SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

Transkript

1 SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

2 . Proměnná, výroky, množiny Dlší dovednosti znlosti: - hypotéz - tutologie - kvntifikátory kvntifikovné výroky - výrokový form - druhy mtemtických vět - oměn, negce, orácení mtemtické věty - úsudek - zákldní typy mtemtických důkzů- přímý, nepřímý, sporem, mt. indukcí - digrmy pro dvouprvkové tříprvkové mnoţiny jejich vyuţití - krtézský součin dvou mnoţin - inární relce - zorzení - pojem funkce Moţné mturitní otázky: Výroky výrokové formy Zákldní typy mtemtických důkzů Mnoţiny operce s nimi Úlohy:. Určete prvdivostní hodnotu výrokové formule určete, zd se jedná o tutologii či ne: ) A B A B ) A B A B c) A B C A B A C d) A B C. Vyslovte dokţte hypotézu o dělitelnosti rozdílu druhých mocnin dvou po soě jdoucích přirozených lichých čísel.. Ze dvou mnţelů půjde n SRPŠ nejvýše jeden. To vyjdřuje prvdivostní formule: A B B A kde A znmená mnţel přijde, B ţen přijde. Rozhodněte o správnosti úsudku: ) Nepřijde-li mnţel, přijde mnţelk. ) Nepřijde-li mnţel, nepřijde mnţelk.. V dílně jsou tři stroje, které prcují podle těchto podmínek: Prcuje-li první stroj, prcuje i druhý stroj. Prcuje druhý neo třetí stroj. Neprcuje-li první stroj, neprcuje ni třetí stroj. Jké jsou moţnosti pro práci těchto strojů?. Ivn řešil úlohu. Předpokládl, ţe dná vět V nepltí vyvozovl z toho důsledky. Došel k tomu, ţe V V je prvdivá. Dokázl tím prvdivost věty V? 6. Pro kţdý trojúhelník pltí: Jestliţe je rovnostrnný, pk je rovnormenný. Vyslovte negci, oměnu orácenou větu.

3 7. Dokţte, ţe pltí: (Uprvíme: *89 to pltí) Dokázli jsem tím pltnost původního výroku? 8. Dokţte: n n N; 6/ 7 ) ) / n n n N; 0 7 c) n N;7 / n n d) 00 / 0 e) n n n n N ; n n n n n n N;... f) n n n N;... g) n N; n n n n n h) i) n n n N; 00/ j) k) n N;ne/ n 6ne/ n l) n N;/ n / n m) Pro ţádnou dvojici přirozených čísel nepltí: y 7 6 n) n N; / n n o) Pltí: p) Pltí: n N;0/ n 6 ne/ q) n, R; r) s) r Z; / r / r n n N; cos isin cos n isin n t) 9. Rozhodněte, zd pltí: A B A C A ) B C ) A B CA B C A B 0. Ze ţáků ylo 7 v Chorvtsku právě tolik jich ylo v Bulhrsku. Rumunsko nvštívilo ţáků. V ţádné z těchto zemí neylo ţáků. Všechny tři země nvštívil jeden ţák.v Bulhrsku i v Rumunsku yli ţáci, v Rumunsku Chorvtsku yl jeden ţák. Kolik ţáků ylo: ) v Chorvtsku neo v Bulhrsku ) v Rumunsku neo v Chorvtsku c) v Bulhrsku neo v Rumunsku 7 6

4 ;8, J ;, J. Jsou dány: J ; Určete: J, J J J J, J J, J J, J J,. Zpište pomocí solutní hodnoty intervly: ;, ; ;8,.... Znázorněte A ; y ) A ) A B, A B je-li: RR; 0 ; B ; y ; y RR; 9y 9 ; B ; y. Dokţte, ţe ; 7 je ircionální číslo.. Je dán mnoţin: A ;; ; B ; J J RR; RR; y 0 ) Určete AB, AA, BB, BA.. A ; ; B ; ) A ;, B ; c) Njděte lespoň jednu inární relci, která je zorzením. 0 d) Zjíţdí-li uto k chodníku, dává znmení o změně směru jízdy. 7. Pro provozní dou tří enzínových stnic A, B, C v určitém městě pltí tyto podmínky. Vţdy je v provozu enzínová stnice A neo C. Stnice C je mimo provoz, právě kdyţ je otevřeno ve stnici A. Má-li prodejní dou stnice C, pk stnice A není v provozu je v činnosti stnice B. Určete všechny moţnosti provozu těchto tří enzínových stnic. 8. K implikci: Je-li součin dvou činitelů sudý, pk nejsou o činitelé lichá čísl; vyslovte oměněnou orácenou implikci. Určete negci dné implikce. 9. Negujte: ) Dná rovnice má spoň tři reálné kořeny ) Nejvýše čtyři ţáci získli vyznmenání. c) Aspoň jeden ţák řeší mtemtickou olympiádu. d) Kţdý den je důvod k rdosti. 6. Určete negce sloţených výroků: X Y; X Y; X Y; X Y vyslovte negce těchto výroků: ) Budu-li mít volno, půjdu do divdl neo k přátelům. ) Máme revný televizor stré uto. c) Budu-li oědvt vepřové,dám si po oědě pivo.

5 . Dělitelnost přirozených čísel Dlší dovednosti: - převod čísl z desítkové soustvy do jiné oráceně - prvidl o mocninách Moţné mturitní otázky: Číselné oory Elementární teorie čísel Mocniny odmocniny Úlohy:. Převeďte do dvojkové, trojkové soustvy číslo.. Dokţte, ţe: n n N; 9/ 7 n n ) ) ;0 / n n N n n n c) n N;/ 6. Dokţte,ţe rozdíl druhých mocnin kţdých dvou z seou jdoucích lichých přirozených čísel je dělitelný číslem Vypočtěte: 8* 8*8 6* : 9 Dlší příkldy viz kpitol.. Rozhodněte, které číslo je prvočíslem: 667, 677, 9.. Dokţte, ţe pltí: n N; / n n ) ) n N; / n n c) n N; / n n d) n N; / n n e) n N;/ n n

6 . Číselné oory Dlší dovednosti znlosti: - dělení číselných oorů podle desetinného rozvoje - důkz ircionlity konstrukce ircionálních čísel - počet % - sloţený zlomek - prvidl o mocninách odmocninách - částečné odmocnění odstrnění ircionlity ze jmenovtele - prvidl pltná pro solutní hodnotu čísl - intervly n číselné ose - vřzení ooru kompleních čísel do číselných oorů - zvedení mocnin pro různé druhy eponentů s tím související definiční oor - mocninné funkce, grf odmocnin, inverzní fce Moţné mturitní otázky: Elementární teorie čísel Mocniny odmocniny Číselné oory Úlohy:. Převeďte n tvr zlomku:,0;0, 7. Dokţte, ţe čísl:, 7 jsou ircionální.. Zjednodušte výrz: ) : 8 ). Uprvte: 6 ; ; 6 ) 7 ) 0 7. Sestrojte: 7, 6, 6. Určete číslo jehoţ % jsou: : 0,09 : 0, : 0,.6 0,0,,88 0,67 7. Vypočtěte: ) A log 8.log 8 log 0,.log B log log log, ) 8. Určete, kolik rcionálních členů má rozvoj:

7 9. Zpište pomocí solutní hodnoty intervly ; 0; ) 6;0 ) ; c) opčně: 69 d) 0 e) pomocí intervlů. 0. Hlenk yl slevněn o 0%, pk zdrţen o 0% v závěru slevněn o %. Koupil jsem ji z 0,-Kč. Kolik stál původně o kolik % yl celkem slevněn.. Kruţnici je vepsán opsán prvidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich oshů je 8. Vypočtěte poloměr kruţnice.. Uprvte stnovte podmínky: 0 8 ) : ). c). d) : 6 e) :. : f). Určete, pro která R je definován výrz: A.. Dokţte, ţe pltí vzth + = c, je-li: r r ; 0 ; c r 6. Které číslo je větší? 7 ; Určete hodnotu výrzu Odélník má rozměry,. O kolik % se zmenší osh, zmenší-li se rozměry odélníku o %? 7

8 9. Smícháme 800g 7% roztoku soli s 600 g % roztoku téţe soli. Kolik % ude výsledný roztok? 0. Máme 700g % roztoku. Kolik musíme přidt 00% čisté látky, ychom dostli % roztok?. Algerické výrzy Dlší dovednosti: -práce s mocninmi odmocninmi -Psclův trojúhelník -inomická vět -vzthy mezi goniometr. funkcemi -vlstnosti logritmů -komintorické vzthy Moţná mturitní otázk: Algerické výrzy Úlohy:. Npište ve tvru součinu: ) sin sin sin ) tg c) sin. Zjednodušte: ) log log cot g cos sin ) sin 8

9 9 c) )! ( )! (! u u u u d) u u. Zjednodušte: : y y y y y y y y y y. Uprvte: ) s r s r s r s r s r s r ) y y y. 6. u u 7. : 8. : Dělte: ) : ) : Uprvte výrz tk, y neoshovl solutní hodnoty: ) ). Uprvte: * *. Určete definiční oor zjednodušte: ) : ) :

10 0 c) *. Proveďte: ) ) : 0 c) m m m d) 0 6. Zjednodušte určete podmínky: * * : 6. Určete hodnotu výrzu: pro 7. Určete hodnotu výrzu: pro 8. Proveďte: 9. Proveďte: 0, 8 : 0. Je dán výrz: určete definiční oor vyjádřete jedním zlomkem. Určete hodnotu výrzu: * : * pro = 0,; = 0,00.

11 . Dokţte, ţe pro přípustné hodnoty proměnných pltí: *. Zjednodušte: 9 * * *. Zjednodušte sloţený zlomek:. Proveďte: c c c c. Algerické rovnice s jednou neznámou Dlší dovednosti: -grfické řešení rovnic -zákldní vět lgery (řešení v ooru R C) -lineární rovnice s prmetrem -kvdrtické rovnice s prmetrem -reciproké rovnice oou druhů -inomická rovnice Moţné mturitní otázky: Lineární kvdrtické rovnice Rovnice s solutní hodnotou Ircionální rovnice Rovnice s prmetrem Rovnice řešené vhodnou sustitucí Úlohy:. Rovnice 0 cos.cos má kořeny r,s. Vyjádřete výrz s r s r s r.. funkcemi úhlu.. Při které hodnotě prmetru je součet čtverců kořenů kvdrtické rovnice 0 ). ( nejmenší?

12 . Bronzová mince má ojem 0,cm hmotnost je,66g. Vypočtěte kolik Cu kolik Sn oshuje, je-li Cu =9,09g/cm Sn =7,g/cm.. Délk odélníkovitého pozemku je o 8 menší neţ trojnásoek šířky. Zvětšíme-li šířku o % délky zmenšíme-li délku o % šířky, zvětší se ovod pozemku o 0m. Jké jsou rozměry pozemku?. Vojenský oddíl jde po cestě rychlostí km/hod. Cyklist jedoucí v opčném směru rychlostí km/h minul tento oddíl z min. Jk dlouhý je oddíl? 6. Jedn odvěsn prvoúhlého trojúhelník je, druhá je o krtší neţ přepon. Určete velikosti neznámých strn. 7. Z míst A vyjde chodec rychlostí 6 km/h; z míst vzdáleného 7 km od A v opčném směru vyjede součsně s ním cyklist rychlostí km/h. Kdy kde ho dohoní? 8. Jeden kolektiv vykoná určitou práci o hod., druhý kolektiv o 9 hod. později, neţ y ji zvládli při společné práci. Jk dlouho trvá práce kţdému z nich? 9. Dv trktory zorjí pole z hod.. Kdyy první trktor zorl polovinu pole pk druhý trktor práci dokončil, trvl y 9 hodin. Z kolik hodin zorá pole kţdý trktor zvlášť? 0. Sestvte kvdrtickou rovnici, jejíţ kořeny jsou: ) rovny druhým mocninám kořenů rovnice 0 ) jsou převrácené hodnoty kořenů rovnice Řešte: ) ). Pro která m ude mít rovnice: 9 8m 8m 6 0 jeden kořen -krát větší neţ druhý?. Je dán rovnice 0. Bez řešení dné rovnice urči rovnici, která má kořeny dvojnásoné.. Řešte: ) ) c), d) 8 e) 6 0. Řešte: 8 ) )

13 c) 6 0 d) Z ; 8 8 e) f) g) h). ch) i) 6 y y y y j) Řešte: ) 8 ) c) d) 0 e) 7 f) 0 g) 7. Řešte: ) 9 ) c) 7 d) 0 e) 0 8. Řešte: ) ) 6 c) d) e) f) g) 8 h) 6 i) 6 j) ch)

14 9. Velikosti strn trojúhelník jsou vyjádřeny v centimetrech třemi z seou jdoucími přirozenými čísly. Osh trojúhelníku je 8 cm. Vypočtěte velikosti strn. 0. Řešte: ) ) m m m, kde m je prmetr. Stnovte, kdy jsou její kořeny: ) o kldné ) jeden záporný druhý kldný. Njděte všechny hodnoty prmetru, pro které má rovnice vţdy kldné řešení.. Řešte následující prmetrické rovnice: ) R ; ) R k k k ; c) N ; d) R ; e) R k k k ; f) R ; g) R ;. Řešte prmetrické rovnice, kde je neznámá: ) 0 ) 0 k k k c) 6. Řešte v R: ) 8 7 ) 6 c) d) 0 e) 0 f) 6 g) Řešte v R:

15 7. Sestvte kvdrtickou rovnici s reálnými koeficienty, jejímţ jedním kořenem je imginární číslo i. i 8. Určete kvdrtickou rovnici p q 0 s rcionálními koeficienty, jejímţ jedním kořenem je číslo. ) 8 0. Doplněním n čtverec odvoďte vzorec pro řešení oecné kvdrtické rovnice.. Jsou-li, kořeny kvdrtické rovnice: p q 0, njděte kvdrtickou rovnici, jejíţ kořeny jsou +, *. 9. Sestvte kvdrtickou rovnici s kořeny i koeficienty z ooru kompleních čísel, jestliţe pltí: cos isin i 0. Řešte: ) 6 * ) 0 6 * * c) 7 d) log log e) log0 0 f) 0 *. Řešte v C: 6 ) 0

16 6 6. Algerické nerovnice s jednou neznámou Dlší dovednosti: - ircionální nerovnice - lineární nerovnice s prmetrem - kvdrtické nerovnice s prmetrem Moţné mturitní otázky: Lineární kvdrtické nerovnice Nerovnice s solutní hodnotou Ircionální nerovnice Nerovnice s prmetrem Úlohy:. Určete definiční oor výrzu či funkce: ) 9 0 ) c) log y d) log y e) 8 log y f) y g) y h) log y i) 8 y. Řešte: ) 7 ) 0 c) 0. Řešte: ) 0 6 ) 0 6 c). Řešte: ) ) c) 0

17 d) 0 e) f) g) 7 0 h) 0 6 i) 6 j) 7 k) ch) 0. Řešte: ) ) c) d) 8 6. Řešte: 6 ) ) c) d) 7 e) 8 7. Řešte v ooru R: ) 0 ;, prmetr p ) p ;p prmetr c) p ;p prmetr p p d) m m 0 ;m prmetr e) m m m 0 ;m prmetr f) ; prmetr 8. Řešte: ) 0 ) 0 c) Určete číslo k tk, y rovnice : k k 6k 0 0. Řešte: ) ) 7 c) měl reálné kořeny. kde M 7

18 . Řešte nerovnice: ) 6 ) 0 c) d) e) f) Soustvy rovnic nerovnic s více neznámými Dlší dovednosti: - řešit rovnice kde je více neznámých, neţ rovnic - řešit rovnice kde je méně neznámých, neţ rovnic - zvláštní soustvy Moţné mturitní otázky: Soustvy rovnic nerovnic Nerovnice s solutní hodnotou Úlohy:. Nádrţ se plní -mi přívody A, B, C. Součsně otevřenými přívody A, B se nplní z hodinu, přívody A, C z minut, přívody B, C z, hodiny. Jk dlouho y se plnil kţdým přívodem zvlášť.. Dv konvení mnohoúhelníky mjí dohromdy strn 09 úhlopříček. Které to jsou?. Dv dělníci společně odvedou práci z dní. Po osmi dnech společné práce jeden onemocněl druhý dokončil tuto práci z dlších 0 dnů. Z kolik dní y ji uděll kţdý sám? 8

19 . Řešte soustvu rovnic: ) y + yu + u = yu z + zu + u = zu z + y + yz = yz yz + y + yz = yzu ) (+)(y-) = (-)(y+) (-)(y+) = (+7)(y-). Řešte: ) y y y y ) 7 + y - 6z = - - y + 9z = y - 9z = tgtgy c) 8 tg 6 tg y 8 d) 8-7y + 6z - u = 6 : y : z : u = : : : e) sin - sin y = 0,6 + y = 0 f) tg + tg y tg - tg y g) y 00 log y log 6 log y h) log log y 6 ch) y 6 y 6 i) y 7 - y = j) + y = -y = k) + y + y = 7 - y = l) y y 9

20 m) y y 6. Řešte: ) + y - z = + y + z = 0 ) - y = + y = - - y = 7. Řešte: - > + y ( - ) > - - y 8. Řešte grficky v R*R soustvu: + y 0; + y ; 6 + 0y 60; - y 6 Dále určete pro která [, y] nývá výrz: V[, y] = + y mimální hodnoty. 9. Grficky řešte: y - + y + y + y 7 Zjistěte, kde má funkce y = - mimum. 0. Řešte soustvy rovnic: ) y z ) y z y z 0 y z y z y z 6 c) y y 0 y 0. Řešte grficky v RR: y 0 y. Řešte grficky v RR: y 0 y 0 y 0. Vlk pojíţdí tunelem dlouhým 0 m. Od okmţiku, kdy vjede do tunelu lokomotiv, ţ do okmţiku, kdy poslední vgón opustí tunel, uplyne 9 sekund. Od tohoto okmţiku uplyne dlších sekund, neţ lokomotiv přijede k návěšti, která je km od tunelu. Vlk jede stálou rychlostí. Určete jeho rychlost délku vlku. 0

21 . V prvoúhlém trojúhelníku je součet délek strn cm, součet oshů čtverců nd jeho strnmi je 600 cm. Jk dlouhé jsou jeho strny?. Znázorněte grficky mnoţinu A B, jestliţe: A ; y: R y R y B ; y: R y R 9y 6 6. Řešte soustvu nerovnic o jedné neznámé: 8. Geometrické útvry v rovině Dlší dovednosti: - Eukleidov vět o výšce odvěsnách - mocnost odu ke kruţnici - čtvrtá měřická úměrná - konstrukce úseček (Eukleidov vět, Pythgorov vět, čtvrtá.geometrická úměrná) - tětivový tečnový čtyřúhelník - sinová kosinová vět Moţné mturitní otázky: Rovinné útvry Mnoţiny odů dné vlstnosti Úlohy:. Sestrojte rovnoěţník, znáš-li velikost sousedních strn, velikost úhlu určeného úhlopříčkmi.. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány strny,,c,d ( d ) úhlopříčk AC je osou úhlu strn AB AD.. Sestrojte čtverec, je-li dáno: ) + e = 8 ) e - =. Sestrojte kruţnici, která prochází dvěm různými ody A, B dotýká se přímky t.

22 . Sestrojte trojúhelník: ) + + c, ) v, d, o d 6. Kosočtverec má plochu S= 86 cm. Jedn úhlopříčk je o cm krtší, neţ druhá. Určete úhlopříčky strnu 7. Vypočtěte osh plochy ohrničené opsnou vepsnou kruţnicí trojúhelníku ABC: = 6, = 9, c =. 8. Trojúhelník ABC rozdělte rovnoěţkou se strnou AB n dvě části stejného oshu. 9. Kruţnici je vepsán opsán prvidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich oshu je 8. Vypočtěte poloměr kruţnice. 0. Vypočtěte strny prvoúhlého trojúhelník, je-li t = 8, t =. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ) c, t c, ), v, c) +, v, c. Z které výšky h je vidět % povrchu Země. (poloměr Země 670 km)?. Njděte GMB: Je dán kruţnice n ní od A. Bodem A veďte všechny tětivy dné kruţnice. Nlezněte gm všech středů těchto tětiv.. Rozdělte kruh dvěm soustřednými kruţnicemi n tři části stejného oshu.. Sestrojte trojúhelník ABC: ) r, v, ) c, t c, Jsou dány přímky, kruţnice k(s;r). Sestrojte kruţnici, která se dotýká oou přímek s kruţnicí k má vnější dotyk. 8. Sestrojte ABC: ) c =, = 60 o, v c = ) t = 6, v =, c =, c) t = 6, t = 9, t c = d) v c =, =, *= e) + = 9, c =,7= 7 o f) -, g) - =, c =,, = o 9. Sestrojte lichoěţník: ) = 0, c =, e = 6,f = ) =, c = 9, f = 7, v =,, 0. Sestrojte různoěţník (čtyřúhelník): ),, e, f,

23 ) = 8, c =, e = 8,; f = 6, = o. Jsou dány dvě soustředné kruţnice k (O;),k (O;) od A (OA=). Sestroj všechny kruţnice, které se dotýkjí k, k prochází odem A.. V oecném trojúhelníku ABC je dáno: = 7, cm, v c = 6,8 cm. Určete zývjící strny úhly.. V oecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 8 cm, v c = 6 cm, = 6 0. Určete zývjící strny úhly. Dlší dovednosti: - skládání zorzení - přímá nepřímá shodnost - věty o shodnosti trojúhelníků Moţné mturitní otázky: Shodná zorzení v rovině 9. Shodnosti v rovině Úlohy:. Společným odem dvou kruţnic veďte přímku tk, y n ní kruţnice vyťly shodné tětivy.. Dné jsou dv různé ody A,B leţící v jedné z polorovin určených přímkou p. Sestrojte od Xp tk, y AX+ BX ylo minimální.. Dná je kruţnice od A leţící uvnitř. Sestrojte tětivu XY dné délky, která prochází odem A.. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány velikosti jeho strn,, c, d ( d ) úhlopříčk AC je osou úhlu lf.. Sestrojte trojúhelník ABC: ) t, t, ), t,

24 c) t, 6. Jsou dány tři soustředné kruţnice. Sestrojte rovnostrnný trojúhelník ABC tk, y vrcholy leţely postupně n soustředných kruţnicích. 7. Je dán úsečk AA (npř. cm). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA = t pro které pltí: ) c =, = 7, ) = 6, = o c) = 6, t = 6, 8. Sestrojte lichoěţník ABCD je-li dáno:, c, e, f. 9. Jsou dány rovnoěţné přímky, od M (leţící v pásu přímek, ). Sestrojte kruţnici, která se dotýká oou přímek prochází odem M. (Řešte úlohu dvěm způsoy).. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: =, c =, e = 6, f =,; =0 o (= úhlu AEB).. Jsou dány dvě rovnoěţné přímky, mimo ně od C. Sestrojte rovnostrnný trojúhelník ABC tk, y A, B.. Do dného rovnoěţníku KLMN vepište čtverec ABCD tk, y AL, BLM, CMN, DKN.. Je dán kruţnice k(s;r), od B úsečk délky d. Sestrojte tětivu XY kruţnice k délce d tk, y yl vidět z odu B pod úhlem 60 o. 6. Sestrojte kruţnici k, která se dotýká dné přímky p v odě A dné kruţnice l(o;r ). 7. Sestrojte kruţnici k, která se dotýká dné kruţnice k (S ;r ) v odě M dné kruţnice k (S ;r ). 0. Jsou dány dvě různé rovnoěţky, od M uvnitř pásu (, ). Sestrojte všechny úsečky AB kolmé k přímkám, s krjními ody A, B n přímkách,, které z odu M vidíme pod úhlem 60 o.. Vyhledejte místo n řece šířky d, ve kterém y měl stát most tk, y cest z oce A do oce B yl co nejkrtší.

25 Dlší dovednosti: - Apollóniovy úlohy - Pppovy úlohy 0. Podonost stejnolehlost. Sestrojte společné tečny ke dvěm kruţnicím.. Sestrojte kosočtverec ABCD: e : f = : =,. 6. Pomocí stejnolehlosti sestrojte čtverec: ) + e = 6 ) e - =. 7. Do dného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tk, y KL AB, M, N. Moţné mturitní otázky: Stejnolehlost podonost Úlohy:. Sestrojte ABC: ) = 60 o, = 7 o, =,6 ) t c c) = :, = 60 o, v c = d) : = : 7, = o,t c =, e) : : c = 7 : :, v = f) o,, =. Sestrojte kruţnici, která se dotýká dné přímky t v jejím odě A dné kruţnice k, která přímku t neprotíná.. Je dná kruţnice k n ní od T. Sestrojte kruţnici, která má s dnou kruţnicí dotyk v odě T dotýká se dné přímky p. 8. Uvnitř čtverce se strnou sestrojte rovnostrnný trojúhelník se strnou délky. 9. Je dán od M, přímk p kruţnice k(s;cm), Sp= cm, Mp = cm, MS = 7 cm, ody M,S leţí v opčných polorovinách s hrniční přímkou p. Sestrojte všechny úsečky XY, pro které pltí: Xp, Yk, MXY, MY =. MX. 0. Bodem M uvnitř ostrého úhlu AVB veďte přímku tk, y její úsek mezi rmeny úhlu yl dělen odem M v poměru :.. Je dán čtverec ABCD o strně cm od M uvnitř čtverce ( M BD, MB = cm). Sestrojte všechny úsečky XY, které mjí krjní ody X, Y n hrnici čtverce tk, y pltilo: MX : MY = :.. Jsou dány dvě kruţnice se stejnými poloměry k (O,r), k (O, r), které se protínjí. Bod O je středem úsečky

26 O O. Veďte odem O přímku tk, y její průsečíky s kruţnicemi k, k yly krjními ody tří shodných úseček.. Je dán konvení úhel AVB od M, který leţí uvnitř dného úhlu. Bodem M veďte přímku m, která protíná rmen VA, VB úhlu AVB po řdě v odech X,Y přitom pltí: VX : VY = :.. Sestrojte trojúhelník ABC je-li dáno: ) : c = : 7, = ; t c =,cm ) : : c = 7 : :, v = cm c) =, = 60, r = cm, kde r je poloměr kruţnice opsné d) + c = cm, = 7, =.. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: e : f = :, =,cm. 6. Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: : = :, = 7, f = 6cm. 7. Do půlkruhu s průměrem AB vepište čtverec XYUV tk, y jeho strn XY leţel n průměru AB. 8. Do kruţnice k(s;cm) vepište odélník ABCD, pro který pltí: AB : BC = :. 9. Jsou dány různoěţky, kruţnice l(o;r) leţící uvnitř jednoho úhlu určeného přímkmi,. Sestrojte kruţnici, která se dotýká přímek, s kruţnicí l má dotyk: ) vnitřní ) vnější 0. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: ) = 60, =, t c = cm ) =, =, v c = cm. Je dán kruţnice k(s;cm), její tečn t od M k tk, ţe Mt = cm. Sestrojte úsečku XY procházející odem M tk, y X k, Y t MX : MY = :.. Jsou dány dvě protínjící se kruţnice. Jedním jejich průsečíkem veďte tkovou přímku, která n kruţnicích vytíná tětivy, jejichţ poměr délek je :.. Je dán kruţnice k její dv nvzájem kolmé průměry. Sestrojte tětivu kruţnice k, kterou dné průměry rozdělí n tři shodné úsečky.. Sestrojte všechny úsečky XY, které mjí krjní ody n hrnici čtverce jsou odem M děleny v poměru :.. Ve vnitřní olsti kruţnice k zvolte od T. Sestrojte všechny rovnormenné trojúhelníky ABC vepsné kruţnici k, které mjí těţiště T. 6. Nrýsujte dvě rovnoěţné přímky p, q od T. Sestrojte všechny trojúhelníky MNP, které mjí vlstnosti: M AB, N BC, P CA, MN p, NP m, PM n. 6

27 7. Do rovnoěţníku ABCD vepište spoň jeden kosočtverec MNPR tk, ţe MN BD, NP AC, M AD, N AB, P BC, R CD. 8. Do dného útvru vepište spoň jeden čtverec tk, ţe všechny jeho vrcholy leţí n hrnici útvru čtverec má s útvrem společnou osu souměrnosti. Je dán: ) rovnormenný trojúhelník ) kosočtverec c) kruhová výseč d) půlkruh e) kruhová úseč 9. Do dného rovnostrnného trojúhelníku vepište jiný rovnostrnný trojúhelník, jehoţ strny jsou kolmé n strny dného trojúhelníku.. Zákldní pozntky o funkcích Dlší dovednosti: - rovnost funkcí - periodičnost - inverzní funkce - druhy etrémů, stcionární ody, inflení ody - limit funkce její spojitost; jejich vzth - druhy limit - symptoty grfu funkce - rozdělení funkcí - posuny grfu funkce Moţné mturitní otázky: Oecné vlstnosti funkcí Oecné vlstnosti posloupností Úlohy:. Dokţte, ţe funkce : y log. Určete zd jsou si rovny funkce: f : y log ; f : y log f je lichá. 7

28 . Určete, která z funkcí je sudá která lichá: ) y cos ) y cos ; 0;. Určete definiční oor funkce: ) y log 0, ) y log c) tg y d) y log e) y log f) y 6 g) y. Je dán funkce y. Určete: ) definiční oor ) oor funkčních hodnot c) grf d) grf rovnici inverzní funkce. 6. Nčrtněte grf funkce: y sin 7. S vyuţitím vlstností inverzní funkce sestrojte grf funkce f : y 8. Určete oory hodnot těchto funkcí: ) y ) y c) y d) y e) y sin f) y log 9. Určete všechn, pro která funkce nývjí stejné hodnoty: ) y y ) y y c) y sin cos y lo d) y y e) y y 0. Řešte grficky rovnice: ) log 6 c) 6 d) ) log 8

29 0. Vypočtěte limitu: ) lim 6 ) lim lim 7 c) tg d) lim 0 tg tg e) lim 0 f) lim lim g) h) lim ch) lim i) lim j) lim 6 k) lim. Nčrtněte grf funkce: ) f : y log ) f : y sin. Dná je funkce f f f f kde f : y ;, f f : y : y, ;,), ) Sestrojte jej sestrojte i. Nčrtněte inární relci: ) y ) y y c) y 0 d) y f.. Sestrojte grfy relcí T : y 7 U : y 6. Zjistěte, zd funkce f : y pro je prostá. Sestrojte f. Určete definiční oor oor funkčních hodnot u oou funkcí. 7. Určete sympoty ke grfům funkce: y ) 9

30 y ) ( ) c) y d) y e) y f) y 8. Dokţte, ţe funkce f: y omezená. 9. Určete, zd je posloupnost monotónní: ) ) n n log n logn R je ve svém D(f) ; 0. Vypočtěte limitu posloupnosti. Určete, zd je konvergentní či divergentní: ) ) c) n n n n n n ( ). d) n e) f) n n n n ( n )( n ) ( n ) n n g) n n h) n n n n. Určete intervly, kdy je funkce rostoucí-klesjící: ) y 6 ) y c) y d) y 0

31 . Rcionální funkce Dlší dovednosti: - plikovt diferenciální počet n průěh kvdrtické funkce - umět njít ohnisko proly hyperoly - posuny grfu funkce - nlezení symptot hyperoly limitním přechodem - nlezení tečen v odě grfu i mimo něj - vzth funkce proly či hyperoly Moţné mturitní otázky: Mocniny odmocniny Lineární kvdrtické funkce Funkce s solutní hodnotou Úlohy:. Sestrojte grfy funkcí: ) y ) y c) y d) y. Určete rovnici kvdrtické funkce, jejíţ grf prochází ody A0-,, B-7,, C6, ) zjistěte od, v němţ má tečn směrnici ) určete vrchol ohnisko proly c) nčrtněte grf d) určete všechn R pro něţ je f () 0. Sestrojte grf funkce f : y 6 určete: ) její monotónnost ) definiční oor c) oor funkčních hodnot d) nčrtněte grf. Zemědělec chce postvit výěh pro ovce tvru prvoúhlého čtyřúhelníku. Má 60 m pletiv jedn strn výěhu ude stěn udovy. Určete délku výěhu tk, y měl mimální plochu.. Do trojúhelníku ABC v němţ délk strny AB je cm výšk n strnu AB je cm, je vepsán odélník EFGH. Určete funkci, jejíţ D(f) je (0;) jeţ vyjdřuje závislost oshu odélníku n délce strny EF. 6. Pro které prmetru mjí grfy funkcí: f() = + g() = ( 6)* - lespoň jeden společný od? 7. Sestrojte grf funkce : ) y

32 ) y 8. Určete mnoţinu N všech funkcí, z nichţ kţdá je určen rovnicí y = + pro něţ pltí : ) uspořádná dvojice 0;- ptří ke kţdé z funkcí ) f N ; je f () Určete mnoţinu L všech funkcí tvru pltí : f L 0;8je f() 0. Sestrojte grf funkce: ) ) y y y pro něţ. Je dán funkce g : y ) vypočtěte souřdnice středu, ohnisk, rovnice symptot ) určete monotónnost funkce c) nčrtněte grf d) njděte tečnu v odě, kde grf protne osu. Je dán funkce: y ) určete hodnotu funkce v odech ; - ) určete D(f) c) nčrtněte grf d) určete všechn, pro která f() =. Máme vyroit plechovku tvru válce s víkem. Její ojem je dm. Určete funkci vyjdřující závislost spotřey plechu n poloměru podstvy.. Je dán funkce y ) určete D(f) ) nčrtněte grf c) určete v odě ;? tečnu normálu. Je funkce y. Určete: D(f), H(f), rovnice symptot, rovnici inverzní funkce, ohnisk. 6. Nčrtněte grfy funkcí : ) y ) c) y y d) y Určete intervly monotónnosti, etrémy, symptoty. 7. Vypočtěte D(f) funkce 8. Řešte grficky rovnice: ) 0 ) 6 log 8 y

33 9. Zjistěte všechn mr, pro která má rovnice m s neznámou R dv různé kořeny. 0. Nčrtněte grf funkce: ) y log ) y log c) y cos 6 tg d) y tg. Určete předpis pro lineárně-lomenou funkci, jejímţ grfem je hyperol se středem v odě S-; procházející odem A-;-.. Vyšetřete lokální etrémy funkce y. Nčrtněte grf funkce f: log H(f) dlší vlstnosti. y určete D(f),. Jsou dány funkce f: y g: y. Pro které hodnoty prmetru mjí grfy funkcí f g: ) společné dv ody ) jeden společný od. Řešte grficky nerovnice: ) ). Eponenciální logritmická funkce rovnice

34 Dlší dovednosti: - njít rovnici tečny normály v odě grfu funkce - nčrtnout sloţitější funkci n zákldě diferenciálního počtu. Pro která čísl je funkce y klesjící? Moţná mturitní otázk: Eponenciální logritmická funkce, logritmy Eponenciální rovnice Logritmické rovnice Úlohy:. 00 metrů dlouhý drátek ze zlt váţí kg. Jký má průměr, je-li = 9, g/cm?. Vypočtěte povrch Země, je-li r = 6,78*0 6 m. Vypočtěte i délku rovníku.. Sestrojte grfy funkcí: ) y log ) c) d) y e) y y f) y log log g) y log y. Určete oor, ve kterém je definovná funkce: u u 8 y log ; y0. z ; je-li 8 6. Určete, tk, y funkce f: y procházel ody A0;0, B;. Určete, zd ody C;7,D;0 ptří grfu funkce. 7. Řešte: ).7 ) Určete D(f): ) ) y y 0, 7 8 ln 9. Určete průěh funkcí: ) y ) y ln c) y. e 0. Určete D(f): ) y log

35 ) y log. Řešte grficky následující rovnice: ) ) log d) log 9 c). Vypočtěte: log log00 log Zlogritmujte výrz: V 8.0. log. Vypočtěte: ) log 8 log ) log 8. Vypočtěte: ) log 7 log 7 ) log log log Určete, je-li log log u log log 7 7. Řešte rovnice neo jejich soustvy:. y 00 ) logy 6 ) c) log 0 log 8. Řešte rovnice neo jejich soustvy: tgtgy 8 ) tg tg y 6 8 ) 6 8 c) 7 d) e) f) g) log h) 00 log i) log j). k) 9 y. 8 l) y 9. 7 m). 0 0 n)

36 o) 0. 6 p) Řešte rovnice neo jejich soustvy: ) log log log ) c) log log log y log y log log 6 log d) 0 e) log log f) log log 7 log 0, g) log log log y log h) log y log y log i) log log log log 6 j) log log log 8 k) log log log log... l) log.log log log m) log.log log n) log log 0. Goniometrie trigonometrie Dlší dovednosti: - vzorce pro výpočet plochy trojúhelníku (včetně Heronov vzorce) - řešení sloţitějších goniometrických rovnic 6

37 - nlezení grfu pomocí diferenciálního počtu Moţná mturitní otázk: Goniometrické funkce jejich vlstnosti Goniometrické vzorce Goniometrické rovnice Trigonometrie Uţití trigonometrie v úlohách z pre Úlohy:. Určete hodnoty osttních goniometrických funkcí, je-li: 8 ) cos ; ; 7 ) tg ; ;. Vypočtěte: tg tg. Určete D(f) H(f): ) y cos ) y sin 9 cot g cos. Uprvte výrzy stnovte podmínky eistence: tg cot g tg cot g ) ) cos sin c) cos log t log cos d). Určete hodnotu výrzu: tg cot g ) je-li tg tg cot g sin cos ) je-li sin cos tg 6 6. Je známo, ţe sin cos 0,. Určete: ) sin. cos ) sin cos c) sin cos d) sin cos 7. Je známo, ţe tg cot g. Určete: ) tg cot g ) tg cot g 8. Nčrtněte grfy funkcí: ) y sin ) y sin sin c) cos y cos 7

38 d) y cos 9. Určete, která z funkcí je sudá která lichá: ) y cos ) y sin. cos c) sin sin y 0. Určete hodnotu výrzu tg =.. Uprvte: sin sin cos cos. Je-li 80, dokţte: sin cos f ( ), je-li cos sin sin sin sin cos cos cos. Určete sin cos, je-li sin cos. Určete sin,cos. Vyjádřete jko součin: ) sin cos ) cos c) sin sin. cos tg 0;, je-li 0, 7 6. Zjednodušte: sin. sin cos ) cos. sin sin cos ) cos sin cos cos sin sin cos cos c) : cos cos sin sin cos sin d) sin cos cos cos sin sin e) cos cos sin sin cot g sin f) sin cos cot g.sin g) tg.cos Nezpomeňte stnovit podmínky eistence. 7. Dokţte, ţe pltí: sin sin ) tg cos cos ) sin 70 sin0 cos cos c) tg sin sin 8

39 8. Určete vnitřní úhly v prvoúhlém trojúhelníku, je-li jedn odvěsn ritmetickým průměrem druhé odvěsny přepony. 9. Určete vnitřní úhly prvoúhlého trojúhelník, jestliţe pro velikost odvěsny přepony c pltí vzth: 8c c 0 0. Řešte následující goniometrické rovnice neo soustvy: ) sin cos sin sin cos ) 0 c) cos cos 0 d) cos sin e) tg cot g 9 f) cos cot g sin g) cos 9sin h) sin sin sin sin 0 i) Rovnice typu sin cos c npř. 7sin cos 8 tg j) tg tg tg k) sin cos 0 l) sin cos 0 m) sin cos n) sin cos tg o) cos sin 0 sin sin y 0,6 p) y 0. Vypočtěte úhly prvoúhlého trojúhelník, pltí-li mezi strnmi vzth: c.. Jké úhly svírjí síly o velikosti F = 0N, F = 60N, F = 80N, jsou-li v rovnováze vycházejí z jednoho odu.. Vypočtěte velikost strny c v trojúhelníku ABC, je-li dáno,, os úhlu. V trojúhelníku ABC pltí :: = : :. Strn. Vypočtěte, c.. V lichoěţníku ABCD: AB= 8, BC=, = 60, = 0. Vypočtěte osttní strny lichoěţníku. 6. Vypočtěte osh rovnoěţníku ABCD: =, =, úhel úhlopříček = V oecném trojúhelníku ABC je dáno: =,; c = 7,; v c = 6,8. Určete zývjící strny úhly. 8. V oecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 8; v c = 6; = 6 0. Určete zývjící strny úhly. 9. V trojúhelníku ABC pltí: o = 6, =, r =,8. Vypočtěte osttní prvky včetně plochy. 9

40 0. Určete velikosti vnitřních úhlů ABC pltí-li : = :, : = :.. N vrcholku kopce stojí rozhledn m vysoká. Její ptu vrchol vidíme z míst M pod úhly = 0, =. Jk vysoko je kopec nd místem M?. Tři síly, jejichţ velikosti jsou v poměru : 7 : 9 půsoí v rovině v jednom odě tk, ţe jsou v rovnováze. Určete velikosti svírných úhlů.. Pozorovtel vidí ptu věţe 69 m vysoké v hloukovém úhlu = 0 0 vrchol v hloukovém úhlu = 0 0. Jk vysoko je pozorovtelovo stnoviště nd horizontální rovinou, n níţ stojí věţ? 9. Určete vzdálenost nedostupných odů A, B, víte-li, ţe:dc= 000 m, = 0, =, = 86 0, = 8.. Vypočtěte šířku řeky, jestliţe n jednom řehu yl změřen vzdálenost AB= 0m úhly BAC =, ABC = 0, přičemţ od C je n druhém řehu. 6. Síly N 7 N mjí společné půsoiště svírjí úhel 0. Určete výslednici těchto sil. 7. Těleso o hmotnosti 6 kg je zvěšeno dvěm lny různých délek n vodorovném trámu. Ln svírjí s trámem úhly Vypočtěte nmáhání ln v thu. 9. V ABC pltí: =, =, c = 0. Určete,,, v, v, v c, t, t, t c, r, 8. Určete vzdálenost odů U V, ylo-li změřeno: = 0, = 0 0, UK = 0m, KL = 6 m 0

41 - umět odvodit jednoduché vzorce pro ojem pomocí integrálního počtu - plikovt integrální počet při výpočtu ojemu rotčních těles Moţné mturitní otázky: Polohové vlstnosti v prostoru Metrické vlstnosti v prostoru Ojem povrch mnohostěnů Ojem povrch rotčních těles Úlohy:. Je dán kvádr ABCDÁ BĆ D. Střed hrny CĆ je E, střed hrny DD je F. Sestrojte je-li =ADE, = AB F.. Zorzte řez roviny = KLM s prvidelným šestiokým jehlnem ABCDEFV. Body K, L, M jsou vnitřní ody hrn AF, BV, CV tk, ţe pltí AK = FK, BL = VL VM = CM.. Určete řez roviny tělesem:. Zákldy geometrie v prostoru ) Dlší dovednosti: - plikovt znlosti nlytické geometrie pro výpočet vzdáleností odchylek

42 6. Dná je krychle ABCDEFGH, od K je střed hrny D. Určete odchylku přímky DF od roviny ACK. ) 7. V prvidelném čtyřokém jehlnu ABCDV je AB =, AV =. Určete: ) odchylku dvou sousedních stěn ) vzdálenost odu A od přímky VC 8. Je dán prvidelný čtyřstěn ABCD o hrně. Určete: ) jeho ojem ) odchylku očních stěn od podstvy c) odchylku očních hrn od podstvy c). Je dán krychle ABCDEFGH. Určete průnik rovin = ABM, = CNP v krychli. Body M, N, P jsou po řdě středy hrn HD, EF, AB.. Sestrojte řez prvidelného čtyřokého jehlnu ABCDV rovinou = EHG, kde E je střed AB, H leţí n hrně DV tk, ţe DH = HV, G leţí n hrně CV tk, ţe VG = CG. 9. Bod M je střed hrny AV od S střed podstvy prvidelného šestiokého jehlnu ABCDEFV, v němţ pltí: AB =, VS = 6. Určete: ) odchylku BM od roviny podstvy ) odchylku CM od roviny podstvy 0. Je dán krychle ABCDEFGH rovin, která prochází odem K je kolmá k přímce DG. Bod K leţí n AB tk, ţe AK = / AB ) Sestrojte řez krychlí ) vypočtěte osh řezu, je-li AB =.. Prvidelný 6-ti oký hrnol má tělesové úhlopříčky u = cm, u = 7 cm. Vypočtěte jeho povrch ojem.

43 . Rozměry hrn kvádru jsou v poměru V = 0,7 m. Určete jeho rozměry. : : 6 ojem. Vypočtěte ojem prvidelného trojokého jehlnu, který má podstvné hrny = 0 cm, = cm osh pláště je roven součtu oshů oou podstv.. Prvidelný čtyřoký komolý jehln má podstvné hrny = 0, =. Jeho oční hrny svírjí s podstvou úhel 60 o. Vypočtěte jeho ojem odchylku očních stěn od podstvy.. Je dán krychle ABCDEFGH, kde AB =. Určete povrch ojem těles ACHF. 6. Délky stěnových úhlopříček kvádru jsou v poměru 0 : 7 :. Jeho ojem je V= 96 cm. Určete jeho rozměry. 7. Prvidelný čtyřoký jehln jehoţ podstvné i oční hrny jsou stejně dlouhé, má V= 00 cm. Vypočtěte délky hrn povrch jehlnu. 8. Do prvidelného čtyřokého komolého jehlnu, jehoţ hrny podstv jsou = 9, = 6 je vloţen koule, která se dotýká všech stěn. Vypočtěte ojem komolého jehlnu. 0. Ze dvou koulí o poloměrech r = r = je ulit nová koule. Vypočtěte její poloměr povrch.. Vypočtěte ojem koule, kterou vidíte ze vzdálenosti,7 m od jejího středu v zorném úhlu 0 o 0.. Vrcholem rotčního kuţele prochází rovin, která s rovinou podstvy svírá úhel 60 o. Tto rovin protne podstvu kuţele v tětivě AB = cm. K této tětivě přísluší ostrý středový úhel o velikosti téţ 60 o. Vypočtěte ojem kuţele.. V trojúhelníku ABC je dán strn = úhel = 0 o = o. Určete ojem těles, které vznikne rotcí tohoto trojúhelníku kolem strny c.. Vrchlíky z téţe koule jsou v poměru :. Jký je poměr jejich ojemů?. Do koule o poloměru r = 0, je vepsán rovnostrnný kuţel. Určete jeho ojem povrch. 6. Kolik % Země (r = 670 km ) vidí kosmonut z výšky 0 km nd Zemí? 9. Polokulovitá nádo je nplněn vodou. Nkloníme-li ji o 0, vyteče z ní,l vody. Kolik litrů vody zůstlo v nádoě?

44 Moţné mturitní otázky: Vrice permutce Komince Binomická vět Úlohy: 0!. Zkrťte:!.!.!.!. Kolik přirozených čísel větších neţ 00 lze vytvořit z cifer,,, (ez opkování, s opkováním).. Z kolik prvků lze vytvořit 00 vricí čtvrté třídy ez opkování. n! n!. Zjednodušte: n! n! n! n! n! n! 6. Komintorik Dlší dovednosti: - permutce s opkováním - komince s opkováním (při min.-ti hod.dotci) - zákldní pojmy prvděpodonosti - důkzové úlohy n zákldě inomické věty. Řešte: log 6! log! log 6. Dokţte, ţe pltí:! *! *!... n * n! n! 7. Kolik přirozených čísel menších neţ 000 lze vytvořit z cifer 0,,, ez opkování. 8. Řešte rovnici:!!!!!! 9. Kolik přirozených čísel lze vytvořit z cifer 0,,,,

45 větších, neţ (ez opkování). 0. Jsou dány cifry 0,,,,,. Kolik lze sestvit čtyřciferných čísel (přirozených,ez opkování), dělitelných šesti (čtyřmi).. Je dán čtvercová síť v odélníku ABCD tk, ţe AB= dílků. Kolik cest vede z A do C, jestliţe mohu jít jen vprvo nhoru? Kolik těchto cest vede odem Q;?. Řešte:. Řešte:. Kolik přímkmi můţeme spojit 0 odů, jestliţe tři z nich leţí n jedné přímce?. Zvětší-li se počet prvků o, zvýší se počet komincí třetí třídy o. Kolik ylo prvků? 6. Test zkoušky se skládá z otázek. Budou tm dvě otázky z dějepisu, (připrveno je 0), dvě ze zeměpisu (připrveno je ), jedn otázk z očnské výchovy (připrveno je 0). Kolik vrint testu je moţných? 7. Je dáno 0 různých odů. Zjistěte, kolik je jimi určeno rovin, jestliţe: ) ţádné neleţí v jedné rovině ) 6 odů leţí v jedné rovině 8. Ze šesti muţů čtyř ţen se má vyrt sedmičlenná skupin: ) kolik způsoy je to moţné ) kolik způsoy je to moţné, mjí-li tm ýt právě dvě ţeny c) vypočtěte v % prvděpodonost, ţe v náhodně vyrné sedmičlenné skupině udou spoň tři ţeny Pro jké je v rozvoji výrzu 9 člen roven 68? 0. Vypočtěte:.. Vypočtěte přiliţně,0.. Vypočtěte třetí člen rozvoje: 9 i sedmý. Určete komplení číslo, pro které je sedmý člen rozvoje výrzu i 0 roven 0.. Určete solutní člen v rozvoji výrzů: ) 0 8 ). Njděte všechny členy rozvoje, které oshují: ) v rozvoji

46 ) 6 v rozvoji Pro které se čtvrtý člen rozvoje. n rovná číslu 7. V rozvoji výrzu je součet prvních tří koeficientů 67. Určete solutní člen ruzvoje. 8. Určete kolik rcionálních členů má rozvoj Dokţte, ţe pltí: 00/ 0 ) n ) 7/ 6 Moţné mturitní otázky: Oecné vlstnosti posloupností Aritmetická posloupnost Geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řd Úlohy: n. Vypočtěte limitu posloupnosti n n. V posloupnosti n ) zjistěte monotónnost ) určete limitu c) pro která n jsou členy této posloupnosti větší neţ 7. Posloupnosti řdy. Dokţte, ţe posloupnost je monotónní vypočtěte její limitu. n Dlší dovednosti znlosti: - umět převést poslední ze zdání n-tým členem n rekurentní vzth oráceně - ktivně ovládt důkz mtemtickou indukcí - znát jednoduché sloţené úrokování při spořících účtech - znát výpočet spltnosti úvěrů log n. Je dán posloupnost ) dokţte, ţe je rostoucí ) určete rekurentní vzorec. 6

47 ... n n. Vypočtěte lim n n 6. U posloupnosti rozhodněte o monotónnosti vypočtěte její limitu:... n 9u 7. Určete první osmý člen posloupnosti: ) n n 0 ) n n n Mezi čísl 7 vloţte čísl tk, y s dnými čísly tvořil ritmetickou posloupnost o součtu 6. Určete počet vloţených čísel její diferenci. 9. Čísl,,,, mjí tu vlstnost, ţe první tři tvoří geometrickou posloupnost poslední tvoří ritmetickou posloupnost. Určete tto čísl, jestliţe: Určete velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelník, jestliţe jeho strny tvoří po soě jdoucí členy ritmetické posloupnosti.. Součet prvních deseti členů ritmetické posloupnosti je 90, součin prostředních členů je 7. Určete je!. V ritmetické posloupnosti 0, 7,,,... njděte člen, jenţ je roven / 8 součtu všech předcházejících členů ritmetické posloupnosti.. Velikosti strn prvoúhlého trojúhelník tvoří ritmetickou posloupnost. Velikost větší odvěsny je. Vypočtěte velikost strn úhlů.. Částk se má rozdělit tk, y první oso dostl 00,- kţdá dlší o,- více. Kolik oso lze podělit při částce,- kolik dostne poslední z nich.. Urči ritmetickou posloupnost je-li: Je dán ritmetická posloupnost: n 80 d 8 s 6 n Určete:, n 7. Určete geometrickou posloupnost v níţ pltí: s 9 7

48 8. Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu prvoúhlého trojúhelník, jestliţe jeho strny tvoří tři po soě jdoucí členy geometrické posloupnosti. 9. Určete počet prvních n-členů geometrické posloupnosti, jeli: q 80 s n 0. V geometrické posloupnosti je: n s n 0 Určete n.. Mezi čísl 60 vloţte n čísel tk, y součet vloţených čísel yl 60 y všechn tvořil geometrickou posloupnost.. Pro která tr eistuje: n t lim n t. Povrch kvádru je 78 cm, součet délek hrn jdoucích z jednoho vrcholu je cm. Vypočtěte ojem kvádru, jsou-li hrny tři po soě jdoucí členy geometrické posloupnosti.. Určete tři kldná čísl, y yl z seou jdoucími členy geometrické posloupnosti, víme-li, ţe jejich součet je součet jejich převrácených hodnot je 7 /.. Původní cen stroje yl 0000,- Kč. Jkou cenu ude mít stroj z 0 let, je-li ročně mortizován 0%. 6. Vkldtel si uloţil v nce 0000,- Kč n termínovný vkld dvou let, při pololetním úrokovcím odoí. Roční úroková mír je % dň z úroků je %. Kolik ude mít vkldtel z dv roky? 7. Očn si zloţil osoní konto v nce v úvodu roku vkldem 00,- Kč. Kţdý měsíc pk vkládl 00,- po dou let, Úroková mír nky yl 9%, úroky yly připisovány n konci kţdého roku. Dň z úroků je %. Kolik měl střdtel n konci pátého roku? 8. Bnk poskytl podnikteli počátkem roku úvěr ve výši jeden milion korun n dou tří let s úrokovou mírou % při úrokovcím odoí roku. Podniktel zpltí dluh ve třech stejných splátkách to vţdy n konci roku. Kolik ude kţdým rokem splácet? 9. Určete geometrickou posloupnost, je-li: s n n V geometrické posloupnosti je: 0 0 8

49 . V geometrické posloupnosti je: 7 8 Určete q.. V geometrické posloupnosti je: s n 0 Určete, q, n.. Určete čtyři čísl, z nichţ tři tvoří ritmetickou posloupnost poslední tři geometrickou posloupnost. Přitom součet krjních dvou čísel je 7 součet prostředních je 6. ) tg tg tg tg... tg )... * 8 c) log... log... log log 9 7 d) 8. Do rovnostrnného trojúhelník o délce hrny je vepsán kruh, do kruhu je vepsán rovnostrnný trojúhelník, do něj zse kruh td. Vypočtěte součet oshů tkto vzniklých: ) trojúhelníků ) kruhů 9. Řešte:. Vyjádřete zlomkem čísl: -0,; 0,7;, ) n n. Řešte rovnici: Určete součet: ) n sin... ) c) cos cos Řešte rovnici: ) sin n n tg c) log... log d) 8 0. Vypočtěte:... n ) n n n

50 ).... Stnovte podmínku pro hodnotu součinu v R: Vektorová lger Úlohy:. Určete vektor v, který je kolmý k u (;) v,. má velikost. Určete úhly v ABC: A-;0, B;, C;. Vypočtěte jeho plochu.. V trojúhelníku ABC je AB u, BC v. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory AM, BN, CP, kde M, N, P jsou středy strn proti vrcholům A, B, C. Dlší dovednosti: - Moţná mturitní otázk: 8. Vektorová lger. Je dán prvidelný šestiúhelník ABCDEF vektory: u = B-A, v =E-F. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory: = F-C, = E-D, c = F-D, d = B-F, e = C-E. Dále určete součet vektorů c.. Vektor u ( 0; ;) vyjádřete jko lineární kominci vektorů ( ; ;), ( ; ; ), c (0;;). 6. Jsou dány ody A;, B;-,C;: ) dokţte, ţe ody A, B, C jsou vrcholy ) vypočtěte vzdálenost těţiště T od vrcholu C. 7. Jsou dány vrcholy ABC: A0;, B6;- těţiště T;6. Určete souřdnice vrcholu C. 0

51 8. Vypočtěte souřdnice vzdálenost těţiště MNQ: M;, N0;, Q-;. 9. Dokţte, ţe ABCD je lichoěţník v jkém poměru jsou velikosti záklden velikost úhlu BAD; A;, B;,C7;9, D;. 0. Dokţte, ţe ABCD jsou vrcholy kosočtverce; A0;0, B;-, C6;0, D;. Vypočtěte velikosti jeho hrn, úhlopříček velikosti vnitřních úhlů.. Je dán prvidelný šestiúhelník ABCDEF. Dokţte, ţe: AB AC AD AE AF AD.. Zjistěte, zd ody A, B, C, D leţí v rovině (vyuţijte lineární komince vektorů): ) A;-;, B6;-0;, C-;-;-, D;-8;- ) A;0;, B;;-, C;6;-, D;;.. Vektory u, v svírjí úhel 0 přitom pltí u, v. Určete úhel vektorů u v vektoru u v.. Rozhodněte, zd dné ody leţí v jedné rovině: A;;-, B;;, C-;;, D;;.. Určete úhel vektorů u, v je-li u, v 8 u v Jsou dány vektory ;; ; ; ;; c ; ;. Určete souřdnice vektoru, který je kolmý k vektorům dále pltí:. c 6., 7. V trojúhelníku ABC jsou dány vrcholy A0;0, B;0 těţiště T ;. Dokţte, ţe trojúhelník ABC je prvoúhlý vypočtěte velikosti všech jeho úhlů. 8. Určete všechny ody přímky p: - 7y + 6 = 0, ze kterých je vidět úsečk AB v zorném úhlu 90, je-li A0;-, B6;6. 9. Určete vektor v, který je kolmý k vektoru ; u jehoţ velikost je. 0. Je dán krychle ABCDEFGH. Dokţte, ţe pltí: (C - A) +(A - D) = (B - A) + (B - C).. Je dán kruţnice k n ní od A. Bodem A veďte všechny tětivy dné kruţnice. Njděte MVBDV všech středů těchto tětiv.. Je dán prvidelný čtyřoký jehln ABCDV, jehoţ podstvná hrn má velikost =, výšk jehlnu v = 6 střed hrny BC je od E. Zvolte vhodně soustvu souřdnic řešte úlohy: ) vypočtěte velikost oční hrny jehlnu ) určete velikost úhlu vektorů v V E u D A c) určete velikost úhlu vektorů u w C A

52 Moţné mturitní otázky: Anlytická geometrie v rovině Anlytická geometrie v prostoru Úlohy:. Bod S;- je střed čtverce,jehoţ strn leţí n přímce p: y + = 0. Njděte rovnice přímek, n kterých leţí osttní strny čtverce.. V ABC je vrchol A-;-, B,- průsečík výšek V;-. Určete souřdnice vrcholu C těţiště T.. Jsou dány ody A;, B9;-, C-;. Dokţte, ţe se jedná o trojúhelník, určete jeho vnitřní úhly osh.. N přímce - y + = 0 njděte ody, které mjí od odu A;- vzdálenost Anlytická geometrie lineárních útvrů Dlší dovednosti: - znát zvedení soustvy souřdnic u plošných prostorových útvrů - úsekový tvr přímky v rovině jeho geometrický význm - vzájemný převod jednoho druhu rovnice přímky n jiný. Určete souřdnice odu A souměrně sdruţeného s odem A8; podle přímky p: P;0, u (;). 6. Npište oecnou rovnici přímky q, která prochází odem A má od přímky p odchylku : ) A6;; p: -.y 7 = 0; = 0 ) A;; p: +.y = 0; = Npište rovnici přímky p, která prochází odem A; má od odu B;- vzdálenost v.

53 8. N přímce - y 8 = 0 njděte od, který má stejnou vzdálenost k odům M;, N7;-. 9. Jsou dány ody M-;, A;-, B;7. Určete všechny přímky, které procházejí odem M mjí od odů A,B stejnou vzdálenost. 0. Jsou dány ody A;-, B;, C;. Njděte souřdnice odu D tk, y čtyřúhelník ABCD yl rovnoěţník.. Bodem A;;- veďte přímku, která je kolmá n rovinu : = + r y = - + s z = r - s Určete souřdnice pty této kolmice.. Dokţte, ţe vrcholy A;-;, B-8;0;, C8;; tvoří vrcholy trojúhelníku. Urči jeho osh vnitřní úhly (těţiště, rovnici osy strny...).. Určete orz odu A;0;-8 v osové souměrnosti podle přímky p: = - t y = + t z = - + t. Určete orz odu A;-;-6 v rovinné souměrnosti učené rovinou y - z - = 0.. Jsou dány ody A;-;-, B;-;-, C;-;-, D0;;-. ) vypočtěte vzdálenost odu D od roviny ABC ) njděte souměrně sdruţený od D podle roviny ABC c) vypočtěte ojem tohoto jehlnu. 6. V prostoru je umístěn prvidelný čtyřoký jehln ABCDV, jehoţ podstvná hrn AB = výšk v =. Určete: ) vzdálenost středu S podstvy od hrny AV ) vzdálenost středu S podstvy od roviny ADV c) ojem jehlnu. 7. Je dán čtyřstěn ABCD: A0;;, B;0;, C-;-;, D0;-;-6. Vypočtěte odchylky: ) AD ABC ) ADC ABC c) DC ABD 8. Jsou dány ody A;-;, B-;-; rovin : y + 8z 6 = 0. Njděte rovinu jdoucí ody A B tkovou, ţe je kolmá k. 9. ABC je určen vrcholy A;0;, B;-;0 těţištěm T;;. Určete souřdnice vrcholu C. 0. Určete oecnou rovnici roviny, která prochází ody A;;, B;-; je kolmá k rovině : +y-z+7=0.. Průsečnicí p dvou rovin, prochází rovin kolmá ke třetí rovině. Npište oecnou rovnici roviny, je-li: : -y+z-=0 : +y-z+=0 : -y-z+=0

54 . Je dán rovin : -y+z-=0 přímk p: = + t y = - t z = ) Určete vzájemnou polohu společné ody přímky rovi ny ) Npište rovnici přímky q, která je prvoúhlým průmětem přímky p do roviny. Jsou dány vrcholy ABC: A;8, B-;9, C-;. Zjistěte, zd průsečík výšek, těţiště střed kruţnice opsné leţí v téţe přímce.. Jsou dány vrcholy čtyřstěnu A6;0;0, B0;;0, C;6;0 D;;8. Určete: ) odchylku rovin ABC BCD ) odchylku mimoěţek AB CD. N přímce p určete od, který má od přímky q vzdálenost d = ; q: + y + = 0 6. V soustvě souřdnic je umístěn prvidelný čtyřoký jehln ABCDV tk, ţe A;;0, B;;0, C;;0, D;;0, V;;. Vypočtěte: ) vzdálenost středu S podstvné hrny BC od přímky AV ) výšku jehlnu, kdyţ V je jeho vrchol. 0. Anlytická geometrie kvdrtických útvrů Dlší dovednosti: -znát zvedení soustvy souřdnic u plošných prostorových útvrů -úsekový tvr přímky v rovině jeho geometrický význm -vzájemný převod jednoho druhu rovnice přímky n jiný

55 Moţné mturitní otázky: Anlytická geometrie v rovině Anlytická geometrie v prostoru Úlohy:. Určete číslo tk, y přímk p p: 7 t y 7 t yl tečnou ke křivce y 69.. Njděte rovnici kruţnice, která se dotýká přímky p: 7 y 0 v odě T; přímky q: y 0. Určete souřdnice společných odů křivek: k: y l: y 8 y 6 0 Dále určete, pod jkým úhlem se tyto křivky protínjí.. Njděte rovnici kruţnice souměrně sdruţené s kruţnicí k podle přímky p; k: y p: y 0. N elipse y njděte ody, které mjí od jejího 00 6 prvého ohnisk F vzdálenost. 6. Je dán elips 6y 00 přímk y. Npište rovnici tečny elipsy, která má od dné přímky odchylku. 7. Je dán elips 6y 8 od M;-: )dokţte, ţe M je vnějším odem ) nejděte tečny z odu M k elipse c) určete úhel tečen 8. N elipse 9y 6 njděte ody, které mjí od přímky y? 0 mimální minimální vzdálenost. Určete ji. 9. Elipse je vepsán čtverec. Vypočtěte velikosti jeho strn. 0. Je dán elips 9y 6 od Q;. Njděte přímku, která vytíná n elipse tětivu, která je půlená odem Q.. Njděte odchylku křivek: ) 9 y 900 y 6 ) 8 9y 7 y c) y y. Vypočtěte souřdnice odů, která leţí n prole y 8 mjí od jejího ohnisk vzdálenost 0.. Z odu K-;0 veďte tečny k prole y 8.. Njděte společné tečny křivek: y 7 y 9.

56 . Npište osovou rovnici hyperoly, která prochází ode M;6 má symptotu y Určete rovnici tečny hyperoly. y, která je rovnoěţná s přímkou y 0. Vypočtěte souřdnice dotykových odů. Dále vypočtěte souřdnice ohnisek. 7. Je dán hyperol 9y od M;: ) určete velikost poloos, ohnisk vrcholy ) zjistěte polohu odu M vzhledem k hyperole c) určete všechny přímky jdoucí odem M mjící s hyperolou společný právě jeden od. 8. Je dán H:. y K: y. Určete úhel, pod kterým se křivky protínjí. 9. Určete mnoţinu všech odů, které mjí od počátku soustvy souřdnic třikrát větší vzdálenost neţ od přímky p:. 0. Dokţte, ţe součin vzdáleností liovolné tečny hyperoly od ohnisek hyperoly je konstntní.. Jsou dány kruţnice k: + y 8 y + 60 = 0 l: + y 6y = 0 ) určete průsečíky dných kruţnic ) npište rovnice tečen kruţnic k, l v jejich průsečících c) vypočtěte odchylku těchto tečen. Npište rovnici kruţnice, která: ) prochází středy strn trojúhelník ABC: A;, B;9, C;-. Určete její průsečíky se strnmi trojúhelníku ABC ) má střed v odě S; dotýká se přímky p p: y 9 = 0 c) prochází odem M; dotýká se oou souřdnicových os.. Určete rovnice tečen elipsy, které mjí od jejího středu vzdálenost d =.. N elipse +9y = 6 njděte ody, které mjí nejmenší neo největší vzdálenost od přímky p: + y = 0.. Je dán elips +9y = od M0;-: ) dokţte, ţe M je odem vnější olsti elipsy ) npište rovnice tečen elipsy procházející odem M c) vypočtěte odchylku těchto tečen 6. Npište osovou rovnici elipsy, která má ecentricitu e = prochází odem M;6. Stnovte, pro která hodnoty reálného prmetru m je přímk p o rovnici p: m. + y = 0 sečnou elipsy. 7. Je dán hyperol 9y 9 = 0 od M;0. Npište rovnice všech přímek, která procházejí odem M mjí s hyperolou právě jeden společný od. 8. Je dán prol o rovnici y 6 + y + = 0 přímk p: y + 7 = 0. Npište rovnici tečny t p k dné pr- 6

57 ole. U proly určete vrchol, ohnisko, rovnici řídící přímky zkreslete ji v soustvě souřdnic.. Prvděpodonost Dlší dovednosti: Rozsh ude při počtu hodin --- stčit. Ve třídě je 0 ţáků. 7 z nich nemá domácí cvičení. Učitel vyvolá náhodně 6 ţáků. Jká je prvděpodonost, ţe spoň z nich mjí domácí cvičení?. Hrjí dv stejně doří hráči šchový záps. Musí jej předčsně ukončit v okmţiku, kdy prvnímu chyějí k vítězství prtie druhému prtie. Jká je prvděpodonost, ţe vyhrje první hráč? 6. Ţárovk svítí se spolehlivostí 0,8. Jká je spolehlivost (tj. ţe proud projde zpojením) následujících zpojení: ) ) Moţné mturitní otázky: Prvděpodonost sttistik Úlohy:. Házíme třemi kostkmi. S jkou prvděpodoností pdnou n kostkách vzájemně různá čísl?. V zásilce je 8 dorých výroků vdné. Náhodně vyereme výroků. S jkou prvděpodoností je : ) všech dorých ) doré jeden vdný c) doré vdné. Určete prvděpodonost, ţe při hodu 6-ti kostkmi pdnou spoň šestky. ) d) 7. Určete prvděpodonost, ţe při náhodném výěru tří kret z kretní hry: ) jedn krt ude eso ) lespoň jedn krt ude eso c) kţdá krt ude jiné rvy 7