Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa { kolem roku Jeho mechanicko-matematick model navrhl Jan Ond ej v, zvan indel, kter se zab val matematikou a astronomi na pra sk univerzit (viz [, s. 15]). Jeho star kolega K i an z Prachatic ji kolem roku 1406 zde p edn - el okonstrukci astrol bu. Unik tn stroj orloje je um st n uvnit starom stsk radni n v e. Vytvo il jej Mikul z Kadan (viz [1]). P vodn se skl dal ze dvou st : jic ho (tj. hlavn ho hodinov ho) stroje a bic ho stroje. Pozd ji byl dopln n je t o stroj apo tolsk (zvonic ), kter pohybuje gurami u ost n astronomick ho cifern ku a poh n pr vod apo tol. Vpr b hu stalet byla konstrukce orloje v cekr t zdokonalov na, nap. pov stn m Janem z R e (mistrem Hanu em). Genialitu tehdej ch hodin m eme demonstrovat na konstrukci za- zen pro p esnou regulaci der zvonu. Bic stroj obsahuje velk ob n kolo o pr m ru 65 cm s 4 z ezy na vn j m obvodu, jejich vzd lenosti postupn nar staj (viz obr. 1 a ). To umo uje periodick opakov n 1{4 der zvonu b hem ka d ho dne. ) Sou st bic ho stroje je i pomocn kole ko o pr m ru 1 cm, jeho obvod je rozd len 6 z ezy na segmenty od lk ch oblouku 1,,, 4,, (viz obr. 1 a ). Tato sla se periodicky opakuj po ka d oto ce a jejich sou et je s = 15. Na za tku ) Po et der zvonu odpov d SE, tj. v letn m ase orloj odb j v dy o hodinu m n. Matematika - fyzika - informatika /007 1

2 ;;; ;; ;;; ; Obr. 1 Detail bic ho stroje pra sk ho orloje z po tku 15. stolet. ka d hodiny sezvedne z padka, ob kola se za nou ot et a zvon odb j p slu n po et hodin. Kola se zastav, jakmile z padka zapadne sou asn do z ez na obou kolech. Ka d den ude zvon celkem1++:::+4= = 00kr t, a proto e toto slo je d liteln s = 15, bude pomocn kole ko na po tku ka d ho dne v dy ve stejn poloze. Velk kolo m 10 vnit n ch zub, kter zapadaj do c vov ho kola se 6 vodorovn mi ty kami, je obklopuj st ed pomocn ho kole ka (obr. 1 a ). Proto e se velk kolo oto jednou denn, pomocn kole ko seoto za tu dobu 0kr t. Obvodov rychlost pomocn ho kole ka je ale p ibli n 4kr t v t, proto e jeho obvod je 5kr t men ne obvod velk ho kola. To umo uje dostate n p esnou regulaci po tu der zvonu zejm na p i opot eben z ez velk ho kola. Bez pomocn ho kole ka by toti mohl zvon ude it nap. jen 11kr t m sto 1kr t, pokud by segment ozna en 1 na obr. m l ji p li zaoblen konce. Pro jeden der zvonu hodinu po p lnoci je dokonce pomocn kole ko nezbytn, nebo na velk m kole sch z p slu n segment (obr.1a4). Matematika - fyzika - informatika /007

3 ; Obr. Po et der zvonu je ozna en sly ::: ::: po vn j m obvodu velk ho kola. Za n m je um st no pomocn kole ko, jeho obvod je z ezy rozd len na segmenty o d lk ch oblouku 1,,, 4,,. Z padka je zn zorn na mal m obd ln kem naho e uprost ed. Kdy se pomocn kole ko ot, vytv pomoc d lek segment mezi jednotliv mi z ezy periodickou posloupnost, jej ste n sou ty odpov daj po tu der zvonu vka dou celou hodinu, 14 {z} {z} (1) ::: 15 V dal kapitole uk eme, e takto bychom mohli pokra ovat a do nekone na. V echny periodick posloupnosti ale tuto pozoruhodnou sou tovou vlastnost nemaj. Nap klad je patrno, e nelze pou t periodu 1,,, 4, 5, 4,,, proto e pro 6 der zvonu je6< 4 +. Rovn perioda 1 se k tomuto elu nehod, nebo pro 4 dery m me + 1 < 4 < Troj heln kov sla a periodick posloupnosti Vt tokapitole uk eme, jak souvis troj heln kov sla k(k +1) T k =1++:::+ k = k =0 1 ::: () s bic m strojem pra sk ho orloje. Budeme se t zab vat periodick mi posloupnostmi, kter maj podobnou vlastnost jako posloupnost 1,,, 4, Matematika - fyzika - informatika /007

4 ,, ::: v (1), tj. kter by mohly b t pou ity p i konstrukci pomocn ho kole ka. Mno inu p irozen ch sel ozna me N = f1 :::g. Denice 1 Posloupnost (a i ) 1 se naz v periodick, jestli e existuje p N takov, e 8 i N : a i+p = a i : () Kone n posloupnost a 1 ::: a p se naz v perioda a p d lka periody. Nejmen p spl uj c () se naz v minim ln d lka periody a jemu odpov daj c posloupnost a 1 ::: a p minim ln perioda. Denice Nech (a i ) N je periodick posloupnost. ekneme, e troj heln kov slo T k pro k N je dosa iteln pomoc posloupnosti (a i ), jestli e existuje n N tak, e T k = a i : (4) Posloupnost (a i ) se naz v indelovsk, jestli e T k je dosa iteln pomoc (a i ) pro v echna k N, tj. 8 k N 9 n N : T k = a i : (5) Troj heln kov slo T k na lev stran je rovno sou tu 1 + :::+ k hodin na velk m kole, zat mco sou et na prav stran odpov d celkov mu pooto en pomocn ho kole ka (obr. ). P itom pro k-tou hodinu plat k = T k ; T k;1 = i=m+1 a i (6) kde T k;1 = P m a i. Proto e a i > 0, je slo n ve vztahu (5) z visej c na k ur eno jednozna n. Z () a (4) je tak patrno, e a 1 = 1, je-li (a i ) indelovsk posloupnost. 4 Matematika - fyzika - informatika /007

5 {z} 1 4 {z} 1 4 Obr. Schematick zn zorn n troj heln kov ho sla T 7. ern te ky v k-t m dku zn zor uj po et der zvonu vk-t hodin, viz (6). sly jsou ozna eny d lky segment mezi z ezy na pomocn m kole ku. N sleduj c v ta ukazuje, e podm nku (5) lze zam nit mnohem jednodu podm nkou, je obsahuje pouze kone n po et sel k. To n m umo - uje prov st jen kone n po et aritmetick ch operac, abychom zjistili, zda zvolen perioda a 1 ::: a p d v indelovskou posloupnost ve smyslu denice. Sou et prvk periody budeme nad le ozna ovat s = a i : (7) V ta 1 Periodick posloupnost (a i ) je pro lich s ve vztahu (7) indelovsk, jestli e T k je dosa iteln pomoc (a i )prok =1 ::: 1 (s ; 1). D kaz. P pad s = 1 je trivi ln. Nech tedy s je lich a nech 8 k f1 ::: 1 (s ; 1)g 9 n N : T k = a i : (8) Matematika - fyzika - informatika /007 5

6 Podle (7) plat 1++:::+(s ; 1) = s ; 1 a i (9) kde p je d lka periody a 1 (s;1) je cel slo. Pro odpov daj c posloupnost a 1 a ::: a p a 1 a ::: a p ::: a 1 a ::: a p s s s (10) pak vztah (9) vyjad uje, e se perioda a 1 a ::: a p v posloupnosti (10) opakuje 1 (s ; 1)kr t. Mus me ov it rovnost (4) pro v echna k 1 (s +1)za p edpokladu (8). Pro k = s ; 1, kter je sud, pomoc (), (9) a () dost v me T k = T s;1 = k a i = neboli n = 1 pk ve vztahu (4), a slo T s;1 je tedy dosa iteln. P edpokl dejme nyn, e k = s ; 1 ; k 0, kde 1 k 0 1 (s ; ) a s>. Podle p edpokladu (8) existuje n 0 N tak, e Ze vztahu () plyne, e k 0 (k 0 +1) = Xn 0 X pk a i a i : (11) T k = T s;1;k 0 = (s ; 1 ; k0 )(s ; k 0 ) = s(s ; 1 ; k0 ) + k0 (k 0 +1) : (1) Proto e s je lich a 1 k 0 1(s ; ), je m = s ; 1 ; k0 sud p irozen slo. Tedy podle (1), (7), (11) a () plat T k = s ; 1 ; k0 a i + Xn 0 a i = X pm +n0 D le nech k = qs + k 0 pro q N a 0 k 0 < s. Potom z () a (7) obdr me T k = (qs + k0 )(qs + k 0 +1) = sj + k0 (k 0 +1) = a i : Xpj a i + T k 0 kde j = 1 q(qs +1)+qk0 je cel slo a T k 0 = 0 pro k 0 =0. 6 Matematika - fyzika - informatika /007

7 Z p edchoz sti d kazu ji ale v me, e T k 0 = P n 0 a i pro n jak n 0 N a0<k 0 <s, co jsme cht li dok zat. Pozn mka. slo 1 (s ; 1) ve vztahu (8) nelze zredukovat, je-li p d lka minim ln periody odpov daj c s. Abychom se o tom p esv d ili, sta uva ovat posloupnost (a i ) s minim ln periodou a sou tem s = 15. Pak podle denice jsou troj heln kov sla T 1 ::: T 6 dosa iteln pomoc (a i ), ale T 7 nen. P klady V znam v ty 1m eme demonstrovat na posloupnosti (1) pro s = 15. Sta toti ov it vztah (5) pouze pro k 1 (s ; 1) = 7, tedy jen prvn dek ve vztahu (1). Dosa itelnost cel ch sel k > 7 na dal ch dc ch (1) pak vypl v zv ty 1. Podobn m eme ov it p edpoklady v ty 1 i pro dal periody: 1 pro p =as =, 1 prop =as =5, 1 1prop =4as =7, 1 prop =4as =9, prop =11as =5. Existuj indelovsk posloupnosti i pro s sud. Jednu takovou m eme zkonstruovat nap. z periody : ::: (1) initel 1 (s ; 1) na prav stran (9) ale nen celo seln. Proto p slu n prvky posloupnosti vyjad uj c slo s =6ve (1) nejsou ve stejn m po ad jako dan perioda. V ta Periodick posloupnost (a i ) je pro sud s ve vztahu (7) indelovsk, jestli e T k je dosa iteln pomoc (a i )prok =1 ::: s; 1. D kaz. Nech s ve vztahu (7) je sud a nech 8 k f1 ::: s; 1g 9 n N : T k = a i : (14) Matematika - fyzika - informatika /007 7

8 Ze vztah (7) a () vypl v, e T s;1 =(s ; 1) a i = (s;1)p X Nech k =s ; 1 ; k 0, kde 1 k 0 s ; 1. Podle p edpokladu (14) existuje n 0 N tak, e Potom z () m me k 0 (k 0 +1) T k = T s;1;k 0 = (s ; 1 ; k0 )(s ; k 0 ) = Xn 0 a i : a i : = s(s ; 1 ; k 0 )+ k0 (k 0 +1) a tud T k =(s ; 1 ; k 0 ) a i + Xn 0 a i = pm+n X 0 a i kde m =s ; 1 ; k 0. Zbytek d kazu pro k s ; 1 se podob d kazu v ty 1.. Z v re n pozn mky slo s ;1 v (14) op t nelze zredukovat, je-li p d lka minim ln periody odpov daj c s. Abychom toto ov ili, sta uva ovat periodickou posloupnost (a i ) s minim ln periodou 1 1as =4.Pak jsou troj heln kov sla T 1 a T dosa iteln pomoc (a i ), av ak T dosa iteln nen. V l nku [] jsou uvedenynutn a posta uj c podm nky pro to, abyposloupnost (a i )byla indelovsk, a to vesmyslu denice. Je zde uveden t algoritmus, pomoc n ho nalezneme v echny indelovsk posloupnosti pro dan s. Nap. pro s = m, m 0, jedin mo n indelovsk posloupnost je ::: 8 Matematika - fyzika - informatika /007

9 ;;; ;; ;;; ; Obr. 4 Um st n pomocn ho kole ka v bic m stroji. Z padka je v poloze mezi segmenty odpov daj c mi 8. a 9. hodin rann. Pra sk orloj je patrn nejstar a st le funguj c hodinov stroj, kter obsahuje takov d mysln za zen pro p esnou regulaci po tu der zvonu (viz obr. 4 a [1, s. 78]). Z v rem je t poznamenejme, e indel se narodil v Hradci Kr lov. Proto dalekohled na tamn hv zd rn nese jeho jm no. Tak planetka. 847 dostala jm no indel. Literatura [1] Horsk, Z.: Pra sk orloj. Panorama, Praha [] K ek, M. { olcov, A. { Somer, L.: Triangular numbers and the astronomical clock of Prague, preprint M AV R, Praha, [] Smol k, J.: Mathematikov v ech ch od zalo en university Pra sk. Publ. n kladem spisovatelov m, Anton n Renn, Praha Matematika - fyzika - informatika /007 9

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn

Více

6. Elektrochemick zdroje energie. 6.1. Z kladn pojmy a rozd len zdroj. vlastnosti elektrochemick ho zdroje energie, jeho nap t a v kon

6. Elektrochemick zdroje energie. 6.1. Z kladn pojmy a rozd len zdroj. vlastnosti elektrochemick ho zdroje energie, jeho nap t a v kon 6. Elektrochemick zdroje energie 6.1. Z kladn pojmy a rozd len zdroj Elektrochemick zdroje energie jsou za zen, v nich prob h spont nn i zen konverze chemick energie na energii elektrickou prost ednictv

Více

STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE

STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE ST PRVN V EOBECN USTANOVEN l. I. Z kladn ustanoven (1) Spole enstv vlastn k bytov ch jednotek

Více

I Z klad pojmy teorie pravd podobosti { eoci l u eb text pro p edm t MATEMATIKA V, FS,FM TUL, ( drob chyby ejsou vylou ey) P. Volf, b eze 999 N hod pokus, syst m jev P edm tem teorie pravd podobosti je

Více

POSELSTV SVAT HO OTCE FRANTI KA K XXIX. SV TOV MU DNI ML DE E 2014 Blahoslaven chud v duchu, nebo jejich je nebesk kr lovstv.

POSELSTV SVAT HO OTCE FRANTI KA K XXIX. SV TOV MU DNI ML DE E 2014 Blahoslaven chud v duchu, nebo jejich je nebesk kr lovstv. POSELSTV SVAT HO OTCE FRANTI KA K XXIX. SV TOV MU DNI ML DE E 2014 Blahoslaven chud v duchu, nebo jejich je nebesk kr lovstv. (Mt 5,3) Draz mlad, do m pam ti se vtisklo mimo dn setk n v Rio de Janeiru

Více

Inklusivní vzd lávání a praxe ve t ídách druhého stupn základních kol

Inklusivní vzd lávání a praxe ve t ídách druhého stupn základních kol Inklusivní vzd lávání a praxe ve t ídách druhého stupn základních kol Souhrnná zpráva 2005 Evropská agentura pro rozvoj speciálního vzd lávání Tato zpráva byla vytvo ena a publikována Evropskou agenturou

Více

kapacita je 3860 Ah/kg (u zinku pouze 820 Ah/kg). Vzhledem k tomu, produkuje v cel ad proveden p ibli n 50 v robc a technologie jejich

kapacita je 3860 Ah/kg (u zinku pouze 820 Ah/kg). Vzhledem k tomu, produkuje v cel ad proveden p ibli n 50 v robc a technologie jejich 6.2.2. Lithiov l nky Lithium pat k lehk m kov m ( =0:534 kg/dm 3 ) a jeho m rn kapacita je 3860 Ah/kg (u zinku pouze 820 Ah/kg). Vzhledem k tomu, e jeho oxida n potenci l je rovn dosti vysok (typick lithiov

Více

as a subjekt v pojetí raného Sartra a Henri Bergsona Time and Subject in the Conception of Early Sartre and Henri Bergson Bc.

as a subjekt v pojetí raného Sartra a Henri Bergsona Time and Subject in the Conception of Early Sartre and Henri Bergson Bc. Univerzita Palackého v Olomouci Filosofická fakulta Katedra filosofie as a subjekt v pojetí raného Sartra a Henri Bergsona Time and Subject in the Conception of Early Sartre and Henri Bergson magisterská

Více

V ROČNÕ ZPR VA ZA ROK 2007 HVĚZD RNA A PLANET RIUM ČESK BUDĚJOVICE S POBOČKOU NA KLETI

V ROČNÕ ZPR VA ZA ROK 2007 HVĚZD RNA A PLANET RIUM ČESK BUDĚJOVICE S POBOČKOU NA KLETI V ROČNÕ ZPR VA ZA ROK 2007 HVĚZD RNA A PLANET RIUM ČESK BUDĚJOVICE S POBOČKOU NA KLETI 1 Hvězd rna a planet rium ČeskÈ Budějovice s pobočkou na Kleti Z tkovo n břežì 4 370 01 ČeskÈ Budějovice statut rnì

Více

OBSAH 1 } w!"#$%&'()+,-./012345

Více

Smlouva o poskytování telekomunikačních (VoIP) služeb

Smlouva o poskytování telekomunikačních (VoIP) služeb Smlouva o poskytování telekomunikačních (VoIP) služeb uzavřené v souladu s ustanovením 63 zákona č. 127/2005 Sb., o elektronických komunikacích (dále jen ZoEK ), ustanovením 1751 a násl. zákona č. 89/2012

Více

Na tomto míst bude ociální zadání va²í práce

Na tomto míst bude ociální zadání va²í práce Na tomto míst bude ociální zadání va²í práce Toto zadání je podepsané d kanem a vedoucím katedry, musíte si ho vyzvednout na studiijním odd lení Katedry po íta na Karlov nám stí, v jedné odevzdané práci

Více

Tomáš Chmura HUDEBNÍ PRVKY INSPIRACE PRO HRÁ E NA BICÍ SOUPRAVU

Tomáš Chmura HUDEBNÍ PRVKY INSPIRACE PRO HRÁ E NA BICÍ SOUPRAVU Tomáš Chmura HUDEBNÍ PRVKY INSPIRACE PRO HRÁ E NA BICÍ SOUPRAVU - 2 - Obsah pro vyhledávání prvk Název prvku 1. Metrické prvky Umíst ní ukázky.cd/.stopy Umíst ní komentá e v p íru ce str. 1.1. Základní

Více

Rodina je základ (státu)

Rodina je základ (státu) Editorial: Rodina je základ (státu) Pro n které rodiny toto r ení platí více, pro n které mén. O t ch druhých se dnes zmi ovat nebudu. T ch prvních ale také pár znám, asto je potkávám u nás v Trojce. Kdyby

Více

Časopis přerovského děkanátu Červen 2003 Číslo 6 R oč n ík 9 Úvodník P. Milan Mičo L i t u r g i c ký ka l e ndá ř na m ě sí c če r v e n R os t e m e ve víř e K r á t c e o od p u š t ě ní C ír ke vní

Více

STAT SÉMANTIKA VLASTNÍCH JMEN A IDENTITNÍ TEORIE PREDIKACE. Lukáš Novák

STAT SÉMANTIKA VLASTNÍCH JMEN A IDENTITNÍ TEORIE PREDIKACE. Lukáš Novák SÉMANTIKA VLASTNÍCH JMEN A IDENTITNÍ TEORIE PREDIKACE Lukáš Novák 1. Úvod Tento lánek 1 je pokusem nastínit plausibilní sémantickou teorii vlastních jmen, která by byla slu itelná s jistou realistickou

Více

Vznik a p vod BSE podle alternativní ammoniamagnesium

Vznik a p vod BSE podle alternativní ammoniamagnesium Vznik a p vod BSE podle alternativní ammoniamagnesium theory Souhrn 1. Prionové nemoci a histologické zm ny v moze ku Prionové nemoci jsou charakteristické tím, e normální prion protein (PrPc) je nahrazen

Více

David Irving a "osv timská le " Pavel Zeman

David Irving a osv timská le  Pavel Zeman AAARGH esky a Slovensky PROTI REVISIONISMUS David Irving a "osv timská le " Pavel Zeman T ko bychom hledali mezi zahrani ními specialisty na d jiny druhé sv tové války a t etí í e kontroverzn j í postavu,

Více

Pár v cí z tábora, tentokrát na téma Voda základ života

Pár v cí z tábora, tentokrát na téma Voda základ života Pár v cí z tábora, tentokrát na téma Voda základ života V RA KOUDELKOVÁ, MARTIN KONE NÝ, ZDEN K POLÁK KDF MFF UK P ísp vek popisuje nejzajímav jší projekty zpracované ú astníky Soust ed ní mladých fyzik

Více

ústav pro studium totalitních režimů

ústav pro studium totalitních režimů Zápis z 12. j ednáni Rady Ústavu ze dne 24. 9. 20 14 ~ Čj. : USTR 1-1 3/201 4 ústav pro studium totalitních režimů Praha, 24. z á ř í 20 14 P o č e t li s t ů: 13 Zápis Z 12. jednání, Rady Ustavu pro studium

Více

ŠKOLY Z IZOVANÉ SVAZKY OBCÍ NOVÉ MOŽNOSTI A MOŽNOST VOLBY

ŠKOLY Z IZOVANÉ SVAZKY OBCÍ NOVÉ MOŽNOSTI A MOŽNOST VOLBY ŠKOLY Z IZOVANÉ SVAZKY OBCÍ NOVÉ MOŽNOSTI A MOŽNOST VOLBY ANEB JAK D LAT SPRÁVNÉ V CI SPRÁVN. PR VODCE PRO Z IZOVATELE A EDITELE ŠKOL, PRO PEDAGOGY A RODI E ŽÁK - ARGUMENTY, P ÍKLADY A INFORMACE O TOM,

Více

Sm rnice o pracovní dob

Sm rnice o pracovní dob Sm rnice o pracovní dob Pracovní doba je op t na po adu jednání a Evropská komise pravd podobn zve ejní nové návrhy na související sm rnici za átkem roku 2015. Dopady na EPSU a její lenské organizace budou

Více

Digitální automatický m i krevního tlaku Model M10-IT Návod k obsluze

Digitální automatický m i krevního tlaku Model M10-IT Návod k obsluze Digitální automatický m i krevního tlaku Model M10-IT Návod k obsluze CZ IM-HEM-7080IT-E-05-10/2011 Obsah P ed použitím jednotky Úvod...3 D ležité bezpe nostní informace...4 1. Popis p ístroje...6 2. P

Více

PRÁCE O HISTORII KUTNÉ HORY, DOLOVÁNÍ A HORNÍM PRÁVU

PRÁCE O HISTORII KUTNÉ HORY, DOLOVÁNÍ A HORNÍM PRÁVU OTOKAR LEMINGER PRÁCE O HISTORII KUTNÉ HORY, DOLOVÁNÍ A HORNÍM PRÁVU Kuttna Kutná Hora 2009 Název: Práce o historii Kutné Hory, dolování a horním právu. Autor: Otokar Leminger. Vydal: Vydavatelství a nakladatelství

Více

ŽENEVSKÉ ÚMLUVY O OCHRAN OB TÍ OZBROJENÝCH KONFLIKT ze dne 12. srpna 1949

ŽENEVSKÉ ÚMLUVY O OCHRAN OB TÍ OZBROJENÝCH KONFLIKT ze dne 12. srpna 1949 ŽENEVSKÉ ÚMLUVY O OCHRAN OB TÍ OZBROJENÝCH KONFLIKT ze dne 12. srpna 1949 ************************************************************************************************************************ Obsah:

Více

21 tip jak zvýšit své sebev domí a sebeúctu

21 tip jak zvýšit své sebev domí a sebeúctu 21 tip jak zvýšit své sebev domí a sebeúctu Volná distribu ní práva Na tento ebook se vztahují volná distribu ní práva. Tento ebook je zdarma a distribu ní práva nep icházejí s možností tento ebook prodávat

Více

KH 12/09 SEDLECKÝ KLÁŠTER KUTNOHORSKO - VLASTIV DNÝ SBORNÍK 12/09

KH 12/09 SEDLECKÝ KLÁŠTER KUTNOHORSKO - VLASTIV DNÝ SBORNÍK 12/09 KH 12/09 SEDLECKÝ KLÁŠTER KUTNOHORSKO - VLASTIV DNÝ SBORNÍK 12/09 Název: Kutnohorsko - vlastiv dný sborník 12/09 Vydal: Vydavatelství a nakladatelství Martin Bartoš (Kuttna) 17. listopadu 97, 284 01 Kutná

Více

2. DEMOGRAFICKÉ PODMÍNKY. 2.1 Sídelní struktura

2. DEMOGRAFICKÉ PODMÍNKY. 2.1 Sídelní struktura 2. DEMOGRAFICKÉ PODMÍNKY 2.1 Sídelní struktura ešené území tvo í 9 rekrea ních celk, 100 obcí, z nichž má 11 statut m sta a jedna statut m styse. ešené území t chto rekrea ních celk tvo í cca 25% území

Více

oprávn ného: eská spo itelna, a. s., se sídlem Olbrachtova 1929/62, 14000, Praha, I 45244782 proti povinným:

oprávn ného: eská spo itelna, a. s., se sídlem Olbrachtova 1929/62, 14000, Praha, I 45244782 proti povinným: .j. 024 EX 5023/13-124 U s n e s e n í o na ízení dražebního jednání - elektronická dražba Soudní exekutor Mgr. Pavla Fu íková, Exekutorský ú ad Ostrava, se sídlem Slévárenská 410/14, Ostrava Mariánské

Více