Charaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Charaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA K A T E D R A A L G E B R Y A G E O M E T R I E DIPLOMOVÁ PRÁCE Charaktery v teorii čísel, kubický a bikvadratický zákon vzájemnosti Vedoucí dilomové ráce: Prof Mgr Radomír Halaš, Dr Rok odevzdání: 01 Vyracoval: Jan Mlčůch M-DG, II ročník

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem vytvořil tuto bakalářskou ráci samostatně za vedení Prof Mgr Radomíra Halaše, Dr a že jsem v seznamu oužité literatury uvedl všechny zdroje oužité ři zracování ráce V Olomouci dne 10 července 01

3 Poděkování Rád bych na tomto místě oděkoval vedoucímu dilomové ráce Prof Mgr Radomíru Halašovi, Dr za obětavou soluráci i za čas, který mi věnoval ři konzultacích

4 Obsah Úvod 1 Základní ojmy 6 Obory integrity Z [i] a Z [ω] 1 Kvadratický zákon vzájemnosti 15 1 Gaussovo lemma 19 Důkaz kvadratického zákona vzájemnosti 1 Kubický zákon vzájemnosti 1 Obor integrity Z [ω] odrobněji Zbytkové třídy okruhu Z [ω] 8 Kubický zákon vzájemnosti 5 Bikvadratický zákon vzájemnosti 9 51 Obor integrity Z [i] odrobněji 9 5 Bikvadratický mocninný symbol 0 5 Bikvadratický zákon vzájemnosti Závěr 9

5 Úvod Tato ráce se zabývá kvadratickým, kubickým a bikvadratickým zákonem vzájemnosti Tímto tématem se začali zabývat matematici v období druhé oloviny 18 století a zájem o toto téma řetrvává do dneška Kvadratický zákon vzájemnosti se dnes běžně vyučuje v kurzech algebry a stále se objevují nové důkazy tohoto matematického tvrzení K dnešnímu dni jich je evidováno na 6 Tato ráce vychází ze základního kurzu teorie čísel a navazuje na něj Předokládá se znalost algebraických struktur a celočíselných kongruencí, v rozsahu ožadovaném v těchto řednáškách Použito je standardní značení, tak jak se s ním setkáváme ve většině rací zaměřených na algebru Text ráce je rozdělen do ěti kaitol První dvě kaitoly jsou síše oakovacího rázu V té rvní jsou zoakovány základní ojmy z teorie algebry, o kterých se v textu hovoří Tato kaitola je ojata velice stručně a vychází z úvodních kaitol učebního textu [] Druhá kaitola je zaměřena na seciální vlastnosti oborů integrity Z [i] a Z [ω] Jedná se o vlastnosti norem a o tvary jednotek v těchto algebraických strukturách Zbylé tři kaitoly se věnují již zmiňovaným zákonům vzájemnosti Třetí kaitola se zabývá řešitelností kongruenčních rovnic druhého řádu Je v ní k tomuto účelu dokázáno Gaussovo lemma a kvadratický zákon vzájemnosti Kaitola je dolněna o několik říkladů ukazujících alikaci zmíněné teorie ři očetní raxi Čtvrtá kaitola, zabývající se kubickým zákonem vzájemnosti, je rozsahově největší Jsou v ní rozšířeny znalosti o oboru integrity Z [ω] a vybudován otřebný aarát sloužící k řešení kongruenčních rovnic třetího řádu Konkrétně rovnic tyu x a (mod Rozhodnout o řešitelnosti těchto tyů rovnic nám umožní kubický zákon vzájemnosti, který najdeme na konci této kaitoly Text je dolněn o několik ukázkových říkladů, umožňujících rocvičení osané teorie Závěrečná kaitola se zabývá bikvadratickým zákonem vzájemnosti Jde vlastně o zobecnění již uvedených zákonů a tomu také odovídá rozsah a struktura kaitoly Většina vět a tvrzení je zde analogická ředchozím kaitolám Kaitola

6 začíná rozšířením vlastností oboru integrity Z [i] a okračuje řes bikvadratický zákon vzájemnosti až k několika řešeným říkladům, ukazujícím raktické využití získaných znalostí 5

7 1 Základní ojmy Uved me na úvod několik základních ojmů a tvrzení, se kterými budeme v dalších kaitolách racovat Grua Definice 11 Algebraická struktura G (G, se nazývá gruoid Definice 1 Prvek e G se nazývá jednotkovým rvkem gruoidu G, jestliže ro libovolné a G latí e a a e a Definice 1 Gruoid G (G, se nazývá grua, jestliže je asociativní, má jednotkový rvek a k libovolnému jeho rvku existuje rvek inverzní Definice 1 Bud G (G, grua, H odmnožina množiny G Řekneme, že H je odgrua gruy G, jestliže latí, že H je uzavřená vzhledem k násobení, obsahuje jednotkový rvek a ke každému svému rvku a obsahuje i inverzní rvek a 1 Definice 15 Bud M odmnožina gruy G Symbolem M označíme růnik všech odgru gruy G obsahujících množinu M Tedy nejmenší odgruu gruy G obsahující množinu M Množinu M nazýváme množinou generátorů gruy M Je-li množina M {a} jednorvková, otom gruu a nazveme cyklickou Okruh Definice 16 Algebraickou strukturu R (R, +,, 0 se dvěma binárními oeracemi + a, kde (R, +, 0 je komutativní grua, (R, je ologrua a oerace je distributivní vzhledem k oeraci + nazýváme okruh Definice 17 Okruh R (R, +,, 0 nazveme komutativní, je-li (R, komutativní ologrua 6

8 Definice 18 Má-li okruh R (R, +,, 0 neutrální rvek 1 vzhledem k oeraci, budeme jej nazývat okruh s jedničkou (nebo také unitární Definice 19 Prvek a 0 okruhu R nazveme netriviální dělitel nuly, existuje-li v R rvek b 0 takový, že a b 0 nebo b a 0 Obor integrity Definice 110 Každý alesoň dvourvkový komutativní unární okruh R, v němž neexistují netriviální dělitelé nuly se nazývá obor integrity Těleso Definice 111 Netriviální komutativní okruh R, v němž ke každému nenulovému rvku existuje rvek inverzní, se nazývá těleso Věta 11 Netriviální komutativní okruh R je těleso, rávě když (R\ 0,, 1 je grua Definice 11 Množina R všech invertibilních rvků okruhu R, která je uzavřena na násobení se nazývá multilikativní grua okruhu R Věta 1 Multilikativní grua R konečného tělesa R je cyklická Ideál v okruhu Definice 11 Mějme okruh R Nerázdná odmnožina I R se nazývá ideál v okruhu R, latí-li: 1 a, b I : a b I a I, b R : a b I, b a I Tvrzení 11 Průnik libovolného systému ideálů okruhu R je oět ideál tohoto okruhu Definice 11 Pro danou odmnožinu M R existuje nejmenší ideál I (M v R obsahující množinu M Nazýváme jej ideál generovaný množinou M Ideály I ({m} I (m ro m M nazýváme hlavní 7

9 Kongruence na okruhu Definice 115 Mějme okruh R Relace ekvivalence θ na nosiči R okruhu R se nazývá kongruence na R, latí-li tzv substituční odmínka: a, b, c, d R : ((a, b θ (c, d θ ((a + c, b + d θ, (a c, b d θ Tvrzení 1 V každém okruhu R latí, že ro ideál I na R je relace θ I {(x, y R ; x y I} kongruence na R Obory integrity a dělitelnost Definice 116 Bud J (J, +, 0,, 1 obor integrity a a, b, c J: - řekneme, že rvek a dělí rvek b (zaisujeme a b, existuje-li rvek c tak, že b a c - rvek j J, ro který latí j 1, nazveme jednotka dělení v J - rvky a, b nazveme asociované, latí-li (a b (b a, íšeme a b - rvek d J nazveme solečný dělitel rvků a, b, je-li (d a (d b - rvek d J nazveme největší solečný dělitel rvků a, b, je-li d solečný dělitel a ro každého dalšího solečného dělitele d rvků a, b latí d d; íšeme d (a, b - rvky a J, ro které latí a 1 nebo a b, se nazývají triviální dělitelé rvku b - nenulový rvek, který není jednotka a má ouze triviální dělitele, nazýváme ireducibilní (nerozložitelný - nenulový rvek a, který není jednotka, a ro který latí imlikace a (b c ((a b (a c, nazýváme rvočinitel Tvrzení 1 Každý rvočinitel oboru integrity J je ireducibilní rvek, oak však obecně nelatí Řekneme, že obor integrity J slňuje odmínku 8

10 - existence ireducibilních rozkladů (EIR, lze-li každý rvek a J, a 0, a 1, rozložit na součin konečného očtu ireducibilních rvků - jednoznačnosti ireducibilních rozkladů (JIR, jsou-li asociovány každé dva rozklady daného rvku a 1 m q 1 q n v součin ireducibilních rvků, kde m n a nezáleží na ořadí součinitelů Definice 117 Obor integrity J nazveme - Gaussův (G, slňuje-li odmínky (EIR a (JIR - obor integrity hlavních ideálů (OIHI, je-li každý ideál v J hlavní - eukleidovský obor integrity (EOI, existuje-li taková funkce δ : J\ 0 N 0, že ro každé dva rvky a, b J, b 0, existují rvky q, r J tak, že a b q + r, kde r 0 nebo δ (r < δ (b (taková funkce na J se nazývá eukleidovská Tvrzení 1 V každém oboru integrity latí: (EOI (OIHI (G Tvrzení 15 Okruh Z je eukleidovský obor integrity s eukleidovskou funkcí δ : Z\0 N, δ (z z Z ředchozího vylývá, že Z je oborem integrity hlavních ideálů a každý ideál v Z je tvaru I (n {k n; k Z} ro n N Každá kongruence na Z je tedy ve tvaru θ I(n { (x, y Z : x y I (n } { (x, y Z : n x y } Kongruence θ I(n bývá označována symbolem n a vlastnost (x, y n budeme zaisovat x y (mod n (čteme x je kongruentní s y modulo n V okruhu Z vzhledem k vlastnosti (EOI slývají rvočinitelé a ireducibilní rvky a nazývají se rvočísla 9

11 Celá algebraická čísla Definice 118 Komlexní číslo α nazveme algebraické, je-li kořenem nějakého olynomu s racionálními koeficienty Komlexní číslo α nazveme celé algebraické, je-li kořenem nějakého normovaného olynomu (tj olynomu s koeficientem u nejvyšší mocniny rovným jedné s celočíselnými koeficienty Celá část reálného čísla Definice 119 Celá část reálného čísla (řesněji dolní celá část je funkce, která řiřadí reálnému číslu x největší celé číslo, které jej neřevyšuje Značíme x Poznámka 11 Jiným zůsobem by se definice dala nasat tak, že x je jediné celé číslo, slňující nerovnost x x < x + 1 Definice 10 Necelá část reálného čísla je funkce, kterou můžeme definovat omocí celé části jako rozdíl {x} : x x Lemma 11 Pro libovolné číslo x R latí x x {0, 1} Konkrétně x x { 0, jestliže 0 {x} < 1 1, jestliže 1 {x} Důkaz: Pro číslo x latí x x + {x}, kde 0 {x} < 1 Jestliže 0 {x} < 1, tak {x} < 1 a tedy x x Dostaneme tak rvní možnost x x 0 Jestliže 1 {x} < 1, tak 1 {x} < Odtud dostaneme x x + 1 a tedy x x 1 10

12 Redukovaný systém zbytků Definice 11 Množinu celých čísel {a 1,, a n } nazveme úlný systém zbytků modulo n, latí-li a i a j ro i j Definice 1 Množinu čísel { } a 1,, a φ(n nazveme redukovaný systém zbytků modulo n, je-li množina { } a 1,, a φ(n množinou všech nedělitelů nuly v Zn Malá Fermatova věta Věta 1 Necht je rvočíslo Potom ro všechna řirozená čísla a latí a a (mod Je-li navíc (a, 1, latí a 1 1 (mod Důkaz: Viz [1, str ] 11

13 Obory integrity Z [i] a Z [ω] Několik důležitých vlastností rvočísel lze odvodit ři studiu dělitelnosti ve seciálních oborech integrity Takovými jsou obory integrity Z [i] a Z [ω] celých algebraických čísel v tělesech Q [i] a Q [ω] Symbolem i se rozumí imaginární jednotka i 1 a symbolem ω rozumíme rimitivní třetí odmocninu z jedné ω 1+ Obor integrity Z [i] {a + bi; a, b Z} se nazývá obor integrity Gaussových celých čísel Definice 1 Normou v oboru integrity Z [i] budeme nazývat zobrazení N : Z [i] N {0}, které je ro libovolný rvek α a + bi Z [i], kde a, b Z, dané ředisem N (α a + b α α, kde α a bi je číslo komlexně sdružené k číslu α Poznámka 1 Snadno lze ukázat, že norma v Z [i] je multilikativní Tedy N (α N (β N (α β Jednotky dělení v Z [i] jsou rávě ty rvky α, ro něž je N (α 1, tj jsou to rvky ±1, ±i Věta 1 Z [i] je eukleidovský obor integrity s normou N Důkaz: Potřebujeme dokázat, že ro libovolná dvě čísla α, β Z [i], kde β 0, existují čísla γ, δ Z [i] taková, že α γβ + δ, kde δ 0 nebo N (δ < N (β Uravíme odíl α αβ αβ r + si, kde r, s Q Zde jsme využili vlastností β ββ N(β β Z [i] a N (β ββ Existují tedy čísla m, n Z taková, že r m 1 a s n 1 Víme, že Z [i] je obor integrity a jeho odílovým tělesem je těleso Q[i] {a + bi a, b Q} Formálně vzato jde o těleso zlomků a+bi, kde a, b, c, d c+di Z Tento zlomek lze uravit na tvar ac+bd + bc ad i Odtud je vidět, že norma c +d c +d v tělese Q[i] je definována jako rozšíření normy z oboru Z [i] Tedy, že norma odílu ( je rovna odílu norem Jestliže oložíme γ m + ni, můžeme otom sát α N γ N ((r m + i (s n (r m + (s n < 1 β Pro číslo δ α γβ díky multilikativnosti ( ( normy v( tělese komlexních čísel α latí N (δ N (α γβ N β γ α N (β N γ < N (β β β Podívejme se odrobněji na obor integrity Z [ω] Kořeny olynomu x 1 0 jsou x 1 1, x 1+ a x 1 Označíme ω 1+ Pro libovolné k Z latí ω k 1, ω k+1 ω a ω k+ ω Všimněme si dále, že 1 + ω + ω 0 a že ω ω 1 ω Podobně, jako jsme v úvodu kaitoly zavedli množinu Gaussových celých čísel, můžeme zavést množinu Z [ω] {a + bω a, b Z} Tato množina je uzavřená 1

14 na sčítání a násobení a je zřejmé, že neutrálním rvkem vzhledem k násobení je číslo 1 a oačným rvkem k číslu a + bω je číslo a bω Jedná se tedy o okruh Tato množina je také uzavřená vzhledem ke komlexní sdruženosti svých rvků Označíme-li α a + bω, tak otom α a + bω a + bω a + b ( 1 ω (a b bω Z [ω] Definice Normou v oboru integrity Z [ω] budeme nazývat zobrazení N : Z [ω] N {0}, které je ro libovolný rvek α a + bω Z [ω], kde a, b Z, dané ředisem N (α α α Poznámka Chceme-li odvodit vztah ro výočet normy rvků z množiny Z [ω], stačí římé dosazení do vztahu N (α α α Dostaneme otom: α α (a + bω (a b bω a ab + b ( ω ω Víme, že latí 1 ω ω a odtud již lyne, že norma rvku α a + bω je určena vztahem N (α a ab + b Věta Z [ω] je eukleidovský obor integrity s normou N Důkaz: Analogicky jako ro obor integrity Z [i] dokážeme, že ro libovolná dvě čísla α, β Z [ω], kde β 0, existují čísla γ, δ Z [ω] taková, že α γβ + δ, kde δ 0 nebo N (δ < N (β Uravíme odíl α αβ αβ r + sω, kde r, s Q Existují čísla m, n taková, β ββ N(β že r m 1 a s n 1 Víme, že Z [ω] je obor integrity a jeho odílovým tělesem je těleso Q [ω] {a + bω a, b Q} Norma je v tělese Q [ω] definována odobným zůsobem jako v oboru integrity Z [ω] Jestliže oložíme γ m + nω, můžeme otom sát ( α N β γ N ((r m + ω (s n (r m (r m (s n + (s n < 1 Pro číslo δ α γβ díky multilikativnosti norem v Q [ω] latí ( ( ( α α N (δ N (α γβ N β β γ N (β N β γ < N (β 1

15 Důsledek 1 Z [ω] je obor integrity s jednoznačným rozkladem Libovolný nenulový rvek α Z [ω], který není jednotkou, lze zasat jako součin konečného očtu ireducibilních rvků ze Z [ω] Tvrzení 1 Prvek α Z [ω] je jednotkou oboru integrity Z [ω] rávě tehdy, když N (α 1 Důkaz: Jestliže α je jednotka v Z [ω], otom existuje β Z [ω] takové, že αβ 1 Dále latí, že N (αβ N (α N (β 1 Obě normy N (α, N (β jsou tedy rovny jedné Platí, že N (α αα 1 Prvek α je tedy inverzní k rvku α a ten je jednotkou v Z [ω] Poznámka Chceme-li nalézt všechny jednotky množiny Z [ω], zjistíme, že to již není tak zřejmé, jako tomu bylo v oboru integrity Z [i] Příklad 1 Najděte všechny jednotky v oboru integrity Z [ω] Řešení: Aby rvek α a + bω byl jednotkou v Z [ω] musí latit rovnost a ab + b 1 Tuto rovnost vynásobíme čtyřmi a uravíme a ab + b (a b + b Je vidět, že ro koeficient b musí latit odmínka b 1 Dostaneme tedy následující možnosti: (1 b 1, a b ±1 a tyto koeficienty odovídají číslu 1 + ω a ω ( b 1, a b ±1 a tyto koeficienty odovídají číslu ω a 1 ω ( b 0, a b ± a tyto koeficienty odovídají číslu 1 a 1 Využitím rovnosti ω 1 ω a ω 1 + ω jsme dokázali, že všechny jednotky v oboru integrity Z [ω] jsou tvaru 1, 1, ω, ω, ω, ω 1

16 Kvadratický zákon vzájemnosti V této kaitole se budeme zabývat řešitelností kongruenčních rovnic tvaru x a (mod, ro nějaké rvočíslo K rozhodnutí o řešitelnosti těchto rovnic zavedeme tzv Legendreův symbol a kvadratický zákon vzájemnosti Tyto ojmy budeme otřebovat i v následujících kaitolách, k důkazům některých vět Definice 1 Mějme m N a a Z taková, že (a, m 1 Číslo a nazveme kvadratickým zbytkem modulo m, má-li kongruence x a (mod m řešení Tedy existuje-li x Z takové, že x a (mod m Pokud žádné takové celé číslo x neexistuje, řekneme, že a je kvadratickým nezbytkem modulo m Věta 1 Necht je liché rvočíslo V redukované soustavě zbytků modulo je stejný očet kvadratických zbytků jako nezbytků Důkaz: { Uvažujme } redukovaný systém zbytků modulo, tedy množinu čísel ±1, ±,, ± 1 Umocněním těchto { rvků na druhou dostaneme množinu kvadratických zbytků modulo, a to 1,,, ( } 1 Musíme ukázat, že to jsou rávě všechny kvadratické zbytky Předokládejme, že dvě z těchto čísel jsou kongruentní modulo Nař ro 1 k < l 1 latí k l (mod Potom latí (k + l (l k, což vzhledem k dává (k + l nebo (l k Vzhledem k nerovnosti 1 k < l 1 není možné aby nastal ani jeden ředchozí říad Proto jsme našli všechny kvadratické zbytky a můžeme říci, že očet kvadratických zbytků modulo je roven 1 a zároveň je to také očet kvadratických nezbytků modulo Příklad 1 Určete všechny kvadratické zbytky a nezbytky modulo 19 Řešení: Libovolné nenulové řešení kongruence x a (mod 19 je kongruentní s jedním z čísel ±1, ±, ±, ±, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9 Po umocnění na druhou dostaneme ostuně čísla 1,, 9, 16, 5, 6, 9, 6 a 81 Vydělíme je modulo 19 a obdržíme množinu všech kvadratických zbytků 1,, 9, 16, 6, 17, 11, 7 a 5 Množina všech kvadratických nezbytků modulo 19 obsahuje čísla,, 8, 10, 1, 1, 1, 15, 18 Definice ( Pro liché rvočíslo Z a číslo a Z definujeme Legendreův a symbol následovně: ( a 1 a a a je kvadratický zbytek modulo, 0 a, 1 a a a je kvadratický nezbytek modulo 15

17 Věta Necht je liché rvočíslo, a, b Z Pak latí: ( a 1 a 1 (mod, ( ( ( ab a b, ( ( je-li a b (mod, ak Důkaz: a b 1 Pokud a je tvrzení zřejmé Podívejme se na říad, kdy a Podle malé Fermatovy věty latí a 1 1 (mod, tedy ( a 1 1 (a (mod Protože Z je těleso, latí bud Zároveň tedy a 1 1 (mod nebo a 1 1 (mod a a 1 1 (mod, nebot ro liché rvočíslo latí 1 1 (mod Je-li a kvadratický zbytek, ak existuje x Z, (x, 1, takové že a x (mod a dále a 1 ( x 1 x 1 1 (mod Kvadratických zbytků je stejně jako kvadratických nezbytků, a to rávě 1 Rovnice a 1 1 (mod má ro neznámou a rávě 1 řešení Zároveň této rovnici nevyhovuje žádný kvadratický nezbytek Ty slňují rovnici a 1 1 (mod Použijeme rvní část této věty: ( ab ab 1 a 1 b 1 ( a ( b (mod Obě strany nabývají ouze hodnot ±1 a 1 1 (mod Můžeme tak od kongruence řejít k rovnosti Jestliže a b (mod, ak kongruence x a (mod je řešitelná rávě tehdy, když je řešitelná kongruence x b (mod Věta Pro liché rvočíslo latí: 16

18 ( 1 ( 1 ( 1 1, Důkaz: ( Podle věty 1 (1 latí ( 1 ( 1 1 (mod Obě strany kongruence nabývají hodnot ±1 Vzhledem k tomu, že 1 1 (mod můžeme místo kongruence sát římo rovnost Ještě můžeme dolnit, že rvní možnost nastane ro rvočísla 1 (mod a druhá možnost ro rvočísla (mod Necht je liché rvočíslo Budeme chtít ukázat, že je kvadratický zbytek ro rvočísla ve tvaru 8k ± 1 a kvadratický nezbytek ro rvočísla ve tvaru 8k ± Uvažujme následující kongruence: 1 1 ( 1 1 (mod ( 1 (mod ( 1 (mod ( 1 (mod 5 5 ( 1 5 (mod q 1 ( 1 1 (mod kde číslo q je rovno bud 1 nebo 1 Vynásobením těchto kongruencí dostaneme ( ( 1! ( 1 (mod Součet je roven zlomku 1 a součin 6 ( 1 je 8 roven číslu 1 ( 1! Po úravě oslední kongruence dostaneme 1 ( 1! ( 1! ( (mod 17

19 Podle věty 1 (1 dále latí ( 1 ( (mod Když budeme uvažovat číslo 8k ± 1, tak můžeme exonent z oslední kongruence uravit 1 6k ±16k 8k ± k Dostaneme sudé číslo a roto bude 8 8 kvadratický zbytek modulo Pokud budeme uvažovat 8k ±, dostaneme 1 6k ±16k+8 8k ± k + 1 To je jistě liché číslo a v tomto říadě bude 8 8 kvadratickým nezbytkem modulo Příklad Je dána rovnice araboly y x 15 Zjistěte, jestli na grafu této kuželosečky leží body s celočíselnými souřadnicemi (tzv mřížové body roviny Řešení: Body, které leží na grafu dané funkce, musí vyhovovat její rovnici Tzn, že hledané body existují, jestliže je řešitelná kongruenční rovnice x 15 (mod Již víme, že tato rovnice bude mít řešení, jestliže bude hodnota říslušného Legendreova symbolu rovna jedné Chceme tedy určit hodnotu ( 15 Jednoduše vyočítáme, že (15 ( ( 19 Určíme hodnotu symbolu ( ( ( 1 1 ( Dále ( 19 ( 19 ( Určíme stejným zůsobem hodnotu symbolu ( 19 ( ( ( Symbol ( 19 má hodnotu ( 19 Celkově dostaneme ( 19 ( ( 19 ( 19 ( 19 ( 1 1 ( 15 ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 1 Rovnice řešitelná je a roto existují mřížové body araboly y x 15 Pro zajímavost můžeme ještě dolnit, že jsou to body [17; 68], [69; 16] 18

20 1 Gaussovo lemma Na závěr této kaitoly ukážeme se jeden z mnoha důkazů kvadratického zákona vzájemnosti Budeme k tomu ale nejrve otřebovat následující lemma Lemma 1 Gaussovo lemma Necht je liché rvočíslo takové, že a Dále, necht m je očet čísel z množiny { a, a, a,, 1 a}, jejichž zbytek o dělení je větší než Potom latí ( a ( 1 m Důkaz: Označme S a a a 1 S a 1 a Tento součin je roven číslu! ( 1 Dále si uvědomme, že každé z čísel ka, kde k 1,,, 1 se dá vyjádřit ve tvaru s + z, kde z je některý z rvků redukovaného systému zbytků modulo Prvek z bude nabývat záorné hodnoty ro ty čísla, ro která bude zbytek o dělení větší než Tedy rávě m čísel Dále žádná dvě čísla ka nejsou kongruentní modulo a stejně tak nelatí k 1 a k a (mod, ro k 1 k Platí tedy, že mezi čísly ka jsou všechna čísla 1,,, 1 a z nich je m záorných a zbytek je kladných Dostaneme tedy S ( 1 m ( 1! (mod Celkově a 1 ( 1 m (mod Věta Pro číslo m z Gauussova lemmatu latí m ak (mod 1 k1 Legendreův symbol tedy můžeme sát ve tvaru ( a ( 1 1 k1 ak, ro liché a otom ve tvaru ( a ( 1 1 k1 ak 19

21 Důkaz: Budou nás zajímat zbytky čísel ka o dělení rvočíslem, kde k 1,,, 1 Podle lemmatu 11 latí { } ak ak ak, jestliže 0 < 1 { }, + 1, jestliže 1 ak { } ak ak Odtud lyne, že číslo je sudé, jestliže 0 < 1, a liché v oačném říadě { } ak Číslo ak můžeme sát také ve tvaru ak q k + r k Odtud dostaneme } { } {q k + r r k k r k Pro zlomek r k latí, že r k 1 rávě tehdy, když r k ak Číslo m tedy označuje očet těch čísel, ro které je liché číslo Pro liché číslo a latí ( ( a ( a Dokázali jsme tedy, že ( a + ( ( a Exonent můžeme dále uravit ( a+ ( ( 1 1 k1 (a+k ak ( a+ ( a+ (a + k 1 k1 1 k1 ak + k 1 k1 1 k1 ak Celkem tedy dostaneme ( ( a ( 1 1 k1 ak 1 ( 1 8 ( 1 1 Odtud již dostaneme hledanou rovnost ( a ( 1 1 k1 ak k1 ak ( 0

22 Důkaz kvadratického zákona vzájemnosti Máme již vše otřebné k tomu, abychom dokázali kvadratický zákon vzájemnosti Věta 5 Kvadratický zákon vzájemnosti Necht, q jsou různá lichá rvočísla Pak ( ( q ( 1 1 q 1 q Důkaz: Počet všech mřížových bodů (x, y N N takových, že 1 x 1 a 1 y q 1 je určitě 1 q 1 Zkusme ted ke stejnému výsledku dojít jiným zůsobem Hledané body rozdělíme na dvě skuiny S 1 {(x, y ; qx > y} a S {(x, y ; qx < y} Tato situace je znázorněna ro 7, q 5 na obrázku 1 Obrázek 1: 7, q5 Počet rvků v množinách S 1 a S můžeme vyjádřit: S 1 1 k1 kq, S q 1 k1 k q Podíváme-li se ozorně na obrázek, který je výše v textu, tak si můžeme všimnout, že očítáme očet mřížových bodů v útvaru, který je složen z obdélníku a malého trojúhelníku Je-li > q je tento trojúhelník nad daným obdélníkem Potřebujeme roto také ukázat, že v tomto trojúhelníku není žádný mřížový bod 1

23 K tomu si stačí uvědomit, že na římce y q x neleží žádný mřížový bod Sečtením ředchozích rovností, ak dostaneme 1 k1 kq + q 1 k1 k 1 q 1 q Těchto oznatků využijeme ro vyjádření Legendreových symbolů z ředchozí věty a dostaneme Celkově tedy ( 1 1 k1 kq q 1 ( 1 ( q ( q k1 k 1 q ( 1 ( 1 1 q 1 q 1 Příklad Zjistěte, zda je řešitelná kongruence x 11 (mod 1 Řešení: Určíme hodnotu Legendreova symbolu ( 11 1 Můžeme rovnou oužít kvadratický zákon vzájemnosti: ( 11 1 ( 1 11 ( Podle věty 1 latí ( ( Celkový výsledek je ( a kongruence x 11 (mod 1 tedy řešitelná není ( 1 11 Příklad Určete, ro která rvočísla je řešitelná kongruence x 1 (mod Řešení: Předokládejme, že 1 Kongruence je( tedy řešitelná, rávě když 1 1 je kvadratickým zbytkem modulo, což znamená 1 ( Vyšetříme tedy hodnotu Legendreova symbolu Použijeme kvadratický zákon vzájemnosti ( 1 ( ( ( Protože součin ( 1 je číslo sudé, tak můžeme rovnou sát ( 1 Užitím věty 1 ( dostaneme následující možnosti ro hodnotu symbolu ( 1 1

24 1 (mod 1: ( ( (mod 1: ( ( ( (mod 1: ( ( 1 1 Použijeme kvadratický zákon vzájemnosti a větu 1 (, ( ( ( 1 1 ( ( (mod 1: ( ( 1 ( 1 1 Použijeme větu 1 ( a dostaneme 1 ( 1 ( (mod 1: ( ( Použijeme kvadratický zákon vzájemnosti a větu 1 (, ( ( ( ( ( 1 5 ( 5 1 ( (mod 1: ( ( 1 6 ( 1 1 Použijeme větu 1 ( 6 ( 1 ( (mod 1: ( ( 1 7 ( 1 1 Použijeme větu 1 7 ( 1 6 ( 1 1 ( (mod 1: ( ( 1 8 ( 1 1 Použijeme větu 1 ( 8 ( 1 ( (mod 1: ( ( 1 9 ( 1 1 Použijeme větu 1 ( 9 ( 1 ( (mod 1: ( ( 1 10 ( 1 1 Použijeme větu 1 ( 10 ( 1 ( (mod 1: ( ( 1 11 ( 1 1 Použijeme větu 1 (, 11 ( 1 1 ( 1 ( (mod 1: ( 1 ( 1 1 ( 1 Použijeme větu 1 ( 1 ( 1 ( Kongruence je tedy řešitelná ro rvočísla 1,,, 9, 10, 1 (mod 1

25 Kubický zákon vzájemnosti V úvodních dvou kaitolách jsme si zavedli otřebný aarát k tomu, abychom se mohli zabývat otázkami řešitelnosti kongruencí vyšších řádů Tedy řešením rovnic tyu x n a (mod, kde a, n Z, n > jsou evně daná čísla V této kaitole budeme uvažovat číslo n a dojdeme k tzv kubickému zákonu vzájemnosti Uvedeme vlastnosti rvočinitelů, zavedeme zbytkové třídy okruhu Z [ω], oté se dostaneme k ojmu kubický mocninný symbol, který je obdobou Legendreova symbolu v teorii kvadratických zbytků a na závěr kaitoly vyslovíme kubický zákon vzájemnosti 1 Obor integrity Z [ω] odrobněji Základní vlastnosti oboru integrity Z [ω] jsme uvedli již v druhé kaitole Nyní naše znalosti rozšíříme o charakterizaci rvočinitelů v tomto oboru Tvrzení 1 Jestliže je rvočinitel v Z [ω], otom existuje rvočíslo takové, že N ( nebo N ( V říadě, že je norma rovna číslu, tak není rvkem asociovaným s žádným rvočíslem V druhém říadě, kdy je norma rovna číslu, je rvek asociovaný s rvočíslem Důkaz: Mějme rvočinitele v Z [ω] Platí tedy N ( Položme N ( n, kde n N Z rovnosti n lyne n, dále také víme, že n lze rozložit v Z jednoznačně (až na ořadí na součin rvočísel Dostáváme, že ro nějaké rvočíslo latí a tedy γ, kde γ Z [ω] Z multilikativnosti normy v okruhu Z [ω] latí N ( N (γ N (γ N ( Pro normy čísel a γ máme tři možnosti: a N (γ 1, N ( b N (γ, N ( c N (γ, N ( 1 V rvním říadě je γ jednotkou, a tedy je asociované s Pokud by v druhém říadě bylo asociované s nějakým rvočíslem q, latilo by δq, kde δ je jednotka v okruhu Z [ω] To by ale znamenalo N ( N (δ N (δ N ( 1 N ( q Pro žádná dvě rvočísla ovšem nemůže latit rovnost q asociované s Třetí rovnost nastat nemůže, nebot není jednotka a tedy není

26 Tvrzení Jestliže Z [ω] je rvek, ro který latí N (, kde je rvočíslo, otom je rvočinitel v Z [ω] Důkaz: Z ředokladů lyne, že není jednotka Předokládejme tedy, že číslo je složené a lze jej sát ve tvaru γδ, kde γ a δ nejsou jednotky v Z [ω] Potom latí N ( N (γ N (δ Jelikož N (γ i N (δ jsou řirozená čísla různá od jedné, dostáváme sor, rotože součin dvou řirozených čísel větších než jedna není roven žádnému rvočíslu Prvek tedy musí být rvočinitel v Z [ω] Dokažme nyní tvrzení, omocí něhož budeme schoni charakterizovat všechny rvočinitele oboru integrity Z [ω] Tvrzení Jsou-li a q jsou rvočísla, otom latí: 1 ω (1 ω a 1 ω je rvočinitel v Z [ω] Jestliže 1 (mod, otom, kde je rvočinitel v Z [ω] a rvky a nejsou asociované Jestliže q (mod, otom q je rvočinitel v Z [ω] Libovolný rvočinitel v Z [ω] je asociovaný s jedním z rvočinitelů z bodů 1 Poznámka 1 Toto tvrzení se občas také interretuje tak, že v rvním říadě se rvočíslo tzv větví, tj je dělitelné vyšší mocninou nějakého rvočinitele V druhém říadě se říká, že rvočíslo se úlně rozkládá, tj je součinem dvou různých rvočinitelů A ve třetím říadě se rvočíslo nazývá inertní, tj je samo rvočinitelem Důkaz: 1 Z definice normy jsme schoni hned vyočítat N (1 ω 1 1 ( 1 + ( 1 Z věty tedy lyne, že 1 ω je rvočinitel Pro důkaz rovnosti ω (1 ω vyjdeme z rovnice 1 + ω + ω 0 Tuto rovnici vynásobíme ω a řičteme k ní ω ω ω + Víme, že ω 1 ω a ω 1 Rovnost tedy dál uravíme na ω + ω ω a ω ( 1 ω + ω To už je hledaný výsledek ω (1 ω 5

27 Uvažujme rvočíslo, ro které latí 1 (mod a ukažme, že je součinem dvou různých rvočinitelů, kteří nejsou solu asociovaní Pomocí kvadratického zákona vzájemnosti zjistíme, že je kvadratický zbytek modulo : ( ( 1 ( ( 1 1 Jelikož 1 (mod můžeme dál uravovat ( Z rovnosti ( ( 1 1 ( ( ( ( 1 1 ( 1 1 ( 1 dostáváme, že existuje číslo a Z takové, že a (mod To znamená, že a + je dělitelné, tedy existuje číslo b Z slňující b a + Zkusme nyní uravit výraz a + a + ( a + ( a (a ω (a 1 ω Využili jsme rovnost 1 + ω Předokládejme nyní, že je rvočinitel dělící Protože a (a ω (a 1 ω tak musí i (a ω (a 1 ω Prvočinitel musí tedy dělit některého z činitelů součinu (a ω (a 1 ω Tím je dokázáno, že rvočinitelem není číslo asociované s, rotože nedělí ani (a ω ani (a 1 ω Po vydělení číslem bychom totiž dostali nějaké komlexní číslo, které neleží v Z [ω] Celkem jsme tedy zjistili, že není rvočinitel Když není rvočinitel, tak se dá rozložit η a ani η nejsou jednotky Z multilikativnosti normy v Z [ω] latí N ( N ( N (η A rotože je rvočíslo, tak jediná možnost jak rozložit je Dostaneme tedy, že N ( a zároveň dle definice je N ( a tím máme hledaný rozklad Ukážeme, že a nejsou asociované Kdyby byly rvky a asociované musel by jeden dělit druhý Naříklad Po vynásobení číslem dostaneme a odtud Podíváme se ted odrobněji na jednotlivé říady, které ři dělení mohou nastat Označme c + dω, můžeme otom sát (c + dω, kde (c + dω c + cdω + d ω c + cdω + d ( 1 ω c d + ω ( cd d Dostáváme odtud, že ( c d d (c d Víme, že c, d Z a je rvočíslo Dostáváme tedy následující možnosti: a (c d d, latí tedy, že (c d + d c 6

28 b (c d (c d, latí tedy, že (c d (c d c a (c (c d d c (c + d d, latí tedy, že (c + d d c d (c + d (c d, latí tedy, že (c d + c + d c První tři možnosti nám ukazují, že c a zároveň d Čtvrtá možnost nám dává výsledek c a ten vede bud k závěru, že c a nebo ke soru s ředokladem, že 1 (mod jestliže Z výsledků c a zároveň d vylývá, že (c + dω Což je ale ve soru s tím, že Celkově tedy rvky, nejsou asociované Jestliže tak, otom N ( 1, rotože by byla jednotka a zároveň musí latit, že N ( N ( Jelikož N ( tak dostáváme dvě možnosti 1 N ( Předokládejme, že a + bω Víme, že N ( a ab + b Budeme tedy očítat a ab + b a ab + b 8 (a + b + b 8 Tato rovnost ovšem nemá v Z žádné řešení a dostáváme se tím do soru N ( Víme tedy, že N ( a budeme rozkládat dvojku Existuje η Z [ω] takové, že η Z multilikativnosti norem víme, že N ( N (η a jelikož víme, že N ( tak musí být N (η 1 Zjistili jsme tedy, že η je jednotka a že je asociované s dvojkou Celkově jsme dokázali, že až na asociovanost existuje jediný rvočinitel dělicí dvojku, a to dvojka sama Obecněji Mějme libovolné rvočíslo q takové, že q (mod Uvažujme rvočinitele Z [ω], který dělí q To znamená, že existuje η Z [ω] takové, že η q Přechodem k normám dostaneme N (η N ( N (q q Víme, že N ( 1 a dostaneme tak dvě následující možnosti 1 N ( q Předokládejme, že a + bω Víme, že N ( a ab + b Budeme tedy očítat a ab + b q a ab + b q (a + b + b q (a + b q (mod Tato rovnost ovšem nemá v Z žádné řešení a dostáváme se tím do soru 7

29 N ( q Z tohoto ředokladu ovšem dostáváme, že N (η 1 a tedy, že η je jednotka v Z [ω] Dále dostáváme, že je rvek asociovaný s q a že až na asociovanost existuje jediný rvočinitel dělící číslo q, a to číslo q samo Zbytkové třídy okruhu Z [ω] V této kaitole se seznámíme s ojmem kongruence na okruhu Z [ω] Jestliže α, β, γ Z [ω] a γ 0 řekneme, že α β (mod γ, okud γ (α β Tedy říkáme, tak jako v okruhu Z, že α je kongruentní β modulo γ Obdobně jako v okruhu Z kongruence faktorizuje okruh Z [ω] na okruh zbytkových tříd modulo γ, který značíme Z [ω]/γz [ω] Tvrzení Mějme Z [ω], který je rvočinitel Potom Z [ω]/z [ω] je konečné těleso o N ( rvcích Důkaz: Z algebry víme, že každý konečný obor integrity je tělesem Bude tedy stačit, když se nám odaří ukázat, že Z [ω]/z [ω] je konečný obor integrity, řesněji, že má rávě N ( rvků Ukážeme, že Z [ω]/z [ω] neobsahuje dělitele nuly Mějme α, β Z, oložímeli [α] [β] [αβ] [0], otom vidíme, že αβ Jelikož je rvočinitel, musí dělit jeden z rvků na ravé straně Předokládejme, že je to rvek α To, že α znamená, že [α] [0] a roto neexistují rvky α, β Z [ω], [α] [0] [β], vyhovují rovnosti [α] [β] [0] Kolik má tento obor integrity rvků ukážeme tím zůsobem, že rojdeme ostuně všechny možnosti uvedené v tvrzení Nejrve ředokládejme, že, kde { je rvočíslo kongruentní s dvojkou modulo tři Dokážeme, že Z [ω] /Z [ω] [a + b] } ω 0 a <, 0 b < Mějme µ m+nω Z [ω] Čísla m, n a jsou celá a tedy dle věty o dělení celých čísel se zbytkem latí, že m s + a, n t + b, kde s, t, a, b Z a 0 a, b < Po dosazení za m a n dostaneme µ s + a + (t + b ω µ a + bω (mod Můžeme nyní říci, že libovolný rvek okruhu Z [ω] atří do jedné ze zbytkových tříd množiny Z [ω] /Z [ω] Zbývá ukázat, že tato množina má skutečně N ( rvků, tedy, že žádné dvě zbytkové třídy solu neslývají Předokládejme, že a + bω a + b ω (mod, kde 0 a, b, a, b < Odtud dostáváme, že (a a + (b b ω, a roto a a že a a + b b ω Z [ω], z čehož lyne, a b b jsou celá čísla To je ale možné jen když bude latit a a a b b Tedy, že a + bω a + b ω Nyní budeme ředokládat, že 1 (mod a že N (, kde 8

30 je rvočinitel v Z [ω] a rvky a nejsou asociované Ukážeme, že, množina {0, 1,, 1} je množinou čísel, kterými lze rerezentovat libovolnou zbytkovou třídu modulo Z toho oté vylyne, že Z [ω]/z [ω] má N ( rvků Položme a + bω a z definice normy v okruhu vidíme, že a ab + b a že b Položme dále µ m + nω Víme, že b a budeme-li ostuně brát x 0, 1,, 1 otom součin xb bude nabývat všech hodnot úlné soustavy zbytků modulo Existuje tedy celé číslo c takové, že cb n (mod Odtud (n cb a roto µ c m ca + (n cb ω, tedy µ c m ca (mod Dále latí, že µ m ca (mod, rotože Ukázali jsme, že libovolný rvek z množiny Z [ω] atří do zbytkové třídy rerezentované nějakým celým číslem modulo Mějme nějaké celé číslo l Podle věty o dělení se zbytkem lze toto číslo sát ve tvaru l s + r, kde s, r Z a 0 r < Platí tedy, že l r (mod a jelikož tak také l r (mod Ukázali jsme tedy, že každý rvek množiny Z [ω] je kongruentní s rvkem množiny {0, 1,, 1} modulo Zbývá ukázat, že žádné dvě z těchto tříd neslývají Jestliže, r r (mod, kde r, r Z a 0 r, r <, otom r r γ ro nějaké γ Z [ω] Výočtem norem výrazů na levé a ravé straně rovnosti dostaneme (r r N (r r N (γ N ( N (γ N (γ Tedy (r r a jelikož je rvočíslo, tak r r Celkově dostáváme, že r r 0, a tedy r r Všechny rvky množiny {0, 1,, 1} jsou tak rerezentanty různých zbytkových tříd tělesa Z [ω]/z [ω] Víme, že libovolný rvočinitel je asociovaný s jedním z uvedených rvočinitelů a můžeme jej tedy zařadit do jednoho z výše osaných říadů Tím jsme s důkazem hotovi Je-li rvočinitel, otom multilikativní grua tělesa Z [ω]/z [ω] má řád N ( 1 a můžeme vyslovit tvrzení analogické malé Fermatově větě Tvrzení 5 Mějme α Z [ω] a rvočinitel takový, že α Potom α N( 1 1 (mod Důkaz: Věta je důsledkem Lagrangeovy věty alikované na multilikativní gruu (Z [ω] /Z [ω] Viz [, str 9] Jestliže je norma různá od tří, tak otom zbytkové třídy v tělese Z [ω]/z [ω] obsahující 1, ω a ω jsou různé Naříklad ro ω 1 (mod bychom měli, že (1 ω a 1 ω je rvočinitel, tedy a 1 ω jsou asociované Platí roto, že N ( N (1 ω, což je ale sor Obdobně by se daly ukázat i zbylé říady Platí, že [ω] {[1], [ω], [ω ] } je solu s oerací násobení zbytkových tříd cyklická grua řádu Podle Lagrangeovy věty otom dělí řád multilikativní gruy (Z [ω] /Z [ω], tedy N ( 1 9

31 Tvrzení 6 Necht α Z [ω] a je rvočinitel takový, že N ( a α Potom existuje jednoznačně určené číslo m rovno 0, 1 nebo takové, že α N( 1 ω m (mod Důkaz: Víme, že α N( 1 1 Dále víme, že x 1 (x 1 (x ω (x ω a toho nyní využijeme ři úravě výrazu α N( 1 1 α N( 1 1 (α N( 1 1 (α N( 1 ω (α N( 1 ω Protože je rvočinitel, tak musí dělit rávě jeden ze tří členů na ravé straně rovnosti To že dělí rávě jeden z daných činitelů lyne z faktu, že kdyby dělilo dva činitele na ravé straně, tak by dělilo i jejich rozdíl To ale není možné, nebot jsme v ředchozích odstavcích ukázali, že rvky 1, ω a ω atří ro N ( do různých zbytkových tříd modulo Nyní můžeme zavést tzv kubický mocninný symbol Definice 1 Mějme α, Z [ω], kde je rvočinitel takový, že N ( Potom definujeme kubický mocninný symbol čísla α modulo následovně: 1 jestliže α, klademe ( α 0, jestliže α, definujeme ( α {1, ω, ω } odmínkou ( α α N( 1 (mod Kubický mocninný symbol hraje v teorii kubického zákona vzájemnosti stejnou roli jako Legendreův symbol v teorii kvadratického zákona vzájemnosti V následující definici je osán ojem kubického zbytku Definice Mějme α, γ Z [ω] taková, že (α, γ 1 Číslo α nazveme kubickým zbytkem modulo γ, má-li kongruence x α (mod γ řešení v okruhu Z [ω] Pokud žádné takové číslo x Z [ω] neexistuje, řekneme, že α je kubickým nezbytkem modulo γ Tvrzení 7 Necht α Z [ω] a rvočinitel takový, že N ( a α Potom latí: 1 ( α α N( 1 (mod, ( αβ ( α ( β, jestliže α β (mod, otom ( α ( β, ( α 1 rávě tehdy, když kongruence x α (mod je řešitelná v okruhu Z [ω] ( tj rávě tehdy, když je α kubickým, zbytkem modulo 0

32 Důkaz: 1 Důkaz lyne římo z definice kubického mocninného symbolu Podle rvní části věty latí, že ( αβ ( (αβ N( 1 α N( 1 β N( 1 α ( β (mod Protože obě strany kongruence nabývají hodnot 0, 1, ω, ω a žádné dva z těchto rvků neleží ve stejné zbytkové třídě modulo, můžeme místo kongruence sát římo rovnost Jestliže α β (mod, otom ( α α N( 1 β N( 1 ( β (mod Necht ( α 1 Platí, že (Z [ω] /Z [ω] γ ro nějaké γ Z [ω], ro které γ Pro nějaké n N je α γ n (mod a využitím částí a dostaneme 1 ( α ( γ n ( γ n Tato rovnost je slněna bud ro ( γ 1, nebo jestliže n V rvním říadě by z definice kubického mocninného symbolu latilo γ N( 1 1 (mod, což však není možné, jelikož je rvek γ generátorem gruy (Z [ω] /Z [ω], a musí tedy mít řád roven řádu této gruy, tj N ( 1 Proto musí nastat druhý říad, kdy n Nyní stačí oložit x γ n a dostaneme řešení dané kongruence Označme γ řešení kongruence x α (mod Potom latí γ α (mod a musí dále latit, že γ, rotože by v oačném říadě latilo α Pomocí částí a dostaneme ( α ( γ ( γ 1, nebot 1 1 ω ω 6 Následující tvrzení oisuje vlastnosti kubických mocninných symbolů vzhledem ke komlexní sdruženosti Tvrzení 8 Necht α Z [ω] a je rvočinitel, ro který N ( Pak latí: 1 ( α ( ( α α, ( α ( α Důkaz: 1 Z definice kubického mocninného symbolu víme, že ( α je roven 1, ω nebo ω Z rovnosti ωω N (ω 1 ω lyne, že ω ω, ω ω (ω a odkud dostáváme, že ( α ( α Zbylá část rovnosti lyne z druhé části tvrzení 7 1

33 Podle tvrzení 7 je ( α Abychom ukázali, že ( α ( α α N( 1 (mod otřebujeme nejrve dokázat, že okud ro rvky α, β, γ Z [ω] latí α β (mod γ, ak také latí α β (mod γ Pro libovolná µ, ν C latí µ ν µν a dále µ ν µ ν Jestliže latí α β (mod γ, ak γ (α β, tedy existuje δ Z [ω] takové, že α β δ γ Poslední rovnost řeíšeme do tvaru α β δ γ a dále využijeme zmíněné vztahy, abychom celkově dostali α β δ γ Jelikož δ Z [ω], latí γ ( α β, a tedy α β (mod γ Odtud dostaneme ( α α N( 1 (mod Protože N ( N (, dostaneme díky tvrzení 7 kongruenci ( α α N( 1 (mod Sojením osledních dvou kongruencí dostaneme ( α ( α (mod Víme, že obě strany mohou nabývat ouze hodnot 0, 1, ω a ω, které leží v různých zbytkových třídách, lze roto kongruenci zaměnit za rovnost Důsledek 1 Necht (mod je rvočíslo, α Z [ω] Pak: ( ( 1, α α ( ro n Z takové, že n, latí Důkaz: n 1 1 Protože, dostaneme z ředchozích vět ( α ( α ( α ( α Protože n n, dostaneme z ředchozích vět ( ( ( ( n n n n ( ( Víme, že n a rotože 0, musí latit 1 n n

34 Díky ředchozímu důsledku můžeme říci, že celé číslo n, které je nesoudělné s rvočíslem (mod, je kubickým zbytkem modulo ( Jsou-li ( tedy 1, dvě různá rvočísla taková, že 1 (mod, otom 1 1 Dostali jsme seciální říad kubického zákona vzájemnosti, k jehož obecnější formě se dostaneme v následující kaitole Kubický zákon vzájemnosti Definice Prvočinitel Z [ω] nazveme rimární, jestliže (mod Jestliže a + bω, lze odmínku z definice formulovat jako a (mod a zároveň b 0 (mod Můžeme tedy říci, že libovolný rvočíselný rvočinitel je rimární Také si můžeme všimnout, že okud a+bω je rimární rvočinitel, ak také (a b bω je rimární Tvrzení 9 Necht Z [ω] je rvočinitel, Z rvočíslo takové, že N ( 1 (mod Potom je mezi rvky asociovanými s rávě jeden rimární rvočinitel Důkaz: Položme a + bω Prvky asociované k jsou tvaru, ω, ω,, ω, ω Celkově se tedy bude jednat o rvky 1 a + bω, ω (a + bω b + (a b ω, ω (a + bω (b a aω, a bω, 5 b + (b a ω, 6 (a b + aω Najdeme mezi těmito rvočiniteli alesoň jeden, který bude rimární Protože N ( a ab + b 1 (mod nemůže nastat říad, kdy a a zároveň b Porovnáním rvků částí 1 a důkazu vidíme, že lze bez újmy na obecnosti ředokládat, že a Dále orovnáním rvků 1 a můžeme dokonce ředokládat, že a (mod Díky tomu dostáváme a ab + b b + b (mod 1 Což lze také řesat ve tvaru b (b 0 (mod Celkově můžeme ředokládat, že bud a (mod a 0 (mod, nebo a (mod a (mod V rvním říadě je rimárním rvočinitelem rvek a + bω, ve druhém rvek b + (b a ω Pro dokázání jednoznačnosti ředokládejme, že a+bω je rimární rvočinitel Jestliže orovnáme rvní složky rvků a 5 zjistíme, že nemohou být rimární Dále vidíme, že rvek 6 nemůže být rimární rvočinitel vzhledem ke koeficientu a ve druhé složce Tím je tedy věta dokázána

35 Příklad 1 Najděte rimárního rvočinitele, který je asociovaný s rvočinitelem: 1 1 ω, 1 + ω, 7 ω Řešení: 1 Nejrve ověříme, že N (1 ω 7, a roto je rvek 1 ω dle tvrzení rvočinitelem Asociované rvky k tomuto rvku jsou řitom tvaru a 1 ω, b ω (1 ω ω ω ω ( 1 ω + ω, c ω (1 ω ω ω ( 1 ω ω, d 1 + ω, e ω, f + ω Primárním rvočinitelem je rvek + ω Oět zkontrolujeme nejrve latnost tvrzení a zjistíme, že N (1 + ω 1 Asociované rvky budou následující: a 1 + ω, b ω (1 + ω ω + ω ω + ( 1 ω ω, c ω (1 + ω ω + ω ( 1 ω + ω, d 1 ω, e + ω, f + ω Primárním rvočinitelem je rvek ω Zde je situace jednodušší Platí, že N ( 7 ω 7 a zároveň je rovnou slněno 7 (mod a 0 (mod Prvek 7 ω je tedy římo rimární rvočinitel Příklad Jak vyadá těleso Z [ω] /5Z [ω]? Řešení : Číslo 5 je rvočinitel v Z [ω] Víme tedy, že Z [ω] /5Z [ω] je těleso o N ( rvcích V našem říadě to bude 5 rvků, které budou vyhovovat kongruenční rovnici x a + bω (mod 5 v Z [ω] Všechny tyto rvky jsou v následující tabulce Pro jednodušší záis budeme dál ztotožňovat zbytkové třídy s jejich rerezentanty

36 0 ω ω ω ω 1 1+ω 1+ω 1+ω 1+ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω +ω Grua (Z [ω] /Z [ω] je cyklická grua řádu a třetí mocniny jejích rvků tvoří její cyklickou odgruu řádu 8 Zkusíme najít generátor této odgruy a všechny její rvky Určeme ostuně hodnoty kubických mocninných symbolů ro rvky z tělesa Z [ω] /5Z [ω] ( (mod ( 8 (mod ( 8 (mod ( 5 8 (mod 5 1 ( 1 + ω (1 + ω 8 5ω + 5ω ( ( ( + ω 1 + ω ( + ω 1 5 ( + ω 1 5 Vidíme tedy, že hledaná odgrua má rvky 1,,,, 1 + ω, + ω, + ω, + ω a jejím generátorem je rvek 1 + ω Stejným zůsobem bychom mohli určit hodnoty zbylých rvků a dosěli bychom k výsledku že Z [ω] /5Z [ω] Z Prvky zobrazující se na 1 jsme již našli Prvky zobrazující se na ω jsou 1 + ω, + ω, + ω, + ω, + ω, + ω, 1 + ω, + ω a rvky zobrazující se na ω jsou ω, ω, ω, ω, 1 + ω, + ω, + ω, + ω 5

37 Tvrzení 10 Kubický zákon vzájemnosti Necht 1, Z [ω] jsou rimární rvočinitelé takoví, že N ( 1 N ( Potom ( ( 1 Důkaz: Důkaz kubického zákona vzájemnosti je k disozici v několika verzích v literatuře [1, str ] Nyní budeme chtít odrobněji vyšetřit, jak se mění hodnota kubického mocninného symbolu ( ω ro všechny jednotky okruhu Z [ω] a dále ro rvočinitele 1 ω, na něhož nelze alikovat kubický zákon vzájemnosti Předokládejme, že N ( Jak je vidět, tak kongruence x 1 (mod a x 1 (mod jsou řešitelné vždy, nebot stačí oložit x 1 říadně x 1 Platí tedy ( 1 ( 1 1 ω N( 1 Podívejme se ještě na hodnotu ( ω Z tvrzení 5 můžeme sát ( ω Obě strany kongruence nabývají ouze hodnot 1, ω, ω, ležící v různých zbytkových třídách modulo Konkrétně latí ( ω 1 N ( 1 (mod 9 ω, jestliže N ( (mod 9 ω N ( 7 (mod 9 ( Víme, že latí ω 1 ( ω a jsme tedy schoni již určit hodnoty kubického mocninného symbolu modulo ro všechny zbývající jednotky Věta 1 Necht je rimární rvočinitel, ro který latí N ( Položíme-li m 1 + nω, kde m, n Z, ak latí: 1 ( ω ωm+n ( 1 ω ωm Důkaz: Pokud bychom chtěli číslo sát v obvyklém tvaru a + bω, tak bychom oložili a m 1 a b n Tím je číslo jednoznačně určeno a v souladu s definicí rimárního rvočinitele 1 Podle tvrzení 5 latí ( ω ω N( 1 Vyočítáme, čemu se rovná exonent na ravé straně rovnosti: N ( 1 N (m 1 + nω 1 (m 1 (m 1 n + (n 1 9m 6m 9mn + n + 9n 6

38 Odtud dostaneme N ( 1 m m mn + n + n m + n (mod Proto latí ( ω ω m+n Důkaz této části věty je oměrně racný a vzhledem k rozsahu ráce jej zde nebudeme uvádět Lze jej nalézt v knize [1, str 15] Příklad Určete, zda je řešitelná kongruence x 11 (mod 17 Řešení : Z ředchozího textu víme, že je-li (mod je kongruence x a (mod řešitelná vždy, jestliže a je nesoudělné s V našem říadě jsou obě odmínky slněny a kongruence je řešitelná Ke stejnému výsledku bychom dosěli i okud bychom chtěli využít malou Fermatovu větu Platí, že ( (mod 17 Příklad Určete, zda je řešitelná kongruence x 1 (mod 7 Řešení : Protože je 7 1 (mod, lze využitím tvrzení najít rvočinitele, takové, že 7 Označme a + bω Hledáme tedy řešení rovnice a ab + b 7 Vynásobením rovnice a úravou levé strany na čtverec dostaneme ekvivalentní rovnici (a b + b 18 Výrazy v této rovnici nabývají ouze kladných hodnot a ožadujeme, aby latilo b Existuje tedy c Z takové, že b c Můžeme roto rovnici řesat do tvaru (a c + 7c 18 Rovnici můžeme řešit v závislosti na hodnotě výrazu c Dostaneme následující možnosti: 1 c 0 a zároveň (a c 18 což nelze, rotože 18 není druhá mocnina žádného celého čísla c 1 a zároveň (a c 11 odtud dostáváme, že c ±1 a zároveň (a c ±11 c a zároveň (a c 0 což nelze, rotože 0 není druhá mocnina žádného celého čísla c 9 a zároveň (a c < 0 což nelatí ro žádné čísla a, c Z Vidíme tedy, že jen druhý říad ovede k řešení rovnice Dosazením c ±1 do rovnosti (a c ±11, b c dostaneme možnosti a 1, a 7, b a a 1, a 7, b Hledáme rimární rvočinitele, takže můžeme oužít rovnou koeficienty, které slňují odmínky ro rimární rvočinitel a získáme výsledek ve tvaru 1 + ω a 7 ω Snadno se lze řesvědčit, že latí 1 a naoak Tedy

39 Pro výočet hodnoty kubického mocninného symbolu ( 1 nelze oužít +ω kubický zákon vzájemnosti Budeme-li ostuovat stejně jako ro číslo 7, dojdeme k výsledku ( ω ( 1 + ω 9ω 9ω 9ω 9 ( 1 ω 1 Platí tedy, že 1 ( ω ( 1 + ω a dále využitím tvrzení 5 ( a kubického zákona vzájemnosti dostáváme ( ( ( ( ( 1 ω 1 + ω + ω + ω + ω + ω + ω ω 1 + ω Jelikož + ω 1 (mod + ω a + ω (mod 1 + ω latí dle tvrzení 5 (, že ( ( ( ( + ω + ω 1 ω 1 + ω ω 1 + ω Víme, ( že kongruence x 1 (mod je řešitelná ro každé Z [ω] Proto 1 1 Využijeme dále vztahu ω ω (1 ω a dostaneme ( ( ( ( 1 ω 1 ω 1 + ω 1 + ω 1 + ω 1 + ω Použitím věty 1 a vzhledem k tomu, že ( 1 1 dostáváme výsledek ( ω 1 + ω Kongruence tedy řešitelná není 1+ω ( 1 ω ( ω ( ω 0 ω ω 8

40 5 Bikvadratický zákon vzájemnosti V této kaitole si ukážeme, jak omocí bikvadratického zákona vzájemnosti rozhodovat o řešitelnosti kongruencí tyu x a (mod, kde a Z a je rvočíslo V několika říadech se setkáme s analogickými větami a definicemi jako v ředchozí kaitole 51 Obor integrity Z [i] odrobněji Podobně jako v ředchozí kaitole se nejrve odíváme na rvočinitele v oboru integrity Z [i] Tvrzení 51 Je-li je rvočinitel v Z [i], otom existuje rvočíslo takové, že Důkaz: Využijeme definici normy v Z [i] Platí N ( n N, tedy n Víme, že n lze rozložit na součin konečně mnoha rvočísel n 1 k Jelikož je rvočinitel, tak bude existovat i {1, k} takové, že i Tvrzení 5 Jestliže ro rvek Z [i] latí N (, kde je rvočíslo, ak je rvočinitel v Z [i] Důkaz: Necht γδ Platí, že N ( N (γ N (δ Podle ředokladu je N ( rovna rvočíslu a jedno z čísel N (γ, N (δ musí být rovno 1 a druhé rvočíslu Musí tedy být bud γ nebo δ jednotkou a tedy je rvočinitel Pomocí následující věty budeme schoni charakterizovat všechny rvočinitele v Z [i] Tvrzení 5 Necht je rvočíslo, otom latí: (1 Je-li, otom i (1 + i a 1 + i je rvočinitel v Z [i] ( Jestliže 1 (mod, otom, kde je rvočinitel v Z [i] a rvky a nejsou asociované ( Jestliže (mod, otom je rvočinitel v Z [i] Libovolný rvočinitel v Z [ω] je asociovaný s jedním z rvočinitelů z bodů (1 - ( Důkaz: Z ředchozí věty lyne, že 1+i je rvočinitel v Z [i] Snadno vyočítáme, že i (1 + i i ( 1 + i + i i i Předokládejme nyní, že q není rvočinitel v Z [i] a že ro q latí q (mod Prvek q lze tedy sát ve tvaru q αβ, kde N (α > 1 a N (β > 1 Zároveň latí q N (q N (αβ N (α N (β Odtud musí být N (α N (α q Položíme-li α a + bi, kde a, b Z, otom lze sát q a + b Pro součet druhých mocnin libovolných celých čísel latí, že o dělení čtyřmi dávají jeden ze zbytků 0, 1, Tím ale dostáváme sor s ředokladem q (mod, z 9

41 čehož lyne, že q je rvočinitelem v Z [i] Mějme nyní rvočíslo 1 (mod Číslo 1 je kvadratickým zbytkem modulo a existuje tedy číslo a Z takové, že a 1 (mod, neboli a + 1 Pokud by byl rvočinitel v Z [i], ak by musel dělit jeden z rvků a + i, a i, což nelatí Prvek tedy není rvočinitel a lze jej sát ve tvaru γ, kde, γ nejsou jednotky Víme, že latí N ( N (γ N (γ N ( a dále N ( je tedy rvočinitel v Z [i] Předokládejme nyní, že rvky, jsou asociované Tedy a také Označme c + di Potom latí (c + di c + cdi d Pro tedy dostáváme (c d a zároveň (cdi Jelikož c, d jsou celá čísla a je rvočíslo, z druhé odmínky dostaneme následující možnosti: 1, což je zřejmě sor s ředokladem 1 (mod c (c d, zároveň tedy d d (c d, zároveň tedy c Celkově jsme tedy ukázali, že c a zároveň d, z čehož již lyne, že To ale není možné, rotože by muselo latit N ( N (, neboli Prvky a tedy nemohou být asociované Zbývá již jen ukázat, že libovolný rvočinitel oboru Z [i] je asociovaný s jedním z výše uvedených rvočinitelů Necht nyní je libovolný rvočinitel Platí tedy, že dělí nějaké rvočíslo Toto rvočíslo lze dle 1 až rozložit na součin rvočinitelů Tento rozklad je jednoznačný až na asociovanost Prvočinitel tedy musí být asociovaný s jedním z výše uvedených rvočinitelů, vyskytujících se v tomto rozkladu 5 Bikvadratický mocninný symbol Nejrve rozšíříme ojem kongruence na okruh Gaussových celých čísel Definice 51 Pro α, β, γ Z [i] značíme α β (mod γ, okud γ (α β Říkáme, že α je kongruentní β modulo γ Poznámka 51 Kořenem olynomu x je číslo i, které je algebraickým celým číslem Tato čísla tvoří okruh, jehož odokruhem je okruh celých čísel Z Proto také libovolná lineární kombinace čísel 1 a i je algebraickým celým číslem Dostaneme tedy usořádání Z < Z [i] < Ω, kde Ω je okruh algebraických celých čísel Libovolná kongruence celých čísel je tedy kongruencí v okruhu Z [i] a také libovolná kongruence v Z [i] je kongruencí v okruhu Ω Prvky, které jsou solu kongruentní modulo γ, můžeme sloučit do zbytkových tříd modulo γ a dostaneme tím okruh Z [i] /γz [i] Tento okruh nazýváme okruh zbytkových tříd modulo γ 0

42 Věta 51 Necht Z [i] je rvočinitel Potom Z [i] /Z [i] je konečné těleso o N ( rvcích Důkaz: Důkaz je analogický důkazu tvrzení Stačí ukázat, že Z [i] /Z [i] je obor integrity o N ( rvcích Vidíme, že Z [i] /Z [i] je komutativní okruh bez dělitelů nuly Stejně jako v tvrzení dokážeme, že ro rvočíselné rvočinitele (mod latí { } Z [i] /Z [i] [r + si] 0 r <, 0 s < Pokud je naoak rvočinitel takový, že N ( ro nějaké rvočíslo, otom Z [i] /Z [i] {[r] 0 r < } V obou říadech je očet rvků oboru integrity Z [i] /Z [i] roven číslu N ( Jelikož z věty lyne, že multilikativní grua tělesa Z [i] /Z [i] má řád N ( 1, můžeme řesat malou Fermatovu větu následujícím zůsobem Věta 5 Necht α Z [i] a je rvočinitel takový, že α Potom α N( 1 1 (mod Důkaz: Jedná se o důsledek Lagrangeovy věty (viz lit [, str 9], který je alikovaný na gruu (Z [i] /Z [i] Poznámka 5 Pokud latí, že N (, otom jsou zbytkové třídy v tělese Z [i] /Z [i] různé Tyto třídy jsou rerezentované jednotkami 1, 1, i, i Protože [i] {[1], [ 1], [i], [ i] } solu s oerací násobení zbytkových tříd tvoří cyklickou gruu řádu, lyne z Lagrangeovy věty, že dělí řád multilikativní gruy (Z [i] /Z [i] Tedy N ( 1 Věta 5 Necht α Z [i] a je rvočinitel takový, že N (, α Potom existuje jednoznačně určené číslo m {0, 1,, }, ro které latí α N( 1 i m (mod Důkaz: Z ředchozí věty víme, že α N( 1 1 Výraz α N( 1 1 lze rozložit následujícím zůsobem α N( 1 1 (α N( 1 1 (α N( (α N( 1 i (α N( 1 + i Jelikož je rvočinitel, tak vzhledem k ředchozí oznámce, dělí rávě jeden z činitelů na ravé straně 1

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Kongruence na množině celých čísel

Kongruence na množině celých čísel 121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem

Více

Charakteristika tělesa

Charakteristika tělesa 16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Laplaceova transformace.

Laplaceova transformace. Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č. 300043 a v rámci

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

Cyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23

Cyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Cyklické kódy 5. řednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Obsah 1 Cyklické kódy Generující olynom - kódování Kontrolní olynom - objevování chyb Alena Gollová, TIK Cyklické

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety

6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety 6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Algebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení

Algebraický úvod. Kapitola 1. 1.1 Pologrupa, monoid, neutrální prvek. 1.2 Grupa, inverzní prvek, krácení Kaitola 1 Algebraický úvod 1.1 Pologrua, monoid, neutrální rvek Binární oerací na množině M se rozumí každé zobrazení M M M. Binární oerace se často zaisují jako násobení či sčítání, a to i když oerace

Více

1. série. Různá čísla < 1 44.

1. série. Různá čísla < 1 44. série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q 6+ 9 9 6 ¾º ÐÓ `5+ 6 998 není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení

Více

GONIOMETRICKÉ ROVNICE -

GONIOMETRICKÉ ROVNICE - 1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:

Více

SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ

SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ SHANNONOVY VĚTY A JEJICH DŮKAZ JAN ŠŤOVÍČEK Abstrakt. Důkaz Shannonových vět ro binární symetrický kanál tak, jak měl být robrán na řednášce. Číslování vět odovídá řednášce. 1. Značení a obecné ředoklady

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)

Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b) C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

4 Počítání modulo polynom

4 Počítání modulo polynom 8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

3.1.1 Přímka a její části

3.1.1 Přímka a její části 3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

M - Kvadratické rovnice

M - Kvadratické rovnice M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

Základy aritmetiky a algebry II

Základy aritmetiky a algebry II Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L

Více

Obor SOČ: 01. Matematika a statistika. p-adická čísla a jejich aplikace v teorii. p-adic numbers and their applications in number theory

Obor SOČ: 01. Matematika a statistika. p-adická čísla a jejich aplikace v teorii. p-adic numbers and their applications in number theory STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: 0. Matematika a statistika -adická čísla a jejich alikace v teorii čísel -adic numbers and their alications in number theory Autor: Škola: Konzultant: Vladimír Sedláček

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa

grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné

Více

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám

Algebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ107/2200/280141 Soustavy lineárních rovnic Michal Botur Přednáška 4 KAG/DLA1M: Lineární

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Model tenisového utkání

Model tenisového utkání Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální rojekt do ředmětu Náhodné rocesy 2005 V této ráci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstuními hodnotami budou úsěšnosti odání jednotlivých hráčů,

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ), Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b = ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Zbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

Zbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22 Zbytky a nezbytky aneb stručný úvod do kongruencí Zbyněk Konečný Vazební věznice Orličky 2009 23. 27.2.2009 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky 23. 27.2.2009 1 / 22 O čem to dnes bude? 1 Úvod 2 Lineární

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více