Modelování volatility akciového indexu FTSE 100

Transkript

1 ISSN X (online) ETTN Modelování volailiy akciového indexu FTSE 00 Adam Borovička Vysoká škola ekonomická v Praze Fakula informaiky a saisiky Kaedra ekonomerie; nám. W. Churchilla 4 Praha ; adam.borovicka@vse.cz Gran: IGA F4/6/0 Název granu: Modely operačního a finančního managemenu Oborové zaměření: Ekonomie GRANT Journal MAGNANIMITAS Assn. Absrak Objekem příspěvku je ypická vlasnos finančních časových řad volailia. Ekonomické časové řady se velmi časo vyznačují průběhem sřídajících se období relaivního klidu a období s významnou variabiliou. K modelování volailiy nám slouží speciální ekonomerické modely - modely volailiy - charakerizující zv. podmíněnou heeroskedasiciu. Cíl článku je spařován ve výběru vhodného modelu volailiy akciového indexu FTSE 00. Cesa vede přes esy sacionariy časových řad závěrečných cen sledovaného indexu esy podmíněné heeroskedasiciy a auokorelace. Také idenifikujeme pravděpodobnosní rozdělení sledované veličiny. Nedílnou součásí při analýze finančních časových řad je příomnos různých asymerických efeků keré deerminují podmíněnou heeroskedasiciu lineárního či nelineárního ypu. Klíčová slova Volailia podmíněná heeroskedasicia EGARCH GJR-GARCH funkce NIC.. ÚVOD Volailia slovo keré slyšíme dnes a denně. Valí se na nás z elevizních obrazovek hlasových přijímačů išěných médií vkrádá se nám do rozhovoru s kamarády v resauraci na obchodních jednáních s klieny či parnery. Proč je oo cizí slovo v dnešní době ak v kurzu? Odpověď zní - ekonomická krize! To ona nás naučila vnímání pojmu za kerým se zprosředkovaně skrývá nesabilia časá vychýlenos od průměrných hodno nesálos. Volailia označuje míru kolísání hodnoy akiva popř. jeho výnosové míry. Volailiu éž můžeme chápa jako míru rizika spojenou s invesicí do určiého akiva. Při modelování a analýze mnoha ekonomických zejména pak finančních časových řad hraje zcela nezanedbaelnou roli výše popsaný jev volailia. Takové časové řady ypicky vykazují sřídavá období relaivního klidu a poměrně vysoké variabiliy a volailiy (Hušek 007). V éo siuaci vsupují do popředí právě modely volailiy. Zkoumané modely se edy nebudou zabýva úrovní časových řad nýbrž jejich variabiliou. Hovoříme o skupině modelů keré charakerizují zv. podmíněnou heeroskedasiciu (Arl a kol. 007). Zaměření modelů umožňuje zachyi měnící se podmínky nejisoy v ržním prosředí. Jejich prakická aplikace je hp://cs.wikipedia.org/wiki/volailia (ci ) široká velmi dobře mohou poslouži při opimalizaci porfolia či inervalových předpovědí v časových řadách (Arl a kol. 007).. AKCIOVÝ INDEX FTSE 00 Akciový index FTSE 00 je nejpoužívanějším indikáorem akciového rhu ve Velké Briánii. Počáek měření daujeme k kdy se jeho výchozí hodnoa sanovila na hranici 000 bodů. Index je vořen jedním sem nejvěších briských firem jejichž emise jsou posuzovány z hlediska ržní kapializace a likvidiy 3. Je počíán z cen vážený ržní kapializací. Báze FTSE 00 je proměnlivá nejvěší společnosi figurující v širším indexu FTSE 50 mohou při splnění konkréních požadavků posoupi do báze FTSE 00 a nahradi ak někeré dosavadní firmy v omo indexu MODELY VOLATILITY Modely volailiy vycházejí z reálného předpokladu že podmíněné rozpyly jsou v čase proměnlivé. Maemaicky si sledovaný model vyjádříme podle následujícího vzahu X φx + () kde φ < a { } je podmíněně heeroskedasický proces s podmíněnou sřední hodnoou E( Ω ) 0 a podmíněným rozpylem D( Ω ) E( Ω ) h kde Ω je relevanní minulá informace až do času. Tyo požadavky splňuje model procesu { } ve varu / eh () kde veličiny procesu { e } jsou nezávislé s nulovou sřední hodnoou a jednokovým rozpylem. Jesliže je rozdělení náhodné veličiny za podmínky informace kerá je k dispozici v čase normované normální edy e ~ N (0) pak je rozdělení náhodné veličiny X za podmínky informace kerá je k dispozici v čase normální s podmíněným rozpylem měnícím se v závislosi na čase j. X ~ N (0 h). Na základě Jensenovy nerovnosi (více viz Arl a hp://en.wikipedia.org/wiki/london_sock_exchange (ci ) 3 hp:// (ci ) 4 hp:// _Rules.pdf (ci )

2 ISSN X (online) ETTN kol. 007) vrdíme že špičaos nepodmíněného rozdělení je věší nebo rovna špičaosi normovaného normálního rozdělení. Různá formulace vývoje podmíněného rozpylu h v čase dává vzniknou několika modelům volailiy lineráního či nelineárního charakeru. 3. Lineární modely volailiy Nejdříve se podíváme na modely keré byly poprvé popsány v první polovině 80. le minulého soleí Roberem F. Englem. Pro lineární modely volailiy je charakerisické že podmíněný rozpyl je lineární funkcí veličin Model ARCH(q) q Obecný model ARCH vykazuje podmíněný rozpyl ve formě h ω+ α + α + + α q q. (3) Podmínky ω > 0 a αi 0 pro i... q zaručují kladný podmíněný rozpyl. Nepodmíněný rozpyl procesu { } má var ω D( ) (4) α αq což znamená že je konsanní v čase a proces { } je nepodmíněně homoskedasický. Model ARCH umožňuje zachyi shluky volailiy v časové řadě sejně ak vyšší špičaos pravděpodobnosního rozdělení než je špičaos rozdělení normálního (Arl a kol. 007 či Hušek 007). 3.. Model GARCH(pq) Mnohdy se sekáváme při modelování časových řad pomocí modelů ARCH(q) s velmi vysokým paramerem q což má za následek odhadování velkého množsví paramerů. V roce 986 Tim P. Bollerslev navrhl řešení rozšířením sávajícího modelu o zpožděný rozpyl. Podmíněný rozpyl obecného modelu GARCH(pq) vyjadřujeme vzahem h. (5) q p ω+ α i i+ βihi i i Kladný podmíněný rozpyl zaručují podmínky ω > 0 α i > 0 pro i... q a β i 0 pro i... p. Nepodmíněný rozpyl vykazuje konsanní vývoj v čase proces { } je nepodmíněně homoskedasický. Opě lze dokáza věší špičaos rozdělení náhodné veličiny než vykazuje normální rozdělení. 3. Nelineární modely volailiy Při analýze finančních časových řad můžeme přijí do syku s různými asymerickými efeky. Za nejdůležiější asi považujeme zv. pákový efek kerý reflekuje nesejnoměrný projev kladných a záporných šoků do podmíněného rozpylu. Lineární modely nejsou s o zohledňova eno či jiný projev asymeričnosi proože podmíněný rozpyl v nich závisí pouze na čverci šoků udíž kladné i záporné šoky mají oožný efek. Jelikož věšina nelineárních modelů volailiy usiluje o zachycení různých efeků kladných a záporných šoků mohou bý modely velmi podobné proo byla v 90. leech minulého soleí vymyšlena meoda kerá jednolivé modely porovnává. Meoda je založena na konsrukci funkce NIC kerá určuje jak se nová informace promíá do volailiy. Jinými slovy ukazuje vzah mezi šokem a podmíněným rozpylem h + za předpokladu konsanních všech minulých a příomných informací. Konkréně například v modelu GARCH() má funkce NIC var NIC( h hc) ω+ α + βhc. (6) NIC je kvadraická funkce se sředem v bodě 0. V praxi se volí h rovno nepodmíněnému rozpylu procesu { } edy σ. 3.. Model EGARCH(pq) Model EGARCH byl vůbec prvním kerý dokázal zachyi asymerický šok. Nejdříve se podíváme na model EGARCH() kde podmíněný rozpyl vlasně jeho přirozený logarimus vykazuje var ln( h) ω + ge ( ) + β ln( h ) (7) kde ge α e + γ [ e E e ] ( ) ( ). Jelikož model popisuje vzah mezi logarimem podmíněného rozpylu a minulými šoky neklademe žádná omezení na paramery α β γ kerá by zajišťovala nezápornos podmíněného rozpylu. Z vlasnosí procesu { e } vyplývá že proces { ge ( )} má nulovou sřední hodnou a není auokorelovaný. Pro analýzu asymerie ve vzahu podmíněného rozpylu a šoků vyjádříme funkci ge ( ) ve varu g( e) ( α+ γ) ei ( e > 0) + ( α γ) ei ( e < 0) γe( e ) (8) kde I( A) je funkce kerá nabývá hodno jesliže jev A nasane a hodnoy 0 pokud jev A nenasane. Souče paramerů ( α+ γ) ukazuje vliv kladných šoků na logarimus podmíněného rozpylu vliv záporných šoků pak zobrazuje rozdíl paramerů ( α γ). Funkce NIC modelu EGARCH () má formu α+ γ Aexp( ) pro > 0 σ NIC( h σ ) α γ Aexp( ) pro < 0 σ β kde A σ exp( ω γ π). 3.. Model GJR-GARCH(pq) Forma obecného modelu GJR-GARCH(pq) čisě závisí na podobě modelu GARCH(pq). Tedy model GARCH() lze upravi do varu h ω+ α [ I( > 0)] + γ I( > 0) + βh (0) kerý budeme označova právě jako model GJR-GARCH(). Podmíněný rozpyl vykazuje nezáporných hodno pokud ω > 0 ( α+ γ)/ 0 a β > 0. Model je sacionární v kovariancích pokud plaí ( α+ γ) / + β <. Funkci NIC modelu GJR-GARCH() pak píšeme ve varu (9)

3 ISSN X (online) ETTN kde A ω+ βσ α pro < 0 NIC( h σ ) A + γ pro > 0. () Pro model sacionární v kovariancích je podmíněný rozpyl σ ω/[ ( α + γ ) / β ]. 3.3 Konsrukce modelu volailiy Při výsavbě modelu musíme analyzova sacionariu sledovaných časových řad provádíme esy podmíněné heeroskedasiciy a normaliy dále esujeme i hypoézu podmíněné heerskodesiciy nelineárního ypu. Po odhadnuí paramerů zvoleného modelu podmíněné heeroskedasiciy ověřujeme jeho vhodnos diagnosickými esy (esy auokorelace heeroskedasiciy či normaliy). Pro odhad paramerů modelu volailiy využíváme meodu maximální věrohodnosi popřípadě quasi meodu maximální věrohodnosi (Arl a kol. 007 či Hušek 007). Pro další pořeby se model dále může modifikova. Konečná verze modelu slouží pro popisné či predikční účely. Sacionariu časových řad budeme diagnosikova pomocí grafických násrojů výběrové auokorelační funkce (ACF) výběrové parciální auokorelační funkce (PACF) a esů Dickeye a Fullera. Pro analýzu podmíněné heeroskedasiciy lineráního ypu využijeme ARCH es při zkoumání podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu pak SB PSB a NSB esy. Idenifikaci auokorelace budeme provádě pomocí Pormaneau esu. Jarqeův- Berův es normaliy pak poslouží pro sledování charakeru rozdělení sledované veličiny (více viz Arl a kol. 007 nebo Hušek 007). 3.4 Tesy podmíněné heeroskedasiciy Ze všech zmíněných esů keré musíme při modelování volailiy uskuečni vybírám jen esy na podmíněnou heeroskedasiciu lineárního a nelineárního ypu jakožo zcela zásadního jevu vyskyujícího se při zkoumání volailiy Tesy podmíněné heeroskedasiciy lineárního ypu Jev heeroskedasiciy zkoumáme a zjišťujeme sejně jako u auokorelace z důvodů negaivních dopadů na výsledný model. Odhady regresních koeficienů zrácejí někeré opimální vlasnosi zejména vydanos saisické esy mohou podáva falešné informace. Konkréně k idenifikaci podmíněné heeroskedasiciy lineárního ypu využijeme ARCH es kerý lze aké inerpreova jako es auokorelace čverce nesysemaické složky. Podmíněný rozpyl h modelu ARCH(q) je konsanní jesliže jsou paramery odpovídající veličinám... q rovny nule. Jako nulová hypoéza bude figurova hypoéza podmíněné homoskedasiciy oiž H0 : α α α q 0. Alernaivní hypoézou je že alespoň jeden paramer je různý od nuly j. H : non H. Tes bychom pak mohli zapsa v následujících krocích: 0 ) Odhadnou se paramery lineárního či nelineárního úrovňového modelu a získají se rezidua ˆ a reziduální souče čverců ESS 0. ) Konsruuje se regresní model ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ω+ α + α + + α q q+ u na jehož základě se získá reziduální souče čverců ESS a index deerminace R. 3) Tesové kriérium LM ve varu TR má za předpokladu planosi nulové hypoézy asympoické rozdělení χ ( q). 4) F-verze ohoo esového kriéria pro malé výběry má ( ESS0 ESS)/ q podobu FLM její rozdělení lze za ESS /( T q ) předpokladu planosi nulové hypoézy aproximova rozdělením FqT ( q ) Tesy podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu Při zjišťování příomnosi podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu můžeme využí dva způsoby. V rámci prvního nejprve zvolíme lineární model volailiy a odhadneme jeho paramery. Poé zkoumáme jesli je model vhodný či by bylo lepší vzhledem k daovým asymeriím použí spíše model nelineární. Druhý přísup je analogií ověřování podmíněné heeroskedasiciy lineárního ypu. Přímo se oiž esuje hypoéza podmíněné homoskedasiciy proi hypoéze podmíněné heeroskedasiciy nelineárního charakeru. K esování podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu využijeme SB NSB a PSB esy. SB es se používá pro objasnění zda kladné a záporné výnosy bez ohledu na jejich výši mají jiný vliv na podmíněnou heeroskedasiciu. NSB a PSB esy pak ověřujeme jesli vliv záporných či kladných výnosů na podmíněný rozpyl závisí aké na jejich výši (Arl a kol. 007 nebo Hušek 007). Nejdříve si musíme zavés někeré proměnné. D bude umělá proměnná kerá nabude hodnoy jesliže ˆ je záporné nebo hodnoy 0 v jiném případě. Další pomocnou proměnnou bude + D D. U SB esu vycházíme z modelu ˆ ˆ φ0 + φw + u () kde ˆ je čverec rezidua lineárního nebo nelineárního úrovňového modelu a wˆ D. Tesovanou hypoézou je H 0 : φ 0 a alernaivní hypoézou se sává H: φ 0. Tesovým kriériem je saisika. Pokud v modelu () wˆ ˆ D pak se es nazývá NSB es. Jesliže plaí v modelu () že wˆ ˆ D + poom se jedná o PSB es. Rozdělení saisiky je ve všech řech zmíněných esech asympoicky normované normální. Uvedené esy můžeme nakonec slouči. Pak budeme posupova podle následujícího schémau: ) Odhadnou se paramery lineárního či nelineárního úrovňového modelu a získají se rezidua ˆ a reziduální souče čverců ESS 0. ) Konsruuje se regresní model + ˆ ˆ ˆ φ0 + φd + φd + φ3d + u na jehož základě se získá reziduální souče čverců EES a index deerminace R. Tesovanou hypoézou je H0 : φ φ φ3 0 kerá poukazuje na nepříomnos asymerie uvažovaného ypu v časové řadě. Alernaivní hypoéza pak vykazuje podobu H: non H 0.

4 ISSN X (online) ETTN ) Tesové kriérium LM ve varu TR má za předpokladu planosi nulové hypoézy asympoicky rozdělení χ (3). 4) F-verze ohoo kriéria pro malé výběry vykazuje var ( ESS0 ESS)/3 FLM kde ESS 0 je reziduální souče ESS /( T 4) čverců T ˆ její rozdělení lze za předpokladu planosi nulové hypoézy aproximova rozdělením F(3 T 4). 4. MODELOVÁNÍ VOLATILITY AKCIOVÉHO INDEXU FTSE 00 Po podpůrné eoreicky zaměřené čási přecházíme na prakickou aplikaci. Nejprve předsavíme napozorovaná daa ýkající se vývoje hodno akciového indexu FTSE Pro co možná časově nejkomplexnější pohled na volailiu je finanční časová řada přibližně 85 roku dlouhá konkréně od do Jedná se o řadu vysokofrekvenční používáme denní údaje referující o závěrečné ceně akciového indexu. Záměrně zvolená délka časové řady zahrnuje vliv ekonomické konjunkury následný drivý hospodářský pokles s lehkým oživením v závěru období. Zvolení délky časového období ovlivňuje výsledné modely. Veškeré provedené esy výpočy byly zpracovány v programu PcGive Socionaria časové řady závěrečných cen indexu FTSE 00 Věšina ekonomických časových řad (např. HDP mzdy invesice) jsou nesacionární. Sledované veličiny mají oiž endenci vrace se k určié hodnoě či opisova rend. V ěcho případech se nesacionární časové řady původních pozorování ransformují na sacionární zpravidla pomocí prvních či vyšších diferencí popř. logarimováním či jinou eliminací rendu. Při pohledu na níže zobrazený graf (Obrázek ) jednoznačně regisrujeme ve vývoji akciového indexu na londýnské burze rendy keré signalizují nesacionariu časové řady. Obrázek : Vývoj akciového indexu FTSE 00 Pramen: Výsup z programu PcGive. Výběrová auokorelační funkce (ACF) a výběrová parciální auokorelační funkce (PACF) aké povrzuje nesacionariu sledované vysokofrekvenční finanční časové řady sejně ak provedený rozšířený es Dickeye a Fullera kerý neprokazuje na hladině významnosi 5 % hypoézu že časová řada je sacionární. Při analýze finančních časových řad se vychází z předpokladu logarimicko-normálního rozdělení hodnoy akciových indexů oiž nemohou bý záporné. Pro dosažení sacionariy da ransformujeme řady logarimováním. Bohužel i ako upravené časové řady jsou 5 hp:// (ci ) 6 Sofwarový produk PcGive poskyuje veškeré zázemí pro ekonomerické modelování s velmi sofisikovaným a přívěivým uživaelským prosředím. Viz porál (ci ). věšinou nesacionární udíž využíváme ješě diferencování. Diferenci logarimů je možné inerpreova jako logarimus výnosů (Arl a kol. 007). Pro sacionarizaci časové řady závěrečných cen akciového indexu FTSE 00 edy využijeme diferenci logarimů kerou vypočíáme následujícím vzahem (3) FTSE _00 ln( FTSE _00 ) ln r ln( FTSE _00 ) ln( FTSE _00 ) ln( FTSE _00 ) kde FTSE _00 resp. FTSE _00 jsou závěrečné ceny indexu FTSE 00 v čase resp Tesy auokorelace podmíněné heeroskedasiciy a normaliy logarimů výnosů indexu FTSE 00 Než se pusíme do samoných odhadů konkréních modelů volailiy musíme příslušná ransformovaná daa prověři z hlediska auokorelace podmíněné heeroskedasiciy a normaliy rozdělení. Pormaneau es povrzuje skuečnos že se vyskyuje v časové řadě auokorelace. V případě pořeby by edy bylo vhodné přida do budoucího modelu volailiy zpožděné hodnoy logarimů výnosů. Jarqeův-Berův es normaliy poukazuje na nenormální rozdělení. Too sdělení povrzuje i šikmos kerá nabývá hodnoy -07. Tes ARCH idenifikuje podmíněnou heeroskedasiciu ve sledované časové řadě (více viz Borovička 0). Jelikož sledujeme denní finanční časové řady máme důvodné podezření na výsky asymerických efeků. Podíváme se udíž na možnou exisenci již zmíněného zv. pákového efeku. Tabulka : Společný SB PSB NSB es logarimů výnosů indexu FTSE 00 Coefficien T-prob Consan DLFTSE_00D DLFTSE_00D - _DLFTSE_00_ DLFTSE_00D - _DLFTSE_00_ F(335) 305 [0000]** Pramen: Výsup z programu PcGive Nejprve provedeme SB es kerý nám podá odpověď na oázku jesli kladné a záporné výnosy bez ohledu na jejich výši mají jiný vliv na podmíněnou heeroskedasiciu. Odpověď je negaivní es neindikuje příomnos asymerického efeku na hladině významnosi 5 %. Podle Tabulky společný SB PSB NSB es však asymerii povrzuje. Podle dílčích -esů nebyl prokázán odlišný vliv kladných a záporných výnosů avšak podmíněná heeroskedasicia závisí na výši kladných a záporných výnosů. Odhad parameru u proměnné charakerizující vliv výše záporného výnosu je záporný a v absoluní hodnoě vyšší než odhad parameru u proměnné charakerizující vliv výše kladných výnosů udíž úroveň záporných výnosů se do podmíněné heeroskedasiciy promíá o něco silněji než úroveň výnosů kladných. 4.3 Sanovení vhodného modelu volailiy pro akciový index FTSE 00 Z hlediska výskyu asymerických efeků zvolíme vhodný model kerý bude co nejpřesněji opisova zkoumanou variabiliu časové řady. Zaměříme se na modely EGARCH(pq) a GJR-GARCH(pq).

5 ISSN X (online) ETTN EGARCH(pq) Nejdříve se podíváme na závěry plynoucí z použií modelů EGARCH keré zobrazuje Tabulka. Jedná se o modely EGARCH() s (ne)zahrnuím zpožděné hodnoy logarimů výnosů o jedno období (den) a alernaivním předpokladem (ne)normaliy rozdělení. Tabulka : Modely volailiy EGARCH pro index FTSE 00 Model Log-věrohodnosní funkce EGARCH() s normálním rozdělením EGARCH() s nenormálním rozdělením EGARCH() s normálním rozdělením a zpožděním EGARCH() s nenormálním rozdělením a zpožděním Pramen: Výsup z programu PCGive. Při aplikaci výše zmíněných modelů vycházejí všechny -esy paramerů saisicky významné na hladině významnosi 005. Paramer α u veličiny e vychází záporný což povrzuje příomnos asymerického efeku kerý se projevuje v silnějším vlivu záporných hodno do podmíněné heeroskedasiciy než hodno kladných. Tuo skuečnos povrzuje i var funkce NIC (více viz Borovička 0). Jelikož mnohdy dochází k porušení předpokladu e ~ N (0 ) použií modelu s nenormálním rozdělením obvykle Sudenovým nepřekvapuje. Diagnosické esy všech použiých modelů vykazují absenci podmíněné heeroskedasiciy a auokorelace. Model EGARCH() bez zpožděných hodno edy nevykazuje auokorelaci reziduí udíž nejsme nuceni do modelu zapoji zpožděné hodnoy vysvělované proměnné. Pro model se zpožděnou hodnoou o jedno období vychází logarimus věrohodnosní funkce akřka oožně u AIC kriéria aké nacházíme podobné hodnoy. Jarqeův-Berův es opravdu prokazuje nenormální rozdělení. Pokud bychom vzali do úvahy modely EGARCH s paramery nerovnajícími se jedné pak idenifikujeme jako model s nejvěší hodnoou zlogarimované věrohodnosní funkce EGARCH(88) s absencí jakékoliv zpožděné hodnoy s předpokladem normálního rozdělení. V případě nenormální rozdělení náhodné složky dojdeme sice ke zvýšení zlogarimované věrohodnosní funkce o několik jednoek někeré paramery modelu ale vychází saisicky nevýznamné. V duchu důkazu nenormaliy rozdělení nesysemaické složky vybíráme model EGARCH() s možnosí zahrnuí zpoždění o období GJR-GARCH(pq) Pokud uděláme odhady různých modifikací modelů GJR-GARCH vyjde nám jako nejlepší model pro popis volailiy GJR- GARCH() s nenormálním rozdělením a zahrnuím jedné zpožděné hodnoy. Zpožděnou hodnou nezavádíme kvůli alarmující indikaci auokorelace ale jako elemen vylepšující logarimus odhadové věrohodnosní funkce. Osaní modely s věším počem paramerů vykazují někeré saisické esy paramerů nevýznamné či indikují nižší hodnoy zlogarimované věrohodnosní funkce Výběr modelu volailiy pro index FTSE 00 Vybraný model EGARCH() vykazuje o něco lepší hodnou logarimu věrohodnosní funkce sejně ak na vyšší hladině významnosi vychází es podmíněné heeroskedasiciy a neauokorelovanosi náhodné šložky oproi modelu GJR- GARCH(). Pro modelování akciového indexu edy volíme model EGARCH(). 5. ZÁVĚR Po rozsáhlé analýze nakonec volíme jako nejlepší model popisující volailiu akciového indexu FTSE 00 EGARCH() s předpokladem nenormálního rozdělení s možným zahrnuím zpoždění o jedno období. Nakonec připomeňme že byla prokázána příomnos asymerického efeku konkréně pak věší vliv záporných výnosů do podmíněné heeroskedasiciy než hodno kladných. Zjišění nenormaliy nesysemaické složky nebylo překvapením. Zahrnuí předpokladu rozdělení Sudenova se ukázalo ve věšině případů jako vhodné. Jelikož se náhodná složka u časových řad zdála bý poněkud zešikmená zakomponování určiého asymerického rozdělení by mohlo napomoci k věší důvěryhodnosi modelu volailiy. Pro rozšíření obzorů v dané problemaice bychom mohli zkouma další ypy nelineárních modelů např. IEGARCH či STGARCH. Výsledné modely můžeme velmi dobře využíva pro finanční analýzy či při konsrukci předpovědí. Zdroje. ARLT J.; ARLTOVÁ M. Ekonomické časové řady vlasnosi meody modelování příklady a aplikace.. vydání. Praha: Grada Publishing s. ISBN BOROVIČKA A. Srovnání volailiy akciových indexů PX a FTSE 00. Aca Oeconomica Pragensia roč. 9 č. s FTSE 00 Index FACTSHEET dosupné z: hp:// [ci ]. 4. FTSE UK Index Series Rules dosupné z: hp:// [ci ]. 5. HUŠEK R. Ekonomerická analýza.. vydání. Praha: Oeconomica s. ISBN Paria online dosupné z: hp:// [ci ]. 7. PcGive dosupné z: hp:// [ci ]. 8. VESELÁ J. Burzy a burzovní obchody výchozí exy ke sudiu.. vydání. Praha: Oeconomica s. ISBN Wikipedia dosupné z: hp://en.wikipedia.org/ [ci ]. 0. Wikipedie dosupné z: hp://cs.wikipedia.org/ [ci ]. Článek vznikl s podporou projeku IGA F4/6/0 Modely operačního a finančního managemenu.