kovů v sedimentech řeky Moravy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "kovů v sedimentech řeky Moravy"

Transkript

1 Smíšené regresní modely při sledování obsahu těžkých kovů v sedimentech řeky Moravy Marie Forbelská Masarykova univerzita Brno Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

2 Obsah 1 Skupinově závislá data 2 Jednoduché modely 3 Obecná definice LMM modelů 4 Odhady parametrů 5 Jednoduchý model pro reálná data Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

3 Skupinově závislá data Skupinově závislá data Klasické statistické metody se obvykle zajímají buď nezávislými pozorováními nebo časovými řadami V praxi se však občas setkáváme s daty, která se sestávají z nezávislých skupin vzájemně závislých pozorování. Ke správné a efektivní analýze takových dat potřebujeme speciální a zatím relativně málo známé metody. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

4 Skupinově závislá data Typy skupinově závislých dat Skupinově závislá data lze zhruba rozdělit do tří skupin 1 čistě skupinová data pozorování, který se týkají skupin vzájemně spřízněných a souvisejících objektů či subjektů, např. pozorování na členech jedné rodiny či sourozencích na výrobcích pocházejících ze stejné dílny na plodinách sklizených z různých částí téhož pole 2 opakovaná měření učiněná na téže jednotce 3 longitudinální data opakovaná měření probíhající v čase Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

5 Specifikace skupin Skupinově závislá data 1 Čistě skupinová data vyznačují se tím, že nemají žádné přirozené uspořádání mezi jednotlivými závislými měřeními. 2 Opakovaná měření pozorování jsou uspořádána podle pořadí: první, druhé, třetí... 3 Longitudinální data navíc poskytují informaci o čase měření; podobají se pozorováním kratších úseků nezávislých časových řad. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

6 Skupinově závislá data Cíle modelování skupinově závislých dat Modelovat závislost jejich středních hodnot a rozptylu na experimentálních podmínkách, při nichž byla učiněna jednotlivá měření na pozorovaných charakteristikách experimentálních objektů Tato formulace vede k problému regresního modelování po skupinách korelovaných pozorování. jako funkce experimentálních podmínek charakteristik měřených objektů rizikových faktorů, apod. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

7 Skupinově závislá data Matematická formulace problému Značení index j (j = 1,..., N) označení nezávislé experimentální jednotky (skupiny, subjekty) dvojice indexů ji (i = 1,..., n j ) označení pro korelovaná pozorování na j-té jednotce n = N celkový počet pozorování n j j=1 Y ji = β 0 + x ji1 β x jip β p + ε ji měření, kde ε ji regresní model pro ji-té náhodné odchylky s nulovou střední hodnotou a pro něž C(ε ji, ε j i ) = 0 pro j j, ale C(ε ji, ε ji ) může být nenulové. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

8 Skupinově závislá data Maticový zápis pro j -tou jednotku Y j = X j β + ε j Y j = (Y j1,..., Y jnj ) vektor opakovaných měření na j -té jednotce x j1 1 X j =.., kde x x ji1 (nenáhodná) ji = matice plánu. pro j -tou jednotku x jn j x jip ε j = (ε j1,..., ε jnj ) N nj (0, σ 2 Σ j ) vektor náhodných chyb pro j -tou jednotku β = (β 0,..., β p ) vektor neznámých parametrů Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

9 Skupinově závislá data Společný maticový zápis Y = Xβ + ε, kde ε N n (0, Σ) Y = Y 1. Y N, X = X 1. X N Σ Σ = σ Σ N, ε = ε 1. ε N, Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

10 Skupinově závislá data Náhodné efekty a lineární smíšený model Znovu předpokládáme model Y j = X j β + ε j, ε j N nj (0, σ 2 Σ j ) Rozptylová matice určující korelace mezi Y ji a Y ji kde není diagonální varε j = V j = σ 2 Σ j = V j (ψ) a lineární smíšený model odhaduje vektor parametrů ψ z pozorovaných dat (tj. na základě prediktorů) společně s regresními parametry β. Parametrizace rozptylu může mít několik komponent, mezi nimiž hrají důležitou roli náhodné efekty. Dále na jednoduchém motivačním příkladu ukážeme, jak fungují náhodné efekty v případě lineárního růstového modelu. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

11 Jednoduché modely Jednoduché příklady Uvažujme lineární růstový model Y ji = β 0 + β 1 t ji + ε ji, kde EY ji = β 0 + β 1 t ji a t ji je čas i -tého pozorování subjektu j. Pokud například odezvu Y ji interpretujeme jako výšku sledovaného subjektu (člověka, stromu, apod.) v čase t ji, pak parametr β 0 β 1 označuje průměrnou výšku v čase 0 a je průměrný přírůstek za jednotku času. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

12 Jednoduché modely Náhodný absolutní člen Předpokládejme, že sledovaní jedinci mají tendenci být buď systematicky vyšší nebo systematicky nižší než průměr, a to po celou dobu sledování. Proto pro j -tý subjekt zavedeme nepozorovanou náhodnou odchylku od průměru b 0 N(0, σ 2 0 ). Pak model upravíme takto Y ji = β 0 + β 1 t ji + b 0 + η ji, kde } {{ } ε ji η ji iid N(0, σ 2 ) a η ji b 0. Pak R(Y ji, Y ji )=R(ε ji, ε ji )= C(ε ji,ε ji Dεji Dεji = (b0+η ji,b 0+η ji ) = Db0 b0+η ji b0+η ji Db 0+Dη ji = σ2 0 > 0 σ0 2+σ2 Navíc pořád bude platit EY ji = β 0 + β 1 t ji Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

13 Jednoduché modely Náhodný absolutní člen i směrnice Nyní budeme předpokládat, že sledovaní jedinci se liší nejen polohou, ale i směrnicí růstu. Zavedeme navíc nepozorovanou náhodnou veličinu b 1 N(0, σ 2 1 ). Pak model upravíme takto Y ji = β 0 + β 1 t ji + b 0 + b 1 t ji + η ji, kde } {{ } ε ji η ji, b 0, b 1 jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak C(Y ji, Y ji )=C(ε ji, ε ji )=C(b 0 +b 1 t ji +η ji, b 0 +b 1 t ji +η ji ) a vidíme, že v =Db 0 + t ji t ji Db 1 = σ0 2 + t jit ji σ1 2 > 0 modelu s náhodnou směricí jak rozptyl Y ji, tak kovariance mezi Y ji a Y ji rostou s časem. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

14 Obecná definice LMM modelů Lineární smíšený model (Linear Mixed Model LMM) Obecný model s náhodnými efekty zobecňuje princip, který jsme ilustrovali zavedením náhodného absolutního členu a náhodné směrnice. Uvažujme náhodné parametry pro jakékoli prediktory. Dostaneme model Y j = X j β + Z j b j + η j, kde } {{ } ε j matice plánu X j je typu n j k (k = p + 1) a Z j je typu n j q, vektor pevných efektů β je typu k 1 vektor náhodných efektů b j N q (0, D) je typu q 1 η j N nj (0, σ 2 Σ j ), oba normální vektory b j a η j jsou nezávislé. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

15 Obecná definice LMM modelů Varianční struktura LMM Zavedením náhodných efektů modelujeme rozptyl V j = DY j = Dε j = D(Z j b j + η j ) = Z j DZ j + σ2 Σ j (a tím i korelace mezi Y ji a Y ji ) Pro longitudinální data přidáme autoregresní složku W j (t), tj. ε j = Z j b j + W j (t) + η j, kde W j (t) je vektor hodnot autoregresního procesu v časech t = (t j1,..., t jnj ) s rozptylem τ 2 a korelační funkcí R(W j(s 1), W j(s 2))=e φ s 1 s 2 Pak autokorelační složka vnáší do modelu pozitivní korelace, které klesají se vzrůstajícím rozdílem času. Časově blízká pozorování jsou pak více korelovaná, než pozorování vzdálená. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

16 Odhady parametrů Odhady parametrů v LMM modelech Parametry LMM modelu se odhadují za předpokladu, že všechny složky náhodné chyby mají mnohorozměrné normální rozdělení. Označíme-li neznámé parametry matice V j jako ψ a budeme-li předpokládat, že je známe, pak ML odhad 1 N N β = X jv 1 j X j X jv 1 j Y j (1) j=1 Lze ukázat, že jde o nejlepší nestranný lineární odhad (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE) pro β, kde nejlepší znamená, že má minimální střední kvadratickou chybu. j=1 Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

17 Odhady parametrů BLUP odhady náhodných efektů Chceme li predikovat náhodné efekty, použijeme podmíněnou střední hodnotu E(b j Y j ) Za předpokladu, že ψ známe dostaneme b j = DZ jv 1 j (Y j X j β), (2) Lze ukázat, že jde o nejlepší nestranný lineární prediktor (Best Linear Unbiased Predictor, BLUP) pro b j, kde nejlepší je opět ve smyslu minimální střední kvadratické chyby. Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

18 ML (REML) odhady ψ Odhady parametrů Odhad parametrů ψ se provádí pomocí metody maximální věrohodnosti (ML-odhad, l 1 ), popř. REML (Restricted Maximum Likelihood, l 2 ). N N l 1(ψ; y 1,..., y N )= c 1 1 log( V 2 j ) 1 2 j=1 j=1 N N l 2(ψ; y 1,..., y N )= c 2 1 log( V 2 j ) 1 2 kde r j = y j X j j=1 N 1 2 j=1 ( N j=1 j=1 r j V 1 j r j (3) r j V 1 j r j log( X jv 1 j X j ) (4) X j V 1 j X j ) 1 ( N c 1 a c 2 jsou vhodné konstanty. j=1 X j V 1 j y j ) 1 Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

19 Odhady parametrů Numerické výpočty Rovnice (3) a (4) se maximalizují iterativně (Fisher scoring, Newton Raphson, více viz Demidenko, 2004). V rovnicích (1) a (2) se neznámé ψ nahradí ψml nebo ψ REML, v tom případě mluvíme o empirickém BLUE odhadu pro β, popř. empirickém BLUP odhadu pro b j Pro testování fixních efektů, náhodných efektů a variančních komponent se využívají testy poměrem věrohodností nebo Waldovy testy (více Verbeke and Molenberghs, 2000). Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

20 Predikce Odhady parametrů Prediktor pro podmíněnou střední hodnotu E(Y j b j ) = µ j bj = X j β + Z j b j dostaneme po dosazení příslušných odhadů do rovnic (1) a (2) µ j bj = X j β + Zj bj = X j β + Zj DZ j V 1 j (Y j X j β) = (I nj Z j DZ j V 1 j )X j β + Zj DZ j V 1 j Y j = Σ j V 1 j X j β + (Inj Σ j V 1 j X j )Y j. Vidíme, že výraz µ j bj je váženým průměrem X j β (vztahující se k celé populaci) a Y j (vztahující se k subjektu j ). Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

21 Jednoduchý model pro reálná data Dlouhodobé sledování obsahu prioritních a dalších nebezpečných látek v sedimentech řeky Moravy v letech V nejvíce zatížených úsecích, situovaných v podélném profilu řeky Moravy mezi 298. a 93. říčním kilometrem, bylo sledováno více než 50 ukazatelů ze skupin těžké kovy, polychlorované bifenyly (PCB), organochlorované pesticidy (OCP) a polyaromatické uhlovodíky (PAU). Příklad prezentuje první výsledky účelového sledování a následného statistického zhodnocení časového vývoje obsahu prioritních a dalších nebezpečných látek v sedimentech řeky Moravy, a to v letech Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

22 Jednoduchý model pro reálná data Specifikace sběru dat Vzorky sedimentů byly odebírány v 7 lokalitách v podélném profilu řeky Moravy 1. Šumperk pod 5. Uherské Hradiště pod 2. Olomouc pod 6. Hodonín pod 3. Kroměříž pod 7. Lanžhot pod 4. Otrokovice pod ze dna tzv. brodící metodou pomocí ručního vzorkovače na tyči. Část předupraveného vzorku pak byla uřčena ke stanovení těžkých kovů olova (Pb), rtuti (Hg), kadmia (Cd) a niklu (Ni). Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

23 Jednoduchý model pro reálná data Model Y ji = β 0 + β 1 t ji + ε ji = β 0 + β 1 t ji + b j0 + η ji } {{ } ε ji lokality j = 1,..., 7 η ji N(0, σ 2 j ) (heteroskedastický) b j0 N(0, σ 2 b ) počty pozorování uvnitř lokalit n j lokalita Šumperk pod Olomouc pod Kroměříž pod Otrokovice pod Uherské Hradiště pod Hodonín pod Lanžhot pod Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

24 Olovo Pb Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod 300 Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod Pb[mg/kg] Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod year Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod 5 logpb[mg/kg] Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

25 Rtuť Hg Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod Hg[mg/kg] Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year 1 Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod loghg[mg/kg] 3 Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

26 Kadmium Cd Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod 4 3 Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod Cd[mg/kg] Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod logcd[mg/kg] 3 Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

27 Nikl Ni Jednoduchý model pro reálná data Ni[mg/kg] Morava Šumperk pod Morava Uherské Hradiště pod Morava Olomouc pod Morava Hodonín pod Morava Kroměříž pod Morava Lanžhot pod 100 Morava Otrokovice pod year Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod logni[mg/kg] 2.5 Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

28 Jednoduchý model pro reálná data Výpočet v prostředí R library(nlme) t <- year model<-lme(y~t,data,random=~1 locality, weights=varident(form=~1 locality), na.action = na.omit) summary(model) Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

29 Olovo - Pb Jednoduchý model pro reálná data Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC loglik Random effects: Formula: ~1 locality (Intercept) Residual StdDev: Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod Morava - Kroměříž pod Morava - Otrokovice pod Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod Morava - Lanžhot pod Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) t Correlation: (Intr) t Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 Max Number of Observations: 149 Number of Groups: 7 Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

30 Olovo - Pb Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod log(pb) 2 Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year 2003 OLS fitted curve river averaged curve location specific curve Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

31 Rtuť - Hg Jednoduchý model pro reálná data Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC loglik Random effects: Formula: ~1 locality (Intercept) Residual StdDev: Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod Morava - Kroměříž pod Morava - Otrokovice pod Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod Morava - Lanžhot pod Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) t Correlation: (Intr) t Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 Max Number of Observations: 145 Number of Groups: 7 Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

32 Rtuť - Hg Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod log(hg) Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year 2003 OLS fitted curve river averaged curve location specific curve Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

33 Kadmium - Cd Jednoduchý model pro reálná data Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC loglik Random effects: Formula: ~1 locality (Intercept) Residual StdDev: Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod Morava - Kroměříž pod Morava - Otrokovice pod Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod Morava - Lanžhot pod Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) e+00 t e-04 Correlation: (Intr) t 0.01 Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 Max Number of Observations: 149 Number of Groups: 7 Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

34 Kadmium - Cd Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod log(cd) 3 Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year 2003 OLS fitted curve river averaged curve location specific curve Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

35 Nikl - Ni Jednoduchý model pro reálná data Linear mixed-effects model fit by REML Data: data AIC BIC loglik Random effects: Formula: ~1 locality (Intercept) Residual StdDev: Variance function: Structure: Different standard deviations per stratum Formula: ~1 locality Parameter estimates: Morava - Šumperk pod Morava - Olomouc pod Morava - Kroměříž pod Morava - Otrokovice pod Morava - Uherské Hradiště pod Morava - Hodonín pod Morava - Lanžhot pod Fixed effects: y ~ t Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) t Correlation: (Intr) t Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 Max Number of Observations: 105 Number of Groups: 7 Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

36 Nikl - Ni Jednoduchý model pro reálná data Morava Šumperk pod Morava Olomouc pod Morava Kroměříž pod Morava Otrokovice pod log(ni) Morava Uherské Hradiště pod Morava Hodonín pod Morava Lanžhot pod year 2003 OLS fitted curve river averaged curve location specific curve Marie Forbelská (MU ÚMS) LMM obsah těžkých kovů v řece Moravě / 36

DÚ 7 Identifikace dopadů antropogenních tlaků na povrchové vody a vodní ekosystém

DÚ 7 Identifikace dopadů antropogenních tlaků na povrchové vody a vodní ekosystém DÚ 7 Identifikace dopadů antropogenních tlaků na povrchové vody a vodní ekosystém Řešitelé: Ing. Hana Hudcová Ing. Ilja Bernardová Spoluřešitelé a spolupracovníci: VÚV T.G.M., v.v.i. Mgr. Petr Medek Ing.

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti

Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Popis modelu pro odhady PH mléčné užitkovosti Zvířata zařazená do hodnocení V modelu plemene H jsou hodnoceny krávy s podílem krve H nebo 75% a výše. V modelu plemene C jsou hodnoceny krávy s podílem krve

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Revidované referenční hodnoty pro sledované toxické prvky v krvi a moči české populace

Revidované referenční hodnoty pro sledované toxické prvky v krvi a moči české populace Revidované referenční hodnoty pro sledované toxické prvky v krvi a moči české populace Andrea Krsková Humánní biomonitoring současný stav a perspektivy SZÚ, 23. 11. 2011 Úvod v životním prostředí se vyskytuje

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

05/29/08 cvic5.r. cv5.dat <- read.csv("cvic5.csv")

05/29/08 cvic5.r. cv5.dat <- read.csv(cvic5.csv) Zobecněné lineární modely Úloha 5: Vzdělání a zájem o politiku cv5.dat

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1

6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy Obsah 6 Vícerovnicové ekonometrické soustavy 1 6.1 SUR - Seemingly unrelated regression (zdánlivě nepropojené regrese).......... 3 6.2 Panelová data.........................................

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické

Cronbachův koeficient α nová adaptovaná metoda uvedení vlastností položkové analýzy deskriptivní induktivní parametrické Československá psychologie 0009-062X Metodologické požadavky na výzkumné studie METODOLOGICKÉ POŽADAVKY NA VÝZKUMNÉ STUDIE Výzkumné studie mají přinášet nová konkrétní zjištění získaná specifickými výzkumnými

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Vícerozměrné metody. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Schematický úvod

Vícerozměrné metody. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Schematický úvod PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12 Vícerozměrné metody Schematický úvod Co je na slově statistika tak divného, že jeho vyslovení tak často způsobuje napjaté ticho? William Kruskal

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 11 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické

Více

Vybrané toxické a benefitní prvky v krvi seniorů (grant IGA) srovnání s výsledky MZSO

Vybrané toxické a benefitní prvky v krvi seniorů (grant IGA) srovnání s výsledky MZSO Vybrané toxické a benefitní prvky v krvi seniorů (grant IGA) srovnání s výsledky MZSO Andrea Krsková, Milena Černá Humánní biomonitoring současný stav a perspektivy SZÚ, 23. 11. 2011 Hodnocení nutričního

Více

Vybrané partie z obrácených úloh. obrácených úloh (MG452P73)

Vybrané partie z obrácených úloh. obrácených úloh (MG452P73) Vybrané partie z obrácených úloh obrácených úloh (MG452P73) Obsah přednášky Klasifikace obrácených úloh a základní pojmy Lineární inverzní problém, prostor parametrů a dat Gaussovy transformace, normální

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ ZOBECNĚNÝ LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL. METODA ZOBECNĚNÝCH NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ V následujícím textu se podíváme na to, co dělat, když jsou porušeny některé GM předpoklady. Nejprve si připomeňme, o jaké předpoklady

Více

Vícerozměrné statistické metody

Vícerozměrné statistické metody Vícerozměrné statistické metody Smysl a cíle vícerozměrné analýzy dat a modelování, vztah jednorozměrných a vícerozměrných statistických metod Jiří Jarkovský, Simona Littnerová Průběh výuky 13 přednášek

Více

Statistické metody vyhodnocení vlivu škodlivin na denní úmrtnost, hospitalizaci a příznaky kardiovaskulárních a respiračních onemocnění

Statistické metody vyhodnocení vlivu škodlivin na denní úmrtnost, hospitalizaci a příznaky kardiovaskulárních a respiračních onemocnění Statistické metody vyhodnocení vlivu škodlivin na denní úmrtnost, hospitalizaci a příznaky kardiovaskulárních a respiračních onemocnění Jiří Skorkovský Úvod a cíle studie vlivu PM10 na denní

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

POPTÁVKA PO VEŘEJNÉ DOPRAVĚ V ZÁVISLOSTI NA ŠKOLSTVÍ V KRAJI TRANSPORT DEMAND DEPENDS ON EDUCATION ON REGIONS

POPTÁVKA PO VEŘEJNÉ DOPRAVĚ V ZÁVISLOSTI NA ŠKOLSTVÍ V KRAJI TRANSPORT DEMAND DEPENDS ON EDUCATION ON REGIONS POPTÁVKA PO VEŘEJNÉ DOPRAVĚ V ZÁVISLOSTI NA ŠKOLSTVÍ V KRAJI TRANSPORT DEMAND DEPENDS ON EDUCATION ON REGIONS Kateřina Pojkarová Anotace:Dopravu vužívají lidé za různým účelem, mimo jiné i ke svým cestám

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů.

Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Masarykova Univerzita Přírodovědecká fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Karolína Mladá Jednoduché strukturální modely časových řad Vedoucí práce: RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Studijní program: Aplikovaná matematika

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII

ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII ANALÝZA KATEGORIZOVANÝCH DAT V SOCIOLOGII Tomáš Katrňák Fakulta sociálních studií Masarykova univerzita Brno SOCIOLOGIE A STATISTIKA nadindividuální společenské struktury podmiňují lidské chování (Durkheim)

Více

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO SRÁŽKOVÁ A TEPLOTNÍ DATA Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Novohradské statistické dny ÚVOD Velká pozornost

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra

Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra Teorie: Derivační spektrofotometrie, využívající derivace absorpční křivky, je obecně používanou metodou pro zvýraznění detailů průběhu záznamu,

Více

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne. 21.3.2012 Příprava Opravy Učitel Hodnocení

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne. 21.3.2012 Příprava Opravy Učitel Hodnocení FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEKT VUT BRNO Jméno a příjmení Vojtěch Přikryl Ročník 1 Předmět IFY Kroužek 35 ID 143762 Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne Daniel Radoš 7.3.2012 21.3.2012 Příprava

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Statistika v příkladech

Statistika v příkladech Verlag Dashöfer Statistika v příkladech Praktické aplikace řešené v MS Ecel Ukázkové tety z připravované učebnice Doc. Ing. Jan Kožíšek, CSc. Ing. Barbora Stieberová, Ph.D. Praha 0 Obsah Obsah. Předmluva

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

D D P. e e e. ...požadovaná výnosová míra D...očekávané dividendy P. očekávaná prodejní cena. D n. n nekonečno. e e e e

D D P. e e e. ...požadovaná výnosová míra D...očekávané dividendy P. očekávaná prodejní cena. D n. n nekonečno. e e e e Téma 8: Chování cen akcií a investiční management Struktura přednášky: 1. Chování cen akcií fundamentální a technická analýza a teorie efektivních trhů. Riziko a výnos Markowitzův model 3. Kapitálový trh

Více

Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz. FIT VUT Brno

Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz. FIT VUT Brno Určování základního tónu řeči Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz FIT VUT Brno Určování základního tónu řeči Jan Černocký, ÚPGM FIT VUT Brno 1/37 Plán Charakteristiky základního tónu

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

STATISTIKA MIGRANTŮ PRO REGIONY V MORAVSKOSLEZSKÉM KRAJI A PRO KRAJ V OBDOBÍ 1992-2005

STATISTIKA MIGRANTŮ PRO REGIONY V MORAVSKOSLEZSKÉM KRAJI A PRO KRAJ V OBDOBÍ 1992-2005 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Hornicko-geologická fakulta institut geoinformatiky STATISTIKA MIGRANTŮ PRO REGIONY V MORAVSKOSLEZSKÉM KRAJI A PRO KRAJ V OBDOBÍ 1992-2005 Speciální metody

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

IBM SPSS Complex Samples

IBM SPSS Complex Samples IBM Software IBM SPSS Complex Samples Analyzujte výsledky komplexních výběrových šetření korektním způsobem Korektní zpracování výzkumů založených na komplexních výběrových plánech není snadné. Statistické

Více

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné. Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/4.018 Šablona III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY INOVACE_Hor015 Vypracoval(a), dne Mgr.

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Credit scoring. Libor Vajbar Analytik řízení rizik. 18. dubna 2013. Brno

Credit scoring. Libor Vajbar Analytik řízení rizik. 18. dubna 2013. Brno Credit scoring Libor Vajbar Analytik řízení rizik 18. dubna 2013 Brno 1 PROFIL SPOLEČNOSTI Home Credit a.s. přední poskytovatel spotřebitelského financování Úvěrové produkty nákup na splátky u obchodních

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek

CHEMOMETRIKA a STATISTIKA. Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 2012) Miloslav Suchánek CHEMOMETRIKA a STATISTIKA Prozatímní učební text vybrané příklady (srpen 01) Miloslav Suchánek Úkol č. 1 Maticové operace s využitím EXCELu V EXCELu jsou dvě důležité maticové operace, které nám pomohou

Více

Predikční modely nehodovosti a jejich využití při hodnocení efektivity investic do infrastruktury Petr Šenk

Predikční modely nehodovosti a jejich využití při hodnocení efektivity investic do infrastruktury Petr Šenk Predikční modely nehodovosti a jejich využití při hodnocení efektivity investic do infrastruktury Petr Šenk Pilot4Safety is supported by funding from the DG MOVE of the European Commission under grant

Více