Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Transkript

1

2

3 Obsah Úvod... 5 Základí pojmy Tříděí dat Míry úrově polohy Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia Rozděleí áhodé veličiy Bodový a itervalový odhad Teoretický úvod Zjišťováí středí hodoty Odhad relativí četosti základího souboru Testováí hypotéz Chí kvadrát test dobré shody Aalýza rozptylu (ANOVA) Regresí a korelačí aalýza Regresí přímka Těsost závislosti Časové řady Klouzavé průměry Sezóí idexy Regresí přístup k sezóí složce Idexy Jedoduché idexy Souhré idexy... 6 Příklady pro procvičeí Opravy pro toto vydáí: opravy.proflakace.cz

4

5 Úvod Mojou pracovou metódou je eučiť sa, a potom, keď sa všetko akopí, v strese to zvláduť. Nevravím, že je to metóda správa, ale u mňa fuguje. Keď som sa v roku 7 začal učiť a skúšku zo štatistiky, už v prvý deň som zistil, že mám problém. Nerozumel som tomu, evedel som z ktorého koca začať, bolo toho veľa a ja som emal absolúte žiade základ. Po čase som sa však do toho dostal a pochopil, že to vôbec ie je až také zložité, ako sa spočiatku zdalo. Pochopil som tiež, že ak by som a začiatku mal literatúru šitú pre mňa, pre flákača, ušetril by som si iekoľko veľmi trpkých dí. Tak vzikol môj záväzok, v prípade, že 4ST zvládem, takéto skriptum apísať. Z týchto pohútok vzikla prvá Štatistika pre flákačov, čo bolo skriptum robeé a kolee, hotové za pár dí. Veľmi som sa ezamýšľal ad tým, či tam mám alebo emám chyby, či to, ako vímam teóriu ja, je skutoče pravda. Podstaté bolo, že to fugovalo, dalo sa z toho učiť, typové príklady tam boli a aštartovalo to človeka do ďalšej aktivity. Zosmolil som to asi za týždeň a samozrejme to bolo a ete (a je a bude) zadarmo. Český preklad, ktorý sa potom objavil, prekrútil síce dosť veľa mojich viet, čím viesol do matroša ešte viac chybovosti, ale vďaka emu som pochopil, že to jedoducho musí byť česky. Dlho som sa potom odhodlával k dopísaiu materiálu. Vedel som, že ak sa do toho pustím, už sa euspokojím s takým amatérskym spracovaím a tým pádom mi bolo jasé, že to bude veľa práce. Des, keď píšem túto stráku, ktorú som si echal ako posledú, už viem, že som to podceil. Je to straše veľa práce. Musel som sa do štatistiky zova dostať, aštudovať si ové požiadavky, počítať príklady a akoiec aj formátovať, vybavovať, prepisovať, kotrolovať a tak ďalej. Napriek tomu etvrdím, že toto, čo práve držíte v rukách je bez chyby. Mohol som iečo pochopiť zle, mohol som sa pomýliť vo výpočte a iste ájdete aj gramatické chyby. Stále to ie je substitút k učebici, ie je to stostrákový materiál, ako som si ho a začiatku predstavoval. Ale myslím, že taký materiál ai ikto epotrebuje. To čo držíte v rukách vás akope a viem si predstaviť, že ak ho prejdete celý za jede deň a predtým ste o štatistike epočuli ai v autobuse, je reála šaca, že a druhý deň te test apíšete so slušým výsledkom. A práve to má byť cieľom Štatistiky pre flákačov, poskytúť zhusteé iformácie, očisteé od balastu a podaé tak, aby tomu pochopil každý. Aj za ceu epresosti, eúplosti, či zjedodušeia. Ospravedlňujem sa preto vopred za chyby ktoré sa tu môžu achádzať, bol som a to sám a emal som žiadeho kozultata, ak by ste však mojim kozultatom chceli byť, budem veľmi rád ak ma a chyby upozoríte mailom a ja sa ich budem sažiť uviesť a pravú mieru a svojej iteretovej stráke. Dostal som sa teda až k tlačeej verzii. Tlačeá preto, lebo papier je proste papier a kiha voia, a preto, že stále eexistuje použiteľý systém ako predávať texty a iterete v komuite, kde sa všetko zdieľa. A predaj bol utou voľbou, ak som chcel dosiahuť takúto kvalitu, zaplatiť preklad, učebice, ivestovať viac ež mesiac každodeej práce. Nečakám, že a tomto zarobím, cea je príliš ízka a áklady vysoké, bojím sa kopírovaia či skeovaia, ktoré by ma asi kokautovalo a moju prácu ohodotilo ako bezceú. Robím to hlave pre dobrý pocit, preto, že som vždy chcel apísať kihu, preto, že sa eskutoče teším z každej referecie a borcovi a apĺňa ma radosťou, že vďaka mojej práci sa vyhú útrapám učeia sa štatistiky stovky ľudí. Prajem vám teda, aby ste sa pri čítaí tohto materiálu bavili, aby ste mali radosť, ako rýchlo štatistiku zvládate a aby výsledok vašej skúšky bol ašim úspechom. Našim spoločým cieľom môže byť zvýšeie úspešosti predmetu 4ST ad 8%. Verím, že sa ám to podarí. Veľa síl a šťastia Jaro

6 Elemetary, my dear Watso

7 Základí pojmy Největším epřítelem procesu učeí se (kromě vlastí eochoty) je jedozačě epochopeé slovo. Pokud se opravdu chcete statistiku aučit a text skutečě vímat, esmíte přejít bez povšimutí slovo, kterému erozumíte, ale aopak musíte zjistit jeho výzam. Pokud ho je tak přeletíte, je sice možé, že text pochopíte, ale s mohem větší pravděpodobostí se probudíte za řádků s tím, že evíte, o čem čtete. Já se vám to budu sažit ještě ulehčit, a to tak, že každý pojem, který tu budu používat vám podrobě a srozumitelě defiuji moje oblíbeé slovo je apříklad. Teto úvod by měl defiovat základí pojmy, se kterými ve statistice pracujeme. Samotá statistika je věda, která se zjedodušeě řečeo zabývá jedak pravděpodobostí a a druhé straě tím, že aalyzuje velké možství shromážděých dat (údaje o počasí za posledí dva roky, průzkum o aucích a vzorku osob). Tato data třídí, hledá mezi imi souvislosti, vyjadřuje se k pravděpodobému budoucímu vývoji a tak podobě. Díky statistice dokážeme a základě velkého možství ic eříkajících čísel vyslovit ějaký závěr, který může mít pro ás větší či meší užitek. Například předpovědi počasí a období vzdáleější ež čtráct dí jsou prakticky založeé a statistických údajích o počasí a historických křivkách teplot a je miimálě a aktuálí situaci v atmosféře. Ve statistice tedy pracujeme s opravdu velkým možstvím dat (statistický úřad se apříklad zabývá většiou zkoumáím celého ároda ebo celého průmyslového odvětví), většiou ale zkoumáme stejé zaky, které má moho stejých subjektů apříklad příjem domácostí, zisk podiků chemické výroby atp. Subjekt, který zkoumáme, azýváme statistickou jedotkou (to je ta domácost, podik) a jeho zak, vlastost azýváme statistický zak (příjem, zisk, velikost atp.). Tyto zaky mohou mít růzý charakter, pro začátek mohou být číselé ebo sloví. Ty číselé se potom liší podle toho, zda je možé, aby abývaly jakékoli hodoty v určitém rozsahu (apříklad chleba může vážit od gramů přes 4,543 gramů až do jakéhokoli čísla) ty jsou spojité, ebo abývají je určité hodoty (počet dětí je,, 3, 4...; výsledek zápasu le, ½, ) ty jsou espojité. Sloví zaky zase dělíme a omiálí, u kterých eumíme určit, co je lepší, resp. co je víc (jako apříklad místo bydliště - Praha, Bro, Olomouc edá se určit pořadí) a a pořadové, kde můžeme určit ějaké pořadí (zámka ve škole ve slovím vyjádřeí dobrý je určitě lepší, ež evyhověl).. Tříděí dat Pokud bychom si vzali ějaká kokrétí data, apříklad výšky žáků ve třídě, které, vzhledem k tomu, že se a ě díváme jako statistici, budeme azývat statistický soubor, vypadaly by asi ějak takto: 5, 6, 56, 75, 48, 75, 8, 5, 75, 89, 79, 56, 8, 79, 76 Z takové ezpracovaé iformace toho moc ezjistíme, proto je vhodé si tyto údaje utřídit. V moha případech je vhodou formou tříděí tabulka rozděleí četosti, kde si pod sebe apíšeme, jaké údaje jsme aměřili (seřadíme je podle velikosti) a kolikrát:

8 Čísla udávající počet opakováí ějaké hodoty azýváme četost. Kdybychom k tomuto omiálímu vyjádřeí dopočítali i procetuálí (výška 75 byla v souboru 3krát to je omiálí vyjádřeí a žáci výšky 75 byli 3 z 5ti = 3/5 =, = % je procetuálí vyjádřeí), azývali bychom jej relativí četostí. V tomto případě však vidíme, že tabulka rozděleí četosti asi eí ejvhodější, pokud máme moho údajů, které se od sebe liší. Použijeme proto itervalové rozděleí četosti, což zameá, že si rozdělíme aměřeé hodoty do itervalů a až pak vyjádříme, kolikrát jsme jakou hodotu aměřili. Velikost itervalů se může určit pomocí ěkterých matematických metod, ale eí žádý zloči, když si itervaly určíme je tak od oka, podle toho, co ám ašeptává aše logika. Samozřejmě by bylo vhodé, aby měly itervaly stejou velikost. <4 5) <5 6) 4 <6 7) <7 8) 6 <8 9) 3 Další možostí pro tříděí dat e příliš vhodou pro další počítáí s aměřeými čísly, ale vysoce efektiví při prezetováí výsledků měřeí, jsou grafy.. Míry úrově polohy Když si představíme číselou osu a chtěli bychom a í azačit to velké možství ašich čísel (představme si apř. výšky dětí) je jediým bodem, poloha je to místo, kam bychom dali tečku. Tedy je to ějaká středí hodota. Možostí, jak ji určit, máme vícero. Průměr průměrů existuje ěkolik, ás zajímá hlavě aritmetický, takže klasicky sčítám všechy hodoty, co jsem aměřil, a vydělím to počtem měřeí. Začit jej budeme x. V ěkterých kokrétích případech ale musíme využít i průměr harmoický apříklad při počítáí příkladů o průměré rychlosti auta, v jiých případech i průměr geometrický. Mediá je hodota středího čleu. Kdybychom postavili děti podle výšky vedle sebe, výška toho, kdo bude uprostřed, bude mediá. Pokud by byl sudý počet, mediá by byl průměrem dvou hodot ve středu. Ozačuje se x%. Modus je ejčastěji se vyskytující hodota, takže z čísel,,3,4,5,5,5,6 by byl modus 5, protože je tam třikrát. Začíme ho ˆx..3 Míry variability Variabilita je vzdáleost ašich aměřeých hodot od středí hodoty. Můžeme ji vyjádřit růzě, apř. máme patáct žáků a průměr jejich výšek je 68,66. Tím jsme vyjádřili polohu, a když řekeme, že jejich výšky se pohybují od 48 do 89, tak jsme vyjádřili variabilitu. Kokrétě takové vyjádřeí se azývá variačí rozpětí, kdy jedoduše odečteme ejmeší hodotu od ejvětší. Tz = 4. Teto způsob je ale velmi áchylý a extrémy. Kdybychom měli je jediého 3 cm vysokého trpaslíka, aše variačí rozpětí by bylo 59. Proto moudří lidé vymysleli rozptyl. Počítáme-li teto rozptyl, tak od každé aměřeé hodoty odečteme průměr všech aměřeých hodot, vyjde ám tedy odchylka od středí hodoty. Tu potom umocíme a druhou, abychom eměli záporá - 8 -

9 čísla. Když všechy tyto odchylky umocěé a druhou sečteme a poté vydělíme jejich počtem (zprůměrujeme), výsledkem je rozptyl. Ozačujeme jej: s = i= x ( x x) Rozptyl ám však toho o skutečé variabilitě moc epoví, protože všechy odchylky jsou v ěm umocěé a druhou, takže při: Průměr = 68,66 Odchylky a druhou: (5-68,66) + (6-68,66) +(56-68,66) +... = 39,4 Výsledek vydělíme patácti (počet hodot = ) a máme rozptyl 6,5 cm a druhou. Hodota v cetimetrech a druhou (ebo v jakékoli jié jedotce a druhou) ale eí příliš srozumitelá, proto se používá odmocia z rozptylu, která má ázev směrodatá odchylka, v ašem případě odmocia z 6,5 je 4,36 cetimetrů. Toto číslo přibližě vyjadřuje, že více ež 5% aměřeých hodot (výšek) se eodchyluje od průměru v obou směrech o více ež 4,35 cetimetru. Směrodatou odchylku začíme stejě jako rozptyl, jeom e a druhou - s x. Vzorců a výpočet rozptylu existuje ěkolik, ale jedozačě ejpoužívaější pro běžé počítáí je tzv. výpočetí tvar rozptylu. Jeho vzorec je matematickým zjedodušeím původího vzorce a postup výpočtu rozptylu spočívá v tom, že zprůměrujeme druhé mociy aměřeých hodot a od toho odečteme průměr hodot umocěý a druhou: i s x = x x Variabilitu je možé defiovat i relativě, takže e v ějakých jedotkách (jako v případě směrodaté odchylky), ale je bezrozměrým číslem ebo procetem. K tomu slouží variačí koeficiet, který je poměrem směrodaté odchylky a aritmetického průměru. V x = sx x Hodota variačího koeficietu se může pohybovat od - do + a říká ám, akolik je áš soubor hodot esourodý (akolik jsou ty čísla, které tvoří soubor, rozházeé po číselé ose). Hodoty od -,5 do +,5 ukazují, že čísla se pohybují v blízkosti středí hodoty, a aopak ostatí hodoty svědčí o větší ebo meší esourodosti (čím větší číslo do plusu ebo míusu, tím je soubor méě sourodý).. Z tabulky rozděleí četosti vypočítejte průměr, rozptyl a směrodatou odchylku věku 5ti pracovíků firmy: Věk Počet

10 a. Průměr Sečteme všechy hodoty a vydělíme 5ti. Pozor a to, že se v souboru mohé hodoty acházejí vícekrát, proto to musíme zohledit i v čitateli: x = = = 39, b. rozptyl Uděláme součet druhých moci, potom je vydělíme 5ti a odečteme druhou mociu již vypočítaého průměru: x x s x ,8 = = = 5 5 = 39, 78 = 578, 47 = 6,8 578, 47 = 4,33 Rozptyl je 4,33 roků a druhou. c. směrodatá odchylka Je odmociou z rozptylu, tedy odmocia z 4,33. Směrodatá odchylka je 6,5 roku.. Bezdomovec a Václaváku vyžebral za jede de od 5ti lidí celkem 4 koru a rozptyl příspěvků byl 4. Jeho kolega a Hlavím ádraží získal od 86ti lidí 3 koru a rozptyl jeho příspěvků byl 9. Který bezdomovec dosáhul te de větší relativí variability příspěvků? Směrodatou odchylku do vzorce získáme odmocěím rozptylu a průměr vyděleím sumy vyžebraých peěz počtem lidí, kteří přispěli. 4 9 V = =,97 V = =, 68 4 /5 3 / 86 Větší variability příspěvků dosáhul bezdomovec a Václaváku. 3. Z hodot byl vypočítá průměr a rozptyl. Dodatečě jsme však zjistili, že každá hodota byla o adhodoceá. Jaké jsou skutečé hodoty průměru a rozptylu? Pokud hodot má průměr, tak součet těch hodot je x=. Každá hodota je v skutečosti o ižší, což ám při deseti hodotách udělá x =. Celkový součet měl být o ižší = - = 9. Takže ový průměr je 9/ = 9. Abychom zjistili ovou hodotu rozptylu, vůbec emusíme počítat. Pokud si uvědomíme, že rozptyl říká, akolik jsou aše čísla roztroušeé po číselé ose eboli jak velké jsou vzdáleosti mezi imi je úplě jedo, jestli jsou ty čísla, 3 a 3, aebo, a 9. Proto když všecha čísla zvětšíme ebo zmešíme o libovolou kostatu, rozptyl zůstává stále stejý. V ašem případě zůstává i ový rozptyl. - -

11 4. Auto projelo celou trať o délce km průměrou rychlostí 84,5 km/h. V prvím úseku o délce 3 km dosáhlo průměré rychlosti 7 km/h, ve druhém úseku o délce 5 km dosáhlo průměré rychlosti 5 km/h. Jakou mělo auto průměrou rychlost a třetím úseku trati? Pokud počítáme průměr průměré rychlosti, musíme použít harmoický průměr, to je asi jediá záludost tohoto příkladu. V případě, že jedotlivé části trati jsou estejě dlouhé, používáme vzorec pro vážeý harmoický průměr. Každý jedotlivý kilometr trasy vystupuje jako jedo suma je tedy. Ve jmeovateli potom dosazujeme průměrou rychlost x a počet kilometrů, a kterých této rychlosti auto dosahovalo. i xh = i xh 84, 5 x3? = = = i x 84, 5 = x 3 3 i , = 7 5 x , 5 = 84, 5 84, 5 = 38, 6785 x 7 5 x 55 = = 9,99 km / h 38,6785 / 84,5 Pokud bychom to počítali aritmetickým průměrem, vyjde ám km/h. To ale eí správý výsledek. - -

12 Počet pravděpodobosti Všechy děje, které se ve světě odehrávají, mají svoji pravděpodobost. Základí vlastostí pravděpodobosti je, že se pohybuje v rozmezí až procet. Když zkoumáme pravděpodobost ějakého jevu za daých podmíek, apříklad pravděpodobost srážky Země s Jupiterem za 5 sekud, tak jeho ulová pravděpodobost začí, že daý jev emůže astat, je to jev emožý. Naopak stoprocetí pravděpodobost říká, že jev určitě astae je to jev jistý. Většia věcí, které zkoumáme, ale emá charakter jistých ebo emožých jevů, apříklad a hrací kostce ám může padout 6 čísel, a že ám pade právě trojka, má určitou (e ulovou ai stoprocetí) pravděpodobost. Padutí trojky a hrací kostce proto azýváme jevem áhodým. To, že kostkou hážeme a sledujeme, jestli ám trojka pade ebo e, azýváme zase áhodým pokusem. Jako teoretický základ počítáí s pravděpodobostmi používáme dvě defiice pravděpodobosti. Prví se azývá klasická defiice a zakládá se a tom, že pravděpodobost každé variaty áhodého pokusu je stejá. To platí apříklad u hrací kostky, kde každé číslo by mělo padat stejě často, aebo při taháí čísla z osudí, kde se každé achází pouze jedou, a tedy je stejě pravděpodobé vytáhutí jakéhokoli čísla a tak podobě. V tom případě umíme vypočítat pravděpodobost jako poměr počtu ám přízivých (ámi očekávaých) variat jevu a počtu celkových možých variat. Tedy pokud potřebujeme trojku a kostce, pravděpodobost, že ám pade, je: (počet přízivých variat) děleo 6 (počet možých) = /6 Naopak statistická defiice pravděpodobosti se používá, když eí splěý předpoklad stejých pravděpodobostí jedotlivých variat, apříklad při autohavárii, ve které se zraí přesě jede člověk, eí pravděpodobost zraěí stejá pro všechy místa v autě. Některé jsou rizikové více a ěkteré méě. V takovém případě je možé určit pravděpodobost a základě údajů za dlouhé období o daém jevu, respektive a základě experimetálích měřeí a po jejich zhodoceí dospět k ějaké pravděpodobosti, se kterou daý jev astává (pravděpodobost, že se zraí řidič, pravděpodobost, že se zraí spolujezdec atd.). Tato pravděpodobost je tím přesější, čím víc údajů máme, ale ikdy eí úplě přesá, je to vždy je přibližá hodota, okolo které se skutečost pohybuje. V příkladech pravděpodobost a základě statistické defiice epočítáme, ostatě by to ai ebylo možé, vždy ji dostaeme zadaou (apř. poruchovost auta je 5%) a její hodotu používáme pro další počítáí s pravděpodobostmi.. Průik a sjedoceí jevů Máme-li více áhodých pokusů (apříklad dva hody kostkou) a chceme určit pravděpodobost, že astae ějaká kombiace áhodých jevů (apříklad a prví kostce pade trojka a a druhé šestka), musíme použít vzorce pro počítáí s pravděpodobostmi. V zásadě jsou důležité je dva případy a to: Průik jevů = P( A B) Chci zjistit pravděpodobost, že zítra ráo po deší chodbovici půjdu do školy a hodiu v 7:3. Řekl jsem si, že když mě vzbudí budík a probudím se ve své posteli, tak půjdu. Pravděpodobost, že mě vzbudí budík je,7 a pravděpodobost, že se probudím ve své posteli je,55. Pravděpodobost, že do školy půjdu, je pravděpodobostí průiku dvou jevů a vyjadřuje akolik je pravděpodobé, že oba jevy astaou současě. Ptám se a průik, protože jediě v případě, že astaou oba jevy současě, půjdu do školy. Hodotu této pravděpodobosti vypočítáme jako souči pravděpodobostí jevů, které mají astat současě: P( A B) = P( A) P( B). V ašem případě tedy P (půjdu do školy) =,7 x,55 =,385 = 38,5. - -

13 Sjedoceí jevů = A B Pravděpodobost, že eudělám zkoušku z matematiky, je,5. Pravděpodobost, že eudělám zkoušku ze statistiky, je,5. Stačí, když eudělám jede z těchto předmětů, a vyhodí mě ze školy. Pravděpodobost, že mě vyhodí ze školy, je pravděpodobostí sjedoceí = P( A B). Slově to můžeme vyjádřit: Pravděpodobost, že eudělám zkoušku z matematiky ebo zkoušku ze statistiky. Sjedocujeme tyto dva jevy, protože je jedo, který z ich astae, ebo zda astaou současě, každopádě to pro mě bude zameat vyloučeí ze školy. Pro vypočítáí pravděpodobosti sjedoceí těchto jevů použijeme vzorec: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B), tedy jedoduše sečteme pravděpodobosti jevů a odečteme pravděpodobost jejich průiku, eboli situaci, kdy astaou oba jevy současě. Proč ji musíme odečíst, ejlépe ilustruje diagram: A,5,375 B,5 V bubliě A je pravděpodobost, že eudělám matematiku, složeá ze dvou pravděpodobostí prví, že eudělám pouze matematiku, a druhé, že eudělám matematiku a zároveň i statistiku =,5 +,375 =,5. Obdobě v bubliě B máme,5+,375 =,5. Jejich průik (pravděpodobost, že eudělám ai jedu zkoušku) jsem připočetl k jedomu i ke druhému jevu, ovšem díky tomu, že se a oba jevy díváme jako a celek, emůžeme přičítat euděláí statistiky i matematiky k oběma bubliám tedy dvakrát, ale musíme jej počítat pouze jedou. Musíme proto teto průik od výsledku P (A) + P (B) jedou odečíst. Je to obdobé, jako když sbírám kartičky hokejistů, a mám sto růzých, kamarád má také sto růzých, takže je dáme dohromady a budeme mít společou sbírku. Jestliže však později zjistím, že mám stejých kartiček jako kamarád, tak dohromady máme je A+B - A B = +-=8 růzých kartiček. Pravděpodobost mého vyhozeí ze školy je tedy,5 +,5 -,375 =,365. Průik samozřejmě emusím odečítat, pokud žádý eexistuje. Např. emůže být - stupňů a zároveň pršet.. V pytlíku máme čerých a 5 bílých kuliček, jaká je pravděpodobost, že vytáheme bílou? Každá kulička v pytlíku má stejou šaci a vytáhutí, výběr každé kuličky je stejě pravděpodobý. Ptáme se a pravděpodobost vytáhutí bílé její vytáhutí bude pro ás přízivý jev. Počet přízivých výsledků je proto 5 (a aopak máme epřízivých výsledků vytáhutí jakékoli z deseti čerých kuliček) a počet všech kuliček je 5. Proto výsledá pravděpodobost je 5/5 = /

14 . Jaká je pravděpodobost, že a kostce pade při prvím hodu dvojka a při druhém šestka? Jsou to dva ezávislé jevy, každé číslo při každém hodu padá s pravděpodobostí /6. Pravděpodobost padutí dvojky v prvím hodu (jev A) je proto /6 a padutí šestky ve druhém hodu (jev B) je též /6. My chceme, aby astal prví i druhý jev současě. Slovo současě idikuje, že počítáme průik: Pravděpodobost tohoto jevu je /36. P( A B) = P( A) P( B) = = Dvě prasátka zůstaly samy doma. Vlk přišel za imi zahrát si poker a bouchá a dveře. Prasátko Bambi s pravděpodobostí, poslouchá metal a vlka euslyší, prasátko Cecil s pravděpodobostí,4 hraje ve sklepě a bicí a v tom případě vlka taky euslyší. Prasátka avíc s pravděpodobostí,5 hrají spolu Couter Strike a vůbec eregistrují okolí. Jaká je pravděpodobost, že si ai jedo prasátko evšime, že vlk bouchá a dveře? Jestliže hrají hru (jev A), což je pravděpodobé a 5%, ai jedo si ho evšime. Jestliže ehrají, tak si ho ai jedo evšime s pravděpodobostí rovou průiku dvou jevů prasátko Bambi jej euslyší (jev B) a současě i prasátko Cecil (jev C). Pravděpodobost tohoto průiku je rova součiu, x,4 =,8. To, že si prasátka vlka evšimou, zameá, že buď hrají hru, ebo astala situace, že se věují metalu a bubům. Spojka ebo ám azačuje, že tuto pravděpodobost vyjádříme pomocí sjedoceí,5 +,8 =,58. Neodčítáme žádý průik, protože eí možé, aby prasátka hrály hru a zároveň se věovaly bubům a metalu. Prasátka ezaregistrují vlka s pravděpodobostí 58%. P = P( A) + P( B C) =,5 + (,,4) =,58 4. Hážeme kostkou, dokud ám epade šestka. Nakolik je pravděpodobé, že se tak stae právě v šestém hodu? Pravděpodobost padutí šestky je v každém hodu stejá /6. Pravděpodobost, že šestka epade, je míus /6 teda 5/6. Dá se to spočítat taky opačě 5/6 je pravděpodobost, že ám pade jakékoli jié číslo, takže když jiých čísel ež je šestka je dohromady 5 a padutí každého je pravděpodobé a /6, jejich suma bude 5/6. Pravděpodobost, že 5x šestka epade a po šesté pade je průikem šesti jevů. Řešeím proto bude výsledek součiu: =, Jaká je pravděpodobost, že dvěma hody pade: a. jeda šestka b. ai jeda šestka c. dvě šestky Pokud má padout jeda šestka ve dvou hodech, tak může padout buď v prvím, ebo ve druhém. Jedá se o sjedoceí dvou jevů, přičemž oba jevy jsou zase průikem dvou jevů. P (jev A) = P (v prvím hodu pade 6, ve druhém e) = /6 x 5/6 = 5/36 P (jev B) = P (v prvím hodu epade 6, ve druhém ao) = 5/6 x /6 = 5/36-4 -

15 5 5 P( A B) = P( A) + P( B) = + = Jestliže ai jeda šestka emá padout, pravděpodobost je 5/6 x 5/6 = 5/36 A akoec pravděpodobost padutí dvou šestek je /6 x /6 = /36 Pozoruhodé je, že součet výsledků, které jsme vypočítali (/36+5/36+/36), se rová jedé. Je to tak proto, že ze dvou hodů kostkou emůžeme dostat ic jiého ež,, ebo šestky, a to s pravděpodobostí, jakou udávají aše výsledky. 6. Z dvaceti lístků je bílých. Taháme z osudí 3 lístky bez vraceí. Jaká je pravděpodobost, že vytáheme tři bílé? V takovém případě je v zásadě jedo, jestli taháme ty tři lístky zároveň aebo postupě. Můžeme tedy říct, že jde o pravděpodobost, že astae průik tří áhodých jevů, přičemž prví je vytáhutí prvího bílého lístku (jeho pravděpodobost je /), potom druhého (9/9, protože už máme o jede bílý lístek v osudí méě) a akoec třetího (P = 8/8). Dáme to do součiu a dopočítáme: P( A B C) = = =, O hodě hezčí a ve složitějších příkladech využitelější metodou je ale použití kombiačího čísla. Kombiačí číslo ám udává, kolika způsoby je možé vybrat prvky z ějaké větší možiy prvků. Při používáí kombiačího čísla upouštíme od představy, že taháme papírky postupě, ale představme si, že je taháme zároveň. Potřebujeme 3 bílé a dohromady je jich v osudí. Nyí si představme, že ty bílé papírky jsou ozačeé od do. Kolik možých trojic můžeme vytáhout? Šlo by teoreticky začít je vypisovat a papír (3,4,5,6 ), ale bylo by to velmi pracé. Efektě se! to dá vypočítat pomocí kombiačího čísla =, kde je velikost skupiy, ze které k ( k )! k! vybíráme = prvků a k je velikost výběru = 3 prvky. Výpočet potom vypadá takto:!.9.8.7! = = = = = 3 ( 3 )!3! 7!3! Takže je možých trojic bílých papírků a to je těch trojic, jejichž vytáhutí z celku ti papírků je pro ás přízivé. Ještě musíme zjistit počet všech možých trojic, které se dají z ti papírků vytáhout, a když tato dvě čísla dáme do poměru podle vzorce klasické pravděpodobosti, zjistíme pravděpodobost vytáhutí trojice bílých papírků.!.9.8.7! = = = = = 4 3 ( 3 )!3! 7!3! Jak vidíme, dospěli jsme ke stejým číslům jako při použití předchozí metody, pouze jsou vyděleé šesti. To ale ic eměí a tom, že jejich poměr je /4 =,

16 7. Máme 5 červeých a 5 modrých kuliček v pytlíku. Jaká je pravděpodobost, že při taháí dvou kuliček bez vraceí bude jeda z vytáhutých červeá a druhá bude modrá? Ptáme se a dvojici, kde bude jeda červeá a jeda modrá kulička. Počet možostí, kterými se dá vytáhout červeá z 5ti je právě 5 (můžete si to ověřit přepočítáím kombiačího čísla) a jeda modrá se dá z 5ti vytáhout taktéž 5ti způsoby. Jestliže ke každé červeé kuličce můžeme vytáhout libovolou modrou kuličku, počet všech dvojic, kde je jeda červeá a jeda modrá kulička, bude 5x5 = 375. Kolik libovolých dvojic můžeme vytáhout ze všech 4ti kuliček ám řeke kombiačí číslo: 4 4! ! 4.39 = = = = 78 ( 4 )!! 38!! Počet přízivých dvouprvkových výběrů je tedy 375 a celkový počet možých je 78. Pravděpodobost vytáhutí dvojice červeé a modré kuličky je, Do deseti cigaret z krabičky mi kamarádi přisypali do tabáku acylpyri. Jaká je pravděpodobost, že vykouřím osm ormálích a dvě s acylpyriem, když dohromady vykouřím cigaret? Můj výběr cigaret, jehož pravděpodobost počítáme, bude obsahovat osm ormálích cigaret z ti a dvojici acylpyriem ochuceých cigaret z ti. Ke každé možé skupiě osmi cigaret můžeme akombiovat libovolou dvojici, proto tyto čísla ásobíme. Výsledkem bude počet možostí, kterými se dá vybrat cigaret z ti tak, aby 8 bylo ormálích a s acylpyriem. Celkový počet možostí, jak se dá vybrat cigaret z ti zjistíme taktéž kombiačím číslem.. Náhodá veličia = =, Výsledky pokusů (čiosti, při které můžeme dostat vícero výsledků) jsou často čísla, apříklad výsledkem hodu kostkou je číslo, výsledý počet poruch za směu je též číslo, atd. Toto číslo můžeme azvat áhodou veličiou. Tato veličia může abývat růzých hodot, v případě kostky aše áhodá veličia X (tak se začí) může abývat hodoty,,3,4,5 a 6. Počet poruch by se mohl pohybovat od až do ekoeča a áhodá veličia by mohla teoreticky abýt jakékoli hodoty v tomto rozsahu. Každá kokrétí hodota áhodé veličiy X má i svoji pravděpodobost, tedy pokud a kostce může abývat X hodoty od do 6, tak umíme určit pravděpodobost pro X=, X= atd. Pravděpodobost že pade jedo ze šesti čísel je /6, tedy i pravděpodobost X= bude /6, zapisujeme P(X=)=/6. To samé bude platit i pro ostatí hodoty X, protože každé číslo a kostce má stejou pravděpodobost. Právě jsme přiřadili každé možé hodotě X pravděpodobost, defiovali jsme takzvaou pravděpodobostí fukci. Vypadá takto: P(X=)=/6 P(X=)=/6 P(X=3)=/6 P(X=4)=/6 P(X=5)=/6 P(X=6)=/6-6 -

17 Z této fukce můžeme lehce odvodit druhou důležitou fukci, a to distribučí, která ám udává pravděpodobost, že áhodá veličia X abude hodoty meší ebo rové ějakému číslu. Pro aši kostku by vypadala takto: F(x) = pro x< =/6 pro x< =/6 pro x<3 =3/6 pro 3 x<4 =4/6 pro 4 x<5 =5/6 pro 5 x<6 = pro x 6 Distribučí fukci defiujeme jako F( x) = P( X x), tedy fukčí hodota ve zvoleém bodě x se rová pravděpodobosti, že áhodá veličia X abude hodoty meší ebo rové jako ámi zvoleý bod. Lidsky řečeo: Když si zvolíme v případě aší kostky za X trojku, zapisujeme F (3), tak distribučí fukce ám řeke, jaká je pravděpodobost, že a kostce pade číslo meší ebo rovo třem, 3 zapisujeme P( X 3). Jak vidíme z tabulky výše, P( X 3) = Veličia X abývá hodot, ebo 3. Zámé jsou pravděpodobosti P()=,, P()=,5. Určete chybějící pravděpodobost P(3). Dále vypočítejte a iterpretujte hodotu distribučí fukce v bodě. Jak víme, áhodá veličia abývá pouze hodoty, a 3, a zároveň máme zadaé pravděpodobosti, že pade jedička (,) i dvojka (,5). Pravděpodobost trojky bude tedy,3, protože základí vlastostí pravděpodobosti je, že součet pravděpodobostí všech možých variat je %. Distribučí fukce v bodě říká, jaká je pravděpodobost, že výsledek áhodé veličiy bude číslo meší ebo rové dvěma. Je to tedy součet pravděpodobosti, že "pade" jedička a dvojka =,7.. % rodi má v domě jedu místost, 4% jich má dvě a 4% má tří. Pro veličiu počet místostí ačrtěte graf distribučí fukce. Jakou má hodotu v bodě? Co tato hodota zameá? x F( x) x < x <, x < 3,6 3 x Při tvorbě grafu distribučí fukce espojité veličiy (takové, které eabývá hodoty v každém bodu) dáváme pořád uzavřeé itervaly a levou strau, a to z toho důvodu, že distribučí fukce udává pravděpodobost, že X abude hodoty meší ebo rové ež ámi zvoleé x. Když se podívám a graf a zeptám se, jaká je pravděpodobost, že má rodia dvě ebo méě pokojů (hodota distribučí fukce v bodě ), vidím, že je to,6. Pro hodoty x< je pravděpodobost ulová, eboť ikdo emá méě ež pokoj

18 .3 Rozděleí áhodé veličiy Po hodu kostkou ám pade ějaké číslo. Umíme vypočítat, s jakou pravděpodobostí daé číslo pade. Podobě, i když máme deset aut, přičemž jedo je porouchaé, umíme vypočítat, s jakou pravděpodobostí si vybereme právě to s poruchou. Statistika však dokáže vypočítat o hodě složitější věci a ástrojem a řešeí těchto složitějších problémů jsou rozděleí áhodé veličiy. Rozděleí, to je takový všeobecý vzorec, který popisuje chováí áhodé veličiy za růzých podmíek a zautomatizuje počítáí do takové míry, že si je musíme vybrat to správé rozděleí vzhledem k charakteru ašeho příkladu a doplit do vzorce proměé. Představme si to, jako kdybychom apsali vzorec a pravděpodobostí fukci jakkoli velké hrací kostky. Do toho vzorce bychom potom už je doplili, kolik má kostka stra, kolikrát hážeme, jaké číslo chceme a kolikrát chceme, aby padlo a vzorec ám už je vychrlí výsledek aši hledaou pravděpodobost. Jedoduše řečeo, rozděleí áhodých veliči jsou vzorce, které akrmíme ějakými vstupími proměými, a oy ám dopočítají hodotu výsledé pravděpodobostí ebo distribučí fukce. Tedy, dají ám odpověď a otázku (v případě pravděpodobostí fukce): "Jaká je pravděpodobost, že X (apř. počet poruch) se bude rovat 3?" a ebo (v případě distribučí fukce): "Jaká je pravděpodobost, že X bude meší ebo rovo deseti?" Existují růzé typy příkladů a a základě jejich specifik je možé použít růzá rozděleí proto u každého rozděleí, které budu zmiňovat, bude uvedeé, a jaký typ příkladu je možé jej použít. Biomické rozděleí ám dokáže vypočítat pravděpodobost, že se v sérii pokusů () bude vyskytovat jev, který má ějakou pravděpodobost (p) právě X krát. Je to rozděleí, které musíme akrmit dvěma proměými, a to proměou, která začí počet ezávislých áhodých pokusů (apř. počet hodů kostkou) a proměou p, která říká, jaká je pravděpodobost jevu, který sledujeme (pravděpodobost, že pade šestka). Velké X je aše áhodá veličia, jejíž pravděpodobost chceme zjistit (zadáme-li X=3, počítáme pravděpodobost, že šestka pade právě třikrát). Ve vzorci pro výpočet pravděpodobostí fukce tohoto rozděleí je i proměá q - ta se však jeom dopočítává jako p a je to tedy pravděpodobost, že daý jev eastae. Pro úplost je tady vzorec: x P( X = x) = p q x. Jaká je pravděpodobost, že v pěti hodech kostkou pade 6 ejvýše jedou a jaká je pravděpodobost, že pade alespoň třikrát? Takže typické, série pokusů, je jich, pravděpodobost, že pade kokrétí číslo a kostce, je stará zámá /6. Je třeba si uvědomit, že zjišťujeme pravděpodobost áhodé veličiy, kterou je "počet padutí šestky v pěti hodech". Ta může abývat hodoty od až do 5. Pokud chceme zjistit pravděpodobost, že pade ejvýše jedou, tedy ebo jedekrát, bude se tato pravděpodobost rovat součtu P( X = ) a P( X = ). Obdobě pro "alespoň třikrát", tedy 3, 4 a 5 je to buď součet pravděpodobostí P(3) + P(4) + P(5) a ebo P() P() P(), protože kdybychom sčítali pravděpodobosti od až po 5, tak ám musí vyjít %, že jeda z ich astae. Můžeme tedy od celku (%=) odečíst, co chceme, a vyjde ám pravděpodobost, že astae to, co jsme eodečetli. x Chováí áhodé veličiy za růzých podmíek = jaké hodoty abude áhodá veličia (počet padutí šestky a hrací kostce), při měících se podmíkách (počet stra kostky, počet hodů, atp.) - 8 -

19 a.) ejvýše jedou x x P( X = x) = p q x 5 p = q = = = 5 X = P( X = )=.., 49 = = P( X = )= = 5.. =, P( X = ) + P( X = ) =, 49 +,49 =,84 b.) alespoň třikrát P( X = ) = = =, P( X = ) P( X = ) P( X = ) =,84,68 =, 35 Užitečá rada: Pokud máte ějakou vědečtější kalkulačku, určitě a í ajdete fukce, které vám mohou výrazě ulehčit počítáí. Kombiačí čísla se řeší tak, že ejprve vložíte do kalkulačky horí číslo, potom stiskete tlačítko Cr (já ho mám jako druhou fukci a tlačítku děleí) a potom zadáte spodí číslo. Rová se a výsledek je výsledkem kombiačího čísla. Dobré je také používat zlomky, tlačítko je většiou ozačeé jako a b c. Zadáte čitatel, stiskete tlačítko, zadáte jmeovatel a zlomek je hotový. Tímto tlačítkem taktéž přepíáte mezi zlomkovým zobrazeím a klasickým desetiým. Pozor, pokud chcete zlomek umocit, musíte jej ejprve dát do závorky.. Jaká je pravděpodobost, že si z deseti tahů vytáheme z balíčku alespoň jedekrát eso? Po vytáhutí vracím kartu pokaždé zpátky a promíchám. Stačí mi samozřejmě spočítat pravděpodobost, že si eso evytáhu ai jedekrát. x x P( X = x) = p q x 4 p = = q = = = X = P( X = )=.., 45 = = P( X > ) = P( X = ) =, 45 =, 55 Pravděpodobost, že si vytáhu alespoň jedekrát eso, je 55%. Poissoovo rozděleí má stejou oblast použití jako rozděleí biomické. Také do ěj vstupují proměé (počet pokusů) a p (pravděpodobost zkoumaého jeve), jeom jej používáme v - 9 -

20 případech, kdy počet prvků (teda ) je více ež 3 a pravděpodobost (p) je malá, prakticky stačí, že je meší ež,, tedy %. Při splěí těchto podmíek můžeme říct, že Poissoovo rozděleí aproximuje rozděleí biomické což zameá, že výsledky pří použití tohoto vzorce jsou je miimálě odlišé od výsledků za použití vzorce pro biomické rozděleí. Ve vzorci Poissoova rozděleí se počítá s parametrem λ - lambda, který se rová p. Ve vzorci figuruje i kostata e - Eulerovo číslo (zaokrouhleé,788). Pravděpodobost X se vypočítá pomocí rovice: x λ λ P( x) = e λ = p x! Druhou důležitou oblastí použití Poissoova rozděleí jsou Poissoovské proudy. Zpravidla jde o příklady, ve kterých řešíme pravděpodobost výskytu ějakého jevu (apř. počet výběrů z bakomatu) za určitou časovou jedotku (apř. miut). Lambda je v takovém případě takzvaý parametr proudu a udává počet výskytů jevu za určitou časovou jedotku. Ve vzorci se achází ještě jede další parametr a to je t, které udává velikost sledovaého itervalu (ve kterém chceme zjistit pravděpodobé možství výskytů jevu, který sledujeme) jako zlomek celé časové jedotky. P( x) = ( tλ) x! x e tλ 3. Výběry z bakomatu se řídí Poissoovým rozděleím a za hodiu si z ěj vybere peíze průměrě 4 lidí. Jaká je pravděpodobost, že v průběhu ásledujících 5ti miut si ikdo ic evybere? Iformace, že za hodiu si vybere peíze 4 lidí, ám určuje hodotu parametru lambda počet jevů za časovou jedotku (časová jedotka = hodia). Iterval pěti miut, ve kterém chceme určit pravděpodobost, musíme zohledit jako parametr t. Má to být zlomek celé časové jedotky, pokud časová jedotka je hodia, 6 miut, tak 5 miut je jedou dvaáctiou. Proto t = /. Náhodá veličia X, kterou zkoumáme, je počet jevů za iterval zkoumáme pravděpodobost, že se ezrealizuje žádý výběr, proto budeme za X dosazovat ulu. λ = 4 t = e =, P( X = ) = e = e =, 788 =, 357! Hypergeometrické rozděleí používáme při výběru bez vraceí, což zameá, že každý další výběr je ovlivěý tím, co se vytáhlo v předchozím tahu používá se tedy pro závislé áhodé veličiy. Obzvlášť časté jsou příklady, ve kterých máme pomíchaé dva druhy ěčeho (apř. bílé a čeré kuličky, shilé a zdravé jablka, přičemž po vytáhutí z pytlíku to evracíme zpátky a taháme dál). Parametry tohoto rozděleí jsou: N počet všech prvků, M počet prvků s ějakou specifickou vlastostí (apř. shilé jablka), počet prvků, které taháme, a koečě aší záhadou veličiou, jejíž pravděpodobost hledáme je x a ozačuje počet prvků z těch, které jsme vytáhli, které mají tu specifickou vlastost, tedy apř. kolik z těch jablek je shilých. - -

21 M N M x x P( x) = N 4. Máme výrobků a 4 z ich jsou zmetky, taháme 4 bez vraceí. Jaká je pravděpodobost, že alespoň jede z ich bude zmetek? N = M = 4 x = = 4 P( X ) = P( X = ) M N M 4 6 x x 4 5 P( X = ) = = = =, 74 N 4 P( X ) =, 74 =,986 Stačí ám zjistit, jaká je pravděpodobost, že bude zmetků, to odečteme od procet a máme výsledek. Zmetky dosazujeme za M, celkový počet výrobků je N, taháme z ich 4, což dosadíme za proměou. 5. Spolubydlící šel a ákup do Hyperovy, je však zapomětlivý typ, proto jsme mu vytvořili memotechickou pomůcku, pomocí které určitě akoupí všecho důležité. Jmeuje se to záko a spočívá v tom, že každý ákup by měl obsahovat věcí: 4 piva, troje chipsy, krát salát a jedy cigarety. Navzdory tomuto propracovaému pláu se mu podařilo zapomeout koupit 5 věcí. Jaká je pravděpodobost, že koupil alespoň jedo pivo? Takže žádý strach, pivo sad bude. N = M = 4 = 5 x = P( X = ) = = =, P( X ) = P( X = ) =, 4 =, V zásilce ti výrobků jsou zmetky. Náhodě taháme 5 kusů. Jaká je pravděpodobost, že vytáheme jede zmetek, pokud taháme s vraceím, a jaká bez vraceí? a.) s opakováím x = = 5 p = / =, q =,9 P p q x x x 4 () = =,,9 =,

22 b.) bez opakováí x = = 5 N = M = 5 36 P( X = ) = = =, Pěstovatel akoupil 4 sazeic jabloí. Špatým skladováím došlo k tomu, že 8 jich uschlo. Jaká je pravěpodobost, že při áhodém výběru ti sazeic (bez vraceí) budou: všechy dobré uschlé? a.) N = 4 M = 8 = x = M N M x x! P( x) = = = = = =,64 N ,5! b.) N = 4 M = 8 = x = 4 P( x) = M N M x x ! = = = = =,35 N ! Pravděpodobost, že budou všechy dobré je,6%, a pravděpodobost, že budou 4 uschlé je 3,5%. - -

23 - 3 - Statistika pro flákače Normálí rozděleí je ejdůležitějším pravděpodobostím rozděleím a používá se hlavě jako model pro rozděleí áhodých chyb měřeí, které jsou způsobeé možstvím malých, a sobě ezávislých áhodých jevů. Obecě ormálí rozděleí říká, že výsledky áhodých pokusů se budou pohybovat okolo průměré hodoty, přičemž to, jak moc budou okolo í roztroušeé, závisí a rozptylu áhodého jevu, který sledujeme. Proto má toto rozděleí dva parametry, a to µ - mí, které je totožé s průměrem a σ - sigma a druhou, který je totožý s rozptylem. Nejlepším příkladem ilustrujícím veličiu s áhodým rozděleím je model, který jsem viděl v muzeu vědy a techiky v Paříži. Nazývá se quicux ebo Galto Box, podle svého zhotovitele Sira Fracise Galtoa. Jedalo se o jedoduché zařízeí, které shora pouštělo asi sto úplě stejých kuliček. Tyto kuličky padaly a malé ocelové trubičky a byly astaveé tak, aby spadly přesě a střed prostředí trubičky. Z í spadli buď vpravo aebo vlevo. Následě dopadly a další trubičku, ze které zase spadli buď vlevo, ebo vpravo. Tak to pokračovalo, až dokud kulička eprošla všemi poschodími zařízeí a akoec dopadla do jedoho z chlívků a jeho dě. Situaci ilustruje obrázek vlevo. Pravděpodobost říká, že tak, jako hody micí by měly být rovoměrě rozděleé kolikrát pade paa, tolikrát by měl padat i orel tak i kuličky v zařízeí by se měli odrážet jedou doprava, jedou doleva ve stejém poměru. Jak vidíme, eí to úplě tak. Většia kuliček sice poměr víceméě dodržela a skočila akoec ve středím chlívku ebo velmi blízko středu, jié se častěji odrazily a pravou strau, ostatí zase a levou strau a skočily v krajějších chlívcích. Jak vidíme, jejich rozmístěí vymodelovalo klasickou křivku ormálího rozděleí. Po skočeí jedoho cyklu se kuličky vrátily zpět ahoru a pokus se opakoval. Kuličky potom vytvořily v chlívcích jiou křivku, která byla trochu špičatější, a a levé straě ebylo tolik koulí jako a pravé, ale je jasé, že pohyb těchto kuliček skrz zařízeí se řídí ormálím rozděleím. Odchylky v uspořádáí kuliček po ukočeí cyklu a dě stroje jsou áhodé ebo zapříčiěé možstvím epatrých jevů, ale stále je kuliček ejvíc ve středu okolo středí hodoty a v jeho okolí jsou rozptýleé vzhledem k rozptylu, který teto jev má. Pojďme yí k praxi. To, co většiou potřebujeme v příkladech a ormálí rozděleí vypočítat, je jeho distribučí fukce. Takže apříklad pravděpodobost, že rozměr součástky bude meší ebo stejý jako je orma, pravděpodobost, že počet zápalek v krabičce je meší ebo rove 4ti, a tak podobě. V předešlých rozděleích jsme měli vzorce, do kterých jsme dosadili potřebé proměé a hodotu X, a dostali jsme pravděpodobost. Takový vzorec by ale byl u ormálího rozděleí příliš složitý a počítalo by se ám s ím epohodlě a těžko. Proto si hodotu áhodé veličiy X musíme upravit do takzvaého ormovaého tvaru a ormovaou veličiu U. Potom bychom měli teoreticky s touto hodotou U počítat dál a dospět k hodotě pravděpodobosti, kterou hledáme. Máme to ale ulehčeo tím, že pro kokrétí hodoty U jsou uvedeé v tabulkách kokrétí pravděpodobosti, takže ám stačí vypočítat U, podívat se do tabulek a máme výsledek. Vzorec ormovaé veličiy U obsahuje průměr µ, odmociu z rozptylu =σ, a X, což je ějaká hodota áhodé veličiy. x µ U = σ

24 Posledí stručá, důležitá a výstižá věta: Pokud chci zjistit distribučí fukci ormálího rozděleí, tedy pravděpodobost, že áhodá veličia bude abývat hodoty meší ebo stejé jako mou zadaé X, vypočítáme ormovaou veličiu U, potom se podíváme do tabulek, kde a základě toho, kolik ám ta veličia U vyšla, zjistíme příslušou hodotu distribučí fukce, začíme Φ (U ). Tato hodota je hledaou pravděpodobostí. Distribučí fukce udává pravděpodobost, že X bude meší ebo rovo ějakému číslu, takže jestli se ptají a pravděpodobost, že X bude větší ež ějaké číslo, logicky musíme tu hodotu distribučí fukce příslušící ašemu U (výsledou pravděpodobost) odečíst od : P(X>x)=(- Φ (U ) ). 8. Hmotost vyráběých součástek je ormálě rozděleá veličia se středí hodotou gramů a rozptylem. S jakou pravděpodobostí bude hmotost součástky meší ebo rová 5ti gramům? N (;) σ = = x = 5 U x µ 5 = = =,5 σ P( X 5) = Φ U = Φ (, 5) =, 69 = 69,% Takže ptají se a pravděpodobost, že bude hmotost meší ebo rová 5ti gramům, z toho vyplývá, že se ptají a distribučí fukci, a že za X dosadíme 5. Rozptyl je, za sigmu dosadíme jeho odmociu, tedy, za µ dosadíme, tedy středí hodotu. Vypočítáme U, a potom se už jeom podíváme do tabulek (kokrétě tabulka Distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí ) a příslušá hodota pravděpodobosti (resp. Hodota F(u)) k ašemu vypočítaému U je výsledek. 9. V testech iteligece je průměrý výsledek bodů se směrodatou odchylkou 5 bodů. Kolik procet lidí dosáhe více ež 5ti bodů a kolik procet lidí dosáhe maximálě 9ti bodů? V jakém itervalu symetrickém okolo středí hodoty se bude acházet 5% lidí? Pokud chceme zjistit proceto pro více ež 5 bodů, vypočítáme proceto pro 5 a méě a potom jej odečteme od jedičky. Maximálě 9 bodů je distribučí fukce v bodě 9 tedy proceto lidí s počtem bodů meším ebo rovým 9ti. N(; 5) σ = 5 x > 5 x µ 5 U = = =,333 σ 5 P( X 5) = Φ U = Φ (,333) =, 693 P( X > 5) =, 693 =,377 N(; 5) σ = 5 x 9 x µ 9 U = = =,666 σ 5 Φ( U ) = Φ( U ) P( X 9) = Φ(,666) = Φ (, 666) = =, =, 5463 V případě, že hodota ormovaé veličiy U je záporá (záporé hodoty ejsou v tabulkách), vypočítáme hledaou pravděpodobost jako -(pravděpodobost kladé hodoty U). Na otázku, v jakém itervalu se bude acházet 5% lidí, odpovíme, že v itervalu (85;5). To jsme vypočítali jako - 4 -

25 středí hodota ± směrodatá odchylka. Vyplývá to z defiice směrodaté odchylky, která říká, že směrodatá odchylka je hodota, o kterou se v obou směrech eodchyluje od průměru více ež 5% hodot.. Nespojitá celočíselá áhodá veličia X má ormálí rozděleí se středí hodotou 7 a rozptylem 4. Určete pravděpodobost, že tato áhodá veličia abude hodot: a. maximálě 6 b. aspoň 5 c. z itervalu (5,9) N(7; 4) σ = 4 = x µ 6 7 P( X 6) = Φ U = Φ = Φ = Φ(,5) = Φ (,5) =, 69 =,3 σ P( X 5) = P( X 4) = Φ = Φ = ( Φ (,5)) = (,933) =, P(5 X 9) = Φ Φ = Φ() ( Φ ()) =,68 V prvím případě je to je jedoduchá distribučí fukce. Ve druhém případě vyjádříme pravděpodobost, že X abude hodoty meší ež 4 a tu odečteme od (protože veličia je celočíselá). Ve třetím případě musíme od pravděpodobosti, že X bude meší ež 9 odečíst ještě pravděpodobost, že bude meší ež 5, a tak dostaeme pravděpodobost, že se bude acházet v zadaém itervalu.. Hmotost výrobku je vyhovující, pokud je v rozmezí gramů. Za stadardích podmíek má hmotost přibližě ormálí rozděleí se středí hodotou µ =68,3 gramů a směrodatou odchylkou v předepsaých mezích. Jaká je pravděpodobost, že hmotost výrobku bude vyhovující? N(68,3;, 9) σ =, , ,3 P(68 X 69) = Φ (,33) ( ),3 Φ,3 = Φ Φ = =,99 ( Φ ()) =,99,59 =,83 = 83,% Je-li směrodatá odchylka v předepsaých mezích, může být maximálě,3, protože jiak by ve směru dolů překročila limit (68 < středí hodota ± směrodatá odchylka < 69). Hledáme pravděpodobost, že hmotost bude v mezích mezi 68 a 69. Vypočítáme pravděpodobost, že bude meší ež 69, ale od í musíme ještě odečíst pravděpodobost, že bude meší ež

26 3 Bodový a itervalový odhad Pokud statisticky zjišťujeme ějaký jev, často astává situace, že rozsah souboru je tak velký, že je velmi obtížé zjistit skutečý stav. Tedy, pokud zjišťujeme preferece politických stra, je samozřejmé, že se emůžeme ptát každého občaa, koho bude volit. Obdobě i u testováí součástek emůžeme otestovat všechy, ale je ějaký vzorek, tzv. výběrový soubor. Příkladů ze života si i sami domyslíte spoustu. Pro ás je důležité to, že základí soubor (celá populace, všechy součástky) má svoje statistiky jako jsou rozptyl a průměrá hodota. Stejě má ějaký průměr, resp. Rozptyl i výběrový soubory (tedy te vzorek) a my ve valé většiě příkladů chceme a základě dat, které máme z výběrového souboru, určit průměr ebo rozptyl základího souboru, přesěji řečeo, určit iterval, ve kterém se tyto statistiky achází. 3. Teoretický úvod Ještě jedou jde ám o to, zjistit buď rozptyl, ebo středí hodotu základího souboru, pokud záme hodoty ějakého výběru prvků. Celý postup výpočtu spočívá v dosazováí do vzorců. Abychom ale uměli vzorce taky použít, je třeba ejprve pochopit dvě základí věci: Věc : Pokud zjišťujeme rozptyl ebo středí hodotu základího souboru (ZS) a základě ějakého výběru z ěj, koečý výsledek udáváme v itervalu, protože eí možé určit přesou hodotu (pokud se apř. zeptáme tisíce občaů ČR a jejich výšku a průměr z toho, co ám uvedou, vyjde 7, emůžeme jedoduše prohlásit, že průměr výšky všech obyvatel ČR je 7). Nemůžeme ale říct, že apř. průměrá výška obyvatel ČR (středí hodota ZS) se bude a % acházet v itervalu 5 až. Výsledkem je iterval, ve kterém se bude acházet hledaá proměá, a i to pouze s určitou pravděpodobostí. V praxi se však často střetáváme s problémem, že pokud určujeme iterval se stoprocetí pravděpodobostí, že se v ěm bude acházet zjišťovaá ezámá, je teto iterval tak široký, že je ám to a ic. Takže pokud děláme průzkum preferecí a vzorku lidí a jako výsledek uvedeme, že preferece Demokratické stray u celé populace jsou a % v itervalu až procet, je to epoužitelé. Proto se tyto itervaly uvádí a přesostech ižších ež %, a to obvykle s 95% přesostí, která ám už poskytuje užší iterval při málo změěé věrohodosti. Přesost, se kterou udáváme výsledek, azýváme kofidečí iterval, a začíme jako α, přičemž α zameá vlastě možou chybu odhadu. V případě α =,95 je možá chyba 5%. Všechy vzorce, které se budou dále používat, budou cca ve tvaru: P( X < zjišťovaá hodota < Y) = α Neboli: S pravděpodobostí rovou -α se bude zjišťovaá hodota (základího souboru = průměr ebo rozptyl) acházet v itervalu (X;Y). Věc : Co je to X a Y, které se píše ve vzorci o řádek výše? P δ δ ( x u ( α / ) < µ < x + u ( α / ) ) = α Levou a pravou hraici itervalu, ve kterém se bude acházet zjišťovaá hodota základího souboru (v případě středí hodoty ormálího rozděleí začíme µ ), tvoří stále korespodující hodota výběru ze základího souboru (v tomto případě x - tedy pokud chceme zát středí hodotu ZS, používá se tam středí hodota výběru), od které je a levé straě odečteá a a pravé straě zase - 6 -

27 přičteá jakási chyba odhadu, ve které je vždy zakompoovaý kvatil ějakého rozděleí, o kterém emusíme vědět ic, kromě toho, že ho ajdeme v tabulkách, kde jsou jeho hodoty uspořádaé podle pravděpodobosti, se kterou iterval určujeme, podle -α. Shrutí: Máme ějaký statistický soubor, který je velký, proto z ěj vybereme ěkolik exemplářů. Pozačíme si, kolik jsme jich vybrali, a zjistíme průměr a rozptyl. My ale chceme zaalyzovat průměr základího souboru. Takže pomocí toho, že jsme aměřili hodoty té vybraé skupiy, dosadíme aměřeá čísla a pár čísel, která ajdeme v tabulkách, do vzorce, a te ám vypočítá, v jakém itervalu se achází ámi hledaá hodota základího souboru. Teto výsledek bude přesý podle toho, jaký zvolíme kofidečí iterval. Čím chceme přesost větší, tím větší bude iterval, ve kterém se bude acházet výsledek. Proto většiou volíme přesost 95%, což je kompromis mezi šířkou itervalu, ve kterém se achází výsledek, a přesostí (pravděpodobostí, že je te výsledek správý). 3. Zjišťováí středí hodoty V případě, že zjišťujeme středí hodotu základího souboru, mohou astat dvě situace. Buď záme rozptyl základího souboru (což je obvyklé spíš u poměrě ereálých příkladů), ebo rozptyl základího souboru ezáme a budeme muset použít rozptyl výběrového souboru, který může být zadaý, ebo jej budeme muset vypočítat podle vzorce: s = ' i= x ( x x) i Přeložeo: Od každé hodoty výběru odečtu průměr celého výběru a výsledek umocím a druhou. Takovým způsobem to udělám se všemi hodotami výběru a všechy výsledky umocěé a druhou sečtu. Potom to vydělím počtem hodot zmešeým o a akoec ještě odmocím. Zjišťujeme středí hodotu, záme rozptyl, používáme vzorec: σ σ P( x u ( α /) < µ < x + u ( α /) ) = α. Zjišťujeme průměrou mzdu všech absolvetek zdravotické školy, přičemž pomocí předešlého zkoumáí víme, že její rozptyl je Vybrali jsme si áhodě 5 absolvetek, u kterých jsme zjistili průměrou mzdu 494 Kč. Sestrojte iterval průměré mzdy absolvetek s přesostí 95%. Celá aše práce prakticky spočívá v dosazováí do vzorce. Za x dosadíme průměrou mzdu = 494. Za u musíme dosadit hodotu příslušého kvatilu, kterou ajdeme v tabulkách (Kvatily ormovaého ormálího rozděleí). Nejprve musíme ale vědět, a jaké pravděpodobosti počítáme. V zadáí chtějí přesost 95%, a to zameá, že α se bude rovat,95 a α =,5. Ve vzorci se ale píše, že dosazujeme kvatil u ( α / ), proto musíme spočítat kolik je ( α / ). Je to,975 a v tabulkách ajdeme hodotu kvatilu příslušící pravděpodobosti,975 a tou je,96. Tuto hodotu dosadíme za výraz u ( α / ). Za sigmu dosadíme směrodatou odchylku, což je odmocěý rozptyl, takže 995. A akoec ještě dosadíme za 5. Spočítáme čísla a vidíme, v jakých itervalech se bude µ základího souboru acházet to je áš výsledek