z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i."

Transkript

1 KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. Dělení (předpokládáme, že v 0) z v = a + bi c + di = a + bi c + di.c di c di ac + bd bc ad = + c 2 + d2 c 2 + d i. 2 Absolutní hodnota komplexního čísla z = a + bi = a 2 + b 2. 1

2 Goniometrický tvar komplexního čísla kde ϕ 0, 2π) takový, že z = a + bi = z (cos ϕ + i sin ϕ), cos ϕ = a z, sin ϕ = b z. Moivreova věta - umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru Je-li z = a + bi = z (cos ϕ + i sin ϕ), potom z n = (a + bi) n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). Důsledek Moivreovy věty - n-té odmocniny komplexního čísla Je-li z = z (cos ϕ + i sin ϕ), potom n-odmocninou n z z komplexního čísla z určujeme jako x k+1 = n z kde k = 0, 1,..., n 1. ( cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ ), n 2

3 POLYNOMY Necht C je těleso komplexních čísel, necht a 0, a 1,..., a n C, a 0 0. Funkce p: C C definovaná předpisem p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n se nazývá polynom (mnohočlen) stupně n. Píšeme st(p) = n. Čísla a 0, a 1,..., a n se nazývají koeficienty polynomu p. Jestliže pro každé i = 0, 1,..., n je a i R, kde R označuje těleso reálných čísel, potom mluvíme o polynomu s reálnými koeficienty. Jestliže a i = 0 pro každé i, potom p(x) = 0 se nazývá nulový polynom. (Pro nulový polynom není stupeň definován.) Číslo c C se nazývá kořen polynomu p(x), jestliže p(c) = 0. Věta: (Základní věta algebry) Každý polynom stupně alespoň 1 má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Základní operace s polynomy jsou sčítání, odčítání, násobení, dělení. Pokud polynom p(x) je polynom stupně n a polynom q(x) je polynom stupně m, pak pro stupně výsledných polynomů po provedení jednotlivých operací platí následující vztahy: st(p + q) max{st(p), st(q)} = max{n, m}, st(p q) max{st(p), st(q)} = max{n, m}, st(p.q) = st(p) + st(q) = n + m, st(p : q) = st(p) st(q) = n m. 3

4 Věta: (věta o dělení polynomů se zbytkem) Jestliže a(x), b(x) jsou polynomy (s komplexními koeficienty), polynom b(x) je nenulový, potom existují a jsou jednoznačně určeny polynomy q(x) a r(x) takové, že a(x) = b(x).q(x) + r(x), kde st(r) < st(b) nebo r(x) = 0. Uvažujme nyní polynom b(x) prvního stupně, a to speciálního tvaru b(x) = x c, kde c C. Potom existují a jsou jednoznačně určeny polynomy q(x), r(x) tak, že a(x) = (x c) q(x) + r(x), kde st(r) < st(x c) = 1 nebo r = 0. Tedy zbytek je roven konstantě: r(x) = r C. Dosadíme-li za nezávisle proměnnou x číslo c, získáme a(c) = (c c)q(c) + r = r, neboli zbytkem při tomto dělení polynomů je právě funkční hodnota polynomu a(c) v bodě c C. Tedy a(x) = (x c) q(x) + a(c). Odsud vidíme, že číslo c C je kořen polynomu a(x) právě tehdy, když polynom a(x) lze dělit polynomem x c beze zbytku. Tím jsme dokázali následující větu. Věta: (dělení polynomu kořenovým činitelem) Je-li c C kořen polynomu a(x), potom platí kde st(q) = st(a) 1. a(x) = (x c) q(x), Použijme nyní opakovaně Základní větu algebry a větu o dělení polynomu kořenovým činitelem na polynom a(x) stupně n: vezměme c 1 C kořen polynomu a(x), potom a(x) = (x c 1 )q 1 (x), kde st(q 1 ) = n 1, vezměme c 2 C kořen polynomu q 1 (x), potom q 1 (x) = (x c 2 )q 2 (x), kde st(q 2 ) = n 2, 4

5 vezměme c 3 C kořen polynomu q 2 (x), potom q 2 (x) = (x c 3 )q 3 (x), kde st(q 3 ) = n 3, atd. vezměme c n C kořen polynomu q n 1 (x), potom q n 1 (x) = (x c n )q n (x), kde st(q n ) = n n = 0. Tedy polynom a(x) lze zapsat ve tvaru a(x) = (x c 1 )(x c 2 )(x c 3 ) (x c n )q n. Přitom tentýž polynom a(x) lze vyjádřit pomocí jeho koeficientů jako a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n. Z porovnání koeficientů u nejvyšší mocniny x n je vidět, že a 0 = q n. Tím je dokázáno tvrzení následující věty. Věta: (rozklad polynomu na kořenové činitele) Každý polynom stupně n (n 1) (s komplexními koeficienty) a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n lze v komplexním oboru vyjádřit ve tvaru a(x) = a 0 (x c 1 )(x c 2 )... (x c n ), kde c 1, c 2,..., c n C jsou kořeny polynomu a(x). Tento zápis polynomu se nazývá rozklad polynomu na kořenové činitele. Je zřejmé, že pro všechny koeficienty polynomu lze určit vztahy, které je vyjadřují pomocí kořenů tohoto polynomu. Tyto vztahy jsou známy jako Viètovy vzorce. V následující větě uvedeme alespoň dva. Věta: (vybrané Viètovy vzorce) Jestliže a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n je polynom stupně n s komplexními koeficienty, jestliže jsou c 1, c 2,..., c n C kořeny tohoto polynomu, potom a n = ( 1) n a 0 c 1 c 2 c n, a 1 = a 0 (c 1 + c c n ). 5

6 Věta: (komplexní kořeny reálných polynomů) Je-li číslo c C kořenem polynomu a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n s reálnými koeficienty, potom také číslo komplexně sdružené c C je kořenem polynomu a(x). Tato věta vlastně říká, že pokud je polynom a(x) stupně n polynom pouze s reálnými koeficienty, potom všechny komplexní kořeny se vyskytují po dvojicích (vždy s kořenem komplexně sdruženým, který má i tutěž násobnost). Důsledek: Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen. Reálný rozklad polynomu. Jestliže v rozkladu polynomu na kořenové činitele roznásobíme každé dva kořenové činitele, které odpovídají dvojici komplexně sdružených kořenů, získáme reálný rozklad polynomu. V tomto rozkladu se kromě kořenových činitelů pro reálné kořeny vyskytují ještě kvadratické členy pro dvojice kořenů komplexně sdružených. Hornerovo schéma Dělení polynomu a(x) polynomem x c lze jednoduše zapsat do tabulky. Tento způsob dělení polynomu polynomem x c bývá nazýván Hornerovo schéma. Označme a(x) = (x c)q(x) + r, kde a(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n, q(x) = q 0 x n 1 + q 1 x n q n 2 x + q n 1. Dělení polynomů lze zapsat do tabulky takto: a 0 a 1 a 2 a 3 a n 1 a n c q 0 c q 1 c q 2 c q n 2 c q n 1 c q 0 q 1 q 2 q 3 q n 1 r 6

7 Příklad: (viz skripta LA) Určeme rozklad na kořenové činitele a reálný rozklad polynomů 1. a(x) = x 5 23x x x 120, 2. p(x) = x 7 + 5x 6 + 5x 5 + x 4 + 7x 3 13x 2 + 3x 9. Řešení 1. Protože a(1) = 36, a( 1) = 144, čísla 1 a 1 nejsou kořeny polynomu a(x). Zkusíme další dělitele čísla čísla 2 a 2. Dělíme pomocí Hornerova schématu Tím a(x) = (x 2)(x 2)(x+2)(x 2 +2x 15). Poslední dva kořeny polynomu jsou c 4 = 3 a c 5 = 5. Protože všechny kořeny tohoto polynomu jsou reálné, je reálný rozklad polynomu stejný jako rozklad na kořenové činitele a(x) = (x 2) 2 (x + 2)(x 3)(x + 5). 2. U polynomu p(x) odhadneme jednoduchý kořen c 1 = 1 a dvojnásobný kořen c 2,3 = 3 a vydělíme pomocí Hornerova schématu. Tím získáme p(x) = (x 1)(x + 3) 2 (x 4 + 2x 2 + 1) = (x 1)(x + 3) 2 (x 2 + 1) 2, což je reálný rozklad polynomu p(x), nebot kvadratický trojčlen x 2 +1 má pouze komplexní kořeny c 4,5 = ±i. Rozklad polynomu p(x) na kořenové činitele je ve tvaru p(x) = (x 1)(x + 3) 2 (x i) 2 (x + i) 2. 7

8 VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY MATICE, JORDANŮV KANONICKÝ TVAR Necht A je čtvercová matice řádu n. Číslo λ se nazývá vlastní číslo, příp. charakteristické číslo matice A, pokud existuje nenulový vektor x R n tak, že platí A.x = λx. Je-li λ 0 vlastní číslo matice A, potom nenulový vektor h R n takový, že λ 0 h = A.h, se nazývá vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ 0. Množina všech vlastních čísel matice A se nazývá spektrum matice A a značí se σ(a). Necht A je čtvercová matice řádu n. Polynom ϕ(λ) = det(λi A) se nazývá charakteristický polynom matice A. Vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu ϕ(λ) = det(λi A). Jestliže λ 0 je vlastní číslo matice A, potom vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu λ 0 jsou nenulová řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic (λ 0 I A)x = 0. 8

9 Věta: (lineární nezávislost vlastních vektorů) Necht A je čtvercová matice řádu n. Jestliže ke každému z navzájem různých vlastních čísel λ i matice A vybereme vlastní vektor h i, potom jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Řekneme, že čtvercové matice A, B řádu n jsou podobné matice, jestliže existuje regulární matice T řádu n taková, že A = TBT 1. Poznámka: Pokud platí pro matice A, B vztah A = TBT 1, lze tuto rovnost zleva vynásobit inverzní maticí T 1 k matici T a zprava samotnou maticí T. Tím dostaneme rovnost B = T 1 AT = T 1 A(T 1 ) 1, která ukazuje, že vztah podobnosti matic je symetrický. Věta: (vlastní čísla podobných matic) Podobné matice mají stejné charakteristické polynomy, a tedy i stejná vlastní čísla. Poznámka: Implikaci ve větě o vlastních číslech podobných matic nelze obrátit, t.j. jestliže dvě matice mají stejné charakteristické polynomy, nemusí to být podobné [ ] matice. Jako příklad [ můžeme ] uvažovat jednotkovou matici I = řádu 2 a matici A =. Charakteristické polynomy těchto matic jsou stejné: ϕ I (λ) = det(λi I) = (λ 1) 2, ϕ A (λ) = det(λi A) = (λ 1) 2. Ale přesto nejsou tyto matice podobné, protože pro každou regulární matici T řádu 2 je TIT 1 = TT 1 = I, neboli jednotková matice I je podobná pouze sama se sebou. Necht L je lineární vektorový prostor. Potom lineární zobrazení prostoru L do sebe, t.j. do stejného prostoru L, se nazývá lineární operátor. 9

10 Maticí A lineárního operátoru L v bázi f 1, f 2,..., f n prostoru L rozumíme matici lineárního zobrazení L: L L, kde v prostoru L je zvolena báze f 1, f 2,..., f n (a to jak prostoru vzorů, tak i prostoru obrazů ). Matice A operátoru L se tedy skládá po sloupcích z vektorů L(f 1 ), L(f 2 ),..., L(f n ), kde pro každé i = 1, 2,..., n jsou vektory L(f i ) souřadnicové vektory prvku L(f i ) v bázi f 1, f 2,..., f n. Pokud v tomtéž prostoru L zvolíme jinou bázi g 1, g 2,..., g n, bude matice téhož lineárního operátoru L: L L v bázi g 1, g 2,..., g n jiná, označme ji B. Zajímá nás, jaký je vztah mezi maticemi A a B? Věta: (matice lineárního operátoru v různých bázích) Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem T, necht L je lineární operátor, L: L L. Jestliže A je matice lineárního operátoru L v bázi f 1, f 2,..., f n prostoru L, jestliže B je matice téhož lineárního operátoru L v bázi g 1, g 2,..., g n prostoru L, potom matice A, B jsou podobné matice Právě formulovaná věta umožňuje mluvit o vlastních číslech operátoru L, nebot lze užít matici operátoru L v libovolné bázi a určit její vlastní čísla. Pokud bychom uvažovali matici operátoru L v jiné bázi, potom tato matice bude jiná, ale podle právě formulované věty jsou obě matice lineárního operátoru podobné, tedy musí mít stejné charakteristické polynomy, a proto i stejná vlastní čísla. Věta: (podobnost matic A a J ) Necht čtvercová matice A řádu n má navzájem různá vlastní čísla λ 1, λ 2,..., λ n. Ke každému vlastnímu číslu λ i zvolme vlastní vektor h i. Potom A = TJT 1, kde matice J = diag[λ 1, λ 2,..., λ n ] a matice T se skládá ze sloupců h 1, h 2,..., h n, tj. z příslušných vlastních vektorů. Matice J se nazývá Jordanův kanonický tvar matice A, ve výše uvedené větě byla sestavena pro jednoduchá vlastní čísla. 10

11 Poznámka: V Jordanově matici J lze na diagonále zvolit pořadí vlastních čísel libovolně, ale této volbě musí potom odpovídat skládání vlastních vektorů v matici T. Protože matice T je regulární, je matice A singulární právě tehdy, když je singulární Jordanova matice J, což nastane právě tehdy, když matice A má vlastní číslo nula 0. Věta: (diagonální Jordanův kanonický tvar matice) Čtvercová matice A řádu n je podobná diagonální matici J právě tehdy, když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů. Na následujícím příkladu (viz skripta LA) ukážeme, jak vypadá Jordanova kanonická matice, pokud neexistuje tolik lineárně nezávislých vlastních vektorů, jaký je řád matice. Určeme Jordanovu kanonický tvar J a matici podobnosti T matice A = Nejdříve určíme vlastní čísla matice A: det(λi A) = (λ 10)(λ 1) 2. Matice A má jednoduché vlastní číslo λ 1 = 10 a dvojnásobné vlastní číslo λ 2,3 = 1. Pro vlastní číslo λ 1 = 10 je vlastním vektorem libovolný nenulový násobek vektoru h 1 = [0, 2, 1] T. Pro dvojnásobné vlastní číslo λ 2,3 = 1 hledáme vlastní vektory jako nenulová řešení soustavy (1I A)x = 0 : [(1I A) 0] = Nalezneme tedy pouze jeden lineárně nezávislý vlastní vektor příslušný dvojnásobnému vlastnímu číslu λ 2,3 = 1. Vlastním vektorem příslušným vlastnímu číslu λ 2,3 = 1 je libovolný nenulový násobek vektoru h 2 = [ 1, 2, 1] T. Jordanova matice J není diagonální, protože nemáme tři, ale pouze dva lineárně nezávislé vlastní vektory.. 11

12 Vezmeme-li Jordanovu matici ve tvaru J = , potom potřebujeme najít matici T tak, aby A = TJT 1. Tuto rovnost lze přepsat jako AT = TJ. Jestliže se matice T bude skládat ze sloupců h 1, h 2, h 3, potom pro tyto sloupce musí platit Ah 1 = 10h 1, (10I A)h 1 = 0, tedy Ah 2 = 1h 2, (1I A)h 2 = 0, Ah 3 = h 2 + 1h 3, (1I A)h 3 = h 2. Vektor h 1 je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 1 = 10, tedy např. h 1 = [0, 2, 1] T. Vektor h 2 je vlastní vektor příslušný dvojnásobnému vlastnímu číslu λ 2,3 = 1, tedy např. h 2 = [ 1, 2, 1] T. Vektor h 3 je řešením nehomogenní soustavy rovnic s maticí (1I A) a pravou stranou h 2, je to tzv. zobecněný vlastní vektor. [1I A h 2 ] = Vektor h 3 je např. h 3 = [0, 1, 0] T (nehomogenní soustava má nekonečně mnoho řešení, my jedno libovolně vybereme). Matice T je potom matice T = Všimněte si, že matice T je regulární a platí A = TJT 1. Úvahy z příkladu zobecňuje následující definice. Necht A je čtvercová matice řádu n, necht λ je vlastní číslo matice A. Uspořádaná k-tice vektorů h 1, h 2,..., h k se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů matice A příslušný vlastnímu číslu λ, jestliže platí 12

13 (λi A)h 1 = 0, h 1 0, (λi A)h 2 = h 1, (λi A)h 3 = h 2,... (λi A)h k = h k 1. Vektor h 1 je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ, pro každé j = 2, 3,..., k se vektor h j nazývá j-tý zobecněný vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ. Počet vektorů v řetězci, t.j. číslo k, se nazývá délka řetězce. Obecně pro vícenásobná vlastní čísla musíme vždy určit počet tzv. Jordanových bloků (či Jordanových polí), která přísluší tomuto vlastnímu číslu. Počet Jordanových bloků k vlastnímu číslu λ i matice A je rozdíl n hod(λ i I A), kde n je řád matice A a hodnost matice λ i I A jsme již určili při hledání vlastních vektorů k vlastnímu číslu λ i. Jordanův blok velikosti k je část matice o k řádcích a k sloupcích, kde vlastní číslo vyplní hlavní diagonálu a první rovnoběžka nad ní je vyplněna jedničkami, ostatní prvky jsou nulové: J k = λ i λ i λ i λ i λ i V matici J pak na diagonálu skládáme právě Jordanovy bloky. (Jednonásobným vlastním číslům přísluší vždy Jordanovy bloky velikosti 1, což odpovídá tomu, co již bylo řečeno dříve.) 13

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

1 Diference a diferenční rovnice

1 Diference a diferenční rovnice 1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Několik aplikací. Kapitola 12

Několik aplikací. Kapitola 12 Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů

Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Komplexní

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

(u, v) u. v. cos φ =

(u, v) u. v. cos φ = LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2 Robert Mařík 5. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 LDR druhého řádu 4 2 Homogenní LDR, lineární nezávislost a wronskián 9 3 Homogenní LDR s konstantními

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Lineární (ne)závislost

Lineární (ne)závislost Kapitola 6 Lineární (ne)závislost Také tuto kapitolu zahájíme základní definicí. Definice 6.1 Předpokládáme, že V je vektorový prostor nad tělesem T. Říkáme, že posloupnost vektorů x 1, x 2,..., x n prostoru

Více