PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů

2 SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým odhadem funkce (), pokud nabývá hodnot blízkých (). nestranný (nevychýlený) asymptoticky nestranný E( ) ( ) ( X,, X ) ( ) lim E 1 n n nejlepším nestranný ve třídě nestranných odhadů s D( ) D( S) E( 2 )

3 Statistika S se nazývá postačující pro parametr, jestliže podmíněné rozdělení vektoru X ( X 1,, ) při daném S nezávisí na. edy pravděpodobnost : P není funkcí parametru X x S( X ) s P ( X x) ( S( X ) PS( X ) s s) Poznámka: tedy statistika S vyčerpá všechnu informaci o parametru.

4 Nechť X, 1, je náhodný výběr z A( p), p (0,1). Pak statistika S n i1 X i ~ Bi( n, p) je postačující pro parametr p. Nechť X, 1, je náhodný výběr z Po(). Pak statistika S n i1 X i ~ Po( n) je postačující pro parametr λ.

5 Neumanovo faktorizační kriterium Nechť X ( X 1,, ) je náhodný výběr z rozdělení s hustotou f ( x; θ), θ Θ. Pak statistika S ( S 1,, S k ) je postačující pro právě tehdy, když k existuje nezáporná měřitelná funkce g( s; θ), s R a nezáporná měřitelná n funkce h(x), x R tak, že S( x), θ h( ) f ( x; θ) g x

6 Hustota exponenciálního typu: Nechť náhodná veličina X má hustotu f (x; θ), θ Θ, kterou lze psát ve tvaru: f ( x; θ) exp Q( θ) K( x) R( θ) L( x) Pak tato hustota se nazývá hustotou exponenciálního typu. Platí: Nechť náhodná veličina X má hustotu exponenciálního typu, je náhodný výběr. Pak statistika n S K( ) i1 je postačující statistikou pro parametr θ. X i X, 1,

7 Nechť X, 1, je náhodný výběr z A( p), p (0,1). Pak statistika S n i1 X i ~ Bi( n, p) je postačující pro parametr p. Nalezněte funkce g S(x ), p a h(x). Nechť X, 1, je náhodný výběr z Po(). Pak statistika S n i1 X i ~ Po( n) je postačující pro parametr λ. Nalezněte funkce g S(x), a h(x).

8 Rao-Blackwellova věta Nechť X ( X 1,, ) je náhodný výběr z rozdělení s hustotou f (x; θ), θ Θ () je daná parametrická funkce a (X) je nestranný odhad (). Dále nechť S S(X) je postačující statistika pro parametr. Pak existuje * nestranný odhad parametrické funkce (), který je funkcí postačující statistiky S a platí D( * ) D( ) Nestranný odhad s vlastností D( * ) D( ) se určí jako E * S Je statistika * určena jednoznačně?

9 Úplné postačující statistiky Řekneme, že statistika S je úplná, platí-li pro libovolnou borelovskou funkci u : R R že E( u( S)) 0, u( S) 0 skoro jistě kde u ( S) 0 skoro jistě P( u( S) 0) 1 Je-li S úplná statistika a q(s,), systém hustot se nazývá úplný. systém jejich hustot, pak se tento 2 Nechť X ~ N(, ), neznámé,σ 2 známé, i = 1;2 jsou nezávislé. Ukažte, že X, X i 1 2, X1 X 2, X1 X jsou postačující statistiky. X, X 2 1 2, X1 X 2 jsou uplné statistiky X není uplná statistika 1 X 2

10 Úplné postačující statistiky Věta o jednoznačnosti Nechť X ( X 1,, ) je náhodný výběr z rozdělení s hustotou f (x; θ), θ, Θ Dále nechť S S(X) je úplná postačující statistika pro parametr. a nechť (X) je nestranný odhad parametrické funkce () Pak existuje nestranný odhad parametrické funkce (), který je pouze funkcí postačující statistiky S a tento odhad je určen jednoznačně (skoro jistě). edy S je úplná postačující statistika pro parametr, je nestranný odhad ( ), * pak E S je nejlepší nestranný odhad ()

11 Úplné postačující statistiky Rao-Blackwellova věta - modifikace Nechť X ( X 1,, ) je náhodný výběr z rozdělení s hustotou f (x; θ), θ, Θ () je daná parametrická funkce a (X) je nestranný odhad (). Dále nechť S S(X) je úplná postačující statistika pro parametr. Pak * existuje nestranný odhad parametrické funkce (), který je funkcí postačující statistiky S a platí D( * ) D( ) Nestranný odhad s vlastností a je určen jednoznačně. D( * ) D( ) se určí jako * E S

12 Úplné postačující statistiky Nechť X, 1, je náhodný výběr z Po(), ( ). Určete postačující statistiku. Zjistěte, zda je úplná a poté určete nejlepší nestranný odhad (). Nechť X, 1, je náhodný výběr z Po(), ( ) e P( X 0). Určete postačující statistiku. Zjistěte, zda je úplná a poté určete nejlepší nestranný odhad ().