6 Reprezentace a zpracování neurčitosti
|
|
- Nela Blažková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 6 Reprezentace a zpracování neurčitosti Většina našich znalostí o reálném světě je zatížena ve větší či menší míře neurčitostí. Na druhou stranu, schopnost rozhodovat se i v situacích, kdy nejsou všechny informace dostupné, je běžnou vlastností lidského rozumu. Vezměme si následující čtyři tvrzení: 1. Žadatel o úvěr má měsíční příjem korun, 2. Žadatel o úvěr má vysoký měsíční příjem, 3. Žadatel o úvěr má měsíční příjem asi korun, 4. Žadatel o úvěr má asi vysoký měsíční příjem. rvní tvrzení žádnou neurčitost neobsahuje. Tvrzení číslo dvě používá vágní pojem vysoký příjem ; není přesně specifikováno, jaké částky už jsou vysoké a jaké ještě nízké navíc pojem vysoký příjem může být různými lidmi chápán různě. Ve třetím tvrzení se objevuje nejistota; neznáme přesnou výši příjmu víme jen, že je okolo Ve čtvrtém tvrzení se pak objevuje jak vágnost, tak nejistota. Zpočátku byla problematika neurčitosti umělou inteligencí přehlížena, výzkum se zaměřoval především na symbolické manipulace. Své explicitní vyjádření našla neurčitost až v polovině 70. let v souvislosti s expertními systémy. Vedle ad hoc přístupů, navržených pro práci s neurčitostí v konkrétních expertních systémech např. MYCIN nebo ROSCTOR se vychází i z propracovaných teorií. istoricky první je teorie pravděpodobnosti, jejíž základy spadají do sedmnáctého století. ravděpodobnostní přístup bychom mohli použít pro vyjádření nejistoty. V současnosti je tato teorie nejpropracovanější a existuje celá řada jejích aplikací v oblasti umělé inteligence. Za všechny zmiňme bayesovské sítě umožňující reprezentovat znalosti o částečně nezávislých evidencích a tyto znalosti použít při usuzování. Z dalších teorií našly své uplatnění v umělé inteligenci teorie možnosti possibility theory a teorie fuzzy množin a fuzzy logiky. Zatímco axiomy teorie možnosti jsou velice podobné axiomům teorie pravděpodobnosti, teorie ale umožňuje vyjadřovat vágnost přirozeného jazyka, fuzzy množiny rovněž nabízející formalismus pro vyjádření vágnosti vycházejí ze zcela odlišných základů. odrobněji je této problematika zpracována např. v [Mařík a kol., 1997] nebo [Giarratano, Riley, 1993]. Důraz na zpracování neurčitosti dostal v posledních letech v kontextu umělé inteligence nový impuls v oblasti nazývané soft computing. Soft computing je termín souhrnně označující metody, které umožňují rychle nalézat řešení byť ne zcela optimální vágně a neúplně popsaných problémů [Zadeh, 1994]. Do oblasti soft computing bývají z metod umělé inteligence řazeny fuzzy logika, neuronové sítě a genetické algoritmy. atří sem ale i pravděpodobnostní metody nebo teorie chaosu. odstatné je, že tyto metody se nepoužívají izolovaně ale ve vzájemné kombinaci; nalezneme tak například celou řadu neuro-fuzzy nebo fuzzy-genetických systémů. Do oblasti soft computing se přesouvá i práce s neurčitostí z expertních a znalostních systémů. 1
2 6.1 Způsoby vyjádření neurčitosti Vágnost Fuzzy množiny Fuzzy množiny představují zobecnění klasických množin nazývaných pak crisp. Def: Crisp množina A je definována pomocí charakteristické funkce ϕ A : U {0,1} takové, že 0, x U;ϕ A x = 1, právě když právě když x A x A Def: Fuzzy množina A je definována pomocí charakteristické funkce též nazývané funkce příslušnosti µ A : U [0,1] tak, že každému prvku x je přiřazena hodnota z intervalu [0,1]. ro fuzzy množiny obsahující konečný počet prvků se používá zápis A = {x, µ A x} Obr. 1 Crisp resp. fuzzy množina zvýšená teplota lavní rozdíl mezi oběma typy množin je patrný z obr. 1. Zatímco u crisp množiny A, A U můžeme o každém prvku x z univerza U říci, že do množiny A jistě patří nebo jistě nepatří viz charakteristická funkce vlevo, v případě fuzzy množiny může x prvek do množiny A patřit jen do jisté míry viz funkce příslušnosti vpravo. S využitím funkce příslušnosti jsou definovány všechny množinové operace: kardinalita počet prvků fuzzy množiny A A = µ x doplněk fuzzy množiny A x U µ x = 1 A U \ A µ A x průnik fuzzy množin A a B µ x = min µ x, x A B A µ B sjednocení fuzzy množin A a B µ x = max µ x, x A B A µ B A fuzzy podmnožina B A B právě když x; µ A x < µ B x 2
3 Obr. 2 Fuzzy množinové operace Kromě těchto klasických operací lze pro fuzzy množiny definovat: α-řez fuzzy množiny A nosič support fuzzy množiny A jádro kernel fuzzy množiny A [µ] α = {x; µ A x > α} suppa = {x; µ A x > 0} kera = {x; µ A x = 1} Neboli podpora A jsou ty prvky univerza, které do množiny A alespoň trochu patří a jádro jsou ty prvky univerza, které do A jistě patří, a α-řez jsou ty prvky univerza, jejíchž míra příslušnosti k A je větší nebo rovna α. 1 α 0 jádro α řez nosič Obr. 3 Jádro, nosič a alfa řez Často se v souvislosti s fuzzy množinami mluví o počítání se slovy. Mají se tím na mysli tzv. lingvistické proměnné např. velký, malý apod., vyjádřené pomocí fuzzy intervalů. 3
4 Obr. 4 Linguistické proměnné Fuzzy relace Fuzzy relace jsou definovány na kartézském součinu crisp množin: R: X Y [0, 1], X = {x}, Y = {y}. odnota µ R x,y odpovídá stupni relace mezi x X a y Y. říklad zvířata: odobnost mezi zvířaty X = {kůň, osel}, Y = {mula, kráva} může být definována následující tabulkou: Y = {mula kráva} X = {kůň osel} Def: Kompozice relace pro crisp relaci R: X Y {0, 1} a crisp množinu M X je definována jako M R = {y Y; x M x, y R} Def: Kompozice relace pro fuzzy relaci R: X Y [0, 1] a fuzzy množinu M X je definována jako M R = {y, µ M R y}, kde µ M R y = max min µ M x, µ R x,y říklad zvířata pokračování: Je-li M = {kůň, 0.7}, pak M R = {mula, 0.7,kráva, 0.4} Analogicky, tedy s využitím max-min kompozice můžeme skládat relace. 4
5 Def: ro dvě fuzzy relace R: X Y [0, 1] a S: Y Z [0, 1] je R S fuzzy relace X Z [0, 1] taková, že µ R S x,z = max y min µ R x,y, µ S y,z Relaci mezi linguistickými proměnnými tj. mezi fuzzy množinami můžeme chápat jako fuzzy podmíněný příkaz if X is A then Y is B kde A je fuzzy množina na X a B je fuzzy množina na Y např. IF BMI vysoké TN krevní tlak vysoký Nejistota rubé množiny rubé množiny rough sets představují jakési aproximace klasických crisp množin. Def: Nechť pro universum U existuje jeho rozklad tvořený množinami B i. množiny tvořící rozklad jsou navzájem disjunktní a jejich sjednocení tvoří celou množinu U. ak pro každou množinu A; A U definujme dolní aproximaci A L jako horní aproximaci A U jako a hranici A U L jako A L = { B i ; B i A}, A U = { B i ; B i A }, A U L = A U A L. Obr. 5 rubé množiny 5
6 Základní myšlenku hrubých množin ilustruje Obr. 5. ro množinu A na obrázku žlutě a množiny B i tvořené jednotlivými obdélníky je její dolní aproximace znázorněna zeleně a hranice znázorněna modře. orní aproximace je pak vše, co je barevné Vícehodnotové logiky Klasická dvouhodnotová logika pracuje se dvěma pravdivostními hodnotami TRU a FALS často značené 1 a 0. U vícehodnotových logik je pravdivostních hodnot více. Nejjednodušší vícehodnotovou logikou je tříhodnotová logika. K hodnotám 1 a 0 se zde přidává hodnota X, která má význam UNKNOWN ve smyslu tvrzení může být TRU nebo FALS. Tomu odpovídá i příslušné rozšíření definic jednotlivých logických spojek: 1. nezáleží-li na neznámé hodnotě, pravdivostní hodnota logické spojky je příslušná standardní hodnota, 2. záleží-li na neznámé hodnotě, je pravdivostní hodnota logické spojky X. Obr. 6 Negace a konjunkce v trojhodnotové logice Obr. 7 Disjunkce a implikace v trojhodnotové logice ravé vícehodnotové logiky pracují s pravdivostními hodnotami z celého intervalu [0, 1]. Často se v této souvislosti mluví o fuzzy logice, i když ne každá vícehodnotová logika je inspirována fuzzy teorií. Def: Funkce : [0, 1] [0, 1] [0, 1] se nazývá t-norma, právě když: 1. a, 1 = a 2. a, b = b, a 3. a, b,c = a, b, c 4. pro b < c a, b < a, c lze dokázat, že a, 0 = 0 6
7 říklady t-norem: Gődelova min a, b = mina, b součinová prod a, b = a b Lukasiewiczova Luk a, b = max0, a + b 1 Def: Funkce : [0, 1] [0, 1] [0, 1] se nazývá t-konorma, právě když: 1. a, 0 = a 2. a, b = b, a 3. a, b,c = a, b, c 4. pro b < c a, b < a, c lze dokázat, že a, 1 = 1 říklady t-konorem: Gődelova min a, b = maxa, b součinová prod a, b = a + b - a b Lukasiewiczova Luk a, b = min1, a + b Vztah mezi t-normou a t-konormou je definován následující rovností: a, b = a, 1 - b Def: Nechť a, b [0, 1] jsou pravdivostní hodnoty dvou fuzzy tvrzení. Logické spojky ve fuzzy logice jsou pak definovány následujícím způsobem: 1. negace a pro a < b a = a b < a uvedeným požadavkům vyhovuje standardní negace a = 1 - a 2. konjunkce 3. disjunkce 4. implikace a b a b = a, b a b = a, b je definována jako tzv. reziduum t-normy, tedy tak, že a b = maxc, a, c < b Věta: Nechť fuzzy implikace je definována jako reziduum t-normy. ak 7
8 1. pro a < b je a b = 1 neboť a, 1 = a < b 2. pro a > b je Gődelova implikace součinová implikace a b = b a b = b/a Lukasiewiczova implikace a b = 1 a + b ravděpodobnost Teorie pravděpodobnosti představuje klasický způsob jak pracovat s neurčitostí. řipomeňme zde některé základní pojmy dle Jiroušek. Def: Nechť X je konečná množina, tx je potenční množina množina všech podmnožin. ravděpodobnostní distribuce je takové zobrazení že, X = 1 = 0 : tx [0, 1] pro A, B tx takové, že A B = platí A B = A + B Def: odmíněná pravděpodobnost jevu A při jevu B je definována jako A B = A B B Věta: Je-li A > 0 a B > 0, potom A B = B A A B Výše uvedený vztah se nazývá Bayesův vzorec. Def: Jevy A a B jsou nezávislé právě když A B = A B Def: Jevy A a B jsou podmíněně nezávislé při jevu C právě když A BC = AC BC 8
9 odívejme se nyní na situaci, kdy množina X je kartézský součin hodnot, které mohou nabývat náhodné veličiny X 1, X 2,, X n. otom pravděpodobnostní rozložení definované na X 1 X 2 X n budeme též nazývat pravděpodobnostní distribuce náhodných veličin X 1, X 2,, X n. Místo X 1 =x 1, X 2 =x 2, budeme pro jednoduchost psát x 1, x 2,. Def: Uvažujme dvě náhodné veličiny X 1, X 2 a nějakou jejich sdruženou pravděpodobnostní distribuci X 1, X 2. Marginální pravděpodobnostní distribuce veličiny X 1 je dána vztahem X x =, 1 1 x1 x2 x2 X 2 Def: Uvažujme dvě náhodné veličiny X 1, X 2 a nějakou jejich sdruženou pravděpodobnostní distribuci X 1, X 2. Veličiny X 1, X 2 jsou nezávislé, právě když x, x = x x2 Def: Uvažujme tři náhodné veličiny X 1, X 2, X 3. Veličiny X 1, X 2 jsou podmíněně nezávislé při veličině X 3, právě když x1, x2 x3 = x1 x3 x2 x Možnost Základy teorie možnosti possibility theory formuloval v roce 1978 L.A: Zadeh jako nástroj umožňující usuzovat na základě nepřesné či vágní znalosti a brát přitom do úvahy neurčitost těchto znalostí. Formálně vzato tato teorie představuje alternativu k teorii pravděpodobnosti. Uvidíme tedy podobné definice jako v předcházející podkapitole. Def: Nechť X je konečná množina, tx je potenční množina množina všech podmnožin. ossibilistická distribuce Π je takové zobrazení že, Π X = 1 Π = 0 Π: tx [0, 1] pro A, B tx takové, že A B = platí Π A B = max Π A, Π B Věta: Nechť A, B tx. otom Π A B = max Π A, Π B Zatímco definice pravděpodobnostní distribuce požaduje, aby množiny A a B byly disjunktní, to že možnost sjednocení odpovídá maximální možnosti jednotlivých členů platí pro jakékoliv množiny A a B. Věta: Nechť A, B tx. otom Π A B min Π A, Π B 9
10 Def: Uvažujme dvě náhodné veličiny X 1, X 2 a nějakou jejich sdruženou pravděpodobnostní distribuci X 1, X 2. Marginální possibilistická distribuce veličiny X 1 je dána vztahem Π x1 = max Π x1, 2 X x 1 x2 X 2 Def: Uvažujme dvě náhodné veličiny X 1, X 2 a nějakou jejich sdruženou possibilistickou distribuci ΠX 1, X 2. Veličiny X 1, X 2 jsou nezávislé, právě když Π x1, x2 = Π x1 Π x2 Def: Uvažujme tři náhodné veličiny X 1, X 2, X 3. Veličiny X 1, X 2 jsou podmíněně nezávislé při veličině X 3, právě když Π x1, x2 x3 = Π x1 x3 Π x2 x3 Ve výše uvedených definicích značí symbol t-normu, kterou jsme poznali v souvislosti s fuzzy množinami. Operace tedy může ale nemusí být klasické násobení, tak jak je tomu v případě pravděpodobnosti. Dalším a ještě významnějším rozdílem je to, že požadujeme aby součet pravděpodobností všech prvků množiny X byl 1, zatímco u možnosti požadujeme, aby nějaký prvek množiny X byl jistě možný. Možnost tedy klade méně omezujících podmínek na formulování expertem, než pravděpodobnost. 6.2 Usuzování s využitím neurčitosti Fuzzy inference Odvozovací pravidlo R: if X is A then Y is B X is A Y is B kde A a A nemusí být stejné, využívá tzv. kompozicionální pravidlo inference µ B y = max x min µ A x, µ R x,y Mamdaniho model Takzvaný Mamdaniho model je jazykový model pracující s fuzzy podmíněnými příkazy typu R i : if X is A i then Y is B i kde A i x a B i y jsou fuzzy množiny. Stupeň pravdivosti případné konjunkce v předpokladu se vyhodnotí jako minimum. 10
11 Fuzzy podmíněného příkazu pravidlo chápeme jako fuzzy relaci, kde µ R x,y = µ A x, µ B y kde jako t-norma se nejčastěji používá minimum. Výstup y fuzzy systému spočítáme ze vstupu x a relace R jako max min obecněji kompozici y = x R tedy µ B y = max x min µ A x, µ R x,y říklad: Jsou dány crisp množiny X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3, 4}, fuzzy množina Xlow = {1, 1, 2, 0.7, 3, 0.3} a fuzzy množina Yhigh = {1, 0.2, 2, 0.5, 3, 0.8, 4, 1}. ravidlo if X is low then Y is high lze vyjádřit relací R: low high = Je-li nyní fuzzy množina Xmedium = {1, 0.5, 2, 1, 3, 0.5}, potom y * = medium R = {1, 0.2, 2, 0.5, 3, 0.7, 4, 0.7} říklad: balancování tyče Balancování tyče na vozíku neboli převrácené kyvadlo viz Obr. 8 je klasická úloha fuzzy regulace, jejíž popis je převzat z Nauck, Klawonn, Kruse. Cílem je udržet tyč ve svislé poloze pomocí síly F, která je závislá na úhlu Θ mezi kyvadlem a svislou osou, a na úhlové rychlosti Θ = d Θ/ dt. Uvažujme rozsah velikostí úhlu Θ od 90 o do 90 o, rozsah hodnot úhlové rychlosti od 45 o s -1 do 45 o s -1 a rozsah hodnot síly F od 10N do 10N. řiřaďme každé z těchto veličin fuzzy intervaly velký záporný vz, střední záporný sz, malý záporný mz, asi nula an, malý kladný mk, střední kladný sk a velký kladný vk způsobem analogickým Obr. 4. ravidla použitá pro řešení této úlohy mají podobu: R i : if Θ is A i and Θ is B i then F is C i Celkem se použije 19 pravidel, souhrnně ukázaných v Tab. 1. Tedy pravidlo je např. if Θ is malý záporný and Θ is velký záporný then F is malý kladný 11
12 ři odvozování se nejprve určí stupeň pravdivosti předpokladu každého pravidla jako minimum stupňů pravdivosti jednotlivých linguistických proměnných v předpokladu. ak se pro každé pravidlo určí hodnota závěru jako minimum stupně pravdivosti předpokladu a linguistické proměnné v závěru. Nakonec se získá výstupní hodnota jako maximum ze závěrů počítaných pro jednotlivá pravidla. Schematicky je celý postup znázorněn na Obr. 9. Analytické řečení celé úlohy vede na soustavu nelineárních diferenciálních rovnic Obr. 8 řvrácené kyvadlo Θ vz sz mz an mk sk vk vz mk vk sz sk mz sz mz mk Θ an vz sz mz an mk sk vk mk mz mk sk sk sz vk vz mz Tab. 1 Fuzzy pravidla pro kyvadlo 12
13 Obr. 9 Fuzzy inference Nauck, Klawonn, Kruse V případě fuzzy regulace musíme tento odvozovací postup ještě doplnit o fuzzyfikaci vstupů a defuzzyfikaci výstupu. ři fuzzyfikaci se konkrétní číselná hodnota převádí na fuzzy množinu fuzzy interval, při defuzzyfikaci se výsledek odvozování na základě fuzzy inference fuzzy množina převádí na konkrétní číselnou hodnotu. Obecné schéma fuzzy regulace podle kterého pracují různé spotřebiče typu fuzzy pračka, fuzzy mikrovlnná trouba apod. je na Obr. 10. ro defuzzyfikaci výstupu y se nabízí několik možností. Numerické výstupní veličině se přiřadí hodnota odpovídající těžišti odvozené fuzzy množiny středu maxima odvozené fuzzy množiny váženému průměru odvozené fuzzy množiny Obr. 10 Fuzzy regulace 13
14 Takagiho Sugenův model Takzvaný Takagiho - Sugenův model je jazykový model pracující s fuzzy podmíněnými příkazy typu R i : if X is A i then y = f i x kde fx je obvykle lineární funkcí x, tedy fx = a T x + b. Začátek výpočtu fuzzyfikace, inference je stejný jako u Mamdaniho modelu. Výstupní hodnota y se ale spočítá jako akt i i f i x y = akt kde akt i je stupeň pravdivosti předpokladu i-tého pravidla. Stupeň pravdivosti případné konjunkce v předpokladu se opět vyhodnotí jako minimum. i i Dedukce ve vícehodnotové logice Jinou variantou fuzzy odvozování je odvozování ve vícehodnotové fuzzy logice. Zde vycházíme z klasického dedukčního pravidla ϕ ϕ ψ ψ Ze stupně a pravdivosti formule ϕ ψ stupně b pravdivosti formule ϕ pak počítáme stupeň pravdivosti formule ψ. oužijeme-li Lukasiewiczovu logiku, která má vlastnost úplnosti logické vyplývání v sémantickém smyslu odpovídá dokazatelnosti chápané syntakticky, stupeň pravdivosti formule ψ spočítáme jako Luk a, b = max0, a + b ravděpodobnostní inference Základním pojmem tohoto přístupu, známého především ze systému ROSCTOR [Duda, Gasching, 1979], je pojem šance. Ta je pro libovolný výrok A definována jako podíl počtu jevů příznivých A a jevů nepříznivých A: O A = A A = A 1 A ráce s neurčitostí vychází z Bayesovy věty, známé z teorie pravděpodobnosti: =, 14
15 15 kde je podmíněná, nebo aposteriorní pravděpodobnost hypotézy, víme-li, že evidence jistě platí, a je apriorní pravděpodobnost hypotézy. odobně můžeme definovat aposteriorní pravděpodobnost negace hypotézy, víme-li, že evidence jistě platí jako = Vydělíme-li výše uvedené rovnice, dostaneme =, což můžeme, s využitím pojmu šance vyjádřit jako O O =. Definujeme-li výrazem L = míru postačitelnosti, dostáváme pro aposteriorní šanci hypotézy výraz O L O = Míra postačitelnosti L je kvantitativní ocenění pravidla a zadává ji expert. Velká hodnota L>>1 říká, že evidence je postačující k dokázání hypotézy, protože z indiferentní apriorní šance O udělá velkou aposteriorní šanci O. Obdobným způsobem můžeme definovat míru nezbytnosti L = a aposteriorní šanci hypotézy jako O L O =. Bayesova věta dává návod jak stanovit vliv jedné evidence na uvažovanou hypotézu. Jak ale postupovat, pokud je evidencí více? Tedy, jak stanovit aposteriorní pravděpodobnost 1,, K? Jsou v zásadě dvě možnosti, jak postupovat: 1. Naivní bayesovský přístup vychází z předpokladu, že jednotlivé evidence 1,, K jsou podmíněně nezávislé při platnosti hypotézy [Duda, art, 1973]. Tento zjednodušující předpoklad umožňuje spočítat aposteriorní pravděpodobnost hypotézy při platnosti všech evidencí
16 1,, K = vyjádřeno jako šance dostáváme 1,,K 1,,K O 1 n = L1 Ln O O 1 n = L1 L n O 2. Bayesovské sítě též nazývané pravděpodobnostní sítě umožňují reprezentovat znalosti o částečně nezávislých evidencích a tyto znalosti použít při usuzování. Bayesovská síť je acyklický orientovaný graf zachycující pomocí hran pravděpodobnostní závislosti mezi náhodnými veličinami. Ke každému uzlu u náhodné veličině je přiřazena pravděpodobnostní distribuce tvaru urodičeu, kde rodičeu jsou uzly, ze kterých vycházejí hrany do uzlu u. To umožňuje spočítat sdruženou pravděpodobnostní distribuci celé sítě jako n u 1,.,u n = u i rodičeu i i=1 Má-li tedy bayesovská síť podobu uvedenou na Obr. 11, bude mít sdružená distribuce tvar Z,K,D,M = Z KZ DZ MK,D Obr. 11 říklad bayesovské sítě ossibilistická inference Odvozování založené na teorii možnosti je analogické s odvozováním založeným na teorii pravděpodobnosti. Zhruba se dá říci, že sčítání je nahrazeno hledáním maxima a násobení je nahrazeno použitím nějaké t-normy například násobením. odobně jako bayesovskou síť lze definovat posibilistickou síť jako acyklický orientovaný graf zachycující pomocí hran posibilistické závislosti mezi náhodnými veličinami. Každému uzlu můžeme 16
17 přiřadit podmíněnou posibilistickou distribuci Πurodičeu. Sdruženou posibilistickou distribuci celé sítě pak definujeme jako n Π u 1,.,u n = Π u i rodičeu i i=1 Bude-li tedy mít posibilistická síť stejnou podobu jako bayesovská síť uvedená na Obr. 11, bude sdružená posibilistická distribuce dána výrazem Π Z,K,D,M = ΠZ ΠKZ ΠDZ ΠMK,D Nemonotonní usuzování Všechny doposud zmíněné způsoby práce s neurčitostí vycházejí z toho, že neurčitost je vyjádřena pomocí číselné hodnoty. Zajímavou alternativu nabízí logika, konkrétněji tzv. nemonotónní usuzování. Klasickou logickou inferenci můžeme chápat jako odvozování důsledků plynoucích y formulí v prostředí, které je statické. Označíme-li CnX množinu všech důsledků množiny formulí X, pak 1. X CnX 2. X Y CnX CnY 3. CnCnX = CnX Nemonotonní usuzování je takový způsob inference, kdy dříve učiněný závěr může být zpochybněn ve světle nové informace neplatí tedy podmínka č. 2. Klasickým příkladem je formule každý pták létá. Závěr, který můžeme učinit na základě této formule o leteckých schopnostech libovolného ptáka ale bude zpochybněn, přidáme-li dodatečnou formuli znalost, že tučňák nelétá Kompozicionální vs. nekompozicionální přístup Výše uvedené přístupy buď skládají dílčí příspěvky k celkové neurčitosti = jsou tedy kompozicionální pravděpodobnostní, possibilistická inference, fuzzy inference, nebo hledají jeden způsob odvození závěru tříhodnotová logika, nemonotónní usuzování. 17
18 Cvičení: 1 říklad: Jsou dány množiny X = {1, 2}, Y = {1, 2, 3} a fuzzy relace R: X Y Y R: X ro A = {1, 0.5, }2, 0.7} spočítejte kompozici A R. 2 říklad: Jsou dány tři crisp množiny X = {1, 2}, Y = {1, 2, 3}, Z = {1, 2, 3, 4}, a dvě fuzzy relace R: X Y a S: Y Z Y R: X Spočítejte kompzozici R S S: Y Z říklad: Na základě definice t-normy dokažte, že a, 0 = 0 4 říklad: Na základě definice t-konormy dokažte, že a, 1 = 1 5 říklad: rověřte, že Lukasiewiczovo dedukční pravidlo uvedené v vychází z Lukasiewiczovy implikace. 18
19 Literatura: 1. Duda R.O., Gasching J..: Model Design in the rospector Konsultant System for Mineral xploration. in: Michie,D. ed., xpert Systems in the Micro lectronic Age, dinburgh University ress, UK, Giarratano J., Riley G.: xpert Systems. rinciples and rogramming. WS ublishing Co Konar A.: Computational Inteligence. Springer, Mařík V., Štěpánková O., Katanský J a kol. Umělá inteligence II. Academia, Nauk D., Klawonn F., Kruse R.: Foundations of Neuro-fuzzy systems. John Wiley,
pseudopravděpodobnostní Prospector, Fel-Expert
Práce s neurčitostí trojhodnotová logika Nexpert Object, KappaPC pseudopravděpodobnostní Prospector, Fel-Expert (pravděpodobnostní) bayesovské sítě míry důvěry Mycin algebraická teorie Equant fuzzy logika
VíceVybrané přístupy řešení neurčitosti
Vybrané přístupy řešení neurčitosti Úvod do znalostního inženýrství, ZS 2015/16 8-1 Faktory jistoty Jedná se o přístup založený na ad hoc modelech Hlavním důvodem vzniku tohoto přístupu je omezení slabin
VíceUsuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
VíceFuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák
Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy
VíceFuzzy logika. Informační a znalostní systémy
Fuzzy logika Informační a znalostní systémy Fuzzy logika a odvozování Lotfi A. Zadeh (*1921) Lidé nepotřebují přesnou číslem vyjádřenou informaci a přesto jsou schopni rozhodovat na vysoké úrovni, odpovídající
VíceZpracování neurčitosti
Zpracování neurčitosti Úvod do znalostního inženýrství, ZS 2015/16 7-1 Usuzování za neurčitosti Neurčitost: Při vytváření ZS obvykle nejsou všechny informace naprosto korektní mohou být víceznačné, vágní,
VíceMATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ Metodický list č. 1 Název tématického celku: Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ
MATEMATICKÁ metodický list č. 1 Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Řešení úloh ve stavovém
VíceZáklady fuzzy řízení a regulace
Ing. Ondřej Andrš Obsah Úvod do problematiky měkkého programování Základy fuzzy množin a lingvistické proměnné Fuzzyfikace Základní operace s fuzzy množinami Vyhodnocování rozhodovacích pravidel inferenční
VíceFuzzy logika. Posibilistická teorie (1) Systémy s umělou inteligencí
Fuzzy logika Posibilistická teorie (1) Systémy s umělou inteligencí Fuzzy logika a odvozování Lotfi A. Zadeh (*1921) Lidé nepotřebují přesnou číslem vyjádřenou informaci a přesto jsou schopni rozhodovat
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Bayesovské modely Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc.
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VícePopis zobrazení pomocí fuzzy logiky
Popis zobrazení pomocí fuzzy logiky diplomová práce Ján Fröhlich KM, FJFI, ČVUT 23. dubna 2009 Ján Fröhlich ( KM, FJFI, ČVUT ) Popis zobrazení pomocí fuzzy logiky 23. dubna 2009 1 / 25 Obsah 1 Úvod Základy
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceMíry podobnosti, základy fuzzy matematiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Míry podobnosti, základy fuzzy matematiky Matematika pro informatiky, FIT ČVUT Martin Holeňa, 9. týden LS 2010/2011 O čem to bude? Přehled vzdáleností
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceFuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?
Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceBinární logika Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceFuzzy regulátory Mamdaniho a Takagi-Sugenova typu. Návrh fuzzy regulátorů: F-I-A-D v regulátorech Mamdaniho typu. Fuzzifikace. Inference. Viz. obr.
Fuzzy regulátory Mamdaniho a Takagi-Sugenova typu Návrh fuzzy regulátorů: Fuzzifikace, (fuzzyfikace), (F) Inference, (I), Agregace, (A), Defuzzifikace (defuzzyfikace) (D). F-I-A-D v regulátorech Mamdaniho
VíceBakalářská matematika I
do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceÚvod do logiky (VL): 5. Odvození výrokových spojek z jiných
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 5. Odvození z jiných doc. PhDr. Jiří Raclavský,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceStavební fakulta Katedra mechaniky. Jaroslav Kruis, Petr Štemberk
České vysoké učení technické v Praze Stavební fakulta Katedra mechaniky Fuzzy množiny, fuzzy čísla a jejich aplikace v inženýrství Jaroslav Kruis, Petr Štemberk Obsah Nejistoty Teorie pravděpodobnosti
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. Obsah 1 Úvod do fuzzy logiky 2 Úvod do aplikací fuzzy logiky 3 Výroková
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceFunkce. Definiční obor a obor hodnot
Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2017/2018
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2017/2018 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více