7. Normální formy. PŘ: POJIŠŤOVNA Povinné ručení relace Platby

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. Normální formy. PŘ: POJIŠŤOVNA Povinné ručení relace Platby"

Transkript

1 7. Normální formy PŘ: POJIŠŤOVNA Povinné ručení relace Platby Rodné číslo Jméno majitele Dvořák Petr Dvořák Petr Dvořák Petr Dvořák Petr Souček Souček Souček Souček Adresa České Budějovice České Budějovice České Budějovice České Budějovice Český Krumlov Český Krumlov Český Krumlov Český Krumlov SPZ vozidla CBD CBD CBE CBA CKC CKC CKC CKB Typ vozidla Objem válců Rok Číslo splátky Výše splátky O O M M O O O N Datum splatnosti Relační schéma: PLATBY (Rodné číslo, Jméno majitele, Adresa, SPZ, Typ vozidla, Objem válců, Rok, Číslo splátky, Výše splátky, Datum splatnosti) Závislosti: Rodné číslo Jméno majitele Rodné číslo Adresa SPZ Typ vozidla SPZ Objem válců {SPZ, Rok, Číslo splátky} Výše splátky {SPZ, Rok, Číslo splátky} Datum splatnosti Lepší varianta dekompozice do 3 relací MAJITEL (Rodné číslo, Jméno majitele, Adresa) VOZIDLO (SPZ, Rodné číslo majitele, Typ vozidla, Objem válců) PLATBY (SPZ, Rok, Číslo splátky, Výše splátky, Datum splatnosti) Veškeré funkční závislosti zůstaly zachovány 1

2 PŘ: relace FILM Číslo Název Rok Délka Režisér Společnost Adresa Role Herec 1 Obecná Svěrák ČR, Hnízdo Tříska ČT škola Praha Igor 1 Obecná Svěrák ČR, otec Navrátil ČT škola Praha Oldřich 1 Obecná Svěrák ČR, matka Šafránková ČT škola Praha Libuše 2 Zapomenuté Michálek ČR, Farář Holý Polívka FÁMA světlo Vladimír Praha Boleslav 2 Zapomenuté Michálek ČR, Marjánka Žilková FÁMA světlo Vladimír Praha Veronika 2 Zapomenuté Michálek ČR, Francek Kamen FÁMA světlo Vladimír Praha Petr 3 Jízda Svěrák ČR, Pastrňák Ostrava Radek 3 Jízda Svěrák ČR, Geislerová Ostrava Aňa 4 Čas dluhů Pavlásková Chýlková FEBIO ČR Irena Ivana 4 Čas dluhů Pavlásková Roden FEBIO ČR Irena Karel 4 Čas dluhů Pavlásková Bílá FEBIO ČR Irena Lucie Relační schéma: FILM (Číslo, Název, Rok, Délka, Režisér, Společnost, Adresa, Role, Herec) Funkční závislosti: Číslo Název Číslo Rok Číslo Režisér Číslo Délka Číslo Společnost Číslo Adresa Společnost Adresa {Číslo filmu, Role} Herec Dekompozice: FILM (Číslo, Název, Rok, Délka, Režisér, Společnost) SPOLEČNOST (Společnost, Adresa) ROLE (Číslo filmu, Role, Herec) 2

3 FUNKČNÍ ZÁVISLOSTI PŘ: Schéma univerzitní databáze R(Přednáška, Učitel, Místnost, Hodina, Student, Ročník, Obor, Známka) položky uvedené v závorce představují atributy, nikoliv relace. Předpokládáme, že každou přednášku přednáší jeden učitel Z daných atributů by se daly zapsat nejrůznější schémata, která rozumným či méně rozumným způsobem popisují univerzitní databázi. R = { PU, HMP, PSZ, HSM, SRO } R = { PRU, HSP, PSZ, HSM, SRO } R = { PUO, HMP, HSRP, SRO } R = { HMPU, PSOZ, HSMR } R = {PSUHM, SRO, SPZ } Pozn. Sémantika R se dá vysvětlovat různým způsobem - např. v relaci PSUHM student se ve skutečnosti vůbec nemusí v dané hodině na přednášce vyskytovat, i když z dané přednášky dělá zkoušku. Sémantika se dá upřesnit pomocí IO. Pomocí sémantických nebo konceptuálních modelů popisujeme (vystihujeme) více sémantiky přímo a pak formulujeme pravidla IO. V databázové úrovni formulujeme IO na datech, nikoliv na entitách a vztazích. Jednou z možností, které se používají pro lepší pochopení a vyjádření sémantiky při navrhování relačního schématu, jsou tzv. funkční závislosti. Tentokrát pojem funkční závislosti chápeme jako vztah mezi daty (v konceptuálním modelování se také používal pojem determinace či funkční závislosti mezi entitami) Jsou-li X 1 :dom(x 1 ),..., X n :dom(x n ) atributy v X, pak X-hodnotou je libovolný prvek z kartézského součinu domén dom(x 1 ) x... x dom(x n ). Nechť A, B jsou množiny atributů takové, že platí A Ω, B Ω, kde Ω je množina atributů. Pak říkáme, že B je funkčně (funkcionálně) závislé na A ( A funkčně určuje B ), jestliže ke každé A-hodnotě existuje nejvýše jedna B hodnota. Tuto závislost označujeme jako A B. Tj. pro libovolné dvě n-tice t 1 a t 2 z relační instance r z R takové, že t 1 [A] = t 2 [A], musí nutně platit t 1 [B] = t 2 [B] PŘ: Specifikujme množinu F funkčních závislostí z předchozího příkladu F : P U, HM P, PS Z, HS M 3

4 Přednáška Učitel Místnost Hodina Student Ročník Obor Známka Mat. analýza Novák K1 Po9 Bláha 1 Informatika 2 Mat. analýza Novák K8 St11 Bláha 1 Informatika 2 Mat. analýza Novák K1 Po9 Dvořák 1 Analýza 1 Mat. analýza Novák K8 St11 Dvořák 1 Analýza 1 Databáze Pokorný S1 Ut8 Bláha 1 Informatika 2 Databáze Pokorný S1 Ct14 Bláha 1 Informatika 2 Databáze Pokorný S1 Ut8 Souček 2 M-Vt 2 Databáze Pokorný S1 Ct14 Souček 2 M-Vt 2 Systémy Vlášek S3 Pa8 Bláha 1 Informatika 2 Systémy Vlášek S3 Pa8 Kovář 1 Informatika 3 Z jedné relace nelze dokázat, že platí nějaká funkční závislost. Např. není pravda, že S Z. Naopak se dá zjistit, že neplatí PU M. Je-li dáno R(Ω) a K, které je podmnožinou Ω, pak K je klíčem schématu R, jestliže (a) K Ω (b) neexistuje K, která je podmnožinou K taková, že K Ω Z daných funkčních závislostí se dají odvodit další pravidla : Nechť X, Y, Z jsou podmnožiny Ω, pak platí Reflexivní pravidlo (FZ1) je-li Y X, potom X Y Triviální funkční závislosti AB A, AB B, AB AB Rozšiřující pravidlo (FZ2) jestliže X Y, potom XZ YZ (FZ2) jestliže X Y, potom XZ Y Tranzitivita (FZ3) jestliže X Y a Y Z, potom X Z 4

5 Kompozice ( aditivní pravidlo ) (FZ4) jestliže X Y a X Z, potom X YZ Dekompozice ( pravidlo projekce ) (FZ5) jestliže X YZ, potom X Y a X Z YZ představuje sjednocení Y a Z Uvedená pravidla FZ1 - FZ4 se nazývají Armstrongova pravidla Důkazy : (FZ1) : Předpokládejme, že Y X a existují n-tice t 1 a t 2 z relační instance r z R takové, že t 1 [X] = t 2 [X]. Potom ovšem platí t 1 [Y] = t 2 [Y], neboť Y X, tj X Y! (FZ2): (Sporem) Předpokládejme, že X Y a neplatí XZ YZ. Tj musí existovat dvě n-tice t 1 a t 2 z relační instance r z R takové, že (1) t 1 [X] = t 2 [X] (2) t 1 [Y] = t 2 [Y] (3) t 1 [XZ] = t 2 [XZ] (4) t 1 [YZ] t 2 [YZ] To ale není možné, neboť z (1) a (3) plyne, že (5) t 1 [Z] = t 2 [Z] a z (2) a (5) plyne, že (6) t 1 [YZ] = t 2 [YZ] SPOR!! (FZ3) Předpokládejme, že platí (1) X Y (2) Y Z Pak ale pro libovolné dvě n-tice t 1 a t 2 z relační instance r z R takové, že t 1 [X] = t 2 [X], platí podle (1) t 1 [Y] = t 2 [Y] a podle (2) t 1 [Z] = t 2 [Z] tj. X Z (FZ4) Předpokládejme, že platí (1) X Y 5

6 (2) X Z Dále podle (FZ2) platí (3) X XY, neboť XX je X (vlastně XX XY ) (4) XY YZ ze (2) takže dále platí X YZ (FZ5) Předpokládejme, že platí (1) X YZ Podle (FZ1) platí (2) YZ Y a podle (FZ3) platí (3) X Y Armstrong ukázal, že odvozovací pravidla FZ1 - FZ3 (označovaná také jako Armstrongovy axiomy), jsou úplná a znělá (zvučná). Slovem zvuk se rozumí, že libovolná závislost, kterou odvodíme pomocí pravidel 1-3 z dané množiny funkčních závislostí F specifikované na relačním schématu R, platí na každé relační instanci r z R, která splňuje závislosti v F. Úplností se rozumí, že opakovaným používáním pravidla 1-3 při odvozování závislostí (tak dlouho, dokud jde něco odvodit) dostáváme jako výsledek kompletní množinu všech možných závislostí. Jinými slovy, funkční uzávěr F - množina závislostí F + - se dá odvodit z F jen pomocí FZ1 - FZ3. Obvyklý postup při návrhu databáze je nejprve specifikovat množinu funkcionálních závislostí F, která se dá určit ze sémantiky atributů. Pak se použijí Armstrongova pravidla k odvození dalších závislostí. Systematická cesta, jak získat tyto dodatečné závislosti je nejprve určit každou množinu atributů X, která figuruje na levé straně nějaké funkcionální závislosti F a pak použít Armstrongova pravidla k určení množiny atributů závislých na X. Tj. pro každou množinu atributů X určíme množinu X + atributů, které jsou funkcionálně závislé na X - uzávěr X pod F. Algoritmus stanovení X + X + = X; repeat oldx + := X + ; until (oldx + = X + ); for each funcional dependency Y Z in F do if Y X + then X + := X + Z ; Na začátku nastavíme X + na všechny atributy v X - podle pravidla 1 víme, že všechny tyto atributy jsou závislé na X. použitím pravidel 3 a 4 přidáme do X + atributy (využijeme každou závislost v F). To opakujeme tak dlouho, až už nejdou přidat žádné atributy. 6

7 PŘ: Uvažujme následující schéma RodCis CisProj Hodiny JmZam JmProj MistoProj F = {RodCis JmZam, CisProj {JmProj, MistoProj}, {RodCis, CisProj} Hodiny } Použitím výše uvedeného algoritmu zjistíme uzávěry s ohledem na F {RodCis} + = {RodCis, JmZam} {CisProj} + = {CisProj, JmProj, MistoProj} {RodCis, CisProj} + = {RodCis, CisProj, JmZam,JmProj, MistoProj, Hodiny} Minimální množina funkcionálních závislostí Množina funkcionálních závislostí F je minimální, pokud splňuje následující podmínky: 1. Každá závislost v F má jednoduchý atribut na pravé straně 2. Není možné odebrat žádnou závislost z F tak, aby vznikla množina závislostí, která je ekvivalentní F 3. Není možné nahradit žádnou závislost X A z F závislostí Y A, kde Y je ostrá podmnožina X tak, aby vznikla množina závislostí, která je ekvivalentní F Minimální množina závislostí se dá brát jako množina závislostí ve standardní nebo kanonické formě. Podmínky 2 a 3 zajišťují, že neexistuje nadbytečná závislost, podmínka 1 zajišťuje kanonickou formu závislostí. Normalizační proces, (poprvé navržený 1972 dr. Coddem), provádí na relačním schématu řadu testů ověřujících, zde schéma vyhovuje či nevyhovuje určité normální formě. Codd sám navrhl tři normální formy, silnější definice 3NF byla navržena později Boycem a Coddem a je známa jako Boyce- Coddova normální forma. Všechny tyto normální formy jsou založeny na funkcionálních závislostech mezi atributy v relaci. Později byly navrženy 4NF a 5NF na koncepci multizávislostí a spojovacích závislostech. Normalizace dat se dá chápat jako proces, během něhož nevyhovující relační schémata jsou dekomponovány rozdělením jejich atributů do menších relačních schémat majících žádoucí vlastnosti. Pokud se ovšem zaměříme jen na normální formy izolovaně od ostatních faktorů, nezaručí to dobrý databázový návrh. Obecně není dostačující zkontrolovat, zda každé relační schéma v databázi je v BCNF nebo ve 3NF. 7

8 První normální forma 1NF je dána vlastně jako část formální definice relace, kdy se nepovolují vícehodnotové a složené atributy. Tj. domény atributů musí zahrnovat toliko atomické (jednoduché, dále nedělitelné) hodnoty a hodnota kteréhokoliv atributu v n-tici musí být jednoduchá hodnota z domény atributů. Jinými slovy, 1NF nepovoluje relace uvnitř relace. PŘ: Relace VOZIDLA není v 1NF VOZIDLO SPZ Značka Rok výroby Barva CKA Škoda bílá, černá CBC Ford Escort 1992 žlutá, černá, bílá ABH Fiat Croma 1997 zelená ULA Nissan Micra 1996 červená Druhá normální forma 2NF je založena na koncepci plné funkcionální závislosti. Funkcionální závislost X Y je plná funkcionální závislost, pokud není možné odstranit žádný atribut A z X tak, že závislost trvá. Tj. pro všechny A X, ( X -{A} ) x Y. Funkcionální závislost X Y je částečná závislost, pokud nějaký atribut A X může být odebrán z X a závislost stále platí tj. ( X -{A} ) Y. PŘ: Závislost {RodCis, CisProj} Hodiny je plná funkcionální závislost, zatímco {RodCis, CisProj} JmZam je částečná závislost ( jde odebrat CisProj ) Relační schéma je v 2NF, pokud každý neprimární atribut je plně funkcionálně závislý na primárním klíči RodCis CisProj Hodiny JmZam JmProj MistoProj RodCis CisProj Hodiny RodCis JmZam CisProj JmProj MistoProj 8

9 Třetí normální forma 3NF 3NF je založena na koncepci tranzitivní závislosti. Funkcionální závislost X Y v relačním schématu R je tranzitivní, pokud existuje množina atributů Z, která není podmnožinou žádného klíče R taková, že platí X Z a Z Y. PŘ : RodCis VedoucíOdd je tranzitivní prostřednictvím atributu CisOdd, neboť RodCis CisOdd a CisOdd VedouciOdd RodCis JmZam AdrZam CisOdd JmOdd VedouciOdd RodCis JmZam AdrZam CisOdd CisOdd JmOdd VedouciOdd Podle původní Coddovy definice je relační schéma ve 3NF, je-li ve 2NF a současně platí, že neexistuje neprimární atribut v R tranzitivně závislý na primárním klíči tj. kdykoliv funkcionální závislost X A platí v R, potom buďto (a) X je superklíč R, nebo (b) A je primární atribut R Jinak řečeno, každý neprimární atribut v R je plně funkcionálně závislý na každém klíči v R a je netranzitivně závislý na každém klíči v R. Boyce-Coddova NF Je silnější než 3NF. Relace je v BCNF, pokud platí pro všechny závislosti X A v R, že X je superklíč R. Samozřejmě pokud je relace v BCNF, je i ve 3NF, obráceně to neplatí 9

10 Čtvrtá normální forma 4NF 4NF je založena na pojmu multizávislost. Nechť Y(x) je množina hodnot přiřazených v daný moment X-hodnotě x. Nechť A, B, C jsou podmnožiny Ω takové, že C = Ω A B. Pak řekneme, že B multizávisí na A, jestliže pro každou AC-hodnotu ac je B(ac) = B(a). Tento fakt nazýváme multizávislostí a značíme ho A >> B. Je-li C prázdná množina, jedná se o triviální multizávislost. Jinak vyjádřeno, jestliže existují v R dvě n-tice t 1 a t 2 takové že t 1 [A] = t 2 [A], potom musí existovat n-tice t 3 a t 4 takové,že t 1 [A] = t 2 [A]= t 3 [A] = t 4 [A] t 3 [B] = t 1 [B] a t 4 [B] = t 2 [B] t 3 [R (AB)] = t 2 [R (AB)] a t 4 [R (AB)] = t 1 [R (AB)] N-tice t 1, t 2, t 3 a t 4 nemusejí být nutně různé PŘ: Zaměstnanec a projekt zaměstnanec může pracovat na více projektech Zaměstnanec a dítě zaměstnanec může mít víc dětí Jméno zaměstnance Jméno dítěte Název projektu Dvořák Petr Jiří X1 Dvořák Petr Kateřina X1 Dvořák Petr Jiří Z3 Dvořák Petr Kateřina Z3 jde vlastně o to, že v jedné relaci jsou smíchány dva nezávislé vztahy 1:N Jméno zaměstnance Jméno dítěte Jméno zaměstnance Název projektu Dvořák Petr Jiří Dvořák Petr X1 Dvořák Petr Kateřina Dvořák Petr Z3 Pozn. Multizávislosti jsou v RR diagramu reprezentovány jako tzv. slabé entity Definice Relace je ve 4NF, pokud pro každou netriviální multizávislost X >> Y v F + platí, že X je superklíč R. 10

11 Př : relace AUTA a) Model Země Počet_válců Škoda 105 ČR 4 Škoda 105 Itálie 4 Mustang USA 4 Mustang USA 6 Mustang Kanada 4 Mustang Kanada 6 Honda Accord Japonsko 4 Fiat Mirafiori Itálie 4 FOX NSR 4 multizávislost model > počet válců dá se provést dekompozice Model Počet_válců Země Model Škoda Kanada Mustang Mustang 4 USA Mustang Mustang 6 Japonsko Honda Accord Honda Accord 4 Itálie Fiat Mirafiori Fiat Mirafiori 4 ČR Škoda 105 FOX 4 Itálie Škoda 105 NSR FOX b) uvažujme možnost, že ne všechny typy modelů (podle počtu válců) se vyrábějí v dané zemi výroby Model Země Počet_válců Škoda 105 ČR 4 Škoda 105 Itálie 4 Mustang USA 4 Mustang USA 6 Mustang Kanada 6 Honda Accord Japonsko 4 Fiat Mirafiori Itálie 4 FOX NSR 4 pak není možné provést dekompozici, neboť bychom ztratili informace o tom, co se kde vyrábí, neplatí multizávislost model > počet válců Počet_válců(Mustang)={6,4} a přitom Počet_válců(Mustang, Kanada)={6} 11

12 Dekompozice Syntéza Algoritmy návrhu schématu relační databáze Dekompozice metoda shora dolů rozklad relačních schémat nahrazování jednoho schématu dvěmi (obecně více schématy) Definice Nechť Ω je množina atributů původní relace a Ω i, pro i=1, 2, n, n > 1, množina atributů i-tého schématu relace. Jestliže platí Ω = Ω i, potom hovoříme o dekompozici schématu relace i=1..n Rozumná dekompozice 1) výsledná schémata by měla mít stejnou sémantiku (dáno IO) 2) výsledné relace by měly obsahovat stejná data Formálně vyjádřeno : 1) Nechť relační databázové schéma R={S(Ω, F)} je dekomponováno do R I ={R i (Ω i, F i )}, 1 < i < n Řekneme, že R má vlastnost pokrytí závislostí, pokud F + = n U i= 1 + F i Tj vezmeme-li funkční závislosti na jednotlivých R i a provedeme na nich uzávěr, potom bychom měli dostat totéž jako uzávěr na F. (F i jsou závislosti platící na Ω i tj. takové závislosti z F +, které jdou promítnout do Ω i.) Př: schéma EVIDENCE(Pracovník, Oddělení, Vedoucí) se závislostmi Pracovník > Oddělení, Oddělení > Vedoucí, Pracovník > Vedoucí Provedeme dekompozici UMÍSTĚNÍ(Pracovník, Oddělení) a VEDENÍ(Oddělení, Vedoucí) se závislostmi Pracovník > Oddělení a Oddělení > Vedoucí,dokážeme odvodit i třetí závislost 2) Dekompozice schématu znamená na úrovni databáze projekce původní relace na atributy v jednotlivých schématech dekompozice. Můžeme požadovat, aby dekompozice měla vlastnost bezeztrátového spojení tj. pro každou přípustnou relaci S * musí platit S * = n S * * i= 1 [ Ω ] i 12

13 Tj. že S se zpětně rekonstruovat pomocí přirozeného spojení projekcí S * na atributy jednotlivých relací dekompozice Přednáška Student Známka Programování Skála 1 Programování Adamec 2 Operační systémy Skála 1 Operační systémy Adamec 3 Operační systémy Suchánek 3 Dekompozice Přednáška Student Přednáška Známka Programování Skála Programování 1 Programování Adamec Programování 2 Operační systémy Skála Operační systémy 1 Operační systémy Adamec Operační systémy 3 Operační systémy Suchánek Výsledné spojení po dekompozici bude např. obsahovat i n-tici (Programování, Skála, 2) tj. vlastně získáme více dat, ale nevíme, která platí, takže je to vlastně ztráta Tvrzení 1 : Nechť je dáno schéma R(A, B, C), kde A, B, C jsou navzájem disjunktní množiny atributů a platí funkční závislost B > C. Rozložíme-li R na schémata R 1 (A, B) a R 2 (B, C), je takto provedená dekompozice bezeztrátová. Naopak, je-li dekompozice R 1 (A, B) a R 2 (B, C) bezeztrátová, musí platit buďto B > C nebo B > A. Tvrzení 2 : Nechť je dáno schéma R(A, B, C), kde A, B, C jsou navzájem disjunktní množiny atributů a platí multizávislost B >> C. Rozložíme-li R na schémata R 1 (A, B) a R 2 (B, C), je takto provedená dekompozice bezeztrátová. Naopak, je-li dekompozice R 1 (A, B) a R 2 (B, C) bezeztrátová, musí platit buďto B >> C (a tedy i B >> A). ALGORITMUS DEKOMPOZICE : begin Vysledek :={R} ; Hotovo := False ; Vytvor F + ; while (not Hotovo) do if ve Vysledek existuje R i, které není v BCNF then begin nechť X > Y je netriviální funkční závislost, která platí v R i (Ω i ) a X > Ω i není v F + ; Vysledek := (Vysledek R i (Ω i ) ) R i (Ω i - Y) R j (XY) end else Hotovo := true ; end ; 13

14 Př: F: PS > Z, P >U, HM >P, HU > M, HS > M P U M H S Z PS > Z P S Z P H S U M P >U P U P M H S HM >P P H M S H M Schéma R I = { PSZ, PU, PHM, SHM } P U M H S Z PS > Z P S Z P H S U M P >U P U P M H S PH >M P H M P H S 14

15 Schéma R II = { PSZ, PU, PHM, PHS } P U M H S Z PS > Z P S Z P H S U M P >U P U P M H S HS >M H S M H S P Schéma R III = { PSZ, PU, HSM, HSP } Tyto dekompozice nezachovávají pokrytí závislostí (např. R III ztrácí HM >P, PH >M ) Dekompozice podle multizávislostí P U M H S Z P >> HM P H M P S U Z P >U P U P S Z Schéma R IV = { P H M, P U, PS Z } je ve 4NF Syntéza Ze zadané množiny atributů a funkčních závislostí se vytvoří minimální pokrytí a závislosti se roztřídí do skupin tak, že v každé skupině jsou závislosti se stejnou levou stranou. Atributy závislostí každé skupiny tvoří jedno schéma vzniklé syntézou. Klíč tvoří již zmíněná levá strana funkčních závislostí. Jsou-li v takovýchto schématech schémata s ekvivalentními klíči, dají se sloučit v jedno, ovšem může se tak stát. že tím vzniknou tranzitivní závislosti. 15

16 Shrnutí některé důležité pojmy: klíč schématu Armstrongova pravidla dekompozice První normální forma (1NF) Druhá normální forma (2NF) Třetí normální forma (3NF) Čtvrtá normální forma (4NF) Zdrojová literatura : DRAGON, P., ALBHARI, B., NEWARK, T. C# v kostce. Grada, ISBN HERNANDEZ, M., J. Návrh databází.. Grada, ISBN KANISOVÁ, H.,MÜLLER, M. UML. Computer Press, ISBN KEOGH, J., GIANNINI, M. OOP Objektově orientované programování bezpředchozích znalostí. Computer Press, ISBN ŠIMŮNEK, M. SQL - kompletní kapesní průvodce.grada, 2001.ISBN

17 Řešte: 1. Pokuste se vysvětlit následující pojmy: a)první normální forma b)druhá normální forma c)třetí normální forma d)čtvrtá normální forma 17

Kapitola 7: Návrh relačních databází. Nástrahy relačního návrhu. Příklad. Rozklad (dekompozice)

Kapitola 7: Návrh relačních databází. Nástrahy relačního návrhu. Příklad. Rozklad (dekompozice) - 7.1 - Kapitola 7: Návrh relačních databází Nástrahy návrhu relačních databází Dekompozice (rozklad) Normalizace použitím funkčních závislostí Nástrahy relačního návrhu Návrh relačních databází vyžaduje

Více

5. Formalizace návrhu databáze

5. Formalizace návrhu databáze 5. Formalizace návrhu databáze 5.1. Úvod do teorie závislostí... 2 5.1.1. Funkční závislost... 2 5.1.2. Vícehodnotová závislost (multizávislost)... 7 5.1.3. Závislosti na spojení... 9 5.2. Využití teorie

Více

Terminologie v relačním modelu

Terminologie v relačním modelu 3. RELAČNÍ MODEL Relační model reprezentuje databázi jako soubor relací. Každá relace představuje tabulku nebo soubor ( ve smyslu soubor na nosiči dat ). Terminologie v relačním modelu řádek n-tice ( n-tuple,

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

Analýza a modelování dat 3. přednáška. Helena Palovská

Analýza a modelování dat 3. přednáška. Helena Palovská Analýza a modelování dat 3. přednáška Helena Palovská Historie databázových modelů Relační model dat Codd, E.F. (1970). "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks". Communications of the ACM

Více

TÉMATICKÝ OKRUH Teorie zpracování dat, Databázové a informační systémy a Teorie informačních systémů

TÉMATICKÝ OKRUH Teorie zpracování dat, Databázové a informační systémy a Teorie informačních systémů TÉMATICKÝ OKRUH Teorie zpracování dat, Databázové a informační systémy a Teorie informačních systémů Číslo otázky : 14. Otázka : Návrh struktury relační databáze, funkční závislosti. Obsah : 1. Návrh struktury

Více

Konceptuální modelování. Pavel Tyl 21. 3. 2013

Konceptuální modelování. Pavel Tyl 21. 3. 2013 Konceptuální modelování Pavel Tyl 21. 3. 2013 Vytváření IS Vytváření IS Analýza Návrh Implementace Testování Předání Jednotlivé fáze mezi sebou iterují Proč modelovat a analyzovat? Standardizované pracovní

Více

Relační model reprezentuje databázi jako soubor relací. Kaţdá relace představuje tabulku nebo soubor (ve smyslu soubor na nosiči dat).

Relační model reprezentuje databázi jako soubor relací. Kaţdá relace představuje tabulku nebo soubor (ve smyslu soubor na nosiči dat). 3. Relační model Relační model reprezentuje databázi jako soubor relací. Kaţdá relace představuje tabulku nebo soubor (ve smyslu soubor na nosiči dat). Příklad 3.1: Filmová databáze relace: FILM REŢISÉR

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Hierarchický databázový model

Hierarchický databázový model 12. Základy relačních databází Když před desítkami let doktor E. F. Codd zavedl pojem relační databáze, pohlíželo se na tabulky jako na relace, se kterými se daly provádět různé operace. Z matematického

Více

Kapitola 2: Entitně-vztahový model (Entity-Relationship model) Množiny entit (entitní množiny) Atributy

Kapitola 2: Entitně-vztahový model (Entity-Relationship model) Množiny entit (entitní množiny) Atributy - 2.1 - Kapitola 2: Entitně-vztahový model (Entity-Relationship model) Množiny entit Množiny vztahů Otázky návrhu Plánování mezí Klíče E-R diagram Rozšířené E-R rysy Návrh E-R databázového schématu Redukce

Více

DBS Konceptuální modelování

DBS Konceptuální modelování DBS Konceptuální modelování Michal Valenta Katedra softwarového inženýrství FIT České vysoké učení technické v Praze Michal.Valenta@fit.cvut.cz c Michal Valenta, 2010 BIVŠ DBS I, ZS 2010/11 https://users.fit.cvut.cz/

Více

4IT218 Databáze. 4IT218 Databáze

4IT218 Databáze. 4IT218 Databáze 4IT218 Databáze Osmá přednáška Dušan Chlapek (katedra informačních technologií, VŠE Praha) 4IT218 Databáze Osmá přednáška Normalizace dat - dokončení Transakce v databázovém zpracování Program přednášek

Více

Kapitola 3: Relační model. Základní struktura. Relační schéma. Instance relace

Kapitola 3: Relační model. Základní struktura. Relační schéma. Instance relace - 3.1 - Struktura relačních databází Relační algebra n-ticový relační kalkul Doménový relační kalkul Rozšířené operace relační algebry Modifikace databáze Pohledy Kapitola 3: Relační model Základní struktura

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky DATABÁZOVÉ SYSTÉMY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky DATABÁZOVÉ SYSTÉMY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky DATABÁZOVÉ SYSTÉMY (doplňující text ke konzultacím v 3. ročníku kombinovaného bakalářského studia oboru Aplikovaná

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více

Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Úvod do databázových systémů 2012/2013 IS MHD

Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Úvod do databázových systémů 2012/2013 IS MHD Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Úvod do databázových systémů 2012/2013 IS MHD Jiří Znoj, (zno0011) Ostrava, 29. listopadu 2012 I. Obsah I. Obsah...

Více

J. Zendulka: Databázové systémy 4 Relační model dat 1

J. Zendulka: Databázové systémy 4 Relační model dat 1 4. Relační model dat 4.1. Relační struktura dat... 3 4.2. Integritní pravidla v relačním modelu... 9 4.2.1. Primární klíč... 9 4.2.2. Cizí klíč... 11 4.2.3. Relační schéma databáze... 13 4.3. Relační algebra...

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Jiří Mašek BIVŠ V Pra r ha 20 2 08

Jiří Mašek BIVŠ V Pra r ha 20 2 08 Jiří Mašek BIVŠ Praha 2008 Procesvývoje IS Unifiedprocess(UP) Iterace vývoje Rysy CASE nástrojů Podpora metodických přístupů modelování Integrační mechanismy propojení modelů Podpora etap vývoje Generování

Více

Databázové systémy. Tomáš Skopal. - úvod do relačního modelu. - převod konceptuálního schématu do relačního

Databázové systémy. Tomáš Skopal. - úvod do relačního modelu. - převod konceptuálního schématu do relačního Databázové systémy - úvod do relačního modelu Tomáš Skopal - převod konceptuálního schématu do relačního Osnova přednášky relační model převod ER diagramu do relačního modelu tvorba univerzálního relačního

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Databáze Bc. Veronika Tomsová

Databáze Bc. Veronika Tomsová Databáze Bc. Veronika Tomsová Databázové schéma Mapování konceptuálního modelu do (relačního) databázového schématu. 2/21 Fyzické ik schéma databáze Určuje č jakým způsobem ů jsou data v databázi ukládána

Více

Program a životní cyklus programu

Program a životní cyklus programu Program a životní cyklus programu Program algoritmus zapsaný formálně, srozumitelně pro počítač program se skládá z elementárních kroků Elementární kroky mohou být: instrukce operačního kódu počítače příkazy

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky DATABÁZOVÉ SYSTÉMY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky DATABÁZOVÉ SYSTÉMY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav automatizace a informatiky DATABÁZOVÉ SYSTÉMY (doplňující text ke konzultacím v 3. ročníku kombinovaného bakalářského studia oboru Aplikovaná

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Relační databáze. V dnešní době existuje řada komerčních DBMS, nejznámější jsou:

Relační databáze. V dnešní době existuje řada komerčních DBMS, nejznámější jsou: Relační databáze Pojem databáze, druhy databází Databází se myslí uložiště dat. V době začátků využívání databází byly tyto členěny hlavně hierarchicky, případně síťově (rozšíření hierarchického modelu).

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Jaký je rozdíl v definicicíh VARCHAR2(20 BYTE) a VARCHAR2(20 CHAR):

Jaký je rozdíl v definicicíh VARCHAR2(20 BYTE) a VARCHAR2(20 CHAR): Mezi příkazy pro manipulaci s daty (DML) patří : 1. SELECT 2. ALTER 3. DELETE 4. REVOKE Jaké vlastnosti má identifikující relace: 1. Je relace, která se využívá pouze v případě modelovaní odvozených entit

Více

Téma 9 Databáze úvod, modelování dat

Téma 9 Databáze úvod, modelování dat Téma 9 Databáze úvod, modelování dat Obsah 1. Základní pojmy databází 2. Abstrakce, schémata, pohledy 3. Databázové modely 4. Modelování reálného světa 5. Entity a vztahy 6. Entity-elationship (E-) model

Více

MODELOVÁNÍ DAT V INFORMAČNÍCH SYSTÉMECH. Jindřich Kaluža Ludmila Kalužová

MODELOVÁNÍ DAT V INFORMAČNÍCH SYSTÉMECH. Jindřich Kaluža Ludmila Kalužová MODELOVÁNÍ DAT V INFORMAČNÍCH SYSTÉMECH Jindřich Kaluža Ludmila Kalužová Recenzenti: prof. Ing. Milan Turčáni, CSc. prof. Ing. Ivan Vrana, DrSc. Tato kniha vznikla za finanční podpory Studentské grantové

Více

Zadání. Slovníček pojmů. Otázka 19 A7B36DBS

Zadání. Slovníček pojmů. Otázka 19 A7B36DBS Otázka 19 A7B36DBS Zadání... 1 Slovníček pojmů... 1 Návrh relačního schématu... 2 Normalizace schématu formou dekompozice... 5 Kritéria kvality dekompozice... 15 Návrh schématu relační databáze přímou

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094

ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 10 ROZHODOVACÍ PROCEDURY A VERIFIKACE PAVEL SURYNEK, KTIML HTTP://KTIML.MFF.CUNI.CZ/~SURYNEK/NAIL094 Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze 1 ROZHODOVÁNÍ TEORIÍ POMOCÍ SAT ŘEŠIČE (SMT)

Více

2. Teorie databázových systémů

2. Teorie databázových systémů - 1-1. Úvod Zpracování dat můžeme definovat jako obsažné a účelné sestavení dat provedené strojem ze zadaných údajů. Cílem je nejen ušetřit lidskou práci a čas, ale zejména zabránit možným chybám. Výsledkem

Více

Materiál byl vytvořen v rámci projektu Nové výzvy, nové příležitosti, nová škola

Materiál byl vytvořen v rámci projektu Nové výzvy, nové příležitosti, nová škola Materiál byl vytvořen v rámci projektu Nové výzvy, nové příležitosti, nová škola Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Co je to databáze? Jaké

Více

Téma 9 Databáze úvod, modelovánídat

Téma 9 Databáze úvod, modelovánídat Téma 9 Databáze úvod, modelovánídat Obsah 1. Základní pojmy databází 2. Abstrakce, schémata, pohledy 3. Databázové modely 4. Modelování reálného světa 5. Entity a vztahy 6. Entity-Relationship (E-R) model

Více

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT pro kombinované a distanční studium Jana Šarmanová Ostrava 2003 Jana Šarmanová, 2003 Fakulta

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Database engine (databázový stroj, databázový motor, databázové jádro) Systém řízení báze dat SŘBD. Typy SŘBD podle způsobu práce s daty

Database engine (databázový stroj, databázový motor, databázové jádro) Systém řízení báze dat SŘBD. Typy SŘBD podle způsobu práce s daty Systém řízení báze dat SŘBD programový systém umožňující vytvoření, údržbu a použití báze dat databáze program Database engine (databázový stroj, databázový motor, databázové jádro) funkce: přenos (načítání)

Více

Strukturované metodologie

Strukturované metodologie Strukturované metodologie Strukturovaný přístup aplikace má podobu hierarchie funkcí, která je realizována strukturovanými programy styl práce: AKCE OBJEKT Entitně relační model (ERA) alternativní názvy:

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

ROZDÍLY V NÁVRZÍCH RELAČNÍCH A OBJEKTOVÝCH DATABÁZÍ A JEJICH DŮSLEDKY PRO TRANSFORMACI MODELŮ

ROZDÍLY V NÁVRZÍCH RELAČNÍCH A OBJEKTOVÝCH DATABÁZÍ A JEJICH DŮSLEDKY PRO TRANSFORMACI MODELŮ ROZDÍLY V NÁVRZÍCH RELAČNÍCH A OBJEKTOVÝCH DATABÁZÍ A JEJICH DŮSLEDKY PRO TRANSFORMACI MODELŮ RELATIONAL AND OBJECT DATABASES DESIGN DIFFERENCES AND IT S IMPLICATIONS TO MODEL TRANSFORMATION Vít Holub

Více

POKROČILÉ POUŽITÍ DATABÁZÍ

POKROČILÉ POUŽITÍ DATABÁZÍ POKROČILÉ POUŽITÍ DATABÁZÍ Barbora Tesařová Cíle kurzu Po ukončení tohoto kurzu budete schopni pochopit podstatu koncepce databází, navrhnout relační databázi s využitím pokročilých metod, navrhovat a

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Databázové systémy IDS

Databázové systémy IDS Databázové systémy IDS Studijní opora doc. Ing. Jaroslav Zendulka Ing. Ivana Rudolfová Verze: 18. 7. 2006 Tato publikace je určena výhradně jako podpůrný text pro potřeby výuky. Bude užita výhradně v přednáškách

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Metody tvorby ontologií a sémantický web. Martin Malčík, Rostislav Miarka

Metody tvorby ontologií a sémantický web. Martin Malčík, Rostislav Miarka Metody tvorby ontologií a sémantický web Martin Malčík, Rostislav Miarka Obsah Reprezentace znalostí Ontologie a sémantický web Tvorba ontologií Hierarchie znalostí (D.R.Tobin) Data jakékoliv znakové řetězce

Více

Kód. Proměnné. #include <iostream> using namespace std; int main(void) { cout << "Hello world!" << endl; cin.get(); return 0; }

Kód. Proměnné. #include <iostream> using namespace std; int main(void) { cout << Hello world! << endl; cin.get(); return 0; } Jazyk C++ Jazyk C++ je nástupcem jazyka C. C++ obsahuje skoro celý jazyk C, ale navíc přidává vysokoúrovňové vlastnosti vyšších jazyků. Z toho plyne, že (skoro) každý platný program v C je také platným

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Databázové systémy 2. Studijní opora. Ing. Zbyněk Bureš. Ph.D.

Databázové systémy 2. Studijní opora. Ing. Zbyněk Bureš. Ph.D. Databázové systémy 2 Studijní opora Ing. Zbyněk Bureš. Ph.D. Zbyněk Bureš DATABÁZOVÉ SYSTÉMY 2 1. vydání ISBN 978-80-87035-89-4 Vydala Vysoká škola polytechnická Jihlava, Tolstého 16, Jihlava, 2014 Tisk

Více

PRG036 Technologie XML

PRG036 Technologie XML PRG036 Technologie XML Přednáší: Irena Mlýnková (mlynkova@ksi.mff.cuni.cz) Martin Nečaský (necasky@ksi.mff.cuni.cz) LS 2010 Stránka přednášky: http://www.ksi.mff.cuni.cz/~mlynkova/prg036/ 1 Osnova předmětu

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

2 Konceptuální modelování a návrh databáze

2 Konceptuální modelování a návrh databáze 2 Konceptuální modelování a návrh databáze 2.1. Úloha konceptuálního modelování v procesu návrhu databáze... 2 2.2. E - R modely... 6 2.3. Doporučení pro modelování a tvorbu ER diagramu... 22 2.4. Transformace

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

6. blok část B Vnořené dotazy

6. blok část B Vnořené dotazy 6. blok část B Vnořené dotazy Studijní cíl Tento blok je věnován práci s vnořenými dotazy. Popisuje rozdíl mezi korelovanými a nekorelovanými vnořenými dotazy a zobrazuje jejich použití. Doba nutná k nastudování

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku

- znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku Znaky - standardní typ char var Z, W: char; - znakové konstanty v apostrofech, např. a, +, (znak mezera) - proměnná zabírá 1 byte, obsahuje kód příslušného znaku - v TP (často i jinde) se používá kódová

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

2 Konceptuální modelování a návrh databáze

2 Konceptuální modelování a návrh databáze 2 Konceptuální modelování a návrh databáze 2.. Úloha konceptuálního modelování v procesu návrhu databáze... 2 2.2. E - R modely... 6 2.3. Doporučení pro modelování a tvorbu ER diagramu... 22 2.4. Transformace

Více

Zadání. Slovníček pojmů

Zadání. Slovníček pojmů Otázka 17 A7B36DBS Zadání... 1 Slovníček pojmů... 1 Datové modely... Chyba! Záložka není definována. Konceptuální datový model... 3 Databázové modely... 6 Fyzický pohled na data... 8 Relační datový model...

Více

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky MS Excel 2007 Kontingenční tabulky Obsah kapitoly V této kapitole se seznámíme s nástrojem, který se používá k analýze dat rozsáhlých seznamů. Studijní cíle Studenti budou umět pro analýzu dat rozsáhlých

Více

Automatizované řešení úloh s omezeními

Automatizované řešení úloh s omezeními Automatizované řešení úloh s omezeními Martin Kot Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 25. října 2012 M. Kot

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Databázové systémy. Ostatní typy spojení. Vilém Vychodil. V. Vychodil (KMI/DATA1, Přednáška 5) Ostatní typy spojení Databázové systémy 1 / 34

Databázové systémy. Ostatní typy spojení. Vilém Vychodil. V. Vychodil (KMI/DATA1, Přednáška 5) Ostatní typy spojení Databázové systémy 1 / 34 Databázové systémy Ostatní typy spojení Vilém Vychodil KMI/DATA1, Přednáška 5 Databázové systémy V. Vychodil (KMI/DATA1, Přednáška 5) Ostatní typy spojení Databázové systémy 1 / 34 Přednáška 5: Přehled

Více

Analýza a návrh webových aplikací I N G. M A R T I N M O L H A N E C, C S C. Y 1 3 A N W

Analýza a návrh webových aplikací I N G. M A R T I N M O L H A N E C, C S C. Y 1 3 A N W Analýza a návrh webových aplikací I N G. M A R T I N M O L H A N E C, C S C. Y 1 3 A N W Osnova dnešní přednášky Proč tento předmět vlastně existuje? Proč nestačí standardní metodiky SI? Co standardním

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

INFORMATIKA. Jindřich Kaluža. Ludmila Kalužová

INFORMATIKA. Jindřich Kaluža. Ludmila Kalužová INFORMATIKA Jindřich Kaluža Ludmila Kalužová Recenzenti: doc. RNDr. František Koliba, CSc. prof. RNDr. Peter Mikulecký, PhD. Vydání knihy bylo schváleno vědeckou radou nakladatelství. Všechna práva vyhrazena.

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 60. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Maturitní témata Školní rok: 2015/2016

Maturitní témata Školní rok: 2015/2016 Maturitní témata Školní rok: 2015/2016 Ředitel školy: Předmětová komise: Předseda předmětové komise: Předmět: PhDr. Karel Goš Informatika a výpočetní technika Mgr. Ivan Studnička Informatika a výpočetní

Více

Principy UML. Clear View Training 2005 v2.2 1

Principy UML. Clear View Training 2005 v2.2 1 Principy UML Clear View Training 2005 v2.2 1 1.2 Co je touml? Unified Modelling Language (UML) je univerzálníjazyk pro vizuální modelování systémů Podporuje všechny životní cykly Mohou jej implementovat

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více