vůči otočená o proti směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou cos sin sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (, 6). Platí tedy, že 3, V nové soustavě bude mít bod souřadnice (, ). Úhel otočení je proti směru hodinových ručiček, tedy 8 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů ( 3) cos 8 ( ) sin 8 ( 3) sin 8 + ( ) cos 8 Provedeme výpočet Odtud ( 3), ( ), ( 3), ( ), ,6769 3

4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST,95639 Zaokrouhlíme dle zadání,6,9 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 3, Řešení e Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny. Souřadnice bodu vůči soustavě jsou ( 5, ), nová soustava je vůči otočená o 5 proti směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou cos sin sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (, 6). Platí tedy, že 5, V nové soustavě bude mít bod souřadnice (, ). Úhel otočení je 5 proti směru hodinových ručiček, tedy 7, Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů ( 5) cos 7, sin 7, ( 5) sin + cos 7, 7, Provedeme výpočet ( 5), ,686 ( 5),686 +, Odtud 5, , Zaokrouhlíme dle zadání 5,38,3 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 5, Řešení f Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Máme vypočítat jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky máme zaokrouhlit na setiny.

5 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Souřadnice bodu vůči soustavě jsou (3, ), nová soustava je vůči otočená o 3 proti směru hodinových ručiček. Vztahy pro otáčení kolem počátku jsou cos sin sin + cos Bod má vůči soustavě souřadnice (, 6). Platí tedy, že 3, V nové soustavě bude mít bod souřadnice (, ). Úhel otočení je 5 proti směru hodinových ručiček, tedy 6 Nové souřadnice získáme dosazením do výše uvedených vztahů 3 cos 6 sin 6 3 sin + cos 6 6 Provedeme výpočet 3,8665,5 3,5 +,8665 Odtud,59876,96965 Zaokrouhlíme dle zadání,6,96 Kontrolu správnosti výpočtu můžeme provést výpočtem vzdálenosti bodu od počátku v obou souřadných systémech. V obou případech je tato vzdálenost 5,. 5

6 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Napište matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek zkontrolujte výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. a) b) 3 + c) + Řešení a Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. Jedná se o zvláštní případ průmětu na rovinu v daném směru. V tomto případě je směr kolmý, tedy ve směru normály dané roviny. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude na ně kolmý, neboli bude ve směru normály k dané rovině. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině (,,), (,,) Nyní nalezneme vektor na oba z nich kolmý. (,, ) Pro něj musí platit,,, Dosadíme a dostaneme dvě rovnice o třech neznámých. Hledáme jakékoli jedno netriviální řešení Volíme, Odtud Vektor směru zobrazení tedy je (,, ) (,,) Jeden konkrétní vhodný vektor směru promítání je (,,) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( ), ( ), ( ) Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( ) ( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 6

7 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Odtud vypočítáme matici. Nejprve obě strany vynásobíme inverzní maticí k matici na levé straně Tedy ( A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů +,. První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání ( + ) ( + ) 8 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. Řešení b Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. 3 + Jedná se o zvláštní případ průmětu na rovinu v daném směru. V tomto případě je směr kolmý, tedy ve směru normály dané roviny. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude na ně kolmý, neboli bude ve směru normály k dané rovině. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině (, 3,), (,,) Nyní nalezneme vektor na oba z nich kolmý. (,, ) Pro něj musí platit,,, Dosadíme a dostaneme dvě rovnice o třech neznámých. Hledáme jakékoli jedno netriviální řešení Volíme, Odtud 3

8 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Vektor směru zobrazení tedy je (3,, ) (3,, ) Jeden konkrétní vhodný vektor směru promítání je (3,, ) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( ), ( ), ( ) Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( ) ( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice Odtud vypočítáme matici. Nejprve vyjádříme Tedy ( A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů +,. První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání ( + ) ( ) ( + ) 6 3 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. Řešení c Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho kolmý průmět na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a průmětu normály roviny. + Jedná se o zvláštní případ průmětu na rovinu v daném směru. V tomto případě je směr kolmý, tedy ve směru normály dané roviny. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou 8

9 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude na ně kolmý, neboli bude ve směru normály k dané rovině. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině (,,), (,,) Nyní nalezneme vektor na oba z nich kolmý. (,, ) Pro něj musí platit,,, Dosadíme a dostaneme dvě rovnice o třech neznámých. Hledáme jakékoli jedno netriviální řešení Volíme, Odtud Vektor směru zobrazení tedy je (,, ) (,, ) Jeden konkrétní vhodný vektor směru promítání je (,, ) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( ), ( ), ( ) Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( ) ( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice Odtud vypočítáme matici. Nejprve vyjádříme Tedy ( A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů +,. První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání

10 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST ( + ) 9 ( ) ( + ) Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení.

11 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad 3 Napište matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek zkontrolujte výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. a) směr (3,, -), rovina 3 b) směr (,, 3), rovina 3 + c) směr (,, ), rovina Řešení 3a Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. směr (3,, -), rovina 3 Jedná se o případ průmětu na rovinu v daném směru. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude zadaný směr. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině (3,,), (,, 3) Vektor směru průmětu máme zadán. (3,, ) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( ), ( ), ( ) Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( ) ( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice Odtud vypočítáme matici. Nejprve vyjádříme Tedy ( A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel)

12 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů +,. První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání 9 3 ( + ) ( ) ( + ) 3 Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. Řešení 3b Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. směr (,, 3), rovina 3 + Jedná se o případ průmětu na rovinu v daném směru. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude zadaný směr. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině (,3,), (,,) Vektor směru průmětu máme zadán. (,, 3) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( ), ( ), ( ) Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( ) ( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice 3 3 Odtud vypočítáme matici. Nejprve vyjádříme Tedy ( A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel)

13 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů +,. První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání ( + ) ( + ) ( ) Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení. Řešení 3c Máme napsat matici zobrazení, které vektoru přiřazuje jeho průmět v daném směru na níže uvedenou rovinu. Výsledek máme zkontrolovat výpočtem průmětů vektorů ležících v rovině a ve směru promítání. směr (,, ), rovina Jedná se o případ průmětu na rovinu v daném směru. Matici této projekce vypočteme tak, že si zvolíme tři vektory s jasnou projekcí. Dva z nich budou ležet v dané rovině, třetí bude zadaný směr. Zvolíme tedy dva vektory ležící v dané rovině (,,), (,, ) Vektor směru průmětu máme zadán. (,, ) Hledáme zobrazení s požadovanými vlastnostmi. Pro průmět našich vektorů platí ( je nulový vektor) ( ), ( ), ( ) Pro zobrazení tedy musí platit, že obraz báze je očekávaná matice (obrazem je zobrazení vstupu), obecně tedy ( ) ( ) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme souřadnice Odtud vypočítáme matici. Nejprve vyjádříme Tedy ( A nakonec (k výpočtu inverzní matice byl využit Excel) 3

14 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Zkouška V rámci zkoušky vypočteme obrazy vektorů +,. První z nich leží v dané rovině, druhý má daný směr promítání ( + ) ( ) ( + ) Zobrazení se chová dle očekávání. Tím je ověřena správnost výpočtu matice zobrazení.

15 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Napište matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny. Přetvoření graficky znázorněte zvolte vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslete spolu s jeho obrazem. a) (, ), 6, b) (, ), 6, 3 c) (3, 3), 7, Řešení a Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. (, ), 6, Označme (,) vektor kolmý na vektor. Hledáme zobrazení takové, že Musí tedy platit ( ) +, ( ) ( ) + Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice,6,98,,96, 3,9 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. Odtud (,,96, 3,9 Tedy,,96, 3,9 Invertujeme matici vpravo,,96, 3,9 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek,,96, 3,9,,3,3,996 5

16 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 3 s celočíselnými souřadnicemi. si souřadnice obrazu.,76,8,8, 3,7 3,6 3, 3, Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. Řešení b Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. (, ), 6, 3 Označme (, ) vektor kolmý na vektor. Hledáme zobrazení takové, že Musí tedy platit ( ) +, ( ) ( ) + Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice,6,97,,9,,9 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. Odtud (,,9,,9 6

17 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST,,9,,9 Tedy,,9,,9 Invertujeme matici vpravo,,9,,9 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek,5,5,5,5 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 3 s celočíselnými souřadnicemi. si souřadnice obrazu.,97,97,5, ,95,865 3,88 3, Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. Řešení c Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru prodlouží o % a přitom zachová jejich směr a orientaci. Vektory kolmého směru zkrátí o % a též zachová jejích směr a orientaci. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. (3, 3), 7, Označme (3, 3) vektor kolmý na vektor. Hledáme zobrazení takové, že Musí tedy platit ( ) +, ( ) ( ) + 7

18 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice ,7 3, ,, ,,9 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. Odtud ( Tedy ,,9 3,,9 3,,9 3,,9 Invertujeme matici vpravo 3,,9 3,,9 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 3,,9 3,, ,5,5,5,5 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 3 s celočíselnými souřadnicemi. si souřadnice obrazu.,98,98,55,85 3 3,965,895 3,89 3,3 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. 8

19 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad 5 Napište matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice vyčíslete a zaokrouhlete na tisíciny. Přetvoření graficky znázorněte zvolte vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslete spolu s jeho obrazem. a) (, ),,3 b) (3, ),,3 c) (, 3),, Řešení 5a Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. (, ),,3 Nejprve je dobré si ujasnit, co to je jeden radián. Jeden radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře. Platí 8 57,96 Označme (, ) vektor kolmý na vektor. Hledáme zobrazení takové, že ( ), ( ) tg(,3) Musí tedy platit (vektor se zobrazuje na sebe a na něj kolmý vektor je skosen o radiánů, přitom oba vektory tvoří bázi roviny a plocha původního obdélníku a odpovídajícího rovnoběžníku bude stejná) ( ) ( tg(,3)) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice,39336,6966,6867 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. Odtud ( Tedy Invertujeme matici vpravo,6966,6867,6966,6867,6966,6867 9

20 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST,6966,6867 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 5,876,6,7, Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 3 s celočíselnými souřadnicemi. si souřadnice obrazu.,938,876 3,567,3 3 3,69,38 3,6 3, Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné. Řešení 5b Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. (3, ),,3 Nejprve je dobré si ujasnit, co to je jeden radián. Jeden radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře. Platí 8 57,96 Označme (, ) vektor kolmý na vektor. Hledáme zobrazení takové, že ( ), ( ) tg(,3) Musí tedy platit (vektor se zobrazuje na sebe a na něj kolmý vektor je skosen o radiánů, přitom oba vektory tvoří bázi roviny a plocha původního obdélníku a odpovídajícího rovnoběžníku bude stejná) ( ) ( tg(,3)) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice

21 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST 3 3 3, ,799 3,6867 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. Odtud ( Tedy 3 3 Invertujeme matici vpravo 3 3 3,799 3,6867 3,799 3,6867 3,799 3,6867 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek 3,799 3, ,857,,95, Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 3 s celočíselnými souřadnicemi. si souřadnice obrazu.,63,38 3,5,53 3,786 3,89 3,5 3,53 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné.

22 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Řešení 5c Máme napsat matici rovinného přetvoření, které vektory směru zobrazí na sebe a směr s kolmým směrem skosí o radiánů a zachová obsah obrazců. Prvky matice máme vyčíslit a zaokrouhlit na tisíciny. Přetvoření máme graficky znázornit máme zvolit vhodně obdélník a do stejného obrázku ho zakreslit spolu s jeho obrazem. (, 3),, Nejprve je dobré si ujasnit, co to je jeden radián. Jeden radián je středový úhel, který přísluší oblouku o stejné délce, jako je poloměr kružnice. Je to jednotkový úhel při měření v obloukové míře. Platí 8 57,96 Označme (, ) vektor kolmý na vektor. Hledáme zobrazení takové, že ( ), ( ) tg(,) Musí tedy platit (vektor se zobrazuje na sebe a na něj kolmý vektor je skosen o radiánů, přitom oba vektory tvoří bázi roviny a plocha původního obdélníku a odpovídajícího rovnoběžníku bude stejná) ( ) ( tg(,3)) Zobrazení tedy můžeme vypočítat pomocí báze a jejího obrazu. Dosadíme konstanty a souřadnice 3 3, , ,6838 Matici zobrazení vypočteme tak, že obě strany rovnice vynásobíme maticí inverzní k matici na levé straně. Odtud ( Tedy 3 3 Invertujeme matici vpravo 3 3, ,6838, ,6838, ,6838 Vynásobíme matice a dostáváme výsledek, , ,797,7,5,3 Výsledek si máme znázornit na obrázku obdélníku a jeho přetvoření. Zvolíme jako vzor obdélník velikosti 3 s celočíselnými souřadnicemi. si souřadnice obrazu.,56,355,98,8 3,376,8 3,5 3,76 Na obrázku vidíme vzor modře a obraz červeně. Přetvoření je jasně patrné.

23 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST 3