z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

Transkript

1 KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. Dělení (předpokládáme, že v 0) z v = a + bi c + di = a + bi c + di.c di c di ac + bd bc ad = + c 2 + d2 c 2 + d i. 2 Absolutní hodnota komplexního čísla z = a + bi = a 2 + b 2. 1

2 Goniometrický tvar komplexního čísla kde ϕ 0, 2π) takový, že z = a + bi = z (cos ϕ + i sin ϕ), cos ϕ = a z, sin ϕ = b z. Moivreova věta - umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru Je-li z = a + bi = z (cos ϕ + i sin ϕ), potom z n = (a + bi) n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). Důsledek Moivreovy věty - n-té odmocniny komplexního čísla Je-li z = z (cos ϕ + i sin ϕ), potom n-odmocninou n z z komplexního čísla z určujeme jako x k+1 = n z kde k = 0, 1,..., n 1. ( cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ ), n 2

3 POLYNOMY Necht C je těleso komplexních čísel, necht a 0, a 1,..., a n C, a 0 0. Funkce p: C C definovaná předpisem p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n se nazývá polynom (mnohočlen) stupně n. Píšeme st(p) = n. Čísla a 0, a 1,..., a n se nazývají koeficienty polynomu p. Jestliže pro každé i = 0, 1,..., n je a i R, kde R označuje těleso reálných čísel, potom mluvíme o polynomu s reálnými koeficienty. Jestliže a i = 0 pro každé i, potom p(x) = 0 se nazývá nulový polynom. (Pro nulový polynom není stupeň definován.) Číslo c C se nazývá kořen polynomu p(x), jestliže p(c) = 0. Věta: (Základní věta algebry) Každý polynom stupně alespoň 1 má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Základní operace s polynomy jsou sčítání, odčítání, násobení, dělení. Pokud polynom p(x) je polynom stupně n a polynom q(x) je polynom stupně m, pak pro stupně výsledných polynomů po provedení jednotlivých operací platí následující vztahy: st(p + q) max{st(p), st(q)} = max{n, m}, st(p q) max{st(p), st(q)} = max{n, m}, st(p.q) = st(p) + st(q) = n + m, st(p : q) = st(p) st(q) = n m. 3

4 Věta: (věta o dělení polynomů se zbytkem) Jestliže a(x), b(x) jsou polynomy (s komplexními koeficienty), polynom b(x) je nenulový, potom existují a jsou jednoznačně určeny polynomy q(x) a r(x) takové, že a(x) = b(x).q(x) + r(x), kde st(r) < st(b) nebo r(x) = 0. Uvažujme nyní polynom b(x) prvního stupně, a to speciálního tvaru b(x) = x c, kde c C. Potom existují a jsou jednoznačně určeny polynomy q(x), r(x) tak, že a(x) = (x c) q(x) + r(x), kde st(r) < st(x c) = 1 nebo r = 0. Tedy zbytek je roven konstantě: r(x) = r C. Dosadíme-li za nezávisle proměnnou x číslo c, získáme a(c) = (c c)q(c) + r = r, neboli zbytkem při tomto dělení polynomů je právě funkční hodnota polynomu a(c) v bodě c C. Tedy a(x) = (x c) q(x) + a(c). Odsud vidíme, že číslo c C je kořen polynomu a(x) právě tehdy, když polynom a(x) lze dělit polynomem x c beze zbytku. Tím jsme dokázali následující větu. Věta: (dělení polynomu kořenovým činitelem) Je-li c C kořen polynomu a(x), potom platí kde st(q) = st(a) 1. a(x) = (x c) q(x), Použijme nyní opakovaně Základní větu algebry a větu o dělení polynomu kořenovým činitelem na polynom a(x) stupně n: vezměme c 1 C kořen polynomu a(x), potom a(x) = (x c 1 )q 1 (x), kde st(q 1 ) = n 1, vezměme c 2 C kořen polynomu q 1 (x), potom q 1 (x) = (x c 2 )q 2 (x), kde st(q 2 ) = n 2, 4

5 vezměme c 3 C kořen polynomu q 2 (x), potom q 2 (x) = (x c 3 )q 3 (x), kde st(q 3 ) = n 3, atd. vezměme c n C kořen polynomu q n 1 (x), potom q n 1 (x) = (x c n )q n (x), kde st(q n ) = n n = 0. Tedy polynom a(x) lze zapsat ve tvaru a(x) = (x c 1 )(x c 2 )(x c 3 ) (x c n )q n. Přitom tentýž polynom a(x) lze vyjádřit pomocí jeho koeficientů jako a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n. Z porovnání koeficientů u nejvyšší mocniny x n je vidět, že a 0 = q n. Tím je dokázáno tvrzení následující věty. Věta: (rozklad polynomu na kořenové činitele) Každý polynom stupně n (n 1) (s komplexními koeficienty) a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n lze v komplexním oboru vyjádřit ve tvaru a(x) = a 0 (x c 1 )(x c 2 )... (x c n ), kde c 1, c 2,..., c n C jsou kořeny polynomu a(x). Tento zápis polynomu se nazývá rozklad polynomu na kořenové činitele. Je zřejmé, že pro všechny koeficienty polynomu lze určit vztahy, které je vyjadřují pomocí kořenů tohoto polynomu. Tyto vztahy jsou známy jako Viètovy vzorce. V následující větě uvedeme alespoň dva. Věta: (vybrané Viètovy vzorce) Jestliže a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n je polynom stupně n s komplexními koeficienty, jestliže jsou c 1, c 2,..., c n C kořeny tohoto polynomu, potom a n = ( 1) n a 0 c 1 c 2 c n, a 1 = a 0 (c 1 + c c n ). 5

6 Věta: (komplexní kořeny reálných polynomů) Je-li číslo c C kořenem polynomu a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n s reálnými koeficienty, potom také číslo komplexně sdružené c C je kořenem polynomu a(x). Tato věta vlastně říká, že pokud je polynom a(x) stupně n polynom pouze s reálnými koeficienty, potom všechny komplexní kořeny se vyskytují po dvojicích (vždy s kořenem komplexně sdruženým, který má i tutěž násobnost). Důsledek: Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Reálný rozklad polynomu. Jestliže v rozkladu polynomu na kořenové činitele roznásobíme každé dva kořenové činitele, které odpovídají dvojici komplexně sdružených kořenů, získáme reálný rozklad polynomu. V tomto rozkladu se kromě kořenových činitelů pro reálné kořeny vyskytují ještě kvadratické členy pro dvojice kořenů komplexně sdružených. Hornerovo schéma Dělení polynomu a(x) polynomem x c lze jednoduše zapsat do tabulky. Tento způsob dělení polynomu polynomem x c bývá nazýván Hornerovo schéma. Označme a(x) = (x c)q(x) + r, kde a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n, q(x) = q 0 x n 1 + q 1 x n q n 2 x + q n 1. Dělení polynomů lze zapsat do tabulky takto: a 0 a 1 a 2 a 3 a n 1 a n c q 0 c q 1 c q 2 c q n 2 c q n 1 c q 0 q 1 q 2 q 3 q n 1 r 6

7 Příklad: (viz skripta LA) Určeme rozklad na kořenové činitele a reálný rozklad polynomů 1. a(x) = x 5 23x x x 120, 2. p(x) = x 7 + 5x 6 + 5x 5 + x 4 + 7x 3 13x 2 + 3x 9. Řešení 1. Protože a(1) = 36, a( 1) = 144, čísla 1 a 1 nejsou kořeny polynomu a(x). Zkusíme další dělitele čísla čísla 2 a 2. Dělíme pomocí Hornerova schématu Tím a(x) = (x 2)(x 2)(x+2)(x 2 +2x 15). Poslední dva kořeny polynomu jsou c 4 = 3 a c 5 = 5. Protože všechny kořeny tohoto polynomu jsou reálné, je reálný rozklad polynomu stejný jako rozklad na kořenové činitele a(x) = (x 2) 2 (x + 2)(x 3)(x + 5). 2. U polynomu p(x) odhadneme jednoduchý kořen c 1 = 1 a dvojnásobný kořen c 2,3 = 3 a vydělíme pomocí Hornerova schématu. Tím získáme p(x) = (x 1)(x + 3) 2 (x 4 + 2x 2 + 1) = (x 1)(x + 3) 2 (x 2 + 1) 2, což je reálný rozklad polynomu p(x), nebot kvadratický trojčlen x 2 +1 má pouze komplexní kořeny c 4,5 = ±i. Rozklad polynomu p(x) na kořenové činitele je ve tvaru p(x) = (x 1)(x + 3) 2 (x i) 2 (x + i) 2. 7

8 VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY MATICE, JORDANŮV KANONICKÝ TVAR Necht A je čtvercová matice řádu n. Číslo λ se nazývá vlastní číslo, příp. charakteristické číslo matice A, pokud existuje nenulový vektor x R n tak, že platí A.x = λx. Je-li λ 0 vlastní číslo matice A, potom nenulový vektor h R n takový, že λ 0 h = A.h, se nazývá vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ 0. Množina všech vlastních čísel matice A se nazývá spektrum matice A a značí se σ(a). Necht A je čtvercová matice řádu n. Polynom ϕ(λ) = det(λi A) se nazývá charakteristický polynom matice A. Vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu ϕ(λ) = det(λi A). Jestliže λ 0 je vlastní číslo matice A, potom vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ 0 jsou nenulová řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic (λ 0 I A)x = 0. 8

9 Věta: (lineární nezávislost vlastních vektorů) Necht A je čtvercová matice řádu n. Jestliže ke každému z navzájem různých vlastních čísel λ i matice A vybereme vlastní vektor h i, potom jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Řekneme, že čtvercové matice A, B řádu n jsou podobné matice, jestliže existuje regulární matice T řádu n taková, že A = TBT 1. Poznámka: Pokud platí pro matice A, B vztah A = TBT 1, lze tuto rovnost zleva vynásobit inverzní maticí T 1 k matici T a zprava samotnou maticí T. Tím dostaneme rovnost B = T 1 AT = T 1 A(T 1 ) 1, která ukazuje, že vztah podobnosti matic je symetrický. Věta: (vlastní čísla podobných matic) Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy, a tedy i stejná vlastní čísla. Poznámka: Implikaci ve větě o vlastních číslech podobných matic nelze obrátit, t.j. jestliže dvě matice mají stejné charakteristické polynomy, nemusí to být podobné [ ] matice. Jako příklad [ můžeme ] uvažovat jednotkovou matici I = řádu 2 a matici A =. Charakteristické polynomy těchto matic jsou stejné: ϕ I (λ) = det(λi I) = (λ 1) 2, ϕ A (λ) = det(λi A) = (λ 1) 2. Ale přesto nejsou tyto matice podobné, protože pro každou regulární matici T řádu 2 je TIT 1 = TT 1 = I, neboli jednotková matice I je podobná pouze sama se sebou. Necht L je lineární vektorový prostor. Potom lineární zobrazení prostoru L do sebe, t.j. do stejného prostoru L, se nazývá lineární operátor. 9

10 Maticí A lineárního operátoru L v bázi f 1, f 2,..., f n prostoru L rozumíme matici lineárního zobrazení L: L L, kde v prostoru L je zvolena báze f 1, f 2,..., f n (a to jak prostoru vzorů, tak i prostoru obrazů ). Matice A operátoru L se tedy skládá po sloupcích z vektorů L(f 1 ), L(f 2 ),..., L(f n ), kde pro každé i = 1, 2,..., n jsou vektory L(f i ) souřadnicové vektory prvku L(f i ) v bázi f 1, f 2,..., f n. Pokud v tomtéž prostoru L zvolíme jinou bázi g 1, g 2,..., g n, bude matice téhož lineárního operátoru L: L L v bázi g 1, g 2,..., g n jiná, označme ji B. Zajímá nás, jaký je vztah mezi maticemi A a B? Věta: (matice lineárního operátoru v různých bázích) Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem T, necht L je lineární operátor, L: L L. Jestliže A je matice lineárního operátoru L v bázi f 1, f 2,..., f n prostoru L, jestliže B je matice téhož lineárního operátoru L v bázi g 1, g 2,..., g n prostoru L, potom matice A, B jsou podobné matice Právě formulovaná věta umožňuje mluvit o vlastních číslech operátoru L, nebot lze užít matici operátoru L v libovolné bázi a určit její vlastní čísla. Pokud bychom uvažovali matici operátoru L v jiné bázi, potom tato matice bude jiná, ale podle právě formulované věty jsou obě matice lineárního operátoru podobné, tedy musí mít stejné charakteristické polynomy, a proto i stejná vlastní čísla. Věta: (podobnost matic A a J ) Necht čtvercová matice A řádu n má navzájem různá vlastní čísla λ 1, λ 2,..., λ n. Ke každému vlastnímu číslu λ i zvolme vlastní vektor h i. Potom A = TJT 1, kde matice J = diag[λ 1, λ 2,..., λ n ] a matice T se skládá ze sloupců h 1, h 2,..., h n, tj. z příslušných vlastních vektorů. Matice J se nazývá Jordanův kanonický tvar matice A, ve výše uvedené větě byla sestavena pro jednoduchá vlastní čísla. 10

11 Poznámka: V Jordanově matici J lze na diagonále zvolit pořadí vlastních čísel libovolně, ale této volbě musí potom odpovídat skládání vlastních vektorů v matici T. Protože matice T je regulární, je matice A singulární právě tehdy, když je singulární Jordanova matice J, což nastane právě tehdy, když matice A má vlastní číslo nula 0. Věta: (diagonální Jordanův kanonický tvar matice) Čtvercová matice A řádu n je podobná diagonální matici J právě tehdy, když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů. Na následujícím příkladu (viz skripta LA) ukážeme, jak vypadá Jordanova kanonická matice, pokud neexistuje tolik lineárně nezávislých vlastních vektorů, jaký je řád matice. Určeme Jordanovu kanonický tvar J a matici podobnosti T matice A = Nejdříve určíme vlastní čísla matice A: det(λi A) = (λ 10)(λ 1) 2. Matice A má jednoduché vlastní číslo λ 1 = 10 a dvojnásobné vlastní číslo λ 2,3 = 1. Pro vlastní číslo λ 1 = 10 je vlastním vektorem libovolný nenulový násobek vektoru h 1 = [0, 2, 1] T. Pro dvojnásobné vlastní číslo λ 2,3 = 1 hledáme vlastní vektory jako nenulová řešení soustavy (1I A)x = 0 : [(1I A) 0] = Nalezneme tedy pouze jeden lineárně nezávislý vlastní vektor příslušný dvojnásobnému vlastnímu číslu λ 2,3 = 1. Vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu λ 2,3 = 1 je libovolný nenulový násobek vektoru h 2 = [ 1, 2, 1] T. Jordanova matice J není diagonální, protože nemáme tři, ale pouze dva lineárně nezávislé vlastní vektory.. 11

12 Vezmeme-li Jordanovu matici ve tvaru J = , potom potřebujeme najít matici T tak, aby A = TJT 1. Tuto rovnost lze přepsat jako AT = TJ. Jestliže se matice T bude skládat ze sloupců h 1, h 2, h 3, potom pro tyto sloupce musí platit Ah 1 = 10h 1, (10I A)h 1 = 0, tedy Ah 2 = 1h 2, (1I A)h 2 = 0, Ah 3 = h 2 + 1h 3, (1I A)h 3 = h 2. Vektor h 1 je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 1 = 10, tedy např. h 1 = [0, 2, 1] T. Vektor h 2 je vlastní vektor příslušný dvojnásobnému vlastnímu číslu λ 2,3 = 1, tedy např. h 2 = [ 1, 2, 1] T. Vektor h 3 je řešením nehomogenní soustavy rovnic s maticí (1I A) a pravou stranou h 2, je to tzv. zobecněný vlastní vektor. [1I A h 2 ] = Vektor h 3 je např. h 3 = [0, 1, 0] T (nehomogenní soustava má nekonečně mnoho řešení, my jedno libovolně vybereme). Matice T je potom matice T = Všimněte si, že matice T je regulární a platí A = TJT 1. Úvahy z příkladu zobecňuje následující definice. Necht A je čtvercová matice řádu n, necht λ je vlastní číslo matice A. Uspořádaná k-tice vektorů h 1, h 2,..., h k se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů matice A příslušný vlastnímu číslu λ, jestliže platí 12

13 (λi A)h 1 = 0, h 1 0, (λi A)h 2 = h 1, (λi A)h 3 = h 2,... (λi A)h k = h k 1. Vektor h 1 je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ, pro každé j = 2, 3,..., k se vektor h j nazývá j-tý zobecněný vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ. Počet vektorů v řetězci, t.j. číslo k, se nazývá délka řetězce. Obecně pro vícenásobná vlastní čísla musíme vždy určit počet tzv. Jordanových bloků (či Jordanových polí), která přísluší tomuto vlastnímu číslu. Počet Jordanových bloků k vlastnímu číslu λ i matice A je rozdíl n hod(λ i I A), kde n je řád matice A a hodnost matice λ i I A jsme již určili při hledání vlastních vektorů k vlastnímu číslu λ i. Jordanův blok velikosti k je část matice o k řádcích a k sloupcích, kde vlastní číslo vyplní hlavní diagonálu a první rovnoběžka nad ní je vyplněna jedničkami, ostatní prvky jsou nulové: J k = λ i λ i λ i λ i λ i V matici J pak na diagonálu skládáme právě Jordanovy bloky. (Jednonásobným vlastním číslům přísluší vždy Jordanovy bloky velikosti 1, což odpovídá tomu, co již bylo řečeno dříve.) 13