Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jakub Černý

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. 2011 Jakub Černý"

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE 211 Jakub Černý

2 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Jakub Černý Sochasické modelování úrokových sazeb Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jiří Wizany, Ph.D. Sudijní program: Maemaika Sudijní plán: Finanční a pojisná maemaika Praha 211

3 Rád bych poděkoval hlavně vedoucímu mé diplomové práce RNDr. Jiřímu Wizanymu, Ph.D., za rpělivos, čas a ochou, se kerou se mi věnoval, za poskynué maeriály a daa, za velmi cenné eoreické i prakické rady při aplikování eorie a za připomínky k exu. Dále bych chěl poděkova Bc. Janě Plačkové za veškerou pomoc a podporu při psaní práce. Nejvíce bych chěl poděkova své mamince a aínkovi za morální podporu nejenběhempsaníéopráce,alepoceloudobuméhosudia. 2

4 Prohlašuji, že jsem uo diplomovou práci vypracoval samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů, lieraury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vzahují práva a povinnosi vyplývající ze zákona č. 121/2 Sb., auorského zákona v planém znění, zejména skuečnos, že Univerzia Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvyoužiíéoprácejakoškolníhodílapodle 6ods.1auorského zákona. V Praze dne Jakub Černý 3

5 Obsah 1 Úvod 7 2 Teoreická čás Základnípojmyadefinice Maemaickáčás Finančníčás Shor-raemodely Vašíčkůvmodel Ho-Leemodel Hull-Whiemodel Afinníčasovésrukury Heah-Jarrow-Moronmodel Obecnýmodel Markovskávlasnos Dvourozměrnýpřípad LIBORMarkeModel Odvozenímodelu Forwardovévolailiy Implemenacemodelu Oceněníopcí Shor-raemodely LIBORMarkemodel Kalibracemodelů Vašíčkůvmodel Ho-Leemodel Hull-Whiemodel LIBORMarkemodel Analyická čás Popisobchoduavsupnídaa Konfirmaceobchodu Vsupnídaaajejichvlasnosi Aplikacemodelů

6 3.2.1 Vašíčkůvmodel Ho-Leemodel Hull-Whiemodel Libormarkemodel Výsledkyoceněníderiváu Porovnánípoužiýchmeod Navrhovanédoporučení Závěr 82 Lieraura 84 5

7 Název práce: Sochasické modelování úrokových sazeb Auor: Jakub Černý Kaedra(úsav): Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jiří Wizany, Ph.D. vedoucího: wizanyj@vse.cz Absrak: Tao práce suduje různé sochasické modely úrokových sazeb. Teoreická čás popisuje modely okamžié úrokové sazby(shor-rae modely), HJM rámec a LIBOR Marke model. Zaměřuje se deailněji na nejznámější shor-rae modely, j. Vašíčkův, Hull-Whie a Ho-Lee model, a na LIBOR Marke model. Tao čás je zakončena oceněním úrokových opcí na základě výše zmíněných modelů a kalibrací modelů na reálná daa. Analyická čás práce rozebírá ocenění reálného nesandardního úrokového deriváu dle jednolivých modelů. Součásí ocenění deriváu je porovnání modelů mezi sebou z hlediska celkového ocenění i z hlediska zachycení dynamiky úrokových sazeb. Cílem éo práce je popsa a hlavně porovna mezi sebou různé sochaické modely úrokových sazeb. Klíčová slova: Sochasické modely úrokových sazeb, Modely okamžié úrokové sazby, LIBOR Marke model Tile: Sochasic ineres raes modeling Auhor: Jakub Černý Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: RNDr. Jiří Wizany, Ph.D. Supervisor s address: wizanyj@vse.cz Absrac: This presen work sudies differen sochasic models of ineres raes. Theoreical par of his work describes shor-rae models, HJM framework and LIBOR Marke model. I focuses in deail on widely known shor-rae models, i.e. Vašíček, Hull-Whie and Ho-Lee model, and on LI- BOR Marke model. This par ends by valuaion of ineres rae opions and model calibraion o real daa. Analyical par of he work analyses valuaion of real non-sandard ineres rae derivaive using differen models. Par of his derivaive valuaion is comparison among models in erms of general valuaion and also in erms of capuring he dynamics of ineres raes.theaimofhisworkisodescribedifferensochasicmodelsofineres raes and mainly o compare hem wih each oher. Keywords: Sochasic models of ineres raes, Shor-rae models, LIBOR Marke model 6

8 Kapiola 1 Úvod Korunadnesjejisější,nežkorunazíra a Časjsoupeníze,jsou dva základní principy finančního svěa, keré jinými slovy říkají, že je řeba ohodnoi nějakoučáskou odloženouspořebuanejisoudnešníkoruny zíra.tuo nějakoučásku nazývámeúrokemaprocenuálnímuvyjádření úroku z koruny říkáme úroková sazba. Můžeme edy říci, že úroková sazba určuje cenu peněz. Úroková sazba je ve společnosi velmi rozšířeným pojmem. Nejčasěji se snílidésekávajípřižádosiopůjčku,např.hypoéku.nekaždývšakví,že s úrokovou sazbou, resp. s deriváy na úrokové sazby, se obchoduje jak na burze, ak mimo ní. Obecně se úroková sazba považuje za náhodnou veličinu, kerou je možné sochasicky modelova. A právě popisem a aplikací ěcho modelů se ao práce zabývá. Celá práce je rozdělena na dvě hlavní kapioly, na eoreickou čás a analyickou čás. V eoreické čási jsou zavedeny pořebné pojmy z eorie pravděpodobnosi, saisiky a finanční maemaiky. Dále jsou popsány modely okamžié úrokové sazby(zv. shor rae modely), HJM rámec a jeho diskreizace v podobě LIBOR Marke modelu. Deailněji se ao čás zaměřuje na čyři důležié modely úrokových sazeb: Vašíčkův, Hull-Whie, Ho-Lee a LIBOR Marke model. Následně je ukázáno ocenění úrokových opcí na základě ěcho modelů a závěr eoreické čási se věnuje kalibraci modelů na reálná daa. Analyická čás práce rozebírá ocenění skuečného nesandardního úrokového deriváu, konkréně úrokového swapu s collarem, pomocí výše zmíněných čyř modelů. Tyo modely jsou mezi sebou porovnány jak z hlediska empirického rozdělení jednolivých plaeb(obě srany plaí pohyblivé čásky), ak z hlediska empirického rozdělení celkového ocenění úrokového deriváu s collarem i bez něj. Závěr éo čási shrnuje výsledky ocenění a doporučuje změny nasavení paramerů obchodu. Pro ocenění deriváu a analýzudajevyužívánprogramramahemaica R. 7

9 Kapiola 2 Teoreická čás 2.1 Základní pojmy a definice V éo kapiole si uvedeme pořebný maemaický apará a zadefinujeme pojmy z finanční maemaiky, keré budeme následně využíva ke sochasickému modelování úrokových sazeb. Tex předpokládá základní znalosi lineární algebry, maemaické analýzy, eorie míry, eorie pravděpodobnosi a saisiky. Základní pojmy z eorie náhodných procesů a eorie pravděpodobnosi, keré budeme používa a nejsou zde definované, lze nají v[22] a [19] Maemaická čás Nechť(Ω,A,P)jepravděpodobnosníprosoranechť{X, T},T R (reálný čas) je neprázdná, je reálný náhodný proces. Definice1(Filrace)Sysém σ-algeber {F, T}akový,že T, F Aa s, T,s <, F s F senazýváfilrace(éžneklesajícísysém σ-algeber). Definice2(Adapovanýproces)Proces {X, T}je F -adapovaný (adapovanýnafilraci {F, T}),jesliže X je F -měřielná T. Definice3(Maringal) {X, T}je F -adapovanýnáhodnýproces pronějakoufilraci {F, T}.Nechť T, X L 1 (Ω,A,P).Řekneme, že {X, T}je F -supermaringal,jesliže s, T, s plaí F -submaringal,jesliže s, T, s plaí E[X F s ] X s,s.j. (2.1.1) E[X F s ] X s,s.j. (2.1.2) 8

10 F -maringal,jesliže s, T, s plaí E[X F s ]=X s,s.j. (2.1.3) Definice4(Procesysnezávislýmipřírůsky)Nechť{X, T}jenáhodnýproces, T jeinervalaprolibovolné n Nmůžemeenoinerval rozdělina 1, 2,..., n svlasnosí 1 < 2 < < n.pokudjsounáhodné veličiny X 2 X 1,..., X n X n 1 nezávislé,říkáme,že {X, T}jeproces s nezávislými přírůsky. Jedním z nejdůležiějších procesů s nezávislými přírůsky, a ve finanční maemaice nejvíce používaný, je Wienerův proces(nazývaný éž jako proces Brownova pohybu). Definice5(Wienerůvproces)Wienerůvproces {W, }jegaussovský náhodný proces(všechna jeho konečněrozměrná rozložení jsou normální) s vlasnosmi 1. W =s.j., 2.přírůsky W 1,W 2 W 1,W 3 W 2,...,W n W n 1 jsouprolibovolné 1 < 2 < < n nezávislénáhodnéveličiny, 3.přírůsky W W s N(,σ 2 ( s)), s, T, s <,kde σ 2 > aproces {W, }máspojiérajekorie. Všechny předchozí definice směřují k definici sochasického inegrálu, bez kerého by se modelování průběhů náhodných veličin neobešlo(obzvlášť v oblasi finanční maemaiky). Exisují dvě různé definice sochasického inegrálu: Iôův inegrál a Sraonovichův inegrál. My si zadefinujeme Iôův inegrál(dále jen sochasický inegrál). Nebudeme zde odvozova definici sochasického inegrálu. Rigorózní odvození jednolivých kroků pro zavedení sochasického inegrálu je uvedeno v[21]. Pro přehlednos jen uveďme, že sochasický inegrál se nejdříve zadefinuje pro jednoduché náhodné funkce(jednoduché procesy). Definice 6(Jednoduchý proces) Řekneme, že náhodný proces (, ω) je jednoduchý, pokud je adapovaný a n 1 (,ω)= ( k,ω)i{ ( k, k+1 ]}, (2.1.4) k= kde ( k,ω)je F k -měřielnýa= < 1 < < n = Tjenějakédělení inervalu[,t]. 9

11 Definice 7(Sochasický inegrál) Nechť () je jednoduchý proces definovanývýše.pro [,T]jehosochasickýminegrálem rozumíme I()= (s)dw(s) (2.1.5) k 1 I()= ( i )(W( i+1 ) W( i ))+ ( k )(W() W( k )), k k+1. i= A jelikož každý adapovaný proces (), kerý splňuje E (2.1.6) 2 (s)ds <, (2.1.7) můžemepřiblížipomocíadapovanýchjednoduchýchprocesů n ()ak,že lim E n definujeme sochasický inegrál rovnosí n () () 2 d=, (2.1.8) (s)dw(s)= lim n (s)dw(s). (2.1.9) n Limiaexisuje, pokudje I n ()cauchyovská posloupnosvkvadraickém sředu. Věa 1(Základní vlasnosi sochasického inegrálu) Nechť X,Y jsou náhodné procesy, pro keré plaí(2.1.7) a W je Wienerův proces. Poom pro libovolné a,b Rplaí E E XdW XdW =, (2.1.1) YdW = E XYdu, (2.1.11) (ax+by)dw = a XdW+b YdW.(2.1.12) 1

12 Důkaz. Nebudeme zde uvádě, lze naléz v[18]. Věa 2(Iôova isomerie) Nechť pro proces X plaí(2.1.7). Poom plaí Iôova isomerie E XdW 2 = E pro všechna, podmíněná Iôova isomerie E XdW 2 F s =E provšechna > s. s Důkaz. Nebudeme zde uváde, lze naléz v[21]. s X 2 du (2.1.13) X 2 du F s (2.1.14) Pomocí sochasického inegrálu můžeme zadefinova sochasický diferenciál, kerý budeme neusále využíva v dalších kapiolách éo práce. Definice 8(Sochasický diferenciál) Řekneme, že náhodný proces {X, [,T]}, T >másochasickýdiferenciál když X()=X()+ dx() = a(, X())d + b(, X())dW(), (2.1.15) a(u, X(u))du + b(u, X(u))dW(u), (2.1.16) kde {a(,x()), [,T]}, {b(,x()), [,T]}jsouadapovanéprocesy, pro keré plaí a(u, X(u)) du <, b(u,x(u)) 2 du <. (2.1.17) Pravidla diferenciálního poču ve sochasickém prosředí se liší od pravidel zavedených v maemaické analýze. Uveďme si a nejdůležiější, j. násobení diferenciálů, pro keré plaí (d) 2 =,(dw()) 2 = d, ddw()=, d(w()) 2 =2W()dW().(2.1.18) Abychom byli schopni spočía sochasický diferenciál, budeme kromě počeních pravidel pořebova zv. Iôovo lemma(někdy označováno jako Iôova formule). Iôovo lemma je jedním z nejdůležiějších vzahů ve sochasickém poču, je obdobou Taylorova rozvoje pro sochasické prosředí. 11

13 Věa3(Iôovolemma) Nechť g :[,T] R Rjespojiáfunkcese spojiýmiderivacemi g/, g/ x, 2 g/ x 2.Dálenechť {X(), [,T]} je proces se sochasickým diferenciálem dx() = a(, X())d + b(, X())dW(). (2.1.19) Označme G() ozn. = g(,x()) ozn. = g.poom {G(), [,T]}másochasický diferenciál ve varu dg()= g(,x()) + g(,x()) dx()+ 1 2 g(,x()) (dx()) 2. (2.1.2) x 2 x 2 Po úpravě pomocí(2.1.18) můžeme sochasický diferenciál přepsa do varu [ g dg() = + g ] x a(,x())+1 2 g 2 x 2b(,X()) d+ g x b(,x())dw(). (2.1.21) Pomocí Iôova lemmau edy vypočíáme sochasický diferenciál procesu, kerý vznikne ím, že do hladké funkce dosadíme proces se sochasickým diferenciálem. Důkaz. Nebudeme zde uvádě, poznamenejme jen, že se dokazuje pomocí jednoduchých funkcí. Rigorózní důkaz lze nají v[18]. Nyní si uvedeme definici rizikově neurální, resp. maringalové, míry. Ačkoliv ao definice spadá spíše do finanční čási, uvedeme si ji již nyní, abychom mohli spojiě naváza na další věu a definici. Jelikož jde o slovní definici, nebudeme ji číslova. Více k rizikově neurální míře a jejímu zavedenípomocímaringalůlzenalézv[16]nebov[24]. Rizikově neurální(maringalová) míra je míra, při keré žádný obchodní sysém ve sřední hodnoě(očekávané hodnoě) nevydělá. Jinými slovy exisuje míra, při keré nedochází k arbirážní příležiosi(j. není možné generova zisk bez rizika). Definice9(Radon-Nikodymovaderivace) Nechť(Ω, F,P)jepravděpodobnosní prosor s kladnou mírou P a Z je skoro jisě kladná náhodná veličina, P-inegrovaelnánaΩ.Pro A Fbuď Q(A)= ZdP. (2.1.22) A Poom Q je kladná pravděpodobnosní míra a Z se nazývá Radon-Nikodymova derivacemíry Qvzhledemkmíře Paznačíse Z= dq dp. 12

14 Definice1(ProcesRadon-Nikodymovyderivace)Nechť(Ω, F,P)je pravděpodobnosníprosoraf, T,jefilrace, F F.Dálenechť ZjenáhodnáveličinasE[Z]=1aQjepravděpodobnosnímírasplňující Definujeme proces Radon-Nikodymovy derivace jako Z()=E[Z F ]. Věa4(Girsanovovavěa-projedenrozměr)Nechť W(), Tje F -Wienerůvproces(F -adapovaný)napravděpodobnosnímprosoru (Ω, F,P), F jefilrace.nechť θ(), T je F -adapovanýproces. Definujme Z() = exp θ(u)dw(u) 1 θ 2 (u)du 2, W Q () = W()+ θ(u)du a předpokládejme, že E θ 2 (u)z 2 (u)du <. Označme Z = Z(T).Poom E Q [Z]=1aproces W Q (), T je Wienerův proces vzhledem k pravděpodobnosní míře Q definované pomocí Z= dq/dp. Důkaz.Nebudeme dokazova, lze nají v[18] Finanční čás Úrok je peněžní odměna věřieli za půjčku poskynuou dlužníkovi. Tedy věřiel poskyne dlužníkovi půjčku(úvěr) a do určié sjednané lhůy musí dlužník zaplai věřieli původní půjčenou čásku(jisinu, nominál) navýšenouoúrok. Úroková míra je míra úroku vyjádřená jako proceno z určiého objemu peněz zaplacených za předem specifikovaný časový inerval. Úrokový swap je dohoda o budoucí směně úrokových plaeb vzahujících se ke sejné čásce, ale definovaných odlišně. Nedochází ke směně nominálních čásek, ale jen úroků vzahujících se k éo čásce. 13

15 Úrokový cap je finanční derivá, ve kerém kupující konraku získá od prodávajícího plabu, pokud variabilní referenční úroková sazba překročí v dohodnuém období nějakou předem dohodnuou horní mez. Úrokový floor je finanční derivá, ve kerém kupující konraku získá od prodávajícího plabu, pokud variabilní referenční úroková sazba překročí v dohodnuém období nějakou předem dohodnuou dolní mez. Úrokový collar je kombinace úrokového capu a flooru. Pokudbudemedálevexupoužívapojmycap,flooracollar(někdy aké srop, dno a obojek), jedná se o úrokové deriváy. Tyo deriváy lze samozřejmě zkombinova ak, aby kupující plail pouze sazbu mezi horní a dolní mezí. Definice11(Spoováúrokovámíra)Nechť < T.Řekneme,že y(,t) jespoováúrokovámíra(akéspoovámíranebospoovásazba)odčasu dočasu T,jesližeplaí P(,T)=F exp{ y(,t)(t )}, (2.1.23) kdep(,t)jecenabezkupónovéhodluhopisuvčase,kerývyplácí Fvčase T. V následujícím exu budeme uvažova jednokovou nominální hodnou (F=1),edy P(,T)=exp{ y(,t)(t )}. (2.1.24) Z rovnice lze snadno odvodi vzorec pro úrokovou míru y(,t)= lnp(,t). (2.1.25) T Definice12(Forwardováúrokovámíra)Nechť < T < T.Řekneme, že f(,t,t )jeforwardováúrokovámíra(akéforwardovámíra,forwardová sazba)sjednanávčase nadobuod Tdo T,kdyžplaínásledujícívzah e y(,t )(T ) = e y(,t)(t ) e f(,t,t )(T T). (2.1.26) Z éo rovnice můžeme opě snadno odvodi výpoče forwardové míry f(,t,t )= y(,t )(T ) y(,t)(t ). (2.1.27) T T Spoové úrokové míry jsou běžně pozorovaelné na rhu(např. PRIBOR). Forwardové sazby se z nich pak dají jednoduše dopočía. Nicméně v eorii se využívají liminí verze ěcho měr zadefinované níže. 14

16 Uvažujme,ževčasemámenabankovnímúčučásku B().Taočáska jevčase úročenaúrokovoumírou r().začasovýokamžik sečáskana bankovním úču zvýší na B(+ )=B()(1+r() ). (2.1.28) Upravíme-li rovnici(2.1.28) dosaneme následující var B(+ ) B() = r(). (2.1.29) Pokud provedeme liminí přechod obdržíme diferenciální rovnici vývoje bankovního úču db() = r()d. (2.1.3) Bankovní úče je jedním ze základních numeraire pro ocenění osaních akiv. To znamená, že při rizikově neurální pravděpodobnosi Q je X()/B() Q-maringal a hodnoa akiva X() je vyjádřena v jednokách B(). Formálně lze bankovní úče zadefinova sejně jako v[4]. Definice 13(Bankovní úče) Definujme velikos bankovního úču v čase jako B().Předpokládáme,že B()=1aenobankovníúčeseřídí následující diferenciální rovnicí kde r() je kladná funkce času. db() = r()d, Řešením éo rovnice je následující rovnos B()=exp r(s)ds. (2.1.31) Pokudbychomchělivědě,jakvelkoučáskumusímevčase nabankovníúčeuloži,abymělvčase T velikos B(T)zavedemepojemzv. diskoního fakoru. Definice 14(Diskonní fakor) Diskonní fakor D(, T) v časovém inervalu(,t)ječáskavčase,kerýjerovna1včase Tajedánjako D(,T)= B() B(T) =exp r(s)ds. Úrokovou míru r() nazýváme éž okamžiá spoová úroková míra, krákodobá spoová sazba nebo shor-rae sazba. Alernaivně ji můžeme zadefinova následovně: 15

17 Definice 15(Okamžiá spoová úroková míru) Definujeme okamžiou spoovou úrokovou míru jako r()= lim T +y(,t). (2.1.32) Okamžiá spoová úroková míra na rhu pozorovaelná není, nicméně míso ni můžeme použí aproximaci. Obecně se nedoporučuje voli O/N sazbu(over nigh), kerá je velmi volailní. V praxi se časěji volí např. 1M, 2Mnebo3Msazba. Definice 16(Okamžiá forwardová úroková míru) Definujeme okamžiou forwardovou úrokovou míru jako f(,t 1 )= lim T 2 T + 1 f(,t 1,T 2 ). (2.1.33) Věa5Nechť f(,t)jeokamžiáforwardovásazba.poomplaí Důkaz. Dosadíme do rovnice(2.1.26) f(,t)= lnp(,t). (2.1.34) T exp{ y(,t+ T)(T+ T )}=exp{ y(,t)(t )}exp{ f(,t,t+ T) T}. To můžeme přepsa na základě rovnice(2.1.24) P(,T+ T)=P(,T)exp{ f(,t,t+ T) T}. Pokud předchozí rovnici upravíme a limině přejdeme k okamžié forwardové míře dosáváme f(,t)= lim lnp(,t+ T) lnp(,t). T T Z oho již plyne vrzení věy, proože f(,t)= P(,T) T 1 P(,T) = lnp(,t). T Důsledek1Zvěy5azrovnosi P(,)=1plynenásledujícívzah P(,T)=exp f(,u)du. (2.1.35) 16

18 Důkaz. Na základě předchozí věy plaí lnp(,t)=lnp(,t) lnp(,)= lnp(,u) T du= f(,u)du. u Nazákladěvzahů,keréjsmesizdeuvedlivíme,žesačíznalospouze jedné z funkcí(cena bezkupónového dluhopisu, spoová úroková míra nebo okamžiá forwardová míra), abychom byli schopni dopočía osaní. Tyo vzahy budeme využíva při ocenění bezkupónového dluhopisu pomocí modelů úrokových sazeb. Nicméně v éo práci se budeme věnova úrokovým sazbám, keré se chovají náhodně, sochasicky. Odvození vzorců pro výpoče hodnoy bezkupónového dluhopisu proo musíme urči pomocí jedné z hypoéz očekávání. Aby nedocházelo ke vzniku arbirážních příležiosí určíme hodnou bezkupónového dluhopisu dle zv. lokální hypoézy očekávání(viz[2]) P(,T)=E exp r(s)ds. (2.1.36) 2.2 Shor-rae modely V éo kapiole jsou uvedeny známé shor rae modely, keré se používají k ocenění bezkupónových dluhopisů. Všechny yo modely jsou pojmenovány podle maemaiků, keří je zavedli. Tao kapiola se zabývá pouze modely jednofakorovými, j. modely, keré mají jen jeden zdroj nejisoy. Zobecnění uvedených i zde neuvedených modelů, jejichž poče neusále narůsá, lze najív[25] Vašíčkův model Oldřich Vašíček v roce 1977 předpokládal, že okamžiá spoová úroková míra se vzhledem ke skuečné rizikové míře chová jako Ornsein-Uhlenbeckův proces s konsaními paramery. Pro vhodnější volbu ržní ceny rizika je ekvivalenní předpokláda, že se okamžiá spoová úroková míra řídí Ornsein- Uhlenbeckovým procesem s konsaními paramery při rizikově neurální míře(maringalové míře). Vašíčkův model popisuje vývoj okamžié spoové úrokové sazby následovně dr()=a[b r()]d+σdw(). (2.2.1) 17

19 K řešení éo sochasické diferenciální rovnice využijeme funkci kerou dosadíme do Iôovy formule kde g u = g(u,r(u))=r(u)e a( u), (2.2.2) dg u = g g du+ u r dr(u)+ 2 g, r 2[dr(u)]2 [dr(u)] 2 =[a(b r(u))du+σdw(u)] 2 = σ 2 du, po dosazení a zderivování edy dosáváme dg u = r(u) a e a( u) du+a e a( u) (b r(u))du+e a( u) σdw(u) = e a( u) a b du+e a( u) σdw(u). Z předchozího již můžeme dopočía r() dr(u)e a( u) = a b e a( u) du+ σ e a( u) dw(u). s Po zinegrování dosáváme s s r()=r(s)e a( s) +b ( 1 e a( s)) +σ s e a( u) dw(u), (2.2.3) kde sjepevnězvolené(s < )af s jefilrace.poomsředníhodnoa r() je E[r() F s ]=E r(s)e a( s) +b ( 1 e a( s)) +σ e a( u) dw(u) F s = r(s)e a( s) +b ( 1 e a( s)) +E σ s s e a( u) dw(u) F s = r(s)e a( s) +b ( 1 e a( s)). (2.2.4) Tao rovnos plaí vzhledem k nezávislosi přírůsků Wienerova procesu(viz definice5)azapodmínky,žeznámeúrokovésazbyvčases.mísoe[r() F s ] můžeme psá i E[r() r(s)]. Nyní odvodíme obecněji kovarianci cov[r(),r(v) F s ]=E[r()r(v) F s ] E[r() F s ]E[r(v) F s ] 18

20 Vnásledujícímexubudemesředníhodnoupodmíněnoufilrací F s znači E[ F s ] def = E s [ ].Tenozápisbudemevyužívaiprorozpylakovarianci. Při výpoču využijeme vlasnosi sřední hodnoy a nezávislos E s [r()r(v)] E s [r()]e[r(v)]=e s r(s)e a( s) +b(1 e a( s) )+σ r(s)e a(v s) +b(1 e a(v s) )+σ = E s [r()]e s [r(v)]+e s [r()]e s σ σ 2 E s s v e a( u) dw(u) s v s v s e a(v w) dw(w) E s [r()] E s [r(v)] = e a(v w) dw(w) +E s [r(v)]e s σ e a(v w) dw(w) E s [r()]e s [r(v)]. Znovu využijeme nezávislos přírůsků Wienerova procesu(viz definice 5) a dosáváme v cov s (r(),r(v))=σ 2 E s e a( u) dw(u) e a(v w) dw(w), s s e a( u) dw(u) e a( u) dw(u) + s s z nezávislosi přírůsků na disjunkních inervalech plyne následující rovnos v e a( u) dw(u) e a(v w) dw(w) =, E s v s za předpokladu, že v <. Můžeme edy rozloži inegrály a dopočía pomocí arimeriky sochasické analýzy(viz věa ) 19

21 cov s [r(),r(v)] = σ 2 E s v e a( u) dw(u)+ e a( u) dw(u) v e a(v w) dw(w) = σ 2 E s s v e a( u) dw(u) v v e a(v w) dw(w) s = σ 2 e a(+v) E s s v e au dw(u) s v e aw dw(w) = σ 2 e a(+v) E s s v e 2au du s = σ2 2a e a(+v)( e 2av e 2as). Obecně můžeme kovarianci r() a r(v) zapsa jako s cov s [r(),r(v)]= σ2 2a e a(+v)( e 2a min(v,) e 2as). (2.2.5) Zkovariancemůžemedopočíarozpyl r()pro v=jako var s [r()]=σ 2 e 2a E s s e 2au du = σ2 2a ( 1 e 2a( s) ). (2.2.6) Hodnoa parameru b předsavuje návraovou hodnou modelu. Proo se Vašíčkův model řadí mezi akzvané mean-reversion modely. Následující příklad ilusruje časový průběh úrokové sazby spočíané Vašíčkovým modelem. Příklad 1 Pokud zvolíme paramery Vašíkova modelu dle abulky níže Paramer Hodnoa a 1 b,45 σ,2 Čas. krok,1 r(),35 Tabulka 2.1: Hodnoy paramerů Vašíčkova modelu Poom vypadá jeden průběh Vašíčkova modelu následovně 2

22 .8.6 Sazba Cas roky Obrázek 2.1: Vývoj úrokových sazeb simulovaný Vašíčkovým modelem s paramery dle abulky 2.1 Velkou nevýhodou Vašíčkova modelu je nenulová pravděpodobnos záporné úrokové sazby. Pokud by sazba byla záporná krákodobě, je možné ji brá v úvahu, nicméně u Vašíčkova modelu může bý eno sav dlouhodobý. Příklad 2 Změníme-li paramery Vašíčkova modelu Paramer Hodnoa a 1 b,1 σ,2 Čas. krok,1 r(),2 Tabulka 2.2: Hodnoy paramerů Vašíčkova modelu Poom je nevýhoda záporné sazby zřeelná z jejího průběhu na dalším grafu. 21

23 Sazba Cas roky Obrázek 2.2: Vývoj úrokových sazeb simulovaný Vašíčkovým modelem s paramery dle abulky 2.2 Připomeňme, že cena bezkupónového dluhopisu(rovnice(2.1.36)) při rizikově neurální míře Q je rovna P(,T)=E Q exp r(u)du, (2.2.7) aby nevznikala arbirážní příležios. Poom pro Vašíčkův model plaí následující věa: Věa6Nechťr()jeokamžiáspoovámíra,keráseřídíVašíčkovýmmodelem, j. splňuje rovnos(2.2.3). Poom je cena bezkupónového dluhopisu při rizikově neurální míře Q rovna kde a P(,T)=e A(,T) B(,T)r(), (2.2.8) ) A(,T)= (b σ2 [B(,T) (T )] σ2 B 2 (,T) 2a 2 4a B(,T)= 1 e a(t ). a Poznamenejme, že pokud lze cenu bezkupónového dluhopisu daného modeluzapsavesejnémvarujakovvrzenívěy6,kde A(,T)aB(,T) jsou libovolné nenáhodné funkce času, poom říkáme, že eno model má 22

24 afinní časovou srukuru. Afinní časové srukury jsou podrobněji popsány v kapiole Důkaz. Již víme, že r() mají normální rozdělení s podmíněnou sřední hodnoou(2.2.4) a podmíněným rozpylem(2.2.6). Dále víme, že hodnoa bezkupónového dluhopisu při rizikově neurální míře Q splňuje rovnos(2.2.7). Poom má cena dluhopisu P(, T) logarimicko normální rozdělení(viz[1]), plaí edy E Q exp r(u)du =exp EQ r(u)du varq r(u)du (2.2.9) za předpokladu, že známe sazby do času. Nejdříve spočíáme sřední hodnou E Q r(u)du = E Q [r(u)]du = ( r()e a(u ) +b be a(u )) du = ] T [r() e a(u ) +bu b e a(u ) = r() b a a a u= ( ) 1 e a(t ) b(t ). (2.2.1) Pro výpoče rozpylu inegrálu použijeme podmíněnou kovarianci(viz(2.2.5)) 23

25 var Q r(u)du =cov Q r(u)du, r(s)ds = E Q r(u)du E Q r(u)du r(s)ds E Q r(s)ds = E[(r(u) E Q [r(u)])(r(s) E Q [r(s)])]dsdu Q = cov[r(u),r(s)]dsdu Q = σ 2 2a e a(u+s)( e 2amin(u,s) e 2a) dsdu Výpočeinegrálusenynídělínadvěčási,kdy s uas u.nechť nejdříve s u u (,T) s (,u) = σ 2 2a e a(u+s)( e 2amin(u,s) e 2a) dsdu u σ 2 2a e a(u+s)( e 2as e 2a) ds du ( 1+e 2a 2au 2e a au) du = σ2 2a 2 = [a(t σ2 ) e 2a(T ) 2a 3 2 analogicky dopočíáme inegrál pro s u s (,T) u (,s) +2e a(t ) 3 2 σ 2 2a e a(u+s)( e 2amin(u,s) e 2a) dsdu, ] 24

26 výsledkem je pak souče obou inegrálů, edy σ 2 2a e a(u+s)( e 2amin(u,s) e 2a) dsdu s (,T) u (,T) = σ2 2a 3 [ 2a(T ) e 2a(T ) +4e a(t ) 3 ]. Po dosazení do(2.2.9) se cena bezkupónového dluhopisu rovná { P(,T) = exp r() b [ ] 1 e a(t ) b(t ) a + σ2 [ 2a(T ) e 2a(T ) +4e a(t ) 3 ] }. 4a 3 Po úpravě exponenu dosáváme ( ) ( 1 e a(t ) 1 e a(t ) r()+b (T ) )+ σ2 a a 2a2(T ) ( ( ) σ2 1 e a(t ) ) σ2 1 2e a(t ) +e 2a(T ) =( ) 2a 2 a 4a a 2 subsiuujeme B(,T)= 1 e a(t ),poom a ( )= B(,T)r()+b(B(,T) (T ))+ σ2 σ2 2a2(T ) 2a 2B(,T) σ2 4a B2 (,T) ) = (b σ2 [B(,T) (T )] σ2 2a 2 4a B2 (,T) B(,T)r(). } {{ } A(,T) Z předchozí věy a vzahu(2.1.25) jednoduše odvodíme vzah pro výpoče spoové úrokové sazby y(, T)(někdy aké časové srukury úrokových měr)pomocívašíčkovamodelu.propřehlednosoznačme τ def = T. y(,t) = 1 τ (A(,T) B(,T)r()) ( = 1 (B(,T) (T ))(a 2 b σ2 ) ) 2 σ2 τ a 2 4a B(,T)2 B(,T)r() ( ) = b σ2 2+(1 e aτ ) (r() b+ )+ σ2 σ2 1 e aτ 2. 2a aτ 2a 2 4aτ a 25

27 Ačkoliv je Vašíčkův model velmi oblíbený a časo používaný, jeho další nevýhodou, vedle záporných sazeb, jsou konsaní paramery. Teno problém řeší následující dva modely, keré nahrazují konsany funkcemi závislými na čase a využívají i forwardových sazeb Ho-Lee model Vroce1986přišliThomasSoYoHoaSang-BinLeesprvnímbezarbirážním modelem v dokumenu[8]. Teno model zahrnuje i forwardové sazby, j. veškerou dosupnou informacina rhu, narozdíl od Vašíčkova modelu. Ho- Leemodeljejednímzeshorraemodelů,kerýseřídídynamikou kde b()mávar dr() = b()d + σdw(), (2.2.11) b()= f(,) +σ 2. (2.2.12) Tvar funkce b() odvodíme na základě oho, že vsupem ohoo modelu je počáeční časová srukura úrokových měr, a proo musí eno model fiova počáeční výnosovou křivku. Po dopočíání r() ze sochasické diferenciální rovnice dosáváme rovnici pro výpoče okamžié sazby dle Ho-Lee modelu ve varu r() = r(s)+ = r(s)+ s s b(u)du + s σdw(u) (2.2.13) b(u)du+σ(w() W(s)). (2.2.14) Sejně jako u Vašíčkova modelu je z rovnice okamžié úrokové sazby vidě, že r() mají normální rozdělení s následujícími paramery E s [r()] = r(s)+ s b(u)du, (2.2.15) cov s [r(),r(v)] = σ 2 (min(,v) s), (2.2.16) var s [r()] = σ 2 ( s). (2.2.17) Jednolivé kroky výpoču u již nebudeme deailně rozepisova. Víceméně všechny kroky jsou sejné jako v případě Vašíčkova modelu. Jen je zapořebí si uvědomi, že b() není konsana, ale funkce času. Abychom eno model nafiovali na počáeční(akuální) časovou srukuru úrokových měr, musíme spočía ceny bezkupónových dluhopisů vzhledem k funkci b(). Pokud nebude řečeno jinak, budeme implicině k ocenění 26

28 používa rizikově neurální míru Q. Dle rovnice(2.1.36) víme, že počáeční cena bezkupónového dluhopisu se splanosí v čase T je rovna P(,T)=E exp r(u)du. (2.2.18) Označme h() def = Funkci h() můžeme rozepsa následovně h() = r()du + u r(u)du. (2.2.19) b(v)dvdu + u σdw(v)du = r()du + b(v)dudv + σdudw(v) = r()+ v b(v)( v)dv+ v σ( v)dw(v). Víme,žekdyž r()mánormálnírozdělení,poomiinegrálzr()podle má normální rozdělení. Sřední hodnoa funkce h() je rovna E [h()] def = m()=r()+ b(v)( v)dv (2.2.2) arozpyljeroven var [h()] def = v()= σ 2 ( v) 2 dv= σ (2.2.21) Při odvozování ceny bezkupónového dluhopisu opě využijeme znalosi sřední hodnoy logarimicko-normálního rozdělení. Po dosazení do rovnice(2.2.18) odvodíme cenu bezkupónového dluhopisu [ P(,T) = E ] e h(t) { = exp E [h(t)]+ 1 } 2 var [h(t)] = exp { m(t)+ 12 } v(t) = exp r()t b(v)(t v)dv+ σ2 T 3 6. (2.2.22) 27

29 Jelikož chceme z předchozí rovnosi vyjádři funkci b(), budeme pracova s logarimem P(,T) lnp(,t)= r()t b(v)(t v)dv+ σ2 T 3 6. (2.2.23) Pokud uo rovnici dvakrá zderivujeme vzhledem k T, získáme rovnos azvěy5plyne b(t)= 2 lnp(,t) T 2 +σ 2 T, (2.2.24) b()= f(,) +σ 2. (2.2.25) Časovou srukuru úrokových sazeb opě odvodíme z cen bezkupónových dluhopisů pomocí afinních časových srukur definovaných rovnosí(2.2.41). V éo kapiole si uvedeme výsledky ěcho odvození. Ověření správnosi výsledků ukážeme v kapiole Cena bezkupónového dluhopisu je dána vzahem P(,T)=exp{A(,T) B(,T)r()}, kde B(,T) = T, (2.2.26) A(,T) = b(u)(t u)du+ 1 6 σ2 (T ) 3. (2.2.27) Časovou srukuru úrokových sazeb y(, T) dopočíáme na základě rovnice (2.1.25) Hull-Whie model TenomodelbylpopsánJohnemHullemaAlanemWhiemvroce199v dokumenu[12]. Hull-Whie model je kombinací Vašíčkova modelu a Ho-Lee modelu. Je definován jako kde b()jevaru dr() =[b() ar()]d + σdw(), (2.2.28) b()= f(,) +af(,)+ σ2 2a (1 e 2a ). (2.2.29) 28

30 Pokud porovnáme dynamiku Hull-Whie modelu s dynamikou Vašíčkova modelu,jezřejmé,žepokudbyfunkce b()bylakonsaní,poombyse rovnala parameru b/a Vašíčkova modelu. Zároveň je eno model, sejně jako Vašíčkův, mean-reversion. Ale enorká je návraovou hodnoou funkce, konkréně forwardová křivka, dle vyjádření b(). Z modelu Ho-Lee čásečně převzal Hull-Whie model funkci b() a závislos na forwardových sazbách. Funkci b() u Hull-Whie modelu odvodíme sejně jako u modelu Ho-Lee nafiováním na současnou výnosovou křivku. Nejdříve ze sochasické diferenciální rovnice(2.2.28) spočíáme, pomocí Iôovy formule a vhodně zvolené ransformace, sazby r(). Transformaci volíme sejnou jako u Vašíčkova modelu,j.funkci g u definovanouvrovnici(2.2.2).poom r()=e a( s) r(s)+ s e a( u) b(u)du+ s e a( u) σdw(u). (2.2.3) Z éo rovnice můžeme dopočía podmíněnou sřední hodnou, podmíněnou kovarianci a podmíněný rozpyl E s [r()] = e a( s) r(s)+ s e a( u) b(u)du, (2.2.31) cov s (r(),r(v)) = σ2 2a e a(+v)( e 2a min(v,) e 2as), (2.2.32) var s [r()] = σ2 ( ) 1 e 2a( s). 2a (2.2.33) Pro výpoče použijeme rovnice(2.2.18) a(2.2.19). Po dosazení dosáváme h() = = u u e av r()dv+ e a(u v) b(v)dvdu+ e a(u v) σdw(v)du e av r()dv+ e a(u v) b(v)dudv+ e a(u v) σdudw(v) = r()(1 e a ) a v + b(v) 1 e a( v) dv+ a Sřední hodnoa funkce h() se poom rovná E [h()] def = m()= r()(1 e a ) + a 29 v σ 1 e a( v) dw(v). a b(v) 1 e a( v) dv (2.2.34) a

31 arozpyljeroven var [h()] def = v() = σ2 a 2 = σ2 a 2 ( 1 e a( v) ) 2 dv ( 2(1 e a ) + 1 e 2a a 2a ). (2.2.35) Z počáeční hodnoy bezkupónového dluhopisu se splanosí v čase T odvodíme výsledný var funkce b() [ P(,T) = E ] e h(t) { = exp E [h(t)]+ 1 } 2 var [h(t)] = exp { m(t)+ 12 } v(t) = exp { r()( 1 e at) b(v) 1 e a(t v) dv+ a a ( ( σ 2 T ) )} 1 e at + 2a 2 2σ2 + σ2 (1 e 2aT ). (2.2.36) 2a 3 4a 3 Nyníbudemepořebovaprvníidruhouderivacilogarimu P(,T) lnp(,t) T = r()e at b(v)e a(t v) dv+ σ2 2a 2 σ2 e at a σ2 e 2aT 2a 2, (2.2.37) 2 lnp(,t) T 2 = ar()e at + b(t)+ σ2 e 2aT a ab(v)e a(t v) dv+ σ2 e at. (2.2.38) Pokud obě srany rovnice(2.2.37) vynásobíme a a přičeme k rovnici(2.2.38) získáme vzah pro výpoče b(t) b(t)= 2 lnp(,t) a lnp(,t) + σ2 ( ) 1 e 2aT, (2.2.39) T 2 T 2a kerýješěmůžemeupravipomocívzahuzvrzenívěy5na b(t)= f(,t) T +af(,t)+ σ2 ( ) 1 e 2aT. (2.2.4) 2a 3 a

32 2.2.4 Afinní časové srukury Z předchozích kapiol víme, že afinní srukury nám pomáhají zjednoduši výpoče ceny bezkupónového dluhopisu na základě jednofakorového modelu. Nicméně jsme využívali afinních časových srukur bez oho, abychom je přesně zadefinovali nebo ukázali, za jakých podmínek obecný model afinní srukuru má. V éo kapiole je popsáno obojí. Předpokládejme nyní, že cena bezkupónového dluhopisu je funkcí ří proměnných P(, T, r()). Řekneme, že model má afinní časovou srukuru, jesliže cenu bezkupónového dluhopisu můžeme vyjádři ve varu P(,T,r())=exp{A(,T) B(,T)r()}, (2.2.41) kde AaBjsounenáhodnéfunkcečasuar()jeokamžiáspoováúroková míra. Již jsme si ukázali, že všechny zde uvedené shor-rae modely mají afinní časovou srukuru. Exisují další dva způsoby výpoču ceny bezkupónového dluhopisu, buď přímo vypočía sřední hodnou z rovnosi(2.2.18), nebo využiím parciální diferenciální rovnice(nazývaná aké Black-Scholes-Meronova parciální diferenciální rovnice) P +1 P 2 σ2 2 r +µ P 2 r rp=, (2.2.42) sokrajovoupodmínkou P(T,T)=1.Pokuddosadímerovnici(2.2.41)do rovnice(2.2.42), poom po vydělení P získáme A B r+1 2 σ2 B 2 µb r=. (2.2.43) Podosazenídookrajovépodmínkyzískáme A(T,T)=B(T,T)=. Předpokládejme, že v rizikově-neurálním prosředí je dynamika okamžié spoové úrokové míry dr() = µ(, r())d + σ(, r())dw(). (2.2.44) Jemožnéukáza(viz[6]),žepokudjsoufunkce µaσvevaru µ(,r()) = α()r()+β(), σ(,r()) = γ()r()+δ() (2.2.45) a α, β, γ, δjsounenáhodnéfunkce,poommámodelafinníčasovousrukuru. 31

33 Pokud model má afinní časovou srukuru, edy známe výše uvedené nenáhodnéfunkce, můžemedopočíafunkce A(,T)aB(,T)zrovnice (2.2.41) 1.Tyzískámeřešenímsousavyobyčejnýchdiferenciálníchrovnic B A d +αb γb2 2 βb+ δb2 2 = 1, = (2.2.46) sokrajovýmipodmínkamia(t,t)=b(t,t)=.sousava(2.2.46)vznikne dosazením funkcí(2.2.45) do diferenciální rovnice(2.2.43) ak, že její koeficienyučlenu r =1dámedojednérovniceačlenyurdodruhé. 2.3 Heah-Jarrow-Moron model Modelování úrokových sazeb pomocí shor-rae modelů, edy modelů vycházejících z dynamiky okamžiých spoových úrokových sazeb, má své výhody. Hlavně co se ýče výběru souvisejících paramerů(dynamik). Nicméně, shor-rae modely mají i svá úskalí. Např. kalibrace na původní výnosovou křivku a zahrnuí kovarianční srukury forwadových sazeb je velmi ěžké dosáhnou zvlášť pro modely, keré se nedají kalibrova analyicky. SprvnívýznamnoualernaivoupřišliHoaLeevroce1986,keřímodelovali vývoj celé výnosové křivky pomocí binomického sromu. Jejich myšlenku v roce 1992 převedli do spojiého času Heah, Jarrow a Moron, keří vyvinuli obecný model(někdy éž rámec) pro modelování dynamiky úrokových sazeb. Konkréněji, zvolili okamžié forwardové míry jako základní veličiny modelu, odvodili bezarbirážní srukuru sochasického vývoje celé výnosové křivky, kde forwardové míry jsou zcela určeny srukurou svých okamžiých volaili. To je podsaný rozdíl oproi bezarbirážní jednofakorové shor-rae dynamice, kde volailia okamžié spoové sazby sama o sobě nesačí k charakerizaci modelu úrokové sazby Obecný model Obecně, v rámci HJM modelu, předpokládáme, že pro libovolné fixní T máokamžiáforwardovámíra f(,t)vývoj(vzhledemkdanémíře),kerý můžeme zapsa následující sochasickou diferenciální rovnicí df(,t)=m(,t)d+v(,t)dw(), (2.3.1) 1 Odvozeníivýpočefunkcíjezaloženna[2]. 32

34 kde W=(W 1,...,W n )jebrownůvpohyb(obecněvícerozměrný), v(,t)= (v 1 (,T),...,v n (,T))jevekoradapovanýchprocesůam(,T)jeadapovaný proces. Nadále v exu budeme pracova s jednorozměrnou verzí ohoo modelu,j. n=1. Model(2.3.1) není nuně bezarbirážní. Heah, Jarrow a Moron dokázali, že neexisuje jednoznačná maringalová míra ak, aby funkce m byla volena libovolně, ale musí závise na volailiě v. Následující věa je podmínkou bezarbirážnosi modelu. Věa 7 Pokud v modelu(2.3.1) uvažujeme rizikově neurální dynamiku hodnoy bezkupónového dluhopisu(2.3.3), poom plaí m(,t)=v(,t) Důkaz.Víme,žeplaínásledujícírovnospro T < T f(,t,t )= lnp(,t ) lnp(,t), T T v(, u)du. (2.3.2) kde f(,t,t )jeforwardovásazbavčase naobdobí Taž T.Diferenciál éo forwardové sazby je poom roven df(,t,t )= dlnp(,t ) dlnp(,t). T T Využiím vzahu(2.3.4) získáme másledující rovnosi ( dlnp(,t) = r() 1 ) 2 σ2 (,T) d+σ(,t)dw(), ( dlnp(,t ) = r() 1 ) 2 σ2 (,T ) d+σ(,t )dw(). Odečeme-liodsebeyorovniceavydělíme T Tdosanemerovnicipro změnu forwardové sazby ve varu df(,t,t )= σ2 (,T ) σ 2 (,T) 2(T T) d σ(,t ) σ(,t) dw(). T T AbychomdosalispojiouverziHJMmodelu,přejdemelimině T T k rovnici df(,t,t )=σ(,t) σ(,t) d σ(,t) dw(). T T Poom můžeme zapsa rovnici pro změnu forwardové sazby ve varu df(,t,t )=m(,t)d+v(,t)dw(), 33

35 kde Víme, že plaí m(,t) = σ(,t) σ(,t), T v(,t) = σ(,t). T σ(,t)= σ(, u), } u {{ } v(,u) proože σ(,)=.podosazenído m(,t)dosáváme m(,t)=v(,t) v(, u)du. Tenodůkazjepřevzazknihy[2]. Nechť T je pevné a dynamika procesu hodnoy bezkupónového dluhopisu P(,T)vzhledemkrizikověneurálnímířeje dp(,t)=r()p(,t)d+σ(,t)p(,t)dw(), (2.3.3) což můžeme dle Iôovy formule upravi na ( dlnp(,t)= r() 1 ) 2 σ2 (,T) d+σ(,t)dw(). (2.3.4) Sazba r() z předchozí rovnice je okamžiá spoová úroková sazba, kerou se zabývala předchozí kapiola. Víme, že plaí rovnos f(,) f(,)= df(u,), j. f(,)=f(,)+ df(u,). Okamžiáforwardovámíravčase sjednanánačas jezřejměrovnaokamžié spoové míře r(). Tedy po dosazení rovnice pro změnu forwardové úrokové míry, viz rovnice(2.3.2), dosaneme rovnos r()=f(,)+ v(u, ) v(u, s)dsdu + v(u, )du. (2.3.5) u 34

36 2.3.2 Markovská vlasnos V rámci HJM modelu nemá obecně okamžiá úroková sazba markovskou vlasnos. To znamená, že hodnoa r() nezávisí pouze na její poslední známé hodnoě, ale na celé její hisorii. Teno fak činí výpočy éo sazby, i výpočy od éo sazby odvozené, komplikovanější. Nicméně exisuje aková volba volailiy v(, T) ak, aby sazba r() splňovala markovskou vlasnos. Markovskávlasnos r()jesplněna,volíme-li 2 volailiunásledně v(,t)=ξ()ψ(t), (2.3.6) kde ξa ψjsounenáhodnéakladnéfunkcečasu.podosazenídorovnicepro okamžiou úrokovou sazbu dosáváme r()=f(,)+ ξ(u)ψ() ξ(u)ψ(s)dsdu + ψ() ξ(u)dw(u), u po úpravě získáme r()=f(,)+ψ() ξ 2 (u) ψ(s)dsdu + ψ() ξ(u)dw(u). u Označíme-li A()=f(,)+ψ() ξ 2 (u) ψ(s)dsdu, (2.3.7) poom derivace r(), za předpokladu diferencovaelnosi, dle se rovná dr()=a ()d+ψ ()d u ψ(u)dw(u) + ψ()ξ()dw(), což můžeme zapsa ve varu [ dr() = A ()+ψ () r() A() ] d + ψ()ξ()dw(). ψ() V modelech okamžié úrokové míry Ho-Lee a Hull-Whie je splněna markovská vlasnos r(). Ukážeme si podrobněji model Ho-Lee v rámci HJM. U modelu Hull-Whie si uvedeme pouze var volailiy okamžié forwardové míry. Odvození dalších modelů okamžié úrokové sazby je popsáno v[2]. 2 Taovolbavolailiyiodvozeníjsouzaloženana[4].Propřehlednosbudemepoužíva i sejné značení. 35

37 Nechť volailia okamžiých forwardových sazeb v(, T) = σ je konsaní pro všechna, T. Poom po dosazení do dynamiky forwardové sazby(2.3.1) splňující bezarbirážní podmínku dle věy 7 dosáváme f(,t) = f(,t)+ = f(,t)+ σ u σdsdu + σ 2 (T u)du+ Funkce ψaξjsoukonsaníprovšechna,tak,že ψ()=σ a ξ(t)=1. Poom dosazením do rovnice(2.3.7) získáme var A() = f(,)+ u = f(,)+ (σ)2 2, kerý dále dosadíme do rovnice pro r() r()=f(,)+ (σ)2 2 +σ σ 2 dsdu dw(u). σdw(u) σdw(u). Po zderivování dosáváme známý var dynamiky modelu Ho-Lee ( ) f(,) dr() = +σ 2 d+σdw(). } {{ } b() U Hull-Whie modelu je volailia varu v(,t)=σe a(t ), kde aaσjsoukonsaní.funkce ξ, ψa Ajsouvaru ψ() = σe a, ξ(t) = e at, A() = f(,)+e a σ 2 e 2au = f(,)+ σ2 2a 2(1 e a ) u e as dsdu

38 Dopočíání sazby r() a její dynamiky dr() pro Hull-Whie model je již zřejmé Dvourozměrný případ Vzhledemkomu,žeaplikaciHJMmodeluvespojiépodoběsinebudeme uvádě v analyické čási éo práce, uvedeme si nyní alespoň příklad chování forwardových sazeb v dvourozměrném případu HJM modelu. Konkréně si ukážeme průběh forwadových sazeb pro různé doby do splanosi. Předpokládejme, že exisují dva rizikové fakory ovlivňující náhodný vývoj forwardových sazeb charakerizované dvěma různými Wienerovými procesy W 1 a W 2.Dálepředpokládejme,žeyofakoryjsouvzájemněnezávislé a volailiy mají var v 1 (,T) =,1, v 2 (,T) =,9(8 (T )). Volailiyjsouedyfunkcemičasu-v 1 jekonsaníav 2 jefunkcí,t-az oho plyne, že i drif je funkcí času. Počáeční okamžié forwardové sazby jsme zvolili dle následující abulky Splanos Forwardovásazba Y,69 1Y,72 3Y,76 5Y,79 1Y,82 Časový krok je roven d =, 5. Následující obrázek znázorňuje vývoj forwardových sazeb za výše uvedených předpokladů. 37

39 .95 Sazba Y 1Y 3Y 5Y 1Y Cas roky Obrázek 2.3: Vývoj forwardových sazeb simulovaný HJM modelem s výše uvedenými paramery 2.4 LIBOR Marke Model HJM rámec v sobě ukrývá dvě zásadní nevýhody, keré odrazují od jeho používání. První nevýhodou je, že model je vyjádřen pomocí okamžiých forwardových sazeb, keré nejsou přímo pozorovaelné na rhu. Druhou nevýhodou je obížná kalibrace modelu na ceny obchodovaných insrumenů. Proovroce1997navrhliAlanBrace,DariuszGaarekaMarekMusielav maeriálu[3] alernaivu- zv. LIBOR Marke model(někdy aké BGM model nebo Brace-Gaarek-Musiela model). LIBOR(London InerBank Offer Rae) je úroková sazba na londýnském mezibankovním rhu. Je využívána jako referenční sazba v úrokových deriváech(úrokové swapy, collar- j. cap i floor) a na základě éo sazby jsou kóovány forwardové konraky(fraforward rae agreemen). Tao sazba je úročena jednoduše. Model lze samozřejmě vzáhnou k jakékoliv další mezibankovní úrokové sazbě se sejnou charakerisikou, např. PRIBOR, EURIBOR. LIBOR Marke model si můžeme předsavi jako diskréní verzi HJM modelu. Teno model je mezi radery velmi oblíbený vzhledem k omu, že může oceni libovolný konrak, jehož peněžní oky se dají rozloži na funkce pozorovaných forwardových sazeb. Nadále v exu budeme pracova s diskréními, na rhu pozorovaelnými, forwardovými sazbami, j. sazbami, keré jsou kóované na rhu. V éo kapiole budeme k LIBOR Marke modelu přisupova sejně jako John Hull(viz[1]). Teno přísup je názornější z hlediska diskreizace HJM 38

40 modelu i z hlediska implemenace než přísup rojice BGM Odvození modelu Nechť =, 1,... jsouobnovovacíčasycapů(reseimes),keréjsou dnes obchodované na rhu. Můžeme voli například obnovení po pololeí, j. 1 =.5, 2 =1,... Definujme τ j = j+1 j.dálenechť P(,T)jeopě cenabezkupónovéhodluhopisuvčase sesplanosívčase Ta L(, j, j+1 ) jeforwardovýliborvčase sezačákemvčase j asplanosívčase j+1.připomeňme,žecenabezkupónovéhodluhopisusesejnějakovhjm modelu řídí dynamikou(2.3.3). Vzah mezi forwardovou sazbou a cenou bezkupónového dluhopisu je 1+L(, j, j+1 )=1+L(, j, j +τ j )=1+τ j L(,τ j )= P(, j) P(, j+1 ), (2.4.1) kde L(,τ j )jeforwardovásazbadomluvenávčase naobdobí j a j+1 vyjádřenapomocíčasovéhoobdobí τ j.diskonnífakorjeroven 1 1+τ j L(,τ j ). (2.4.2) Ješě jednou poznamenejme, že používáme jednoduché úročení narozdíl od spojiého, keré je ve finanční maemaice(zvlášť při oceňování akcií a jejich deriváů) používanější. Až doposud jsme uvažovali jako numeraire bankovní úče(viz definice 13). Nyní je forwardová sazba maringalem vzhledem k hodnoě dluhopisu, j. numeraire je nyní cena dluhopisu. Tao echnika se nazývá změna numeraire, kdy hodnou bankovního úču B() nahrazujeme hodnoou jiného akiva X ().Důsledkemzměnynumerairejeizměnarizikověneurálnímíry vyjádřená pomocí Radon-Nikodymovy derivace(viz definice 9). Formálně je ao echnika pro obecnou změnu numeraire popsána v[4]. Pro lepší orienacivexubudemezměnumírypřizměněnumerairena X ()znači Q{X ()}. Vrizikověneurálnímprosředíjesazba L(,τ j ) Q{P(, j )}-maringal, j.vzhledemknumeraire P(, j ),keráseřídídynamikou dl(,τ k )=α k ()L(,τ k )dw(), (2.4.3) kdew()jewienerůvprocesvzhledemkmíře Q{P(, j )}, α k jevolailia forwardových sazeb v čase. Nadále v éo kapiole budeme uvažova míru Q{P(, j )},pokudnebudeřečenojinak. V praxi se ukazuje, že je vhodnější oceňova úrokové deriváy ve forwardovém rizikově-neurálním prosředí vzhledem k bezkupónovým dluhopisům 39

41 se splanosí v dalším čase obnovy capu. Tzv. rolující forwardové rizikověneurální prosředí(dle[11] rolling forward risk-neural world). V omo prosředímůžemepomocísazbybezkupónovéhodluhopisuvčase k sesplanosív k+1 diskonovazčasu k+1 dočasu k.nechť i()jeindexdalšího daaobnovycapuvčase,j. i()=min{k N; k }.Vrolujícímforwardovémrizikově-neurálnímprosředíjeforwardovásazba Q{P(, i() )}- maringalem.paksevomoprosředísazba L(,τ j )řídídynamikou dl(,τ k )=α k ()[σ i() () σ k+1 ()]L(,τ k )d+α k ()L(,τ k )dw(). (2.4.4) Rovnici(2.4.1) můžeme upravi na var ln P(, j) P(, j+1 ) =lnp(, j) lnp(, j+1 )=ln(1+τ j L(,τ j )). (2.4.5) Na obě srany rovnice použijeme Iôovo lemma, proože cena dluhopisu i forwardová sazba jsou náhodné a řídí se vlasními sochasickými diferenciálními rovnicemi. Poznamenejme, že nyní používáme forwardovou míru (Q{P(, j )})zforwardověrizikově-neurálníhoprosředí,j.rovnici(2.4.3). Porovnáme-li koeficieny u Wienerova procesu získáme σ j () σ j+1 ()= τ jl(,τ j )α j () 1+τ j L(,τ j ). (2.4.6) Podosazeníohoovýsledkudo(2.4.4)se L(,τ k )vrolujícímforwadovém rizikově-neurálním prosředí řídí dynamikou dl(,τ k )= k j=i() τ j L(,τ j )L(,τ k )α j ()α k () d+α k L(,τ k )dw(). (2.4.7) 1+τ j L(,τ j ) Zmínilijsme,žeHJMmodeljeliminíverzíLIBORMarkemodelu.Tolze dokázazpředchozírovnosi,kde τ j.rovnici(2.4.7)můžemepřepsa na dl(,τ k )=L(,τ k )α k () k j=i() α j ()L(,τ j ) 1+τ j L(,τ j ) +α k()l(,τ k )dw() Pokudpošlemelimině τ j knule,poomα j L(,τ j )jdekokamžiéforwardové volailiěvčase ačlen k α j ()L(,τ j ) 1+τ j L(,τ j ) jdek j=i() k v(, u)du. 4

42 Nyníjejižvidě,že dl(,τ k )= v(, k ) k Forwardové volailiy v(, u)du d+v(, k )dw(). Zjednodušmesivýšepopsanýmodelak,žefunkce α k ()jefunkcípouze celýchobdobímezidaemobnovycapuačasem k.toznamená,ženásnezajímá, kdy daný okamžik obnovy capu nasane, ale za jak dlouho nasane. NechťΛ j jehodnoafunkce α k (),kde jjepočevýšezmíněnýchobdobí. Zohoplyne,že α k ()=Λ k i() jeschodoviáfunkce.teoreickymůžeme hodnoyλ j odhadnoupomocívolaili,kerébylypoužiykoceněnícapleů 3 pomocíblackovamodelu,zv.spoovévolailiy.předpokládejme,že s j jeblackovavolailia,keráodpovídáobdobímezi j a j+1.forwardové volailiy získáme ieraivně pomocí vzahu s 2 j j= j Λ 2 k i τ i 1. (2.4.8) i=1 Vpraxisepoužívajíekvidisaní časovéokamžiky,j. τ j jsousejnépro všechna j. Více o sanovení forwardových volaili na základě reálných da je popsáno v kapiole Implemenace modelu Nejpoužívanější implemenací LIBOR Marke modelu je simulace Mone Carlo 4.Pokuddosadímeforwardovévolailiy do rovnice(2.4.7) dosáváme vzah dl(,τ k ) L(,τ k ) =Λ k i() k j=i() α k ()=Λ k i() (2.4.9) τ j Λ j i() L(,τ j ) 1+τ j L(,τ j ) +Λ k i() L(,τ k )dw(). (2.4.1) Pomocí Ioôva lemmau můžeme uo rovnici upravi na použielnější var k τ dlnl(,τ k )= j L(,τ j )Λ k i() Λ j i() Λ2 k i() d+λ k i() dw(). 1+τ j 2 j=i() (2.4.11) 3 Caplejecapsjednímvýplanímdaem,j.caplzechápajakoporfoliocapleů. 4 MoneCarlosimulacejepodrobněpopsánaisaplikacemiv[27] 41

43 Přisamonéaplikaciohoovýpočupředpokládáme,žeprodrifplaíL(,τ j ) = L( i,τ j )pro i < i+1.poom {[ k ] τ j L( i,τ j )Λ j i 1 Λ k i 1 L( j+1,τ k ) = L( j,τ k )exp Λ2 k i 1 τ i 1+τ j L( i,τ j ) 2 j=i+1 +Λ k i 1 ε τ i }, (2.4.12) kde ε je náhodná veličina se sandardizovaným normálním rozdělením (ε N(,1)). 2.5 Ocenění opcí V éo kapiole se budeme zabýva oceněním evropských opcí pomocí výše uvedených modelů. Nebudeme zde odvozova Black-Scholesův model, omu se věnuje velké množsví publikací např.[7],[5]. Poznamenejme však, že cena evropské call-opce, resp. pu-opce, v okamžiku expirace T má hodnou max{s T K;}, resp. max{k S T ;}, kde S T jecenapodkladovéhoakivavčase Ta Kjerealizačnícena(angl. srike-price). V okamžiku < T je cena evropské call-opce c(), resp. pu-opce p(), rovna D(,T)E[max{S T K;} S ], resp. D(,T)E[max{K S T ;} S ] kde D(,T)jediskonnífakor.Výsledkemje resp. c()=s Φ(d) KD(,T)Φ(d σ T ), p()= S Φ( d)+kd(,t)φ( d+σ T ), kde Φ je disribuční funkce rozdělení N(,1). Cenaevropskéopcevčase srealizačnícenou X,expirací T sbezkupónovýmdluhopisemjakopodkladovýmakivemsesplanosívčase T byla odvozena Farshidem Jamshidianem v článku[15]. Jamshidian využil známéhorozdělení r(t)adopodmíněnésředníhodnoy E [D(,T)H(T)] dosadil H(T)=max{P(T,T ) X}.Odvodil,žecenaopcenabezkupónový dluhopis je rovna ZBO(,T,T,X)=α[P(,S)Φ(αh) XP(,T)Φ(α(h Σ(,T)))], (2.5.1) kde α=1,resp. α= 1,procall-opci,resp.pu-opci.Paramery haσ(,t) si uvedeme u Hull-Whie modelu. 42

44 2.5.1 Shor-rae modely Ukážeme si aplikaci meodiky ocenění opcí i na Hull-Whie a Ho-Lee modelu. Nebudeme zde uvádě ocenění opce pro Vašíčkův model, proože je, až na ceny bezkupónových dluhopisů, ekvivalenní Hull-Whie modelu. Nejdříve odvodíme cenu evropské call-opce(resp. pu-opce) na bezkupónový dluhopis a cenu capu(resp. flooru) pomocí Hull-Whie modelu. Ocenění pomocí Ho-Lee modelu probíhá analogicky, proo oba modely uvádíme v rámci jedné kapioly. Již víme, že Hull-Whie model má afinní srukuru časových měr, edy hodnou bezkupónového dluhopisu můžeme vyjádři ve varu P(,T)=exp{A(,T) B(,T)r()}. Kvůli dalším výpočům si připomeňme i var funkce B B(,T)= 1 e a(t ). a Jako první oceníme evropskou call-opci, kde podkladovým akivem je bezkupónovýdluhopissesplanosí T.Taoopcemárealizačnícenu Kaexpirujevčase T,předpokládáme,že T < T.Výplanífunkcevčaseexpirace Tjerovna Ψ call (T)=max{(P(T,T ) K);}. (2.5.2) Volme bezkupónový dluhopis s časem expirace v čase T jako numeraire, poom je proces Z() definován jako Z()= P(,T ) P(,T). Je zapořebí ukáza, že proces Z() má nenáhodnou volailiu. Po dosazení rovnice pro bezkupónový dluhopis dosáváme Z()=exp{A(,T ) A(,T) (B(,T ) B(,T))r()}. Na proces Z() použijeme Iôovu formuli a vyjde nám koeficien u Wienerova procesu ve varu σ Z ()= σ(b(,t ) B(,T))= σ a ( e a(t ) +e a(t )) = σea a Poom cena evropské call-opce za výše uvedených podmínek dle Hull-Whie modelu je Call(P(,T ),,T,T,K)=P(,T )Φ(h) KP(,T)Φ(h Σ(,T)), (2.5.3) 43 ( e at e at ).

45 kde a h= 1 Σ() ln P(,T ) KP(,T) +Σ(,T) 2 (2.5.4) Σ 2 (,T) = σ 2 Z (u)du = σ2 a 2 e 2au( e at e at ) 2du = σ2 2a 3 ( e 2aT e 2a)( e at e at ) 2 = σ2 2a 3 ( 1 e 2a(T ) )( 1 e a(t T) ) 2, akže po pár algebraických úpravách a dosazení funkce B dosaneme 1 e 2a(T ) Σ(,T)=σ B(T,T ). (2.5.5) 2a Pomocí pu-call pariy můžeme analogicky oceni pu-opci na bezkupónový dluhopis se sejnými paramery ve varu Pu(P(,T ),,T,T,K)= P(,T )Φ( h)+kp(,t)φ( h+σ(,t)), (2.5.6) UmodeluHo-Leesezměnípouzečlen σ Z (),kerýjeposejnémposupua dosazenímfunkce B(,T)=T roven σ Z ()=σ(t T). (2.5.7) ObaypyopcíseocenísejnějakouHull-Whiemodelusvýjimkoučlenu Σ(,T),kerýjeroven Σ 2 (,T) = σ 2 Z (u)du po odmocnění = σ 2 (T T ) 2 (T ), (2.5.8) Σ(,T)=σB(T,T ) B(,T). (2.5.9) Nyní si oceníme cap(úrokovou call-opci)- floor(úrokovou pu-opci) dopočíáme pu-call pariou- pomocí Hull-Whie modelu. Uvažujme cap sjednaný 44

46 včase sexpiracívčase T naúrokovousazbu inaobdobí τ= T T a realizační sazbou X. Hodnoa výplaní funkce v čase expirace opce je rovna Ψ cap (i,t,τ,x)= 1 1+iτ max(τ(i X);) Odvodíme cenu capu pomocí pu-opce s expirací v čase T na bezkupónový dluhopissesplanosívčase T+τ= T.Nejdřívesiukážeme,jakýjevzah mezi výplaními funkcemi capu a pu-opcí ( Ψ pu (i,t,τ,k) = max K 1 ) 1+iτ ; = = 1 max(k+iτk 1;) 1+iτ ( ( K 1+iτ max τ i 1 K τk = KΨ cap ( i,t,τ, 1 K τk Zrovnice X= 1 K τk vypočíáme hodnou K, kerá se rovná K= 1 1+τX. ). ) ; Poom můžeme vzáhnou uo rovnos k času, ve kerém dosáváme rovnos ( ) Cap(,T,τ,X)=(1+τX)Pu P(,T ),,T,T 1,. (2.5.1) 1+τX Profloorjerovnosvevaru Floor(,T,τ,X)=(1+τX)Call ( ) P(,T ),,T,T 1,. (2.5.11) 1+τX Hodnou capu a flooru lze samozřejmě vzáhnou k modelu Ho-Lee i Vašíčkovu modelu. Liši se budou pouze v hodnoách call-opcí, resp. pu-opcí, jejichž výpoče jsme u všech modelů uvedli LIBOR Marke model Připomeňme,žepracujemesmírou Q{P(, k )}.Dynamikuforwardové LIBORsazbyjsmesizavedlivevaru dl(,τ k )=α k ()L(,τ k )dw(), < T k 1, 45 )

Radek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010

Radek Hendrych. Stochastické modelování v ekonomii a financích. 18. října 2010 Sochasické modelování v ekonomii a financích 18. října 21 Program 1 2 3 4 Úroková míra R, T ) Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis s mauriou T a nominální hodnoou 1 $, jeho cenu v čase budeme nadále

Více

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY

FINANČNÍ MATEMATIKA- ÚVĚRY Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ.1.07/1.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol FINANČNÍ MATEMATIKA-

Více

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD

FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Semesrální práce z předměu KMA/MAB Téma: Schopnos úrokového rhu předvída sazby v době krize Daum: 7..009 Bc. Jan Hegeď, A08N095P Úvod Jako éma pro

Více

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie

Více

Stochastické modelování úrokových sazeb

Stochastické modelování úrokových sazeb Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo

Více

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů:

Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů: . Komplexní čísla Inegrovaná sřední škola, Kumburská 846, Nová Paka Auomaizace maemaika v auomaizaci Maemaika v auomaizaci - pro řešení regulačních obvodů: Komplexní číslo je bod v rovině komplexních čísel.

Více

Pasivní tvarovací obvody RC

Pasivní tvarovací obvody RC Sřední průmyslová škola elekroechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKTRONIKY Pasivní varovací obvody RC Příjmení : Česák Číslo úlohy : 3 Jméno : Per Daum zadání : 7.0.97 Školní rok : 997/98 Daum odevzdání :

Více

Derivace funkce více proměnných

Derivace funkce více proměnných Derivace funkce více proměnných Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 21. prosince 2017 1. Parciální derivace. Ve výrazu f(x, y) považujeme za proměnnou jen x a proměnnou y považujeme za konsanu. Zderivujeme

Více

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované.

transformace Idea afinního prostoru Definice afinního prostoru velké a stejně orientované. finní ransformace je posunuí plus lineární ransformace má svou maici vzhledem k homogenním souřadnicím využií například v počíačové grafice [] Idea afinního prosoru BI-LIN, afinia, 3, P. Olšák [2] Lineární

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Oceňování finančních derivátů ve spojitém čase Václav Kozmík Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy 4. 10. 2010 Úvod Stochastický kalkulus Wienerův proces stochastické procesy Itoovo lemma změna

Více

Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP)

Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) aplaceova ransformace Modelování sysémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček 5. přednáška MSP čvrek 2. března 24 verze: 24-3-2 5:4 Obsah Fourierova ransformace Komplexní exponenciála

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

Parciální funkce a parciální derivace

Parciální funkce a parciální derivace Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září 2018 1. Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci

Více

Schéma modelu důchodového systému

Schéma modelu důchodového systému Schéma modelu důchodového sysému Cílem následujícího exu je názorně popsa srukuru modelu, kerý slouží pro kvanifikaci příjmové i výdajové srany důchodového sysému v ČR, a o jak ve varianách paramerických,

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Osrava 0 Ing. Pera Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly.

listopadu 2016., t < 0., t 0, 1 2 ), t 1 2,1) 1, 1 t. Pro X, U a V najděte kvantilové funkce, střední hodnoty a rozptyly. 6. cvičení z PSI 7. -. lisopadu 6 6. kvanil, sřední hodnoa, rozpyl - pokračování příkladu z minula) Náhodná veličina X má disribuční funkci e, < F X ),, ) + 3,,), a je směsí diskréní náhodné veličiny U

Více

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt

Numerická integrace. b a. sin 100 t dt Numerická inegrace Mirko Navara Cenrum srojového vnímání kaedra kyberneiky FEL ČVUT Karlovo náměsí, budova G, mísnos 14a hp://cmpfelkcvucz/~navara/nm 1 lisopadu 18 Úloha: Odhadnou b a f() d na základě

Více

10 Lineární elasticita

10 Lineární elasticita 1 Lineární elasicia Polymerní láky se deformují lineárně elasicky pouze v oblasi malých deformací a velmi pomalých deformací. Hranice mezi lineárním a nelineárním průběhem deformace (mez lineariy) závisí

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava 4. TROJFÁZOVÉ OBVODY Kaedra obecné elekroechniky Fakula elekroechniky a inormaiky, VŠB - T Osrava. TOJFÁZOVÉ OBVODY.1 Úvod. Trojázová sousava. Spojení ází do hvězdy. Spojení ází do rojúhelníka.5 Výkon v rojázových souměrných

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení 1 Lineární rovnice prvního řádu 1. Najděe řešení Cauchyovy úlohy x + x g = cos, keré vyhovuje podmínce x(π) =. Máme nehomogenní lineární diferenciální ( rovnici prvního řádu. Funkce h() = g a q()

Více

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY

5 GRAFIKON VLAKOVÉ DOPRAVY 5 GRAFIKON LAKOÉ DOPRAY Jak známo, konsrukce grafikonu vlakové dopravy i kapaciní výpočy jsou nemyslielné bez znalosi hodno provozních inervalů a následných mezidobí. éo kapiole bude věnována pozornos

Více

Teorie obnovy. Obnova

Teorie obnovy. Obnova Teorie obnovy Meoda operačního výzkumu, kerá za pomocí maemaických modelů zkoumá problémy hospodárnosi, výměny a provozuschopnosi echnických zařízení. Obnova Uskuečňuje se až po uplynuí určiého času činnosi

Více

Využijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je.

Využijeme znalostí z předchozích kapitol, především z 9. kapitoly, která pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Pravděpodobnos a saisika 0. ČASOVÉ ŘADY Průvodce sudiem Využijeme znalosí z předchozích kapiol, především z 9. kapioly, kerá pojednávala o regresní analýze, a rozšíříme je. Předpokládané znalosi Pojmy

Více

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ

STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují

Více

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově

Skupinová obnova. Postup při skupinové obnově Skupinová obnova Při skupinové obnově se obnovují všechny prvky základního souboru nebo určiá skupina akových prvků najednou. Posup při skupinové obnově prvky, jež selžou v určiém období, je nuno obnovi

Více

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU

ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU ÚVOD DO DYNAMIKY HMOTNÉHO BODU Obsah Co je o dnamika? 1 Základní veličin dnamik 1 Hmonos 1 Hbnos 1 Síla Newonov pohbové zákon První Newonův zákon - zákon servačnosi Druhý Newonův zákon - zákon síl Třeí

Více

NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika II) 1. Na autě jsou prováděny dvě nezávislé opravy a obě opravy budou hotovy do jedné hodiny.

NUMP403 (Pravděpodobnost a Matematická statistika II) 1. Na autě jsou prováděny dvě nezávislé opravy a obě opravy budou hotovy do jedné hodiny. Spojiá rozdělení I.. Na auě jou prováděny dvě nezávilé opravy a obě opravy budou hoovy do jedné hodiny. Předpokládejme, že obě opravy jou v akové fázi, že rozdělení čau do ukončení konkréní opravy je rovnoměrné.

Více

Diferenciální rovnice 1. řádu

Diferenciální rovnice 1. řádu Kapiola Diferenciální rovnice. řádu. Lineární diferenciální rovnice. řádu Klíčová slova: Obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu, pravá srana rovnice, homogenní rovnice, rovnice s nulovou

Více

( ) Základní transformace časových řad. C t. C t t = Μ. Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1

( ) Základní transformace časových řad. C t. C t t = Μ. Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1 Makroekonomická analýza Popisná analýza ekonomických časových řad (ii) 1 Základní ransformace časových řad Veškeré násroje základní korelační analýzy, kam paří i lineární regresní (ekonomerické) modely

Více

Studie proveditelnosti (Osnova)

Studie proveditelnosti (Osnova) Sudie provedielnosi (Osnova) 1 Idenifikační údaje žadaele o podporu 1.1 Obchodní jméno Sídlo IČ/DIČ 1.2 Konakní osoba 1.3 Definice a popis projeku (max. 100 slov) 1.4 Sručná charakerisika předkladaele

Více

5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav

5. Využití elektroanalogie při analýze a modelování dynamických vlastností mechanických soustav 5. Využií elekroanalogie při analýze a modelování dynamických vlasnosí mechanických sousav Analogie mezi mechanickými, elekrickými či hydraulickými sysémy je známá a lze ji účelně využíva při analýze dynamických

Více

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA

MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA Přednáška 7 MĚNOVÁ POLITIKA, OČEKÁVÁNÍ NA FINANČNÍCH TRZÍCH, VÝNOSOVÁ KŘIVKA A INTERAKCE S MĚNOVÝM KURZEM (navazující přednáška na přednášku na éma inflace, měnová eorie a měnová poliika) Měnová poliika

Více

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli

NA POMOC FO. Pád vodivého rámečku v magnetickém poli NA POMOC FO Pád vodivého rámečku v maneickém poli Karel auner *, Pedaoická akula ZČU v Plzni Příklad: Odélníkový rámeček z vodivého dráu má rozměry a,, hmonos m a odpor. Je zavěšen ve výšce h nad horním

Více

EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ

EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Ocenění podniku na bázi meodologie reálných opcí Company Valuaion on he Basis of he Real Opions Mehodology Suden: Vedoucí

Více

2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI

2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI 2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšném a akivním absolvování éo KAPITOLY Budee umě: orienova se v základním maemaickém aparáu pro eorii spolehlivosi, j. v poču pravděpodobnosi a maemaické saisice,

Více

Věstník ČNB částka 25/2007 ze dne 16. listopadu 2007

Věstník ČNB částka 25/2007 ze dne 16. listopadu 2007 Třídící znak 1 0 7 0 7 6 1 0 ŘEDITEL SEKCE BANKOVNÍCH OBCHODŮ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY VYHLAŠUJE ÚPLNÉ ZNĚNÍ OPATŘENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY Č. 2/2003 VĚST. ČNB, KTERÝM SE STANOVÍ PODMÍNKY TVORBY POVINNÝCH MINIMÁLNÍCH

Více

x udává hodnotu směrnice tečny grafu

x udává hodnotu směrnice tečny grafu Předmě: Ročník: Vyvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE v bodě (ečny grafu funkcí) Je

Více

Úloha V.E... Vypař se!

Úloha V.E... Vypař se! Úloha V.E... Vypař se! 8 bodů; průměr 4,86; řešilo 28 sudenů Určee, jak závisí rychlos vypařování vody na povrchu, kerý ao kapalina zaujímá. Experimen proveďe alespoň pro pě různých vhodných nádob. Zamyslee

Více

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV

Porovnání způsobů hodnocení investičních projektů na bázi kritéria NPV 3 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6-7 září 2006 Porovnání způsobů hodnocení invesičních projeků na bázi kriéria Dana Dluhošová

Více

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí

Kmitání tělesa s danou budicí frekvencí EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Kmiání ělesa s danou budicí frekvencí PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení echnické v Praze, Fakula savební, Kaedra maemaiky Posílení vazby eoreických předměů

Více

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p

Analýza časových řad. Informační a komunikační technologie ve zdravotnictví. Biomedical Data Processing G r o u p Analýza časových řad Informační a komunikační echnologie ve zdravonicví Definice Řada je posloupnos hodno Časová řada chronologicky uspořádaná posloupnos hodno určiého saisického ukazaele formálně je realizací

Více

V EKONOMETRICKÉM MODELU

V EKONOMETRICKÉM MODELU J. Arl, Š. Radkovský ANALÝZA ZPOŽDĚNÍ V EKONOMETRICKÉM MODELU VP č. Praha Auoři: doc. Ing. Josef Arl, CSc. Ing. Šěpán Radkovský Názor a sanoviska v éo sudii jsou názor auorů a nemusí nuně odpovída názorům

Více

Demografické projekce počtu žáků mateřských a základních škol pro malé územní celky

Demografické projekce počtu žáků mateřských a základních škol pro malé územní celky Demografické projekce poču žáků maeřských a základních škol pro malé územní celky Tomáš Fiala, Jika Langhamrová Kaedra demografie Fakula informaiky a saisiky Vysoká škola ekonomická v Praze Pořebná daa

Více

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data

Vybrané metody statistické regulace procesu pro autokorelovaná data XXVIII. ASR '2003 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, May 6, 2003 239 Vybrané meody saisické regulace procesu pro auokorelovaná daa NOSKIEVIČOVÁ, Darja Doc., Ing., CSc. Kaedra konroly a řízení jakosi,

Více

Oceňování finančních investic

Oceňování finančních investic Oceňování finančních invesic A. Dluhopisy (bondy, obligace). Klasifikace obligací a) podle kupónu - konvenční obligace (sraigh, plain vanilla, bulle bond) vyplácí pravidelný (roční, pololení) kupón po

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DOKTORSKÁ DISERTAČNÍ PRÁCE VYTVÁŘENÍ TRŽNÍ ROVNOVÁHY VYBRANÝCH ZEMĚDĚLSKO-POTRAVINÁŘSKÝCH PRODUKTŮ Ing. Michal Malý Školiel: Prof. Ing. Jiří

Více

APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVITY V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIKY

APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVITY V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIKY APLIKACE INDEXU DAŇOVÉ PROGRESIVIT V PODMÍNKÁCH ČESKÉ REPUBLIK Ramanová Ivea ABSTRAKT Příspěvek je věnován problemaice měření míry progresiviy zdanění pomocí indexu daňové progresiviy, kerý vychází z makroekonomických

Více

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8

Biologické modely. Robert Mařík. 9. listopadu Diferenciální rovnice 3. 2 Autonomní diferenciální rovnice 8 Biologické modely Rober Mařík 9. lisopadu 2008 Obsah 1 Diferenciální rovnice 3 2 Auonomní diferenciální rovnice 8 3 onkréní maemaické modely 11 Dynamická rovnováha poču druhů...................... 12 Logisická

Více

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK

ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK ZPŮSOBY MODELOVÁNÍ ELASTOMEROVÝCH LOŽISEK Vzhledem ke skuečnosi, že způsob modelování elasomerových ložisek přímo ovlivňuje průběh vniřních sil v oblasi uložení, rozebereme v éo kapiole jednolivé možné

Více

Jan Kalendovský Stochastické procesy v kombinaci životního

Jan Kalendovský Stochastické procesy v kombinaci životního Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Jan Kalendovský Sochasické procesy v kombinaci živoního pojišění a hypoečního úvěru Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí

Více

1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici

1.3.4 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici 34 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Předpoklady: 33 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb exisují analogické veličiny popisující pohyb po kružnici: rovnoměrný pohyb pojíko rovnoměrný pohyb

Více

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle

LS Příklad 1.1 (Vrh tělesem svisle dolů). Těleso o hmotnosti m vrhneme svisle Obyčejné diferenciální rovnice Jiří Fišer LS 2014 1 Úvodní moivační příklad Po prosudování éo kapioly zjisíe, k čemu mohou bý diferenciální rovnice užiečné. Jak se pomocí nich dá modelova prakický problém,

Více

7.4.1 Parametrické vyjádření přímky I

7.4.1 Parametrické vyjádření přímky I 741 Paramerické vyjádření přímky I Předpoklady: 7303 Jak jsme vyjadřovali přímky v rovině? X = + D Ke všem bodů z roviny se z bod dosaneme posním C o vekor Pokd je bod na přímce, posováme se o vekor, E

Více

SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA

SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA ROBUST 000, 47 56 c JČMF 001 SROVNÁNí APROXIMAČNíCH METOD V TEORII RIZIKA MARTIN ROTKOVSKÝ Absrak. One of he main erms of he risk heory is so called individual model, which describes for example oal aggregae

Více

Aplikace analýzy citlivosti při finačním rozhodování

Aplikace analýzy citlivosti při finačním rozhodování 7 mezinárodní konference Finanční řízení podniků a finančních insiucí Osrava VŠB-U Osrava Ekonomická fakula kaedra Financí 8 9 září 00 plikace analýzy cilivosi při finačním rozhodování Dana Dluhošová Dagmar

Více

9 Viskoelastické modely

9 Viskoelastické modely 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály

Více

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = =

Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = = Diferenciální poče funkcí více reálných proměnných -- SLOŽENÉ FUNKCE PŘÍKLAD Určee derivaci funkce h ( = f( g( g( kde g ( = + g ( = f ( / = e Podle pravidla o derivování složených funkcí více proměnných

Více

T t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka

T t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka Analýza časových řad Klasický přísup k analýze ČŘ dekompozice časové řady - rozklad ČŘ na složky charakerizující různé druhy pohybů v ČŘ, keré umíme popsa a kvanifikova rend periodické kolísání cyklické

Více

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Aplikace reálných opcí při ocenění výrobního podniku Real Opions Applicaion For Manufacuring Company Valuaion Suden:

Více

Metodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržitelnost projektů

Metodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržitelnost projektů OPERAČNÍ PROGRAM ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ EVROPSKÁ UNIE Fond soudržnosi Evropský fond pro regionální rozvoj Pro vodu, vzduch a přírodu Meodika zpracování finanční analýzy a Finanční udržielnos projeků PŘÍLOHA

Více

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU

7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU Indexy základní, řeězové a empo přírůsku Aleš Drobník srana 1 7. INDEXY ZÁKLADNÍ, ŘETĚZOVÉ A TEMPO PŘÍRŮSTKU V kapiole Indexy při časovém srovnání jsme si řekli: Časové srovnání vzniká, srovnáme-li jednu

Více

Nové indikátory hodnocení bank

Nové indikátory hodnocení bank 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 8. - 9. září 2010 Nové indikáory hodnocení bank Josef Novoný 1 Absrak Příspěvek je

Více

Volba vhodného modelu trendu

Volba vhodného modelu trendu 8. Splinové funkce Trend mění v čase svůj charaker Nelze jej v sledovaném období popsa jedinou maemaickou křivkou aplikace echniky zv. splinových funkcí: o Řadu rozdělíme na několik úseků o V každém úseku

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Měření výkonnosti údržby prostřednictvím ukazatelů efektivnosti

Měření výkonnosti údržby prostřednictvím ukazatelů efektivnosti Měření výkonnosi údržby prosřednicvím ukazaelů efekivnosi Zdeněk Aleš, Václav Legá, Vladimír Jurča 1. Sledování efekiviy ve výrobní organizaci S rozvojem vědy a echniky je spojena řada požadavků kladených

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 4. přednáška: Vekorové prosory Dalibor Lukáš Kaedra aplikované maemaiky FEI VŠB Technická univerzia Osrava email: dalibor.lukas@vsb.cz hp://www.am.vsb.cz/lukas/la Tex byl vyvořen v rámci

Více

4. Střední radiační teplota; poměr osálání,

4. Střední radiační teplota; poměr osálání, Sálavé a průmyslové vyápění (60). Sřední radiační eploa; poměr osálání, operaivní a výsledná eploa.. 08 a.. 08 Ing. Jindřich Boháč TEPLOTY Sřední radiační eploa - r Sálavé vyápění = PŘEVÁŽNĚ sálavé vyápění

Více

Studie proveditelnosti (Osnova)

Studie proveditelnosti (Osnova) Sudie provedielnosi (Osnova) 1 Idenifikační údaje žadaele o podporu 1.1 Obchodní jméno Sídlo IČ/DIČ 1.2 Konakní osoba 1.3 Definice a popis projeku (max. 100 slov) 1.4 Sručná charakerisika předkladaele

Více

Práce a výkon při rekuperaci

Práce a výkon při rekuperaci Karel Hlava 1, Ladislav Mlynařík 2 Práce a výkon při rekuperaci Klíčová slova: jednofázová sousava 25 kv, 5 Hz, rekuperační brzdění, rekuperační výkon, rekuperační energie Úvod Trakční napájecí sousava

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha V.E... sladíme 8 bodů; průměr 4,65; řešilo 23 sudenů Změře závislos eploy uhnuí vodného rozoku sacharózy na koncenraci za amosférického laku. Pikoš v zimě sladil chodník. eorie Pro vyjádření koncenrace

Více

Analogový komparátor

Analogový komparátor Analogový komparáor 1. Zadání: A. Na předloženém inverujícím komparáoru s hyserezí změře: a) převodní saickou charakerisiku = f ( ) s diodovým omezovačem při zvyšování i snižování vsupního napěí b) zaěžovací

Více

PŘÍLOHA SDĚLENÍ KOMISE. nahrazující sdělení Komise

PŘÍLOHA SDĚLENÍ KOMISE. nahrazující sdělení Komise EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 28.10.2014 COM(2014) 675 final ANNEX 1 PŘÍLOHA SDĚLENÍ KOMISE nahrazující sdělení Komise o harmonizovaném rámci návrhů rozpočových plánů a zpráv o emisích dluhových násrojů

Více

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI

VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Masarykova univerzia Přírodovědecká fakula VÝNOSOVÉ KŘIVKY A JEJICH VYUŽITÍ VE FINANČNÍ PRAXI Bakalářská práce Lucie Pečinková Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Per ČERVINEK Brno 202 Bibliografický záznam

Více

Modelování rizika úmrtnosti

Modelování rizika úmrtnosti 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 8. - 9. září 200 Modelování rizika úmrnosi Ingrid Perová Absrak V příspěvku je řešena

Více

Věstník ČNB částka 15/2003 ze dne 1. října 2003 KTERÝM SE STANOVÍ MINIMÁLNÍ VÝŠE LIKVIDNÍCH PROSTŘEDKŮ A PODMÍNKY TVORBY POVINNÝCH MINIMÁLNÍCH REZERV

Věstník ČNB částka 15/2003 ze dne 1. října 2003 KTERÝM SE STANOVÍ MINIMÁLNÍ VÝŠE LIKVIDNÍCH PROSTŘEDKŮ A PODMÍNKY TVORBY POVINNÝCH MINIMÁLNÍCH REZERV Třídící znak 1 0 2 0 3 6 1 0 OPATŘENÍ ČESKÉ NÁRODNÍ BANKY ZE DNE 23. ZÁŘÍ 2003 KTERÝM SE STANOVÍ MINIMÁLNÍ VÝŠE LIKVIDNÍCH PROSTŘEDKŮ A PODMÍNKY TVORBY POVINNÝCH MINIMÁLNÍCH REZERV Česká národní banka

Více

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s.

PENZIJNÍ PLÁN Allianz transformovaný fond, Allianz penzijní společnost, a. s. PENZIJNÍ PLÁN Allianz ransforovaný fond, Allianz penzijní společnos, a. s. Preabule Penzijní plán Allianz ransforovaného fondu, Allianz penzijní společnos, a. s. (dále jen Allianz ransforovaný fond, obsahuje

Více

( ) ( ) NÁVRH CHLADIČE VENKOVNÍHO VZDUCHU. Vladimír Zmrhal. ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav techniky prostředí Vladimir.Zmrhal@fs.cvut.

( ) ( ) NÁVRH CHLADIČE VENKOVNÍHO VZDUCHU. Vladimír Zmrhal. ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav techniky prostředí Vladimir.Zmrhal@fs.cvut. 21. konference Klimaizace a věrání 14 OS 01 Klimaizace a věrání STP 14 NÁVRH CHLADIČ VNKOVNÍHO VZDUCHU Vladimír Zmrhal ČVUT v Praze, Fakula srojní, Úsav echniky prosředí Vladimir.Zmrhal@fs.cvu.cz ANOTAC

Více

MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ

MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA DEMOGRAFICKÁ DYNAMIKA OBYVATELSTVA ČESKÉ REPUBLIKY Bakalářská práce Vypracovala: Jana Horníčková Vedoucí bakalářské práce:

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V RNĚ RNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ENERGETICKÝ ÚSTAV FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING ENERGY INSTITUTE PRUŽNÉ SPOJKY NA PRINCIPU TEKUTIN FLEXILE COUPLINGS

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Andrea Friedrichová Sanovení míry expozice na krediní a ržní rizika pomocí meod Value a Risk Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky

Více

Analýza rizikových faktorů při hodnocení investičních projektů dle kritéria NPV na bázi EVA

Analýza rizikových faktorů při hodnocení investičních projektů dle kritéria NPV na bázi EVA 4 mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 11-12 září 2008 Analýza rizikových fakorů při hodnocení invesičních projeků dle kriéria

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Unverza Tomáše Ba ve Zlíně ABOATONÍ VIČENÍ EEKTOTEHNIKY A PŮMYSOVÉ EEKTONIKY Název úlohy: Zpracoval: Měření čnného výkonu sřídavého proudu v jednofázové sí wamerem Per uzar, Josef Skupna: IT II/ Moravčík,

Více

Analýza citlivosti NPV projektu na bázi ukazatele EVA

Analýza citlivosti NPV projektu na bázi ukazatele EVA 3. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-U Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí 6.-7. září 2006 Analýza cilivosi NPV projeku na bázi ukazaele EVA Dagmar Richarová

Více

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Maěj Kadavý Lokální gaussovské časy Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Daniel Hlubinka,

Více

Maxwellovy a vlnová rovnice v obecném prostředí

Maxwellovy a vlnová rovnice v obecném prostředí Maxwellovy a vlnová rovnie v obeném prosředí Ing. B. Mihal Malík, Ing. B. Jiří rimas TCHNICKÁ UNIVRZITA V LIBRCI Fakula meharoniky, informaiky a mezioborovýh sudií Teno maeriál vznikl v rámi proeku SF

Více

Přednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1

Přednáška kurzu MPOV. Klasifikátory, strojové učení, automatické třídění 1 Přednáška kurzu MPOV Klasifikáory, srojové učení, auomaické řídění 1 P. Peyovský (email: peyovsky@feec.vubr.cz), kancelář E530, Inegrovaný objek - 1/25 - Přednáška kurzu MPOV... 1 Pojmy... 3 Klasifikáor...

Více

Manuál k vyrovnávacímu nástroji pro tvorbu cen pro vodné a stočné

Manuál k vyrovnávacímu nástroji pro tvorbu cen pro vodné a stočné OPERAČNÍ PROGRAM ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ EVROPSKÁ UNIE Fond soudržnosi Evropský fond pro regionální rozvoj Pro vodu, vzduch a přírodu Manuál k vyrovnávacímu násroji pro vorbu cen pro vodné a sočné MINISTERSTVO

Více

INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY

INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY INDIKÁTORY HODNOCENÍ EFEKTIVNOSTI VÝDAJŮ MÍSTNÍCH ROZPOČTŮ DO OBLASTI NAKLÁDÁNÍ S ODPADY Jana Soukopová Anoace Příspěvek obsahuje dílčí výsledky provedené analýzy výdajů na ochranu živoního prosředí z

Více

Úloha VI.3... pracovní pohovor

Úloha VI.3... pracovní pohovor Úloha VI.3... pracovní pohovor 4 body; průměr,39; řešilo 36 sudenů Jedna z pracoven lorda Veinariho má kruhový půdorys o poloměru R a je umísěna na ložiscích, díky nimž se může oáče kolem své osy. Pro

Více

Reologické modely měkkých tkání

Reologické modely měkkých tkání Reologické modely měkkých kání Tomas Mares 1. Úvod Výchozím principem mechaniky měkkých kání (j. kůže, cév, pojivových kání, kání vniřních orgánů, šlach, vazů, chrupavek, sinoviální ekuiny) je reologie.

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO ČÍSLICOVÉ ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU PŘI ZJIŠŤOVÁNÍ OKAMŽITÉ FREKVENCE SÍTĚ

VYUŽITÍ MATLABU PRO ČÍSLICOVÉ ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU PŘI ZJIŠŤOVÁNÍ OKAMŽITÉ FREKVENCE SÍTĚ VYUŽITÍ MATLABU PRO ČÍSLICOVÉ ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLU PŘI ZJIŠŤOVÁNÍ OKAMŽITÉ FREKVENCE SÍTĚ Jan Blaška, Miloš Sedláček České vysoké učení echnické v Praze Fakula elekroechnická, kaedra měření 1. Úvod Jak je

Více

Vliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace

Vliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace XXVI. ASR '2 Seminar, Insrumens and Conrol, Osrava, April 26-27, 2 Paper 2 Vliv funkce příslušnosi na průběh fuzzy regulace DAVIDOVÁ, Olga Ing., Vysoké učení Technické v Brně, Fakula srojního inženýrsví,

Více

Metodika transformace ukazatelů Bilancí národního hospodářství do Systému národního účetnictví

Metodika transformace ukazatelů Bilancí národního hospodářství do Systému národního účetnictví Vysoká škola ekonomická v Praze Fakula informaiky a saisiky Kaedra ekonomické saisiky Meodika ransformace ukazaelů Bilancí národního hospodářsví do Sysému národního účenicví Ing. Jaroslav Sixa, Ph.D. Doc.

Více

Srovnání výnosnosti základních obchodních strategií technické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR 1

Srovnání výnosnosti základních obchodních strategií technické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR 1 Výnosnos obchodních sraegií echnické analýzy Michal Dvořák Srovnání výnosnosi základních obchodních sraegií echnické analýzy při obchodování měn CZK/USD a CZK/EUR Verze 3 03 Michal Dvořák Záměr Na přednáškách

Více

Částka 7 Ročník 2013. Vydáno dne 4. září 2013 ČÁST NORMATIVNÍ ČÁST OZNAMOVACÍ

Částka 7 Ročník 2013. Vydáno dne 4. září 2013 ČÁST NORMATIVNÍ ČÁST OZNAMOVACÍ Čáska 7 Ročník 2013 Vydáno dne 4. září 2013 O b s a h : ČÁST NORMATIVNÍ 1. Opaření České národní banky č. 1 ze dne 29. července 2013, kerým se zrušuje opaření České národní banky č. 3 ze dne 5. prosince

Více

DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y

DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE. y y Předmě: Ročník: Vvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr Tomáš MAŇÁK 5 srpna Název zpracovaného celku: DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE je monoónní na celém svém deiničním oboru D

Více