PŘÍČNÉ PŘEMÍSTĚNÍ VOZIDEL PŘI ANALÝZE SILNIČNÍ NEHODY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘÍČNÉ PŘEMÍSTĚNÍ VOZIDEL PŘI ANALÝZE SILNIČNÍ NEHODY"

Transkript

1 Ing. Albert Brdáč PŘÍČNÉ PŘEMÍSTĚNÍ VOZIDEL PŘI ANALÝZE SILNIČNÍ NEHODY V příspěvku jsou prezentován výsledk disertční práce utor, zbývjící se nlýzou součsného stvu možností výpočtu čsu potřebného n příčné přemístění vozidl (npříkld při změně jízdního pruhu, náhlém vbočení z důvodu vhýbání se překážce pod.) včetně porovnání stávjících metod. Prezentován jsou výsledk rozsáhlých provedených měření příčného přemístění při extrémním mnévru i při jízdě v běžném provozu. Odvozen je hrniční rchlost, pod kterou čs n příčné přemístění nezávisí n dhezi, le n čsu potřebném k ujetí dráh ve směru jízd. V závěru pk je doporučení stndrdního znleckého postupu při výpočtu mnévru příčného přemístění. Předkládný příspěvek se zbývá především nlýzou možnostmi modelování pohbu vozidl (v souvislosti s nlýzou doprvních nehod) během tzv. vhýbcího mnévru, se zvláštním změřením n volbu vstupních veličin. Vhýbcím přitom nzýváme tkový mnévr, při kterém se vozidlo během jízd přemístí v rovině rovnoběžné s vozovkou ve směru kolmém ke směru původní jízd. Tkovým mnévrem může být npř. změn jízdního pruhu během předjíždění, náhlé vbočení z důvodu vhýbání se překážce pod. K problemtice příčného přemístění vozidl blo již mnohé řečeno, n toto tém bl změřen i. výroční konference EVU v Brně v roce, vzhledem ke komplikovnosti problému všk stále chběl jednoznčné závěr, stndrdně použitelné ve znlecké prxi. Při nlýze vhýbcího mnévru v souvislosti s nlýzou nehodového děje zprvidl známe vzdálenost, o kterou se vozidlo přemístilo v příčném směru (ted směru kolmém n původní směr jízd, resp. osu vozovk). N zákldě jiných podkldů určíme rchlost vozidl během mnévru (jk bude později ukázáno, přesnost určení rchlosti není pro výpočet příčného přemístění nejdůležitější), stnovíme způsob přemístění hledáme především nejkrtší možný čs, z který mohlo vozidlo dný mnévr zvládnout; tento je pk mezní hodnotou s tím, že delší čs jsou přijtelné. Během období rozvoje vědeckého přístupu k nlýze doprvních nehod blo publikováno několik různých metod, jk dný mnévr počítt. Jk je podrobněji rozvedeno dále, jedná se zejmén o následující: Původní teoretický vzth pro vhýbání jedním obloukem, nzývný podle utor Kovříkův vzorec (9) []. Poté k tomuto provedli sérii měření Ing. Pter Ing. Peřin vzth upřesnili (97). Dále bl vzth uprven Prof. Brdáčem n vhýbání dvěm oblouk do směru rovnoběžného s původním tzv. Kovříkův vzorec v Brdáčově úprvě []. Prof. Ksnický ve své kndidátské disertční práci Anlýz mnévru vozidl vtvořil pro modelování tohoto mnévru mtemtický model vslovuje závěr v tom smslu, že doposud používné metod jsou z hledisk přesnosti nevhovující (99) []. V zhrničí je používán i vzth podle Weisse (9) [] [7]. Výsledk těchto vzthů jsou při zdání shodných vstupních prmetrů odlišné, proto blo zpotřebí zhájit výzkum, který definitivně určí správný postup při modelování pohbu vozidl během vhýbcího mnévru. Z tímto účelem bl podán grntová přihlášk bl získán podpor pro grntový projekt pod číslem GAČR 3//7. V rámci tohoto projektu bl prcovník doktornd Ústvu soudního inženýrství VUT v Brně proveden řd měření. Metodiku pro vhodnocování těchto měření vprcovl ve své disertční práci Ing. Robert Kledus, Ph.D. [5] n měřeních tuto metodiku ověřil. K učinění konečných závěrů blo všk třeb zprcovt mnohem větší množství měření, což blo provedeno utorem tohoto příspěvku v rámci jeho disertční práce. Pro znleckou prxi je důležité, který z používných postupů je správný (tj. dává výsledk srovntelné se skutečností), což dosud neblo jednoznčně objsněno. Proto toto tém blo hlvním cílem práce, kterou se utor od roku zbývl. Než se dostneme k závěrům, proveďme si mlé shrnutí v součsnosti používných metod výpočtu čsu, potřebného pro příčné přemístění vozidl o vzdálenost s vužitelným příčným zrchlením mx. Vžd zde budeme hovořit o přemístění dvěm oblouk, kd vozidlo je n konci mnévru ve směru rovnoběžném se směrem původní jízd (ted npř. změn jízdního pruhu).. PRŮBĚH PŘÍČNÉHO ZRYCHLENÍ SKOKOVÝ Zde se počítá čs, nutný pro tkový mnévr jko dvojnásobek čsu, nutného pro přemístění o polovinu dné vzdálenosti, ted části, kd se vozidlo příčně pohbuje pohbem rovnoměrně zrchleným. Ted: Ê t ˆ Á Ë t = = fi t = = () Protože le průběh zrchlení nemůže být tkto ideální, je zpotřebí hledt vzth o něco přesnější. Podíváme-li se, jký je skutečný průběh zrchlení během tkového mnévru (viz obr. zde se jedná o zrchlení tzv. boční, ted zrchlení které můžeme nměřit uvnitř vozidl, ovlivněno jeho klopením; příčné je pk Ing. Albert Brdáč, Ústv soudního inženýrství Vsokého učení technického v Brně, Brno, Údolní 53, e-mil: junior.brdc@usi.vutbr.cz 7

2 Doprvní nehod příčné zrchlení (m/s ) mx mx příčná rchlost (m/s),5, příčná dráh (m) 3,5,5, Obr. Průběh jednotlivých veličin v čse při skokovém průběhu příčného zrchlení. o něco menší, viz dále), můžeme vidět, že ze známých křivek, které jsme schopni definovt rovnicí, je nejvíce podobné sinusoidě.. PRŮBĚH ZRYCHLENÍ JE FUNKCÍ SINUS Zvedeme ted průběh příčného zrchlení jko funkci sinus, ted = A sin(wt), kde mplitud A je mximální dosžitelné mx funkci čsu w dostneme z okrjových podmínek. Pk můžeme postupnou integrcí v čse získt vzth pro příčnou rchlost dráhu z nich následně pro čs: t =,5 () mx mx Odpovídjící průběh jednotlivých veličin v čse viz obr. 3. Porovnáme-li tento vpočtený průběh zrchlení se skutečným průběhem (obr. ), je zřejmé, že n počátku n konci sinusoid je zpotřebí přidt nějký plnulý přechod (tzv. přechodnici). Právě s těmito přechodnicemi uvžuje tzv. Kovříkův vzorec, který je v dnešní době u nás pro výpočet čsu pro příčné přemístění vozidl vužíván. Úprv oproti odvozenému teoretickému vzthu spočívá v nvýšení koeficientu před odmocninou. Experimentálně bl tento koeficient stnoven n hodnotu 3,3, ted plné znění vzthu je: boční zrchlení (m/s ),5,5,5 3 Obr. Skutečný průběh bočního zrchlení během mnévru.

3 Doprvní nehod příčné zrchlení (m/s ),5,5,5 3 mx mx příčná rchlost (m/s) příčná dráh (m) 3,5,5,5 3 3,5 3,5,5,5,5,5,5 3 Obr. 3 Průběh veličin v čse při sinusovém průběhu příčného zrchlení. t = 3,3 (3) mx V zhrničí je též užíván tzv. Weissův vzth, který se liší opět jen koeficientem před odmocninou. Ten podle Weisse obecně není konstntní závisí n příčném zrchlení vozidl, jeho rchlosti dráze, o kterou je třeb se přemístit. Protože je le většin veličin svázán s konstntmi v řádech ž, není ovlivnění příliš veliké můžeme s neptrným zjednodušením říci, že hodnot Weissov koeficientu je přibližně,7, ted: t =,7 () mx Z toho je zřejmé, že tento vzth sice jkýmsi způsobem zhrnuje přechodnice (koeficient je větší než u teoretického vzthu pro sinusoidu), le při doszení stejných vstupních hodnot dává nižší výsledné hodnot čsu pro přemístění potřebného. závislost t n odmocnině(/) t (s) 5,,5, =,x R =,73 3,5 3,,5,,5,,5,,,,,,,,,, odmocnin(/) (s) Obr. Závislost čsu pro příčné přemístění n odmocnině. m 9

4 Doprvní nehod závislost t +,7 s n odm(/) t +,7 (s), 5,, 3,, = 3,33x R =,5,,,,,,,,,,, odmocnin(/) (s) Obr. 5 Závislost čsu (t +,7) s pro příčné přemístění n odmocnině (/ ). Cílem disertční práce utor ted blo ověřit, jkou hodnotu koeficientu před odmocninou dosdit do vzthu, b výsledk co nejvíce odpovídl nměřeným hodnotám. K tomu utor nejprve vhodnotil cc 9 měření s osobními vozidl n zkušebních drhách (z roku ) z těchto bl vtvořen grf závislosti čsu, potřebného k provedení mnévru, n vzthu mx. Touto závislostí pk bl n zákldě metod nejmenších čtverců proložen odpovídjící regresní přímk tk, b procházel počátkem souřdného sstému. Z rovnice této přímk je ptrný hledný koeficient (viz obr. ). Hodnot spolehlivosti tkto proložené přímk je téměř 9 %. K vhodnocení těchto měření bl užit metodik, vprcovná ověřená Ing. Robertem Kledusem, Ph.D. v rámci jeho disertční práce [5]. Z toho b se mohlo zdát, že koeficient leží někde mezi Weissovým Kovříkovým vzthem. Je všk zpotřebí rozhodnout, zd nás zjímá čs mnévru od okmžiku, kd již vozidlo vkzuje hodnot příčné rchlosti, či od okmžiku počátku ntáčení volntu řidičem. Mezi těmito okmžik je prodlev, což je dob nutná pro vmezení vůlí v řízení, tuhosti pneumtik pod. Podle Ing. Robert Kleduse Ph.D., který se touto problemtikou zbývl tké který vhodnocovl t měření, kde blo užito kromě jiných měřidel i tzv. měřicího volntu, je tto dob v rozmezí, ž,3 sekund. Průměrná hodnot z vhodnocených měření je pk přibližně,7 sekund. Čs, který je vnesen do grfu (obr. ) je čs čistého mnévru, ted bez této počáteční prodlev. Abchom ted získli závislost pro čs od počátku ntáčení volntu po dokončení mnévru (ted okmžiku, kd se vozidlo dále příčně nepřemisťuje, jede přibližně rovnoběžně s původním směrem), je zpotřebí dobu prodlev připočíst závislost vpočíst znovu (viz obr. 5). Jk je vidět, vpočtený koeficient je v dobré shodě s původním Kovříkovým vzthem.,, hustot prvděpodobnosti ( ),,,,, boční zrchlení (m/s ) Obr. Histogrm četnosti vužívného příčného zrchlení při běžném provozu. 7

5 Doprvní nehod Nní zbývá jen otázk doszovných hodnot příčného zrchlení. Z fzikálních zákonů je zřejmé, že toto zrchlení nemůže nikd překročit hodnotu, dnou dosžitelnou dhezí dné pneumtik n dném povrchu. To všk není jediná podmínk. Doszovná hodnot tohoto zrchlení b měl odpovídt tké způsobu jízd, se kterým při řešení pohbu vozidl uvžujeme. N zkušebních drhách se řidiči, kteří již několik jízd bsolvovli, dostli skutečně ž téměř k hodnotám, odpovídjícím dosžitelné dhezi ( m/s ), všk běžný řidič bez předchozího tréninku b si ni n zkušební dráze n tkovou jízdu netroufl. N rozdíl od zkušební dráh, kde má řidič jistotu, že pokud mnévr nezvládne, nestne se nic horšího, než že povlí několik kuželů, je v reálném provozu vstven pschickému tlku prostředí. Z uvedených důvodů bl n Ústvu soudního inženýrství VUT v Brně proveden řd měření při běžném provozu, to různými metodmi. Vhodnocením těchto měření blo zjištěno, že při běžné jízdě vužívjí řidiči tk mlých hodnot příčného zrchlení, že většinou nebl ni měřitelné bl mskován chvěním kroserie (měřicí zřízení blo vžd umístěno ve vozidle tudíž spjto s kroserií). Nejlepší výsledek, kterého blo dosženo, blo vhodnocení několik měření souvislé jízd, kd nebl rozlišován jednotlivé mnévr (tzn. že se ve vhodnocení odrzil i hodnot získné npř. při průjezdu ztáčkou). Z tkto vhodnocených dt blo zjištěno, že drtivá většin doshovných hodnot bočního zrchlení se pohbuje do, m/s (zde přepočet n zrchlení příčné nemá n výsledek velký vliv), mezní hodnot při rzntnějších mnévrech doshovl výjimečně ž do, m/s. Histogrm četností jednotlivých nměřených hodnot viz obr., v němž svislé přímk vmezují intervl ±,5s (směrodtné odchlk) od střední hodnot, kde leží 9,7 % všech hodnot. Dlším dílčím problémem, kterým se utor v disertční práci zbývl, bl možnost vužití běžně dostupných měřicích přístrojů pro změření vužívného příčného zrchlení v konkrétní situci. Tkovým přístrojem je npř. XLmeter, Motometr, E-Tnu pod. Všechn tto přístroje jsou při měření umístěn uvnitř vozidl jk zde již blo zmíněno, jsou hodnot, které nměří, ovlivněn klopením vozidl. Toto ovlivnění je dvojího druhu. Jednk je do hodnot skutečného příčného zrchlení připočítáván složk zrchlení tíhového v závislosti n okmžitém úhlu nklopení jednk je připočítáváno (či odečítáno to závisí n směru úhlového pohbu) zrchlení vvolné úhlovým zrchlením vlstního klopení n rmeni odpovídjícím výšce přístroje nd resp. pod osou klopení vozidl. Polohu os klopení vozidl zprvidl sice neznáme není tudíž možné tuto hodnotu z provedených měření vsledovt, le protože nás pro doszování do Kovříkov vzorce zjímá pouze mximální dosžená hodnot (resp. ritmetický průměr bsolutních hodnot nejvšší nejnižší nměřené hodnot), nemusí nás toto druhé ovlivnění zjímt. Dík jeho závislosti n úhlovém zrchlení klopení, které je v okmžiku dosžení mximální hodnot příčného zrchlení ted teoretick i mximální hodnot nklopení nulové, je v tomto okmžiku nulové i toto ovlivnění. Z vhodnocených měření bl ted vsledován závislost okmžitého úhlu nklopení n okmžitém příčném zrchlení blo zjištěno, že se u jednotlivých vozidel pohbovl v rozmezí, ž,5 /m.s. Ted bchom z bočního zrchlení, nměřeného ve vozidle, získli zrchlení příčné (v rovině rovnoběžné s vozovkou), je zpotřebí od kždého jednoho m/s odečíst složku tíhového zrchlení odpovídjící sin (,3 ž, ), což je,5 ž, m/s, ted 5 ž %. Závěrem lze shrnout, že pro výpočet čsu pro příčné přemístění vozidl lze užít stávjící vzth podle Kovřík s tím, že blo ověřeno, že tkto vpočtený čs v sobě již zhrnuje prodlevu od prvního ntočení volntu do odezv vozidl v podobě nárůstu příčné rchlosti resp. příčného zrchlení. Doszovné hodnot příčného zrchlení b se měl pohbovt v rozmezí do, m/s pro běžnou klidnou jízdu, do, m/s pro sportovnější jízdu. Pro vhýbání se náhlé překážce v kritické situci lze doszovt i hodnot o něco málo všší, pokud všk nedošlo ke smku, nesmí hodnot překročit zrchlení odpovídjící dosžitelné dhezi dné pneumtik n dném povrchu. Dosud zmiňovné metod výpočtu čsu, potřebného pro příčné přemístění všk nelze užít vžd. U mlých rchlostí může dojít k tomu, že vozidlo v tkto stnoveném čse nebude schopno dnou rchlostí projet dráhu, nutnou pro vkonání mnévru. Při zvedení jistých zjednodušení můžeme stnovit tkovou hrniční rchlost, pod kterou již není možné Kovříkův vzth použít. Zidelizujemeli tvr trjektorie pohbu vozidl během mnévru n dv n sebe nvzující kruhové oblouk o poloměru R, pk pltí, že nejkrtší délk této trjektorie je dán právě tímto poloměrem R celkovou šířkou přemístění. Nejmenší poloměr R je dán buď konstrukcí vozidl, nebo dhezními podmínkmi, kd jej určíme ze vzthu pro mezní rchlost v rovinném neklopeném oblouku ve vodorovné rovině. v v R = µ g = (5) Pro dlší výpočet použijeme větší z obou poloměrů. Při známém ted šířce, o kterou se má vozidlo přemístit známém poloměru R určíme úhel, který vmezuje vužitou délku jednoho z kruhových oblouků následně určíme i tuto délku, která je součsně polovinou hledné délk trjektorie. Výsledný vzth je pk: Ê L R rccos R - ˆ = Á Ë R Následně vpočteme čs nutný pro projetí dráh L dnou rchlostí v tento porovnáme s čsem stnoveným podle Kovřík. Je-li čs podle Kovřík nižší, znmená to, že jej nemůžeme použít je nutné počítt pohb konstntní rchlostí po trjektorii. Pokud provedeme výpočet pro různé rchlosti, můžeme njít tkovou hrniční rchlost, která odděluje oblst použití Kovříkov vzthu oblst, kde je nutné počítt s trjektorií. N obrázku 7 jsou tto hrniční rchlosti vpočten v závislosti n šířce pro různé hodnot vužívného příčného zrchlení. Dlší možností je vužít pro volbu grf n obr str. 35 v [], kd pro mlé rchlosti jsou doporučován tk mlé hodnot, že čs vpočtený s těmito hodnotmi pomocí Kovříkov vzthu je dosttečný pro projetí příslušné odpovídjící dráh. Pltnost tohoto grfu je všk zpotřebí ověřit jízdními zkouškmi, protože npř. v oblsti vsokých rchlostí doporučuje nižší hodnot, než jsou běžně v provozu vužíván. Dále bl z spolupráce studentů kursů technického znlectví n ÚSI doktorndů oboru Soudní inženýrství zjišťován závislost vužívného příčného zrchlení n rchlosti vozidl. Protože le hodnot bl získán různými metodmi, kd ne vžd bl () 7

6 Doprvní nehod hrniční rchlost (km/h) = m/s = 7 m/s = m/s = 5 m/s = m/s = 3 m/s = m/s = m/s,,, 3,, 5, šířk přemístění (m) Obr. 7 Hrniční rchlosti použití Kovříkov vzorce k výpočtu čsu nutného pro příčné přemístění vozidl pro různé šířk přemístění různá vužívná příčná zrchlení. zjištěn přesnost tkového měření čsto blo měření subjektivně závislé n tom, kdo je prováděl, lze obrázek brát jen jko jkési přiblížení. Doporučený postup při výpočtu čsu pro příčné přemístění N zákldě vhodnocení provedených měření, výpočtů dlších zjištění nvrhuji pro nlýzu příčného přemístění dvěm oblouk, resp. zjištění potřebného resp. minimálního čsu pro tento mnévr následující postup:. Zjistit šířku, o kterou se vozidlo během mnévru přemístilo.. Stnovit způsob přemístění (plnulá jízd, dnmická jízd, kritické vhýbání náhlé překážce). 3. N zákldě znechných stop resp. dlších skutečností stnovit rchlost pohbu vozidl během mnévru.. Zvolit vhodné vužité příčné zrchlení mx. Pro plnulou jízdu b tto hodnot neměl překročit m/s, pro sportovní dnmičtější jízdu mx. m/s, pokud bl n místě znechán vozidlem stop po tomto mnévru, lze jít ž n hodnotu odpovídjící dhezi v dném místě. U mlých rchlostí (do km/h) je možné hodnotu mx odečíst z grfu n obr str. 35 v knize Soudní inženýrství []. 5. Získné hodnot příčného zrchlení šířk dosdit do Kovříkov vzorce: t = 3,3 mx Pro ověření je možné provést jízdní zkoušku se shodným tpem vozidl změřit hodnotu vužitého příčného zrchlení. Bude-li Obr. Závislost vužívného příčného zrchlení n rchlostí vozidl při běžném provozu. 7

7 Doprvní nehod k měření vužito zřízení umístěného ve vozidle, je vhodné nměřenou hodnotu o cc 5 % (pro vozidl s tuhou pružicí tlumicí soustvou) ž % (pro vozidl s měkkou pružicí tlumicí soustvou) snížit n hodnotu příčného zrchlení bez vlivu klopení kroserie vozidl. Výpočt b měl být proveden v rozmezí vstupních hodnot, protože všk hledáme nejkrtší možný čs pro dný mnévr kždý delší je ted technick přijtelný, zprvidl postčí, kdž dosdíme z možných šířek tu nejmenší z možných příčných zrchlení to největší přijtelné s hledisk předpokládné dnmik mnévru. 3. LITERATURA [] BRADÁČ A. kol.: Soudní inženýrství.. vd. Akdemické nkldtelství CERM, s.r.o., Brno, 997, 79 s. ISBN X [] BRADÁČ A. kol.: Příručk znlce- nltik silničních nehod. Dům technik ČSVTS, Ostrv, 95, 5 s. Publikční číslo /5 A/5 [3] BRADÁČ A., KREJČÍŘ P., GLIER L., PLCH J., LUKAŠÍK L., HELEŠIC V.: Znlecký stndrd č. III. Technická nlýz střetu vozidl s chodcem. Znlecký stndrd č. IV. Technická nlýz nárzu vozidl n překážku. Nkldtelství VUT, Brno, 99, 7 s. [] HÖRTZ: Poždvk n regulci brzdové síl u utomobilů. ATZ 7, 99. [5] KLEDUS R.: Modelování pohbu vozidl při nlýze silničních nehod vhýbcí mnévr. Disertční práce studi doktorského studijního progrmu v oboru Soudní inženýrství, 77 s. [] WEISS E.: Untersuchung und Rekonstruktion von Ausweich- und Fhrspurwechsel-vorgängen. VDI Fortschritt Berichte, 9, Nr. 9. [7] WEISS E., WOSCHINI G.: Rekonstruktion von Überholvorgängen. Verkehrsunfll und Fhrzeugtechnik, 9, Nr., s [] Ksnický G.: Súčsné perspektívne možnosti nlýz doprvných nehôd.. vd. Žilinská univerzit v Žiline Ústv súdneho inžinierstv, Žilin, 999, s. [9] PC CRASH progrm. Dr. Steffn DATENTECHNIK GmbH, 999. [] Hndbuch CARAT Version 3. IbB Softwre, 99. [] SCHIMMELPFENIG K. H., NACKENHORST U.: Bedeutung der Querbeschleunigung in der Verkehrsunf llrekonstruktion Sicherheitsgrenze des Normlfhrers. Verkehrsunfll und Fhrzeugtechnik, 95, Nr., s [] KASANICKÝ G.: Anlýz mnévru vozidl. Kndidátská disertční práce. Žilinská univerzit v Žilině, 99. [3] Kolektiv utorů: Sborník. výroční konference EVU. Brno,. 73

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami:

Laboratorní práce č. 6 Úloha č. 5. Měření odporu, indukčnosti a vzájemné indukčnosti můstkovými metodami: Truhlář Michl 3 005 Lbortorní práce č 6 Úloh č 5 p 99,8kP Měření odporu, indukčnosti vzájemné indukčnosti můstkovými metodmi: Úkol: Whetstoneovým mostem změřte hodnoty odporů dvou rezistorů, jejich sériového

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

Rovinná napjatost tenzometrická růžice Obsah:

Rovinná napjatost tenzometrická růžice Obsah: 5. leke Rovinná npjtost tenzometriká růžie Osh: 5. Úvod 5. Rovinná npjtost 5. Tenzometriká růžie 4 5.4 Posouzení přípustnosti nměřenýh hodnot deforme resp. vyhodnoenýh npět 7 strn z 8 5. Úvod Při měření

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu

6. Setrvačný kmitový člen 2. řádu 6. Setrvčný kmitový člen. řádu Nejprve uvedeme dynmické vlstnosti kmitvého členu neboli setrvčného členu. řádu. Předstviteli těchto členů jsou obvody nebo technická zřízení, která obshují dvě energetické

Více

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ

APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ Ing. Igor Neckř APLIKACE DLOUHODOBÉHO SLEDOVÁNÍ STAVEB PŘI OCEŇOVÁNÍ NEMOVITOSTÍ posluchč doktorského studi oboru Soudní inženýrství FAST VUT v Brně E-mil: inec@volny.cz Přednášk n konferenci znlců ÚSI

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

Hledání hyperbol

Hledání hyperbol 759 Hledání hyperol Předpokldy: 756, 757, 758 Pedgogická poznámk: Některé příkldy jsou zdlouhvější, pokud mám dosttek čsu proírám tuto následující hodinu ěhem tří vyučovcích hodin Př : Npiš rovnici hyperoly,

Více

Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, který je centricky zatížen silou

Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, který je centricky zatížen silou Příkld 1: SPŘAŽEÝ SLOUP (TRUBKA VYPLĚÁ BETOE) ZATÍŽEÝ OSOVOU SILOU Posuďte oboustrnně kloubově uložený sloup délk L 5 m, který je entrik ztížen silou 1400 kn. Sloup tvoří trubk Ø 45x7 z oeli S35 vplněná

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Konstrukční uspořádání koleje

Konstrukční uspořádání koleje Konstrukční uspořádání koleje Otto Plášek, doc. Ing. Ph.. Ústv železničních konstrukcí stveb Tto prezentce byl vytvořen pro studijní účely studentů. ročníku mgisterského studi oboru Geodézie krtogrfie

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně popsli předměty, jevy děje, musíme zvést určité pojmy,

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy:

třecí síla (tečná vazba podložky) F normálová reakce podložky výsledná reakce podložky Podmínky rovnováhy: SPŠ VOŠ KLADO SAIKA - PASIVÍ ODPORY PASIVÍ ODPORY Při vzájemném pohybu těles vznikjí v reálných vzbách psivní odpory, jejichž práce se mění v teplo. Psivní odpory předstvují ztráty, které snižují účinnost

Více

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Lineární nerovnice a jejich soustavy teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice

Více

Měření rozlišovací schopnosti optických soustav

Měření rozlišovací schopnosti optických soustav F Měření rozlišovcí schopnosti optických soustv Úkoly :. Měření rozlišovcí schopnosti fotogrfických objektivů v závislosti n clonovém čísle. Měření hloubky ostrosti fotogrfických objektivů v závislosti

Více

JAN VÁLEK, PETR SLÁDEK Katedra fyziky, chemie a odborného vzdělávání, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Poříčí 7, Brno

JAN VÁLEK, PETR SLÁDEK Katedra fyziky, chemie a odborného vzdělávání, Pedagogická fakulta, Masarykova univerzita, Poříčí 7, Brno Veletrh nápdů učitelů fyziky 18 Fyzik cyklist JAN VÁLEK, PETR SLÁDEK Ktedr fyziky, chemie odorného vzdělávání, Pedgogická fkult, Msrykov univerzit, Poříčí 7, 603 00 Brno Astrkt Jízdní kolo spojuje mnoho

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

3. Diskutujte výsledky měření z hlediska platnosti Biot-Savartova zákona.

3. Diskutujte výsledky měření z hlediska platnosti Biot-Savartova zákona. 1 Pracovní úkol 1. Změřte závislost výchlk magnetometru na proudu protékajícím cívkou. Měření proveďte pro obě cívk a různé počt závitů (5 a 10). Maximální povolený proud obvodem je 4. 2. Výsledk měření

Více

9 - Zpětná vazba. Michael Šebek Automatické řízení 2015 16-3-15

9 - Zpětná vazba. Michael Šebek Automatické řízení 2015 16-3-15 9 - Zpětná vz Michel Šeek Atomtické řízení 2015 16-3-15 Atomtické řízení - Kernetik rootik Proč řídit? Řídicí sstém msí zjistit stilit chování Klsické poždvk n chování přípstná stálená reglční odchlk při

Více

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem 2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Středová rovnice hyperboly

Středová rovnice hyperboly 757 Středová rovnice hperol Předpokld: 7508, 75, 756 Př : Nkresli orázek, vpočti souřdnice vrcholů, ecentricitu urči rovnice smptot hperol se středem v počátku soustv souřdnic, pokud je její hlvní os totožná

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Nejdříve opis pro naladění čtenáře a uvedení do mého problému, ten, který budu za chvíli chtít diskutovat.

Nejdříve opis pro naladění čtenáře a uvedení do mého problému, ten, který budu za chvíli chtít diskutovat. Problém Nvrátil ( tím, že neumí mtemtiku ) jsou : Nejdříve opis pro nldění čtenáře uvedení do mého problému, ten, který budu chvíli chtít diskutovt. Větu o áměnnosti smíšených derivcí le obdobných předpokldů

Více

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a

Stanovení disociační konstanty acidobazického indikátoru. = a Stnovení disociční konstnty cidobzického indikátoru Teorie: Slbé kyseliny nebo báze disociují ve vodných roztocích jen omezeně; kvntittivní mírou je hodnot disociční konstnty. Disociční rekci příslušející

Více

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8. ELEKTRICKÉ STROJE TOČIVÉ rčeno pro posluchče bklářských studijních progrmů FS S t e j n o s měrné stroje Ing. Vítězslv Stýskl, Ph.D., únor 6 Řešené příkldy Příkld 8. Mechnické chrkteristiky Stejnosměrný

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Hyperbola a přímka

Hyperbola a přímka 7.5.8 Hperol přímk Předpokld: 75, 75, 755, 756 N orázku je nkreslen hperol = se středem v počátku soustv souřdnic. Jká je vzájemná poloh této hperol přímk, která prochází počátkem soustv souřdnic? E B

Více

Zadání příkladů. Zadání:

Zadání příkladů. Zadání: Zdání příkldů Zdání: ) Popšte oblst vužtí plánovných expermentů ) Uveďte krtér optmlt plánů ) Co sou Hdmrdov mtce ké mí vlstnost? ) Co sou. fktorové plán k e lze vužít? 5) Blok čtverce - oblst ech vužtí

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 7501, 7507 Př 1: Vrchol elips leží v odech A[ 1;1], [ 3;1], [ 1;5], [ 1; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více