Matematika 4B. 11. ledna :56

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika 4B. 11. ledna 2007 16:56"

Transkript

1 Matematika 4B Prof. RNDr. Jan Hamhalter, CSc. katedra matematiky FEL ČVUT tel: web: ledna :56 1

2 V.Rogalewicz: Pravděpodobnost a statistika pro inženýry, skripta, Vydavatelství ČVUT, K.Zvára a J.Štěpán: Pravděpodobnost a matematická statistika, matfyzpress, Praha J.Anděl: Matematika náhody, matfyzpress, Praha J.Anděl: Statistické metody, matfyzpress, Praha V.Dupač a M.Hušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Nakladatelství Karolinum, Z.Prášková: Základy náhodných procesů II, Nakladatelství Karolinum, A. Rényi: Teorie pravděpodobnosti, Academia, Praha

3 1 Historie a podstata teorie pravděpodobnosti teorie pravděpodobnosti = matematika náhody, systémy s nedostatkem informace svět 19. století deterministický systém, hodinový stroj svět 20. století svět náhody (evoluce není možná bez náhody, mikrosvět se řídí pravděpodobnostními zákony, teorie chaosu, apod.) Úloha o rozdělení sázky Pochází od Arabů. Nedávno objevena v rukopise z r Dva hráči hrají sérii partií. Výsledky jednotlivých her jsou nezávislé. Vyhrává ten kdo poprvé zvítězí v šesti partiích. Pravděpodobnost výhry je pro každého hráče stejná, t.j. 1/2. Hra je přerušena ve chvíli kdy hráč A vyhrál 5x a hráč B 3x. Jak si rozdělí výhru? Úloha byla vyřešena nezávisle Pascalem a Fermatem (1654). Všechny možnosti pokračování (hra bude trvat nejvýše tři další partie): AAA AAB ABA BAA BAB BBA ABB BBB Pouze v jednom případě vítězí B, pravděpodobnost výhry hráče B je 1:8, výhra by se měla rozdělit v poměru 7:1. 3

4 Huygens (1657) : On Reasoning in Games of Dice Laplace (1812): Analytic Theory of Probabilities nestačí kombinatorické metody, je třeba uvažovat nekonečné soubory možností statistická fyzika, Brownův pohyb, teorie míry a integrace A. Kolmogorov (1930): Axiomatické základy teorie pravděpodobnosti současný stav a perspektivy: nové obory založené na pravděpodobnostním přístupu kvantová teorie informace, teorie her v ekonomii, teorie chaosu,... 4

5 2 Pravděpodobnostní prostor pravděpodobnostní model má dvě komponenty: struktura náhodných jevů pravděpodobnost jako kvantitativní funkce na jevech 2.1. Příklad. Střelba na terč Ω = kruh o poloměru r náhodné jevy = podmnožiny Ω pravděpodobnost(a) = obsah(a) πr 2. 5

6 2.2. Příklad. Sportka Ω = {{1, 2, 3, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 6, 2, 17},... } = { šestiprvkové podmnožiny množiny {1, 2,..., 49}} tyto šestice tvoří elementární jevy s pravděpodobností 1 1 ( 49 ) = = 0, jev= podmnožina Ω pravděpodobnost jevu A Ω. P (A) = velikost(a) ). ( 49 6 konkrétní výpočet v tomto modelu spočtěte pravděpodobnost, že uhodnete (právě) tři čísla. P (A) = ( 6 ) ( 3 43 ) 3 ( 49 ) = 0,

7 náhodné jevy musíme umět kombinovat jev A nebo jev B, Definice. Nechť Ω je neprázdná množina. Systém A podmnožin množiny Ω se nazývá σ-algebra náhodných jevů, jestliže platí (i) Ω A. (ii) Jestliže A 1, A 2,... jsou množiny v A, pak i=1 A i A (iii) Je-li A A, pak A c = Ω \ A A Terminologie: A c... opačný jev k jevu A A, B jsou navzájem vylučující se (disjunktní) jevy jestliže A B = 7

8 2.4. Tvrzení. Je-li A σ-algebra podmnožin Ω pak (i) A 1, A 2,... A = i=1 A i A. (ii) A, B A = A B c A. Důkaz: (i) A c 1, A c 2,... A, = i=1 Ac i A = (de Morganova pravidla) ( c Ai) c = A i A. i=1 i=1 (ii) A, B c A = A B c A. 8

9 pravděpodobnost modeluje relativní četnost, měla by respektovat stejná pravidla jako počet prvků množiny 2.5. Definice. Předpokládejme, že A je σ-algebra podmnožin množiny Ω. Pravděpodobnost P je zobrazení P : A [0, 1], pro které platí (i) P (Ω) = 1 (ii) P ( i=1 A i) = i=1 P (A i), jestliže A 1, A 2,... jsou navzájem disjunktní množiny v A. Trojice (Ω, A, P ) se nazývá pravděpodobnostní prostor. 9

10 Základní vlastnosti pravděpodobnosti (i) A B = = P (A B) = P (A) + P (B) (ii) P ( ) = 0 ( = P (Ω) + P ( ) = P (Ω)) (iii) P (A c ) = 1 P (A) ( = P (A) + P (A c ) = P (Ω) = 1.) (iv) A B = P (B A c ) = P (B) P (A) ( = P (B) = P (A) + P (B A c )) (v) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). odvození: X = A (A B) c, Y = B (A B) c P (X) + P (Y ) + P (A B) = P (A B) P (A) P (A B)+P (B) P (A B)+P (A B) = P (A B) P (A) + P (B) = P (A B) + P (A B) 10

11 Tato základní pravidla jsou často užitečná při konkrétních výpočtech Příklad. Určete pravděpodobnost, že při tahu Sportky bude vylosováno buďto číslo 7 nebo číslo 20. Řešení: A... taženo číslo 7, B... taženo číslo 20. ( 48 5 ) P (A) = P (B) = ( 49 ) 6 ( 47 4 ) P (A B) = ( 49 ) 6 Tedy ( 48 5 ) P (A B) = 2 ( 49 ) 6 ( 47 4 ) ( 49 6 ) = 13 = 0,

12 Důležité typy pravděpodobnostních prostorů: klasický pravděpodobnostní prostor konečný pravděpodobnostní prostor diskrétní nekonečný pravděpodobnostní prostor geometrický pravděpodobnostní prostor 12

13 Klasický pravděpodobnostní prostor Ω = {ω 1,..., ω n } A = všechny podmnožiny množiny P (A) = A Ω = A n. Ω V tomto modelu mají elementární jevy stejnou šanci = 1 n. Někdy je těžké nalézt dobrý model slovní úlohy, často se setkáme se složitou kombinatorikou. 13

14 2.7. Příklad. Hodíme n krát mincí, rub i líc v jednom hodu mají stejnou šanci, tj Jaká je pravděpodobnost že padne právě k krát líc? Řešení: elementární jevy posloupnosti nul a jedniček délky n kódující výsledky hodů. Ω = 2 n Ω = {ω 1,..., ω 2 n} A k... posloupnost obsahuje právě k jedniček. A k = ( ) n k Tedy P (A k ) = 1 ( ) n 2 n. k Poznámka: Hodíme n krát mincí, kde n je sudé. Jaká je pravděpodobnost, že padne stejný počet nul jako jedniček? P (A n/2 ) = 1 ( ) n 2 n n/2 Pomocí tzv. Stirlingova vzorce lze dokázat, že P (A n/2 ) 1 πn/2 0 pro n. 14

15 2.8. Příklad. Narozeninový problém Jaká je pravděpodobnost, že ve třídě s n žáky se najde dvojice mající narozeniny ve stejný den? (n 365). Řešení: Ω = {posloupnosti délky n prvků množiny {1, 2,..., 365}} Elementární jevy kódují den narozenin 1. až n-tého žáka. A... sledovaný jev A c... jev opačný, všichni mají narozeniny v jiný den. Ω = 365 n A c = (365 n + 1) (365 n + 1) P (A) = n = n 1 ( = 1 1 j ) 365 Nečekané numerické hodnoty: již pro n = 23 je P (A) > 1/2, pro n = 56 je P (A) = 0, 99. j=1 15

16 Konečný pravděpodobnostní prostor Ω = {ω 1,..., ω n } A = všechny podmnožiny Ω p 1,..., p n > 0... váhy n p i = 1 i=1 P ({ω i }) = p i Z toho vyplývá že P (A) = {i ω i A} pro všechny A Ω. p i, Klasický pravděpodobnostní prostor je speciálním případem, ve kterém jsou všechny váhy stejné: p 1 = p 2 = = p n = 1 n. 16

17 2.9. Příklad. Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 } p 1 = P ({ω 1 }) = 1 2 p 2 = P ({ω 2 }) = 1 4 p 3 = P ({ω 3 }) = 1 4 ω 1 ω 2 ω Je tedy např. P ({ω 1, ω 2 }) = p 1 + p 2 = =

18 Bernoulliovo schéma Máme jev A (zdar) s pravděpodobností 0 < p < 1 a jev B (nezdar) s pravděpodobností 0 < 1 p < 1. V náhodném pokusu nastane právě jeden z jevů A a B s příslušnou pravděpodobností. Provedeme sérii n těchto náhodných pokusů, jejichž výsledky se navzájem neovlivňují. Možné výstupy pro n = 4: ABAA, BBBA,... kódovány posloupnostmi 0 a 1: 1011, 0001,... Elementární jevy - posloupnosti nul a jedniček délky n Nezávislost znamená, že pravděpodobnosti se násobí: P (1011) = p (1 p) p p = p 3 (1 p) P (0001) = (1 p) (1 p) (1 p) p = p (1 p) 3 18

19 To nás vede k následujícímu modelu: Ω= všechny posloupnosti nul a jedniček délky n Ω = 2 n. P (posloupnost ) = p počet 1 (1 p) počet 0 Ověříme, že součet vah je 1: 2 n i=1 p i = n k=0 ( ) n p k (1 p) n k = k = (p + (1 p)) n = 1. Důležitý je jev, A k, že v sérii n pokusů nastane jev A právě k krát. A k = ( n k). P (A k ) = ( ) n p k (1 p) n k. k Konkrétní příklady: hod mincí, hod kostkou, ankety, statistické šetření, apod Příklad. Terč zasáhneme s pravděpodobností 1/3. Jaká je pravděpodobnost, že se dvakrát strefíme při čtyřech pokusech. P (A 2 ) = ( ) ( ) 2 2 = 48 = 0,

20 Nekonečný diskrétní pravděpodobnostní prostor Ω = {ω 1, ω 2,... } A = všechny podmnožiny Ω (p n ) n=1... posloupnost vah p n = 1, p n 0 n=1 P ({ω n }) = p n pro n = 1, 2,... Z toho vyplývá, že P (A) = p n, {n ω n A} pro všechny A Ω. 20

21 Poissonův zákon Ω = {ω 0, ω 1, ω 2... } λ > 0 parametr p n = λn n! e λ, n = 0, 1,... Ověříme korektnost zadání: λ n n! e λ = e λ n=0 n=0 λ n n! = e λ e λ = Příklad. Za danou časovou jednotku volá na ústřednu průměrně λ > 0 účastníků. Pravděpodobnost p n, že zavolá právě n účastníků se řídí Poissonovým zákonem: p n = λn n! e λ Pravděpodobnost, že zavolá alespoň někdo je 1 e λ. 21

22 Geometrický pravděpodobnostní prostor pravděpodobnost je dána geometrickou kvantitou (délka, obsah, objem) Ω R, R 2, R 3,..., 0 < velikost (Ω) <, P (A) = pro A Ω. velikost (A) velikost (Ω) Příklad. Terč má poloměr 30 cm. Jaká je pravděpodobnost, že se trefíme do středu o poloměru 5cm? Řešení: p = 25π = 0, π 22

23 2.13. Příklad. Buffonova úloha V rovině je dán systém rovnoběžek majících vzdálenost d. Na rovinu hodíme jehlu o velikosti l, l < d. Jaká je pravděpodobnost, že protne některou rovnoběžku? Řešení: Polohu jehly vůči rovnoběžné síti popíšeme dvěma parametry: x... vzdálenost středu jehly od nejbližší rovnoběžky x < 0, d 2 > ϕ... úhel, který jehla svírá s rovnoběžnou sítí ϕ < 0, π >. Podmínka protnutí: l 2 sin ϕ > x P = 1 π [ ] π l l sin ϕdϕ = cos ϕ = π d/2 2 πd 0 0 = 2l πd. 23

24 Další vlastnosti pravděpodobnosti: Princip inkluze a exkluze Opakování: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Mějme nyní tři jevy A, B, C A. P (A B C) = P [(A B) C] = P (A B) + P (C) P ((A C) (B C)) = P (A) + P (B) P (A B) + P (C) P (A C) P (B C) + P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A C) P (B C) P (A B) + P (A B C) 24

25 Zobecnění se dá dokázat indukcí: Věta. Princip inkluze a exkluze Předpokládejme, že A 1,..., A n A, kde (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Pak platí P (A 1 A 2 A n ) = P (A i ) P (A i A j ) + 1 i<j<k n 1 i n 1 i<j n P (A i A j A k )+ +( 1) n+1 P ( n i=1a i ). 25

26 2.15. Příklad. Roztržitá šatnářka n hostů restaurace si přichází odložit svůj kabát. Šatnářka vydává kabáty chaoticky. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z hostů dostane svůj kabát? Řešení: Elementární jevy jsou permutace n prvkové množiny. ( n k 1 k 2... k n ) Všechny mají stejnou pravděpodobnost, tj. 1 n!. A = {(k 1,..., k n ) existuje 1 i n tak že k i = i}. A = A 1 A 2 A n, kde A i = {(k 1,..., k n ) k i = i} (i-tý host je v pořádku) (n 1)! P (A i ) = n! (n 2)! P (A i A j ) =, i j n! P (A 1 A 2 A n ) = 1 n! 26

27 ( ) ( ) n (n 2)! n (n 3)! P (A) = 1 + +( 1) n n! 3 n! n! numerické hodnoty: = 1 1 2! + 1 3! + ( 1)n+1 1 n! n P (A) 1 0,5 0,6667 0,625 0,6333 0,6319 0,6321 asymptoticky: e 1 = 1 1 1! + 1 2! 1 3! + lim P (A) = 1 n e 1 = 0,

28 Zacházení s nekonečnými posloupnostmi jevů, spojitost pravděpodobnosti: Věta. Předpokládejme, že (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. (i) Je-li A 1 A 2 pro A 1, A 2, z A, pak ( P i=1 A i ) = lim i P (A i ) (ii) Je-li A 1 A 2 pro A 1, A 2, z A, pak ( P i=1 Důkaz: (A n ) splňuje (i) A i ) = lim i P (A i ) A n = A 1 (A 2 \ A 1 ) (A 3 \ A 2 ) (A n \ A n 1 ) je disjunktní sjednocení. Pak P (A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 \ A 1 ) + P (A 3 \ A 2 ) + Dále platí + + P (A n \ A n 1 ). A n = A 1 (A 2 \ A 1 ) (A 3 \ A 2 ) n=1 28

29 ( P n=1 ( P A n ) = n=1 P (A n) { }} { P (A 1 ) + P (A 2 \ A 1 ) + + P (A n \ A n 1 ) + = A n ) = lim n P (A n) = lim n P (A n) (ii) obdobným způsobem, nebo z (i) přechodem k množinovému komplementu. 29

30 3 Nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnostní model se mění dostaneme-li částečnou informaci o systému. Víme, že nastal jev B. Pak pravděpodobnost, že nastane jev A je P (A B) P (B) Definice. Je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P ) a B A s P (B) > 0. Podmíněná pravděpodobnost náhodného jevu A za podmínky B je definována jako Tedy P (A B) = P (A B) P (B). P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). 30

31 3.2. Příklad. Skříňka má tři zásuvky. V první jsou dvě zlaté mince, ve druhé zlatá a stříbrná mince a ve třetí dvě stříbrné mince. z 1 z 2 z 3 s 1 s 2 s 3 Náhodně jsme vybrali zásuvku a náhodně z ní vytáhli minci. Tažená mince je stříbrná. Jaká je pravděpodobnost, že druhá mince ve vytažené zásuvce je zlatá? Řešení: naivní odpověď 1/2 není správná. Dvě fáze náhodného procesu: 1. volba zásuvky 2. volba mince Ω = {(1, z 1 ), (1, z 2 ), (2, z 3 ), (2, s 1 ), (3, s 2 ), (3, s 3 ), } Všechny tyto jevy mají stejnou šanci, tj. 1/6. Z... v otevřené zásuvce je zlatá mince S... vyjmuli jsme stříbrnou minci (tento jev nastal). Hledáme p = P (Z S) P (S) = P {(2, s 1 ), (3, s 2 ), (3, s 3 )} = 3 6 = 1 2. P (Z S) = P {(2, s 1 )} = 1/6. p = 1/6 3/6 =

32 Formální vlastnosti podmíněné pravděpodobnosti: (i) P (B B) = 1 (ii) P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) jsou-li A 1, A 2 A disjunktní Tvrzení. Je-li (Ω, A, P ) pravděpodobnostní prostor a B A s P (B) > 0, pak (Ω, A, P (( B)) je také pravděpodobnostní prostor. V pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P (( B)) mají jevy disjunktní s B nulovou pravděpodobnost, podmnožiny v B mají pravděpodobnost normovanou pravděpodobností jevu B. 32

33 Nezávislé jevy jsou jevy jejichž podmíněné pravděpodobnosti se neovlivňují: P (A), P (B) > 0 P (A) = P (A B) = P (A B) = P (A) P (B). P (A B) P (B) Definice. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Jevy A a B A nazýváme nezávislé, jestliže P (A B) = P (A) P (B) Příklad. Dvakrát hodíme mincí. Všechny výsledky jsou stejně pravděpodobné. Ukažte, že výsledky v prvním a druhém hodu jsou nezávislé. Řešení: R... rub, L... líc Ω = {RL, RR, LR, LL} P ({RL, RR}) = 1 2 P ({RL, LL}) = 1 2 P ({RL}) = 1 4 =

34 Obecnější definice: 3.6. Definice. Jevy A 1,..., A n v pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P ) jsou nezávislé, jestliže P (A i1 A i2 A ik ) = P (A i1 )P (A i2 ) P (A ik ) pro všechna i 1 < i 2 < < i k, k n. Bernoulliovo schéma (revisited) Výsledky pokusů v Bernoulliově schématu jsou nezávislé jevy. Bernoulliovo schéma tedy můžeme chápat jako sérii nezávislých pokusů se dvěma možnými výsledky, které mají doplňkovou pravděpodobnost. 34

35 3.7. Příklad. Elektrický obvod znázorněný na obrázku je náhodně přerušován pěti nezávislými spínači. V jedné větvi jsou tři spínače a ve druhé dva. Jaká je pravděpodobnost že obvodem prochází proud? Každý spínač je přerušen s pravděpodobností 1/2. Řešení: A i... i-tý vypínač je sepnut p = P [(A 1 A 2 A 3 ) (A 4 A 5 )] = = P (A 1 A 2 A 3 ) + P (A 4 A 5 ) P (A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) = = = 11 = 0, Tvrzení. Jsou-li jevy A 1,..., A n v pravděpodobnostním prostoru nezávislé, pak jsou nezávislé i jevy A c 1, A 2,..., A n. Důkaz: P (A c 1 A 2 A n ) = P (A 2 A 3 A n ) P (A 1 A 2 A n ) = P (A 2 )P (A 3 ) P (A n ) P (A 1 )P (A 2 ) P (A n ) = = (1 P (A 1 ))P (A 2 ) P (A n ) = = P (A c 1)P (A 2 )P (A 3 ) P (A n ). Důsledek: Nahradíme-li v nezávislém systému jevů některé jevy jejich opakem, dostaneme opět nezávislý systém. 35

36 Situace: A 1,..., A n disjunktní jevy, takové že P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) = 1 a P (A i ) > 0 pro všechna i. Pak P ((A 1 A 2 A n ) c ) = 0. Pro každé B A máme P (B) = P (B A 1 ) + P (B A 2 ) + P (B A 3 ) + + P (B A n ) + 0 = = P (B A 1 )P (A 1 )+P (B A 2 )P (A 2 )+ +P (B A n )P (A n ) Definice. Posloupnost A 1,..., A n disjunktních jevů v pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) se nazývá úplný systém jevů jestliže A 1,..., A n jsou disjunktní, P (A i ) > 0 pro všechna i a P (A 1 ) + P (A 2 ) + + P (A n ) = Věta. (Věta o úplné pravděpodobnosti) Předpokládejme že A 1,..., A n je úplný systém jevů v pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) takový, že P (A i ) > 0 pro všechna i = 1,... n. Pro každé B A platí P (B) = P (B A 1 )P (A 1 ) + P (B A 2 )P (A 2 ) P (B A n )P (A n ) 36

37 P (B) je kombinace pravděpodobností P (A 1 ),..., P (A n ) s váhami danými podmíněnými pravděpodobnostmi Příklad. V urně č.1 je 50 černých a 60 bílých kuliček. V urně č.2 je 60 černých a 50 bílých kuliček. Hodíme si hrací kostkou. Padne-li šestka vybereme urnu č. 1. V opačném případě urnu č.2. Z vybrané urny vybereme náhodně kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že je bílá? Řešení: (1) A 1...padne šestka A 2...nepadne šestka P (A 1 ) = 1/6 P (A 2 ) = 5/6 B... vytažená kulička je bílá P (B A 1 ) = P (B A 2 ) = p = = = = = 0,

38 Bayesův vzorec Bayes (1761)... stejné apriorní pravděpodobnosti Laplace (1774)... obecný případ věta o úplné pravděpodobnosti: P (A i ), P (B A i ) P (B) nyní určíme P (A i B): Věta. Bayesův vzorec Je-li A 1,..., A n úplný systém jevů v pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) a B A s P (B) > 0 pak P (A j B) = pro všechna j = 1, 2,..., n. P (B A j )P (A j ) n i=1 P (B A i)p (A i ) Důkaz: P (A j B) = P (A j B) P (B) = P (B A j )P (A j ) n i=1 P (B A i)p (A i ) vstup: P (A 1 ), P (A 2 ),... P (A n )... apriorní pravděpodobnosti P (B A 1 ), P (B A 2 ),... P (B A n )... podmíněné pravděpodobnosti B... přináší novou informaci o stavu systému výstup: P (A 1 B), P (A 2 B),... P (A n B) upřesněná informace 38

39 3.13. Příklad. Máme dvě krabice s bílými a černými kuličkami. V krabici č. 1 je jedna bílá a devět černých kuliček. V krabici č.2 je jedna černá a devět bílých kuliček. 1 9 č č.2 Za plentou byla vylosována jedna z krabic. Náhodně jsme z ní vytáhli jednu kuličku. Byla bíla. Jaká je pravděpodobnost, že máme před sebou krabici č.1.? A 1... první krabice P (A 1 ) = 1 2 A 2... druhá krabice P (A 2 ) = 1 2 B... tažena bílá kulička P (B A 1 ) = 1 10 P (B A 2 ) = P (A 1 B) = P (B A 1 )P (A 1 ) P (B A 1 )P (A 1 ) + P (B A 2 )P (A 2 ) = = =

40 3.14. Příklad. Diagnóza nemoci Senzitivita testu: 0,95 (tj. má-li osoba AIDS je test pozitivní v 95% případů) specificita testu: 0,95 (tj. nemá-li osoba AIDS je test negativní v 95% případů) prevalence nemoci: 0,005 (tj. 0,5% populace je nakaženo) Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je nakažena virem HIV? (Naivní odpověď 0,95 je úplně mimo.) AIDS NE-AIDS 0,005 0,995 +, -... výsledky testu P (+ AIDS) = 0, 95 P (+ NEAIDS) = 0, 05 P ( AIDS) = 0, 05 P ( NEAIDS) = 0, 95 P (AIDS +) = P (+ AIDS)P (AIDS) = P (+ AIDS)P (AIDS) + P (+ NEAIDS)P (NEAIDS) 0, 95 0, 005 = = 0, , 95 0, , 05 0, 995 apriorní pravděpodobnosti aposteriorní pravděpodobnosti (0, 005, 0, 995) (0, 087, 0, 913). 40

41 Test opakujeme znovu. Testovaná osoba je opět pozitivní. Jaká je nyní pravděpodobnost že má AIDS? Opakujeme postup s P (AIDS) = 0, 087 P (NEAIDS) = 0, 913. numerické výsledky: i... počet pozitivních testů, P i... pravděpodobnost, že daná osoba má AIDS. i P i 0,005 0,087 0,645 0,972 0,998 0,

42 4 Náhodná veličina Zajímá nás pouze sledovaná numerická veličina, nikoliv celý pravděpodobnostní prostor: počet zákazníků, cena akcie, hodnota měření napětí,... Podstatné je stanovit pravděpodobnost, že náhodná veličina má hodnoty v daném rozmezí. Značení: I... interval na reálné ose, zahrnujeme i jednobodové množiny. X : Ω R... funkce definovaná na množině Ω. [X I] = {ω Ω X(ω) I} Definice. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Funkce X definovaná na Ω se nazývá náhodná veličina jestliže [X I] A pro všechny intervaly I R. 42

43 Všechny funkce na konečném nebo diskrétním pravděpodobnostním prostoru jsou náhodné veličiny. Náhodné veličiny popisujeme kvantitativně pomocí jejich distribučních funkcí: P [X x] = P ({ω X(ω) x}) Definice. Předpokládejme, že X je náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ). Distribuční funkce, F X, náhodné veličiny X je funkce F X (x) = P [X x], x R. 43

44 4.3. Příklad. X... počet ok při hodu kostkou X nabývá šesti hodnot, 1,2,3,4,5,6; distribuční funkce je po částech spojitá funkce Příklad. X... poloha ručičky hodinek při náhodném zastavení: x 2 π x < 0, 2π > F (x) = 0 x 0 1 x 2π Příklad. Vlak projíždí přejezdem jedenkrát za hodinu, Závory jsou staženy na dvanáct minut. Náhodná veličina X je doba čekání. P [X = 0] = Pro x (0, 12 > máme: = = 0, 8. P [X x] = P [X = 0] + P [0 < X x] = 0, 8 + x 60. Tedy 0 x < 0 0, 8 x = 0 F X (x) = 0, 8 + x 60 x (0, 12 > 1 x 12 44

45 4.6. Věta. Distribuční funkce F X náhodné veličiny X splňuje následující podmínky: (i) 0 F X 1 (ii) F X je neklesající (iii) F X je zprava spojitá (iv) lim x F X (x) = 0, lim x F X (x) = 1. Dukaz: (ii) Je-li x y, pak [X x] [X y], a tedy F X (x) F X (y). (iii) Volme (δ n ) klesající posloupnost kladných čísel s nulovou limitou a a R. Uvažujme množiny Platí A n = [X a + δ n ]. A n = [X a]. n=1 Dle spojitosti pravděpodobnosti Věta 2.16 platí P [X a] = lim n P (A n). Jinými slovy F X (a) = lim n F X(a + δ n ), a proto F X (a) = lim x a+ F X(x). 45

46 (iv) A n = [X n], n = 1, 2... Pak A n je klesající posloupnost množin s prázdným průnikem. Dle Věty 2.16 máme lim F X( n) = lim P (A n) = P ( ) = 0. n n F X je neklesající, a proto musí mít v limitu nula. (Druhá limita podobně.) V distribuční funkci F X jsou všechny relevantní informace o náhodné veličině X: P [X > a] = 1 P [X a] = 1 F X (a). P [X (a, b >] = P [(X b) (X a) c ] = Odtud = P [X b] P [X a] = F X (b) F X (a). [ P [X < a] = lim P X a 1 ] ( = lim n n F X a 1 ) = lim n n F X(x). x a P [X = a] + P [X < a] = P [X a]. P [X = a] = F X (a) lim x a F X(x). (Velikost případného skoku.) 46

47 4.7. Věta. Ke každé zprava spojité, neklesající funkci F (x) na R, s limitami lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1, existuje náhodná veličina X tak, že F X = F. Důkaz je mimo naše možnosti teorie míry. distribuční funkce (náhodná rozdělení) = náhodné veličiny. Typy náhodných veličin: diskrétní rozdělení spojité rozdělení smíšené rozdělení 47

48 4.8. Definice. Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, jestliže existuje konečná nebo nekonečná posloupnost (x n ) taková, že P [X = x n ] = 1. n Daná tabulkou resp. pravděpodobnostní funkcí: x 1 x 2 x 3 p 1 p 2 p 3 P [X = x i ] = p i, (x n ) n... uzly 4.9. Příklad. X... počet ok při hodu hrací kostkou /6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/ Příklad. X... doba kdy poprvé padne líc při sérii hodů symetrickou mincí P [X = n] = 1 2 n. 1 2 n = 1. n=1 48

49 4.11. Tvrzení. Má-li náhodná veličina X diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí (x n, p n ) n, pak pro M R platí P [X M] = p n. {n x n M} Příklad. Jaká je pravděpodobnost, že při házení symetrickou mincí padne líc poprvé po sudém počtu hodů? X z Příkladu P [X = sudé] = = =

50 4.13. Definice. Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f taková, že F X (x) = x f(t) dt. Funkce f se přitom nazývá hustotou náhodné veličiny X. Funkce f je hustotou náhodné veličiny právě tehdy když je nezáporná a f(t) dt = 1. Je-li x bod spojitosti hustoty f, pak f(x) = F X (x). Je-li f hustota náhodné veličiny X, pak b P [a X b] = f(x) dx. Hustota dává preference hodnotám. a 50

51 4.14. Příklad. f(x) = (Rovnoměrné rozdělení) Pro x < 0, 1 > F X (x) = x 0 dt = x. 0 x 0 F X (x) = x x < 0, 1 > 1 x 1 { 1 x < 0, 1 > 0 jinak Příklad. f(x) = { x+1 2 x < 1, 1 > 0 jinak Pro distribuční funkci F (x) na intervalu < 1, 1 > platí F X (x) = x 1 t [ t 2 dt = 4 + t 2 ] x 1 = = x2 4 + x (x + 1)2 =. 4 4 Pravděpodobnost roste s kvadratickou rychlostí. Pro distribuční funkci máme 0 x < 1 (x+1) F X (x) = 2 4 x < 1, 1 > 1 x 1 51

52 x + 1 x < 1, 0 > Příklad. f(x) = 1 x x < 0, 1 > 0 jinak Pro x < 1, 0 > F X (x) = x 1 Pro x < 0, 1 > F X (x) = 1 x 2 + [ t 2 (t + 1) dt = 2 + t 0 ] x 1 = x2 2 + x (1 t) dt = 1 [ ] x 2 + t t2 = x x Příklad. (Semicircular law) f(x) = { 1 2π 4 x 2 x < 2, 2 > 0 jinak 4 x2 dx = 1 2 (x 4 x arcsin x 2 ) + c. Pro x < 2, 2 > tedy máme: F X (x) = 1 4π x 4 x π arcsin x

53 4.18. Příklad. f(x) = 1 2 e x. Pro x < 0 Pro x 0 x F X (x) = 1 e t dt = ex 2 2. x F X (x) = e t dt = e x = e x. 0 53

54 4.19. Příklad. Střílíme na terč o poloměru r. Výhra je dána vzdáleností zásahu d od středu terče vzorcem X = 10(r d). Nalezněte hustotu veličiny X. Řešení: Pro 0 x 10r [ P [X x] = P [10r 10d x] = P d r x ] = 10 [ = 1 P d r x ] = 1 π(r x 10 )2 10 π r 2 = 1 (r x 10 )2 r 2. Hustota pro x (0, 10r >: f(x) = F X(x) = 2(r x 10 ) r 2 Hustota je nulová mimo interval < 0, 10r > = 1 ( 5r 2 r x )

55 Důležité je reprezentovat náhodnou veličinu číselnými charakteristikami. Jednou z nich je střední hodnota. Motivace: Ve škole je N žáků z toho n 1 má prospěch x 1 = 1 n 2 má prospěch x 2 = 2 n 3 má prospěch x 3 = 3 n 4 má prospěch x 3 = 4 n 5 má prospěch x 5 = 5 p i = ni N... relativní četnost. Průměrný prospěch = = n 1x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + n 4 x 4 + n 5 x 5 = N = n 1 N x 1 + n 2 N x 2 + n 3 N x 3 + n 4 N x 4 + n 5 N x 5 = = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4 + x 5 p 5. 55

56 4.20. Definice. Nechť X je diskrétní náhodná veličina, která nabývá hodnot x 1, x 2,... s pravděpodobnostmi P [X = x i ] = p i, p i = 1. Předpokládejme, že x i p i <. i Střední hodnota, EX, veličiny X je definovaná vztahem i EX = i x i p i Definice. Nechť X je náhodná veličina s hustotou f(x) taková, že x f(x) dx <. Střední hodnota, EX, veličiny X je definována vztahem: EX = x f(x) dx. 56

57 4.22. Příklad. Konstantní náhodná veličina P [X = c] = 1 EX = c 1 = c Příklad. Počet ok při hodu hrací kostkou EX = 1 ( ) = 3, Příklad. Alternativní rozdělení p p EX = 0 (1 p) + 1 p = p. V tomto případě splývá střední hodnota s pravděpodobností p. 57

58 4.25. Příklad. Házíme symetrickou mincí. X je počet hodů než padne první líc. P [X = n] = 1, n = 1, 2,... 2n EX = n=1 n 2 n. Při výpočtu si pomůžeme teorií mocninných řad. n=0 x n = 1, pro x < 1. 1 x Derivace člen po členu: n x n 1 = n=1 n=1 ( ) 1 = 1 x Pronásobením x n x n x = (1 x) 2 Dosazením x = 1 2 n EX = 2 n = 2 1 = 2. n=1 1 (1 x) 2. 58

59 Na každá náhodná veličina má definovánu střední hodnotu. Např. diskrétní veličina s pravděpodobnostní funkcí P [X = 2 n ] = 1 2 n, n = 1, 2... nemá střední hodnotu neboť 2 n 2 n = 1 =. n=1 n= Příklad. Hustota { x+1 f(x) = 2 x < 1, 1 > 0 jinak EX = 1 1 x x [ x 3 dx = 6 + x2 4 ] 1 1 =

60 4.27. Příklad. Semicircular law EX = 1 2π 2 2 x 1 x 2 dx = Věta. Jsou-li X 1 a X 2 náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ), pak (i) E(X 1 + X 2 ) = EX 1 + EX 2, (ii) E(αX 1 ) = αe(x 1 ), α R. (iii) E(X 1 ) 0 je-li X

61 Podrobnější popis rozložení hodnot kolem střední hodnoty poskytuje rozptyl Definice. Rozptyl (variance) náhodné veličiny X, pro kterou existuje EX a EX 2 je definován varx = E[(X EX) 2 ]. Značení: var(x), D(X), Směrodatná odchylka: var(x). E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2 X (EX) + (EX) 2 ] = = E(X 2 ) (EX) 2. Způsob výpočtu: EX 2 = i x 2 i p i... diskrétní veličina EX 2 = x 2 f(x) dx... spojitá veličina 61

62 4.30. Příklad. Alternativní rozdělení X p p X 2 : p p var(x) = EX 2 (EX) 2 = p p 2 = p(1 p). var(x) 1 4 Nejvyšší možná hodnota rozptylu je pro p = 1 2 a to

63 4.31. Definice. Nechť F X (x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Předpokládejme, že pro každé α (0, 1) existuje právě jedno β tak, že F (β) = α. α-kvantil náhodné veličiny X je číslo, pro které platí F X (x α ) = α. α = P [X x α ]. Je-li F X prostá, pak x α = F 1 X (α). se v tomto případě nazývá kvantilová funkce. F 1 X Významné kvantily: x 0,5... x 0,75... x 0,25... x 0,9... x 0,1... x 0,99... medián horní kvartil dolní kvartil horní decil dolní decil horní percentil Statistické tabulky: Průměrný čistý plat v ČR na osobu v domácnosti v roce 2003 byl 8175 KČ. Dolní decil x 0,1 =4524 KČ. 63

64 4.32. Příklad. X je spojité rozdělení s hustotou f(x) = x+1 2, x < 1, 1 > a nula jinak. Viz Příklad F (x) = 1 4 (x + 1)2, x < 1, 1 >. α (0, 1) F (x) = 1 4 (x + 1)2 = α x + 1 = 4α x α = 2 α 1 Např. medián x 0,5 = 2 1/

65 4.33. Příklad. Doba rozpadu radioaktivního atomu je náhodná veličina s hustotou { λ e λx x 0 f(x) = 0 x < 0, kde λ > 0. Určete poločas rozpadu. Řešení: Poločas rozpadu je medián. Pro distribuční funkci máme F (x) = x 0 λe λt dt = [ e λt ] x 0 = 1 e λx. 1 e λx = 0, 5 e λx = 0, 5 λx = ln 2 x = ln 2 λ Poločas rozpadu je medián x 0,5 = ln 2 λ. 65

66 4.34. Tvrzení. Platí-li pro náhodné veličiny X a Y vztah pak Y = ax + b, a, b R, a > 0, y α = ax α + b pro všechna α (0, 1). Důkaz: α = P [X x α ] = P [ax + b ax α + b] = P [Y ax α + b]. } {{ } y α 66

67 5 Důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení Alternativní rozdělení A(p), 0 < p < p p EX = p varx = p(1 p). Binomické rozdělení Bi(n, p), n N, 0 < p < n p 0 p 1 p 2... p n P [X = k] = p k = ( ) n p k (1 p) n k k = 0, 1,..., n. k 67

68 X = počet zdarů v sérii n pokusů Bernoulliova schématu. počet líců v sérii n hodů počet osob volící daný politický subjekt z n dotázaných počet osob sledujících daný TV pořad z n sledovaných počet částic v náhodně zvolené příhrádce z n příhrádek počet vadných sučástek z n náhodně vybraných součástek { 1 nastal-li zdar v i tém pokusu X i = 0 jinak X i má rozdělení A(p). X = X 1 + X X n. 68

69 5.1. Příklad. S.Pepys (1693), náruživý hráč v kostky. Co je pravděodobnější, že šesti kostkami hodíme alespoň jednu šestku (jev A), nebo že dvanácti kostkami hodíme alespoň dvě šestky (jev B)? Vyřešil Newton. počet šestek při hodu šesti kostkami... Bi(6, 1/6). (p = 1 6 ) P (A) = 6 k=1 ( ) 6 p k (1 p) n k = k ( ) 6 1 p 0 (1 p) 6 = 0, počet šestek při hodu dvanácti kostkami... Bi(12, 1/6). (p = 1 6 ) 12 P (B) = k=2 ( ( ) 12 p k (1 p) n k = 6 ( 12 ) p 0 (1 p) 12 1 ) p(1 p) 11 = 0,

70 Domácí cvičení: Pravděpodovbnost, že 18 kostkami hodíme alespoň 3 šestky je 0, Příklad. Náhodná procházka Částice se pohybuje po ose x. Začíná v bodě 0. V daném stádiu se rozhodne s pravděpodobností 1/2 jít doprava a s pravděpodobností 1/2 doleva. S n je poloha částice v čase n. Jaké je rozdělení S n? Bernoulliovo schéma, n pokusů; p = jdeme doprava, jdeme doleva. Je-li k jedniček a n k -jedniček, pak je poloha k (n k) = 2k n k = 0,... n. ( ) n P [S n = 2k n] = 2 n. k (Dá se ukázat, že částice s pravděpodobnosí jedna navštíví každý bod. Totéž pro dvě dimenze, ne však pro tři.) 70

71 5.3. Příklad. Maxwellovo-Boltzmanovo schéma Máme n částic a r příhrádek. Každá částice si vybírá nějakou příhrádku. Všechny možnosti mají stejnou šanci. Jaké je rozložení počtu částic v pevně zvolené příhrádce? Bernoulliovo schéma: vybraná částice si zvolí danou přihrádku, celkem n pokusů (máme n částic). Šance zdaru je 1 r. Náhodná veličina má rozdělení Bi(n, 1 r ). Konkrétní situace: 5.4. Příklad. Máme n = 500 osob a r = 365 příhrádek (narozeniny). Počet osob mající narozeniny dne (jako přednášející) se řídí Bi(500, ). Tabulka numerických hodnot: počet pravděpodobnost 0,2537 0,3484 0,2388 0,1089 0,0372 0,0101 0,

72 Pravděpodobnost, že tři osoby mají narozeniny je 0,1089. další modely: osoby obsazující vagóny, výsledky hodu kostkou padající do 6 možností,... 72

73 Charakteristiky Bi(n, k). X = X 1 + X X n X i... A(p), EX i = p. EX = EX 1 + EX EX n = np. E(X 2 ) = E(X 1 +X 2 + +X n ) 2 = EX 2 1+EX 2 2 +EX 2 n+ + 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 X 3 ) +. Je-li i j máme pro X i X j rozdělení p 2 p 2 Tedy E(X i X j ) = p 2, což znamená, že ( ) n EX 2 = np + 2 p 2. 2 Konečně, ( ) n var(x) = EX 2 (EX) 2 = np+2 p 2 n 2 p 2 = 2 n(n 1) np+2 p 2 n 2 p 2 = np np 2 = np(1 p). 2 73

74 Má-li X rozdělení Bi(n, p), pak EX = np varx = np(1 p) Průměrný počet šestek při sérii n hodů hrací kostkou je n 6. Průměrný počet částic v jedné přihrádce u 500 částic náhodně rozptýlených v 365 příhrádkách je = 1,

75 Co se děje s binomickým rozdělením, jestliže se nemění střední hodnota, ale počet pokusů jde do nekonečna? 5.5. Věta. Poissonova věta Předpokládejme, že (X n ) n=1 je posloupnost náhodných veličin majících rozdělení Bi(n, λ ), kde n λ > 0. (Tj. EX n = λ pro všechna n.) Pak Důkaz: lim P [X n = k] = λk n k! e λ. p n = λ n. P [X n = k] = = 1 k! lim n ( ) n p k k n(1 p n ) n k = np n (n 1)p n (n k + 1)p n (1 p n ) k np n 1 p n = lim n λ 1 λ n = λ. (n 1)p n λ λ n lim = lim n 1 p n n 1 λ n = λ. ( 1 λ n) n. 75

76 Tedy ( lim P [X n = k] = λk lim 1 λ ) n = λk n k! n n k! e λ. Aproximujeme pro n velké a p n malé P [X = k] λk k! e λ Příklad. Stroj produkuje 1% zmetků. Jaká je pravděpodobnost, že z 200 náhodně vybraných výrobků neni žádný zmetek? X Bi(200, ) P [X = 0] = 0, = 0, Aproximace pomocí Poissonovy věty: λ = = 2 P [X = 0]. = e 2 = 0,

77 n částic se náhodně rozděluje do r příhrádek, přičemž n, r při konstantním poměru λ = n r. Počet částic v pevně zvolené příhrádce se asymtoticky řídí Poissonovým zákonem s parametrem λ Příklad. X Bi(500, 365)... viz Příklad 5.4. počet binomický zákon 0,2537 0,3484 0,2388 0,1089 0,0372 0,0101 0,0023 Poissonův zákon 0,2541 0,3481 0,2385 0,1089 0,0372 0,0102 0,

78 Poissonovo rozdělení Náhodná veličina X, která nabývá hodnot 0, 1,... s pravděpodobnostmi P [X n = n] = λn n! e λ, n = 0, 1,... P o(λ) P [X = 0] = e λ P [X > 0] = 1 e λ Příklad. Lahve se vyrábějí ze skloviny obsahující kazy, keré jsou rozděly nepravidelně tak, že v každém metrickém centu skloviny je průměrně x kazů. Láhev váží 1 kg a je vadná obsahuje-li jeden či více kazů. Stanovte procento vadných lahví. Řešení Z M metrických centů se vyrobí 100M lahví, které budou obsahovat přibližně xm kazů. Pro počet kazů v jedné lahvi tedy máme rozdělení Bi(xM, 1 100M ). EX = λ = xm 1 100M = x

79 Pro M máme rozdělení ( ) x P o 100 Pravděpodobnost, že láhev bude bez kazu je 1 e x 100. Je-li například x = 30, pak procento vadných lahví bude 1 e 0,3 = 0, Při velkém počtu kazů je výhodnější vyrábět menší lahve. Je-li např. váha lahve 0, 25kg je procento zmetků 7, 22%. 79

80 Charakteristiky P (λ): EX = n=0 ( n λn ) λ n 1 n! e λ = λ e λ = (n 1)! n=1 = λe λ e λ = λ. EX 2 = Tedy n=0 = e λ n=2 n 2 λn n! e λ = n=2 λ n (n 2)! +λ = e λ λ 2 n(n 1) λn n! e λ + n=2 = e λ λ 2 e λ + λ = λ 2 + λ. =λ { }} { n=0 n λn n! e λ = λ n 2 (n 2)! +λ = var(x) = EX 2 (EX) 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ. E(X) = λ var(x) = λ 80

81 Příklady Poissonova rozdělení: (homogenní chaos v prostoru nebo čase) počet volání na telofonní ústřednu za jednotku času počet atomů radioaktivní látky rozpadlých za jednotku času počet hvězd v daném objemu galaxie počet létavic meteorického roje za jednotku času počet střel zasahující danou oblast počet defektů kola (bad luck) za jednotku času počet zákazníků za jednotku času 81

82 Geometrické rozdělení Ge(p), 0 < p < 1. X je počet zdarů v Bernoulliově schématu před prvním nezdarem. P [X = 0] = 1 p. P [X = 1] = (1 p)p. P [X = 2] = (1 p)p P [X = k] = (1 p)p k k = 0, 1,

83 5.9. Příklad. Dva hráči se střídají a házejí hrací kostkou. Vyhrává ten komu padne šestka. Jaká je pravděpodobnost výhry u jednotlivých hráčů? X... geometrické rozdělení s p = 5 6. A... vyhrává hráč, který začíná P (A) = P [X = sudé] = (1 p)p 2k = (1 p) p 2k = k=0 1 = (1 p) 1 p = p = = = 6 11 = 0, k=0 83

84 Střední hodnota geometrického rozdělení: EX = n (1 p) p n = (1 p) n p n = n=0 n=0 n=0 = (1 p) p d ( ) p n = (1 p)p d ( ) 1 = dp dp 1 p 1 = (1 p)p (1 p) = p 2 1 p Příklad. Žák umí 90% látky. Kolik přežije průměrně otázek? Ge(p), p = 0, 9 EX = 0, 9 1 0, 9 = 9. 84

85 Rozptyl d 2 dp 2 p n = n=0 n(n 1)p n 2. n=0 E(X 2 ) EX = = (1 p)p 2 d2 dp 2 n(n 1)(1 p)p n = n=0 n=0 ( ) 1 p n = (1 p)p 2 = 1 p = (1 p)p 2 2 (1 p) 3 = 2p2 (1 p) 2. E(X 2 ) (EX) 2 = 2p2 (1 p) + p 2 1 p p2 (1 p) = 2 p 2 (1 p) + p 2 1 p = p2 + p(1 p) = (1 p) 2 = p (1 p) 2. 85

86 EX = varx = p 1 p p (1 p). 2 Rovnoměrné rozdělení na < a, b > R < a, b >. Hustota: f(x) = Distribuční funkce: { 1 b a x < a, b > 0 jinak x a x < a, b > b a F (x) = 0 x < a 1 x > b 86

87 b EX = a x 1 b a dx = 1 b a [ x 2 2 ] b a = = b2 a 2 2(b a) = a + b. 2 EX 2 = 1 b x 2 dx = 1 b 3 a 3 b a b a 3 a = = a2 + ab + b 2 3. var(x) = E(X 2 ) (EX) 2 = a2 + ab + b 2 = a2 2ab + b = 1 12 (b a)2. a2 + 2ab + b 2 4 = EX = a + b 2 varx = 1 12 (b a)2. 87

88 Normální rozdělení (Gaussovo rozdělení) N(µ, σ 2 ). µ R, σ 2 > 0. hustota: f(x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Vychází z Laplaceova integrálu: e x2 dx = π. standardní, normované normální rozdělení: N(0, 1). značení: Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt počítá se numericky, tabelována. 88

89 Souvislost mezi normálními rozděleními různých parametrů. Má-li Y rozdělení N(0, 1) = X = µ+σ Y má rozdělení N(µ, σ 2 ). Odvození: F X (x) = P [X x] = P [µ + σ Y x] = [ = P Y x µ ] ( ) x µ = Φ σ σ d dx F X(x) = 1 e ( x µ σ ) π σ = = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2. Má-li X rozdělení N(µ, σ), pak Y = X µ σ rozdělení N(0, 1). má 89

90 5.11. Příklad. S jakou pravěpodobností má veličina X s rozdělením N(1, 4) hodnotu v intervalu < 3, 5 >? ( ) ( ) P [3 X 5] = Φ Φ = 2 2 = Φ(2) Φ(1) = 0, , = 0, Tvrzení. Vzhledem k tomu, že hustota standardního normálního rozdělení je sudá funkce, platí Φ(x) = 1 Φ( x) x R. 90

91 5.13. Příklad. Spočtěte pravděpodobnost, že veličina X s rozdělením N(0, σ 2 ) má hodnotu v intervalu < a, a >, kde a > 0. Řešení: P [ a X a] = P [ a σ X σ a σ ] = ( ) ( a = Φ Φ a ) ( ) ( ( )) a a = Φ 1 Φ = σ σ σ σ ( ) a 2Φ 1. σ Střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení: Pro Y s rozdělením N(0, 1) platí EY = 1 2π xe x2 2 dx = 0. 91

92 1 = 1 2π e x2 2 dx. Použijeme metodu per partes pro u = 1 u = x a dostaneme v = e x2 2 v = xe x2 2 1 = 1 [ ] xe x2 2 2π Odtud plyne, že } {{ } =0 var(y ) = E(Y 2 ) = π x 2 e x2 2 dx. Obecně: X má rozdělení N(µ, σ 2 ) a proto X = σy + µ, EX = σey + µ = µ. 92

93 X 2 = σ 2 Y 2 + 2µσY + µ 2 EX 2 = σ µ 2. varx = E(X 2 ) (EX) 2 = σ 2 + µ 2 µ 2 = σ 2. Závěr: EX = µ var(x) = σ 2. 93

94 kvantilová funkce a kvantily u α... α-kvantil N(0, 1). kvantilová funke je inverzní funkce Φ 1. Některé numerické hodnoty: u 0,5 = 0, u 0,95 = 1, 644, u 0,975 = 1, u 0,999 = 3, Pro α 1 jde u α Tvrzení. (i) u 1 α = u α pro všechna α (0, 1). (ii) Pro α-kvantil x α rozdělení N(µ, σ 2 ) platí x α = µ + σ u α. 94

95 5.15. Příklad. Určete interval < a, a > tak, aby náhodná veličina Y s rozdělením N(0, 1) měla v tomto intervalu hodnotu s pravděpodobností 0,95. a = u 0,975. = 1, 96. Pravidlo 3σ Máme rozdělení X typu N(µ, σ 2 ). Určeme Řešení: P [ X µ 3σ]. [ X µ P σ ] 3 = Φ(3) Φ( 3) = = 2Φ(3) 1 = 2 0, = 0, Po třech σ zbývají asi tři promile případů. 95

96 5.16. Příklad. Pro oděvní továrnu je neziskové vyrábět šaty pro velmi malé a velmi velké muže. Záměr je nevyrábět pro 7,5% největších a 7,5% nejmenších mužů. Ví se, že výška mužů (v palcích) má rozdělení N(69, 2, 8 2 ). Nalezněte největší a nejmenší výšku pro kterou vyrábět. Řešení u 0,925 = 1, x 0,925 = , 8 1, = 73, x 0,075 = 69 2, 8 1, = 64,

97 5.17. Příklad. Výsledky přijímacích zkoušek se řídí normálním rozdělením s rozptylem 100. Je přijato 30% uchazečů. Hranice pro přijetí je 85 bodů. Jaký je průměrný výsledek u zkoušky? Řešení: N(µ, σ 2 ) x 0,7 = µ + 10 u 0.7 µ = u 0,7 = , = 79, Příklad. Máme rozdělení N(µ, 0, 5). Jak zvolit střední hodnotu, aby Řešení: P [X 2] = 0, 01. [ X µ P 2 µ ]= 0, 01 0, 5 0, 5 2 µ 0, 5 = u 0,99 µ = 2 0, 5 u 0,99. = 0,

98 Exponenciální rozdělení hustota: Exp(λ) λ > 0 f(x) = distribuční funkce: x 0 F (x) = funkce přežití: { λ e λx x 0 0 x < 0. x 0 λ e λx dx = 1 e λ x. P [X x] = e λ x Exponenciální rozdělení popisuje čas do první poruchy u systému bez paměti 98

99 Odvození: Hledáme funkci přežití R(t) = P [X t] tak, aby byly splněny následující předpoklady: (i) R(0) = 1 (ii) P [X t + h X t] = P [X h] pro všechna x, h 0. (iii) R je diferencovatelná klesající funkce Z toho plyne: P [X t + h] = P [X t] P [X h]. R(t + h) = R(t)R(h) R(t + h) R(t) h = R(t)R(h) R(t) = h = R(t) R(h) 1 h 99

100 Limitním přechodem h 0+ dostaneme R (t) = R(t) R (0) R(0) = 1 Diferenciální rovnice s počáteční podmínkou. Označme R (0) = λ (λ > 0). Řešení (jediné): R(t) = e λt. R(t) tedy vede na exponenciální rozdělení. 100

101 Střední hodnotu a rozptyl získáme integrací (per partes) E(X) = 1 λ var(x) = 1 λ 2 λ... intenzita poruch Příklady exponenciálního rozdělení: doba rozpadu atomu doba do registrace zákazníka doba do příletu létavice v meteorickém roji 101

102 5.19. Příklad. Na přílet meteoritu se průměrně čaká deset minut. Jaká je pravděpodobnost, že budeme na padající hvězdu čekat dvě minuty? Řešení: 1 = 10 λ = 0, 1 λ F (2) = 1 e 2 0,1 = 1 e 0,2. = 0,

103 6 Transformace náhodných veličin Nutnost přepočítat distrubuční funkci. Například máme měření rychlosti a chceme ho přepočítat na energii. Obecná úloha: X je náhodná veličina, h : R R Y = h(x) Diskrétní náhodná veličina se vždy zobrazí na diskrétní 6.1. Příklad. Diskrétní rozdělení X s pravděpodobnostní funkcí ,3 0,2 0,5 Y = X ,3 0,2 0,5 Y ,2 0,8 103

104 Obecně stanovíme transformaci pomocí distribuční funkce: Y = h(x) F Y (y) = P [h(x) y] 6.2. Příklad. Rychlost molekul plynu má rozdělení N(0, 1). Molekula má hmotnost m. Nalezněte distribuční funkci a hustotu energie částice. X N(0, 1) Y = 1 2 mx2 Nerovnice 1 2 mx2 y má řešení pouze pro y 0. y 0 F Y (y) = P [ mx2 y] = P [X < m y, m y >] = ( ) ( ) ( ) = Φ m y Φ m y = 2 Φ m y

105 Hustota je pro y > 0 derivací distribuční funkce: g(y) = 2 1 e m 2 y 2 2 2π m 1 2 y = 1 e y m mπy Pro y 0 je g(y) = 0. Důležitý je případ lineární transformace. a > 0 a < 0 Y = ax + b, a 0 [ F Y (y) = P [ax + b y] = P X y b ] ( ) y b = F X. a a [ F Y (y) = P [ax + b y] = P X y b ] a ( ) y b = 1 F X a. 105

106 Užitečné je aplikovat toto pravidlo na spojité rozdělení 6.3. Tvrzení. Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f(x), pak náhodná veličina Y = ax + b, a 0 je spojitá a má hustotu g(y) = 1 ( ) y b a f. a Důkaz: a > 0 ( ) y b F Y (y) = F a Derivací podle y: a < 0 g(y) = 1 ( ) y b a f. a ( ) y b F Y (y) = 1 F a 106

107 Derivací podle y: g(y) = 1 ( ) y b a f. a 6.4. Příklad. X má rovnoměrné rozdělení na intervalu < 0, 3 >. Určete hustotu Y = 2X + 1 g(y) = 1 2 f ( y 1 2 y 1 2 g(y) = ). < 0, 3 > y < 1, 7 >. { 1/6 y < 1, 7 > 0 jinak Y má rovnoměrné rozdělení na intervalu < 1, 7 >. 107

108 6.5. Příklad. Y = X, kde X má rozdělení N(0, 1). g(y) = 1 2π e ( y)2 2 = 1 2π e y2 2 Y má také rozdělení N(0, 1) Příklad. X má rozdělení Exp(1). Určete rozdělení X. g(y) = f( y) { e y y 0 g(y) = 0 y >

109 Nelineární transformace náhodné veličiny Předpoklady: X má hustotu f(x) soustředěnou na intervalu I a h je rostoucí diferencovatelná funkce definovaná na I, jejíž obor hodnot je interval J. Y = h(x) Pro y / J bude hustota nulová. Pro y J F Y (y) = h 1 (y) f(x) dx Substituce: t = h(x), x = h 1 (t), dt = h (x) dx. F Y (y) = y f(h 1 (t)) dt h (h 1 (t)) Podobně lze postupovat v případě, kdy h je klesající, nebo je možno použít ( h). 109

110 Závěr: g(y) = f(h 1 (y)) h (h 1 (y)). pro y J a nula jinak Příklad. Logaritmicko-normální rozdělení Y = e X, kde X má rozdělení N(µ, σ 2 ). h(x) = e x, h 1 (x) = ln x, J = h(r) = (0, ). g(y) = pro y > 0; a nula jinak. f(ln y) = 1 (ln y µ)2 1 e e ln y 2σ 2 2πσ y, 110

111 K výpočtu střední hodnoty transformované veličiny nepotřebujeme znát rozdělení transformace: 6.8. Věta. Předpokládejme, že X je náhodná veličina a Y = h(x). Pak (i) E(Y ) = i I h(x i )p i, je-li X diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí (x i, p i ) i I. (ii) E(Y ) = f(x)h(x) dx Důkaz: je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f(x). (i) h(y ) má (včetně násobnosti) pravděpodobnostní funkci (h(x i ), p i ) i I, a proto E(Y ) = i I h(x i )p i. (ii) je spojitou verzí. 111

112 6.9. Příklad. Určete střední hodnotu třetí mocniny rozdělení Exp(1). E(Y ) = x 3 e x dx =

113 7 Náhodné vektory Značení: x = (x 1, x 2,... x n ) C n 7.1. Definice. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor. Zobrazení X : Ω R n X(ω) = (X 1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω)), kde X 1,..., X n jsou náhodné veličiny na Ω, se nazývá náhodný vektor. Veličiny X 1,..., X n se nazývají marginální rozdělení vektoru X. Nestačí znát marginální distribuční funkce, ale distribuční funkci sdruženou. Značení: [X x] = [X 1 x 1 X 2 x 2 X n x n ] Definice. Je-li X : Ω R n náhodný vektor, pak distribuční funkci F X : R n R definujeme jako F X (x) = P [X x]. 113

114 7.3. Příklad. X má distribuční funkci F. Určete distribuční funkci náhodného vektoru X = (X, X) F X (x, y) = P [X x X y] = = P [X min(x, y)] = F (min(x, y)) Pomocí distribuční funkce spočítáme všechny relevantní pravděpodobnosti: např. X = (X, Y ) P [(a < X b) (c < Y d)] = = F X (b, d) F X (a, d) F X (b, c)+f X (a, c). 114

115 Základní vlastnosti vícerozměrné distribuční funkce: 7.4. Věta. Je-li F (x 1,..., x n ) sdružená distribuční funkce náhodných veličin X 1,..., X n, pak (i) lim x1,x 2,...,x n F (x 1,..., x n ) = 1 (ii) lim F (x 1,..., x n ) = 0 x 1,x 2,...,x n (iii) F je zprava spojitá a neklesající v každé proměnné. Tyto vlastnosti nestačí k tomu, aby F byla distribuční funkcí. Musí splňovat složitejší podmínku pro hodnoty ve vrcholech vícerozměrných intervalů. Jak spočítat marginální rozdělení vektoru X = (X 1,..., X n )? F X1 (x) = lim F X(x, x 2, x 3,..., x n ). x 2,x 3,...,x n 115

116 7.5. Příklad. X má rovnoměrné rozdělení na jednotkovém kruhu se středem v počátku. Nalezněte marginální rozdělení. X = (X, Y ) Pro 1 < x < 1. F X (x) = 2 π x 1 1 t2 dt = 2 [ 1 π 2 t 1 t ] x 2 arcsin t = 1 = x 1 x 2 π + arcsin x π Definice. Náhodný vektor se nazývá diskrétní, jestliže všechny jeho složky mají diskrétní rozdělení. Diskrétní vektor je dán pravděpodobnostní funkcí: (x 1, p 1 ); (x 2, p 2 ); (x 3, p 3 ),... n p i > 0, p i = 1. i=1 116

117 7.7. Příklad. Pravděpodobnost soustředěná ve vrcholech čtverce: P [X = (0, 0)] = 1/8, P [X = (0, 1)] = 1/4, P [X = (1, 0)] = 1/8, P [X = (1, 1)] = 1/2 tabulka: Y/X /8 1/4 1 1/8 1/2 Diskrétní rozdělení pro X P [X = 0] = 1/8 + 1/4 = 3/8 P [X = 1] = 1/8 + 1/2 = 5/8 X A(5/8). Podobně Y A(3/4). 117

118 Distribuční funkce diskrétního vektoru je po částech konstantní. Má-li X diskrétní rozdělení je P [X A] = p i. {i x i A} Marginální rozdělení diskrétního rozdělení má pravděpodobnostní funkci P [X 1 = a] = {i x i A} kde A = {x i (x i ) 1 = a}. p i, 118

119 7.8. Definice. Nechť f(x 1,..., x n ) 0 je funkce definovaná na R n s R n f(x) dx = 1. Náhodný vektor X = (X 1,..., X n ) má spojité rozdělení s hustotou f, jestliže F X (x 1,..., x n ) = x 1 x 2 x n f(t 1,..., t n )dt 1 dt n. f(x 1,..., x n ) = n F X (x 1,..., x n ) x 1 x 2 x n v bodech spojitosti funkce f P [X A] = f(x) dx. A Například: X = (X, Y ) P [X (a, b > Y (c, d >] = b d f(x, y) dxdy. a c 119

120 7.9. Příklad. Rovnoměrné rozdělení na jednotkové kouli se středem v počátku má hustotu { 1 pro x 2 + y 2 + z 2 1 4/3π f(x, y, z) = 0 jinak Příklad. Dvourozměrná distribuční funkce { (1 e x )(1 e y ) je-li x, y > 0 F (x, y) = 0 jinak Pro x, y > 0 f(x, y) = 2 x y (1 e x )(1 e y ) = = e x e y. (Jinak je f(x, y) nulová.) Je správně neboť f(x, y) = e x e y =

121 Marginální rozdělení: X = (X 1,..., X n ) má hustotu f(x 1,..., x n ). Pak X 1 má distribuční funkci: F X1 (x) = x f(t 1,..., t n ) dt 1 dt n = = x ( } {{ } (n 1) f(t 1,..., t n ) dt 2 dt n )dt 1 } {{ } (n 1) Hustota tedy bude f X1 (x) = f(x, t 2, t n ) dt 2 dt n. } {{ } (n 1) 121

122 7.11. Příklad. Dvourozměrné Gaussovo rozdělení hustota: f(x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. X, Y N(0, 1) F X (x, y) = Φ(x)Φ(y). Např. P [X 3 Y 5] = Φ(3)Φ(5) = 0, Jaká je pravděpodobnost, že (X, Y ) A, kde A je mezikruží A = {(x, y) 4 x 2 + y 2 9}? P = 1 2π A Substituce: x = ϱ sin ϕ, y = ϱ cos ϕ, Jakobián: dxdy = ϱ dϱ dϕ. e x2 +y 2 2 dxdy 122

123 P = 1 2π 2π e ϱ2 /2 ϱ dϱ dϕ = = 1 2π 2π[ e ϱ2 /2 ] 3 2 = e 2 e 9/2 = 0, Nezávislost náhodných veličin Definice. Náhodné veličiny X 1,..., X n na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) jsou nezávislé, jestliže sdružená distribuční funkce vektoru X = (X 1,..., X n ) je součinem marginálních distribučních funkcí. 123

124 7.13. Tvrzení. Náhodné veličiny X 1,..., X n jsou nezávislé právě tehdy když P [(X 1 I 1 ) (X 2 I 2 ) (X n I n )] = = P [X 1 I 1 ] P [X 2 I 2 ] P [X n I n ] pro všechny možné výběry intervalů I 1,..., I n R. Zdůvodnění pro X = (X, Y ), kde X, Y jsou nezávislé : P [X (a, b > Y (c, d >] = = F X (b, d) F X (a, d) F X (b, c)+f X (a, c) = = F X (b)f y (d) F X (a)f Y (d) F X (b)f Y (c)+f X (a)f Y (c) = = (F X (b) F X (a))(f Y (d) F Y (c)) Příklad. X = (X, Y ) je rovnoměrné rozdělení na čtverci < 0, 1 > < 0, 1 >. Pak X a Y jsou nezávislé: 0 x, y 1 F X (x, y) = xy = F X (x) F Y (y) 124

125 7.15. Tvrzení. Diskrétní náhodné veličiny X 1,..., X n jsou nezávislé právě tehdy když všechny jevy [X 1 = x 1 ], [X 2 = x 2 ],..., [X n = x n ], kde x 1,..., x n R, jsou nezávislé Příklad. Pravděpodobnost soustředěná ve vrcholech čtverce: P [X = (0, 0)] = 1/8, P [X = (0, 1)] = 1/4, P [X = (1, 0)] = 1/8, P [X = (1, 1)] = 1/2 tabulka: Y/X /8 1/4 1 1/8 1/2 X a Y nejsou nezávislé, protože P [X = 0 Y = 0] = 1/8 P [X = 0]P [Y = 0] = 3/8 1/4. 125

126 X = (X 1,..., X n ) náhodné veličiny v Bernoulliově schématu. Tyto veličiny jsou nezávislé. Binomické rozdělení Bi(n, p) je součtem n nezávislých alternativních rozdělení A(p). 126

127 7.17. Tvrzení. Spojité vícerozměrné rozdělení je rozdělení nezávislých veličin právě tehdy když sdružená hustota je součinem hustot marginálních. Důvod: hustota je derivací distribuční funkce Příklad. Je-li (X, Y ) rovnoměrné rozdělení na jednotkovém kruhu, pak X a Y nejsou nezávislé, protože součin marginálních hustot je nenulový v každém bodě čtverce < 0, 1 > < 0, 1 > Příklad. X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s rozděleními N(0, σ 2 1), N(0, σ 2 2). Jaká je hustota součinu? f(x, y) = Gaussovská plocha. 1 e 2πσ 1 σ 2 x 2 2σ 1 2 y2 2σ

128 charakteristiky nezávislých veličin: Věta. Jsou-li X 1,..., X n nezávislé náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ), pak E(X 1 X 2 X n ) = E(X 1 )E(X 2 ) E(X n ). Důkaz: pro diskrétní rozdělení X má pravděpodobnostní funkci (x i, p i ) i I Y má pravděpodobnostní funkci (y j, p j ) j J E(XY ) = = i I,j J i I i I,j J x i y j P [X = x i Y = y j ] = x i y j P [X = x i ]P [Y = y j ] = ( ) ( ) = x i P [Y = x i ] y j P [Y = y j ] = j J = E(X)E(Y ) 128

129 7.21. Věta. Jsou-li X 1,..., X n nezávislé náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ), pak var(x 1 + X X n ) = var(x 1 ) + var(x 2 ) + + var(x n ). Důkaz pro n = 2 Víme, že E(X 1 X 2 ) = E(X 1 )E(X 2 ). var(x 1 +X 2 ) = E[(X 1 +X 2 ) 2 ] (E(X 1 )+E(X 2 )) 2 = = E(X 2 1) + E(X 2 2) + 2E(X 1 X 2 ) (E(X 1 )) 2 (E(X 2 )) 2 2E(X 1 )E(X 2 ) = E(X 1 ) 2 (E(X 1 )) 2 +E(X 2 ) 2 (E(X 2 )) 2 = = var(x 1 ) + var(x 2 ). 129

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.

5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}. 5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Jan Hamhalter. 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a střední hodnotu. j.

Jan Hamhalter. 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a střední hodnotu. j. M6C Některé příklady z přednášky a cvičení 24. února 2006 Jan Hamhalter 1 Náhodné veličiny 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme

Více

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST

2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST 2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

pravděpodobnosti a Bayesova věta

pravděpodobnosti a Bayesova věta NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

13. cvičení z PSI ledna 2017

13. cvičení z PSI ledna 2017 cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Jan Hamhalter. 1 Kombinatorická pravděpodobnost

Jan Hamhalter. 1 Kombinatorická pravděpodobnost M4B Příklady z přednášky a cvičení 11. ledna 2007 Jan Hamhalter 1 Kombinatorická pravděpodobnost 1. Házíme šesti kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou a) různá čísla b) pouze lichá čísla? Výsledek:

Více

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy

Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,

Značení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více