Systémy. Systém: souhrn souvisejících prvků, sdružený do nějakého smysluplného celku

Transkript

1 Systémy Systém: souhrn souvisejících prvků, sdružený do nějakého smysluplného celku Pro nás: krabička něco dělající se signály: xt, xn něco do ní leze vstup ( ) [ ] něco z ní leze ven výstup yt ( ), yn [ ]

2 Klasifikace systémů Potřebujeme vědět, do které přihrádky náš systém patří, abychom ho mohli korektně zpracovat (když použijeme princip superpozice na nelineární systém, výsledkem je kravina). Hledisek je tradičně kupa, např.: Lineární/nelineární Kauzální/nekauzální S pamětí/bez paměti Časově invariantní/časově proměnné Systémy s pamětí / bez paměti Systém bez paměti reaguje pouze na okamžité vstupy (ze vstupů jsem schopen určit výstup) Systém s pamětí má vnitřní stav (pro určení výstupu nestačí aktuální vstupy) Příklad: autíčko, vstupem je zrychlení zadních kol, výstupem je poloha (závisí na rychlosti, ta je vnitřní stav) Vnitřní stav šikovný trik, je v něm schována celá časová historie vstupů V příkladu s autíčkem by se dala poloha určit, pokud bychom věděli všechna zrychlení od začátku, a autíčko by bylo na počátku v klidu.

3 Systémy kauzální / nekauzální Kauzální systém: výstup závisí pouze na minulých vstupech a současném vstupu. Nevidí do budoucnosti (výstup nesmí záviset na vstupech co teprve přijdou) Nekauzální systém: vidí do budoucnosti Je předchozí příklad s autíčkem kauzální nebo ne? Co tyhle systémy? [ ] = [ ] + [ 1] [ ] = xn [ + 1] yn xn xn yn Obecně pozor při offline zpracování dat, jednoduchý příklad se zašumělými daty, použiji ten nejhloupější filtr, způměruji vždycky pět hodnot, a výsledek dám na výstup. Na obrázku vpravo je případ, kdy čtvrtý prvek výstupu použije vstupy 2 6. Takže vidí do budoucnosti!

4 Lineární systémy Mají některé skvělé vlastnosti, které budeme dále využívat V reálném světě je skoro všechno nelineární, ale často ne moc Lineární systém musí splňovat následující podmínky ax t ay t Homogenita (homogenity) 1( ) 1( ) Aditivita (additivity) x ( t) + x ( t) y ( t) + y ( t) Časová invariantnost (shift invariance) (tuhle jen trochu) Homogenita ( ) ( ) ax t ay t 1 1 Systém je homogenní, pokud změna amplitudy vstupu způsobí obdobnou změnu amplitudy na výstup (násobení konstantou) Příklad: el. odpor Vstup napětí, výstup proud: homogenní Vstup napětí, výstup výkon: nehomogenní

5 Aditivita ( ) + ( ) ( ) + ( ) x t x t y t y t Systém je aditivní, pokud dva přidané vstupy projdou systémem, aniž by se navzájem ovlivňovaly Př. Aditivní V telefonu mluví Pepa, na pozadí pokřikuje Anička. Oba signály lezou telefonní linkou k příjemci. Ten slyší oba mluvčí neovlivněně, neslyší nově vzniklého hybrida jménem Pepanička. Př. Neaditivní Rádiový signál + nosná vlna, na diodě pn přechod, vznikne nový signál

6 Časová invariantnost posuv na vstupu stejný posuv na výstupu ( ) ( ), ( ) ( ) x t y t x t t y t t Systém nemění svoje parametry (když do něj pustím vstup dnes, dostanu odezvu, když použiji tentýž vstup za týden, dostanu stejnou odezvu) Co když není systém časově invariantní? Př. Vyrobíme filtr na kompenzaci poruch na telefonní lince. V zimě se linka změní (chrčí v ní jinak) a filtr už nefunguje tak dobře je nutné změnit jeho parametry Řešení adaptivní filtr Proč časová invariantnost "jen trochu"? linearita systému je široký koncept, příklad: zahradník prodává jablka (3 Kč/kus) a hrušky (5 Kč/kus). prodá 10 jablek a 20 jablek, tedy 30 jablek, utrží celkem 90 Kč (homogenita) prodá 10 jablek a 10 hrušek, utrží Kč, celkem 80 Kč (aditivita) Proces prodávání jablek a hrušek je lineární. Ale kde je tam nějaký signál? Nikde!

7 Statická linearita (static linearity) Co se stane když do lineárního systému pustím konstantu? Výstup je vstup krát konstanta Chyták: je to ta stejná konstanta jako na vstupu? Příklady ANO Ohmův zákon, Hookův zákon,. NE Závislost magnetické indukce (B) na intenzitě magnetického pole (H) Lineární systém statická linearita Platí to i obráceně? Nemusí!!! Tedy, když přivedu postupně konstanty, bude to lineární. Když se bude vstupní signál měnit, tak už to lineární nebude. Zkuste vymyslet příklad (mě teda zatím nenapadá nic).

8 Sinusoidal fidelity (česky netuším) Co se stane, když do lineárního systému pustím sinusovku? Výstupem je opět sinusovka! má stejnou periodu (stejnou frekvenci) může mít odlišnou amplitudu i fázi. Jen sinusovka má tuhle vlastnost! Proč mají lineární systémy tuhle vlastnost? Platí to i obráceně? (pustím tam sinusovku, vyleze sinusovka, musí to být lineární systém?) NE! Příklad: V systému mám zlého matoucího démona, který má za cíl vás zmást. Má osciloskop, kterým kouká na vstupní signál a generátor sinusovek, kterým vyrábí výstup. Když do systému pustíte sinusovku, démon si ji změří, a upraví svůj generátor. Je to lineární? No není, protože to není aditivní. Když dáte na vstup dvě sinusovky, tak výstupem může být jen jediná sinusovka, neb démon nic jiného vyrobit nedokáže. Je ten příklad zcela mimo realitu? Fázový závěs (phase lock loop) řídící systém, který vyrábí výstup, jehož fáze je závislá na fázi vstupního referenčního signálu. Příklad/analogie: Fáze může odpovídat času, tedy fázový rozdíl odpovídá časovému rozdílu. Všechny hodiny jsou časově (fázově) zavěšeny k referenci skutečnému času. Například hodiny na zdi jdou trochu rychleji, tak je jednou za týden upravíme, tak, aby šly rychleji. A za týden znova, a znova. Když to budeme dělat dost dlouho, půjdou přesně.

9 Využití sinusoidal fidelity Jak zjistím, že je nějaký elektronický obvod lineární? 1. najdu si generátor sinusovek a osciloskop 2. pustím do obvodu sinusovku a koukám na osciloskopu, co leze ven 3. musí to být sinusovka, nemá nikde nic ořezáno, kolem nuly se to nijak ošklivě nemrní 4. změním amplitudu na vstupu a koukám, zda se mi změnila i na výstupu 5. změním frekvenci na vstupu a koukám, zda se změnila i na výstupu 6. co když je na výstupu nic? (nula) to nevadí! (sinusovka s nulovou amplitudou) Můžu si pak být jistý, že je to lineární? Nemůžu, ale stupeň důvěry je veliký

10 LTI systémy a jejich vlastnosti LTI = linear, time invariant (lineární, časově invariantní) Komutativita (nezáleží na pořadí) Pokud mám dva LTI systémy v sérii, nezáleží na pořadí. Příklad: při zpracování signálu použiji zesilovač a filtr. Pokud jsou to oba LTI systémy, tak může napřed signál zesílit a pak filtrovat nebo naopak a výstup bude pořád stejný Pozor, když budu mít zesilovač postavený z reálné elektroniky, tak to jedno není (elektronika šumí)

11 Lineární MIMO systémy SISO single input, single output (bacha na žargon, občas je SISO = sinusoid in, sinusoid out) MIMO multi input, multi output Experiment Do jednoho vstupu strčím signál, ostatní vstupy nechám nulové Na výstupu mám něco Tohle opakuji pro další vstupy, vždy do jednoho strčím signál, další ponechám nulové Když dám na všechny vstupy vstupní signály naráz, bude výstup sumou (superpozicí) dílčích výstupů. Tohle je linearita pro MIMO

12 Jediné co můžeme s LTI systémy dělat, aniž bychom porušili linearitu je násobení konstantou a sečítání. Sečíst můžu fůru signálů (a dostat tak libovolně složitý). Signál můžu rozložit a zase ho složit. Rozložení signálu = dekompozice Složení signálu = syntéza Operace jsou navzájem inverzní. Možnosti dekompozice: fůra Které jsou užitečné? Ty, které se budou jednoduše zpracovávat, nebo mají nějaké božské vlastnosti Hlavní způsoby dekompozice Impulsní Fourierova Další (skoková, sudá/lichá, prokládaná, ) Proč to vůbec děláme???? Základní finta zpracování signálu

13 Signál můžu rozložit. K čemu mi to je dobré? Základní kámen zpracování signálu: Místo abych se mořil se složitým signálem, rozložím ho na jednoduché signály, ty nechám projít systémem a odezvy dám dohromady. Výsledná odezva je stejná, jako bych nechal systémem projít složitý signál ze začátku. Princip superpozice

14 Impulsní dekompozice N vzorků na vstupu rozložím na N složek (komponent), každá má N vzorků. Každá složka obsahuje jeden vzorek z původního signálu, zbytek jsou nuly. Tomu jednomu nenulovému vzorku říkáme impuls. K čemu to je? Můžu signál pozorovat po jednotlivých vzorcích, a systémy se dají dobře popsat tím, jak reagují na jeden impuls. Skoková dekompozice N vzorků na vstupu rozložím na N složek, každá má N vzorků. Každá složka má podobu skoku, tedy na začátku jsou nuly a po skoku je tam nějaká konstanta. Velikost skoku odpovídá rozdílu příslušného vzorku a vzorku předcházejícího. K čemu to je? Skoková dekompozice umožňuje popsat signál pomocí změny mezi sousedícími vzorky. Obdobně systémy jsou charakterizovány tím, jakou mají odezvu na změnu ve vstupním signálu.

15 Sudá / lichá dekompozice (odd/even) Signál o N vzorcích rozložím na dva signály o N vzorcích. Jeden signál bude vykazovat sudou symetrii, druhý lichou. x x S L [ n] [ n] = = [ ] + [ ] xn xn n 2 [ ] [ ] xn xn n 2 Pozor, první vzorek má extra hodnoty [ ] [ ] [ ] x 0= x 0, x 0 = 0 S L Pozor, vzorky jdou od 0 do N-1 (je jich celkem N). Co je to za podivnost s tím prvním vzorkem? Koncept cirkulární symetrie (po posledním vzorku následuje ten první, jako had co se kousá do ocasu). Takže existují dvě osy symetrie, jedna v N/2 a druhá v 0. Proč??? Vždyť ten poslední vzorek nemá ve skutečnosti s tím prvním VŮBEC nic společného. Vysvětlení později (Fouriérka)

16 Cvičení Výše popsané vzorečky fungují pro indexaci od nuly. Jenže Matlab indexuje od jedničky. Vyrobte funkci, která pro daný signál provede sudo/lichou dekompozici. Hlavička funkce function [xe xo] = OddEvenDecomposition(input) takže pak snadno vygenerujete krásné obrázky jako na příkladu vpravo

17 Prokládáná dekompozice (interlaced) Signál o N vzorcích rozložím na dva signály o N vzorcích Jeden obsahuje liché vzorky, druhý sudé vzorky, mezi nimi je vždy vzorek o hodnotě nula K čemu je to dobré? Je to základ pro rychlou Fourierovu transformaci (Fast Fourier Transform FFT). Finta je podobná té základní fintě zpracování signálu: rozložíme původní signál na základní složky tak, že budeme opakovaně používat prokládanou dekompozici, na složky aplikujeme Fourierovu dekompozici a pak to všechno složíme zase zpátky. Je to "jen" algoritmus, ale bez něj by celé zpracování signálu bylo pooooomaaaaaalllleeeeeeeee.

18 Fourierovská dekompozice Tahle je hodně podivná. Vstupní signál o N vzorcích rozdělíme na N+2 signálů, půlka jsou sinusovky a půlka kosinusovky. A to tak šikovně, že ta první sinusovka se vejde do N vzorků právě nula-krát (???), druhá právě jednou, třetí dvakrát, atd. Jakou mají mít ty funkce amplitudu? Proč něco tak divného vůbec děláme? K čemu to je dobré? Probereme samostatně na extra přednášce, Fourierovská dekompozice je základ frekvenční analýzy.

19 Nelineární systémy Nefachá superpozice cokoliv dalšího probereme tak nebude fachat! Co s tím? 1. Ignorujeme nelinearitu To jde, když je dost malá. Výsledky se budou lišit, ale ne moc. 2. Slabý signál Hodně nelineárních systémů je v lineárních v okolí nějakého bodu. Když to bude pracovní bod, juchů! Když ne, jsme nahraní Příklad: tranzistor je nelinární úplně děsivě, ale když je vstup pár milivoltů, tak zesilují pěkně lineárně. 3. Linearizace Pomocí nějaké transformace linearizujeme nelineární systém na lineární. Nebude to fungovat vždycky Příklad: násobení signálů převedeme na součet pomocí logaritmů.

20 K čemu je povídání o systémech dobré? V digitálním zpracování signálu používáme dvě základní techniky: konvoluci a Fourierovu analýzu. Je mezi nimi vazba, ke které se později dostaneme (věta o konvoluci). Obě používají strategii popsanou v této přednášce: Dekompozice signálu na jednoduché komponenty Zpracování těchto komponent podle potřeby Syntéza komponent na výsledný výstupní signál Systém = filtr