Modelování rizika úmrtnosti

Transkript

1 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 200 Modelování rizika úmrnosi Ingrid Perová Absrak V příspěvku je řešena problemaika modelování rizika úmrnosi. Vzhledem ke zřejmým změnám v oblasi demografického složení obyvaelsva je pro pojišťovny pořebná znalos vývoje míry úmrnosi vzhledem k povinnosi plni závazky vyplývající z uzavřených smluv. Velmi užiečným, dlouhodobě oblíbeným a sále používaným přísupem pro modelování míry úmrnosi je Lee-Carerův model. Pomocí ohoo modelu budou odhadnuy paramery na základě da z úmrnosních abulek pro Českou republiku. Klíčová slova Riziko úmrnosi, Lee-Carerův model, míra úmrnosi.. Úvod Míra úmrnosi má důležiý vliv na oceňování a vorbu rezerv produků uzavřených mezi pojisníky a živoními pojišťovnami či penzijními fondy. Sysemaická odchylka od předpokládáné míry úmrnosi může předsavova jisé ohrožení finanční sabiliy. Proo je významné věnova pozornos modelům, keré umožňují zachyi sysemaickou odchylku od daných rendů v míře úmrnosi. V současné době jsou před deerminisickými modely při předpovídání míry úmrnosi preferovány sochasické modely. Již v 90. leech minulého soleí byly publikovány práce ýkající se modelování úmrnosi pomocí sochasických modelů. Mezi nejznámější a sále používaný model paří Lee-Carerův model, jenž byl poprvé publikován v roce 992 (Lee a Carer, 992). Lee-Carerův model byl původně aplikován na daa USA pro roky Dále byl eno model úspěšně aplikován pro dlouhodobé předpovídání míry úmrnosi v mnoha zemích pro různá časová období, např. Kanada (Lee a Naul, 993), Chile (Lee a Rofman, 994) či Japonsko (Wilmoh, 996). Co se ýče určování solvennosi pojišťoven dle nové regulaorní směrnice, ak např. Hanewald a kol. (200) prokázali, že nedílnou součásí inerních modelů živoních pojišťoven by mělo bý zohlednění inerakce mezi mírou úmrnosi a makroekonomickými údaji. Cílem příspěvku je na základě da z úmrnosních abulek za období odhadnou paramery Lee-Carerova modelu v České republice. Srukura příspěvku je následující. V první kapiole budou uvedena specifika rizika živoního pojišění. Dále bude objasněn Lee-Carerův přísup, kerý je sále využíván pro modelování míry úmrnosi. V aplikační čási budou nejprve popsána daa a poé bude proveden odhad paramerů dle ohoo modelu. Následně bude zobrazeno pravděpodobnosní rozdělení náhodné složky modelu. Ing. Ingrid Perová, Vysoká škola báňská Technická univerzia Osrava, Ekonomická fakula, kaedra financí, Sokolská řída 33, Osrava, ingrid.perova@vsb.cz. Teno příspěvek vznikl v rámci projeku Granové agenury České republiky (GAČR) 402/08/237 a projeku SGS VŠB TUO SP/2004.

2 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září Riziko živoního pojišění Riziko lze obecně definova jako uřčiou pravděpodobnos vzniku nahodilé událosi. Důkladný sysém řízení rizik je nedílnou současí jak finančních, ak nefinančních insiucí. Důležiou činnosí risk managemenu je idenifikace rizik, kerým mohou bý insiuce v rámci předměu činnosi vysaveny. Jisé riziko živoního pojišění vyplývá z podepsání smlouvy, kerou se pojišťovna zavazuje vypláce či vyplai určiou čásku v budoucnosi. Finanční výkonnos živoních pojišťoven je závisla na výskyu možné odchylky od předpokládané míry úmrnosi, v době, kdy byly uzavřeny pojisné smlouvy. Významným aspekem řízení rizik živoních pošoven jsou právě náhodné odchylky od předpokládané míry úmrnosi. Právě změna rendu v míře úmrnosi směrem k prodlužování délky živoa předsavuje pro pojisiele riziko, označované jako riziko dlouhokověkosi. Živoní pojišění předsavuje edy yp pojišění, keré je spojeno jak s úmrím, ak dlouhověkosí pojišěných osob Mezi radiční produky živoního pojišění se řadí pojišění pro případ dožií, na vymezenou dobu, doživoní důchod apod. Mezi moderní produky živoního pojišění paří invesiční pojišění Dle nové regulaorní směrnice Solvency II by pojišťovny v rámci sandardního přísupu při určování solvennosního kapiálového požadavku pro živoní upisovací riziko měly brá v úvahu právě aké kapiálový požadavek pro riziko dlouhověkosi. Dále je nuné dle nové směrnice zahrnou do solvennosního kapiálového požadavku rizika úmrnosi, invalidiy, pochybení a kaasrofické riziko. Živoní riziko lze definova jako riziko snížení hodnoy vlivem neočekáváné úmrnosi nebo vlivem změny v očekávané úmrnosi. Živoní riziko je obecně rozděleno do řech složek, a o riziko volailiy, keré vyplývá z neočekávaných výkyvů v míře úmrnosi, dále riziko změny odhadnuého vývoje očekávané úmrnosi a riziko kaasrofy plynoucí například z epidemií, což má zda následek vysokou míru úmrnosi. Výpoče ekonomického kapiálu pro živoní riziko je založen na ržním ocenění produků živoního pojišění. Tržní hodnoa je sanovena jako čisá současná hodnoa budoucích peněžních oků, keré jsou diskonovány bezrizikovou sazbou. Je nuné zjisi, kolik bude řeba kapiálu, aby bylo pokryo zvýšení ržního hodnoy pojisných závazků. Jsou edy počíány reálné hodnoy pro dva předpoklady vývoje úmrnosi, nejprve pro očekávánou míru úmrnosi, což předsavuje zv. nejlepší odhad ržní hodnoy, poé pro erémní míry úmrnosi, což udává nejhorší případ reálné hodnoy. Rozdíl mezi nejhorším a nejlepší odhadem předsavuje hodnou ekonomického kapiálu. Jak již bylo uvedeno výše, živoní pojišění v sobě zahrnuje pokryí rizika úmrnosi a dlouhověkosi. Riziko úmrnosi lze obecně definova jako odchylku od očekáváné míry úmrnosi, pro jejíž zachycení lze využí abulky úmrnosi. Předpovídání míry úmrnosi je objekem zájmu insiucích pohybujících se v sysému sociálního pojišění. Je edy důležié vhodně předpovídá a kvanifikova dopady demografických změn na eno sysém Pro předvídání míry úmrnosi eisují jak deerminisické přísupy, ak sochasické modely. Jedním ze sochasických modelů, kerý byl úspěšně aplikován v několika zemích je právě Lee-Carerův model. 3. Lee-Carerův model Lee-Carerův model (992) je definován rovnicí pro určení logarimu sřední míry úmrnosi ve věku v daném roce, a o ln m = a + b k + ε, =,2,... T, =,2,.. n. () ( )

3 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 200 kde paramer a předsavuje průměrnou úmrnos pro určiý věkový profil, k je inde úmrnosi v čase, kerý udává obecnou úroveň úmrnosi paramer b vyjadřuje sav, jak se mění míra úmrnosi v daném věku, když se mění inde úmrnosi aε je reziduum. Paramer a je vyjádřen jako průměr logarimů sřední míry úmrnosi za celkové období T a = ln( m ). (2) T = Pro odhad paramerů modelu lze využí např. meodu nejmenších čverců či meodu maimální věrohodnosi. Nicméně v Koissi a kol. (2005) bylo dokázáno na daech severských zemí, že nejlepší možnosí pro odhad indeu úmrnosi je singulární rozklad. Pro odhad paramerů b a k bude edy v rámci Lee-Carerova modelu použi singulární rozklad Singular Value Decomposiion (SVD) pro maici Z, = ln ( m, ) aˆ = bk. (3) Aplikací singulárního rozkladu na maici Z, získáme ři maice SVD ( Z, ) = ULV = LU V LXU XVT, (4) kde maice U předsavuje věkový komponen, maice L je diagonální maice singulárních hodno a maice V reprezenuje časový komponen. Paramer je odvozen od prvního vekoru maice vzahující se k věkovému komponenu, b ˆ = U a paramer kˆ je sanoven jako součin prvního vekoru maice ýkající se časového komponenu a první singulární hodnoy, k ˆ = LV. Při analýze reziduí, edy chyby modelu, vycházíme z (), edy ε = ln( m ) aˆ k ˆ. Suma čverců reziduí označuje míru nesouladu mezi danými údaji a odhadem modelu. Čím menší je hodnoa, ím lepší je odhadu modelu. 4. Aplikační čás Tao čás bude nejprve věnována popisu da úmrnosi a poé bude proveden odhad paramerů pomocí Lee-Carerova modelu. 4. Daa Pro účely ohoo příspěvku budou využia daa dosupná na webových sránkách Českého saisického úřadu 2, a o podrobné úmrnosí abulky pro muže, j s jednoleým věkovým inervalem pro obdboí V leech došlo k přerušení časové řady. Podrobné úmrnosní abulky obsahují ukazaele, jako jsou pravděpodobnos úmrí, pravděpodobnos dožií, abulkový poče dožívajících, abulkový poče zemřelých, abulkový poče žijících a sřední délka dožií neboli naděje dožií. 4.2 Odhad paramerů dle Lee-Carerova modelu Lee-Carerův model bude aplikován pro odhad ýkající se celého období edy pro věk Aby mohl bý proveden odhad paramerů, je v první řadě nuné z dosupných da urči sřední míru úmrnosi pravděpodobnosi úmrí m, v daném věku a v roce pomocí vzahu pro výpoče q = e m,. (5) 2 Dosupné z hp://

4 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 200 Po zjišění sřední míry úmrnosi jednoduše urči paramer m, pro daný věk a rok, lze již dle vzahu (2) aˆ. V Obr. č. je zobrazen vývoj parameru aˆ. Teno paramer vyjadřuje obecnou vlasnos úmrnosi v daném věku. Z obrázku je parný obecně rosoucí rend úmrnosi můžů s ím, že pro nižší věkové kaegorie je zřejmá nízká úmrnos a s rosoucím věkem rose úmrnos. Obr. č. : Odhad parameru a a Nyní budou odhadnuy paramery a kˆ, přičemž je v první řadě nuné urči maici Z,, kerá bude pomocí meody SVD rozložena na ři maice. V příloze jsou uvedeny hodnoy odhadnuých paramerů aˆ a pro jednolivé věkové kaegorie. Na základě ěcho hodno, lze urči pro rok 2009 hodnoy logarimu sřední míry úmrnosi pro muže ve věku 25, 50, 75 ln m, = 7,2564; 5,009; 2,6303; 0, V Obr. č. 2 a 3 je zobrazen a 00 le ako: ( ) { } vývoj odhadnuých paramerů Obr. č. 2: Odhad parameru Obr. č. 3: Odhad parameru kˆ b k Paramer vyjadřuje endenci úmrnosi v daném věku, kerá by se měla měni jako obecná míra úmrnosi. To znamená, že pokud je paramer vyšší pro daný věk, je změna míry úmrnosi pro enýž věk více odlišná od obecné míry úmrnosi a naopak. Inde úmrnosi kˆ zachycuje rend míry úmrnosi v čase. Suma čverců reziduí pro jednolivé roky narození a pro vývoj v čase jsou zobrazena v Obr. č. 4 a 5. Rok

5 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 200 Obr. č. 4 a 5: Souče čverců reziduí Rok Pomocí hisogramů bude zobrazeno rozdělení náhodné složky modelu, viz Obr. č. 6 a 7. Z obrázků, kdy na ose je hodnoa reziduí a ose y jsou čenosi ěcho hodno, je parný zešikmený var rozdělení reziduí, kerý signalizuje nenormaliu da. Z analýzy reziduí pro věk je parné, že nejvěší odchylky jsou pro krajní věkové kaegorie. Co se ýká analýzy reziduí pro jednolivé roky, v poválečném období se ukazuje, že rezidua mají věší volailiu. Obr. č. 6: Hisogram reziduí dle věku Obr. č. 7: Hisogram reziduí pro jednolivé roky Závěr Cílem příspěvku bylo na základě da z úmrnosních abulek za období odhadnou paramery Lee-Carerova modelu v České republice. Pomocí Lee-Carerova modelu jsme se pokusili idenifikova běžný rend míry úmrnosi v České republice na základě hisorických da. Paramery modelu byly odhadnuy pomocí meody Singular Value Decomposiion, jenž je původním přísupem používaným při odhadu paramerů modelu. Na závěr byla provedena analýza reziduí jak pro věk, ak pro jednolivé roky, včeně zobrazení rozložení náhodné složky modelu. Lieraura [] CAIRNS, A. J. G, BLAKE, D., DOWD, K.: Modelling and Managemen of Moraliy Risk: A Review. Discussion paper Pension insiue [2] CRUZ, M.: The Solvency II Handbook. Risk Books, a Division of Incisive Financial Publishing Ld

6 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 200 [3] DOFF, R.: Risk Managemen for Insurers: Risk Conrol, Economic Capial and Solvency II. Risk Books, a Division of Incisive Financial Publishing Ld [4] HANEWALD, K., POST, T., GRÜNDL, H.: Sochasic Moraliy, Macroeconomic Risks, and Life Insurer Solvency. Nespar. Discussion Paper [5] GIROSI, F., KING, G.: Undersanding he Lee-Carer Moraliy Forecasing Mehod.Working paper, Harvard Universiy [6] KOISSI, M. C., SHAPIRO, A., HÖGNÄS, G.: Fiing and Forecasing Moraliy Raes for Nordic Counries Using he Lee-Carer mehod. Acuarial Research Clearing House,, 2 pp [7] LEE, R. D, CARTER, L. R.: Modeling and Forecasing U. S. Moraliy. Journal of he American Saisical Associaion. Vol. 87, No. 49. pp [8] LEE, R.: The Lee-Carer Mehod for Forecasing Moraliy, wih Various Eensions and Applicaions. Norh American Acuarial Journal [9] WANG, J. Z.: Fiing and Forecasing Moraliy for Sweden: Applying he Lee-Carer model. Mahemaical Saisics, Sockholm Universiy Summary Moraliy risk modelling The arcicle deals wih moraliy risk modelling. Considering he eviden changes in demographics, i is necessary o know developmen of moraliy rae because of duies o mee he liabiliies from conrac beween an insurance company and a policyholder. Lee-Carer model is very useful, for a long-ime popular and sill used approach for moraliy risk modelling. The heoreical par is devoed o descripion of life insurance risk and Lee-Carer model. In he pracical par we apply he Lee-Carer model for esimaing parameers for he period in he Czech republic. Příloha aˆ aˆ aˆ

7 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září Tab. č. : Hodnoy odhadnuých paramerů modelu