STAROVĚKÝ EGYPT. Prameny

Transkript

1 STAROVĚKÝ EGYPT Prameny nápisy na kamenech papyry Rhindův pyrus (XV. dynastie, kolem 1560 př. Kr., opis staršího spisu období 1853 až 1809 př. Kr.) Moskevký papyrus (XIII. dynastie, asi 1797 až 1634 př. Kr., opis staršího spisu z XII. dynastie) Káhúnské papyry (XII. dynastie, asi 1994 až 1797 př. Kr.) Dřevěné tabulky (XII. dynastie) Kožený svitek (XV. dynastie, asi 1634 až 1526 př. Kr.) Berlínský papyrus (XII. dynastie) Papyrus Anastasi I (XIX. dynastie, asi 1292 až 1186 př. Kr.) projevy egyptské civilizace (stavby, organizace společnosti,...)

2

3

4

5

6 Démotické písmo ze 3. stol. př. Kr. a jeho hieroglyfický přepis

7 RHINDŮV (LONDÝNSKÝ) PAPYRUS nejrozsáhlejší a nejvýznamnější matematický text ze starého Egypta opsán kolem roku 1560 př. Kr. písařem Ahmosem z materiálu pocházejícího z doby vlády Amenemheta III. (asi 1853 až 1809) nalezen v Thébách (oblast dnešního Luxoru) v pol. 19. stol. při výrobě slepen ze 14 listů, po nálezu rozříznut na dvě části: 319 x 33 cm, 206 x 33 cm 1858 jej koupil Alexander Henry Rhind ( ) dnes uložen v Britském muzeu v Londýně 87 úloh s návody a řešeními, tabulka 2/n

8 Část Rhindova papyru

9 Skupiny úloh v Rhindově papyru: úlohy na výpočet objemu sýpek úlohy na výpočet obsahů polí úlohy týkající se pyramid úlohy na objemy tekutin a dělení chlebů úlohy týkající se krmiva pro zvířata Existence samostatných matematických textů svědčí o tom, že již v době XII. dynastie (asi př. Kr.) byla ve starém Egyptě matematika konstituována jako samostatná disciplína zahrnující počítání s přirozenými čísly a zlomky, hledání neznámého množství, výpočty obsahů rovinných útvarů a objemů těles, výpočty velikostí úhlů, délek atd.

10 Začátek Rhindova papyru

11 MOSKEVSKÝ (GOLENIŠČEVŮV) PAPYRUS 1893 jej získal egyptolog V. S. Goleniščev ( ) 1912 věnován Puškinově muzeu krásných umění v Moskvě papyrus, který byl po odstranění původního textu použit znovu (původní text znatelný, ale nečitelný) nový text opisem staršího textu z XII. dynastie, opsán patrně v době XIII. dynastie (asi 1797 až 1634) 25 příkladů bez tematického uspořádání (snad učební pomůcka či test znalostí)

12 Rossetská deska nalezena 1799 u Rossety nedaleko Alexandrie napoleonskými vojsky bojujícími v Egyptě 114 x 72 x 30 cm, 762 kg dnes v Britském muzeu umožnila dešifrování egyptských hieroglyfů popsána popsána třemi písmy: - egyptské hieroglyfy - egyptské démotické p. - kónická řečtina (Helénské období, cca př. n. l.)

13

14 Kožený svitek nalezen spolu s Rhindovým papyrem, dnes v Britském muzeu z doby XV. dynastie, 44 x 26 xm, tabulka 26 součtů kmenných zlomků

15 ARITMETIKA ZÁPIS ČÍSEL NEPOZIČNÍ DESÍTKOVÁ SOUSTAVA Egyptské hieroglyfy (3. tisíciletí př. Kr.): měřicí hůl kraví pouta měřicí provazec květ lotosu ukazovák pulec klečící postava (bůh vzduchu a prostoru)

16 Zápis čísel pomocí hieroglyfů Příklad: Příklad:

17

18 Sčítání a odčítání Násobení: Postupné zdvojnásobování a sečtení vhodných násobků:

19 Příklad: krát \ \ \

20 Příklad: krát \ \ 4 60 \ \ \ \

21 Příklad: děleno 1 80 \ \ \ \

22 ZLOMKY A SMÍŠENÁ ČÍSLA

23

24 Tabulka 2/n - začátek (Káhúnský papyrus)

25

26

27

28

29 Problémy vedoucí na aritmetickou posloupnost Příklad: Je třeba rozdělit 10 měřic ječmene mezi 10 mužů tak, aby měl druhý o 1/8 více než první, třetí o 1/8 více než druhý atd. Představa aritmetické posloupnosti Součet: 10a = 10 a = 1; d = 1/16 Problémy vedoucí na geometickou posloupnost Příklad: Je 7 domů, v každém domě 7 koček, každá kočka sežere 7 myší, každá myš sežere 7 klasů pšenice, z každého klasu by bylo 7 měřic zrna. Kolik je všeho dohromady?

30 GEOMETRIE Obsah čtverce, obdélníka, trojúhelníka, lichoběžníka Obsah čtyřúhelníka Obsah kruhu Objem krychle, kvádru, válce (obilnice) Objem čtyřbokého komolého jehlanu se čtvercovou podstavou V dnešní symbolice:

31 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Egypt, 2. pol. 2. tisíciletí př. Kr. Obdélník základní tvar pole co je třeba zjistit: množství zasévaného obilí rozloha kvůli dani Ramses II. ( př. Kr.) rozdělil půdu mezi Egypťany tak, že každý obdržel pole čtyřúhelníkového tvaru a stejného obsahu. Z jeho výnosu odváděl každoročně faraónovi daně. Jestliže někomu byla část pole odplavena při nilských záplavách, bylo jeho povinností oznámit to faraónovi, který poslal zeměměřiče, aby škodu zjistili a podle zbylé výměry i správně určili novou daň. (Hérodotos, 5. stol. př. Kr.)

32 Pruhová míra obsah pole = počet vyoraných pruhů x délka pruhu Další míry: čtvereční královský loket secat-johet = čtverečních královských loktů (100 vyoraných pruhů)

33 Trojúhelník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky převod na rovnoplochý obdélník

34 Lichoběžník Obsah trojúhelníka = součin poloviny základny a výšky převod na rovnoplochý obdélník

35 Obecný čtyřúhelník Přibližný vzorec: Kruh

36 Kruh V dnešní symbolice pro kruh o průměru d: Slovní popis ( ) ( ) 2 2 S = d 1 d = 8 d = 64 d Rhindův papyrus (1560 př. Kr.), příklad č. 50: Metoda výpočtu [obsahu] kruhové plochy Jaký je obsah plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, zbytek je 8. Počítej s 8 osmkrát, vyjde 64. Toto je obsah v ploše: 64 secat-johet. Srovnání s naším vzorcem: π d = d, tj. π = 264 =& 3,

37 ( ) ( ) 2 2 S = d 1 d = 8 d = 64 d Odhad obsahu kruhu: = 256 = 16 čtverečků o straně 1 d 18 to odpovídá čtverci o straně ( ) 16 d = 8 d = d 1 d (výklad odpovídá hojnému využívání čtvercové sítě při projektování egyptských staveb, soch, reliéfů, malířské výzdoby apod.)

38 OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem byli egyptští počtáři schopni počítat i objem kvádru. Válec Objem válce byl ve starém Egyptě počítán obvyklým způsobem jako součin obsahu základny a výšky, přičemž obsah kruhové základny byl počítán tak, jak jsme viděli výše. Formulace úloh byla i zde praktická hledal se například objem obilnice či studny kruhového průřezu. Jehlan Rhindův papyrus obsahuje několik úloh, v nichž je počítán například sklon stěny pyramidy o čtvercové základně, kde je známa délka strany základny a výška, či výška pyramidy s danou čtvercovou základnou a se známým sklonem stěny.

39 Jehlan Moskevský papyrus obsahuje velice zajímavou úlohu na výpočet objemu pravidelné komolé pyramidy, tedy pravidelného kolmého komolého jehlanu. Slovní popis řešení této úlohy můžeme v dnešní symbolice vyjádřit vzorcem, který je zcela správný: 2 2 V = h ( a + ab + b ) 3, kde a je délka strany dolní čtvercové základny, b je délka strany horní čtvercové základny a h je výška pyramidy.

40 Možný postup: ( ) h b ab a 3 1 h b 2 b a h 2 b a h b V = + + = didakticky názorné, z historického hlediska problematické: nemáme žádný doklad o tom, že by Egypťané používali matematickou symboliku a prováděli algebraické úpravy (i když někteří badatelé provádění algebraických úprav připouštějí)

41 Jiné možné odvození: Uvažujme tři takovéto komolé jehlany, první ponechejme celý a druhé dva si představme rozložené na výše uvedená tělesa. K prvnímu komolému jehlanu přidejme čtyři trojboké hranoly (na obrázku modře) odebrané od druhého jehlanu a osm jehlanů odebraných od druhého a třetího jehlanu (na obrázku červeně).

42 Dohromady: hranol s podstavnou hranou a a výškou h

43 Z druhého komolého jehlanu zbude hranol s podstavnou hranou b a výškou h, který 2 má objem b h. Třetí komolý jehlan s odebranými rohy přeskládáme tak, že vznikne kvádr s délkami stran a, b, h: 2 2 Tato tři tělesa mají dohromady objem h ( a ab b ) jehlanu je proto + +, objem jednoho komolého 2 2 ( ) V = h a + ab + b 3

44 Ve výše uvedených úvahách jsme využívali poznatek, že objem jehlanu (v tomto případě pravoúhlého) je roven jedné třetině hranolu se stejnou podstavou a výškou. Je pravděpodobné, že tento poznatek staří Egypťané znali ať již na základě měření či úvah o rozřezávání hranolu. Snadno si představíme, že krychli lze rozdělit na tři shodné jehlany:

45 U kvádru je to o něco složitější; nelze jej rozložit na tři shodné jehlany, je však možné jej rozdělit na tři pravoúhlé jehlany, které mají stejný objem (mezi délkami stran podstavy a výškou jsou vždy všechny tři hodnoty a, b, c). Podle dochovaných pramenů byl poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, zformulován až ve starém Řecku. Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat:

46 Vzhledem k tomu, že Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností, snad mohla být v jejich možnostech i představa, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat: Důkaz vzorce pro objem jehlanu se dochoval v 12. knize Eukleidových Základů napsaných kolem roku 300 př. n. l. Pomocí exhaustivní metody Eukleides nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany o shodných mnohoúhelníkových základnách a výškách.