Souhrnná prezentace. 14. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze"

Transkript

1 Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70

2 Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání, porovnávání čísel 2 Substantiva, odčítání, násobení 3 Čísla Čísla Dělení 6 Zlomky 7 Desetinná čísla 8 Mocniny 9 Odmocniny 0 Logaritmy, absolutní hodnota Závorky 2 Množiny 3 Úpravy zlomků 4 Čtení indexů 5 Úpravy rovnic a nerovnic 6 Popis řešení rovnic a nerovnic Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

3 Prezentace si můžete stáhnout na adrese Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

4 Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... nula... jedna 2... dvě 3... tři 4... čtyři 5... pět 6... šest 7... sedm 8... osm 9... devět 0... deset... jedenáct 2... dvanáct 3... třináct 4... čtrnáct 5... patnáct 6... šestnáct 7... sedmnáct 8... osmnáct 9... devatenáct dvacet Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

5 Přirozená čísla a nula N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 8,, 5, 3,, 4, 5, 2, 7, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 6, 6, 8, 3, 6, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 20, 0,, 2, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 3, 9, 6, 3,, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 9, 4, 8, 5, 3, 0, 9, 5,, 8, 20, 9, 4, 4, 0, 9, 7, 6, 3, 6, 9, 8, 5. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

6 Rovná se, nerovná se =... rovná se... nerovná se =... jedna se rovná jedna 2... jedna se nerovná dvě x y... x se nerovná y a = b... a se rovná b 5 = 5, 4 7, =, 3 9, 8 2, a b, x = z, 0 20, 6 = 6. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

7 Větší než, menší než >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno 3 > 2... tři je větší než dvě 2 < 7... dvanáct je menší než sedmnáct 4... čtrnáct je větší nebo rovno jedenáct pět je menší nebo rovno pět 0 0, 6 <, 9 > 3, 6 20, 4 < 6, x z, w u. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

8 Příklady >... větší než <... menší než... větší nebo rovno... menší nebo rovno =... rovná se... nerovná se 5 = 5, 7 < 2, 20 0, 9 9, 6 > 3, 7 7,, 8 4, 6 6, 2 20, x < y, 0 = 0, 5 > 0, 3, 0 <,, 6 8, 2 0, 8 < 5, 20 3, 4 5, 7 > a, 8 = 8, 5 0, 3 9, 7 0, 2 < 4, c b. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

9 Sčítání ( + = 2) +... plus = 8... tři plus pět se rovná osm nula plus sedm se nerovná dvě x + y = z... x plus y se rovná z a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek = 9... šest plus tři se rovná devět První sčítanec je šest. Druhý sčítanec je tři. Součet je devět. Výsledek je devět. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

10 Sčítání ( + = 2) a + b = c první sčítanec plus druhý sčítanec rovná se součet, výsledek + 9 = 0, = 7, = 20, + 5 = 6, = 2, = 20, = 8, = 7, 4 + = 5, = 9, 7 + = 8, =, = 6, = 5, u + v = s. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

11 Desítky N = {, 2, 3,...}... přirozená čísla N 0 = {0,, 2, 3,...}... přirozená čísla a nula 0... deset dvacet třicet čtyřicet padesát šedesát sedmdesát osmdesát devadesát sto 30, 90, 70, 0, 60, 40, 20, 50, 80, 00, 60, 40, 70, 20, 50, 00, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 00, 50, 80, 40, 90, 60, 3 < 50, 40 00, 70 7, = 30, = 90, 80, 60 > 8, , = 30, a Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70

12 Přirozená čísla a nula 0... nula... { jedna, jednička,... jedna, jednička, jednotka 2... dvě, dva, dvojka 3... tři, trojka 4... čtyři, čtyřka 5... pět, pětka 6... šest, šestka 7... sedm, sedmička 8... osm, osmička 9... devět, devítka 0... deset, desítka je číslo (number), je substantivum (noun).... jedenáct, jedenáctka 2... dvanáct, dvanáctka 3... třináct, třináctka 4... čtrnáct, čtrnáctka 5... patnáct, patnáctka 6... šestnáct, šestnáctka 7... sedmnáct, sedmnáctka 8... osmnáct, osmnáctka 9... devatenáct, devatenáctka dvacet, dvacítka Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

13 Přirozená čísla a nula... { jedna, jednička, je číslo, je substantivum = 0 První sčítanec je šestka. Druhý sčítanec je čtyřka. Výsledek je deset. Co je tohle? Tohle je čtyřka. Na Karlovo náměstí jede (tramvaj) osmnáctka. V hospodě mají (pivo) jedenáctku a dvanáctku. 8,, 5, 3,, 4, 5, 2, 7, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 6, 6, 8, 3, 6, 4, 5, 7, 2, 8, 0, 20, 0,, 2, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 3, 9, 6, 3,, 2, 8, 9, 7, 2, 5, 9, 4, 8, 5, 0, 9, 5,, 8, 20, 9, 4, 4, 0, 9, 7, 6, 3, 6, 9, 8, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

14 Je rovno, není rovno jedna plus dvě se rovná tři, + 2 = 3... jedna plus dvě je rovno tři, jedna plus dvě je tři. tři plus čtyři se nerovná pět, tři plus čtyři není rovno pět, tři plus čtyři není pět = 2, 4 + 6, = 30, = 90, , c + 00 = g, k + s h, = 9, =, 4 + w 80 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

15 Celá čísla Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}... celá čísla... mínus mínus sto x... mínus x 8,, 5, x,, 40, 5, 2, 70, 7, 0,, 9, 4, 20, 3, 9, 60, 00, 80, 7, o, r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

16 Odčítání (3 2 = )... mínus 5 3 = 2... pět mínus tři se rovná dvě nula mínus sedm se nerovná dvě x y = z... x mínus y se rovná z 9 = 0... mínus jedna mínus devět se rovná mínus deset a b = c menšenec mínus menšitel rovná se rozdíl, výsledek (not used) (not used) 9 = 8, 4 5 =, 8 2 = 6, 5 = 6, 0 2 = 2, 0 30 = 20, = 90, 9 3 = 6, 4 = 3, h r = 80, = 00, 9 e = i, 7 4 0, o w j, = 0, 90 h > 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

17 Násobení (2 3 = 6)... krát 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest x y = z... x krát y se rovná z xy = z... x krát y se rovná z 3x = 9... tři x se rovná devět a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 3 = 6... dva krát tři se rovná šest První činitel je dvojka. Druhý činitel je trojka. Součin je šest. Výsledek je šest. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

18 Násobení (2 3 = 6) a b = c první činitel krát druhý činitel rovná se součin, výsledek 2 9 = 8, 4 5 = 20, 7 0 = 70, 2 5 = 60, 0 00 = 0, 0 0 = 00, x y = 90, p 3 = 40, q = 3, , 5 3 = 5, 3 ( 6) = 8, 40 h <, o ( e) j, = 3 0, 6 k , 5 ( 8) 2 9, 0 2 0, 4 0 < Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

19 Desítky { sto, stovka, 00 je číslo, 00 je substantivum deset, desítka dvacet, dvacítka třicet, třicítka čtyřicet, čtyřicítka padesát, padesátka šedesát, šedesátka sedmdesát, sedmdesátka osmdesát, osmdesátka devadesát, devadesátka sto, stovka 30, 90, 70, 0, 60, 40, 20, 50, 80, 00, 60, 40, 70, 20, 50, 00, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 00, 50, 80, 40, 90, 60, 3 < 50, 40 < 00, 70 > 7, 0 < 20, 90 > 50, h > 30, 0 < 00 80, 60 > 8, 6 < 70, 7 > 3, 4 < 40, 8 > 5, 20 < 30 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

20 2, 22, 23,..., { dvacet jedna, dvacítka jednička, 2 je číslo, 2 je substantivum. 2 (20 + )... dvacet jedna, dvacítka jednička 62 (60 + 2)... šedesát dva (dvě), šedesátka dvojka 34 (30 + 4)... třicet čtyři, třicítka čtyřka 97 (90 + 7)... devadesát sedm, devadesátka sedmička 85, 49, 52, 3, 63, 77, 26, 94, 38, 82, 34, 43, 27, 69, 7, 56, 99, 3, 25, 5, 50, 55, 33, 44, 66,, 87, 22, 00, 74, 0, 29, h, e, 48 < 93, 6 50, k + m 42, 9 7 = 63, 2 36 = 72, 3 3 = 39, = 25, 0 54, 6 ( 4) = 84 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

21 Stovky sto dvě stě tři sta čtyři sta pět set šest set sedm set osm set devět set tisíc 400, 00, 600, 900, 200, 000, 300, 800, 500, 700, 600, 200, 000, 800, 400, 500, 900, 700, 00, 600, 300, 700, 500, 300, 900, 000, 00, 200, 20, 39, 75, 400, 0 60 = 600, = 500, , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

22 0, 02, 03,..., (00 + )... sto jedna 2 (00 + 2)... sto dvanáct 632 ( )... šest set třicet dva (dvě) 350 ( )... tři sta padesát 999 ( )... devět set devadesát devět 852, 497, 52, 38, 643, 777, 265, 942, 382, 824,, 569, 333, 57, 290, 444, 600, 55, 708, 80, 000, 906, 74, 3, 25, 555, 280, 37 < 692, = 589, 222, 555, 8 6 = 288, = 437, 973h = 000 g Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

23 Opakování 23, 456, 789, 0, 000, 98, 76, 543, 2, 2, 875, x, h + p 358, , q 905 = 26, = 956, 82 + ( 529) = 347, 405, 30 < 7, 224 y z, 000, 88, 766 r, , = 339, s 6 = l, 5w = i, 45 6 = 270, 3 22 = 682, = 539, = 560, ( 330) = 25, x y f j + c g 7 = u Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

24 Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., ) tisíc dva tisíce tři tisíce čtyři tisíce pět tisíc třicet } {{ dva } tisíc devět } set devadesát {{ devět } tisíc 999 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

25 Tisíce ( 000, 2 000, 3 000,..., ) , 3 000, , 0 000, 000, , 2 000, , , 4 000, , , 7 000, , 5 000, 3 000, , , , 300, 33, , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

26 00, 002,..., ( )... sto dvacet tři tisíc čtyři sta padesát šest ( )... sedm set osmdesát devět tisíc tři sta dva , ,, , , 57 62, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

27 , ,..., milion dva (dvě) miliony tři miliony čtyři miliony pět milionů devět set devadesát devět milionů miliarda ( )... sto dvacet tři milionů čtyři sta padesát šest tisíc sedm set osmdesát devět , , , , , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

28 , ,..., miliarda dvě (dva) miliardy tři miliardy čtyři miliardy pět miliard devět set devadesát devět miliard bilion ( )... sto dvacet tři miliard čtyři sta padesát šest milionů sedm set osmdesát devět tisíc , , , , , , , Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

29 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2)... děleno /... děleno, lomeno x 0... x děleno nulou x... x děleno jednou x 2... x děleno dvěma x 3... x děleno třemi x 4... x děleno čtyřmi x 5... x děleno pěti x 9... x děleno devíti x 0... x děleno deseti. x x děleno dvaceti x 2... x děleno dvaceti jednou.. x 8... x děleno osmi x x děleno devadesáti devíti Při dělení čísly 0,,..., 99 všechna slova deklinujeme. 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 78, 4, 50, 95, 3, 23, 49, 84,, 66, 8, 52, 0, 80, 77,, 23 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

30 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) x x děleno (jedním) stem x x děleno dvěma sty x x děleno (jedním) tisícem x x děleno dvěma tisíci Ale: x x děleno dvaceti jedním tisícem (jednou tisíci) x x děleno (jedním) milionem x x děleno dvěma miliony Ale: x x děleno dvaceti jedním milionem (jednou miliony) x x děleno miliardou x x děleno dvěma miliardami Ale: x x děleno dvaceti jednou miliardou Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

31 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 800, 000, , 00, 7 000, , /7 000, , ( ), , 300, ( ), /45, /900, / , 0 000, 500, 5 000, , 9 000, , / Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

32 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) Při dělení čísly 00, 0, 02,... máme dvě možnosti. Deklinujeme všechna slova děleno devíti sty osmdesáti sedmi miliony šesti sty padesáti čtyřmi tisíci třemi sty dvaceti jednou děleno (jedním) stem dvaceti třemi miliony čtyřmi sty jedním tisícem 2 Nedeklinujeme nebo deklinujeme pouze část. Nejčastěji poslední dvě číslice děleno devět set osmdesát sedm milionů šest set padesát čtyři tisíc tři sta dvaceti jednou děleno dvě stě dvěma děleno sto dvacet tři milionů čtyři sta pět tisíc Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

33 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 6/3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě 7 x = a... sedm děleno x se rovná a 7 (x 5)= a... sedm děleno x mínus pět se rovná a a b = c dělenec děleno dělitel rovná se podíl, výsledek 6 3 = 2... šest děleno třemi se rovná dvě Dělenec je šestka. Dělitel je trojka. Podíl je dvě. Výsledek je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

34 Dělení (6 3 = 2, 6/3 = 2) , , 56 ( 000), , , q 37, , k l m = o, w/ = g 276/5, = 2 345, , b , , /72 0 = 2 74, u j s/t = r Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

35 Zlomky ( 2, 7,...) x y... zlomek (jedna) polovina... (jedna) třetina... (jedna) čtvrtina... (jedna) pětina (jedna) šestina... (jedna) sedmina... (jedna) osmina... (jedna) devítina 0,,..., 20 30, 40,..., (jedna) desetina, jedenáctina,..., dvacetina... (jedna) třicetina, čtyřicetina,..., devadesátina 8, 2, 4, 5, 3, 0, 4, 7, 7, 9, 6, 3, 5, 2, 9,, 7,, 3, 4, 4, 2, 0, 2, 5, 3, 6, 9, 8, 2, 20 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

36 Zlomky ( 2, 57,...)... (2 = a 20) (jedna) jedenadvacetina 2... (22 = 2 a 20) (jedna) dvaadvacetina (99 = 9 a 90) (jedna) devětadevadesátina 8, 25, 4, 53, 39, 42, 48, 27, 80, 95, 76, 83, 5, 2, 9, 7, 55, 3, 4, 43, 2, 0, 2, 56, 48, 60, 96, 59, 2, 22, 88, 2, 24, 50, 3, 0, 4, 7, 70, 90, 6, 3, 5, 93, 55, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

37 Zlomky ( 00, 000,...)... (jedna) setina (jedna) tisícina (jedna) desetitisícina (jedna) stotisícina (jedna) miliontina (jedna) miliardtina , 00, , 000, , 0 000, 0, 00 = , ( )/ = = 000, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

38 Zlomky ( 2 5, 5 8,...) 0... nula pětin 5... (jedna) pětina dvě pětiny tři pětiny čtyři pětiny pět pětin šest pětin 5. Zlomky x 5 pro x > 6 čteme čtyřicet dva pětin sto padesát čtyři pětin x 5... x pětin milion pětin Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

39 Zlomky ( 2 5, 5 8,...) 3 2, 5 7, w 4, 46, 3 2, 4 8, 9 55, 2 5, , , a 85, 23 2, 0 3, 2 73, 2, 3 00, 376 9, 84 5, 4 29, , 60 44, , 37 74, , , 0 0, j 4, , , 82 9, 9 8, , 2 7, 3 29, 5 52, 3 4, 33 96, 73, 9 00, , 20 6, 3 8, 4 000, , , 3 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

40 Zlomky ( 2 03, ,...) Ostatní zlomky můžeme číst jako podíl dvacet jedna lomeno sto dvěma... sedmdesát tři lomeno devadesát devět tisíc osm set sedmdesáti x y... x lomeno y 3 x 5... tři lomeno x mínus pět 2 čitatel zlomková čára jmenovatel V čitateli zlomku je jednička. Čitatel zlomku je jedna. Ve jmenovateli zlomku je dvojka. Jmenovatel zlomku je dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

41 Zlomky ( , s t 8,...) Velmi složité zlomky čteme takto: x+y z s+r... Zlomek. V čitateli x plus y mínus z, ve jmenovateli s plus r. 2x 37 q... Zlomek. V čitateli dvě x mínus třicet sedm, ve jmenovateli jedenáct krát q. 7x 67, 45 2, a b x +, 53 00, 2, 2 3, q , 4/72 4, c 72/c, 5x , 4 9, , , , k l 67, 2 98, 5 52, 0 000, 83 39, g f, 3 2, 22s + 4r w, 54 3 ( 23r 55, , , 4 82 ) = = 4 8 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

42 Desetinná čísla (0,, 6,037,...),3... celá část,... desetinná čárka 3... desetinná část 0, desetiny 2... setiny 3... tisíciny,2... jedna celá dvě (desetiny) 2,2... dvě celé dvě (desetiny) 3,2... tři celé dvě (desetiny) 4,2... čtyři celé dvě (desetiny) 4... desetitisíciny 5... stotisíciny 6... miliontiny 5,2... pět celých dvě (desetiny) 6,2... šest celých dvě (desetiny) 7,2... sedm celých dvě (desetiny). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

43 Desetinná čísla (0,, 6,037,...) Při čtení desetinné části (,23) máme následující dvě možnosti: Desetinnou část čteme jako zlomek.,23 ( = + 00) jedna celá dvacet tři (setin),023 ( = )... jedna celá dvacet tři tisícin,0705 ( = )... jedna celá sedm set pět desetitisícin 2 Desetinnou část čteme jako posloupnost číslic., jedna celá dvě, tři, čtyři, pět, šest, jedna celá nula, sedm, nula, pět 0,09... žádná/nula celá devět setin, žádná/nula celá nula, devět 93, devadesát tři celých dvě stě jedna stotisícin, devadesát tři celých nula, nula, dva, nula, jedna 05,0... sto pět celých nula (desetin) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

44 Desetinná čísla (0,, 6,037,...) 0,68, 3,907, 003,0, 0,432, 2,090807, 3,630, 0,4443, 2,052, 4,27 +,000 = 5,270, 4 782,50039, 23,057, 5,92674, 0,5, 0,25, 3 733,357/3809 = 0,9803, ,76 = 0,80, 23,456789, 22,64, , ,249 = 89773,9843, 4 782,50039, 2,7, 0,0909, 8,07, 6,300, 0,25, 0,00003, 002,056, 0,23 0,987 = 0,240, 7,04003, 0,72, 0,06002, ,05, 8,56, 64,9070, 3,98/5 = 0,2654 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

45 ( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 0 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7... x na nultou... x na prvou... x na druhou... x na třetí... x na čtvrtou... x na pátou... x na šestou... x na sedmou x 8 x 9 x 0 x x 9 x x na osmou... x na devátou... x na desátou... x na jedenáctou.... x na devatenáctou... x na dvacátou j, x 9, c 4, p 7, f 7, x 0, o 4, k 6, x 3, x 2, a 5, r 3, x 2, e 9, x, w 20, m 8, z 8, q 5, v 6, h 4, s 0, u 2, f 20, n 0, w 9, d 3, g 7, t, i 0, b 4, y 2, x 9, g 3, p 0, n 4, u 0, e, c 2, j 5, k 2, l 3, a 9 x 9, s 4, z 7 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

46 ( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... x 2 exponent základ (mocniny) Základ mocniny je trojka. Exponent je dvojka Základ mocniny je číslo tři. Exponent je číslo dvě. Při čtení mocnin s různými základy základ nedeklinujeme dvě na druhou sedmnáct na patnáctou ( 6 4)... jedna čtvrtina na šestou 0, žádná celá čtyřicet sedm tisícin na čtvrtou ( ) 0... mínus jedna na nultou ( ) 3 ( 4 0,257 5,, 29 ) 9, , , , w 5, 4 0, 0, 2, 7 2 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 7 ( ) ,, , , d 20, 0,,, s, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

47 ( ) Mocniny x 2, 2 3, 5 2,... Při čtení mocnin s písmenem latinské abecedy v exponentu čteme: 2 x... dvě na x-tou 2 n... dvě na n-tou Pokud je exponent mocniny složitější, deklinovat nemusíte. 4 2,57... čtyři na dvě celé padesát sedm 7 x2 +2x+4... sedm na x na druhou plus dvě x plus čtyři x x na dvě třetiny a 2 b 2 ( ) 27 a + b = a b, c+23r, x,, r s 456 3, ( 0,23) 789, 0 0, 4 a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2) ( ) n 32, 7,0509 3,4, e x, 2 4,, 4 2, 6 ) 0x 3 5x 2 y+y 4, a b (8 423/ ) 29 4, ( 2,783) 9,2000x, ( ) n n, ( 20 2 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

48 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... ( x... první odmocnina z x) x... (druhá) odmocnina z x 3 x... třetí odmocnina z x 4 x... čtvrtá odmocnina z x 5 x... pátá odmocnina z x 6 x... šestá odmocnina z x 7 x... sedmá odmocnina z x 8 x... osmá odmocnina z x 9 x... devátá odmocnina z x 0 x... desátá odmocnina z x x... jedenáctá odmocnina z x 2 x... dvanáctá odmocnina z x. 9 x... devatenáctá odmocnina z x 20 x... dvacátá odmocnina z x j, 9 x, 4 c, 7 p, 7 f, x, 4 o, 20 k, 3 z, 3 r, 5 a, 0 w, 2 q, 9 e, y, 8 m, 8 p, 5 q, 6 v, 4 a, 9 s, 2 u, 0 n, 3 3 w, d, 7 g, 7 4 t, i, b, 2 y, 9 x, 3 g, 0 p, 6 n, c, 5 e, 2 s, j, k, l, 9 a 9 y, 4 t, 6 z, 20 y, 6 k Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

49 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n odmocnina z nuly 9... odmocnina z devíti... odmocnina z jedné 2... odmocnina ze dvou 3... odmocnina ze tří 4... odmocnina ze čtyř 5... odmocnina z pěti odmocnina z osmi 0... odmocnina z deseti odmocnina z dvaceti 2... odmocnina z dvaceti jedné odmocnina z dvaceti dvou odmocnina z devadesáti devíti Při odmocňování deklinujeme (= skloňujeme) stejně jako při dělení. S výjimkou čísel 0,, 2, 3, 4. ( 0... odmocnina z deseti, 0... děleno deseti) 0, 5, 2, 6,, 2, 3, 8, 4, 6 50, 95, 3, 6, 23, 0 49, 84,, 66, 3 8, 52, 0, 80, 7 77,, 92, 3, 64, 29, 9 53, 42, 7, 3 0,, 2, 4 76, 2, 0 3 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

50 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... 3 x odmocnitel základ (odmocniny), číslo pod odmocninou Pod odmocninou je dvojka. Pod odmocninou je číslo dvě Základ odmocniny je dvojka. Odmocnitel je trojka Základ odmocniny je číslo dvě. Odmocnitel je číslo tři. Pokud je odmocnitel písmeno latinské abecedy, čteme ho následovně: n 5... n-tá odmocnina z pěti x 3... x-tá odmocnina ze tří Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

51 ( x, ) Odmocniny 3 8, n n... Pokud je výraz pod odmocninou složitější, deklinovat ho nemusíme. 2,5... odmocnina z čísla dvacet jedna celých pět desetin odmocnina z (výrazu/čísla) deset mínus jedenáct čtvrtin n 2 + 2n odmocnina z (výrazu/čísla) n na druhou plus dvě n plus čtyři Pokud je odmocnitel složitejší, čtěte odmocninu následujícím způsobem: 2n 2... Odmocnina. Odmocnitel je 2n, pod odmocninou je číslo dvě/dvojka. x2 + 3w Odmocnina. Odmocnitel je x 2 +, pod odmocninou je číslo/výraz tři w plus čtyři Odmocnina. Odmocnitel je sto dvacet sedm tisíc, pod odmocninou je číslo pět/pětka x0, n nn, 9 + 2, t 2 x8 3y 2, q+s k/2 23/456, 2 g+h, j 0, Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70 y e x

52 Logaritmy (log 0 2, ln x,...) log a x... logaritmus x při/o základu a, logaritmus x log x ( = log 0 x)... logaritmus x ln x ( = log e x)... přirozený logaritmus x, logaritmus x e... Eulerovo číslo, e = 2,78... log a b argument logaritmu základ logaritmu Argument logaritmu čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). ln přirozený logaritmus dvě stě padesáti sedmi log logaritmus tři tisíce jedné při základu čtyři log logaritmus odmocniny ze dvou při základu dvě log a x + log a y = log a (xy), log a x log a y = log a ( x y ), c log a x = log a x c, ln 23, log , log a x = log a b log b x, log =? Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

53 Absolutní hodnota ( x, 0,...)... absolutní hodnota x číslo v absolutní hodnotě absolutní hodnota Číslo v absolutní hodnotě čteme stejně jako číslo pod odmocninou (2. pád). x... absolutní hodnota x... absolutní hodnota mínus jedné x absolutní hodnota výrazu/čísla x na druhou plus dvě absolutní hodnota třetí odmocniny z mínus dvou ln 4... absolutní hodnota přirozeného logaritmu čtyř ln 4... přirozený logaritmus absolutní hodnoty mínus čtyř 200, 35, q, x2 + 4x + 4 =?, 74 9, 2x, x2 = x, e s = e s,, log 3 8 =?, x + y x + y, x y = xy Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

54 Závorky ((), [], {}, ) (... kulatá závorka [... hranatá závorka {... složená závorka... špičatá/ostrá závorka ()... kulaté závorky []... hranaté závorky {}... složené závorky... špičaté/ostré závorky (... levá závorka )... pravá závorka (x), [x], {x}, x... x v závorce (x + ), [x + ], {x + }, x +... x plus jedna (to celé) v závorce (x + ) 3... x plus jedna to celé/v závorce krát tři ln(4x + 3)... logaritmus výrazu/čísla čtyři x plus tři ( + x) n... jedna plus x to celé na n-tou 6/(2 + 4)... šest děleno závorka dvě plus čtyři konec závorky (4/(x + y) + ) 5... čtyři děleno závorka x plus y konec závorky plus jedna to celé (v závorce) krát pět Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

55 Závorky ((), [], {}, ) (a + b) (a b) = a 2 b 2, (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, 5(4r + 3h), [ ( ln )] e 3 =?, (m + n) l + m + n = (m + n) (l + ), ( ) { p/2 345 log r } [ ] 90 45, + e 2(3s g) 5 q , = 3, (x + a) w (log y 37 6u) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

56 Množiny (R, x 0,, A B) {, a, +}... množina, která obsahuje prvky jedna, a, plus A = {, a, +}... Množina A obsahuje prvky jedna, a, plus. x A... x patří/náleží do množiny A, x je v A,5 / A... (číslo) jedna celá pět desetin nepatří/nenáleží do množiny A, (číslo) jedna celá pět desetin není v A A B... Množina A je podmnožinou množiny B. A je v B. A B... Množina B je nadmnožinou množiny A. A B... Množina A není podmnožinou množiny B. A není v B. A B... průnik množin A a B, A průnik B A B... sjednocení množin A a B, A sjednoceno s B A \B... rozdíl množin A a B, A mínus B x A B... x patří do průniku množin A a B, x je v průniku množin A a B, x je v A a i v B Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

57 Množiny (R, x 0,, A B) Intervaly (0, )... otevřený interval od nuly do jedné 0,, [0, ]... uzavřený interval od nuly do jedné (a, b)... otevřený interval od a do b Číslo 0 je dolní mez intervalu a číslo je horní mez intervalu. Meze intervalu čteme jako číslo pod odmocninou (2. pád). (0,... zleva otevřený zprava uzavřený interval od nuly do jedné 0, )... zleva uzavřený zprava otevřený interval od nuly do jedné x (3,4)... x patří/náleží do otevřeného intervalu od tří do čtyř, x není v otevřeném intervalu od tří do čtyř Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

58 Množiny (R, x 0,, A B) x (2,3), q / [ 7, ], ( 3, 7) ( 2, 9), (c,d) {c, d} = c,d, {8, 5, 7} 4, 0), 0, 6 3, 5 =?, (8, 7 (7, 8) =?, (A B) \ C = (A \ C) (B \ C), (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

59 Množiny (R, x 0,, A B) Důležité množiny N... množina všech přirozených čísel (x N... x je přirozené) Z... množina všech celých čísel (x Z... x je celé) Q... množina všech racionálních čísel (x Q... x je racionální) R... množina všech reálných čísel (x R... x je reálné) R +... množina všech kladných reálných čísel (x R +... x je kladné) R... množina všech záporných reálných čísel (x R... x je záporné) R množina všech kladných reálných čísel a nuly R... rozšíření množiny všech reálných čísel (R = R {+, }) +... plus nekonečno,... mínus nekonečno C... množina všech komplexních čísel (x C... x je komplexní) C... rozšíření množiny všech komplexních čísel (C = C { })... nekonečno... prázdná množina Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

60 ( ) Úpravy zlomků 2 = 4 2 2, = 29 35,... Krácení a rozšiřování zlomků (krátit zlomek, rozšířit zlomek) Číslo, kterým krátíme/rozšiřujeme, čteme jako při dělení (7. pád) Zlomek dvě čtvrtiny zkrátíme dvěma (na tvar jedna polovina). 4 2 x3x x Zlomek x na třetí lomeno x na druhou zkrátíme x na druhou.... Zlomek tři sedminy rozšíříme třemi. Jak můžeme zkrátit zlomek ? Například dvěma na tvar 30 nebo deseti na tvar Převod zlomků na společného jmenovatele (převést zlomky na společného jmenovatele) = Zlomky tři sedminy a dvě pětiny převedeme na společného jmenovatele (třicet pět) Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

61 Čtení indexů ( a, x n, x 3,... ) Čtení indexů x... x jedna, x s dolním indexem jedna... dolní index x 2, x (2)... x dvě, x s horním indexem dvě 2, (2)... horní index x,2... x jedna dvě x n... x n Další způsob čtení výrazu x y x 0... x je různé od nuly (čteme v 2. pádě, jako číslo pod odmocninou) x y... x je různé od y Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

62 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) x 2 + 2x 3 = 0... rovnice (s neznámou x), x 2 = 2x + p... rovnice (s neznámou x a parametrem p), x 2 2x + p... nerovnice (s neznámou x a parametrem p) x 2 = 2x + p levá strana rovnice rovnítko, znak rovnosti pravá strana rovnice x je neznámá. p je parametr. Na levé straně rovnice je (výraz/číslo) x 2. Na pravé straně rovnice je (výraz/číslo) 2x + p. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

63 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x 2 = 2x 0 = x 2 2x Převedeme (výraz/číslo) x 2 z levé strany (rovnice) na pravou (převést). x 2 = 2x x 2 + 2x = 0 Převedeme (výraz/číslo) 2x z pravé strany (rovnice) na levou (převést). 2x 2 = 2x x = Vydělíme rovnici číslem/výrazem 2x (vydělit). 2x = = 2x Vynásobíme rovnici číslem/výrazem 2x (vynásobit). x 2 + 4x = 4 x 2 + 4x+y = 4+y K levé i pravé straně rovnice přičteme číslo y (přičíst). x 2 + 4x + 4 = 0 x 2 + 4x + 4 y = 0 y Od levé i pravé strany rovnice odečteme číslo y (odečíst). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

64 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic x + = 0 x + = 0 Rovnici umocníme na druhou (umocnit). (x + ) 2 = 0 x + = 0 Rovnici odmocníme (odmocnit). 2 x = log 2 2 x = log 2 Rovnici logaritmujeme (logaritmovat). log 2 2 x = log 2 2 x = Rovnici odlogaritmujeme (odlogaritmovat). x 2 + 2x + = 0 (x + ) (x + ) = 0 Levou stranu rovnice převedeme na součin (převést). Levou stranu rovnice vyjádříme jako součin (vyjádřit). Levou stranu rovnice převedeme na tvar (x + ) (x + ). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

65 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Úpravy výrazů a rovnic log 2 2 x 2 = x =... Levou stranu rovnice zjednodušíme (na (tvar) x ). Výraz na levé straně (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit). ln 2 ln x=a x + 3ln x + 2 = 0 = a 2 + 3a + 2 = 0 Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Označíme ln x jako a (označit). a 2 + 3a + 2 a= = Za a dosadíme číslo jedna. (dosadit). x 3 + 3x 2 + 2x = x ( x 2 + 3x + 2 ) Z výrazu vytkneme číslo x. (vytknout). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

66 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice 3x 2 = 6 3x (s neznámou x R) Máme řešit rovnici 3x 2 = 6 3x. 2 3 x 2 = x... Rovnici vydělíme třemi. 3 x 2 = 2 x x 2 +x 2 = 0... Výraz dvě mínus x převedeme z pravé strany na levou. Převedeme všechno/vše na levou stranu. 4 x 2 + x 2 = 0 (x + 2) (x ) = 0... Levou stranu převedeme na součin x plus dva krát x mínus jedna. 5 x = 2 nebo x =... Řešením rovnice jsou čísla mínus dvě a jedna. Rovnici řeší čísla mínus dvě a jedna. Rovnice má dvě řešení, čísla mínus dvě a jedna. x = 2, x 2 =... Řešením rovnice jsou čísla x jedna a x dvě, kde x jedna se rovná mínus dvě a x dvě se rovná jedna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

67 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 2 (x 2)2 < 6 (s neznámou x R). Řešíme nerovnici 2 (x 2)2 < (x 2)2 < 6 log 2 2 (x 2)2 < log Rovnici logaritmujeme (logaritmem při základu dvě). 3 log 2 2 (x 2)2 < log 2 6 (x 2) 2 < 4... Levou i pravou stranu rovnice zjednodušíme. Obě strany rovnice zjednodušíme. 4 (x 2) 2 < 4 x 2 < 2... Rovnici odmocníme. 5 x > 0 a zároveň x < 4... Řešením rovnice jsou všechna čísla x (, která jsou) větší než nula a zároveň menší než čtyři. Řešením rovnice jsou všechna x z otevřeného intervalu od nuly do čtyř (všechna x (0, 4)). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

68 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení nerovnice 4x 3 7+x Máme řešit nerovnici 4x 3 7+x > 0. 2 > 0 (s neznámou x R). 4x 3 7+x > x 0 x 7 Určíme, pro která x má zlomek smysl. Určíme, za jakých podmínek má zlomek smysl. Zlomek má smysl pro (všechna) x různá od mínus sedmi. 3 4x 3 = 0 nebo 7 + x = 0 x = 3 4 nebo x = 7... Určíme/nalezneme nulové body čitatele a jmenovatele. x = nulový bod 4 x < 7 4x 3 7+x > 0, x ( 7, 3 4 ) 4x 3 7+x < 0, x > 3 4 4x 3 7+x > 0 Určíme, znaménka zlomku v intervalech (, 7), ( 7, 3 4 ) a ( 3 4, + ). Určíme, kdy je zlomek kladý a kdy (je) záporný. 5 x (, 7) ( 3 4, + )... Řešením rovnice jsou všechna čísla x ze sjednocení otevřeného intervalu od mínus nekonečna do mínus sedmi s otevřeným intervalem od tří čtvrtin do plus nekonečna. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

69 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice x 2 = 2 x (s neznámou x R) Řešíme rovnici x 2 = 2 x. 2 a)... x 2 0, b)... x 2 > 0... Rozdělíme řešení na dva případy. 3 a) x 2 0 x 2 = (x 2) = 2 x... Za a. Pokud je výraz x mínus dvě menší nebo roven nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar dvě mínus x. 4 b) x 2 > 0 x 2 =x 2 Za b. Pokud je výraz x mínus dvě větší než nula, zjednoduší se absolutní hodnota čísla x mínus dvě na tvar x mínus dvě. Za b. Pro x mínus dva větší než nula se absolutní hodnota z x 2 rovná x mínus dvě. 5 x 2... Řešením rovnice jsou všechna čísla x menší nebo rovna dvě. Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

70 Rovnice, nerovnice ( x 2 + 2x 3 = 0, +x < x x,...) Popis postupu řešení rovnice xp = 0 s neznámou x R a parametrem p R Řešíme rovnici xp = 0 s parametrem p R. 2 a)... p = 0, b)... p 0 V závislosti na hodnotě parametru p rozdělíme řešení na případy a a b (rozdělit). Rozlišíme následující dva případy: p je nula a p není nula. Rozdělíme řešení na případ, kdy p je nula, a případ, kdy p je různé od nuly. 3 a) p = 0 0 x = 0 x R Za a. Pokud je p nula, dostáváme rovnici nula x se rovná nula, takže řešením jsou všechna reálná x. 4 b) p 0 x p = 0 x = 0 Za b. Pro p různé od nuly vydělíme rovnici (číslem) p, takže dostáváme, že x je nula. 5 Pro p 0 (různé od nuly) má rovnice řešení x = 0 (x se rovná nula) a pro p = 0 (p se rovná nula) rovnici řeší všechna x R (reálná x). Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října / 70

Matematika. 18. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Matematika. 18. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 8. října 206 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 / 72 Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání,

Více

Matematika. 3. listopadu Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Matematika. 3. listopadu Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 3. listopadu 207 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 3. listopadu 207 / 73 Obsah Čísla 0 20, porovnávání

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel

5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Nové učivo ve 4. ročníku

Nové učivo ve 4. ročníku Nové učivo ve 4. ročníku Tato stránka je určena dětem, které si chtějí zopakovat stěžejní učivo z matematiky nebo z nějakého důvodu chybí ve škole a mohou si doma právě probírané učivo nastudovat. Zlomky

Více

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly

Rozšiřování = vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly Rozšiřování a krácení zlomků Rozšiřování vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly rozšířený zlomek vznikl tak, že jsme čitatel i jmenovatel původního zlomku vynásobili číslem rozšířený

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)

VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit

MATEMATIKA. Výrazy a rovnice 1. pracovní sešit MATEMATIKA Výrazy a rovnice pracovní sešit Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzentky: Mgr. Barbora Stušová; doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D. OBSAH

Více

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky

7 = 3 = = Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek = vyjádření části celku 3 část snědla jsem 3 kousky 0 Učivo Vysvětlení Př. + pozn. Zlomek vyjádření části celku část snědla jsem kousky celek a pizza byla rozdělena na kousky Pojem zlomek Vyjádření zlomku Základní tvar: čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná

Více

čitatel jmenovatel 2 5,

čitatel jmenovatel 2 5, . ZLOMKY Zlomek má následující tvar čitatel jmenovatel Příkladem zlomku může být například zlomek, tedy dvě pětiny. Jmenovateli se říká jmenovatel proto, že pojmenovává zlomek. Pětina, třetina, šestina

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

2. Určete kolik z následujících čtyř bodů a 1 = -1; a 2 = 1; a 3 = 0,5; a 4 = 0 patří do definičního oboru

2. Určete kolik z následujících čtyř bodů a 1 = -1; a 2 = 1; a 3 = 0,5; a 4 = 0 patří do definičního oboru Ř E Š E N Í M I N I T E S T Ů JčU Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RDNr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT5. Jsou dány funkce f : y = 4x 9, f 2 : y = 6 x 3, f 3 : y = log(4x + 64). Potom pro

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE

PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE PRACOVNÍ LIST ŘÍMSKÉ ČÍSLICE JMÉNO: Dnes se římské číslice nepoužívají pro výpočty, ale můžeme je najít například na ciferníku hodin, jako označení kapitol v knihách, letopočtů výstavby nebo rekonstrukce

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice

KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní

Více

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku.

Podíl dvou čísel nazýváme číslo racionální, která vyjadřujeme ve tvaru zlomku. 5. Racionální čísla 5.1. Vymezení pojmu racionální číslo Dělením dvou celých čísel nemusí vyjít vždy číslo celé, např.: 6 : 3 = 2, ale podíl 2 : 3 není celé číslo. Vznikla tedy potřeba rozšíření celých

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.

Mocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel. Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

MATA Př 3. Číselné soustavy. Desítková soustava (dekadická) základ 10, číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. MATA Př 3 Číselné soustavy Poziční číselná soustava je dnes převládající způsob písemné reprezentace čísel dokonce pokud se dnes mluví o číselných soustavách, jsou tím obvykle myšleny soustavy poziční.

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

Gymnázium. Přípotoční Praha 10

Gymnázium. Přípotoční Praha 10 Gymnázium Přípotoční 1337 101 00 Praha 10 led 3 20:53 Přípravný kurz Matematika led 3 21:56 1 Datum Téma 9.1.2019 Číselné výrazy-desetinná čísla, zlomky, počítání se zlomky, zaokrouhlování, druhá mocnina

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků @00. Základní poznatky Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu (jakoukoli,

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

Kaţdé číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, je číslo racionální.

Kaţdé číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, je číslo racionální. . Racionální čísla. ročník -. Racionální čísla.. Vymezení pojmu Kaţdé číslo které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel je číslo racionální. Při podílu dvou celých čísel a a b mohou nastat tyto situace

Více

Číselné soustavy. Jedná se o způsob reprezentace čísel.

Číselné soustavy. Jedná se o způsob reprezentace čísel. Číselné soustavy Číselné soustavy Jedná se o způsob reprezentace čísel. Dvě hlavní skupiny: Nepoziční (hodnota číslice není dána jejím umístěním v dané sekvenci číslic) Poziční (hodnota každé číslice dána

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmické rovnice a nerovnice Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny

2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny . Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Nerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

Nerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů

Více

Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se

Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

0,2 0,20 0, Desetinná čísla II. Předpoklady:

0,2 0,20 0, Desetinná čísla II. Předpoklady: 1.2.2 Desetinná čísla II Předpoklady: 010201 Pedagogická poznámka: Je třeba zahájit tak, aby se stihl ještě společný začátek příkladu 7 (pokud někdo příklad 7 začne s předstihem, nevadí to, ale jde o to,

Více

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem 4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument

Více

Fz =a z + a z +...+a z +a z =

Fz =a z + a z +...+a z +a z = Polyadické číselné soustavy - převody M-místná skupina prvků se z-stavovou abecedou umožňuje zobrazit z m čísel. Zjistíme, že stačí vhodně zvolit číslo m, abychom mohli zobrazit libovolné číslo menší než

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

Základní jednotky používané ve výpočetní technice

Základní jednotky používané ve výpočetní technice Základní jednotky používané ve výpočetní technice Nejmenší jednotkou informace je bit [b], který může nabývat pouze dvou hodnot 1/0 (ano/ne, true/false). Tato jednotka není dostatečná pro praktické použití,

Více

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například:

Poznámka: Násobení je možné vyložit jako zkrácený zápis pro součet více sčítanců. Například: ARNP 1 2015 Př. 5 Základní operace s přirozenými čísly Přesná definice přirozeného čísla je složitá spokojíme se s tím, že o libovolném čísle dokážeme rozhodnout, zda je, či není přirozeným číslem (5,

Více

Typy násobení z různých koutů světa

Typy násobení z různých koutů světa Typy násobení z různých koutů světa Anotace: Násobíme chytře? Algoritmů pro násobení je na světě nesmírné množství, ale nelze určit, který je nejchytřejší, nejrychlejší a tím pádem nejefektivnější. Každý

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:

Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti: Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje

Více

Jsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to:

Jsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to: Podmínky u výrazů Jsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to: lomené výrazy výrazy se sudými odmocninami výrazy s logaritmy Lomené výrazy Lomené výrazy jsou

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Řešení druhé série (19.3.2009)

Řešení druhé série (19.3.2009) Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení druhé série (19.3.2009) Úlohy z varianty 16, ročník 2007 25. Hlavní myšlenka: efektivní převádění ze zlomku

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice

Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

ČÍSLOVKY (NUMERALIA) ČÍSLOVKY ZÁKLADNÍ - označují počet, pojmenovávají čísla

ČÍSLOVKY (NUMERALIA) ČÍSLOVKY ZÁKLADNÍ - označují počet, pojmenovávají čísla ČÍSLOVKY (NUMERALIA) - slouží jako slovní druh vyjadřující množství, a to buď počítané (vyjádřitelné čísly) nebo nepočítané (neurčité) - členíme je na číslovky základní, řadové, druhové a násobné a ty

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

Algebraické výrazy-ii

Algebraické výrazy-ii Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.

Více

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou

4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou @04 4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor? u rovnic je

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ

ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků METODICKÝ LIST DA Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky smíšené číslo, složené zlomky a převod na desetinná čísla Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr

Více

M - Algebraické výrazy

M - Algebraické výrazy M - Algebraické výrazy Určeno jako studijní text pro studenty dálkového studia a jako shrnující textpro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více