Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015

Transkript

1 Stdentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 215 MATEMATICKÉ MODELY ZAVĚŠENÍ AUTOMOBILU Jan MACHÁČEK Vysoká škola báňská Technická niverzita Ostrava 17. listopad 15/ Ostrava-Porba 23. dbna 215 FAI UTB ve Zlíně

2 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost Klíčová slova: Zavěšení atomobil, Matematický model, simlace, Matlab Anotace: Projekt se zabývá matematickými modely zavěšení atomobil. Práce obsahje obecné seznámení s problematiko konstrkce zavěšení kol atomobil, kde se poté podrobněji zaměří na problematik konstrkce zavěšení kol vybraného atomobil. Matematické modely zavěšení jednoho kola atomobil jso sestaveny v další části bakalářské práce. Do matematických modelů jso dosazeny zvolené parametry zavěšení kol atomobil, jso sestaveny číslicové modely v simlačním prostředí Matlab/Simlink. Zde jso provedeny simlace pro členitý povrch vozovky. Dále se práce zabývá seznámením s reglátorem s pasivním tlmením, následno úpravo diferenciálních rovnic s reglátorem s pasivním tlmením a rčením parametrů reglátor. Poté je provedena simlace. V závěr jso zhodnoceny dosažené výsledky. Obsah 1 Úvod Parametry atomobil Sestavení matematického model zavěšení atomobil Přenosy Stavový model Počítačová simlace Reglace pomocí pasivního tlmení... 7 Pasivní tlmení karoserie Závěr... 1 Požitá literatra Seznam požitých symbolů a značek

3 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost 1 Úvod V dnešní době požívají téměř všichni lidé dopravní prostředky, především atomobily. Atomobilové společnosti se snaží o to, aby jízda byla komfortní bez vibrací a záchvěvů karoserie při přejezd členitého povrch vozovky, jako jso výmoly, díry a zpomalovací prahy atd. Bakalářská práce se zabývá problematiko chování zavěšení kol atomobil v závislosti na členitosti povrch vozovky s podporo matematické simlace. Práce prohlbje znalosti v oblasti bezdemontážní diagnostiky závěs kola atomobil. Matematický model a číslicová simlace v prostředí Matlab přiblíží problematik zavěšení kol atomobil. Díky simlaci s reálnými parametry získáme přehled o tom, jak se chová neodpržená část atomobil (kolo) a odpržená část atomobil (karoserie) v závislosti na povrch vozovky. Dokážeme tedy zjistit jaké parametry pro tlmení a thost pržin by byly optimálnější při jízdě bez ntnosti demontovat prvky atomobil. 2 Parametry atomobil V bakalářské práci bylo vyžito parametrů atomobil značky Škoda Fabia Combi. Pro výpočet a simlaci byly požity parametry přední nápravy. popis značení hodnota jednotky Odpržená hmotnost m s 346 kg Neodpržená m 39,5 kg hmotnost Thost pržiny k s 7 N/m Thost pnematiky k N/m Tlmící síla b s 238 Ns/m (pro.52m/s) Tab. 2.1 Parametry atomobil [PRAŽÁK, 26; CEDRYCH, 26] Pro výpočet a simlaci bylo vyžito poze jedné hodnoty tlmící síly tlmiče. Požité parametry, ze kterých se vycházelo, jso označeny v tab

4 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost 3 Sestavení matematického model zavěšení atomobil Matematický model byl sestaven na základě nastdování problematiky v knize [LIU, 213], kde se zabývají matematickými popisy zavěšení kol atomobil. Matematický model se skládá z hmotného bod, který představje hmotnost karoserie (m s ), z drhého hmotného bod, který představje hmotnost tlmiče, těhlice, náboje, kola a ramena (m ). Dále se skládá z dvo pržných částí, kde jedna představje pržin nápravy (k s ) a drhá představje pržnost pnematiky (k ). V model je také obsažen tlmič, který je pevněn ke těhlici zavěšení atomobil a drhý konec je pevněn ke karoserii atomobil. Tento tlmič tlmí kmitání karoserie, které by vzniklo od pržiny. Obr. 3.1 Model zavěšení kol atomobil Základní rovnice pro odpržené těleso je m s y s(t) = b s [y (t) y s(t)] + k s [y (t) y s (t)] + f c (t) (3.1) kde m s - hmotnost odprženého tělesa, y s (t) - poloha odprženého tělesa, y (t) - poloha neodprženého tělesa, b s - koeficient tlmení tlmiče odpržení, k s - konstanta thosti pržiny, k - konstanta thosti pnematiky, f c (t) - proměnná tlmící síla, (t) - povrch vozovky. Základní rovnice pro neodpržené těleso je m y (t) = b s (t)[y (t) y s(t)] k s [y (t) y s (t)] f c (t) + k [(t) y (t)] (3.2) kde m - hmotnost neodprženého tělesa. 3.1 Přenosy Jiným matematickým modelem je přenos, který popisje vztah mezi vstpní a výstpní veličino v oblasti komplexní proměnné s. Výpočet přenosů ze sestaveného matematického model z diferenciálních rovnic (3.1) a (3.2) je poněkd náročný. 4

5 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost Po následných úpravách rovnic (3.1) a (3.2) dostaneme výsledné přenosy: G 1 (s) = Y s(s) F c (s) = m s 2 + k m m s s 4 + b s (m + m s )s 3 + (k s m s + k m s + b s m )s 2, + k b s s + k k s G 2 (s) = Y s(s) U(s) = k b s s + k k s m m s s 4 + b s (m + m s )s 3 + (k s m s + k m s + k s m )s 2, + k b s s + k k s G 3 (s) = Y (s) F c (s) = m s s 2 m m s s 4 + b s (m + m s )s 3 + (k s m s + k m s + b s m )s 2 + k b s s + k k s. G 4 (s) = Y (s) U(s) = m s k s 2 + k b s s + k k s. m m s s 4 + b s (m + m s )s 3 + (k s m s + k m s + k s m )s 2 + k b s s + k k s Je vidět, že všech přenosů je stejný charakteristický mnohočlen 4. stpně. 3.2 Stavový model Pro výpočet stavového model x (t) = Ax(t) + B(t), (3.3) y(t) = Cx(t), (3.4) dynamiky, matice systém) rozměr 4x4, B stavová matice vstp rozměr 4x2, C výstpní vektor stav rozměr 2x4, y(t) vektor výstpních veličin dimenze 2, (t) vektor vstpních veličin dimenze 2, kde x(t) - je vektor stavových veličin dimenze 4, A stavová matice (matice Vyžijeme opět rovnice (3.1) a (3.2) které dále pravíme a vypočteme z nich stavový model. Zavedeme stavové proměnné x 1 (t) = y s (t); x 2 (t) = x 1(t) = y s(t); x 3 (t) = y (t); x 4 (t) = x 3(t) = y (t); y 1 (t) = x 1 (t) = y s (t); y 2 (t) = x 3 (t) = y (t). Po zavedení stavových proměnných do rovnic (3.1) a (3.2) dostaneme stavový model, který můžeme zapsat vektorově 1 x 1(t) k s b s k s b s x 2(t) m = s m s m s m s x 3(t) 1 [ x k 4(t)] s b s k s + k b s [ m m m m ] [ y 1(t) y 2 (t) ] = [1 1 x 1 (t) ] x 2 (t). x 3 (t) [ x 4 (t)] 1 m s x 1 (t) x 2 (t) + x 3 (t) [ x 4 (t)] 1 [ m k m ] [ f c (t) (t) ], Z tohoto stavového model byly zpětně dopočítány přenosy, které jso shodné s přenosy vypočtené v předchozí kapitole 3.1. Můžeme tedy předpokládat, že stavový model je sestaven správně. 5

6 y,[m] STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost 4 Počítačová simlace Všechny simlace byly provedeny v prostředí MATLAB/Simlink verze 7.8. (R29a). Simlace byla vytvořena pro čtvrtinový model zavěšení atomobil. Pro tto simlaci byly vyžity parametry vedené v tab. 2.1, které vychází z předního zavěšení atomobil Škoda Fabia. Na obr. 4.1 je zobrazeno blokové schéma v program MATLAB/Simlink pro odezv systém na skokovo změn výstpního signál. Blokové schéma je sestaveno dle diferenciálních rovnic (3.1) a (3.2) Obr. 4.1 Blokové schéma zavěšení kola atomobil pro simlaci odezvy na skokovo změn signál Dále byla provedena kontrola vypočtených přenosů za pomocí blok Transfer Fcn v program MATLAB/Simlink. Do těchto bloků se zadaly parametry z tab. 2.1 a poté byly vykresleny grafy výsledných průběhů pro porovnání s výsledky simlace. y ys G4(y) G2(ys) Na základě průběhů na obr. 4.2 můžeme konstatovat, že přenosy G 2 (s) a G 4 (s) byly vypočteny správně. Přenosy G 1 (s) a G 3 (s) nemohly být takto zkontrolovány, protože vstp f c = t[s] Obr. 4.2 Srovnání průběhů y s (t) a y (t) z diferenciálních rovnic a z přenosů. Poté byla provedena simlace stavového model pomocí bloků State- Space a složkového model diferenciálních rovnic obr

7 y,[m] y,[m] STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost y State-Space y Transfer fcn y složkový stav. mod Obr. 4.3 Blokové schéma složkové simlace pro ověření stavového model ys State-Space ys Transfer fcn ys složkový stav. mod t[s] Obr. 4.4 Průběhy vychýlení karoserie získané ze stavového model naprogramovaného pomocí blok State-space, složkového zapojení a blok Transfer Fcn 5 Reglace pomocí pasivního tlmení Sostava bez pasivního reglátor tlmení je popsána vztahy t[s] Obr. 4.5 Průběhy vychýlení kola získané ze stavového model naprogramovaného pomocí blok State-space, složkového zapojení a blok Transfer Fcn Všechny průběhy vykreslené na obrázcích 4.4 a 4.5 jso spojité, ne diskrétní jak se zdá, bodově jso vynesené poze z důvodů překrývání se průběhů navzájem. Z průběhů na obrázcích 4.4 a 4.5 vyplývá, že výsledky simlace jso totožné a proto získané matematické modely vnitřní (přenosy) i vnější (stavový model) jso správné. m d2 y(t) dt 2 + b dy(t) dt + ky(t) = (t), G s (s) = Y(s) U(s) = 1 ms 2 + bs + k, (5.1) kde k thost pržiny, b koeficient tlmení tlmiče, m hmotnost, (t) vnější síla, y(t) posntí. Obr. 5.1 Sostava s pasivním reglátorem tlmení 7

8 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost Obr. 5.2 Blokové schéma reglačního obvod Přídavný pasivní reglátor je popsán vztahy (t) = k D d[w(t) y(t)] dt + k P [w(t) y(t)], G R (s) = U(s) W(s) Y(s) = U(s) E(s) = k D s + k P, (5.2) kde k D koeficient tlmení přídavného tlmiče reglátor (váha D složky), k P thost přídavné pržiny reglátor (váha P složky), w(t) žádaná odchylka, E(s) reglační odchylka, V(s) porchová veličina (povrch vozovky), U(s) akční zásah. Na základě blokového schémat na obr. 5.2 lze vypočítat trvalo reglační odchylk G s (s) E v (s) = V(s). (5.3) 1 + G R (s)g S (s) Odchylkový přenos porchy po dosazení parametrů ze vzorců (5.1) a (5.2) je G ve (s) = E v(s) V(s) = tvar 1 k + k P m k + k P s 2 + b + k D k + k P s + 1. (5.4) Dále tento přenos můžeme pravit na G ve (s) = 1 k + k P T w 2 s 2 + 2ξ w T w s + 1, (5.5) kde T w časová konstanta zavřeného reglačního obvod, ξ w koeficient tlmení zavřeného reglačního obvod. Z přenosů (5.4) a (5.5) lze rčit parametry koeficient tlmení a časovo konstant Parametry tlmení kmitů s pasivním tlmením T w = m, (5.6) k + k P ξ w = b + k D 2 m(k + k P ). (5.7) Parametry tlmení kmitů bez pasivního tlmení kde k P =, k D = T w = m k, (5.8) ξ w = b 2 mk. (5.9) Volbo k P a k D lze měnit koeficient tlmení ξ w. Zvýšením k P se ξ w snižje a zvýšením k D se ξ w zvyšje. Ze vzorců (5.6), (5.7), (5.8) a (5.9) lze rčit, že pasivní tlmení je tvořeno poze přičtením parametrů k D k parametr tlmiče b a k P k parametr pržiny k. Dále lze ze vzorců (5.6) a (5.7) rčit parametry reglátor k P a k D. k P = m k, (5.1) T2 w k D = 2ξ wm T w b. (5.11) 8

9 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost Pasivní tlmení karoserie Na obr. 5.3 je zobrazen stejný model zavěšení kola atomobil jako v kapitole 3 na obr. 3.1, ale s tím rozdílem, že je zde navíc zapojen na místo proměnné tlmící síly f c reglátor. Tento reglátor obsahje prvky pržin a tlmič díky, kterým je tento reglátor pasivní tedy, nedodáváme do něj žádno další vnější energii. Reglátor se chová díky těmto prvkům jako reglátor typ PD. Obr. 5.3 Model zavěšení kola atomobil s pasivním tlmením karoserie Základní rovnice pro odpržené těleso (karoserii) s pasivním tlmením y s(t) = b s + k D [y (t) y s(t)] + k s + k P [y m s m (t) y s (t)]. (5.12) s Základní rovnice pro neodpržené těleso (kolo) s pasivním tlmením y (t) = b s + k D m [y (t) y s(t)] k s + k P [y m (t) y s (t)] + k [(t) y m (t)]. (5.13) Pro rčení parametrů reglátor je k P a k D je zapotřebí rčit koeficient tlmení ξ w a časovo konstant T w. Určení provedeme tak že jako první rčíme koeficient tlmení, který si zvolíme: ξ w = 1. Volíme mezní aperiodický průběh na skok polohy. Dále volíme časovo konstant T w podle podmínek pro k P > T w < m s k s => T w <,73, pro k D > T w < 2ξ wm s b s => T w <,2998. Volíme tedy hodnot T w =,7. Dále můžeme na základě zvolených parametrů koeficient tlmení ξ w a časové konstantě T w rčit parametry reglátor k P a k D, které rčíme podle vzorců (5.1) a (5.11) takto: k P = m s T w 2 k s = 612,2 N/m, k D = 2ξ wm s T w b s = 7577,7 Ns/m. S těmito parametry byla dále provedena simlace v prostředí MATLAB/Simlink. Výsledné průběhy jso vyneseny v grafech na obr. 5.4 a

10 y,[m] y,[m] STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost ys s pasivním tlmením ys bez pasivního tlmení.15 y s pasivním tlmením y bez pasivního tlmení t[s] Obr. 5.4 Odezva karoserie na skokovo změn signál bez tlmení a s pasivním tlmením 6 Závěr t[s] Obr. 5.5 Odezva kola na skokovo změn signál bez tlmení a s pasivním tlmením V bakalářském projekt je popsán matematický model zavěšení kola atomobil. První bylo provedeno seznámení s drhy zavěšení kol atomobil a prvky ložení, pržení a tlmení zavěšení kol. Dále bylo rčeno, pro který atomobil se bde tento matematický model sestavovat. Pro vybraný atomobil, kterým je Škoda Fabia Combi byly dohledány potřebné parametry jako např. thost pržin, koeficient tlmení tlmiče a thost pnematiky. Pro zvolený drh atomobil je v dalším krok vypracován matematický model. Ten je požil pro výpočet přenosů systém zavěšení kola atomobil. Tyto přenosy jso čtyři. První přenos kazje závislost polohy odprženého tělesa na proměnné tlmící síle. Drhý přenos představje závislost polohy odprženého tělesa na povrch vozovky. Třetí přenos kazje závislost polohy neodprženého tělesa na tlmící síle a čtvrtý přenos je závislost polohy neodprženého tělesa na povrch vozovky. V dalším krok byl sestaven stavový model systém zavěšení kola atomobil. Z tohoto model byly následně vypočteny přenosy. Tyto přenosy se shodjí s vypočtenými přenosy z předchozího krok. Díky tom lze předpokládat, že stavový model je sestaven správně. Dále byla provedena simlace matematického model zavěšení kola atomobil v program MATLAB/Simlink, kde bylo sestaveno simlační schéma rčeného matematického model zavěšení kola atomobil obr. 4.1 tak, že každý blok ve schémat představje část rovnice matematického model. Vstpní veličiny ve schémat jso dvě, povrch vozovky a proměnná tlmící síla, která se dá vyžít pro reglaci systém. Výstpní veličiny simlace jso polohy těles, mezi ně patří poloha odprženého tělesa a poloha neodprženého tělesa. Jako první je provedena simlace pro skokovo změn signál, která představovje povrch vozovky obr V tomto případě proměnno tlmící síl zatím nevyžijeme, protože neprovádíme reglaci systém. Tato simlace je provedena proto, aby bylo možné lépe provést kontrol vypočtených přenosů z předchozí části projekt. 1

11 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost Následně byly do schémat simlace matematického model zavěšení kola atomobil vloženy bloky (Transfer Fcn ) pro kontrol vypočtených přenosů. Stačí simlovat jen přenosy G 2 a G 4, protože přenosy G 1 a G 3 jso závislostí na proměnné tlmící síle, které nevažjeme její působení. Z graf na obr. 4.2 lze vidět, že průběhy jso shodné a tak je možné předpokládat, že přenosy G 2 a G 4, jso správně vypočteny. Simlace byla také provedena pro stavový model pomocí bloků State-Space, které jso poze jednorozměrové. Msely se tedy pravit stavové matice na jednorozměrové a nasimlovat je zvlášť pro karoserii a pro kolo. Následně byl stavový model nasimlován složkově a výsledky simlace byly, porovnány s výsledky simlace přenosů. Tyto výsledky se shodovaly a tím jsme ověřili, že stavový model je správně sestaven. Výsledky simlace jso zobrazeny na obrázcích 4.4 a 4.5. V poslední části jsme se zabývali reglací pomocí pasivního tlmení, kdy jsme se v první části seznámili s pasivním tlmením. Zjistili jsme, že pasivní tlmení lze vyřešit tak, že se poze přičto parametry k D k parametr tlmiče b a k P k parametr pržiny k. A také jsme odvodili vzorce pro rčení parametrů tlmení k P a k D, které jso k P = 612,2 N/m a k D = 7577,7 Ns/m. Dále jsme tedy vytvořili matematický model s reglací. Poté jsme provedli simlaci systém s pasivním tlmením s rčenými parametry k P a k D S těmito parametry jsme výsledky simlaci následně vynesli do graf společně s původními výsledky bez reglace. Tyto výsledné grafy jso na obrázk 5.4 a 5.5, ze kterých je zřejmé, že pasivní tlmení tlmí kmitání karoserie rychleji než bez reglace i s menším překmitem. Také lze vidět, že kmitání kola atomobil se taktéž tlmí rychleji, ale překmit se naopak zvětší. 11

12 STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost Požitá literatra CEDRYCH, M. R. & SCHWARZS, J. Atomobily Škoda Fabia: Fabia, Fabia Combi, Fabia Sedan, Fabia RS. 4. rozš. vyd. Praha: Grada Pblishing, 26, 353 s. ISBN x. HOŘEJŠ, K. & MOTEJL, V. Přírčka pro řidiče a opraváře atomobilů. Vyd. 4. Brno: Littera, 28, 358 s. ISBN JAN, Z., ŽDÁNSKÝ, B. & VÉMOLA, A. Atomobily. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 23, 266 s. ISBN LIU, H., GAO H. & LI, P. Handbook of vehicle sspension control systems. xiii, 213, 48 s. ISBN LOKŠÍK, Milan a Romana ROSOLOWSKA. Robstné riadenie vertikálního kmitania vozidla s neistotami v reglačnej slčke. Slovenská technická niverzita v Bratislave, Strojnícka faklta, Ústav atomatizácie, merania a aplikovanej informatiky, 215. Slovenská technická niverzita v Bratislave. NAVRÁTIL, P. Atomatizace: Vybrané statě. Vyd. 1. Zlín: Univerzita Tomáše Bati, 211, 289 s. ISBN NĚMEČEK, P. Kolové dopravní a maniplační stroje 1. část 5 Zavěšení kol. Liberec: Technická niverzita v Liberci, s. NOSKIEVIČ, P. Modelování a identifikace systémů. Ostrava: Montanex, 29, 276 s. ISBN PRAŽÁK, F. Tlmič odpržení jako prvek ovlivňjící jízdní vlastnosti atomobil. VUT v Brně, 26. Dizertační. VUT Brno. VÍTEČEK, A. & VÍTEČKOVÁ, M. Zpětnovazební řízení mechatronických systémů. Vyd. 1. Ostrava: VŠB - Technická niverzita Ostrava, 213, 2 s. ISBN VÍTEČKOVÁ, M. & VÍTEČEK, A. Základy atomatické reglace. Přepracované 2. vydání - dotisk. Ostrava: VŠB - Technická niverzita Ostrava, 28, 243 s. ISBN VLK, F. Podvozky motorových vozidel. 3. přepracované, rozšířené a aktalizované vyd. Brno: Prof. Ing. František Vlk, DrSc, 26, 464 s. ISBN X. 12

13 Seznam požitých symbolů a značek STOČ Stdentská tvůrčí a odborná činnost A stavová matice (matice systém) řád n B stavová matice vektorů vstp dimenze n b koeficient tlmení tlmiče [Ns/m] b s koeficient tlmení tlmiče odpržení [Ns/m] C matice výstpních vektorů stav dimenze n E v (s) trvalá reglační odchylka způsobená porchovo veličino V(s) na vstp sostavy F c (s) obraz proměnné tlmící síly f c (t) proměnná tlmící síla [N] G ve (s) odchylkový přenos porchy V(s) G i (s) přenos G S (s) přenos reglované sostavy G R (s) přenos reglátor k thost pržiny [N/m] k p váha P složky (thost pržiny) [N/m] k D váha D složky (koeficient tlmení tlmiče) [N/ms -1 ] k s konstanta thosti pržiny [N/m] k konstanta thosti pnematiky [N/m] m s hmotnost odprženého tělesa [kg] m hmotnost neodprženého tělesa [kg] t čas [s] T w časová konstanta zavřeného reglačního obvod ξ w koeficient tlmení zavřeného reglačního obvod U(s) obraz povrch vozovky, akční vličina (t) povrch vozovky [m], vnější síla (t) vektor vstpních veličin V(s) porcha (povrch vozovky) W(s) žádaná veličina x i zavedené označení stavových veličin x matice vektorů stavových veličin dimenze n y(t) posntí y(t) vector výstpních veličin Y(s) výstpní veličina Y s (s) obraz polohy odprženého tělesa y s (t) poloha odprženého tělesa [m] Y (s) obraz polohy neodprženého tělesa y (t) poloha neodprženého tělesa [m] 13