Příklady k přednášce 2 - Spojité modely
|
|
- Vojtěch Hruška
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 5 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti -5-5
2 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice v čaové oblati xt () () (), (), () () 8 6 xt + t x t t Při řešení v čaové oblati najdeme vlatní číla ( I A) p ( ) det , 4 a předpokládáme tavovo matici přechod ve tvar t 4t t 4t Ke + Ke Ke 3 + Ke 4 Φ() t t 4t t 4t K5e + K6e K7e + K8e Kontanty najdeme ze známých vlatnotí matice Φ() I K+ K, K3+ K4, K5 + K6, K7 + K8 Φ () A K 4K, K 4K, K 4K 8, K 4K takže t 4t t 4t e e e e Φ() t t 4t t 4t 4e + 4e e + e Michael Šebek ARI-Pr--5
3 Řešení tavové rovnice v čaové oblati Atomatické řízení - Kybernetika a robotika a odezva na počáteční tav je Φ( t) x() t 4t e e t 4t 4e + 4e dále Φ( t τ ) B a z toho t ( tτ) 4( tτ) e e ( tτ) 4( tτ) e + e t t 4 4 t τ t τ t 4t e e dτ e e dτ e + e Φ( t τ) B( τ) dτ t t t τ 4t 4τ t 4t e e dτ + e e dτ e e Takže celková odezva je 7 t 7 4t t + e e x() t Φ() t x() + Φ( t τ) B( τ) dτ 7 t 7 4t e + e Michael Šebek ARI-Pr--5 3
4 Řešení Laplaceovo tranformací Atomatické řízení - Kybernetika a robotika xt () xt () + t (), x(), t () () t I A 8 6 I A ( ) ( ) Obraz odezvy je celkem ( ) ( ) x() ( I A) B() + ( I A) x ( ) ( 6 8) ( + )( + 4) 8 4( + ) 8( + 4) ( + )( + 4) ( + ) ( + 4) a čaový průběh odezvy je tejný jako v minlém řešení Michael Šebek ARI-Pr--5 4
5 Řešení Laplaceovo tranformací Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Dále: z rozklad na parciální zlomky ( + ) ( + 4) ( I A) je zřejmé, že to je obraz tavové matice přechod >> Fiinv([ ; ]-A) Fi ^ >> xfi*([;]+[;/]) x ^ ^ + ^3 >> xpartial(x()) x -7/8 7/4 / >> xpartial(x()) x 7/ -7/ >> Fipartial(Fi(,)) Fi Michael Šebek ARI-Pr--5 5
6 Příklad: Směrování atelit Atomatické řízení - Kybernetika a robotika IO model Stavový model x + x y x [ ] Charakteritický polynom d J ϕ Fd C ϕ ωω, F c J ϕ d x, Fc, y ϕ ω J p ( ) det det a řešení tavových rovnic L-tranformací x() () () + x y () () + x() [ ] Michael Šebek ARI-Pr--5 6
7 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Stavová matice přechod Φ () k k Řešení v čaové oblati pro k k I () l l Φ l l Příklad: Směrování atelit det( I A) t () t t τ Φ Φ( t τ ) x, t () () t t ( t τ) dτ t t τ τ τ t Φ ( t) x(), Φ( t ) B( ) d dτ t A () k + lt k + lt Φ t k + lt k + lt t + xt () t t yt () + Michael Šebek ARI-Pr--5 7
8 Příklad: Divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Blokově a rovnicemi x y x x + x x x x x x y x tavový model výpočet řešení (Laplace) x +, [ ] x y x + + x() () + () x () + () ( + )( ) ( + )( ) + x Michael Šebek ARI-Pr--5 8
9 Příklad: Divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika a výtp je y () () + [ + ] x() ( + )( ) ( + )( ) () + x() + x() ( + ) ( + ) ( ) přeno odezva na počáteční tav charakteritický polynom v. jmenovatel přeno: p ( ) ( + ) ( ) d ( ) ( + ) Odezva na kok ilně závií na počátečním tav nlový a nenlový počáteční tav x ( ) x ( ) x ( ) x ( ). Michael Šebek ARI-Pr--5 9
10 Příklad: Jiný divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kakáda (mód je odblokován vtpní nlo) přeno je. řád a tabilní v x x y G () + + x ale úplný tavový popi je. řád: pro x x + x x x y + x [ ] [ ] x yx, v charakteritický polynom je p( ) det( I A) ( + )( ) Michael Šebek ARI-Pr--5
11 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Kanonické formy řiditelnoti Kanonická forma řiditelnoti (někdy také forma fázových proměnných) y ( ) ( ) x x y 7 x [ ] jiná varianta kanonická formy řiditelnoti - Controller Canonical Form Y() U( ) x x x x 3 y [ 7 ] x 3 x 3 x x y Michael Šebek ARI-Pr x x+ y x
12 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Kanonické formy pozorovatelnoti Kanonická forma pozorovatelnoti - Oberver Canonical Form Y() 3 U() x 6 x+ 7 4 y x [ ] 7 x x x x 3 y 7 x 3 x 3 x x y Michael Šebek ARI-Pr x 6 x+ 7 9 y x [ ]
13 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Příklad: Kakádní realizace y ( ) 4 4 F () 3 ( ) ( + )( + 3)( + 4) Můžeme realizovat jako kakád (érii) bytémů. řád 4 ( + ) ( + 3) ( + 4) () 4 ( + ) x () x () x () 3 ( + 3) ( + 4) y () 4 x 3 x 3 x x x x y x 3 x+ 4 y x [ ] Michael Šebek ARI-Pr--5 3
14 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Můžeme realizovat jako paralelní pojení bytémů. řád 4 x x x x 3 x 3 x 3 Příklad: Paralelní realizace y ( ) 4 4 F () 3 ( ) ( + )( + 3)( + 4) y ( + ) 4 ( + 3) ( + 4) 4 + ( + ) ( + 3) ( + 4) rozklad na parciální zlomky x 3 x y [ ] x jo-li (faktory) póly náobnoti, je tavová matice diagonální (viz Jordanův kanonický tvar matice) Michael Šebek ARI-Pr--5 4 Xx () x () X () xx () 3
15 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Příklad: Paralelní realizace - vícenáobné póly y ( ) ( + 3) F () + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Můžeme realizovat jako paralelní pojení bytémů max.. řád x x x x y x 3 x 3 x x+ jo-li (faktory) póly náobnoti větší než, nemí být tavová matice diagonální, ale může být blokově diagonální y [ ] x Jordanův tvar matice může být ložený z bloků větší velikoti než ( + ) ( + ) ( + ) Michael Šebek ARI-Pr--5 5
16 Výpočet tranformační matice Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Někdy dány oba modely (ve tarých a nových ořadnicích) a hledáme přímo z tranformačních vztahů to vypočítat nejde? Anew T AoldTB, new T Bold, Cnew ColdT Tranformjme tedy matici C B A B A B n new new new new new new a z toho je ( T A T) ( T A T) n T Bold T B old old T B old old T T n Bold AoldBold Aold Bold T C C pokd inverze exitje Obdobně ze vztah (pokd inverze exitje) T O Neboť platí kde obě matice jo tvar new old O O old new new O T old Michael Šebek ARI--5 6 C old Ci i i O CA i n- CA i i i new, old T
17 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Odezva na vtp a počáteční podmínky Odezva na vtpní ignál a počáteční tav je celkem [ Cadj( I A) B + det( I A) D] Cadj( I Ax ) b () n ( ) cx () y () () + + det( IA) det( IA) a () d() a () kde a () je charakteritický polynom ytém d () je jmenovatel L-obraz vtpního ignál výtp můžeme rozložit na parciální zlomky / módy takto y () Složky přílšné kořenům a () Složky přílšné kořenům d () + + ložky přílšné kořenům a () přirozená odezva ncená odezva odezva na poč. tav Michael Šebek ARI--5 7
18 Požití parciálních zlomků při výpočt odezvy Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ryzí racionální fnkci n () d (), kde d () má kořeny reálné a, m i j-náobné reálné komplexní ck σk ± jωk a n l -náobné komplexní cl σl ± jωl a tedy polynom d () má rozklad na kořenové činitele m j ( ai ) ( ) ( ( + σ ) + ωk )) ( σl + ωl )) d () b j k ( + ) nejprve rozložíme na parciální zlomky n () α βj β β mj j i j m j d ( ) ( a ) ( b ) ( ) i j bj ( b ) j γk + δk ε l + ϕ l εl + ϕl εnl + ϕ l nl l n l ( + σk ) + ωk ( + σl) + ωl (( + σl) + ωl )) (( + σl) + ωl )) Při zpětné tranformaci každý zlomek zpětně tranformjeme zvlášť dle vzorců at, ( ai ) e 3 ωk σt ωk σt e in ω kt, e ( inω ktωktcoωkt) ( + σk) + ωk (( + σk) + ωk) m j bt + σ σt ω ( ) t t e, k + σ σ e co ω, m te inω j ( b ) ( m kt kt )! ( + σ ) + ω (( + σ ) + ω ) j j Jednotlivým ložkám e říká módy k k k k n l b j Michael Šebek ARI-Pr--5 8
19 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Odezva na vtp i počáteční tav x 5 x x 3 x + x x( ) y [ 3 ] [ ], x + x( ) obecná odezva + 3 y ( ) ( ) x( ) + x( ) odezva na jednotkový kok a počáteční tav () Michael Šebek ncená + y () y () přirozená 3 yt () + e e 5 5 5t 3t det( I A) ( + 5)( + 3) x ( ), x ( ) volný pád ARI-Pr--5 ncená na vtp přirozená volný pád celková t:.:5; nc.4*one(,length(t)); pri.6*exp(-5*t);vol-exp(-3*t); plot(t,nc,t,pri,t,vol,t,nc+pri,... t,nc+pri+vol) 9
20 Příklad -pokračování Atomatické řízení - Kybernetika a robotika U() G () x ( ) Y() det( I A) ( + 5)( + 3) Im 5 3 Re + 3 x ( ) pól vtpního ignál generje nceno odezv pól přeno generje přirozeno odezv pól charakteritického polynom 5 35 Y() + generje volno odezv reálný pól -a generje exponenciální odezv e -ta 3 5t 3t nly a póly kombinjí vliv módů yt () e + e 5 5 ncená přirozená volný pád Michael Šebek ARI-Pr--5
21 Příklad: Odhad odezvy z polohy pólů Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Když ná např. zajímá odezva na kok ytém () ( + 3) y () ( + )( + 4)( + 5) můžeme ji jednodše odhadnot tak, že naznačíme rozklad na parciální zlomky K K K3 K4 y () ( + ) ( + 4) ( + 5) zřejmě vtpní pól generje vynceno kokovo odezv a póly přeno generjí jednotlivé exponenciální ložky přirozené odezvy zpětno L-tranformací dotaneme yt () K + Ke + Ke + Ke t 4t 5t 3 4 přetože výpočet kontant není ložitý, kontanty ná čato nezajímají mnohdy tačí vědět, které ložky odezva obahje Michael Šebek ARI-Pr--5
22 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ještě k modelům: změna měřítka amplitdy Změna měřítka amplitdy (škálování) zjednodšje analýz i návrh Odhadneme maximální očekávané/povolené hodnoty změn ignálů v pracovním režim Vyjdeme z odchylkového model (přeno) y G + Gd d vzniklého třeba lineární aproximací a velikot každé veličin tlačíme pod vydělením d, d maximální odhadnto nebo povoleno odchylko max maxd y míme škálovat polečně e, r neboť mají tejné jednotky a jo vázány e r y y r e Můžeme požít r nebo čatěji e y, r, e max max : maxe maxe maxe Potp formalizjeme požitím faktorů De maxed, maxd, d maxdd, r maxr a doazením dotaneme y De G D+ De Gd Ddd, e yr Někdy k tom ještě zavedeme škálovano referenci. r r r D r r D r D D r max r e r e Pak je dt (), rt () a pomocí t () iljeme o et () Michael Šebek ARI-Pr--5
23 Příklad: Vytápění pokoje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika energetická rovnováha: změna energie v pokoji přítok energie (zanedbáváme akmlaci ve těnách) d dt tepelná kapacita pokoje [J/K] změna tepla vnitř ( C T ) Q + α ( T T ) V teplota pokoje [K] přívod tepla přívod tepla [W] ztráty do okolí 5 zavedeme τ C V α a děláme LT pro nlovo pp. T T() α Q TO τ+ + τ+. T() Q+ TO + + O koeficient přetp tepla [W/K] venkovní teplota [K] ( ) α W K C kj K [ J K] Michael Šebek ARI-Pr--5 3 V, p CV [ ] T K [ ] QW T [ ] O K α [ W K] pracovní bod Qp kw, Tp TO, p K odchylkový model T T Tˆ, d C T Q α T V + α + dt O
24 Příklad: Vytápění pokoje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Zavedeme relativní bezrozměrné proměnné T () Q () TO () y () ; () ; d () T Q T max max O,max kde ze zadání Tmax K; Qmax kw ; TO,max K operacemi T() Qmax TO,max Q+ T T + T Q + T T τ α τ max max max max O,max dotaneme Qmax TO,max y () () + d () τ+ α Tmax τ+ Tmax y () () + d () + + O Michael Šebek ARI-Pr--5 4
25 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ča většino měříme v ekndách, ale počítání velmi rychlými nebo pomalými ytémy může být špatně podmíněné a nmerický výpočet může být chybný Je proto žitečné mět změnit jednotk ča. Například mezi čaem t [] a čaem τ[m] platí vztah τ kt kde k Dopad na derivování je dx dx dx d x d x x k, x k, dt d( τ k) dτ dt dτ a tak e tavová rovnice tranformje na Jí v měřítk ča τ Ještě k modelům: změna čaového měřítka k x () t Ax() t + B() t x ( τ ) Ax( ) B( ) k τ + k τ ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ g ( ) I A B I A k B k ki A B Tedy τ což odpovídá, neboť proměnná v LT má rozměr /ča Dále platí pro čaové kontanty T τ Michael Šebek ARI-Pr--5 5 kt
26 Příklad: změna čaového měřítka Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Rychlý ocilátor přirozeno frekvencí ω n 5.rad 6 ϕ( t) + 5. ϕ( t) t ( ) (ai khz) Změníme-li jednotk ča ze ekndy na milieknd ( τ t ) Pak a rovnice v miliekndách je 6 ( ) ( ) d ϕτ ϕ t d ϕτ ( ) dτ + 5 ϕτ ( ) ( τ) dτ Z první rovnice dotaneme přeno, ze drhé 6 y () () y ( τ ) () + 5. τ + 5 Z porovnání je zřejmé, že τ Změna ve tavovém model (pro x ϕ, x ϕ ) je x () t x() t t () 6 x() t 5 x() t + x ( τ). x( τ) ( τ ) 3 x( τ) + 5 x( τ) g () g ( ) τ Michael Šebek ARI-Pr--5 6 τ
27 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika CSTbx: (lti), tf, zpk tep, imple, initial, PolTbx: df, (ldf, rdf, mdf), abcd, pol nm, den SymbMathTbx: ymbolické výpočty laplace, ilaplace Spojité modely v Matlab objekty a fnkce Michael Šebek ARI-Pr--5 7
Příklady k přednášce 2 - Spojité modely
Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 8 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti 9-6-8 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Více25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13
5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )
Více21 Diskrétní modely spojitých systémů
21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,
Více7 - Ustálený stav kmitavý a nekmitavý, sledování a zadržení poruchy
7 - Utálený tav kmitavý a nekmitavý, ledování a zadržení poruchy Michael Šebek Automatické řízení 018 31-3-18 Automatické řízení - ybernetika a robotika zeílení ytému na frekvenci ω je G( jω) - viz amplitudový
VícePříklady k přednášce 16 - Pozorovatel a výstupní ZV
Příklady k přednášce 6 - Pozorovatel a výtupní ZV Michael Šebek Automatické řízení 08 6-4-8 Příklad: Pozorovatel pro kyvadlo naivně pro kyvadlo frekvencí ω 0 a rovnicemi x 0 x 0 navrhneme pozorovatel dvojitým
VícePříklady k přednášce 20 - Číslicové řízení
Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4- Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( )
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t
Více( LEVEL 3 Laplaceova transformace jako nástroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. )
( LEVEL 3 Laplaceova tranformace jako nátroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. ) Podívejme e tentokrát na dynamiku pracovní edačky řidiče prizmatem matematiky aneb trocha teorie jitě nikomu neuškodí...
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
Více8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus
8 - Geometrické míto kořenů aneb Root Locu Michael Šebek Automatické řízení 206 0-3-6 Metoda Root Locu Walter R. Evan, AIEE Tranaction, 948 Metoda root locu neboli geometrické míto kořenů vykreluje polohu
VícePříklady k přednášce 6 - Spojování a struktury
Příklad k přednášce 6 - Spojování a truktur Michael Šebek Automatické řízení 07 7-3-8 Automatické řízení - Kbernetika a robotika Zpětnovazební pojení tavových modelů Odvození obecného případu (značení
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo
Víces požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do
Vážení zákazníci, dovolujeme i Vá upozornit, že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø
VíceAutomatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou
Automatizace Úloha č. Identifikace regulované outavy Strejcovou metodou Petr Luzar 008/009 Zadání. Zapojte regulační obvod reálnou tepelnou outavou a eznamte e monitorovacím a řídicím programovým ytémem
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 28 5-5-8 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { } t f(): t f() t = t
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VOKÁ ŠKOLA BÁŇKÁ TECHNICKÁ NIVEZITA OTAVA FAKLTA TOJNÍ ZÁKLAD ATOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 9. týden doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Otrava 03 doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Vyoká škola báňká Technická univerzita Otrava
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Více4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost
4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení
15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceDoplňky k přednášce 23 Diskrétní systémy Diskrétní frekvenční charakteristiky
Doplňky k přednášce 3 Dikrétní ytémy Dikrétní frekvenční charakteritiky Michael Šebek Automatické řízení 011-1-11 Automatické řízení - Kybernetika a robotika e jω Matematika: Komplexní exponenciála = coω+
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceIdentifikace systémů
Identifikace systémů Přednáška 2 Osvald Modrlák, Lukáš Hubka TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela syntéza elektronických obvodů
Jiří Petržela příklad nalezněte dvě různé realizace admitanční funkce zadané formou racionální lomené funkce Y () () ( ) ( ) : první krok rozkladu do řetězového zlomku () 9 7 9 výledný rozklad ( ) 9 9
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceKYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava
KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28 . ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VícePŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY
PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRHÉHO ŘÁD ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY A) Časová oblast integro-diferenciální rovnice K obvodu na obrázku je v čase t 0 napětí u b (t). t 0 připojen zdroj
VíceDoplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým
Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13 Metody diskrétního návrhu Metody diskrétního návrhu, které jsou stejné (velmi
VíceIDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL
IDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL Ing. Zeněk Němec, CSc. VUT v Brně, Fakulta trojního inženýrtví, Útav automatizace a informatiky. Úvo, vymezení problematiky Přípěvek ouvií řešením
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 016 15-4-17 Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy netvoří těleo (jako reálná číla, racionální funkce, ) ale okruh (jako
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceAnalýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více3 - Póly, nuly a odezvy
3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 8 9-6-8 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeou a póly ytému Póly přeou jou kořey jmeovatele pro g () = b () a () jou to komplexí číla
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT. Institut biostatistiky a analýz
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík,, CSc. III. PŘÍZNAKOVÁ KLASIFIKACE - ÚVOD PŘÍZNAKOVÝ POPIS Příznakový obraz x zpracovávaných dat je vyjádřen n-rozměrným loupcovým vektorem hodnot x i,
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceIntegrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
VíceEXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření
FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceJan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
VíceDiskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceOsnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceSemestrální práce z předmětu Teorie systémů
Semestrální práce z předmětu Teorie systémů Autor: Tomáš Škařupa Skupina :3I3X Vedoucí hodiny: Ing. Libor Pekař Datum 3.. Obsah Analýza a syntéza jednorozměrného spojitého lineárního systému... 3. Přenosovou
Více5. cvičení z Matematické analýzy 2
5. cvičení z Matematické analýz 2 30. října - 3. litopadu 207 5. linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceSystém vztahů obecné pružnosti Zobecněný Hookeův zákon
Stém vtahů obecné pružnoti Zobecněný Hookeův ákon V PPI e řešil úloh pružnoti u prutů. Pro řešení pouvů napětí a přetvoření obecného 3D těleo je třeba etavit a řešit tém vtahů obecné pružnoti. Jeho řešení
VíceFlexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VíceModelování a simulace
Modelování a simulace Doc Ing Pavel Václavek, PhD Modelování a simulace Úvod - str /48 Obsah a organizace Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modelování a simulace Úvod
VícePříloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty
Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VícePozorovatel, Stavová zpětná vazba
Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému.
VíceIMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,
IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceLomené výrazy (sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení,.)
Lomené výrz (čítání, odčítání, náoení, dělení, rozšiřování, kráení, ) Lomené výrz jo výrz ve tvr zlomk, v jehož jmenovteli je proměnná, npříkld r ( ) ( ) 9 Počítání lomenými výrz má podoné vltnoti jko
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceVysokofrekvenční obvody s aktivními prvky
Vokofrekvenční obvod aktivními prvk Základními aktivními prvk ve vokofrekvenční technice jou bipolární a unipolární tranzitor. Dalšími aktivními prvk jou hbridní nebo monolitické integrované obvod. Tranzitor
Více24 - Diskrétní řízení
24 - Diskrétní řízení Michael Šebek Automatické řízení 213 13-5-14 Metody návrhu diskrétního řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Návrh pro čistě diskrétní systémy Mnohé metody jsou analogické
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceFrekvenční charakteristiky
Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci
Více13. Kvadratické rovnice 2 body
13. Kvadratické rovnice 2 body 13.1. Rovnice x 2 + 2x + 2 m = 0 (s neznámou x) má dva různé reálné kořeny, které jsou oba menší než tři, právě a) m (1, 17), b) m = 2, c) m = 2 m = 5, d) m 2, 5, e) m >
VíceCITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I
Informačné a automatizačné technológie v riadení kvality produkcie Vernár,.-4. 9. 005 CITLIVOSTNÍ ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ I KÜNZEL GUNNAR Abstrakt Příspěvek uvádí základní definice, fyzikální interpretaci
VícePříklady k přednášce 5 - Identifikace
Příklady k přednášce 5 - Identifikace Michael Šebek Automatické řízení 07 5-3-7 Jiná metoda pro. řád bez nul kmitavý Hledáme ωn Gs () k s + ζωn s + ωn Aplikujeme u( ) us () s. Změříme y( ), A, A, Td y(
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více