ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1

Transkript

1 ČÍSELNÉ RADY Budeme sa zaoberať výrazmi, ktoré obsahujú nekonečne veľa sčítancov. Takéto výrazy budeme nazývať nekonečné rady. V nasledujúcom príklade je ilustrované, ako môže takýto výraz vzniknúť. Príklad. Vyjadrime racionálne číslo 3/7 dekadickým zápisom 3/7=, =+8/0+5/0 +7/0 3 ++/ Nechjedanáčíselnápostupnosť {a n } = {a,a,...,a n,...}.formálnevytvorenývýraz a + a +...+a n +... nazývamenekonečnýčíselnýrad,stručnerad,vytvorenýzčlenovdanejpostupnosti.čísla a,a,...,a n,... nazývame členmi radu. Rad označujeme tiež symbolom a n () (čítasa:suma a n, nideoddo ). Z elementárnej aritmetiky poznáme presný význam súčtu konečného počtu sčítancov. Našim cieľom je rozšíriť pojem súčtu pre nekonečný počet sčítancov. Nechjedanýrad a n = a + a +...+a n +... Utvorme súčet jeho prvých dvoch, troch, atď. členov. Označme s = a s = a + a s 3 = a + a + a 3. s n = a + a +...+a n. Číslo s n nazývame n-týmčiastočnýmsúčtomdanéhoradu. Postupnosť {s,s,...s n,...}nazývamepostupnosťoučiastočnýchsúčtov danéhoradu. Akpostupnosť {s n } čiastočnýchsúčtovradu a n konverguje,t.j.akexistujevlastnálimita lim s n= s hovoríme,žerad a n jekonvergentnýamásúčet s.píšeme a n = s Akpostupnosť {s n } jedivergentná,hovoríme,žerad a n jedivergentnýanemásúčet. Dôležitým príkladom radu je geometrický rad. Geometrická postupnosť

2 Postupnosť {a n } sanazývageometrická,akexistujetakéčíslo q,žeprekaždéprirodzenéčíslo n platí: a n+ = a n q Číslo q sa nazýva kvocient. Pre geometrickú postupnosť platia tieto tvrdenia: () n-tý člen geometrickej postupnosti je daný vzťahom a n = a q (n ) () Preľubovoľnédvačleny a r, a s geometrickejpostupnostiplatí a r = a s.q (r s) (3) Presúčet s n prvých nčlenovgeometrickejpostupnostiplatí q n s n = a,ak q, q s n = na,ak q= Geometrický rad Akjedanágeometrickápostupnosť {a n } sprvýmčlenom a 0akvocientom q,takpríslušnýrad a + a +...+a n +...=a + a q+...+a q n +...= a q n sanazýva geometrickýrad.pre n-týčiastočnýsúčet s n platí: s n = a + a q+...+a q n q n = a q s n = na, ak q=. Dásadokázať,že pre q postupnosť {s n } diverguje. pre q <postupnosť {s n } konvergujeaplatí, ak q, Preto geometrickýrad Príklad. Rad lim s n= lim a q n q = a q lim (qn )= a q (0 )= a q je geometrický rad, lebo a q n jepre q <konvergentnýajehosúčetje s= a q n = n: n = = q n +... jekonštanta(nezávisíodn).jehokvocient q=/ <,pretojedanýradkonvergentnýaprejehosúčet splatí: s= n = = Divergentné rady sú len formálne výrazy, takže ich ďalšie vyšetrovanie nemá význam. Teraz si uvedieme vetu, ktorá umožňuje vylúčiť z našich úvah istú podmnožinu divergentných radov.

3 Nutná podmienka konvergencie radu. Akrad a n jekonvergentný,potom lim a n=0. Príklad3.Rad Rad 5n n+ n je divergentný, lebo lim n= =0. jedivergentný,lebo lim 5n n+ =5 0. Podmienka lim a n =0jelennutná,aleniepostačujúcaprekonvergenciuradu. Ukážemesitona príklade. Príklad 4. Rad n = n +... sanazývaharmonickýrad.jeho n-týčlenje a n = n.platí: lim a n= lim n =0 Napriek tomu sa dá dokázať, že tento rad diverguje. Pre rad n + je adásadokázať,žetentoradkonverguje. lim a n= lim n + =0 Vidímeteda,žeak lim a n=0,rad a n môžealeajnemusíbyťkonvergentný. Na vyšetrovanie konvergencie číselných radov používame vety, ktoré sa nazývajú kritériá konvergencie. Rady s nezápornými členmi Rad sa nazýva rad s nezápornými členmi. a n, a n 0 () Porovnávacie kritérium. Nech n 0 N také,že n n 0 je 0 a n b n.potomplatí.akkonvergujerad b n, potomkonvergujeajrad a n..akdivergujerad a n, potomdivergujeajrad b n. Hovoríme, že rad jemajorantnýradkradu rad b n a n jeminorantnýradkradu a n, b n. 3

4 d Alembertovokritérium.Nechprečlenyradu a n kde a n 0platí: a n+ lim = l (lmôžebyťaj ). a n Potom. Ak l >,raddiverguje.. Ak l <,radkonverguje. 3. Ak l=,podľatohotokritérianemožnookonvegenciiradurozhodnúť. Cauchyhokritérium.Nechprečlenyradu a n kde a n 0platí: lim n an = l (lmôžebyťaj ). Potom. Ak l >,raddiverguje.. Ak l <,radkonverguje. 3. Ak l=,podľatohotokritérianemožnookonvegenciiradurozhodnúť. Príklad5.Pomocoud Alembertovhokritériavyšetrimekonvergenciuradu Daný rad je konvergentný. a n+ n+ lim = lim a n n+ : n n= lim Cauchyho integrálne kritérium n+ n n n. = lim n+ = n <. Nech k radu() existuje funkcia f(x), ktorá je spojitá, nezáporná a nerastúca na nejakom intervale a, ) a n N, n n 0 platí a n = f(n). Potom ak f(x)dx konverguje, aj rad() konverguje. Ak f(x)dx diverguje, aj rad() diverguje. a a Radom so striedavými znamienkami nazývame rad kde a n >0 pre,,...,n. Leibnizovo kritérium Rady so striedavými znamienkami a a + a 3 a ( ) n a n +...= ( ) n a n, (3) Nechpostupnosť {a n } vytvorenázčlenovradu(3)jenerastúca.potomrad(3)konvergujevtedya len vtedy ak lim a n=0. Rady s ľubovoľnými členmi Označme a n, a n R (4) a n. (5) 4

5 Veta. Ak rad(5) konverguje, potom konverguje aj rad(4). Definícia. Hovoríme, že rad(4) absolútne konverguje, ak konverguje aj rad(5). Rad, ktorý konverguje, ale nekonverguje absolútne nazývame relatívne konvergentným. Ak daný rad je rad s nezápornými členmi, potom absolútna konvergencia je to isté ako konvergencia. Teda rad s nezápornými členmi ak konverguje, tak konverguje absolútne. Kritériá konvergencie, ktoré sme uviedli pre rady s nezápornými členmi môžme použiť na vyšetrenie absolútnej konvergencie ľubovoľnych radov. Tieto kritéria však nedávajú odpoveď na to, či daný rad je relatívne konvergentný. Jedine Leibnizovo kritérium môžeme použiť na vyšetrenie relatívnej konvergencie radov so striedavými znamienkami. Preto v prípade, že rad nekonverguje absolútne, je užitočné vedieť, či konverguje relatívne. Na to máme niekoľko kritérií. Uvedieme jedno z nich. Abelovo kritérium Uvažujme rad Akrad a n potomrad a n b n a b + a b +...a n b n +...= a n b n. konvergujeaakpostupnosť {b n } jemonotónnaaohraničená, konverguje. Súčet radov Nechsúdanérady a n = a + a +...+a n +... (6) Súčtomradov(6)a(7)nazývamerad b n = b + b +...+b n +... (7) (a n + b n )=(a + b )+(a + b )+...+(a n + b n )+... (8) Vzhľadom na definíciu súčtu radov môžeme formálne písať a n + b n = (a n + b n ) Ak oba rady(6),(7) konvergujú, potom aj rad(8) konverguje. Ak jeden z radov(6),(7) konverguje a druhý diverguje, potom rad(8) diverguje. Ak oba rady(6),(7) divergujú, potom rad(8) môže byť konvergentný aj divergentný. 5