Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha"

Transkript

1 Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie), výrokem již dokázaným nebo vznikl z předchozích členů posloupnosti pomocí definovaných odvozovacích pravidel. Důkaz výroku Φ: Důkaz, jehož posledním členem je Φ. Důkaz výroku Φ sporem:důkaz,jehožprvnímčlenemjevýrok Φavněmžsevyskytují výrokyθa Θ. Komentář: Velká řecká písmena označují libovolný správně utvořený výrok, symbol Φ označuje negaci výroku Φ. Axiomy: Výrokové logiky v1) Φ Ψ Φ) v2) Φ Ψ Θ) ) Φ Ψ) Φ Θ) ) v3) Φ Ψ) Φ Ψ) Φ ) v4) Φ Φ Modální logiky m1) Φ Ψ) Φ Ψ) m2) Φ Φ m3) Φ Φ m4) Φ Φ, Φ Φ Predikátové logiky p1) ξ)φ Φ p2) ξ)φ ξ) Φ, ξ)φ ξ) Φ Komentář: Symbol označuje implikaci. Pomocí implikace a negace jsou definovány další výrokovéspojky & konjunkce)a ekvivalence):φ & Ψjedefinovánajako Φ Ψ); Φ ΨjedefinovánajakoΦ Ψ) & Ψ Φ). Axiomyv1) v4) jsou axiomy klasického výrokového počtu. To znamený, že všechny výrokové tautologie lze dokázat a dokazatelný výrokneobsahující kvantifikátory ani modality) je tautologií. Modální symboly, resp., označují nutnost, resp. možnost. Axiomym1) m3) jsou axiomy modálního výrokového počtu S5. Druhá formule vm4) je důsledkem první a naopak; tyto formule vyjadřují vztah mezi nutností a možností. Podobně druhá formulep2) je důsledkem první a naopak; vyjadřují vztah mezi obecným a existenčním kvantifikátorem. Axiomp1) se nazývá axiom specifikace. Pokud se proměnná ξ ve formuli Φ vyskytuje, lze každý její výskyt v konsekventuna pravé straně implikace) nahradit libovolnou jinou proměnnou nebo konstantou. Keklasickémupredikátovémupočtupatříještěaxiomdistribucetj. ξ)φ Ψ) Φ ξ)ψ ) pokudproměnná ξneníveformuliφpodstatněvolná)aaxiomyrovnosti.axiomdistribuce nebudeme potřebovat, potřebné důsledky axiomů rovnosti jsou shrnuty v odvozovacím pravidle op3). 1

2 Odvozovací pravidla: op1) Φ Ψ,Φ Ψ. op2) Φ & Ψ Φ. Φ & Ψ Ψ. Φ,Ψ Φ & Ψ. op3) Je-li Φ Ψ dokazatelným výrokem, axiomem, postulátem nebo definicí, pak každý výskyt ΦlzenahraditΨ. op4) Φ Φ. op5) Φ ξ)φ. op6) ξ)φξ) Φα); přitom α je symbol, který se v důkazu dosud neobjevil. op7) ξ)φξ) Φα); přitom α je symbol, který se v důkazu objevil před výrokem ξ)φξ). Komentář:ZápisΦ 1,Φ 2... Ψ 1,Ψ 2,...vyjadřuje,ževýrokyΨ 1,Ψ 2,...lzeodvoditzvýroků Φ 1,Φ 2...,tj.ževýrokyΦ 1,Φ 2...jsouvdůkazupředvýrokyΨ 1,Ψ 2,.... Pravidloop1) je klasický modus ponens. Pravidlaop2) pro odvození pomocí konjunkce jsou důsledkemop1) a definice konjunkce. Pravidloop3) vyjadřuje substituci výroků. Pravidloop4) je odvozovacím pravidlem modálního výrokového počtu S5. Pravidloop5) je pravidlem generalizace klasického predikátového počtu. Proměnná ξ musí samozřejmě být ve výroku Φ volná. Pravidlaop6) aop7) jsou pravidly konkretizace. Jako cvičení dokážeme tři tvrzení, která budou v dalších úvahách potřebná. Důkazy zapisujeme pořádcích,každýřádekmásvéčísloajekněmupřipojenkomentář,kterýaxiomnebotvrzení bylo použito nebo z kterých řádků a jakého odvozovacího pravidla daný řádek plyne. Při použití pravidlaop3) je také uvedena použitá ekvivalence. Cv1 Φ Φ D.:1. Φ Φ m3) 2. Φ Φ 1.op3) a b b a 3. Φ Φ 2.op3)m4) 4. Φ Φ 3.op3)m4) 5. Φ Φ 4.op3) a a q.e.d. 2

3 Cv2 Φ Ψ) Φ Ψ) D.: 1. Φ Ψ) Φ Ψ) ) 2. Ψ Φ) Φ Φ) m1) 3.Φ Ψ) & Φ Ψ) 1.op3) a b) a & b 4. Φ Ψ) 3.op2) 5. Φ & Ψ 4.op3) a b) a & b 6. Φ 5.op2) 7. Ψ 5.op2) 8. Ψ 7.m4) 9.Φ Ψ 3.op2) 10. Ψ Φ 9.op3) a b b a 11. Ψ Φ) 10.op4) 12. Ψ Φ 2.11.op1) 13. Φ op1) 14. Φ 13.m4) 6.14.spor,q.e.d Cv3 Φξ) Ψ ) ζ)φζ) Ψ ) Φξ) ) ) D.: 1. ) Ψ ζ)φζ) Ψ 2. Φξ) Ψ ) & ζ)φζ) Ψ ) 1.op3) a b) a & b 3. ζ)φζ) Ψ ) 2.op2) 4. ζ)φζ) & Ψ 3.op3) a b) a & b 5. ζ)φζ) 4.op2) 6. Φα) 5.op6) 7. Ψ 4.op2) 8.Φξ) Ψ 2.op2) 9. Ψ Φξ) 8.op3) a b b a 10. Φξ) 7. 9.op1) 11. ξ) Φξ) 10.op5) 12. Φα) 11.op7) spor, q.e.d. 3

4 Gödelův systém: Abeceda:Objekty: a, b, c,...,x, y, z Vlastnostiobjektůunárnípredikáty): A, B, C,..., X, Y, Z Vztahy mezi vlastnostmi a objektybinární predikát): X Rel y ap. Vlastnosti vlastnostípredikáty druhého řádu): A, B, C,... Primitivní predikát druhého řádu: P Definice: Gx) X) PX) Xx) ) XEssa Xa) & Y) Ya) z) Xz) Yz) )) Na) X) XEssa x)xx) ) Postuláty:A1) PX) P X) A2) PX) & x) Xx) Yx) )) PY) A3) PX) PX) A4) PG) A5) PN) Komentář: Symboly z konce abecedy budou označovat proměnné, symboly ze začátku abecedy konstanty. Mlčkysepředpokládá,žepokud Xjevlastnost,paktaké Xjevlastnost;lzejichápatjako nepřítomnost vlastnosti X. Interpretacejedinéhopredikátudruhéhořádu P: PX) vlastnost Xjedobrá positive).[alternativně: vlastnost Xjeperfekcedokonalost), vlastnost Xjepotencionalitaschopnost).] Vlastnost Gjebožskost,vlastnost býtibohem.bůhjeten,kterýmávšechnydobrévlastnosti dokonalosti, potencionality). Vztah XEssxvyjadřuje,ževlastnost X jeessencíobjektu x.essencejetakovávlastnost, kterou objekt má, a každá jeho vlastnost je nutným důsledkem této essence. Vlastnost N lze interpretovat jako nutnou existenci, příčinu sebe samacausa sui). Objekt má tuto vlastnost, pokud má essenci a jeho bytí je nutným důsledkem této essence. PostulátyA1) A3) zavádějí používání primitivního predikátu P. Nepřítomnost dobré vlastnosti není dobrá, nutný důsledek dobré vlastnosti je dobrá vlastnost, dobrá vlastnost je nutně v každém možném světě) dobrá. Analogicky lze postuláty číst, pokud P interpretujeme jako perfekce nebo potencionality. PostulátA4) říká, že mít všechny dobré vlastnosti je dobré, postuláta5) vyjadřuje, že být nutněvdůsledkutoho,čímje,stručně býttím,čimje jedobrávlastnost. Při důkazech budeme používat nejen definice a postuláty, ale také jejich bezprostřední důsledky. Např. X) PX) Xa) ) Ga)jebezprostřednímdůsledkemdefinicevlastnosti G, P X) P X) je bezprostředním důsledkem postulátua1) a podobně. Gödelův systém je teorie v predikátovém počtu druhého řádu, tj. kvantifikujeme proměnné a vlastnostipredikáty prvního řádu), k němuž jsou přidány modální operace. Modality nutnosti a možnosti však budeme přiřazovat pouze formulím prvního řádu; odvozovací pravidloop4) budeme aplikovat pouze v případě, že formule Φ je prvního řádu.jinak řečeno, s modalitou nutnostipočítámejenna bezpečnépůdě logikyprvníhořádu.)jedinouvýjimkoujevyjádření nutné platnosti predikátu druhého řádu P explicitně vyjádřené v postulátua3). Pokud bychom připustili neomezené používání modálních operátorů a,a3) by nebyl nezávislým postulátem, ale důsledkem pravidlaop4).přesněji, negace postulátua3) by vedla ke sporu.) 4

5 T1 Věta PX) x)xx) Je-li nějaká vlastnost dobrá, může existovat objekt, který ji má.) D.: 1. PX) )Xx) ) 2. Xx) Xx) Xx) ) v1) 3. x) Xx) ) x) Xx) m2) 4. x) Xx) Xx) p1) 5. PX) P X) A1) 6. PX) & x) Xx) Xx) )) P X) A2) 7. PX) & x)xx) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 8. x)xx) 7.op2) 9. x)xx) 8.m4) 10. x) Xx) 9.p2) 11. x) Xx) op1) 12. Xx) op1) 13. Xx) Xx) 2.12.op1) 14. x) Xx) Xx) ) 13.op5) 15. x) Xx) Xx) ) 14.op4) 16. PX) 7.op2) 17. PX) & x) Xx) Xx) )) op2) 18. P X) op1) 19. P X) op1) spor, q.e.d. C1Důsledek x)gx) Je možné, že Bůh existuje.) D.: 1. PG) A4) 2. PG) x)gx) T1 3. x)gx) 1. 2.op1) q.e.d. 5

6 L1Lemma Gx) X) Xx) PX) ) Každá vlastnost, kterou Bůh má, je dobrá.) D.: 1. Gx) X) Xx) PX) )) 2. GX) X) PX) Xx) ) definice G 3. Gx) & X) Xx) PX) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 4. Gx) 3.op2) 5. X) Xx) PX) ) 3.op2) 6. X) Xx) PX) ) 5.p2) 7. X) Xx) & PX) ) 6.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 8. Ax) & PA) 7.op6) 9. Ax) 8.op2) 10. PA) 8.op2) 11. P A) P A) A1) 12. PA) P A) 11.op3) Φ Φ 13. P A) op1) 14. X) PX) Xx) ) 2.4.op1) 15. P A) Ax) 14.op7) 16. Ax) op1) spor, q.e.d. L2Lemma Gx) & Yx) PY) D.: 1. Gx) & Yx) PY) ) 2. PY) PY) A3) 3. Gx) X) Xx) PX) L1 4. Gx) & Yx) ) & PY) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 5. Gx) & Yx) 4.op2) 6. Gx) 5.op2) 7. X) Xx) PX) 3.6.op1) 8. Yx) PY) 7.op7) 9. Yx) 5.op2) 10. PY) 8.9.op1) 11. PY) 2.10.op1) 12. PY) 4.op2) spor, q.e.d. 6

7 L3Lemma Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) D.: 1. Gx) & Yx) z) Gz) Yz) )) 2. PY) PY) m2) 3. P Y) P Y) A1) 4. Gx) & Yx) PY) L2 5. Gx) & Yx) ) & z) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 6. Gx) & Yx) 5.op2) 7. z) Gz) Yz) ) 5.op2) 8. z) Gz) Yz) ) 7.p2) 9. z) Gz) & Yz) ) 8.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 10. Ga) & Ya) 9.op6) 11. Ga) 10.op2) 12. Ga) X) Xa) PX) ) L1 13. X) Xa) PX) ) op1) 14. Ya) P Y) 13.op7) 15. Ya) 10.op2) 16. P Y) op1) 17. P Y) 3.16.op1) 18. PY) 4.6.op1) 19. PY) 2.18.op1) 20. Py) 19.op3) Φ Φ spor, q.e.d. L4Lemma Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) D.: 1. Gx) & Yx) z)) Gz) Yz) )) 2. Gx) & Yx) z) Gz) Yz) ) L3 3. Gx) & Yx) ) & z)) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 4. Gx) & Yx) 3.op2) 5. z)) Gz) Yz) ) 3.op2) 6. z) Gz) Yz) ) 2.4.op1) 7. z)) Gz) Yz) ) 6.op4) 5.7.spor,q.e.d. 7

8 L5Lemma Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) )) D.: 1. Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) ))) 2. Gx) & Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 3. Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 2.op2) 4. Y) Yx) z) Gz) Yz) ) 3.p2) 5. Ax) z) Gz) Az) ) 4.op6) 6. Ax) & z) Gz) Az) ) 5.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 7. z) Gz) Az) ) 6.op2) 8. Gx) & Ax) z) Gz) Az) ) L4 9. z) Gz) Az) ) Gx) & Ax) ) 8.op3)Φ Ψ Ψ Φ 10. Gx) & Ax) ) 7.9.op1) 11. Gx) 2.op2) 12. Ax) 6.op2) 13. Gx) & Ax) op2) spor, q.e.d. T2Věta Gx) GEssx Všechny vlastnosti Boha nutně plynou z jeho božství.) D.: 1. Gx) Y) Yx) z) Gz) Yz) )) L5 2. Gx) Gx) & Y) Yx) z) Gz) Yz) )) 1.op3)Φ Ψ Φ Φ & Ψ) 3. Gx) GEssx 2.op3)definicerelaceEss q.e.d. 8

9 L6 Lemma Gx) y)gy) Je-li Bůh myslitelný, pak nutně existuje.) D.: 1. Gx) y)gy) ) 2. PN) A5) 3. Gx) X) PX) Xx) ) definice G 4. Nx) X) XEssx y)xy) ) definice N 5. Gx) GEssx T2 6. Gx) & y)gy) 1.op3) Φ Ψ) Φ & Ψ 7. Gx) 6.op2) 8. X) PX) Xx) ) 3.7.op1) 9. PN) Nx) 8.op7) 10. Nx) 2.9.op1) 11. X) XEssx y)xy) ) 4.10.op1) 12. GEssx y)gy) 11.op7) 13. GEssx 5.7.op1) 14. y)gy) op1) 15. y)gy) 6.op2) spor, q.e.d. T3Věta y)gy) Bůh existuje nutně.) D.: 1. z)gz) 2. Gx) y)gy) L6 3. y)gy) y)gy) Cv1 4. z)gz) y)gy) ) z)gz) y)gy) ) Cv2 5. Gx) y)gy) ) z)gz) y)gy) ) Cv3 6. z)gz) y)gy) C op1) 7. z)gz) y)gy) 4. 6.op1) 8. y)gy) 1. 7.op1) 9. y)gy) 3. 8.op1) q.e.d. 9

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 13. Axiomatické systémy VL a pojem důkazu

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY

1 REZOLUČNÍ FORMÁLNÍ DŮKAZY Vážená kolegyně / vážený kolego, součástí Vašeho rozšiřujícího studia informatiky je absolvování předmětu Logika pro učitele 2, jehož cílem je v návaznosti na předmět Logika pro učitele 1 seznámení se

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana. Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Klasická predikátová logika

Klasická predikátová logika Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze

Vysoká škola ekonomická v Praze Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Katedra informačního a znalostního inženýrství Student Vedoucí bakalářské práce : Marek Nekvasil : RNDr. Jiřina Vejnarová, CSc. TÉMA BAKALÁŘSKÉ

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

OBSAH Gödelova nezapomenutelná práce 15 0 ÚVOD 16 0.1 Základní pojmy... 18 0.1.1 Formální systémy... 18 0.1.2 Jazyk a metajazyk... 20 0.1.3 Bezesporné aneb konzistentní teorie... 21 0.1.4 Neúplné teorie...

Více

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů: 1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2 Výroková logika pokračování Logické vyplývání

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Základy informatiky. Výroková logika

Základy informatiky. Výroková logika Základy informatiky Výroková logika Zpracoval: Upravila: Ing. Pavel Děrgel Daniela Sztrucová Obsah přednášky Výroková logika Výroky Pravdivostní ohodnocení Logické spojky Výrokově logická analýza Aristotelés

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Predikátová logika Motivace Výroková

Více

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN

LOGIKA A TEORIE MNOŽIN Poznámka: Tento text vzniká jako materiál k přednášce Logika a teorie množin na MFFUKvPraze.Jelikožjdeotextvefázivzniku,obsahujejistěřadunedostatků, které budou průběžně odstraňovány, stejně jako se text

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více

Jak je důležité být fuzzy

Jak je důležité být fuzzy 100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením

Více

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče.

MNOŽINY. x A. Jeho varianty paradox mostu se šibenicí, paradox holiče. MNOŽINY Naivní definice (pojetí): Množina [set] je přesně definovaný soubor prvků, které mají nějakou vlastnost. O čemkoliv je třeba umět jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv. Vztah

Více

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková

Klauzulární logika. Znalostní báze. Šárka Vavrečková Klauzulární logika Znalostní báze Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 26. listopadu 2007 (Znalostní báze) Klauzulární

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika I. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY I RADIM BĚLOHLÁVEK, VILÉM VYCHODIL VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika

Negace bázového atomu Negace atomu s existenčním termem Negace klauzule Negace množiny klauzulí Predikát rovnosti. Klauzulární logika Vlastnosti klauzulí, negace Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 27. října 2008 Věta o transferu bázového atomu

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora Česká zemědělská univerzita 17. října 2011 U makléře Já: Dobrý den, rád bych koupil nějaký světlý byt. Chtěl bych, aby měl dvě koupelny a aby byl v domě výtah. A neměl by být nijak extrémně drahý. Makléř:

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz ::

Diskrétní matematika DISKRÉTNÍ MATEMATIKA. RNDr. Ivan Havlíček, CSc., ivan.havlicek@vsfs.cz :: DISKRÉTNÍ MATEMATIKA pro obor aplikovaná informatika 1. diskrétní 1. ohleduplný, taktní 2. zachovávající tajemství 3. nespojitý, přetržitý Akademický slovník cizích slov (1998): 2. Literatura Berka, M.,

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: X01DML 15. října 2010: Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná

Více

METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY

METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY METODOLOGIE (LOGIKA) VĚDY (kombinovaná forma doktorského studia) 1. Prof. PhDr. Vladimír Čechák, CSc., vladimir.cechak@vsfs.cz :: LITERATURA Povinná: Friedman M.: Metodologie pozitivní ekonomie. Praha:

Více

Rezoluce ve výrokové logice

Rezoluce ve výrokové logice Rezoluce ve výrokové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce ve VL 1/13 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. 2 X nesplnitelná iff X = ff. 3 Hledání kritických důsledků X syntakticky.

Více

Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska.

Složené výroky Jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími. V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N. V : Paříž je hl. město Španělska. Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení u něhož má smysl otázka zda je či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V : Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. 2009 Tomáš Michek UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2009 Tomáš Michek Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Program pro výuku a testování základů výrokové a

Více

5 Inteligentní usuzování

5 Inteligentní usuzování 5 Inteligentní usuzování Jak již bylo řečeno v předcházející kapitole, způsob reprezentování znalostí a způsob jejich využívaní pro usuzování spolu úzce souvisejí. Připomeňme zde tedy ještě jednou používaná

Více

AD4M33AU Automatické uvažování

AD4M33AU Automatické uvažování AD4M33AU Automatické uvažování Úvod, historie Petr Pudlák Organizační informace Tyto slidy jsou pomocný studijní materiál. Na přednášce budou uváděny další informace a příklady, které ve slidech nejsou.

Více

Rezoluce v predikátové logice

Rezoluce v predikátové logice Rezoluce v predikátové logice Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Rezoluce v PL 1/16 Základní myšlenky 1 M = ϕ iff X = M { ϕ} nesplnitelná. (M musí být množina sentencí, ϕ sentence.) 2 X nesplnitelná iff X =

Více

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků

Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) Úvod do logiky (VL): 8. Negace výroků doc. PhDr. Jiří Raclavský,

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Matematická logika. 1

Matematická logika. 1 Matematická logika. 1 Obsah 1. Úvod... 2 2. Výroková logika... 8 2.1. Sémantický výklad výrokové logiky.... 8 Převod z přirozeného jazyka do symbolického jazyka výrokové logiky:... 10 Výrokově logická

Více

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ

MATEMATICKÁ TEORIE ROZHODOVÁNÍ MATEMATICKÁ metodický list č. 1 Řešení úloh Cílem tohoto tematického celku je vysvětlení vybraných pojmů z oblasti řešení úloh. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Řešení úloh ve stavovém

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. 12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Ústav biomedicínského inženýrství EXPERTNÍ SYSTÉMY.

Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Ústav biomedicínského inženýrství EXPERTNÍ SYSTÉMY. Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Ústav biomedicínského inženýrství EXPERTNÍ SYSTÉMY praktická cvičení Ing. Ivo Provazník, Ph.D., Ing. Jana Bardoňová 2000 Obsah 1 Úvod

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Logika pro informatiky (a příbuzné obory)

Logika pro informatiky (a příbuzné obory) VŠB Technická univerzita Ostrava Logika pro informatiky (a příbuzné obory) učební text Doc. RNDr. Marie Duží, CSc. Ostrava 2012 Vydavatelství VŠB-TU Ostrava Vydání této publikace je spolufinancováno Evropským

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

Programovací jazyk Prolog

Programovací jazyk Prolog Programovací jazyk Prolog Logické programování Šárka Vavrečková Ústav informatiky, Filozoficko-přírodovědecká fakulta Slezské univerzity v Opavě sarka.vavreckova@fpf.slu.cz 1. prosince 2008 Prolog Co je

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy?

Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Kapitola 4 Deskripce a existence: uctívali Řekové olympské bohy? Přestože jsme se v minulé kapitole zabývali subjekty a predikáty, existuje ještě jeden typ výrazů, který může vystupovat jako podmět oznamovací

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Výpočetní složitost I

Výpočetní složitost I Výpočetní složitost I prooborlogikanaffuk Petr Savický 1 Úvod Složitostí algoritmické úlohy se rozumí především její časová a paměťová náročnost při řešení na počítači. Časová náročnost se měří počtem

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1

Diferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1 Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky.

Týden 11. Přednáška. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1. Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 11 Přednáška Nejprve jsme dokončili témata zapsaná u minulé přednášky. PSPACE, NPSPACE, PSPACE-úplnost Uvědomilijsmesi,ženapř.prozjištěnítoho,zdaBílýmánějakoustrategiivehřeŠACHY,

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Úvod do teorie množin a logiky 2

Úvod do teorie množin a logiky 2 Ostravská univerzita v Ostravě Přírodovědecká fakulta Úvod do teorie množin a logiky 2 Verze ke dni 10. 12. 2008 David Bartl 2006 Obsah 1 První setkání s pojmem množiny 5 2 Další základní predikáty teorie

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Formální konceptuální analýza nad neúplnými daty. 2014 Bc. Martin Kauer

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Formální konceptuální analýza nad neúplnými daty. 2014 Bc. Martin Kauer PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO KATEDRA INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Formální konceptuální analýza nad neúplnými daty 2014 Bc. Martin Kauer Anotace Problémem neúplných dat se zabývá stále více

Více

Predikátová logika. Kapitola 2. 2.1 Formule predikátové logiky

Predikátová logika. Kapitola 2. 2.1 Formule predikátové logiky 5 Kapitola 2 Predikátová logika 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolů uvedených v textu.

Více