Semestrální práce z předmětu Teorie systémů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Semestrální práce z předmětu Teorie systémů"

Transkript

1 Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3..

2 Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Přenosovou funkce systému Nuly a póly systému Impulsní funkce Přechodovou funkce Frekvenční přenos Nyquistovu křivka Bodeho křivka....8 Stavový popis systému Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) Metoda postupné integrace Vnější popis Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému.... Standardní fundamentální matici systému Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Regulátor dof....4 kritériem stability... 3 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici) Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Dvourozměrný regulátor Závěr :... 4

3 Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je popsán diferenciální rovnicí: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t). Přenosovou funkce systému Zadání: Napište přenosovou funkci tohoto systému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky Použijeme větu o derivaci originálu: Y s s y s y + 4Y s s 4y + Y s = U s s u + 3U(s) Y s s + 4s + = U s s + 3 Dostáváme přenosovou funkci systému G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s +. Nuly a póly systému Zadání: Určete nuly a póly systému a rozhodněte o periodicitě (kmitavosti) a fázovosti (minimálně, neminimálně fázový systém). A) nuly s + 3 = s = 3 Stabilní nula (záporná) Tento dynamický systém má dále ještě jednu nuly v nekonečnu. B) poly s + 4s + = s + 4 s + = D = 4 4 j s = = j 4 + j s = = + j Póly s, s jsou komplexně sdružené, nachází se v levé polovině komplexní rovině, komplexní kořeny způsobují stabilní a kmitavý charakter Systém je dále fázově minimální, protože neobsahuje ani jednu kladnou nulu.

4 .3 Impulsní funkce Analyticky vypočítejte impulsní funkci a vykreslete ji jako impulsní charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.). Impulsní charakteristiku získejte také pomocí příkazu impulse MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. i t = L I s = L G s = L s + 3 { s + 4s + } i t = L s + 3 ( (s + + j 4 )(s + ) j 4 ) Postup řešení pomocí residuí: i t = res lim s j 4 s + + j 4 s + + j 4 s + 3 s + j 4 e st + res lim s +j 4 s + j 4 ( s + + j 4 s + 3 s + j 4 ) e st i t = ( j ) + 3 j + j e ( j )t + ( + j ) j + + j e ( +j )t i t = j + 3 j + j e( i t = j + 3 j + j e( j j )t + + j j + + j e( )t + + j j + + j e( +j )t +j )t i t = j + + j3 e ( j j )t + + j3 e ( +j )t i t = j + e ( j j )t + e ( +j )t

5 i(t) i t = (j )e( j )t + ( j ) e( +j )t i t = i t = j j cos t + cos t j t cos t + j t e t t e t,8 Impulsní funkce,6,4, -, -,4 cas (t) Impulsní fce- Matlab Impulsní funkce - Vypočítaná Pro systém jsme vypočítali impulzní charakteristiku, která je odezvu na vstupní signál u(t)= δ(t) (impulsní). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.

6 .4 Přechodovou funkce Zadání: Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a vykreslete ji jako přechodovou charakteristiku. (Využijte přenos a zpětnou Laplaceovu transformaci, nebo počítejte jako řešení diferenciální rovnice.) Přechodovou charakteristiku získejte také pomocí příkazu step MATLABu a výsledky společně v jednom grafu porovnejte. t = L H s == L s + 3 { s + 4s + s } t = L s + + j 4 s + 3 s + j 4 s t = res + res lim lim s j 4 s +j 4 + res lim s s ( s + s + + j 4 s + j 4 + j 4 s + 3 ( s + s + + j 4 s + j 4 s j 4 s ) s + j 4 s + 3 s + s j 4 e st s ) e st t = ( j ) + 3 j + j + + ( j ) e ( + j ) j + + j 3 + j j ( j )t ( + j ) e ( +j )t t = j (4j 6)/ e( j )t + + j ( 4j 6)/ e( +j )t + 3

7 h(t) t = j 6 4j j 6 4j e ( j )t + + j 6 4j ( 6 4j + 6 4j + e ( +j )t t = j 6 e ( j )t j 6 e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) e j t + (,3 j,343 ) e ( +j )t + 3 t = (,3 + j,343 ) cos t j t t =,6 cos +,3 j,343 cos t +,686 t + j t e t + 3 t e t + 3, Přechodová funkce,8,6 Přechod. fce-matlab,4, cas (s) Přechodová funkce vypočítaná Pro systém jsme vypočítali přechodovou charakteristiku, která je odezvou na vstupní signál u(t)= (přechodová ch.). Poté jsme provedli L-obraz výstupní funkce y(t). Výpočty byly ověřeny v programovém prostředí Matlab, kdy jsme se mohli ověřit, že oba výsledky jsou shodné.

8 . Frekvenční přenos Určete frekvenční přenos daného dynamického systému a upravte jej na složkový i exponenciální tvar komplexního čísla. G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + G jω = Y jω U jω = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + 4jω + = jω + 3 ω + + 4jω ω + 4jω ω + 4jω = j3ω3 + jω + ω ω + jω ω + + 6ω = j3ω3 ω + 3jω + ω + + 6ω Dostáváme složkový tvar komplexního čísla frekvenčního přenosu Y jω G jω = U jω = ω + 3ω 3 + 3ω ( ω + ) + j + 6ω ( ω + ) + 6ω Převedeme frekvenční přenos na exponenciální tvar. A = P(ω) + Q(ω) = ω + ω + + 6ω + 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω = ω 4 3ω + + ω 6 9ω ω ( ω + + 6ω ) = ω6 99ω ω + ω + + 6ω Q ω φ ω = arctan P ω = arctan ( 3ω 3 + 3ω ω + + 6ω 3ω 3 + 3ω ω ) = arctan ( + ω + ) ω + + 6ω Exponenciální tvar: G jω = Ae jφ(ω) = ω6 99ω ω + ω + + 6ω e jarctan ( 3ω 3 +3ω ω + ) Dosazením jω za S jsme získali frekvenční přenos ve složkovém tvaru, který jsme dále převedli na exponenciální tvar.

9 Im.6 Nyquistovu křivka Zadání: S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního čísla vykreslete amplitudově-fázovou frekvenční charakteristiku v komplexní rovině (Nyquistovu křivku). Stejnou charakteristiku vykreslete také s využitím příkazu nyquist MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu.,4, Nyguist -, -,,, -,4 -,6 -,8 - -, Re matlab Excel Dosazením reálných hodnot do složkového tvaru získáváme nyquistovu charakteristiku. Vypočítaná nyquistova char. se shoduje s charakteristikou získanou z matlabu.

10 . Bodeho křivka Zadání: Na základě analytického výpočtu vykreslete frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích (Bodeho křivky). Stejné charakteristiky vykreslete také s využitím příkazu bode MATLABu a výsledky porovnejte společně v jednom grafu. Příkazy: >> cit=[ 3] >> jm=[ 4 ] >> bode(cit,jm) Obrázek bode diagram z matlabu

11 A(ω) [db] ϕ(ω) [db] Frekvenční chrakteristika v log. souř.,,3,3, -, 8, -4-6 matlab excel -8 - ω [rad*s - ] Obrázek fr. char. log. souř. Frekvenční chrakteristika v log. souř.,8,6,4,,8,6,4,,, ω [rad*s - ] Matlab Excel Obrázek 3fr. char. log. souř. Bodeho křivka získaná dosazením hodnot do exponenciálního tvaru se dle grafů shoduje s Bodeho křivkou z Matlabu. U legendy Matlab (hodnoty jsou získány z matlabu), Excel (dosazení hodnot omega do fáze a amplitudy u frekvenčního přenosu.)

12 .8 Stavový popis systému. Zadání: Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému Určete dvěma různými způsoby stavový popis zadaného systému..8. Přímá metoda (kanonický tvar vzhledem ke vstupu, Frobeniův tvar) y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) Provedeme dekompozici na původní diferenciální rovnice na dvě rovnice vždy s nulovou derivací na jedné straně a zavedeme pomocnou proměnnou z(t). Diferenciální rovnice z t + 4z t + z t = u(t) y t = z (t)+3z(t) Volba stavových proměnných x t = z(t) x t = z t = x t Dif. rovnice prvního řádu x t = x t x t = z t = u t 4 z t z t = u t 4 x t x t Odtud lze určit matice α,β jako: α = 4, β = Matice C a D získáme z předchozích rovnic (po dekompozici) y t = x (t)+3x (t) C = 3, D = Stavový popis získaný pomocí přímé metody. x t x t = 4 x t x t + u(t) y t = 3 x t x t + u(t)

13 .8. Metoda postupné integrace Dif. rovnice: y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = y t 3u t => x = (y t 3u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + 4y t + x t = u t / y t + 4y t + x t = u(t) volba první derivace stavové proměnné x (t) x t = 4y t + x t u t => x = (4y t + x t u t )dt po dosazení a integraci dostaneme y t + x t = / y t + x t = => y t = x t / soustava diferenciálních rovnic. Řádu x t = y t 3u t = x t 3u t x t = 4y t + x t u t = 4 x t + x t u t výstupní rovnice y t = x t Stavový popis získaný pomocí integrační metody. x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) Pro zjištění stavového popisu byly vybrány dvě metody evropská-přímá metoda a metoda postupné integrace.

14 .9 Vnější popis Zadání: Pro jeden (libovolný) stavový popis z bodu 8 proveďte zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis, tedy ověřte získané parametry stavového popisu. stavový model (vnitřní popis) x t x = t 4 y t = x t x t x t x t + u(t) + 3 u(t) G s = C si A B + D = G s = G s = s + 4 s + s s Cadj si A B + D det ( si A ) 4 s s G s = s + 4 s + s + 4 s 3 G s = s + 4 s + s 3 = 3 + s s + 4s + Byla ověřena správnost výpočtů z bodu.8. Diferenciální rovnice získaná ze stavového popisu se shoduje se zadáním, můžeme tedy říct, že výpočet jsme provedli správně. Správnost výpočtu je důležitá pro další výpočty.

15 . Ověřte řiditelnost a pozorovatelnost systému Systém je řiditelný (dosažitelný), jestliže P C má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P c. matice řiditelnosti: P c = (B, AB A n B) A = 4, B = 3 P C = 3 det = 8/ Determinant matice řiditelnosti se nerovná nule, systém je tedy řiditelný. Systém je pozorovatelný (rekonstruovatelný), jestliže P O má plnou hodnost, tedy u SISO systémů det P O. C matice pozorovatelnosti P O = CA C n A A = 4,C = P O = 4 det = / Determinant matice pozorovatelnosti se nerovná nule, systém je tedy pozorovatelný. Po sestavení matice pozorovatelnosti a řiditelnosti můžeme říct, že systém je pozorovatelný a řiditelný.

16 . Standardní fundamentální matici systému. Zadání: Vypočtěte standardní fundamentální matici systému Fundamentální matici systému φ(t) lze určit dvojím způsobem zpětnou Laplaceovou transformací výrazu (si A) - rozvinutím výrazu e At v řadu Vlastnostmi fundamentální matice jsou φ t = I φ t = e At = φ (t) φ t + t = φ t φ t Aφ t = φ(t)a Pro výpočet standardní fundamentální matice použiji řešení pomocí Laplacovy transformace. φ s = si A = s s + 4 = s + 4 s + s + 4 s φ s = j 4 + j 4 φ s = s + + s + 4 s φ s = s + 4 s + s s + s s Nyní provedeme úpravu a tj. rozklad na parciální zlomky

17 s + s = s + + = s + s + s s + = s s + + s + + s + s + s + s + = + = + s + s + = s + = s + s + s s + = s + + s + + s + + Zpětná L.-T. φ t = L φ s = L s + s s + s s + s + + s + + s + + Standardní fundamentální matice systému je tedy : φ t = cos t e t + t e t t e t cos t e t t e t Tato fundamentální matice byla dále využita pro zjištění výstupu ze systému jako reakce na jednotkový skok. Tento výpočet byl poté opětovně ověřen simulací v matlabu. Řešená stavová rovnice odpovídá ověřenému řešení z bodu.4. t e t

18 . Stavová rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) = Zadání: Vyřešte stavovou rovnici pro nulové počáteční podmínky a u(t) =. Odtud určete výstup ze systému. Výsledek srovnejte s výsledkem z bodu 4. Stavová rovnice autonomního systému Vstupní signál u(t)= t Řešení stavové rovnice neautonomního systému x t = φ t x + φ t τ Bu τ dτ Určení partikulárního řešení Ψ t = t φ t τ Bu τ dτ t = φ t τ t 3 dτ = φ t τ 3 dτ Ψ t = t cos (t τ) e (t τ) + t e (t τ) (t τ) e (t τ) cos (t τ) e (t τ) t e (t τ) (t τ) e (t τ) 3 dτ = t 3cos (t τ) e (t τ) 6 (t τ) e t cos (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) + (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) = t 3cos cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) (t τ) e (t τ) dτ (t τ) e (t τ) Ψ t = t 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ t Ψ t = 3cos (t τ) e (t τ) + 9 (t τ) e (t τ) dτ= s= t τ ds=-dτ dτ = -ds

19 Horní mez : s = t - t s = Dolní mez : s = t - s = t Ψ t = t 3cos s e s ds 9 t s e s ds t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t t Ψ t = 3 e s 4 + cos ( s) + s + 9 e s 4 + s cos s t Ψ t = 3 e t cos t + t e t ( t) + cos t + Ψ t = 6 cos s e t cos t e t + 9 s e s t e t Ψ t = 39 cos t e t 66 3 t e t +

20 t Ψ t = cos Ψ t = t Ψ t = Ψ t = cos e s 4 + e t (t τ) e (t τ) s e s s e s cos ( e s 4 + cos (t τ) e (t τ) dτ s= t τ ds s) + s s cos s t + t + t ds=-dτ dτ = -ds t e t t cos t + Ψ t = cos s e t + cos t e t s e t + t e t Ψ t = + cos s e t 33 s e t Ψ t = 39 cos t e cos t 66 3 s e t 33 t e t + s e t

21 Výstup: Přechod: y t = t = Po zaokrouhleni: h t =, 6cos s e Ψ t = cos 3 t +, 68 Výsledná přechodová funkce z úlohy.4 h t =,6 cos t +, 686 s e t s e t + 3 t e t + 3 s e t + 3 Přechodové funkce jsou po zaokrouhlení téměř totožné (liší se u jedné cifry v tisícině, tenhle rozdíl vznikl zaokrouhlováním). Z výsledku lze odvodit, že jsme počítali správně.

22 .3 Regulátor dof Zadání: Je uvažováno, že jedinou vstupní veličinou regulačního obvodu je pouze žádaná hodnota ve tvaru skoku o hodnotě. Navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy pro DOF strukturu řízení pro tři různé hodnoty násobného pólu -m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu a simulačně ověřte funkčnost regulátoru. Vykreslete regulační pochody pro u(t) a y(t) (do jednoho grafu srovnejte výsledky tří regulačních pochodů) a výsledky slovně porovnejte. y ( t) 4y ( t) y( t) u ( t) 3u( t) G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + = b s + b a s + a s + a a s = s + 4s + b s = s + 3 Vstupní hodnota: w t = w s = s f w s = s Porucha: d t = d s = f s d s = s Určení stupně polynomu f s = NSN f w s, f d s = s deg f = Eliminace poruch působící v systému a jmenovatelů obrazů referenčního signálu p = fp Zápis diofantické rovnice ap + bq = c ve tvaru afp + bg = c Určení stupně polynomu q s, p s, c(s) deg q = deg a + deg f = + = q s = q s + q s + q deg p deg a = = p s = p s + p deg c = deg a + deg f = 4 + = c s = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c Dosadíme do diofantické rovnice afp + bg = c a dostaneme: (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q Po úpravě dostaneme: = c s + c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c

23 a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c s 4 : a p = c 4 s 3 : a p + a p + b q = c 3 s : a p + a p + b q + b q = c s : a p + + b q + b q = c s : b q = c Řešením výše uvedené soustavy rovnic, se získají koeficienty regulátoru, který je ve tvaru: Q s = q(s) p(s) = q(s) f(s)p(s) = q s + q s + q s(p s + p ) Koeficienty polynomu c(s) jsou voleny tak, aby byla zajištěna stabilita systému řízení, například c s = (s + m) deg c = (s + m) 4 = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 kde m je volený kladný koeficient, přičemž pro každý volený koeficient m, respektive polynom c(s) je nutno ověřit stabilitu výsledného regulátoru. Volba m= c s = s 4 + 4s 3 + 6s + 4s + = c 4 s 4 + c 3 s 3 + c s + c s + c a p = c 4 p = p = a p + a p + b q = c 3 4 p + p + q = p + q = 4 a p + a p + b q + b q = c p + 4p + 3q + q = 6 + 4p + 3q + q = 6

24 a p + b q + b q = c p + 3q + q = 4 p + 3q + 3 = 4 b q = c 3q = q = 3 p = 4 + p + q = 4 q = 4 3 p + 4 = p p + 3q + 3 = 4 q = 3 p = 3 p p + 3q + q = 6 + 4p + 3 p p + 9 = 6 + 4p p p = p = 6 8 p = 6 8 p = 8 p = 4 p = 4 8 = 344 q = p = = =,9 q = 3 p + 9 = = = = = = 3 9 q = 3 Regulátor pak pro násobný kořen m= bude Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,9s s + 3 s( s 344 ) V simulinku jsem vytvořil zapojení odpovídající vypočteným hodnotám.

25 Obrázek 4 Schéma zapojení pro m= Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina

26 Volba m=, a s = s + 4s + b s = s + 3 (a s + a s + a )s p s + p + b s + b q s + q s + q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Po úpravě dostaneme: a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 +,s +,s +,6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q =, s : p q + q =, s : 3q =,6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p =,46, q =,8886, q =,866, q =,6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) =,8886s,866s +,6 3 s( s +,46)

27 Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=, Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Volba m= a p s 4 + a p s 3 + a p s + a p s 3 + a p s + a p s + b q s 3 + b q s +b q s + b q s + b q s + b q = s 4 + 4s 3 m + 6s m + 4sm 3 + m 4 Dosazení:

28 p s 4 + 4p + p + q s 3 + p + 4p + 3q + q s + (p + 3 q + q )s + 3q = s 4 + s 3 + s + s + 6 s 4 : p = s 3 : 4p + p + q = s : p + 4p + 3q + q = s : p q + q = s : 3q = 6 Po vyřešení soustav rovnic získáváme: p =, p = 89,4, q = 9,86, q = 3,948, q = 6 3 Q s = q s + q s + q s(p s + p ) = 9,86 s + 3,948s s( s 89,4) Obrázek 8 schéma zapojení pro m=

29 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina Z regulačních pochodů pro volbu m=, ; m= ; m= jde krásně vidět, že čím vyšší m zvolíme, tím je agresivnější zásah regulátoru. Volba koeficientu m=,, byla velmi nešťastná, lze vidět, že regulátor nedokáže nastavit regulovanou veličinu na žádané hodnotě. Volba koeficientu m= je taky velice nešťastná, vznikají zde veliké překmity při změnách žádané hodnoty. Dá se říct, že volba koeficientů v rozmezí - je pro návrh daného regulátoru asi nejlepší volbou.

30 .4 kritériem stability Zadání: Libovolným kritériem stability (algebraickým či geometrickým) ověřte asymptotickou stabilitu regulačního obvodu (nikoliv pouze řízené soustavy! Přenos regulátoru: m= G Q s = q s + q s + q s(p s + p ) Přenos regulované soustavy G s = Y(s) U(s) = s + 3 s + 4s + =,9s s + 3 s( s 344 ) Při zjišťování stability použijeme Routh shurovo kritérium stability. Charakteristická rovnice soustavy je tedy c(s)=ap+bg s + 4s + s s + 3,9s ,s + = s 4 + 4,s 3 +,9s + Routh-shurovo kritérium: 4,,9 4, / 4 4 6,6 4, / 4 6,6 6,6 3,4 Zbylé tři hodnoty jsou kladné můžeme tedy říct že systém je stabilní, což jsme si mohli ověřit v matlabu příkazem: nyquist(conv([ 3],[.9 3/9.333]),conv([ 4 ],[/ -/344 ])) Obrázek nyquist m=

31 Přenos regulátoru: m= Příkaz: nyquist(conv([ 3],[ /3]),conv([ 4 ],[/ ])) s + 4s + s 89,4s + s + 3 9,86 s + 3,948s = +, /* 6, /* 6, 6, 8 Poslední 3 koeficienty jsou kladné, regulátor je stabilní. Obrázek nyquist m= m=, nyquist(conv([ 3],[ /3]),conv([ 4 ],[/.46 ]))

32 Obrázek nyquist m=, Dle geometrického kriteria lze usoudit, že všechny tři zvolené regulátory jsou stabilní.

33 ANALÝZA A SYNTÉZA MNOHOROZMĚRNÉHO SPOJITÉH LINEÁRNÍHO SYSTÉMU Popis mnohorozměrného lineárního spojitého dynamického systému ze zadání je popsán diferenciální rovnicí: Podle individuálního zadání: a a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) a y ( t) b y ( t) b u ( t) b u ( t) b u ( t) y (t) + y (t) + y (t) = u (t) + 8u (t) y (t) + 3y (t) + 6y (t) = u (t) + u (t) u ( t) - Jedna vstupní veličina ovlivňuje obecně více výstupních veličin. - V případě, že jedna vstupní veličina ovlivňuje vždy jen jednu výstupní a zároveň naopak (tj. pokud určitá výstupní veličina je ovlivňována vždy jen jedním vstupem), hovoříme o autonomním systému.. Určete levý a pravý maticový zlomek (přenosovou matici). Aplikujeme L-transformace na zadanou soustavu ze které pak rovnic dostaneme: Sestavíme matici: s + Y s + Y s = U s + 8U s 3Y s + s + 6 Y s = U s + U s AY=BU s + 3 s + 6 Y s Y s = 8 U (s) U (s) Výpočet levého maticového zlomku: G = A B = s + 3 s + 6 = s + 8s 9 8 = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s s s + 8

34 Pro řešení pravého maticového zlomku se řeší diofantické rovnice, pro které platí: Obrázek 3 matice rotací s + 3 s s + 3 s s + 4s 6 s 6 s s 4s 3 6 s 6 s s 4s 3 6 s 6 s 39 s + 4s + 6 s s + 3 Výsledek pravého maticového zlomku upravíme na přenos G = A B = s + 6 s + 8 4s + 6 s + 3 = 6 6s 8s + 34 s + 3 s 8 4s 6 s + 6 = s + 8s 9 s + 3 s 8 8s 34 s + = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Levý maticový zlomek: G = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Pravý maticový zlomek: G p = s +8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Přenosy jsou si rovny a platí: G = G p

35 .6 Výpočtem pólů systému rozhodněte o jeho stabilitě Poly získáme ze jmenovatele levého maticového zlomku s + 8s 9 = s =-, s =-8 Jedná se o polynom druhého stupně, oba poly jsou reálné a záporné, systém je stabilní.

36 . Dvourozměrný regulátor Zadání: Je uvažováno, že jedinými vstupními veličinami regulačního obvodu jsou žádané hodnoty ve tvaru skoku o hodnotě. Zvolte vhodné póly uzavřeného regulačního obvodu. Navrhněte spojitý dvourozměrný regulátor (splňující požadavek asymptotického sledování žádaných hodnot) a simulujte regulační pochod v prostředí Matlab-Simulink (pro u(t) a y(t)). Umístění pólu pro asymptotické sledování žádané veličiny lze vyjádřit maticovou Diofantickou rovnicí: A L FP P + B L Q P = D Přenos řízení MIMO reg. obvodu je : G WY = B P (PA P + QB P ) Q = P P (AP P + BQ P ) BP Q Spojitý stabilní dvourozměrný regulátor budeme hledat ve tvaru: G Q s = Q P s P P (s) Levý maticový zlomek z bodu. je G = A B = s + 3 s Požadavky pro návrh regulátoru budou splněny řešením maticové diofantické rovnice:

37 Z vektoru obrazů žádaných hodnot w(s) po zjištění nejmenšího společného násobku všech jmenovatelů získáváme kompenzátor: Stabilní matici C(s) zvolíme tak, že determinant této matice tvoří char. polynom všech přenosů v uzavřeném reg. obvodu. Póly systému zvolíme stabilní například m =-, m =-. Matice C bude tedy ve tvaru: c s = (s + ) (s + ) = s + s + s + 4s + 4 Matici tvaru: převedeme na tvar : s + s s 3s s + 6s 8 s + s s 3s s + 6s s + s + s 3s s + 4s + 4 s 8s s + 6 s s + s + s + 4s + 4 s s s + 6 4s Regulátor je tedy : G Q s = Q p s ( F(s)P p (s) ) = s 6 s + s s 8 ( s s ) ( ) G Q s = s s 6 s + s s 8

38 Zákon řízení PFU=QE: s s U U = s 6 s + s s 8 E E Přenos regulované soustavy z bodu. : G = s + 8s 9 s 3 8s + 34 s + 8 s Simulace v Matlabu : Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém

39 Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope

40 Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém Z přechodové charakteristiky systému můžeme říct, že se jedná o systém z neminimální fází a systém je stabilní ( ustálí se na požadované hodnotě v konečném čas). Pravděpodobně při volbě menších kořenů m, m by se velikost neminimální fáze zmenšila, ale požadovaná veličina by se dosáhla v pozdějším čase.

41 3 Závěr: Vzhledem k imaginárním kořenům bylo řešení místy velmi zdlouhavé a náchylné na chyby vzniklé z nepozornosti při počítání. Zdlouhavé bylo často i vypisování matematických postupů ve wordu. Velká většina matematických výpočtů jsem prováděl přímo ve wordu (sem tam při psaní v editoru rovnic, MS Word přestal fungovat a havaroval, což bylo velmi nemile a donutila mě, abych co min pravidelně ukládal práci). Pod jednotlivými částmi (-) se nachází odpověď, kde konstatuji, k jakému závěru jsem u daného příkladu došel.

42 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY *+ NAVRÁTIL, Pavel. Automatizace : vybrané statě.. vyd. ve Zlíně: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně,, 89 s. ISBN *+ Pekař Libor, Ing. Sylabus ke cvičením

43 Seznam Obrázků: Obrázek bode diagram z matlabu... Obrázek fr. char. log. souř.... Obrázek 3fr. char. log. souř.... Obrázek 4 Schéma zapojení pro m=... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 6 Schéma zapojení pro m=,... Obrázek požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... Obrázek 8 schéma zapojení pro m=... 8 Obrázek 9 požadovaná veličina, akční veličina, regulovaná veličina... 9 Obrázek nyquist m=... 3 Obrázek nyquist m=... Obrázek nyquist m=,... 3 Obrázek 3 matice rotací Obrázek 4 regulační obvod pro MIMO systém Obrázek Průbě výstupní veličiny ze scope Obrázek 6 Průběh výstupní veličiny se scope Obrázek Akční veličiny, fialová systém, žlutá systém... 4

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit.

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit. Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2)

Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: AUTOMATIZACE DRUHÝ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 27. 3. 2013 Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2) 5.5 REGULOVANÉ SOUSTAVY Regulovaná

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Algebra blokových schémat Osnova kurzu

Algebra blokových schémat Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD 1 Osnova

Více

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Počítačová podpora automatického řízení - CAAC

Počítačová podpora automatického řízení - CAAC XXVI. AR '2001 eminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26-27, 2001 Paper 47 Počítačová podpora automatického řízení - CAAC NAVRÁTIL, Pavel 1 & BALÁTĚ, Jaroslav 2 1 Ing., Institut Informačních Technologií,

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

YU = I kde I = 0 (6.1)

YU = I kde I = 0 (6.1) Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

16 - Pozorovatel a výstupní ZV

16 - Pozorovatel a výstupní ZV 16 - Pozorovatel a výstupní ZV Automatické řízení 2015 14-4-15 Hlavní problém stavové ZV Stavová zpětná vazba se zdá být nejúčinnějším nástrojem řízení, důvodem je síla pojmu stav, který v sobě obsahuje

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA

PROGRAM MAXIMA. KORDEK, David, (CZ) PROGRAM MAXIMA PROGRAM MAXIMA KORDEK, David, (CZ) Abstrakt. Co je to Open Source Software? Příklady některých nejpoužívanějších software tohoto typu. Výhody a nevýhody Open Source Software. Jak získat program Maxima.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015

MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 MATURITNÍ ZKOUŠKA ve školním roce 2014/2015 Maturitní zkouška se skládá ze společné části a profilové části. 1. Společná část maturitní zkoušky Dvě povinné zkoušky a) český jazyk a literatura b) cizí jazyk

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš KVANTOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ NÍZKÉ ÚROVNĚ Abstrakt Quantization of acoustic low level signals David Bursík, Miroslav Lukeš Při testování kvality A/D převodníků se používají nejrůznější testovací signály.

Více

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY Marie Polcerová Fakulta chemická, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: Zavedení nového samostatného povinného předmětu Počítačová

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více