Maticová exponenciála a jiné maticové funkce
|
|
- Leoš Jaroš
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě t = 0 Analogcky by mohlo platt, že řešení systému rovnc, který můžeme zapsat matcově ve tvaru Y = AY ( (vz kaptola o soustavách lneárních rovnc, bude Y (t = e ta C, kde A R n n je matce, Y je neznámá funkce s hodnotam v R n a C R n je vektor počátečních podmínek Exponencálu od matce můžeme defnovat jako e B := B m m!, ( opět využíváme analoge s reálnou exponencálou Než s ukážeme, že př takovéto defnc skutečně získáme dferencovatelnou funkc, která je řešením dferencální rovnce (, řekneme s, jak se exponencála od matce (tj součet nekonečné řady ( počítá Vlastnost a výpočet matcové exponencály Nejprve je třeba říc, že řada ( konverguje pro každou matc B Ke zdůvodnění tohoto tvrzení zaveďme tzv operátorovou normu matce: A := sup{ Ax : x R n, x }, kde x := n x Pro tuto normu platí AB A B, tedy A m A m Řada ( tedy konverguje pro každou matc B, protože platí l B m l m! B m l B m B m 0 (3 m! m! m! m=k m=k m=k pro k, tj posloupnost částečných součtů splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku A nyní k výpočtu exponencály Nechť B R n n, pak exstuje Jordanův kanoncký tvar J R n n matce B, tj platí B = V JV, m=k =
2 kde J se skládá z Jordanových buněk J,, J k a sloupce matce V tvoří vlastní vektory, případně řetězce vlastních vektorů Pak ovšem platí B m = V J m V Nepotřebujeme tedy umět umocnt matc B, stačí nám umocňovat její Jordanův tvar A protože platí J 0 0 J 0 0 J 0 0 J 0 J 0 0 J 0 = = 0 J 0, 0 0 J k 0 0 J k 0 0 Jk stačí umět umocňovat Jordanovu buňku Pro Jordanovu buňku J příslušnou vlastnímu číslu λ platí J = λ λ λ = λ I + D, D = 0 0 0, λ můžeme tedy psát J m = (λ I + D m = m k=0 ( m λ m k D k, k kde bnomckou větu můžeme použít, protože matce I a D komutují (ID = DI Umocňováním matce D se dagonála jednček posouvá vždy o řádek výš, tj (D k j = pro j = + k a (D k j = 0 jnak (důkaz snadno ndukcí Specálně tedy, je-l velkost buňky r, pak D r má jednčku v pravém horním rohu a jnak samé nuly a D k = 0 pro k r Máme tedy pro m r (kde r je velkost buňky ( λ m m ( λ m m ( λ m m r λ m r+ ( 0 λ m m ( λ m m r λ m r+ J m = 0 0 λ m ( m λ m λ m Pro m < r jsou záporné mocnny λ nulam v předcházejícím výrazu nahrazeny
3 Dáme-l nyní všechny nformace dohromady, máme J m 0 0 e B = e V JV = V e J V 0 J m 0 = V m! V = 0 0 Jk m J m! m m! V J m 0 V = 0 0 J m m! k e J e J 0 V, 0 0 e J k kde e J se rovná 0 λ m m! λ m m= (m!! λ m m! 0 0 m= m= λ m (m!! λ m λ m r+ m=r (m r+!(r! λ m r+ m=r (m r+!(r! (m!! λ m m! m= = e λ e λ! e λ! e λ (r! 0 e λ e λ! e λ (r! 0 0 e λ e λ! e λ λ m (m!! λ m m! A tím je výpočet exponencály od matce hotov Předcházející výpočty nyní uplatníme v následujícím příkladu Příklad Vypočtěte e A pro A =
4 Řešení Vypočteme vlastní čísla: det(λi A = (λ + (λ, tj λ, =, λ 3 = Vlastní číslo má vlastní vektor (, 0, 0, vlastní číslo má vlastní vektor (, 0,, k němuž najdeme pseudovlastní vektor splňující (A Iv = (, 0,, např v = (,, 0 Máme tedy V = a A = V JV Potom e A = V e J V = V, V = e e e 0 0 e V =, J = e e + e e + e 0 e 0 0 e e Úlohy (a Nechť v je vlastní vektor matce A, příslušný vlastnímu číslu λ Potom v je též vlastní vektor matce e A, příslušný vlastnímu číslu e λ (b Dokažte větu o obrazu spektra: σ(e A = {e λ ; λ σ(a} Dokažte, že det e A = e λ + +λ n = e tr A, kde λ jsou vlastní čísla A, a tr A je stopa (součet dagonálních prvků 3 Logartmus matce Buď A R n n (a Pokud A 3 = 0 a L := A A /, pak e L = I + A (b Konverguje-l řada L := A A / + A 3 /3 +, potom je e L = I + A * (c Pro danou matc A najděte matc B tak, že A = e B 4 Pro následující matce A najděte matce B takové, že A = e B (s využtím výsledku předchozí úlohy ( ( e 3 3,, 0 e 3, e (a Je dána matce A Exstuje vždy B tak, že B = A? (b Najděte odmocnnu matce 0 0 4
5 6 Pro lbovolnou čtvercovou matc A defnujme (A 0 = I sn A := n=0 ( n (n +! An+ cos A := n=0 ( n (n! An (a Ukažte, že uvedené řady konvergují (b Ukažte, že (sn A + (cos A = I (c Platí e A+B = e A (cos B + sn B pro všechny dvojce matc A, B nebo jen pro některé? (d Platí cos(a + B = cos A cos B sn A sn B pro všechny dvojce matc A, B nebo jen pro některé? 7 Vypočtěte sn A (bez použtí Jordanova tvaru pro následující matce A ( 0 0, Nechť A je antsymetrcká (tj A T = A Potom e A je ortogonální 9 Nechť A R n n má jednonásobná vlastní čísla λ,, λ n Buď P takový polynom, že P (λ = e λ, =,, n Pak e A = P (A Dokažte 0!! Cauchyův vzorec říká f(a = f(z(z π γ a dz, kde γ je kladně orentovaná kružnce se středem a (a Ukažte, že e A = e z (zi A dz, π γ kde γ je taková kružnce se středem v 0 a poloměru větším než A (b Spočtěte touto metodou e A pro následující matce: ( ( 0, 0 0 Řešení (a Av = λv, tedy A k v = λ k v, tedy (e A v = (b Pomocí Jordanova tvaru Jde to bez něj? Pomocí Jordanova tvaru nebo Louvlleovy formule 3 (a Dosazením (b Uvažte, že exp(x x / + x 3 /3 + = + x pro x (0,, a argumentujte možností přerovnat absolutně konvergentní řady 5
6 (c C C 0 B = V V, 0 0 C k kde V je matce, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory matce A a buňka C se rovná ( m ( m λ m ( m ( m λ m m= 0 m m= ( m ( m λ m r+ m m=r r m 0 ( m ( m λ m m= ( m ( m λ m r+ 0 m m=r r m 0 0 ( m ( m λ m m=, 0 m kde λ jsou vlastní čísla matce A I ( 3 4 (a Matce A = má vlastní čísla a 4, a proto neexstuje 3 reálná matce B, že e B = A (b Kvůl konvergenc taylorovy řady funkce ( ln( + ( x na ntervalu ( (0, je vhodné napsat matc A takto: A = = a spočítat exponencálu zvlášť pro obě matce (přčemž první jde trválně a druhá pomocí výsledku cvčení 3c Výsledek pak je ( ln 3 B = 3 0 ln 3 (c A = e 0 e e = e e e e e 0 3e 0 0 a výsledek je: e e 3 e 0 3e 0 0 (d Vlastní čísla matce 3 jsou 0 a a tedy neexstuje matce 5 0 B, že e B = A (neex c R, že e c = 0 5 Stačí uvažovat Jordanovu buňku V případě nulových vlastních čísel odmocnna matce obecně neexstuje 6
7 6 (a Stačí postupovat obdobně jako v případě exponencály (b Stačí využít vzorce pro násobení řad, tj ( ( ( n a n b n = a n m b m n=0 n=0 (c Tvrzení platí pro dvojce matc splňující AB = BA V důkazu nejprve rozepsáním z defnce exponencály ukažte, že e B = cos B + sn B a následně zbývá ukázat, že e A+B = e A e B K tomu využjte vzorec (A + B n = n n=0 ( n A n m B m, m který platí, pokud AB = BA Pokud AB BA, vzorec platt nemusí Ověřte, že tomu tak je u matc ( ( 0 0 a (d Platí pro dvojce matc splňující AB = BA V důkazu se použje vzorec pro násobení řad (vz bod (b a bnomcká věta (vz bod (c, kde se využje komutatvty matc A a B 7 a Výpočtem ověřte, že A 3 = A a pak jž snadno spočtěte, že sn A je roven matc ( 0 sn sn 0 (b Výpočtem ověřte, že A 3 = 0 a tedy snadno: sn A = A 8 M je ortogonální právě když MM T = I 9 Plyne z výpočtu pomocí Jordanova kanonckého tvaru 0 (a Využjte vzorce (I A/z = k=0 (A/zk, zaměňte sumu a ntegrál a použjte Cauchyův vzorec pro k-tou dervac funkce (b Využjte vzorce pro nverz matce : ( a b = c d z z z z z ad bc ( d b c a Pomocí něho spočtěte (zi A pro obě zadané matce U první resp druhé vyjde: ( z ( z+, resp z z 7 0 z+ z
8 Následně dosazením do formule pro výpočet exponencály z předchozího bodu a aplkací zmíněného Cauchyho vzorce zvlášť na každou složku výsledné nverzní matce (za pomoc rozkladu na parcální zlomky dopočítáte, že exponencála od první resp druhé matce je: ( (e + e (e e (e e (e + e, resp ( e (e e 0 e Matcová exponencála a řešení soustav lneárních rovnc V této podkaptole se budeme zabývat vlastnostm funkce Φ : R R n n, Φ : t e ta Mmo jné ukážeme, že ΦC je řešením soustavy Y = AY pro každý vektor C R n Nejprve s uvědomme, že z odhadu (3 (v mnulé podkaptole plyne pro t [ K, K] l A m t m m! (K A m (4 m! m=k Tedy řada konverguje lokálně stejnoměrně a funkce Y je tedy spojtá Zdervujeme-l m-tý člen řady, získáme m=k f n(t = m! Am mt m = A Am t m (m! Odhad (4 nám tedy dává také stejnoměrnou konvergenc dervací Odtud plyne, že lmtní funkce je dferencovatelná a lze j dervovat člen po členu Odtud hned dostáváme Φ (t = m= A Am t m (m! = AΦ(t, tedy funkce Φ splňuje rovnc ( a Y (t = Φ(tC je řešení soustavy rovnc ( Příklad Najděte fundamentální matc následující soustavy pomocí matcové exponencály x = 0x 6y y = 8x y 8
9 Řešení Vypočítáme vlastní čísla matce soustavy det(λi A = (λ 0(λ = λ + λ = (λ + (λ Vlastní vektor příslušný λ = je v splňující (I Av = 0, tj v = (, 3 Vlastní vektor příslušný λ = splňuje ( I Av = 0, tj v = (, Tedy ( 0 A = V JV = V V, 0 kde Máme tedy V = ( 3 t 0 Φ(t = e ta = V e 0 t a V = V = V ( 4e t 3e t e t + e t 6e t 6e t což je fundamentální matce soustavy ( 3 3e t 4e t ( e t 0 0 e t, V = Poznámka Uvědomte s, že pro každou regulární matc M je matcová funkce Φ(tM také fundamentální matcí soustavy (vynásobením zprava nahradíme sloupce lneárním kombnacem sloupců původní matce Tedy V e tj je fundamentální matce soustavy Ale Φ(t = V e tj V je jedná fundamentální matce, pro kterou platí Φ(0 = I Proto Φ(tC je řešení soustavy splňující počáteční podmínku Y (0 = C Pro chování řešení soustavy pro t + je klíčový následující odhad, který hojně využjete v kaptole o stabltě Jeho důkaz je ponechán jako cvčení Tvrzení Pro každé ɛ > 0 exstuje M takové, že platí kde α := max{re λ : λ σ(a} e ta Me t(α+ɛ pro všechna t 0, Úlohy na řešení soustav lneárních rovnc Najděte obecné řešení následujících soustav pomocí matcové exponencály 9
10 x = 6x + 8y y = 4x + 6y x = x 3y y = 6x + 7y 3 x = x 8y y = 0x + y 4 x = 5x 0y y = 5x + 5y 5 x = 5x 6y y = 3x y 6 x = 5x + 4y y = x y 7 x = x + 8y + 6z y = 4x + 0y + 6z z = 4x 8y 4z 8 Najděte fundamentální matc soustavy Y = AY, kde A = 5 3 Ověřte, že A 3 = 0 a př výpočtu fundamentální matce využjte tohoto faktu 0
11 Řešení Fundamentální matce soustavy je ( e t e t e t e t e t + e t e t + e t Fundamentální matce soustavy je ( e t e 4 t e 4 t + e t e 4 t e t e t + e 4 t 3 Fundamentální matce soustavy je ( cos(4 t 3 sn(4 t sn(4 t 5 sn(4 t cos(4 t + 3 sn(4 t 4 Fundamentální matce soustavy je ( cos(5 t sn(5 t sn(5 t sn(5 t cos(5 t + sn(5 t 5 Fundamentální matce soustavy je ( e t cos(3 t + e t sn(3 t e t sn(3 t e t sn(3 t e t cos(3 t e t sn(3 t 6 Fundamentální matce soustavy je ( e 3 t te 3 t 4 te 3 t te 3 t e 3 t + te 3 t 7 Fundamentální matce soustavy je e t 4 e t 4 3 e t 3 e t e t 3 e t 3 e t 4 e t e t
12 8 Jelkož A 3 = 0 (snadno se ověří výpočtem je fundamentální matce soustavy φ(t = e ta = I + ta + t A, tedy: φ(t = + t + t t 4t t + 6t t + t + t t 5t + 3t t t 3t Teoretčtější úlohy 9 Dokažte Tvrzení 0 Načrtněte chování soustavy x = Ax s konstantní matcí A, pokud A je podobná matc ( λ 0 0 λ Rozlšte případy: (a λ > 0 > λ, (b 0 > λ > λ Vypočtěte exponencálu matce ( a b b a (pokud možno bez rutnního přechodu na Jordanův tvar Načrtněte chování řešení soustavy s výše uvedenou matcí; jak se lší případy a > 0, a < 0 a a = 0? (a Spočítejte přímo z defnce e ta, víte-l, že A = I (b Ukažte, že A = I mplkuje σ(a {, } (c Pomocí (a určete fundamentální matc soustavy u = Au, je-l A = (a Spočítejte přímo z defnce e ta, víte-l, že A = c I, c > 0 (b Ukažte, že A = c I mplkuje σ(a {c, c} (c Pomocí bodu (a najděte fundamentální matc pro systém u = Au, kde A =
13 4 Vypočítejte e ta dt, 0 víte-l, že matce A má pouze záporná vlastní čísla (Proč konverguje tento ntegrál? 5 Ukažte, že [sn(ta] = A cos(ta a [cos(ta] = A sn(ta 6 Najděte všechna řešení soustavy Y = AY pro 0 A = pomocí matcového snu a cosnu Řešení 9 Plyne snadno z tvaru e J pro Jordanovu buňku J 0 Řešení je lneární kombnací e λ t v, kde v je odpovídající vlastní vektor e a+b = e a [cos b + sn b]; matce reprezentuje číslo a + b Výsledek tedy bude ( e at cos bt e at sn bt e at sn bt e at cos bt Pro a < 0 bude matcová exponencála konvergovat k 0, pro a = 0 bude omezená a pro a > 0 neomezená (a e ta = (cos ti + (sn ta (b uvažte, že λ σ(m právě když exstuje nenulový vektor v tak, že Av = λv (c Výpočtem ověřte, že A = I Poté z bodu (a plyne, že fundamentální matce φ(t je e ta = I cos t + A sn t, tedy: φ(t = cos t + sn t 5 sn t 8 sn t sn t sn t cos t sn t 4 sn t 8 sn t 0 0 cos t + sn t 5 sn t 0 0 sn t cos t sn t 3 (a e ta = cosh(tci + c snh(tca (b σ(c I = {c } Využjte větu o obrazu spektra s funkcí f(x = x Pak f(σ(a = σ(f(a = σ(c I = {c }, což mplkuje, že σ(a { c, c} (c Výpočtem ověřte, že A = 36I Fundamentální matce je pak dle bodu (a rovna matc e ta = I cosh(6t + A snh(6t, tedy: 6 cosh 6t + snh 6t snh 6t snh 6t φ(t = snh 6t cosh 6t snh 6t snh 6t snh 6t cosh 6t + snh 6t 3
14 4 Vypočtěte nejprve pro matc, tj záporné reálné číslo To vám napoví výsledek Defnce: B = A, právě když BA = I 5 Stejně jako v úvodu kaptoly ukažte, že lze dervovat řadu vyjadřující snus resp cosnus člen po členu Po zdervování stačí vhodně vytknout a upravt 6 Na základě cvčení 5 ukažte, že (sn tb = B sn tb a (cos tb = B cos tb pro lbovolnou matc B Nalezne-l se matce B taková, že B = A, bude {sn Bt, cos Bt} tvořt fundamentální systém řešení zadané soustavy Zmíněnou matc B lze nalézt např pomocí Cauchyho vzorce (zmíněného ve cvčení 0, stačí volt f(z = z a spočítat f(a Pak B = f(a = A a vyjde tedy 0 B = A pak fundamentální systém tvoří matce: sn t t cos 0 sn Bt = 0 sn t sn t cos t t sn t 0 a cos Bt = 0 cos t 0, 0 0 cos t které lze vypočítat například pomocí Cauchyho vzorců: f(a = f(z(z π γ a dz, f (a = f(z(z π γ a dz, stejným postupem jako ve cvčení 0, jenom místo funkce exp uvažujte funkce sn resp cos 4
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
Více1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
Více2.5. MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
25 MATICOVÉ ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak lze obecnou soustavu lneárních rovnc zapsat pomocí matcového počtu; přesnou formulac podmínek řeštelnost soustavy lneárních rovnc
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VíceNumerická matematika A
Numercká matematka A 5615 A1 Máme dánu soustava lneárních rovnc tvaru AX = B, kde 4 1 A = 1 4 1, B = 1 a Zapíšeme soustavu rovnc AX = B ve tvaru upravíme a následně (L + D + P X = B, DX = (L + P X + B,
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceOtázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceLiteratura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí pro 2D úlohy. Possonova rovnce. Vlnová rovnce. Rovnce vedení tepla. Lteratura: Kaptola 5 ze skrpt Karel Rektorys: Matematka 43, ČVUT, Praha, 2. Text přednášky na
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceJednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceIterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. 22. listopadu projekt č. 2
Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č.. lstopadu 1 Autor: Mlan Setler, setl1@stud.ft.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologí Vysoké Učení Techncké v Brně Obsah 1 Úvod...
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více9. Měření kinetiky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně
9. Měření knetky dohasínání fluorescence ve frekvenční doméně Gavolův experment (194) zdroj vzorek synchronní otáčení fázový posun detektor Měření dob žvota lumnscence Frekvenční doména - exctace harmoncky
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VícePosloupnosti a jejich limity
KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceZáklady matematické analýzy (BI-ZMA)
Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceLinearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE LEKE34-KIN auchyova obecná auchyova auchyův vzorec vičení KŘIVKOVÝ INTEGRÁL Na konci kapitoly o derivaci je uvedena souvislost existence derivace s potenciálním polem. Existuje
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceSoustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008
Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceCHARAKTERISTICKÉ VEKTORY
Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
Více