FIBONACCIHO POSLOUPNOST

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FIBONACCIHO POSLOUPNOST"

Transkript

1 22. základní škola Plzeň, příspěvková organizace Na Dlouhých 49, Plzeň Absolventská práce FIBONACCIHO POSLOUPNOST Lukáš Pauliny 9. B Vedoucí absolventské práce: Mgr. Martin Tomik Školní rok 2010/2011

2 Prohlašuji, že jsem absolventskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a zdrojů informací. V Plzni dne 1. června 2011 Lukáš Pauliny.

3 Obsah Obsah...3 Anotace...5 Anotace v českém jazyce...5 Anotace v cizím jazyce...5 Úvod Fibonacci Stručný životopis Fibonacciho práce Liber abbaci Úloha o králících Fibonacciho posloupnost Historie Fibonacciho posloupnosti Co je Fibonacciho posloupnost? Definice Fibonacciho čísla v praxi Fibonacci retracement Příklad Fibonacci retracement Příklad stavba zdi Geometrický paradox Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku Zlatý řez a Fibonacciho čísla Definice zlatého řezu Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem Fibonacciho posloupnost v přírodě Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) Důkaz matematickou indukcí Závěr

4 Seznam použité literatury a zdrojů informací Knihy a publikace Elektronické zdroje

5 Anotace Anotace v českém jazyce Název práce je Fibonacciho posloupnost. Práce je rozdělena do několika kapitol. V první kapitole bych vám chtěl přiblížit, kdo byl Fibonacci a co jsou Fibonacciho čísla s pomocí úlohy o králících, která vedla ke vzniku samotné Fibonacciho posloupnosti. V druhé kapitole jsem se již zabýval samotnou Fibonacciho posloupností, kde a jak se dá využít. Ve třetí kapitole se zabývám Fibonacciho čísly v Pascalově trojúhelníku a také jejich souvislostí se zlatým řezem. Ve čtvrté kapitole vám ukážu, kde všude najdete Fibonacciho posloupnost a také jak se těmito čísly inspirovala matka příroda. Anotace v cizím jazyce The title of this work is the Fibonacci sequence. The thesis is devided into few chapters. In the first one, I would like to make you acquainted with the personality of Fibonacci and to explain what the Fibonacci numbers are through the auxiliary problem about rabits, which have let to origination of the Fibonacci sequence itself. In the second chapter I dealt with the Fibonacci sequence itself, where and how to use it. In the third chapter I explain the problem of Fibonacci numbers in the Pascal triangle and the connection between them and the gold chain. In the last chapter I would like to show You the Fibonacci sequence in different occurrences and as an inspiration of the mother nature. 5

6 Úvod Když naší třídě oznámili, že si máme vybrat téma absolventské práce tak jsem neměl žádnou představu o tom jaké téma bych chtěl zpracovat. Proto jsem si jednoho dne zjistil, jaká témata pro absolventskou práci jsou k dispozici. Nakonec jsem se rozhodl pro matematiku a to ze dvou důvodů. Proto, že vedoucím této práce je pan učitel Martin Tomik, který patří k mým nejoblíbenějším učitelům a také proto, že o tématu slyším poprvé a doufám, že si z této práce odnesu něco, co se mi bude v budoucnu hodit a co využiji. Ve své práci se vám stejně jako sobě tedy pokusím přiblížit, co jsou to Fibonacciho čísla, jak souvisí se zlatým řezem a proč tomu tak je. Další část práce se týká Fibonacciho posloupnosti, kde a jak se dá využít za použití známých úloh jako třeba známé Fibonacciho úlohy o králících. Když zde zmiňuji jméno Fibonacci tak v mé práci také naleznete kdo Fibonacci byl a jakým způsobem přišel na posloupnost, která dnes nese jeho jméno. 1. Portrét 2. Ukázka 3. Fibonacciho 4. úloha o Fibonacciho zlatého řezu čísla v přírodě králících

7 1 Fibonacci 1.1 Stručný životopis Leonardo Pisánský známý též také pod přezdívkou Fibonacci, kterou dostal podle svého otce, kterému se říkalo Bonacci (=dobromyslný člověk) proto přezdívka Fibonacci (=syn dobromyslného člověka). Fibonacci se stal prvním významným matematikem ve starém středověku. Narodil se roku 1170 v Italské Pise, avšak vzdělání se mu dostalo až v Severní Africe, kde pobýval se svým otcem. Fibonacci později získával poznatky při obchodních cestách ve Středomoří a v Orientu, proto měl možnost vidět výsledky islámských, řeckých, egyptských a mezopotámských matematiků. Roku 1200 se rozhodl Fibonacci vrátit do italské Pisy, kde zůstal až do své smrti roku Fibonacciho práce Fibonacciho práce nemálo podpořily staré matematické dovednosti. V dnešní době jsou nám k dispozici kopie jeho knih Liber abbaci z roku 1202, Praktica geometriae z roku 1220, Flos 1225 nebo Liber quadratorum z roku Nás však bude nejvíce zajímat kniha Liber abbaci (česky Svazek počítadla) o které pojednává následující kapitola Liber abbaci Liber abbaci je kniha z roku 1202 ve které Fibonacci shrnul poznatky a myšlenky, které získal na svých cestách. Tato kniha také značně pomohla evropské matematice tím, že využívala arabské číslice a přinesla také Dekadický systém, což je poziční číselná soustava používající pro zápis 10 symbolů (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Ve třetí části této knihy Fibonacci uvádí pro nás velmi důležitou a známou úlohu o králících. 7

8 1.2.2 Úloha o králících Zadání: podmínky: Kolik králíků bude mít po uplynutí jednoho roku a budou-li platit tyto 1. Na začátku máme 2 králíky samce a samici 2. Králíci jsou schopni se pářit od konce prvního měsíce, takže ke konci druhého už se narodí nový pár mláďat. 3. Po druhém měsíci se rodí pravidelně každý měsíc jeden pár mláďat. 4. Králíci nikdy neumírají. Řešení (1. -matematické 2. -praktické) : Číslo v závorce je číslo měsíce, a hodnota f (x) počet párů králíků na začátku daného měsíce tím dostaneme: f(1) = 1 f(2) = 1 f(3) = 2 f(4) = 3 f(5) = 5 8

9 1. Označíme nově narozené páry králíků písmenem N a dospělé králíky D, dostaneme: Měsíc 1: N Měsíc 2: D Měsíc 3: DN Měsíc 4: DND Měsíc 5: DNDNDN Tato posloupnost má první 2 členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích. Takovouto řadu čísel označujeme jako F n a nazýváme Fibonacciho čísla a říkáme, že čísla mají tzv. Fibonacciho posloupnost. 9

10 2 Fibonacciho posloupnost 2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti Fibonacciho čísla jsme mohli poprvé poznat v Indii v díle Nauka o verši od Indického matematika Pingala, ale jako posloupnost tato čísla poprvé použil a popsal již výše zmíněný Leonardo z Pisy známý též jako Fibonacci, který tuto posloupnost použil ve své knize Liber Abbaci, kterou se proslavil. 2.2 Co je Fibonacciho posloupnost? Definice Fibonacciho posloupnost je posloupnost, která má první dva členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích. Posloupnost Fibonacciho čísel Posloupnost Fibonacciho čísel Způsob výpočtu daného čísla =1 = Fibonacciho čísla v praxi Fibonacci retracement Snad nejpoužívanější metoda Fibonacciho čísel se nazývá Fibonacci retracement což je Fibonacciho úroveň zpětných pohybů. Tento nástroj odvozuje z ukazatelů, které tvoří 4 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla (Př. 13, 21, 34, 55) které mezi sebou vydělíme a dostaneme tzv. podílového ukazatele. Fibonacci retracement 13/21 = (61.8%) 34/21 = (161.8%) 21/55 = (38.2%) 34/55 = (61.8%) 55/34 = (161.8%) 13/34 = (38.2%) V praxi jsou výše uvedené výpočty použity hlavně v analytických přístrojích díky čemuž vám stačí znát pouze nejnižší číslo (dno) a nejvyšší číslo (vrchol) významného pohybu a ostatní úrovně již nemusíme počítat, jelikož se nám samy zakreslí do grafu. 10

11 2.3.2 Příklad Fibonacci retracement Máme nyní společnost Forex. Pro společnost Forex jsou hlavní níže uvedené Fibonacciho úrovně ,2% 0,5 50% ,8% ,6% 1,27 127% ,8% ,8% Za nejsilnější úrovně jsou považovány hodnoty 38.2%, 50% 61.8% jsou to v podstatě hodnoty které určují kam se bude trh či daný trend ubírat. Využití tohoto zjištění je opravdu mnoho, například si můžeme vypočítat, kam až by mohla cena výrobku této firmy dojít a prodat ji za nejvyšší možnou částku a to proto, že trh se po každé větší změně vrací do předem předvídaných Fibonacciho úrovní Příklad stavba zdi Máme cihly o velikosti 2x1. Chceme postavit zeď, která bude mít výšku 2 a délku stejnou jako počet cihel, tj. 1 cihla=délka 1, 2 cihly=délka 2 atd. (viz obrázek): S 1 cihlou máme jen 1 možnost, jak postavit zeď S 2 cihly máme 2 různé možnosti, jak zeď postavit Se 3 cihlami máme 3 různé možnosti Kolik budeme mít možností, jestliže budeme mít k dispozici 4 nebo 5 cihel? 11

12 1 cihla 2 cihly 3 cihly Řešení: řešení pro 4 cihly bude číslo 5, protože cihly můžeme poskládat následujícími způsoby: Pro 5 cihel nemusíme dlouho přemýšlet výsledkem se stane číslo 8, protože pokud výsledek pro 4 cihly bylo číslo 5 což je vlastně součet 2 předchozích variant tedy 2+3 proto výsledek pro 5 cihel se bude také rovnat součtu počtu dvou předchozích řešení tedy 5+3 a proto výsledkem bude 8 možností Geometrický paradox Geometrický paradox, neboli také problém chybějícího čtverečku je další z řady příkladů, které potvrzují zajímavé vlastnosti Fibonacciho čísel. 12

13 Zadání úlohy a její řešení: 1. Rozstříhejte čtverec o straně délky 8 jednotek, tak jak je naznačeno na obrázku níže a pak ze vzniklých dílů vytvořte obdélník. 2. Podivnost spočívá v tom, že ze čtverce o ploše 64 jednotek (8*8) poskládáme obdélník o ploše 65 (3*13). Jak je to možné? Řešení: Kdybychom rýsovali velmi přesně v dostatečně velkém měřítku zjistili bychom, že je zde ještě jednotka, která má plochu rovnou číslu 1, protože čísla 5,8,13 jsou 3 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla a proto pro ně platí: 5* =(-1) 6, tj =1 13

14 3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez 3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku Fibonacciho čísla nesouvisí jenom se zlatým řezem, ale také s Pascalovým trojúhelníkem a tudíž i s kombinačními čísly. Pokud si Pascalův trojúhelník narýsujeme tak jak uvádím níže a sečteme čísla ve stoupajících úhlopříčkách uvidíme, že vychází čísla tvořící Fibonacciho posloupnost. 3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla Definice zlatého řezu Dříve než začneme zkoumat zlatý řez detailněji, tak se prosím podívejte na 2 následující obrázky. A B Většina z nás se asi shodne, že obrázek A je přitažlivější než obrázek B to proto, že umístění květiny na obrázku A se blíží hodnotě zlatého řezu. 14

15 A B Právě díky tomuto zjištění se také velké množství umělců na tuto hodnotu zaměřilo a začali ji využívat při vytváření svých obrazů soch a staveb, ale nejen zde najdeme zlatý řez ten se totiž vyskytuje všude kolem nás protože hodnotu zlatého řezu stejně jako Fibonacciho čísla také využívá matka příroda a to v různých formách ať již jako zlatou spirálu, trojúhelník a nebo jako zlatý obdélník. Ukázka zlaté spirály v přírodě zlatá spirála Zlatá spirála Hlavonožec Nautilus Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem Fibonacciho čísla také velice úzce souvisí s hodnotou zlatého řezu a to tak že vezmeme li podíl po sobě jdoucích Fibonacciho čísel tak vzniklé číslo se bude postupně přibližovat hodnotě zlatého řezu tedy číslu 1,

16 4 Fibonacciho posloupnost v přírodě S Fibonacciho posloupností se setkáváme každý den svého života.dokonce i matka příroda si z těchto čísel vzala příklad a snad právě proto je počet spirál na borové šišce 13 levotočivých a 21 pravotočivých.protože tato dvě čísla jsou zrovna dvěma následujícími ve Fibonacciho posloupnosti není určitě náhoda, protože se s nimi můžeme setkat u slunečnice ta má 34 pravotočivých a 55 levotočivých spirál. Možná se ptáte, proč si příroda z těchto čísel bere příklad a přizpůsobuje se jim? Odpověď je jednoduchá, díky této posloupnosti se pak na terčíku slunečnice může vyskytovat nejvíce semen při jejich obvyklé velikosti. Překvapivý je i fakt že stejný princip jako na borové šišce a slunečnici najdeme i na kaktusu. 4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě a) Kosatce 3vnější + 3 vnitřní okvětní lístky b) Mochničky kuklíkovité 5 lístků c) Kopretiny 21 okvětních lístků a b c 16

17 5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi Fibonacciho čísla mají také vlastnosti, které nám umožňují vypočítat hodnotu konkrétního čísla (n) aniž bychom museli vypisovat celou řadu. 5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla Možnost výpočtu hodnoty konkrétního čísla v řadě jelikož existují vzorce, které nám práci s Fibonacciho čísly velmi usnadní Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla 1. F 1 + F 2 + F F n = F n+2-1 Výpočet u po sobě jdoucích F. čísel F 1 + F 2 + F F 2 n = F n * F n+1 Výpočet u F. čísel s druhou mocninou 3. F 1 + F 3 + F F 2n-1 = F 2*n Výpočet u F. čísel s lichým indexem 4. F 2 + F 4 + F F 2n = F 2n+1-1 Výpočet u F. čísel se sudým indexem Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) Pomocná řada F. čísel 1. ukázka pro n=4 u 1. zjednodušení F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = F =8-1 7=7 2. ukázka pro n=4 u 2. zjednodušení F F F F 4 2 = F 4 * F = 3 * = 15 15= Důkaz matematickou indukcí Základní definice matematické indukce: Matematická indukce je způsob dokázání tvrzení nebo matematické věty či posloupnosti. Matematická indukce říká, že platí li pro číslo 1 určité pravidlo bude toto pravidlo platit i u čísel vyšších v daném dokazovaném výpočtu, posloupnosti a dalších tvrzeních. F1 F2 F3 F4 F5 F Postup při provádění matematické indukce Fibonacciho posloupností: 1. nejdříve dokážeme, že tvrzení ve výpočtu platí je li n=1 2. Dokážeme, že rovnost opět platí, pokud zvýšíme číslo n o číslo 1 jedna 17

18 Pomocná řada F. čísel F1 F2 F3 F4 F5 F Důkaz 1. výpočtu matematickou indukcí 1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1) F 1+2-1= F 3-1=2-1=1 2. Indukční krok (n 1) F (n+1)+2-1=f n+3-1 Důkaz 2. výpočtu matematickou indukcí 1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1) F 1 *F 1+1 =F 1 *F 2 =1*1=1 2. Indukční krok ( n 1) F (n+1) *F (n+1)+1 =F (n+1) *F (n+2) 18

19 Závěr Téma mojí absolventské práce bylo Fibonacciho čísla a Fibonacciho posloupnost a dnes již s jejím psaním končím. Co mi tato práce přinesla? Tato práce mě naučila mnoha věcem, které se mi budou jistě hodit jako například zjišťování informací a odhalila mi že v matematice nejde vždy jenom o čísla a naučila mě vytvářet příklady ve kterých se vyskytují neznámé a zjistil jsem, že s jejich pomocí si lze velmi zjednodušit matematické příklady. Tato práce mě však také naučila pečlivé a vytrvalé práci. Avšak i když mi tato práce dala nepochybně hodně do budoucího studia na střední škole tak jsem si také povšiml, že konec tohoto školního roku by mohl být stráven lépe než psaním této absolventské práce. Konec tohoto školního roku by dle mého názoru měl být stráven tak abychom na něj všichni rádi vzpomínaly a ne tak abychom vzpomínaly na to, jak jsme psali absolventskou práci. Stálo proto za to se touto prací zabývat? Mohl jsem se touto prací přestat zatěžovat a užívat si konec školního roku podle mých představ avšak myslím si že pokud mi byl zadán jasný úkol je mojí povinností jej splnit, jak nejlépe dokážu. Což je další věc, kterou mě tato práce naučila a to je pečlivá práce a proto si myslím že tato práce má tak jako velká většina školních úkolů dva způsoby projevení. První způsob projevení si nemusíme přibližovat a všichni ho známe je jím otrávení z nově zadané práce, která nás v tu chvíli díky přívalu instrukcí a úkolů dokáže znechutit natolik že každý z nás si velmi rozmýšlí zda se do této práce vůbec pustit. Pak následuje 2 část, ve které zjišťujete, že práce není ani zdaleka tak strašlivá jak jsme si zpočátku mysleli a pokud nás začne práce trochu bavit tak postupem času už si na psaní do této práce zvykneme na tolik, že nám přestane dělat jakékoli problémy. Mě se nakonec psaní této práce zalíbilo natolik, že jsem se začal snažit o to aby byla z mého pohledu co nejlépe vypracovaná a doufám že i když tato práce určitě nebude bez chyb tak vás čtení této práce nebude nudit natolik aby jste hledali záminku k ukončení čtení. Takže co mi práce nakonec dala a vzala? Práce mi vzala velké množství volného času, ale také mne mnoho jak se zmiňuji výše naučila a myslím si, že absolventská práce má tak jako každá věc v životě svá plus i mínus. 19

20 Seznam použité literatury a zdrojů informací Knihy a publikace 1. Eduard Fuchs a Magdalena Hykšová. Historický vývoj matematiky ve vyučování matematiky v ZŠ. JČMF Elektronické zdroje 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 20

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova Školní vzdělávací program pro ZV Ruku v ruce

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova Školní vzdělávací program pro ZV Ruku v ruce 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

od Admiral Markets Trading Camp

od Admiral Markets Trading Camp od Admiral Markets Trading Camp 1. Fibonacci retracement 2. Nastavení 3. Použití v praxi Autorem tohoto mocného nástroje je matematik Leonardo Pisano Fibonacci. Nástroj vychází z přírody konkrétně z vypozorování

Více

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

PSANÍ. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : My family, my hobbies Present simple and continuous, Wh- questions

PSANÍ. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : My family, my hobbies Present simple and continuous, Wh- questions PSNÍ Jazyk Úroveň utor Kód materiálu nglický jazyk 5. třída Eva Prokšová j5-doc-pro-psa-01 Z á k l a d o v ý t e x t : Dear Johny, My name s Pavel Novák and I m twelve years old. I m from Prague which

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet

Více

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7.

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo I. čtvrtletí 40 hodin Opakování učiva z 6. ročníku (14) Přesahy a vazby, průřezová témata v oboru

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

Pythagorova věta

Pythagorova věta .8.19 Pythagorova věta Předpoklady: 00801 Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu rýsuje každý žák pouze jeden bod podle toho, v jakém sedí oddělení. Př. 1: Narýsuj pravoúhlý trojúhelník: a) ABC:

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Obvod čtverce, obvod obdélníku

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Obvod čtverce, obvod obdélníku Název projektu: Spokojená škola Číslo projektu: OPVK.CZ.1.07/1.2.33/02.0039 Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 4.08. - Obvod čtverce, obvod obdélníku Pracovní list slouží žákům s SPU k procvičení výpočtů

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

ZÁSUVKOVÁ DESKA SVOČ FST 2013. Klára Rödlová, Střední Průmyslová Škola Ostrov, Klínovecká 1197 Ostrov 363 01

ZÁSUVKOVÁ DESKA SVOČ FST 2013. Klára Rödlová, Střední Průmyslová Škola Ostrov, Klínovecká 1197 Ostrov 363 01 ZÁSUVKOVÁ DESKA SVOČ FST 2013 Klára Rödlová, Střední Průmyslová Škola Ostrov, Klínovecká 1197 Ostrov 363 01 ANOTACE Práce se zabývá výrobou zásuvkové desky. Práce je rozdělena na 7 kapitol. V první kapitole

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Kurz č.: KV01 Karlovy Vary 12. 12. 2006 17. 4. 2007 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE

Kurz č.: KV01 Karlovy Vary 12. 12. 2006 17. 4. 2007 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Kurz č.: KV01 Karlovy Vary 12. 12. 2006 17. 4. 2007 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Žákovský projekt v hodinách matematiky 8.ročníku základní školy na téma: Geometrie mého okolí Karlovy Vary, 2007 Mgr. Jaroslava Janáčková

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy. Mocniny s přirozeným mocnitelem mocniny s přirozeným mocnitelem operace s mocninami Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (procentem) řeší aplikační úlohy

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Zklidnění dopravy v Chlumci nad Cidlinou

Zklidnění dopravy v Chlumci nad Cidlinou UNIVERZITA PARDUBICE DOPRAVNÍ FAKULTA JANA PERNERA Zklidnění dopravy v Chlumci nad Cidlinou Bc. Ondřej Šanda Diplomová práce 2009 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval samostatně. Veškeré literární

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití.

Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 1. Posloupnost je dána n-týn členem. Určete druh posloupnosti, d, q: 2 5n a) a n = AP; d = -5/4 4 n 2

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy

Pythagorova věta Pythagorova věta slovní úlohy Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 8. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu

Více

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009)

Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) 13. Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení čtvrté série (14. dubna 2009) Řešení společně připravili lektoři Aleph.cz a Kurzy-Fido.cz Úlohy z varianty

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Faktoriály a kombinační čísla

Faktoriály a kombinační čísla Faktoriály a kombinační čísla 5. kapitola. Fibonacciho čísla In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1985. pp. 64 71. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404117

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Posloupnosti

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

Hlavolamy a teorie grafů

Hlavolamy a teorie grafů Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Co Fibonacci ani Ludolf netušili. aneb

Co Fibonacci ani Ludolf netušili. aneb Co Fibonacci ani Ludolf netušili aneb Jak souvisí čísla Fibonacciho s číslem π Doc. RNDr. Emil Calda, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty

Více

Geometrie a zlatý řez

Geometrie a zlatý řez Geometrie a zlatý řez Pythagorova věta Podívejme se na několik geometrických důkazů Pythagorovy věty využívajících různých druhů myšlení. Úvaha o začátku vyučování, je nutná a prospěšná rytmická část na

Více

MATEMATIKA MAMZD13C0T04

MATEMATIKA MAMZD13C0T04 MATEMATIKA MAMZD13C0T04 DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Aritmetická posloupnost druhého řádu

Aritmetická posloupnost druhého řádu Aritmetická posloupnost druhého řádu Jaroslav Zhouf, PedF UK Praha V domácím kole 54. ročníku matematické olympiády kategorie B byla zadána tato úloha: Úloha Nastoleleží khromádeko1,,3,..., kkamenech,kde

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Fotosyntéza. Anotace: Registrační číslo projektu: CZ.1.07./1.4.00/ Šablona: I/2. Sada: VY_12 _INOVACE_02VM

Fotosyntéza. Anotace: Registrační číslo projektu: CZ.1.07./1.4.00/ Šablona: I/2. Sada: VY_12 _INOVACE_02VM Registrační číslo projektu: CZ.1.07./1.4.00/21.3075 Šablona: I/2 Sada: VY_12 _INOVACE_02VM Pořadové číslo vzdělávacího materiálu: 26 Ověření ve výuce: Předmět: ČaJS Třída: V.A Datum: 5. 4. 2013 Předmět:

Více

DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU

DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU DOTAZNÍK PRO URČENÍ UČEBNÍHO STYLU Projekt MOTIVALUE Jméno: Třida: Pokyny Prosím vyplňte vaše celé jméno. Vaše jméno bude vytištěno na informačním listu s výsledky. U každé ze 44 otázek vyberte a nebo

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA 7 M7PID16C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maimální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Stonožka jak se z výsledků dozvědět co nejvíce

Stonožka jak se z výsledků dozvědět co nejvíce Stonožka jak se z výsledků dozvědět co nejvíce Vytvoření Map učebního pokroku umožňuje vyhodnotit v testování Stonožka i dílčí oblasti učiva. Mapy učebního pokroku sledují individuální pokrok žáka a nabízejí

Více

6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013

6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013 6. ROČNÍK ŠKOLNÍ SOUTĚŽE V PROGRAMOVÁNÍ 2013 Pořadí úloh si určujete sami, u každé úlohy je uvedeno její bodové hodnocení. Můžete řešit různé úlohy v různých programovacích jazycích. Každou hotovou úlohu

Více

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l

Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník II. výšky, těžnice a těžiště. Astaloš Dušan. frontální, fixační

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník II. výšky, těžnice a těžiště. Astaloš Dušan. frontální, fixační METODICKÝ LIST DA33 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník II. výšky, těžnice a těžiště Astaloš Dušan Matematika šestý

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE

KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více