V. Riemannův(dvojný) integrál
|
|
- Denis Kovář
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál Dvojnýintegrálnaměřitenýchmnožinách Geometrické aplikace dvojného integrálu 7 6 Substituce ve dvojném integrálu 7
2 1 Základní pojmy a definice Dvojný integrál zavedeme nejdříve pro funkci dvou proměnných na obdélníku. Formální postup bude stejný jako u funkce jedné proměnné na intervalu. Geometrickou motivací zavedení dvojného integrálujeúlohaurčitobjemtělesaspodstavou vrovině(xy)ahornístěnoutvořenoučástígrafu nezáporné omezené funkce f(na množině ). Integračním oborem jednorozměrného integrálu byl vždy interval. U dvourozměrného integrálu mohou být integrační obory rozmanitější, např. obdélník, čtverec, lichoběžník, kruh, kruhová výseč atd. (Analogický postup, kterým zavedeme dvojný integrál, lze uplatnit také na případ obecného n- rozměrného integrálu, kde n N.) Uvažujmeuzavřenýobdélník R 2,kde jekartézskýmsoučinemuzavřenýchintervalů[a,b] naose xa[c,d]naose y,tj. =[a,b] [c,d]. Definice1.1 Nechťposloupnostbodů D x = {a=x o < x 1 < x 2 <... < x m = b}jedělenímintervalu [a,b]ad y = {c=y o < y 1 < y 2 <... < y n = d}jedělenímintervalu[c,d].uspořádanoudvojici D=(D x,d y )nazývámedělenímobdélníku.obdélník ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ],kde i=1,2,... m a j=1,2,... n,senazýváčástečnýinterval(obdélník)dělení D.Je-li ν(d x )normadělení D x a ν(d y ) normadělení D y,pakmaximumztěchtodvoučíseloznačímejako ν(d)anazvemehonormoudělení D,tj. ν(d)=max{ν(d x ),ν(d y )}. Uvažujmenynídělení Dobdélníku na m nobdélníků ij, i=1,2,... m, j=1,2,... n. Označme µ( ij )obsah(míru)obdélníku ij,tj. µ( ij )= x i y j =(x i x i 1 ) (y j y j 1 ). Definice1.2 Nechť fjefunkcedvouproměnnýchdefinovanáaomezenánaobdélníku =[a,b] [c,d] anechť D=(D x,d y )jedělení.provšechna i=1,2,... maj=1,2,... noznačme m ij =inf{f(x,y);(x,y) ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ]}a M ij =sup{f(x,y);(x,y) ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ]}. (Tzn.číslo m ij (resp. M ij )jeinfimum(resp.supremum)funkce fnaobdélníku ij =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ].)Potomčíslo m n s(f,d)= m ij µ( ij ) i=1 j=1 2
3 nazývámedolnísoučetfunkce fnaobdélníku přidělení Dačíslo m n S(f,D)= M ij µ( ij ) i=1 j=1 hornísoučetfunkce fnaobdélníku přidělení D. Poznámka: Předpoklad omezenosti funkce f na zaručuje existenci infima a suprema funkce na obdélnících ij,tj.zaručujeexistencičísel m ij a M ij provšechna i=1,2,... m, j=1,2,... n. Poznámka:Vpřípadě,žefunkce fjenezápornánaobdélníku M,majíčísla s(f,d)as(f,d)následující význam(viz obrázek): Číslo m ij µ( ij )jeobjemkvádruvepsanéhoplošenaobdélníku ij a s(f,d)součetobjemů kvádrů vepsaných ploše na všech jednotlivých dělících obdélnících. Číslo M ij µ( ij )jeobjemkvádruopsanéhoplošenaobdélníku ij a S(f,D)součetobjemů kvádrů opsaných ploše na všech jednotlivých dělících obdélnících. Věta1.1 Platí m µ() s(f,d 1 ) S(f,D 2 ) M µ() kde m=inf{f(x,y);(x,y) }, M =sup{f(x,y);(x,y) }ad 1 a D 2 jsoulibovolnádělení obdélníku. Na daném obdélníku můžeme zvolit nekonečně mnoho různých dělení; množinu všech dělení obdélníka označme D().Prokaždédělení D D()můžemeurčithorníadolnísoučet s(f,d)a S(f,D),tzn.žedostanememnožinu {s(f,d); D D()}všechdolníchsoučtůamnožinu {S(f,D); D D()} všech horních součtů funkce f na obdélníku. Podle předchozí věty jsou obě tyto číselné množiny omezené a to nás opravňuje k vyslovení definice: Definice 1.3 Nechť funkce f je definovaná a omezená na obdélníku. Označme f(x,y)dxdy=sup{s(f,d); D D()} a f(x,y)dxdy=inf{s(f,d); D D()}. Číslo f(x,y)dxdy senazývádolníriemannůvintegrálfunkce f na ačíslo f(x,y)dxdy horní Riemannův integrál funkce f na. Jestliže se obě tato čísla rovnají, nazýváme jejich společnou hodnotudvojnýriemannůvintegrálfunkce fna aznačímeji f(x,y)dxdy. 3
4 Poznámka: Z předpokladu omezenosti a z předchozí věty plyne, že horní a dolní součet, horní a dolní integrál i dvojný integrál jsou konečná reálná čísla. Poznámka:Někdysedvojnýintegrálznačípouzejako f(x,y)dxdy.žesejednáodvojnýintegrál (a nikoli o jednorozměrný integrál) pak poznáme podle toho, jak vypadá množina a podle symbolů dxdyvintegrálu. 2 Podmínky existence dvojného integrálu Označme jako R() množinu všech funkcí definovaných na obdélníku, pro něž existuje dvojný Riemannův integrál na, tj. zápis f R() znamená, že existuje dvojný Riemannův integrál funkce fna.vtompřípadětakéříkáme,žefunkce fjeriemannovskyintegrovatelnánaobdélníku. Věta2.1 Nechťjefunkce fspojitánaobdélníku R 2.Potom f R(). Věta2.2 Nechťjefunkce fomezenáaskorovšudespojitánaobdélníku R 2.Potom f R(). Poznámka: Funkce se nazývá skoro všude spojitá na, jestliže má nejvýše konečný počet bodů nespojitosti nebo jestliže všechny body nespojitosti leží na nejvýše konečném počtu grafů spojitých funkcí. 3 Vlastnosti dvojného integrálu Dvojný Riemannův integrál má obdobné vlastnosti jako jednorozměrný R-integrál. Věta3.1 Nechť f R(), g R(), c R.Potom f+ g R()aplatí(linearita) [f(x,y)+g(x,y)]dxdy= f(x,y)dxdy+ g(x,y)dxdy c f R()aplatí f g R() c f(x,y)dxdy= c f(x,y)dxdy jestliže f(x,y) g(x,y)provšechna(x,y),platí(monotonie) f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy f R()aplatí f(x,y)dxdy f(x,y) dxdy jestližeexistujíkonstanty A,B Rtakové,žeprovšechna(x,y) platí A f(x,y) B,pak A µ() f(x,y)dxdy B µ() jestliže = 1 2,kde 1 a 2 jsoudvaobdélníkysvlastností 1 2 =,pak f R( 1 ), f R( 2 )aplatí(aditivitavzhledemkintegračnímuoboru) f(x,y)dxdy= f(x,y)dxdy+ f(x,y)dxdy 1 2 4
5 Poznámka:Prvnídvěvlastnostilzerozšířitnakonečnýpočetfunkcí:Jestliže f s R()ac s Rpro všechna s=1,2,... S, S N,pak c 1 f 1 + c 2 f 2 + +c S f S R()aplatí (c 1 f 1 + c 2 f 2 + +c S f S )dxdy= c 1 f 1 dxdy+ c 2 f 2 dxdy+ + c S f S dxdy Poznámka:Uvažujeme-likonstantnífunkci f(x,y)=c Rna,potom cdxdy= c dxdy= c µ() Tedyspeciálněpro f(x,y)=1dostaneme 1dxdy= Platí také, že dxdy= µ()...obsah 0dxdy=0 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál Dvojný, stejně jako jednorozměrný integrál, nelze prakticky počítat podle definice. Proto se výpočet dvojného integrálu převádí na výpočet dvou jednorozměrných integrálů, na tzv. dvojnásobný integrál. Přitom musíme zohlednit různé typy množin, pro něž daný integrál počítáme. Návod, jak tento převod uskutečnit, nám dává tzv. Fubiniova věta. Věta4.1(Fubiniovaproobdélník) Nechťfunkce fjespojitánauzavřenémobdélníku =[a,b] [c, d]. Potom platí f(x,y)dxdy= b a ( d c ) f(x,y)dy dx= d c ( b a ) f(x,y)dx dy Z výše uvedeného je vidět, že počítáme dva jednorozměrné integrály. Nejdříve integrujeme podle jedné z proměnných(druhou přitom považujeme za konstantu) a výsledek potom zintegrujeme podle zbývající proměnné. Pořadí integrování je možno zvolit libovolně, výsledek se nebude lišit. Volba pořadí ale může hrát zásadní roli pro samotný výpočet, protože při nevhodné volbě pořadí integrace můžeme dospět buď k dosti složitému integrálu nebo dokonce k takovému, který neumíme vypočítat. Geometrický náhled: Nechťfunkce f jespojitáanezápornánaobdélníku. Pro pevné x vyjadřuje integrál d c f(x,y)dy=f(x)obsahřezutělesarovinou x=konstanta.promalé xje x F(x)= x d c f(x,y)dyobjemmalévrstvyuvažovaného tělesa. Tuto vzniklou funkci F(x)(vnitřní integrál) nyní zintegrujeme podle proměnné x na intervalu[a, b] a tím dostaneme objem tělesa, které má za podstavu obdélník, jeho stěny jsoutvořenyčástmirovin x=a, x=b, y=c a y= dahornípodstavajetvořenačástígrafu funkce f(x, y). e stejnému výsledku bychom dospěli, kdybychom dané těleso rozřezali rovinami y = konstanta. 5
6 4.1 Dvojný integrál na měřitených množinách Doposud jsme integrovali funkce pouze na obdélníku. Pro praxi to ale nestačí, potřebuje počítat integrály přes obecnější množiny. I v tomto případě se bude dvojný integrál převádět na dvojnásobný, pouze s tím rozdílem, že integračními mezemi nebudou konstanty, ale funkce. Přestosealemusímeomezitpouzenatzv.měřitelnémnožiny.Vpraxisealepraktickysjinými nesetkáváme.mírajezobecněnímpojmuobsahu(v R 2 ),resp.objemu(v R 3 ).Množina R 2 je měřitelná, jestliže existuje její obsah, tj. jestliže existuje integrál dxdy= µ() R. Definice4.1 Existuje-liintegrál dxdy,paksemnožina nazýváměřitelnávjordanověsmyslu ačíslo µ()= dxdysenazývámíramnožiny. Věta4.2 Omezenámnožina R 2 jeměřitelnáprávětehdy,kdyžjejejíhranicetvořena grafy spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřených intervalech. Nejčastěji se budeme setkávat s následujícími množinami, které se nazývají elementární a rozdělujemejenatřizákladnítypy: Elementární množina vzhledem k proměnné x je množina tvaru = {(x,y) R 2 ;x [a,b],f(x) y g(x)}, kde f a g jsou funkce jedné reálné proměnné spojiténa[a,b]takové, žeprovšechna x (a,b)platí f(x) < g(x). Elementární množina vzhledem k proměnné y je množina tvaru = {(x,y) R 2 ;y [c,d], ϕ(y) x ψ(y)}, kde ϕaψjsou funkcejednéreálné proměnnéspojiténa[c,d]takové, žeprovšechna y (c,d)platí ϕ(y) < ψ(x). Elementární množina je uzavřená množina, kterou lze vyjádřit jako sjednocení konečně mnoha disjunktních elementárních množin vzhledem k x nebo y. Poznámka: Někdy máme více možností jakým způsobem integrační obor rozdělit na elementární množinyvzhledemkxnebo y.stanovenífunkcí f a g,resp. ϕaφjeprodanýintegračníoborvelmi důležité, neboť tyto funkce budou mezemi dvojnásobného integrálu. Při určování těchto funkcí je užitečné nakreslit si obrázek. 6
7 Věta 4.3(Fubiniova pro měřitelnou množinu) Nechťjefunkce fspojitánauzavřenéelementárnímnožině vzhledemkproměnné x,tj. = {(x,y) R 2 ;a x b,g(x) y h(x)}.potomplatí f(x,y)dxdy= b a ( ) h(x) f(x,y)dy dx g(x) Nechťjefunkce fspojitánauzavřenéelementárnímnožině vzhledemkproměnné y,tj. = {(x,y) R 2 ;c y d,ϕ(x) x ψ(x)}.potomplatí f(x,y)dxdy= d c ( ) ψ(x) f(x,y)dx dy ϕ(x) Poznámka: Pro výpočet je důležité správné určení mezí. Pořadí integrace na elementární množině je třeba volit tak, aby meze v posledním integrálu byly konstanty. 5 Geometrické aplikace dvojného integrálu Věta5.1 Nechť R 2 jerovinnáoblast(obrazec).potomplocha jedánavztahem µ()= dxdy. Věta5.2 Nechť fjespojitáfunkcenamnožině R 2 anechť f(x,y) 0provšechna(x,y). PotomobjemkolméhoválceΩ R 3 ohraničenéhozdolamnožinou vrovině(xy)ashoračástígrafu funkce fjeroven v(ω)= f(x,y)dxdy Věta5.3 Nechťjsoufunkce f, f xa f yspojitéfunkcenamnožině R 2.Potomobsahplochy P tvořenégrafemfunkce fnadmnožinou jeroven S(P)= 6 Substituce ve dvojném integrálu 1+(f x) 2 +(f y) 2 dxdy Dále budeme uvažovat pouze takové množiny v rovině, které jsou souvislé a jejichž hranice je uzavřená křivka, která se nikde neprotíná a kterou můžeme popsat konečným počtem hladkých funkcí jedné proměnné(tj. funkcí, které jsou spojité a mají spojité první derivace). V praxi se setkáváme téměř jen s množinami, které mají tyto vlastnosti. Jsou to mj. čtverec, mnohoúhelník(i křivočarý), vnitřek elipsy, kruh, mezikruží apod. Některé množiny ale nejsou příliš vhodné jako integrační obory a proto se používá tzv. transformace souřadnic. Místo původní množiny používáme vhodnější transformovanou množinu. Věta 6.1(Transformace souřadnic ve dvojném integrálu) Nechť se uzavřená omezená množina N R 2 (proměnných u,v)zobrazípomocísoustavyrovnic x=g(u,v) a y= h(u,v) 7
8 vzájemnějednoznačněnauzavřenouomezenoumnožinu M R 2 (proměnných x,y),přičemžfunkce gahjsouvn spojitéspolusesvýmiparciálnímiderivacemi g u, g v, h u a h v aprotzv.jacobiův determinant(jakobián) platí g g u v J= 0 vevšechbodechmnožiny N.Dálenechťfunkce f= f(x,y)jespojitána M.Potomplatí f(x,y)dxdy= f(g(u,v),h(u,v)) J dudv, kde J je absolutní hodnota jakobiánu. M h u N Jednou z nejčastějších transformací je transformace dvojného integrálu z kartézských do polárních souřadnic, kde příslušné převodní rovnice mají tvar h v x=ρcos ϕ a y= ρsin ϕ (PS) (Místo u a v se u této transformace tradičně používají proměnné s označením ρ a ϕ.) Jakobián této transformace má potom tvar J= cos ϕ ρsin ϕ sin ϕ ρcos ϕ = ρ(cos2 ϕ+sin 2 ϕ)=ρ>0 všude kromě počátku(pólu). Potom platí f(x,y)dxdy= M N f(ρcos ϕ,ρsin ϕ) ρ dρdϕ V některých případech je lepší použít tzv. zobecněné polární souřadnice x=aρcos ϕ a y= bρsin ϕ (zps) 8
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Víceˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
Více4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Více7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VícePár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných
Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných Pavel Řehák (verze 18. října 2016) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k předmětům atematická analýza 5, 6. Jeho cílem není (a ani nemůže
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceVysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Více10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Více1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceZkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, 6.2.204 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Více= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceZkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceVe srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky
Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceParametrické rovnice křivky
Křivkový integrál Robert Mařík jaro 2014 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z http://user.mendelu.cz/marik/am. Křivkový integrál Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceDodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9
Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VícePlošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VícePlošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceMatematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Obsah přednášky 1 Lineární programování 2 Integrály
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VícePedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
Více