Bootstrap - konfidenční intervaly a testy

Transkript

1 9. prosince 2008

2 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme.

3 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X)

4 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X) Plug-in odhad ˆθ = t(ˆf), kde ˆF je odhad d.f.

5 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X) Plug-in odhad ˆθ = t(ˆf), kde ˆF je odhad d.f. Dá se vyjádřit t(ˆf) = s(x), např. X n pro průměr.

6 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X) Plug-in odhad ˆθ = t(ˆf), kde ˆF je odhad d.f. Dá se vyjádřit t(ˆf) = s(x), např. X n pro průměr. Hodí se nám se F (ˆθ) = var F (ˆθ)

7 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X) Plug-in odhad ˆθ = t(ˆf), kde ˆF je odhad d.f. Dá se vyjádřit t(ˆf) = s(x), např. X n pro průměr. Hodí se nám se F (ˆθ) = var F (ˆθ) Pro N(µ,σ 2 ) máme se(x n ) = var(x n ) = σ/ n

8 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X) Plug-in odhad ˆθ = t(ˆf), kde ˆF je odhad d.f. Dá se vyjádřit t(ˆf) = s(x), např. X n pro průměr. Hodí se nám se F (ˆθ) = var F (ˆθ) Pro N(µ,σ 2 ) máme se(x n ) = var(x n ) = σ/ n Odhad se(ˆθ) ˆ = var(ˆθ) ˆ

9 Konfidenční intervaly obecně Máme data X 1...X n F,(iid), kde F neznáme. Chceme odhadnout θ = t(f), např. t(f) = E F (X) Plug-in odhad ˆθ = t(ˆf), kde ˆF je odhad d.f. Dá se vyjádřit t(ˆf) = s(x), např. X n pro průměr. Hodí se nám se F (ˆθ) = var F (ˆθ) Pro N(µ,σ 2 ) máme se(x n ) = var(x n ) = σ/ n Odhad se(ˆθ) ˆ = var(ˆθ) ˆ V normálním případě se(x ˆ 1 n ) = n 1 (Xi X n ) 2 / n

10 Konfidenční intervaly obecně Z CLV dostaneme za určitých předpokladů aproximaci ˆθ θ N(0, 1) se(ˆθ) ˆ

11 Konfidenční intervaly obecně Z CLV dostaneme za určitých předpokladů aproximaci ˆθ θ N(0, 1) se(ˆθ) ˆ popř. ˆθ θ se(ˆθ) ˆ t n 1

12 Konfidenční intervaly obecně Z CLV dostaneme za určitých předpokladů aproximaci ˆθ θ N(0, 1) se(ˆθ) ˆ popř. ˆθ θ se(ˆθ) ˆ t n 1 tedy přibližný konfidenční interval: P F (θ [ˆθ t n 1 (1 α/2) ˆ se(ˆθ), ˆθ t n 1 (α/2) ˆ se(ˆθ)]) =1 α

13 Konfidenční intervaly obecně Z CLV dostaneme za určitých předpokladů aproximaci ˆθ θ N(0, 1) se(ˆθ) ˆ popř. ˆθ θ se(ˆθ) ˆ t n 1 tedy přibližný konfidenční interval: P F (θ [ˆθ t n 1 (1 α/2) ˆ se(ˆθ), ˆθ t n 1 (α/2) ˆ se(ˆθ)]) =1 α Pro odhad střední hodnoty v normálním rozdělení ˆθ = X n jsou konfidenční intervaly přesné

14 Bootstrap-t konfidenční intervaly Chceme odhadnout θ = t(f), řekněmě že můžeme zapsat ˆθ = s(x)

15 Bootstrap-t konfidenční intervaly Chceme odhadnout θ = t(f), řekněmě že můžeme zapsat ˆθ = s(x) Odhadneme F (parametricky jako Fˆϑ nebo jako empirickou d.f. ˆF )

16 Bootstrap-t konfidenční intervaly Chceme odhadnout θ = t(f), řekněmě že můžeme zapsat ˆθ = s(x) Odhadneme F (parametricky jako Fˆϑ nebo jako empirickou d.f. ˆF ) Generujeme bootstrapové výběry x b, b = 1...B

17 Bootstrap-t konfidenční intervaly Chceme odhadnout θ = t(f), řekněmě že můžeme zapsat ˆθ = s(x) Odhadneme F (parametricky jako Fˆϑ nebo jako empirickou d.f. ˆF ) Generujeme bootstrapové výběry x b, b = 1...B Pro každé b = 1...B spočítáme ˆθ (b) = s(x b)

18 Bootstrap-t konfidenční intervaly Chceme odhadnout θ = t(f), řekněmě že můžeme zapsat ˆθ = s(x) Odhadneme F (parametricky jako Fˆϑ nebo jako empirickou d.f. ˆF ) Generujeme bootstrapové výběry x b, b = 1...B Pro každé b = 1...B spočítáme ˆθ (b) = s(x b) a ˆ se (ˆθ (b)) = var ˆ ˆθ (b)

19 Bootstrap-t konfidenční intervaly Vyrobíme studentizované hodnoty Z (b) = ˆθ (b) ˆθ ˆ se (ˆθ (b)) kde ˆθ je odhad z původních dat X 1...X n

20 Bootstrap-t konfidenční intervaly Vyrobíme studentizované hodnoty Z (b) = ˆθ (b) ˆθ ˆ se (ˆθ (b)) kde ˆθ je odhad z původních dat X 1...X n Napočítáme percentily Z (b) #{Z (b) ˆt α }/B = α

21 Bootstrap-t konfidenční intervaly Vyrobíme studentizované hodnoty Z (b) = ˆθ (b) ˆθ ˆ se (ˆθ (b)) kde ˆθ je odhad z původních dat X 1...X n Napočítáme percentily Z (b) #{Z (b) ˆt α }/B = α odtud bootstrap-t konfidenční intervaly (ˆθ ˆt 1 α/2 ˆ se, ˆθ ˆt α/2 ˆ se)

22 Percentilové bootstrapové konfidenční intervaly Vyrobíme bootstrapové výběry x b, b = 1...B pro každé b spočtem ˆθ b = s(x b ) označíme Ĝ empirickou distribuční funkci ˆθ b

23 Percentilové bootstrapové konfidenční intervaly Vyrobíme bootstrapové výběry x b, b = 1...B pro každé b spočtem ˆθ b = s(x b ) označíme Ĝ empirickou distribuční funkci ˆθ b Percentilovým bootstrapovým konfidenčním intervalem o spolehlivosti α pak myslíme (Ĝ 1 (α/2), Ĝ 1 (1 α/2)) kde Ĝ 1 (u) = inf(x : Ĝ(x) u) jsou empirické kvantily v obvyklém smyslu.

24 Příklad - porovnání Máme data o myších - délka dožití po experimentální operaci (Efron, 1993) a chceme odhadnout střední hodnotu X = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146)

25 Příklad - porovnání Máme data o myších - délka dožití po experimentální operaci (Efron, 1993) a chceme odhadnout střední hodnotu X = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146) Ukáže se, že můžeme předpokládat nomalitu na hladině Zkonstruujeme konfidenční intervaly pro hladinu α = 0.05:

26 Příklad - porovnání Máme data o myších - délka dožití po experimentální operaci (Efron, 1993) a chceme odhadnout střední hodnotu X = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146) Ukáže se, že můžeme předpokládat nomalitu na hladině Zkonstruujeme konfidenční intervaly pro hladinu α = 0.05: Přibližný interval (X ± u(α/2)ˆσ/ n): (32.97, 79.48)

27 Příklad - porovnání Máme data o myších - délka dožití po experimentální operaci (Efron, 1993) a chceme odhadnout střední hodnotu X = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146) Ukáže se, že můžeme předpokládat nomalitu na hladině Zkonstruujeme konfidenční intervaly pro hladinu α = 0.05: Přibližný interval (X ± u(α/2)ˆσ/ n): (32.97, 79.48) interval z t-rozdělení (X ± t n 1 (α/2)ˆσ/ n): (23.62, 88.83)

28 Příklad - porovnání Máme data o myších - délka dožití po experimentální operaci (Efron, 1993) a chceme odhadnout střední hodnotu X = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146) Ukáže se, že můžeme předpokládat nomalitu na hladině Zkonstruujeme konfidenční intervaly pro hladinu α = 0.05: Přibližný interval (X ± u(α/2)ˆσ/ n): (32.97, 79.48) interval z t-rozdělení (X ± t n 1 (α/2)ˆσ/ n): (23.62, 88.83) Bootstrap-t interval (X ˆt(α/2)ˆσ/ n, X ˆt(1 α/2)ˆσ/ n) (31.80, )

29 Příklad - porovnání Máme data o myších - délka dožití po experimentální operaci (Efron, 1993) a chceme odhadnout střední hodnotu X = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146) Ukáže se, že můžeme předpokládat nomalitu na hladině Zkonstruujeme konfidenční intervaly pro hladinu α = 0.05: Přibližný interval (X ± u(α/2)ˆσ/ n): (32.97, 79.48) interval z t-rozdělení (X ± t n 1 (α/2)ˆσ/ n): (23.62, 88.83) Bootstrap-t interval (X ˆt(α/2)ˆσ/ n, X ˆt(1 α/2)ˆσ/ n) (31.80, ) Bootstrapový percentilový interval (ˆθ B (α/2), ˆθ B (1 α/2)) (34.21, 85.44)

30 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Pro střední hodnotu odhadneme se ˆ (b) = ˆσ (b)/ 1 n n = n 1 i=1 (x b i x b) 2 / n snadno, jindy ne tak snadné.

31 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Pro střední hodnotu odhadneme se ˆ (b) = ˆσ (b)/ 1 n n = n 1 i=1 (x b i x b) 2 / n snadno, jindy ne tak snadné. Potřeba pro každé b vyrobit B 2 bootstrapových výběrů z x b se ˆ (b) = 1 B 2 (ˆθ b1 B 2 1 ˆθ B1) 2 b1=1

32 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Pro střední hodnotu odhadneme se ˆ (b) = ˆσ (b)/ 1 n n = n 1 i=1 (x b i x b) 2 / n snadno, jindy ne tak snadné. Potřeba pro každé b vyrobit B 2 bootstrapových výběrů z x b se ˆ (b) = 1 B 2 (ˆθ b1 B 2 1 ˆθ B1) 2 b1=1 Ulehčení: transformace stabilizující rozptyl: obecně když máme Y (θ, r(θ) 2 ) a vezmeme takovou monotónní funkci g, že g (θ) = 1 r(θ), bude rozptyl n.veličiny Z = g(y) přibližně konstantní (v θ) (důkaz pomocí delta-metody)

33 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Použití v bootstrapu: místo θ zkoumáme φ = g(θ)

34 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Použití v bootstrapu: místo θ zkoumáme φ = g(θ) Algoritmus: generuj x b, b = 1...B 1, vyrob ˆθ (b) generuj B 2 bootstrapových výběrů z kadého x b, b = 1...B 1, vyrob se(ˆθ ˆ (b))

35 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Použití v bootstrapu: místo θ zkoumáme φ = g(θ) Algoritmus: generuj x b, b = 1...B 1, vyrob ˆθ (b) generuj B 2 bootstrapových výběrů z kadého x b, b = 1...B 1, vyrob se(ˆθ ˆ (b)) z grafu [ˆθ (b), se(ˆθ ˆ (b))] získat r(u) = se(ˆθ θ = u) a funkci g

36 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Použití v bootstrapu: místo θ zkoumáme φ = g(θ) Algoritmus: generuj x b, b = 1...B 1, vyrob ˆθ (b) generuj B 2 bootstrapových výběrů z kadého x b, b = 1...B 1, vyrob se(ˆθ ˆ (b)) z grafu [ˆθ (b), se(ˆθ ˆ (b))] získat r(u) = se(ˆθ θ = u) a funkci g generuj nové x b, b = 1...B 3 vyrob Z g (b) = ˆφ (b) ˆφ ˆ se(ˆθ (b))

37 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Použití v bootstrapu: místo θ zkoumáme φ = g(θ) Algoritmus: generuj x b, b = 1...B 1, vyrob ˆθ (b) generuj B 2 bootstrapových výběrů z kadého x b, b = 1...B 1, vyrob se(ˆθ ˆ (b)) z grafu [ˆθ (b), se(ˆθ ˆ (b))] získat r(u) = se(ˆθ θ = u) a funkci g generuj nové x b, b = 1...B 3 vyrob Z g (b) = ˆφ (b) ˆφ ˆ se(ˆθ (b)) z Z g (b) bootstrap-t konfidenční intervaly pro φ

38 bootstrap-t konfidenční intervaly - transformace Použití v bootstrapu: místo θ zkoumáme φ = g(θ) Algoritmus: generuj x b, b = 1...B 1, vyrob ˆθ (b) generuj B 2 bootstrapových výběrů z kadého x b, b = 1...B 1, vyrob se(ˆθ ˆ (b)) z grafu [ˆθ (b), se(ˆθ ˆ (b))] získat r(u) = se(ˆθ θ = u) a funkci g generuj nové x b, b = 1...B 3 vyrob Z g (b) = ˆφ (b) ˆφ ˆ se(ˆθ (b)) z Z g (b) bootstrap-t konfidenční intervaly pro φ konfidenční intervaly pro θ = g 1 (φ)

39 percentilové konfidenční intervaly - transformace Lemma: Předpokládejme, že existuje transformace ˆφ = m(ˆθ), která normalizuje rozdělení ˆθ, tj. ˆφ N(φ, c 2 ). Pak percentilový konfidenční interval založen na ˆθ je shodný s intervalem (m 1 (ˆφ u(1 α/2)c, m 1 (ˆφ u(α/2)c))

40 Dvouvýběrové testy Situace: mějme dva nezávislé výběry: X 1,..., X n F Y 1,..., Y m G

41 Dvouvýběrové testy Situace: mějme dva nezávislé výběry: X 1,..., X n F Y 1,..., Y m G chceme testovat H 0 : F G

42 Permutační test Můžem vzít permutační test s testovou statistikou ˆθ = ˆθ(X, Y):

43 Permutační test Můžem vzít permutační test s testovou statistikou ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n) vyrobíme vektor Z permutací složek Z je n! možností jak může Z vypadat.

44 Permutační test Můžem vzít permutační test s testovou statistikou ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n) vyrobíme vektor Z permutací složek Z je n! možností jak může Z vypadat. prvních n prvků Z označme X, zbylých m označíme Y bude ( N n) možností jak může X a Y vypadat za platnosti H 0 jsou všechny stejně pravděpodobné

45 Permutační test Můžem vzít permutační test s testovou statistikou ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n) vyrobíme vektor Z permutací složek Z je n! možností jak může Z vypadat. prvních n prvků Z označme X, zbylých m označíme Y bude ( N n) možností jak může X a Y vypadat za platnosti H 0 jsou všechny stejně pravděpodobné vyrobme ze složek Z vektory Z (b), b = 1...B spočtem ˆθ (b) = ˆθ(X (b), Y (b))

46 Permutační test Můžem vzít permutační test s testovou statistikou ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n) vyrobíme vektor Z permutací složek Z je n! možností jak může Z vypadat. prvních n prvků Z označme X, zbylých m označíme Y bude ( N n) možností jak může X a Y vypadat za platnosti H 0 jsou všechny stejně pravděpodobné vyrobme ze složek Z vektory Z (b), b = 1...B spočtem ˆθ (b) = ˆθ(X (b), Y (b)) pval = #(ˆθ (b) ˆθ) B

47 Bootstrapový test F G Použijeme testovou statistiku ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n)

48 Bootstrapový test F G Použijeme testovou statistiku ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n) nagenerujem Z (b) = (Z1 (b),..., Z N (b)), b = 1...B ze Z (bootstrap, s opakováním) označme vždy X (b) prvních n prvků Z (b) a Y (b) zbylých m prvků označíme Z (b)

49 Bootstrapový test F G Použijeme testovou statistiku ˆθ = ˆθ(X, Y): seřadíme data do (Z 1,..., Z N ) (N = m + n) nagenerujem Z (b) = (Z1 (b),..., Z N (b)), b = 1...B ze Z (bootstrap, s opakováním) označme vždy X (b) prvních n prvků Z (b) a Y (b) zbylých m prvků označíme Z (b) spočtem ˆθ (b) = ˆθ(X (b), Y (b)), b = 1..B pval = #(ˆθ (b) ˆθ) B

50 Bootstrapový test F G Můžeme např. použít ˆθ(Z) = X Y pro detekci změny v poloze (F(x) = G(x µ), µ > 0)

51 Bootstrapový test F G Můžeme např. použít ˆθ(Z) = X Y pro detekci změny v poloze (F(x) = G(x µ), µ > 0) nebo ˆθ(Z) = X Y pro oboustrannou alternativu

52 Bootstrapový test F G Můžeme např. použít ˆθ(Z) = X Y pro detekci změny v poloze (F(x) = G(x µ), µ > 0) nebo ˆθ(Z) = X Y pro oboustrannou alternativu nebo ˆσ X /ˆσ Y resp. log ˆσ X /ˆσ Y pro alternativu změny měřítka

53 Bootstrapový test F G Můžeme např. použít ˆθ(Z) = X Y pro detekci změny v poloze (F(x) = G(x µ), µ > 0) nebo ˆθ(Z) = X Y pro oboustrannou alternativu nebo ˆσ X /ˆσ Y resp. log ˆσ X /ˆσ Y pro alternativu změny měřítka případně studentizovanou statistiku X n Y m σ 1/n + 1/m kde σ = [ n i=1 (X i X n ) 2 + m i=1 (Y i Y m ) 2 ]/[n + m 2] (testová statistika dvouvýběrového t-testu)

54 Bootstrapový test rovnosti středních hodnot předpokládejme normalitu dat jedna možnost: použít testovou statistiku dvouvýběrového t-testu nevýhoda: předpokládá rovnost rozptylů

55 Bootstrapový test rovnosti středních hodnot předpokládejme normalitu dat jedna možnost: použít testovou statistiku dvouvýběrového t-testu nevýhoda: předpokládá rovnost rozptylů alternativa: použít testovou statistiku X n Y m σ 21 /n + σ22 /m, kde σ 2 1 = n i=1 (X i X n ) 2 /(n 1) a σ 2 2 = m i=1 (Y i Y m ) 2 /(m 1)

56 Bootstrapový test rovnosti středních hodnot předpokládejme normalitu dat jedna možnost: použít testovou statistiku dvouvýběrového t-testu nevýhoda: předpokládá rovnost rozptylů alternativa: použít testovou statistiku X n Y m σ 21 /n + σ22 /m, kde σ 2 1 = n i=1 (X i X n ) 2 /(n 1) a σ 2 2 = m i=1 (Y i Y m ) 2 /(m 1) nemá t-rozdělení (Behrens-Fisherův problém)

57 Bootstrapový test rovnosti středních hodnot algoritmus: označme x i = x i x n + z N, i = 1..n a ỹ i = y i y m + z N, i = 1..m

58 Bootstrapový test rovnosti středních hodnot algoritmus: označme x i = x i x n + z N, i = 1..n a ỹ i = y i y m + z N, i = 1..m Generujme (x (b), y (b)) kde x (b) jsou bootstrapové výběry z x a y (b) jsou bootstrapové výběry z ỹ

59 Bootstrapový test rovnosti středních hodnot algoritmus: označme x i = x i x n + z N, i = 1..n a ỹ i = y i y m + z N, i = 1..m Generujme (x (b), y (b)) kde x (b) jsou bootstrapové výběry z x a y (b) jsou bootstrapové výběry z ỹ spočtem ˆθ (b) = x n(b) ỹ m (b) σ 21 (b)/n + σ22 (b)/m, b = 1..B pval = #(ˆθ (b) ˆθ) B

60 Příklad Bootstrap - konfidenční intervaly Máme opět data o myších, na prvních provedli operaci, na druhých ne X = (16, 23, 38, 94, 99, 141, 197) Y = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146)

61 Příklad Bootstrap - konfidenční intervaly Máme opět data o myších, na prvních provedli operaci, na druhých ne X = (16, 23, 38, 94, 99, 141, 197) Y = (10, 27, 31, 40, 46, 50, 52, 104, 146) P-hodnoty jednotlivých testů: (jednostranná alternativa) permutační neparametrický bootstrap bootstrap pro stř. hodnoty dvouvýběrový t-test 0.158

62 Jednovýběrové testy Mějme náhodný výběr X 1,..., X n předpokládejme normalitu dat, testujme H 0 : µ = µ 0

63 Jednovýběrové testy Mějme náhodný výběr X 1,..., X n předpokládejme normalitu dat, testujme H 0 : µ = µ 0 Můžeme použít jednovýběrový t-test - testová statistika: ˆθ(X) = X n µ 0 n σ má za platnosti H 0 t-rozdělení o n 1 stupních volnosti

64 Jednovýběrové testy Bootstrapový přístup: vyrobíme bootstrapové výběry X (b) = (X 1 (b),..., X n (b)), b = 1...B

65 Jednovýběrové testy Bootstrapový přístup: vyrobíme bootstrapové výběry X (b) = (X 1 (b),..., X n (b)), b = 1...B spočteme statistiky ˆθ (X(b)) = X n(b) X n n σ (b)

66 Jednovýběrové testy Bootstrapový přístup: vyrobíme bootstrapové výběry X (b) = (X 1 (b),..., X n (b)), b = 1...B spočteme statistiky ˆθ (X(b)) = X n(b) X n n σ (b) p-hodnota pro jednostrannou alternativu µ > µ 0 pak je pval = #(ˆθ (X(b)) > ˆθ(X)). B

67 Jednovýběrové testy Bootstrapový přístup: vyrobíme bootstrapové výběry X (b) = (X 1 (b),..., X n (b)), b = 1...B spočteme statistiky ˆθ (X(b)) = X n(b) X n n σ (b) p-hodnota pro jednostrannou alternativu µ > µ 0 pak je pval = #(ˆθ (X(b)) > ˆθ(X)). B Pro oboustrannou alternativu vzít absolutní hodnoty z testových statistik.

68 Jednovýběrové testy Srovnejme provedení jednovýběrový bootstrapový test s konstrukcí bootstrapového konfidenčního intervalu.

69 Jednovýběrové testy Srovnejme provedení jednovýběrový bootstrapový test s konstrukcí bootstrapového konfidenčního intervalu. konfidenční interval pomocí percentilů statistiky X n(b) X n n, σ (b) je tvořen takovými hodnotami µ 0, které tento bootstrapový test nezamítne

70 Příklad Bootstrap - konfidenční intervaly Máme opět data o myších. Někdo jiný provedl na svých myších operaci, a vyšla mu průměrná doba dožití 129.

71 Příklad Bootstrap - konfidenční intervaly Máme opět data o myších. Někdo jiný provedl na svých myších operaci, a vyšla mu průměrná doba dožití 129. To nám přijde hodně, protože naše myši se dožily: X = (16, 23, 38, 94, 99, 141, 197)

72 Příklad Bootstrap - konfidenční intervaly Máme opět data o myších. Někdo jiný provedl na svých myších operaci, a vyšla mu průměrná doba dožití 129. To nám přijde hodně, protože naše myši se dožily: X = (16, 23, 38, 94, 99, 141, 197) p-hodnoty jednotlivých testů: (jednostranná alternativa) bootstrapový test 0.10 jednovýběrový t-test 0.07

73 Literatura Bootstrap - konfidenční intervaly Efron B., Tibshirani R.J.:An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, 1993

74 Literatura Bootstrap - konfidenční intervaly Efron B., Tibshirani R.J.:An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, 1993 Konec