Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
|
|
- Daniela Kovářová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie), výrokem již dokázaným nebo vznikl z předchozích členů posloupnosti pomocí definovaných odvozovacích pravidel. Důkaz výroku Φ: Důkaz, jehož posledním členem je Φ. Důkaz výroku Φ sporem:důkaz,jehožprvnímčlenemjevýrok Φavněmžsevyskytují výrokyθa Θ. Komentář: Velká řecká písmena označují libovolný správně utvořený výrok, symbol Φ označuje negaci výroku Φ. Axiomy: Výrokové logiky v1) Φ Ψ Φ) v2) Φ Ψ Θ) ) Φ Ψ) Φ Θ) ) v3) Φ Ψ) Φ Ψ) Φ ) v4) Φ Φ Modální logiky m1) Φ Ψ) Φ Ψ) m2) Φ Φ m3) Φ Φ m4) Φ Φ, Φ Φ Predikátové logiky p1) ξ)φ Φ p2) ξ)φ ξ) Φ, ξ)φ ξ) Φ Komentář: Symbol označuje implikaci. Pomocí implikace a negace jsou definovány další výrokovéspojky & konjunkce)a ekvivalence):φ & Ψjedefinovánajako Φ Ψ); Φ ΨjedefinovánajakoΦ Ψ) & Ψ Φ). Axiomyv1) v4) jsou axiomy klasického výrokového počtu. To znamený, že všechny výrokové tautologie lze dokázat a dokazatelný výrokneobsahující kvantifikátory ani modality) je tautologií. Modální symboly, resp., označují nutnost, resp. možnost. Axiomym1) m3) jsou axiomy modálního výrokového počtu S5. Druhá formule vm4) je důsledkem první a naopak; tyto formule vyjadřují vztah mezi nutností a možností. Podobně druhá formulep2) je důsledkem první a naopak; vyjadřují vztah mezi obecným a existenčním kvantifikátorem. Axiomp1) se nazývá axiom specifikace. Pokud se proměnná ξ ve formuli Φ vyskytuje, lze každý její výskyt v konsekventuna pravé straně implikace) nahradit libovolnou jinou proměnnou nebo konstantou. Keklasickémupredikátovémupočtupatříještěaxiomdistribucetj. ξ)φ Ψ) Φ ξ)ψ ) pokudproměnná ξneníveformuliφpodstatněvolná)aaxiomyrovnosti.axiomdistribuce nebudeme potřebovat, potřebné důsledky axiomů rovnosti jsou shrnuty v odvozovacím pravidle op3). 1
2 Odvozovací pravidla: op1) Φ Ψ,Φ Ψ. op2) Φ & Ψ Φ. Φ & Ψ Ψ. Φ,Ψ Φ & Ψ. op3) Je-li Φ Ψ dokazatelným výrokem, axiomem, postulátem nebo definicí, pak každý výskyt ΦlzenahraditΨ. op4) Φ Φ. op5) Φ ξ)φ. op6) ξ)φξ) Φα); přitom α je symbol, který se v důkazu dosud neobjevil. op7) ξ)φξ) Φα); přitom α je symbol, který se v důkazu objevil před výrokem ξ)φξ). Komentář:ZápisΦ 1,Φ 2... Ψ 1,Ψ 2,...vyjadřuje,ževýrokyΨ 1,Ψ 2,...lzeodvoditzvýroků Φ 1,Φ 2...,tj.ževýrokyΦ 1,Φ 2...jsouvdůkazupředvýrokyΨ 1,Ψ 2,.... Pravidloop1) je klasický modus ponens. Pravidlaop2) pro odvození pomocí konjunkce jsou důsledkemop1) a definice konjunkce. Pravidloop3) vyjadřuje substituci výroků. Pravidloop4) je odvozovacím pravidlem modálního výrokového počtu S5. Pravidloop5) je pravidlem generalizace klasického predikátového počtu. Proměnná ξ musí samozřejmě být ve výroku Φ volná. Pravidlaop6) aop7) jsou pravidly konkretizace. Jako cvičení dokážeme tři tvrzení, která budou v dalších úvahách potřebná. Důkazy zapisujeme pořádcích,každýřádekmásvéčísloajekněmupřipojenkomentář,kterýaxiomnebotvrzení bylo použito nebo z kterých řádků a jakého odvozovacího pravidla daný řádek plyne. Při použití pravidlaop3) je také uvedena použitá ekvivalence. Cv1 Φ Φ D.:1. Φ Φ m3) 2. Φ Φ 1.op3) a b b a 3. Φ Φ 2.op3)m4) 4. Φ Φ 3.op3)m4) 5. Φ Φ 4.op3) a a q.e.d. 2
3 Cv2 Φ Ψ) Φ Ψ) D.: 1. Φ Ψ) Φ Ψ) ) 2. Ψ Φ) Φ Φ) m1) 3.Φ Ψ) & Φ Ψ) 1.op3) a b) a & b 4. Φ Ψ) 3.op2) 5. Φ & Ψ 4.op3) a b) a & b 6. Φ 5.op2) 7. Ψ 5.op2) 8. Ψ 7.m4) 9.Φ Ψ 3.op2) 10. Ψ Φ 9.op3) a b b a 11. Ψ Φ) 10.op4) 12. Ψ Φ 2.11.op1) 13. Φ op1) 14. Φ 13.m4) 6.14.spor,q.e.d Cv3 Φξ) Ψ ) ζ)φζ) Ψ ) Φξ) ) ) D.: 1. ) Ψ ζ)φζ) Ψ 2. Φξ) Ψ ) & ζ)φζ) Ψ ) 1.op3) a b) a & b 3. ζ)φζ) Ψ ) 2.op2) 4. ζ)φζ) & Ψ 3.op3) a b) a & b 5. ζ)φζ) 4.op2) 6. Φα) 5.op6) 7. Ψ 4.op2) 8.Φξ) Ψ 2.op2) 9. Ψ Φξ) 8.op3) a b b a 10. Φξ) 7. 9.op1) 11. ξ) Φξ) 10.op5) 12. Φα) 11.op7) spor, q.e.d. 3
4 Gödelův systém: Abeceda:Objekty: a, b, c,...,x, y, z Vlastnostiobjektůunárnípredikáty): A, B, C,..., X, Y, Z Vztahy mezi vlastnostmi a objektybinární predikát): X Rel y ap. Vlastnosti vlastnostípredikáty druhého řádu): A, B, C,... Primitivní predikát druhého řádu: P Definice: Gx) X) PX) Xx) ) XEssa Xa) & Y) Ya) z) Xz) Yz) )) Na) X) XEssa x)xx) ) Postuláty:A1) PX) P X) A2) PX) & x) Xx) Yx) )) PY) A3) PX) PX) A4) PG) A5) PN) Komentář: Symboly z konce abecedy budou označovat proměnné, symboly ze začátku abecedy konstanty. Mlčkysepředpokládá,žepokud Xjevlastnost,paktaké Xjevlastnost;lzejichápatjako nepřítomnost vlastnosti X. Interpretacejedinéhopredikátudruhéhořádu P: PX) vlastnost Xjedobrá positive).[alternativně: vlastnost Xjeperfekcedokonalost), vlastnost Xjepotencionalitaschopnost).] Vlastnost Gjebožskost,vlastnost býtibohem.bůhjeten,kterýmávšechnydobrévlastnosti dokonalosti, potencionality). Vztah XEssxvyjadřuje,ževlastnost X jeessencíobjektu x.essencejetakovávlastnost, kterou objekt má, a každá jeho vlastnost je nutným důsledkem této essence. Vlastnost N lze interpretovat jako nutnou existenci, příčinu sebe samacausa sui). Objekt má tuto vlastnost, pokud má essenci a jeho bytí je nutným důsledkem této essence. PostulátyA1) A3) zavádějí používání primitivního predikátu P. Nepřítomnost dobré vlastnosti není dobrá, nutný důsledek dobré vlastnosti je dobrá vlastnost, dobrá vlastnost je nutně v každém možném světě) dobrá. Analogicky lze postuláty číst, pokud P interpretujeme jako perfekce nebo potencionality. PostulátA4) říká, že mít všechny dobré vlastnosti je dobré, postuláta5) vyjadřuje, že být nutněvdůsledkutoho,čímje,stručně býttím,čimje jedobrávlastnost. Při důkazech budeme používat nejen definice a postuláty, ale také jejich bezprostřední důsledky. Např. X) PX) Xa) ) Ga)jebezprostřednímdůsledkemdefinicevlastnosti G, P X) P X) je bezprostředním důsledkem postulátua1) a podobně. Gödelův systém je teorie v predikátovém počtu druhého řádu, tj. kvantifikujeme proměnné a vlastnostipredikáty prvního řádu), k němuž jsou přidány modální operace. Modality nutnosti a možnosti však budeme přiřazovat pouze formulím prvního řádu; odvozovací pravidloop4) budeme aplikovat pouze v případě, že formule Φ je prvního řádu.jinak řečeno, s modalitou nutnostipočítámejenna bezpečnépůdě logikyprvníhořádu.)jedinouvýjimkoujevyjádření nutné platnosti predikátu druhého řádu P explicitně vyjádřené v postulátua3). Pokud bychom připustili neomezené používání modálních operátorů a,a3) by nebyl nezávislým postulátem, ale důsledkem pravidlaop4).přesněji, negace postulátua3) by vedla ke sporu.) 4
5 T1 Věta PX) x)xx) Je-li nějaká vlastnost dobrá, může existovat objekt, který ji má.) D.: 1. PX) )Xx) ) 2. Xx) Xx) Xx) ) v1) 3. x) Xx) ) x) Xx) m2) 4. x) Xx) Xx) p1) 5. PX) P X) A1) 6. PX) & x) Xx) Xx) )) P X) A2) 7. PX) & x)xx) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 8. x)xx) 7.op2) 9. x)xx) 8.m4) 10. x) Xx) 9.p2) 11. x) Xx) op1) 12. Xx) op1) 13. Xx) Xx) 2.12.op1) 14. x) Xx) Xx) ) 13.op5) 15. x) Xx) Xx) ) 14.op4) 16. PX) 7.op2) 17. PX) & x) Xx) Xx) )) op2) 18. P X) op1) 19. P X) op1) spor, q.e.d. C1Důsledek x)gx) Je možné, že Bůh existuje.) D.: 1. PG) A4) 2. PG) x)gx) T1 3. x)gx) 1. 2.op1) q.e.d. 5
6 L1Lemma Gx) X) Xx) PX) ) Každá vlastnost, kterou Bůh má, je dobrá.) D.: 1. Gx) X) Xx) PX) )) 2. GX) X) PX) Xx) ) definice G 3. Gx) & X) Xx) PX) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 4. Gx) 3.op2) 5. X) Xx) PX) ) 3.op2) 6. X) Xx) PX) ) 5.p2) 7. X) Xx) & PX) ) 6.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 8. Ax) & PA) 7.op6) 9. Ax) 8.op2) 10. PA) 8.op2) 11. P A) P A) A1) 12. PA) P A) 11.op3) Φ Φ 13. P A) op1) 14. X) PX) Xx) ) 2.4.op1) 15. P A) Ax) 14.op7) 16. Ax) op1) spor, q.e.d. L2Lemma Gx) & Yx) PY) D.: 1. Gx) & Yx) PY) ) 2. PY) PY) A3) 3. Gx) X) Xx) PX) L1 4. Gx) & Yx) ) & PY) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 5. Gx) & Yx) 4.op2) 6. Gx) 5.op2) 7. X) Xx) PX) 3.6.op1) 8. Yx) PY) 7.op7) 9. Yx) 5.op2) 10. PY) 8.9.op1) 11. PY) 2.10.op1) 12. PY) 4.op2) spor, q.e.d. 6
7 L3Lemma Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) D.: 1. Gx) & Yx) z) Gz) Yz) )) 2. PY) PY) m2) 3. P Y) P Y) A1) 4. Gx) & Yx) PY) L2 5. Gx) & Yx) ) & z) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 6. Gx) & Yx) 5.op2) 7. z) Gz) Yz) ) 5.op2) 8. z) Gz) Yz) ) 7.p2) 9. z) Gz) & Yz) ) 8.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 10. Ga) & Ya) 9.op6) 11. Ga) 10.op2) 12. Ga) X) Xa) PX) ) L1 13. X) Xa) PX) ) op1) 14. Ya) P Y) 13.op7) 15. Ya) 10.op2) 16. P Y) op1) 17. P Y) 3.16.op1) 18. PY) 4.6.op1) 19. PY) 2.18.op1) 20. Py) 19.op3) Φ Φ spor, q.e.d. L4Lemma Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) D.: 1. Gx) & Yx) z)) Gz) Yz) )) 2. Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) L3 3. Gx) & Yx) ) & z)) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 4. Gx) & Yx) 3.op2) 5. z)) Gz) Yz) ) 3.op2) 6. z) Gz) Yz) ) 2.4.op1) 7. z)) Gz) Yz) ) 6.op4) 5.7.spor,q.e.d. 7
8 L5Lemma Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) )) D.: 1. Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) ))) 2. Gx) & Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 3. Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 2.op2) 4. Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 3.p2) 5. Ax) z) Gz) Az) ) 4.op6) 6. Ax) & z) Gz) Az) ) 5.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 7. z) Gz) Az) ) 6.op2) 8. Gx) & Ax) z) Gz) Az) ) L4 9. z) Gz) Az) ) Gx) & Ax) ) 8.op3)Φ Ψ Ψ Φ 10. Gx) & Ax) ) 7.9.op1) 11. Gx) 2.op2) 12. Ax) 6.op2) 13. Gx) & Ax) op2) spor, q.e.d. T2Věta Gx) GEssx Všechny vlastnosti Boha nutně plynou z jeho božství.) D.: 1. Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) )) L5 2. Gx) Gx) & Y) Yx) z) Gz) Yz) )) 1.op3)Φ Ψ Φ Φ & Ψ) 3. Gx) GEssx 2.op3)definicerelaceEss q.e.d. 8
9 L6 Lemma Gx) y)gy) Je-li Bůh myslitelný, pak nutně existuje.) D.: 1. Gx) y)gy) ) 2. PN) A5) 3. Gx) X) PX) Xx) ) definice G 4. Nx) X) XEssx y)xy) ) definice N 5. Gx) GEssx T2 6. Gx) & y)gy) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 7. Gx) 6.op2) 8. X) PX) Xx) ) 3.7.op1) 9. PN) Nx) 8.op7) 10. Nx) 2.9.op1) 11. X) XEssx y)xy) ) 4.10.op1) 12. GEssx y)gy) 11.op7) 13. GEssx 5.7.op1) 14. y)gy) op1) 15. y)gy) 6.op2) spor, q.e.d. T3Věta y)gy) Bůh existuje nutně.) D.: 1. z)gz) 2. Gx) y)gy) L6 3. y)gy) y)gy) Cv1 4. z)gz) y)gy) ) z)gz) y)gy) ) Cv2 5. Gx) y)gy) ) z)gz) y)gy) ) Cv3 6. z)gz) y)gy) C op1) 7. z)gz) y)gy) 4. 6.op1) 8. y)gy) 1. 7.op1) 9. y)gy) 3. 8.op1) q.e.d. 9
F3011 Fyzika, filozofie a myšlení. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Křest anský sbor Brno
Gödelův důkaz nutné existence Boha p. 1/10 F3011 Fyzika, filozofie a myšlení 24. října 2008 Gödelův důkaz nutné existence Boha Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VíceHilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VíceÚvod do výrokové a predikátové logiky
Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování
VíceLogika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceVýroková logika. Sémantika výrokové logiky
Výroková logika Výroková logika se zabývá vztahy mezi dále neanalyzovanými elementárními výroky. Nezabývá se smyslem těchto elementárních výroků, zkoumá pouze vztahy mezi nimi. Elementární výrok je takový
Víceλογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )
MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VícePredikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy
1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VíceZáklady matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
Více1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
Více6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,
VíceZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
VíceVýroková a predikátová logika - XI
Výroková a predikátová logika - XI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XI ZS 2014/2015 1 / 21 Další dokazovací systémy PL Hilbertovský kalkul
VíceBůh a logika. Od Descarta ke Gödelovi. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Ústav matematiky a statistiky
Bůh a logika Od Descarta ke Gödelovi Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Ústav matematiky a statistiky Křesťanský sbor Brno Seminář KMa PdF MU v Brně Středa 13. dubna 2016 Úvod
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
VíceDokazuje matematika existenci Boha? Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
Dokazuje matematika existenci Boha? Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Křesťanský sbor Brno Úvod Vznik matematiky Vytváření novověké matematiky
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2015/2016 1 / 22 Herbrandova věta Úvod Redukce nesplnitelnosti na
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceRovnost lze vyjádřit jako predikát, např. můžeme zvolit, že P(x, y) reprezentujetvrzení xjerovnoy.
Rovnost Jedním z nejdůležitějších druhů relací je rovnost(identita). Prvkyxayjsousirovny,cožzapisujeme x =y, jestližesejednáojedenatentýžprvek. Rovnost lze vyjádřit jako predikát, např. můžeme zvolit,
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceSINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.
Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je
VíceÚvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu
Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Vícevýrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VíceZáklady logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky 22. 4. 2015 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování,
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VícePredikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13
Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/28.0216 2013 1 / 13 Axiomatizace predikátové logiky Axiomatizace predikátové logiky Definice Hilbertovský
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. Obsah 1 Úvod do fuzzy logiky 2 Úvod do aplikací fuzzy logiky 3 Výroková
VíceMatematika pro informatiky KMA/MATA
Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast
VíceNegativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
Více7 Jemný úvod do Logiky
7 Jemný úvod do Logiky Základem přesného matematického vyjadřování je správné používání (matematické) logiky a logických úsudků. Logika jako filozofická discipĺına se intenzivně vyvíjí už od dob antiky,
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu
VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VícePo prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,
1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni
VíceLogika, výroky, množiny
Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.
VíceCvičení ke kursu Klasická logika II
Cvičení ke kursu Klasická logika II (12. května 2017) 1. Nechť P a Q jsou unární a R binární predikát. Dokažte, že následující formule jsou logicky platné, ale obrátíme-li (vnější) implikaci, ve všech
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
Více1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY
Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceI. Úvodní pojmy. Obsah
I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceObsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17
Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceÚvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
Víceverze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.
1 verze 29/9/09 Toto je prozatím definitivní verze provizorního textu o logice, aritmetice a množinách. věnováno Laskavým čtenářům a čtenářkám, kteří navštěvovali tyto přednášky. poděkování Za upozornění
VíceŘešení: Ano. Řešení: Ne.
1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je
Více10. Techniky formální verifikace a validace
Fakulta informačních technologií MI-NFA, zimní semestr 2011/2012 Jan Schmidt EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI 10. Techniky formální verifikace a validace 1 Simulace není
VíceEvropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti MI-SOC: 11 METODY VERIFIKACE SYSTÉMŮ NA ČIPU Hana Kubátov vá doc. Ing. Hana Kubátová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta 1 informačních
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceMatematická logika. Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou. Petr Cintula. Ústav informatiky Akademie věd České republiky
Matematická logika Lekce 1: Motivace a seznámení s klasickou výrokovou logikou Petr Cintula Ústav informatiky Akademie věd České republiky www.cs.cas.cz/cintula/mal Petr Cintula (ÚI AV ČR) Matematická
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více