KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

Transkript

1 KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol, obce a ekologických sdružení. Reg. číslo CZ.1.07/1.1.00/

2 Předmluva Tento materiál, který právě čtete na monitoru nebo v papírové podobě, obsahuje vybrané partie matematiky, které se často objevují v přijímacích zkouškách na fakulty ekonomického směru. Najdete zde řešené úlohy, souhrny klíčových pojmů a vztahů. Je zde akcentována matematická představivost významnou část obsahu tvoří grafy často se vyskytujících funkcí, jejichž systematickým prostudováváním do hloubky získá uchazeč často více, než při bezmyšlenkovitém počítání příkladů. Dále zde najdete pracovní listy na procvičování. Vhodným doplňkem této e-publikace je sbírka úloh, kterou rovněž můžete stáhnout ze serveru Hodně štěstí (nejen) při přípravě na přijímací zkoušky přejí autoři.

3 Pojem absolutní hodnoty, rovnice s absolutní hodnotou Definice a základní vlastnosti Absolutní hodnota reálného čísla x je definována předpisem: x = x, jestliže x 0, a x = x, jestliže x < 0. Příklady: 5 = 5, 10 = 10. Absolutní hodnota daného čísla vlastně říká, jaká je jeho vzdálenost od počátku reálné osy (tj. bodu 0). Je dobré si uvědomit, že absolutní hodnota čísla x je rovna nule pouze v případě, že x = 0. Z definice také vidíme, jakým způsobem je možné nakládat s výrazy s absolutní hodnotou: mějme např. výraz x 3. Tento výraz je roven x 3 v případě, že x 3 0, tj. x 3, jinými slovy, pokud x 3, + ). Naproti tomu na intervalu (, 3) je výraz x 3 < 0, výraz x 3 je roven (x 3), čili 3 x. Z tohoto postupu je nyní jasné, jakým způsobem postupujeme při řešení rovnic (případně nerovnic) s absolutní hodnotou. Nejprve určíme nulové body, tj. takové hodnoty neznámé, pro které výrazy, které jsou v absolutní hodnotě (přesněji jsou argumenty absolutní hodnoty), nabývají hodnoty nula. Podle těchto nulových bodů následně rozdělíme reálnou osu (budeme se zabývat pouze rovnicemi o jedné neznámé) na jednotlivé intervaly. Na těchto intervalech následně budeme řešit jednotlivé získané rovnice zvlášť. Příklad řešení rovnice s absolutní hodnotou Řešte v oboru reálných čísel rovnici x = 2x 1. Řešení: nulovými body jsou v tomto případě body 1 a 1 2. Na intervalu (, 1 získáváme rovnici (x + 1) + 3 = 1 2x. Po zjednodušení máme x + 1 = 0. Tato rovnice má řešení x = 1. Nyní je nutné zkontrolovat, zda výsledek náleží do intervalu, na kterém jsme rovnici řešili! (Na to se často zapomíná!). V tomto případě je vše v pořádku, neboť 1 do intervalu (, 1 skutečně náleží. Pojďme se nyní podívat na interval ( 1, 1 2. Opět podle definice odstraníme absolutní hodnoty. Dostaneme rovnici (x + 1) + 3 = 1 2x, čili 3x + 3 = 0, 1

4 tedy x = 1. Ovšem pozor: v tomto případě nalezený kořen do příslušného intervalu nepatří! Tedy zatím daší kořen nezíkáváme. Podívejme se tedy na poslední interval, tedy na interval ( 1 2, + ). Po odstranění absolutních hodnot podle definice dostaneme rovnici (x + 1) + 3 = 2x 1. Po úpravě dostaneme již jednoduchou rovnici x = 5. Původní rovnice tedy má kořeny x 1 = 1 a x 2 = 5. Geometrický význam absolutní hodnoty Mějme reálná čísla a a b. Výraz x a má hodnotu odpovídající vzdálenosti čísla x od čísla a na číselné ose. Řešením rovnice x a = b jsou ty (dva) body, které mají od bodu a vzdálenost právě b. Je zřejmé, že řešením nerovnice x a < b by byl právě interval, jehož prvky (čísla) by měly od čísla a vzdálenost menší než b. Pracovní list Úlohy k řešení mají rostoucí obtížnost. Elementární práce s absolutní hodnotou 1. Odstraňte absolutní hodnotu ve výrazech: (a) 2 (b) 0 (c) Najděte nulové body pro výrazy v absolutní hodnotě: (a) 2x 3 (b) x 5 (c) 5 x 3. Odstraňte absolutní hodnotu ve výrazech na daných intervalech: (a) 5x 1 na intervalu 10, 5) (b) x + 5 na intervalu ( 5, 10) (c) 2 3x na intervalu ( 10, 5) 4. Řešte rovnice s absolutní hodnotou: (a) x 4 = 1 (b) x 4 = 1 (c) x x = 2x

5 Posloupnosti Obecný pojem posloupnosti Posloupnost je speciální funkce, která je definována na přirozených číslech. V tomto textu budeme uvažovat pouze posloupnosti reálných čísel, čili jde o funkci s definičním oborem přirozených čísel a oborem hodnot reálných čísel. Tento náhled je možná poněkud krkolomný, nicméně jde o přirozené zachycení faktu, že na nějaké pozici je nějaký prvek. Místo slovního vyjádření patnáctým prvkem posloupnosti a je číslo 17 lze napsat a(15) = 17. Zpravidla se ovšem v případě posloupností používá zápis s indexy, a tak se v tomto kontextu píše a 15 = 17. Posloupnost je možno zadat několika způsoby. V případě konečných posloupností např. tabulkou, obvyklejší a na nekonečné posloupnosti využitelné jsou způsoby zadání n-tým členem či rekurentně. Zadání pomocí n-tého členu znamená, že hodnotu členu a n získáme nějakým způsobem přímo z indexu n. Příkladem takového zadání je např. a n = n Potřebujeme-li třeba zjistit hodnotu a 3, dosadíme pouze do vzorečku definované posloupnosti, tj. a 3 = = 26. Zadání pomocí rekurentního vztahu znamená, že hodnotu n-tého členu získáme z hodnot členů předchozích, tj. členů s nižšími indexy. V takovémto případě je ale nutné zadat některý ze členů přímo (typicky ten první, resp. nultý). Příkladem rekurentního zadání může být například posloupnost a n+1 = 2a n +5, a 1 = 2. Kdybychom pak chtěli určit hodnotu členu např. a 3, museli bychom nejprve určit hodnotu členu a 2 : a 3 = 2a a a 2 = 2a 1 + 5, kde a 1 = 2. Tedy, a 2 = = 9 a a 3 = = 23. Je zřejmé, že výpočet hodnoty rekuretně zadané posloupnosti může být poměrně pracný, zejména pro velká n. Převést rekurentní zadání do podoby zadání pro n-tý člen může být ovšem prakticky nemožné. Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost je taková posloupnost, pro níž platí, že rozdíl sousedních členů je konstatní. Formálně zapsáno, a n+1 a n = d, což bezprostředně vede k rekurentnímu vztahu a n+1 = a n + d. Reálnému číslu d se v kontextu posloupností říká diference. Zadat aritmetickou posloupnost znamená zadat první člen a 1 a diferenci d. Pokud bychom chtěli získat zadání aritmetické posloupnosti prostřednictvím n-tého členu, dostali bychom následující vztah: a n = a 1 + (n 1)d. 3

6 Příklady s tématem aritmetických posloupností Úloha: V aritmetické posloupnosti je první člen a 1 roven 15, diference je rovna 3. Jaká je hodnota pátého členu? Řešení: a 5 = 15 + (5 1)( 3) = 3. Úloha: V aritmetické posloupnosti platí a 2 + a 6 = 30, a 3 a 5 = 12. Jaký je čtvrtý člen a 4 této posloupnosti? Řešení: Určit aritmerickou posloupnost znamená určit první člen a diferenci. Uvedené rovnice, které se týkají určitých členů této posloupnosti vyjádříme pomocí prvního členu a diference: a 2 = a 1 +d, a 6 = a 1 + 5d, a 3 = a 1 + 2d, a 5 = a 1 + 4d, získáme tak dvě lineární rovnice o dvou neznámých: a 1 + d + a 1 + 5d = 30 a a 1 + 2d a 1 4d = 12, po úpravě tedy máme 2a 1 + 6d = 30, resp. a 1 + 3d = 15, 2d = 12. Diference je tedy 6, první člen je roven 33. Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost je taková posloupnost, pro kterou platí, že podíl dvou sousedních členů je konstatní. Formálně zapsáno: a n+1 a n = q, což bezprostředně vede k rekurentnímu vztahu a n+1 = qa n. Reálnému číslu q se v kontextu posloupností říká kvocient. Zadat geometrickou posloupnost znamená zadat první člen a 1 a kvocient q. Pokud bychom chtěli získat zadání geometrické posloupnosti prostřednictvím n-tého členu, dostali bychom následující vztah: a n = q n 1 a 1. Příklady s tématem geometrických posloupností Úloha: V geometrické posloupnosti platí a 4 a 5 = 4 a a 7 a 8 = 32. Jaký je první člen a kvocient této posloupnosti? Řešení: Podobně jako v případě úlohy o aritmerické posloupnosti si přepíšeme rovnice ze zadání tak, aby se v nich vyskytovala pouze čísla, první člen a kvocient. Dostaneme tak q 3 a 1 q 4 a 1 = 4 a q 6 a 1 q 7 a 1 = 32. Z druhé rovnice vytkneme q 3, čímž získáme q 3 (q 3 a 1 q 4 a 1 ) = 32. Okamžitě vidíme, že obsah závorky se shoduje s levou stranou první (upravené) rovnice, tedy můžeme dosadit na místo závorky číslo 4. Dostáváme tak 4q 3 = 32, čili kvocient této geometrické posloupnosti je roven dvěma. Nyní použijeme první rovnici, ze které vytkneme člen a 1 : dostáváme tak a 1 (q 3 q 4 ) = 4. Již víme, že q = 2, platí tedy rovněž a 1 (8 16) = 4. Odtud již snadno dostaneme výsledek: a 1 = 4 8 = 1 2. Pracovní list Úlohy k řešení mají rostoucí obtížnost. Posloupnosti 1. Vypočtěte hodnotu daných členů posloupností: (a) Posloupnost je dána předpisem: a n = 3n 4, určete a 5. 4

7 (b) Posloupnost je dána předpisem: a n+1 = 3a n 4, a 1 = 2, určete a 4. (c) Posloupnost je dána předpisem: a n+1 = a 2 n + 1, a 1 = 1, určete a Určete index (číslo k) členu tak, aby platily zadané vztahy: (a) a n = n 2 + 3, a k = 39 (b) a n+2 = a n+1 + a n, a 1 = a 2 = 1, a k = 11 (c) a n+1 = a n + 5, a 1 = 6, a k = Určete první člen a diferenci aritmerické posloupnosti, pro kterou platí: (a) a 2 + a 5 = 17, a 4 + a 6 = 26 (b) a 5 + a 6 = 34, a 2 a 7 = 10 (c) a 2 + a 6 = 1, a 3 + a 4 = 6 4. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, pro kterou platí: (a) a 2 + a 4 = 5, a 3 + a 5 = 10 (b) a 3 + a 5 = 10, a 4 + a 6 = 30 (c) a 2 + a 5 = 1260, a 3 + a 4 = 300 5

8 Funkce Obecný pojem funkce a její definiční obor Reálná funkce jedné reálné proměnné f (dále jen zkráceně funkce) je zobrazení podmnožiny reálných čísel, která se nazývá definiční obor, do množiny reálných čísel této množině se říká obor hodnot. Nemusí se nutně jednat o nějaký předpis, nicméně takové způsoby zadání funkcí jsou pro nás nejčastější. To, že funkce f nabývá v bodě x hodnotu y, budeme symbolicky zapisovat: f(x) = y. Definičním oborem funkce f je množina takových reálných x, pro která platí, že existuje právě jedno reálné y tak, že y = f(x). Určit definiční obor dané funkce znamená typicky projít její zadání a stanovit podmínky, za kterých jsou všechny funkce, z nichž je daná funkce složena, definovány, tj. existuje pro ně právě jedna funkční hodnota. Souhrn podmínek pro určování definičního oboru Poněkud neformálním jazykem shrňme nyní podmínky 1. Pod odmocninou nesmí být záporné číslo (nula být může). 2. Ve jmenovateli nesmí být nula. 3. V argumentu logaritmu musí být kladné číslo. 4. Argumentem funkce tangens nesmí být π 2 a jeho π-násobky. Příklady s tématem určování definičního oboru funkce Úloha: Určete definiční obor funkce log x 2 12x Řešení: víme, že v argumentu logaritmu musí být kladné číslo. Rovnice x 2 12x + 35 = 0 má kořeny x 1 = 5 a x 2 = 7, neboť x 2 12x + 35 = (x 5)(x 7). Výraz x 2 12x + 35 bude tedy nabývat kladných hodnot pro všechna čísla x z intervalu (, 5) (7, + ). Tento interval je též definičním oborem předložené funkce. Pracovní list Úlohy k řešení mají rostoucí obtížnost. 6

9 Funkce a jejich definiční obory 1. Definiční obory lomených funkcí. Určete definiční obor funkce: (a) 1 x+3 (b) 1 x 2 5x+4 (c) 1 x Definiční obory funkcí s odmocninami. Určete definiční obor funkce: (a) 9 x 2 (b) 1 x (c) x x+2 3. Definiční obory funkcí s logaritmy. Určete definiční obor funkce: (a) log 64 x 2 (b) log x 5 (c) log 1 x 4. Definiční obory složených funkcí. Určete definiční obor funkce: (a) x 1 x 2 1 (b) 1 log 4 x 2 (c) log x 1 log x 2 7

10 Užitečné vzorce pro exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce Následující kapitolka shrnuje základní vzorečky, které je vhodné si zapamatovat nikoliv mechanicky, nýbrž procvičováním. Exponenciální funkce Nechť a, b jsou kladná čísla, x a y čísla reálná. Potom platí: 1. a x a y = a x+y 2. a x a y = a x y 3. (a x ) y = a xy 4. (ab) x = a x b x 5. ( a b )x = ax b x 6. a 0 = 1 7. a x = 1 a x Logaritmické funkce 1. log a xy = log a x + log a y 2. log a x y = log a x log a y 3. log a x b = b log a x Goniometrické funkce 1. sin 2 x + cos 2 x = 1 2. sin 2x = 2 sin x cos x 3. cos 2x = cos 2 x sin 2 x 8

11 4. sin x = sin(x + 2π), cos x = cos(x + 2π) 9

12 Komplexní čísla Pojem imaginární jednotky a algebraický tvar komplexního čísla Motivací pro zavedení komplexních čísel byl fakt, že pro žádné reálné číslo a není splněna podmínka a 2 = 1. Důsledkem tohoto faktu je, že některé kvadratické rovnice nemají v oboru reálných čísel řešení. Proto byla zavedena imaginární jednotka i, pro níž platí i 2 = 1. Komplexním číslem v algebraickém tvaru pak rozumíme číslo z = a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i již zmíněná imaginární jednotka. Číslo a nazýváme v tomto kontextu reálnou částí komplexního čísla, číslo b pak imaginární částí komplexního čísla. Příklady komplexních čísel 3 + 2i: zde jde o komplexní číslo s reálnou částí rovnou třem, imaginární složkou rovnou dvěma, 5i: v tomto případě máme komplexní číslo, jehož reálná část je nulová, tj. 5i = 0 5i, 4: jedná se o reálné číslo, které můžeme považovat za komplexní, přičemž v tomto případě je imaginární složka nulová, tj. 4 = 4 + 0i. Umocňování imaginární jednotky Jak již víme, druhá mocnina imaginární jednotky je rovna 1. Podívejme se nyní na další mocniny. i 3 = i, i 4 = 1, i 5 = i,... Zdůvodnění těchto rovností vychází přímo z definice a vlastností násobení: i 3 = i 2 i = ( 1)i = i, dále, i 4 = i 2 i 2 = ( 1)( 1) = 1 atd. Příklad Zjednodušte (určete hodnotu) výrazu i

13 Řešení i 43 = i 40+3 = i 40 i 3 = i 4 i 3 = (i 4 ) 10 i 3 = 1 10 ( i) = i Operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru Komplexních čísel není třeba se obávat, lze s nimi provádět nejrůznější operace, které běžně provádíme s reálnými čísly. Mějme komplexní čísla z = a + bi a w = c + di. Sčítání, odčítání a násobení komplexních čísel Součtem komplexních čísel z a w je (komplexní) číslo, jehož reálná část je rovna (a+c), imaginární část je rovna (b+d). Výsledkem je tedy číslo (a+c)+(b+d)i první pár závorek je samozřejmě nadbytečný. Rozdílem komplexních čísel z a w je (komplexní) číslo, jehož reálná část je rovna (a c), imaginární část je rovna (b d). Výsledkem je tedy číslo (a c)+(b d)i první pár závorek je opět samozřejmě nadbytečný, používáme je spíše pro přehlednost. Pokud nám sčítání a odčítání komplexních čísel připomíná sčítání a odčítání vektorů, není to náhoda. Komplexní čísla lze reprezentovat v rovině jako reálné vektory. Pokud definujeme opačné číslo ke komplexnímu číslu w jako w = a bi, pak rozdílem komplexních čísel z w je součet čísla z a čísla opačného k číslu w. S komplexními čísly manipulujeme stejně jako s mnohočleny. To se uplatní např. při násobení: komplexní čísla násobíme jako polynomy: zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + cbi + bdi 2. Uvedený výsledek však lze samozřejmě zjednodušit s využitím pravidel pro umocňováná imaginární jednotky. i 2 = 1, tedy bdi 2 = bd. Výsledkem po zjednodušení proto je výraz, resp. komplexní číslo (ac bd) + (ad + bc)i. Čísla komplexně sdružená a dělení komplexních čísel Dělení komplexních čísel není tak přímočaré jako předchozí tři operace. K tomu, abychom zvládli dělení komplexních čísel, si budeme definovat pojem čísla komplexně sdruženého. Čísla komplexně sdružená Máme-li komplexní číslo z = a + bi, pak číslem k němu komplexně sdruženým nazveme číslo z = a bi. Je zřejmé, že vztah býti komplexně sdruženým číslem k... je vztah symetrický: je=li z číslem komplexně sdruženým k z, pak z je číslo komplexně sdružené k z. Klíčové pozorovnání je, že pokud vynásobíme komplexní číslo číslem k němu komplexně sdruženým, získáme číslo reálné, resp. komplexní číslo s nulovou imaginární složkou. 11

14 Příklad násobení číslem komplexně sdruženým Mějme číslo k = 3 + 2i. K němu je komplexně sdruženým číslem k = 3 2i. Součinem k k je pak číslo Dělení komplexních čísel (3 + 2i)(3 2i) = 9 6i + 6i 2 2 i 2 = = 13. Vydělit komplexní číslo z komplexním číslem w znamená vynásobit jej číslem komplexně sdruženým k číslu w. Jinými slovy, z/w = z w. Zdůvodnění: z w = z w Dále pokračujeme v úpravách: w w = a + bi c di c + di c di. (a + bi)(c di) ac adi + cbi bdi2 = (c + di)(c di) c 2 + d 2. Všiměme si, že ve jmenovateli je již reálné číslo. ac adi + cbi bdi 2 c 2 + d 2 = ac + bd + (bc ad)i c 2 + d 2. Reálná složka podílu z/w je tedy rovna ac+bd c 2 +d 2, imaginární pak bc ad c 2 +d 2. Absolutní hodnota komplexního čísla Podobně jako v případě reálných čísel lze i v případě komplexních čísel definovat absolutní hodnotu. Absolutní hodnota v případě reálných čísel vyjadřovala vzdálenost od počátku číselné soustavy, tj. od nuly, u komplexních čísel tomu bude stejně, jen s rozdílem, že nepůjde o vzdálenost od nuly, nábrž od bodu 0 + 0i. Absolutní hodnotu čísla z budeme stejně jako v případě reálných čísel značit z. Pro výpočet vzdálenosti čísla z = a + bi od bodu O + 0i použijeme prostou Pythagorovu větu: absolutní hodnota čísla z je rovna z = a 2 + b 2. Možná jste si v této chvíli povšimli, že z = z z: je tomu skutečně tak. Pro ověření stačí použít definici čísla komplexně sdruženého a definici násobení komplexních čísel. Kořeny kvadratické rovnice a komplexní čísla Víme, že kvadratická rovnice, nemá-li dva reálné či jeden dvojitý reálný kořen, pak má dva komplexní kořeny. O těchto komplexních kořenech platí, že jsou komplexně sdružené. To je zřejmé při pohledu vzoreček pro výpočet kořenů: objevuje se tam člen plus/minus odmocnina z diskriminantu, kde odmocnina z diskriminantu je právě imaginární číslo. Zde vzniká ona komplexní sdruženost. 12

15 Příklad na kvadratickou rovnici a komplexně sdružená čísla Dejme tomu, že kvadratická rovnice ve tvaru a 2 +px+q = 0. Má jeden z kořenů roven x 1 = 2 + 3i. Jaké jsou hodnoty p a q? Protože kořeny kvadratické rovnice jsou navzájem komplexně sdružené, musí být druhý kořen x 2 = 2 3i. Rovnice s kořeny x 1 a x 2 může mír tvar např. (x x 1 )(x x 2 ) = 0. V našem případě se tedy jedná o rovnici (x (2+3i))(x (2 3i)) = 0. Výraz na levé straně budeme dále upravovat: x 2 x(2 3i) x(2+3i)+(4+9). Všiměte si, že poslední závorkou je absolutní hodnota kořene (libovolného). Vytkneme-li ve vhodných podvýrazech x, dostáváme následně: x 2 x[(2 3i)+(2+3i)+15. Hranatou závorku následně zjednodušíme, dostáváme tak x 2 4x + 15 = 0. Vidíme tedy, že p je rovno 4, q je rovno 15. Goniometrický tvar komplexního čísla Zatím jsme s komplexními čísly pracovali jako s body v rovině, které byly zadány pomocí dvou souřadnic. Body v rovině je však také možno zadávat jinými způsoby, např. pomocí vzdálenosti od počátku a úhlu, který svírá průvodič daného bodu s vodorovnou osou jedná se o polární způsob. Úhel, který svírá přímka procházející body o = 0 + 0i a z = a + bi s reálnou osou, budeme značit ϕ. Platí (díky tomu, že jsme v pravoúhlém trojúhelníku), že cos ϕ = a z a sin ϕ = b z. Pokud vyjádříme z předchozích dvou vztahů a a b a dosadíme tyto výrazy do algebraického tvaru daného komplexního čísla, dostaneme z = a + bi = z cos ϕ + z i sin ϕ = z (cos ϕ + i sin ϕ). Tento tvar se nazývá goniometrickým, resp. polárním tvarem komplexního čísla z. Umocňování komplexních čísel a Moivreova věta Umocňovat komplexní čísla je samozřejmě možné na základě definice. To ovšem bývá mnohdy prakticky neproveditelné, nepoužijeme-li počítač (vyznat se ve velkém množství polynomů může být problémem). Naštěstí existuje věta, která nám umožní úlohu umocňování řešit rychle jde o známou Moivreovu větu. Moivreova věta Mějme komplexní číslo z = z (cos ϕ + i sin ϕ), tj. komplexní číslo v goniometrickém tvaru. Potom pro libovolné přirozené číslo n platí, že z n = z n = (cos nϕ + i sin nϕ). Příklad na použití Moivreovy věty Určete reálnou část komplexního čísla z 4, kde z = 2 + 2i. Řešení: je zřejmé, že absolutní hodnota čísla z je rovna 2. Po nakreslení okamžitě vidíme, že ϕ = π 4. Aplikujeme Moivreovu větu a dostaneme: z4 = 2 4 (cos 4 π 4 + i sin 4 π 4 ) = 13

16 16(cos π + i sin π) = 16. Toto komplexní číslo nemá imaginární složku, reálná je rovna 16. Pracovní list Úlohy k řešení mají rostoucí obtížnost. Komplexní čísla 1. Zjednodušte: (a) i 2 + i 4 (b) (i 3 + i 5 )(i 2 + i 4 ) (c) i 2 i 3 + i 4 i 5 + i 6 i 7 + i 8 2. Určete reálnou část komplexního čísla: (a) 1+i 1 i (b) 2+3i 3+2i (c) 1 2+2i 3. Určete goniometrický tvar komplexního čísla: (a) 1 + i (b) 2 + 2i (c) 1 + 3i 4. Pomocí Moivreovy věty umocněte: (a) (1 + i) 8 (b) ( 2 + 2i) 12 (c) (1 + 3i) 16 14

17 Vlastnosti funkcí v grafech Absolutní hodnota a funkce obsahující absolutní hodnotu f(x) = x f(x) = 2 x f(x) = x + 1

18 f(x) = x + 1 Goniometrické funkce (na příkladu sinu) f(x) = sin x f(x) = sin (x + π) f(x) = sin x + 1 f(x) = sin 2x

19 f(x) = 2sin x

20 Zdroje [1] Testy Matematika na ekonomické VŠ Petr Koranda, Josef Štefl. Fregment, [2] Testy přijímacího řízení Matematika (Vysoká škola ekonomická v Praze). Dostupné na (verze z ) [3] Testy použité na přijímacích zkouškách v minulých obdobích. (Mendelova univerzita v Brně). Dostupné na ch (verze z ) [4] Ukázka vzorových testů (Česká zemědělská univerzita v Praze). Dostupné na r=4054&i=4090 (verze z ) Na tuto elektronickou publikaci navazují další učební materiály vystavené na webu: Kolektiv autorů, vydáno , vydavatel Gymnázium Globe, s.r.o.