FIBONACCIHO POSLOUPNOST

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "FIBONACCIHO POSLOUPNOST"

Transkript

1 22. základní škola Plzeň, příspěvková organizace Na Dlouhých 49, Plzeň Absolventská práce FIBONACCIHO POSLOUPNOST Lukáš Pauliny 9. B Vedoucí absolventské práce: Mgr. Martin Tomik Školní rok 2010/2011

2 Prohlašuji, že jsem absolventskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a zdrojů informací. V Plzni dne 1. června 2011 Lukáš Pauliny.

3 Obsah Obsah...3 Anotace...5 Anotace v českém jazyce...5 Anotace v cizím jazyce...5 Úvod Fibonacci Stručný životopis Fibonacciho práce Liber abbaci Úloha o králících Fibonacciho posloupnost Historie Fibonacciho posloupnosti Co je Fibonacciho posloupnost? Definice Fibonacciho čísla v praxi Fibonacci retracement Příklad Fibonacci retracement Příklad stavba zdi Geometrický paradox Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku Zlatý řez a Fibonacciho čísla Definice zlatého řezu Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem Fibonacciho posloupnost v přírodě Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) Důkaz matematickou indukcí Závěr

4 Seznam použité literatury a zdrojů informací Knihy a publikace Elektronické zdroje

5 Anotace Anotace v českém jazyce Název práce je Fibonacciho posloupnost. Práce je rozdělena do několika kapitol. V první kapitole bych vám chtěl přiblížit, kdo byl Fibonacci a co jsou Fibonacciho čísla s pomocí úlohy o králících, která vedla ke vzniku samotné Fibonacciho posloupnosti. V druhé kapitole jsem se již zabýval samotnou Fibonacciho posloupností, kde a jak se dá využít. Ve třetí kapitole se zabývám Fibonacciho čísly v Pascalově trojúhelníku a také jejich souvislostí se zlatým řezem. Ve čtvrté kapitole vám ukážu, kde všude najdete Fibonacciho posloupnost a také jak se těmito čísly inspirovala matka příroda. Anotace v cizím jazyce The title of this work is the Fibonacci sequence. The thesis is devided into few chapters. In the first one, I would like to make you acquainted with the personality of Fibonacci and to explain what the Fibonacci numbers are through the auxiliary problem about rabits, which have let to origination of the Fibonacci sequence itself. In the second chapter I dealt with the Fibonacci sequence itself, where and how to use it. In the third chapter I explain the problem of Fibonacci numbers in the Pascal triangle and the connection between them and the gold chain. In the last chapter I would like to show You the Fibonacci sequence in different occurrences and as an inspiration of the mother nature. 5

6 Úvod Když naší třídě oznámili, že si máme vybrat téma absolventské práce tak jsem neměl žádnou představu o tom jaké téma bych chtěl zpracovat. Proto jsem si jednoho dne zjistil, jaká témata pro absolventskou práci jsou k dispozici. Nakonec jsem se rozhodl pro matematiku a to ze dvou důvodů. Proto, že vedoucím této práce je pan učitel Martin Tomik, který patří k mým nejoblíbenějším učitelům a také proto, že o tématu slyším poprvé a doufám, že si z této práce odnesu něco, co se mi bude v budoucnu hodit a co využiji. Ve své práci se vám stejně jako sobě tedy pokusím přiblížit, co jsou to Fibonacciho čísla, jak souvisí se zlatým řezem a proč tomu tak je. Další část práce se týká Fibonacciho posloupnosti, kde a jak se dá využít za použití známých úloh jako třeba známé Fibonacciho úlohy o králících. Když zde zmiňuji jméno Fibonacci tak v mé práci také naleznete kdo Fibonacci byl a jakým způsobem přišel na posloupnost, která dnes nese jeho jméno. 1. Portrét 2. Ukázka 3. Fibonacciho 4. úloha o Fibonacciho zlatého řezu čísla v přírodě králících

7 1 Fibonacci 1.1 Stručný životopis Leonardo Pisánský známý též také pod přezdívkou Fibonacci, kterou dostal podle svého otce, kterému se říkalo Bonacci (=dobromyslný člověk) proto přezdívka Fibonacci (=syn dobromyslného člověka). Fibonacci se stal prvním významným matematikem ve starém středověku. Narodil se roku 1170 v Italské Pise, avšak vzdělání se mu dostalo až v Severní Africe, kde pobýval se svým otcem. Fibonacci později získával poznatky při obchodních cestách ve Středomoří a v Orientu, proto měl možnost vidět výsledky islámských, řeckých, egyptských a mezopotámských matematiků. Roku 1200 se rozhodl Fibonacci vrátit do italské Pisy, kde zůstal až do své smrti roku Fibonacciho práce Fibonacciho práce nemálo podpořily staré matematické dovednosti. V dnešní době jsou nám k dispozici kopie jeho knih Liber abbaci z roku 1202, Praktica geometriae z roku 1220, Flos 1225 nebo Liber quadratorum z roku Nás však bude nejvíce zajímat kniha Liber abbaci (česky Svazek počítadla) o které pojednává následující kapitola Liber abbaci Liber abbaci je kniha z roku 1202 ve které Fibonacci shrnul poznatky a myšlenky, které získal na svých cestách. Tato kniha také značně pomohla evropské matematice tím, že využívala arabské číslice a přinesla také Dekadický systém, což je poziční číselná soustava používající pro zápis 10 symbolů (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Ve třetí části této knihy Fibonacci uvádí pro nás velmi důležitou a známou úlohu o králících. 7

8 1.2.2 Úloha o králících Zadání: podmínky: Kolik králíků bude mít po uplynutí jednoho roku a budou-li platit tyto 1. Na začátku máme 2 králíky samce a samici 2. Králíci jsou schopni se pářit od konce prvního měsíce, takže ke konci druhého už se narodí nový pár mláďat. 3. Po druhém měsíci se rodí pravidelně každý měsíc jeden pár mláďat. 4. Králíci nikdy neumírají. Řešení (1. -matematické 2. -praktické) : Číslo v závorce je číslo měsíce, a hodnota f (x) počet párů králíků na začátku daného měsíce tím dostaneme: f(1) = 1 f(2) = 1 f(3) = 2 f(4) = 3 f(5) = 5 8

9 1. Označíme nově narozené páry králíků písmenem N a dospělé králíky D, dostaneme: Měsíc 1: N Měsíc 2: D Měsíc 3: DN Měsíc 4: DND Měsíc 5: DNDNDN Tato posloupnost má první 2 členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích. Takovouto řadu čísel označujeme jako F n a nazýváme Fibonacciho čísla a říkáme, že čísla mají tzv. Fibonacciho posloupnost. 9

10 2 Fibonacciho posloupnost 2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti Fibonacciho čísla jsme mohli poprvé poznat v Indii v díle Nauka o verši od Indického matematika Pingala, ale jako posloupnost tato čísla poprvé použil a popsal již výše zmíněný Leonardo z Pisy známý též jako Fibonacci, který tuto posloupnost použil ve své knize Liber Abbaci, kterou se proslavil. 2.2 Co je Fibonacciho posloupnost? Definice Fibonacciho posloupnost je posloupnost, která má první dva členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích. Posloupnost Fibonacciho čísel Posloupnost Fibonacciho čísel Způsob výpočtu daného čísla =1 = Fibonacciho čísla v praxi Fibonacci retracement Snad nejpoužívanější metoda Fibonacciho čísel se nazývá Fibonacci retracement což je Fibonacciho úroveň zpětných pohybů. Tento nástroj odvozuje z ukazatelů, které tvoří 4 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla (Př. 13, 21, 34, 55) které mezi sebou vydělíme a dostaneme tzv. podílového ukazatele. Fibonacci retracement 13/21 = (61.8%) 34/21 = (161.8%) 21/55 = (38.2%) 34/55 = (61.8%) 55/34 = (161.8%) 13/34 = (38.2%) V praxi jsou výše uvedené výpočty použity hlavně v analytických přístrojích díky čemuž vám stačí znát pouze nejnižší číslo (dno) a nejvyšší číslo (vrchol) významného pohybu a ostatní úrovně již nemusíme počítat, jelikož se nám samy zakreslí do grafu. 10

11 2.3.2 Příklad Fibonacci retracement Máme nyní společnost Forex. Pro společnost Forex jsou hlavní níže uvedené Fibonacciho úrovně ,2% 0,5 50% ,8% ,6% 1,27 127% ,8% ,8% Za nejsilnější úrovně jsou považovány hodnoty 38.2%, 50% 61.8% jsou to v podstatě hodnoty které určují kam se bude trh či daný trend ubírat. Využití tohoto zjištění je opravdu mnoho, například si můžeme vypočítat, kam až by mohla cena výrobku této firmy dojít a prodat ji za nejvyšší možnou částku a to proto, že trh se po každé větší změně vrací do předem předvídaných Fibonacciho úrovní Příklad stavba zdi Máme cihly o velikosti 2x1. Chceme postavit zeď, která bude mít výšku 2 a délku stejnou jako počet cihel, tj. 1 cihla=délka 1, 2 cihly=délka 2 atd. (viz obrázek): S 1 cihlou máme jen 1 možnost, jak postavit zeď S 2 cihly máme 2 různé možnosti, jak zeď postavit Se 3 cihlami máme 3 různé možnosti Kolik budeme mít možností, jestliže budeme mít k dispozici 4 nebo 5 cihel? 11

12 1 cihla 2 cihly 3 cihly Řešení: řešení pro 4 cihly bude číslo 5, protože cihly můžeme poskládat následujícími způsoby: Pro 5 cihel nemusíme dlouho přemýšlet výsledkem se stane číslo 8, protože pokud výsledek pro 4 cihly bylo číslo 5 což je vlastně součet 2 předchozích variant tedy 2+3 proto výsledek pro 5 cihel se bude také rovnat součtu počtu dvou předchozích řešení tedy 5+3 a proto výsledkem bude 8 možností Geometrický paradox Geometrický paradox, neboli také problém chybějícího čtverečku je další z řady příkladů, které potvrzují zajímavé vlastnosti Fibonacciho čísel. 12

13 Zadání úlohy a její řešení: 1. Rozstříhejte čtverec o straně délky 8 jednotek, tak jak je naznačeno na obrázku níže a pak ze vzniklých dílů vytvořte obdélník. 2. Podivnost spočívá v tom, že ze čtverce o ploše 64 jednotek (8*8) poskládáme obdélník o ploše 65 (3*13). Jak je to možné? Řešení: Kdybychom rýsovali velmi přesně v dostatečně velkém měřítku zjistili bychom, že je zde ještě jednotka, která má plochu rovnou číslu 1, protože čísla 5,8,13 jsou 3 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla a proto pro ně platí: 5* =(-1) 6, tj =1 13

14 3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez 3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku Fibonacciho čísla nesouvisí jenom se zlatým řezem, ale také s Pascalovým trojúhelníkem a tudíž i s kombinačními čísly. Pokud si Pascalův trojúhelník narýsujeme tak jak uvádím níže a sečteme čísla ve stoupajících úhlopříčkách uvidíme, že vychází čísla tvořící Fibonacciho posloupnost. 3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla Definice zlatého řezu Dříve než začneme zkoumat zlatý řez detailněji, tak se prosím podívejte na 2 následující obrázky. A B Většina z nás se asi shodne, že obrázek A je přitažlivější než obrázek B to proto, že umístění květiny na obrázku A se blíží hodnotě zlatého řezu. 14

15 A B Právě díky tomuto zjištění se také velké množství umělců na tuto hodnotu zaměřilo a začali ji využívat při vytváření svých obrazů soch a staveb, ale nejen zde najdeme zlatý řez ten se totiž vyskytuje všude kolem nás protože hodnotu zlatého řezu stejně jako Fibonacciho čísla také využívá matka příroda a to v různých formách ať již jako zlatou spirálu, trojúhelník a nebo jako zlatý obdélník. Ukázka zlaté spirály v přírodě zlatá spirála Zlatá spirála Hlavonožec Nautilus Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem Fibonacciho čísla také velice úzce souvisí s hodnotou zlatého řezu a to tak že vezmeme li podíl po sobě jdoucích Fibonacciho čísel tak vzniklé číslo se bude postupně přibližovat hodnotě zlatého řezu tedy číslu 1,

16 4 Fibonacciho posloupnost v přírodě S Fibonacciho posloupností se setkáváme každý den svého života.dokonce i matka příroda si z těchto čísel vzala příklad a snad právě proto je počet spirál na borové šišce 13 levotočivých a 21 pravotočivých.protože tato dvě čísla jsou zrovna dvěma následujícími ve Fibonacciho posloupnosti není určitě náhoda, protože se s nimi můžeme setkat u slunečnice ta má 34 pravotočivých a 55 levotočivých spirál. Možná se ptáte, proč si příroda z těchto čísel bere příklad a přizpůsobuje se jim? Odpověď je jednoduchá, díky této posloupnosti se pak na terčíku slunečnice může vyskytovat nejvíce semen při jejich obvyklé velikosti. Překvapivý je i fakt že stejný princip jako na borové šišce a slunečnici najdeme i na kaktusu. 4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě a) Kosatce 3vnější + 3 vnitřní okvětní lístky b) Mochničky kuklíkovité 5 lístků c) Kopretiny 21 okvětních lístků a b c 16

17 5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi Fibonacciho čísla mají také vlastnosti, které nám umožňují vypočítat hodnotu konkrétního čísla (n) aniž bychom museli vypisovat celou řadu. 5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla Možnost výpočtu hodnoty konkrétního čísla v řadě jelikož existují vzorce, které nám práci s Fibonacciho čísly velmi usnadní Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla 1. F 1 + F 2 + F F n = F n+2-1 Výpočet u po sobě jdoucích F. čísel F 1 + F 2 + F F 2 n = F n * F n+1 Výpočet u F. čísel s druhou mocninou 3. F 1 + F 3 + F F 2n-1 = F 2*n Výpočet u F. čísel s lichým indexem 4. F 2 + F 4 + F F 2n = F 2n+1-1 Výpočet u F. čísel se sudým indexem Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) Pomocná řada F. čísel 1. ukázka pro n=4 u 1. zjednodušení F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = F =8-1 7=7 2. ukázka pro n=4 u 2. zjednodušení F F F F 4 2 = F 4 * F = 3 * = 15 15= Důkaz matematickou indukcí Základní definice matematické indukce: Matematická indukce je způsob dokázání tvrzení nebo matematické věty či posloupnosti. Matematická indukce říká, že platí li pro číslo 1 určité pravidlo bude toto pravidlo platit i u čísel vyšších v daném dokazovaném výpočtu, posloupnosti a dalších tvrzeních. F1 F2 F3 F4 F5 F Postup při provádění matematické indukce Fibonacciho posloupností: 1. nejdříve dokážeme, že tvrzení ve výpočtu platí je li n=1 2. Dokážeme, že rovnost opět platí, pokud zvýšíme číslo n o číslo 1 jedna 17

18 Pomocná řada F. čísel F1 F2 F3 F4 F5 F Důkaz 1. výpočtu matematickou indukcí 1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1) F 1+2-1= F 3-1=2-1=1 2. Indukční krok (n 1) F (n+1)+2-1=f n+3-1 Důkaz 2. výpočtu matematickou indukcí 1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1) F 1 *F 1+1 =F 1 *F 2 =1*1=1 2. Indukční krok ( n 1) F (n+1) *F (n+1)+1 =F (n+1) *F (n+2) 18

19 Závěr Téma mojí absolventské práce bylo Fibonacciho čísla a Fibonacciho posloupnost a dnes již s jejím psaním končím. Co mi tato práce přinesla? Tato práce mě naučila mnoha věcem, které se mi budou jistě hodit jako například zjišťování informací a odhalila mi že v matematice nejde vždy jenom o čísla a naučila mě vytvářet příklady ve kterých se vyskytují neznámé a zjistil jsem, že s jejich pomocí si lze velmi zjednodušit matematické příklady. Tato práce mě však také naučila pečlivé a vytrvalé práci. Avšak i když mi tato práce dala nepochybně hodně do budoucího studia na střední škole tak jsem si také povšiml, že konec tohoto školního roku by mohl být stráven lépe než psaním této absolventské práce. Konec tohoto školního roku by dle mého názoru měl být stráven tak abychom na něj všichni rádi vzpomínaly a ne tak abychom vzpomínaly na to, jak jsme psali absolventskou práci. Stálo proto za to se touto prací zabývat? Mohl jsem se touto prací přestat zatěžovat a užívat si konec školního roku podle mých představ avšak myslím si že pokud mi byl zadán jasný úkol je mojí povinností jej splnit, jak nejlépe dokážu. Což je další věc, kterou mě tato práce naučila a to je pečlivá práce a proto si myslím že tato práce má tak jako velká většina školních úkolů dva způsoby projevení. První způsob projevení si nemusíme přibližovat a všichni ho známe je jím otrávení z nově zadané práce, která nás v tu chvíli díky přívalu instrukcí a úkolů dokáže znechutit natolik že každý z nás si velmi rozmýšlí zda se do této práce vůbec pustit. Pak následuje 2 část, ve které zjišťujete, že práce není ani zdaleka tak strašlivá jak jsme si zpočátku mysleli a pokud nás začne práce trochu bavit tak postupem času už si na psaní do této práce zvykneme na tolik, že nám přestane dělat jakékoli problémy. Mě se nakonec psaní této práce zalíbilo natolik, že jsem se začal snažit o to aby byla z mého pohledu co nejlépe vypracovaná a doufám že i když tato práce určitě nebude bez chyb tak vás čtení této práce nebude nudit natolik aby jste hledali záminku k ukončení čtení. Takže co mi práce nakonec dala a vzala? Práce mi vzala velké množství volného času, ale také mne mnoho jak se zmiňuji výše naučila a myslím si, že absolventská práce má tak jako každá věc v životě svá plus i mínus. 19

20 Seznam použité literatury a zdrojů informací Knihy a publikace 1. Eduard Fuchs a Magdalena Hykšová. Historický vývoj matematiky ve vyučování matematiky v ZŠ. JČMF Elektronické zdroje 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 20

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Přednáška 6, 7. listopadu 2014

Přednáška 6, 7. listopadu 2014 Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující

Více

od Admiral Markets Trading Camp

od Admiral Markets Trading Camp od Admiral Markets Trading Camp 1. Fibonacci retracement 2. Nastavení 3. Použití v praxi Autorem tohoto mocného nástroje je matematik Leonardo Pisano Fibonacci. Nástroj vychází z přírody konkrétně z vypozorování

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),

V tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací), L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot.

Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Průměr Průměr je ve statistice často používaná hodnota, která se počítá jako aritmetický průměr hodnot. Co je to průměr # Průměrem se rozumí klasický aritmetický průměr sledovaných hodnot. Můžeme si pro

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova Školní vzdělávací program pro ZV Ruku v ruce

Reálné gymnázium a základní škola města Prostějova Školní vzdělávací program pro ZV Ruku v ruce 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

PSANÍ. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : My family, my hobbies Present simple and continuous, Wh- questions

PSANÍ. M e t o d i c k é p o z n á m k y k z á k l a d o v é m u t e x t u : My family, my hobbies Present simple and continuous, Wh- questions PSNÍ Jazyk Úroveň utor Kód materiálu nglický jazyk 5. třída Eva Prokšová j5-doc-pro-psa-01 Z á k l a d o v ý t e x t : Dear Johny, My name s Pavel Novák and I m twelve years old. I m from Prague which

Více

2 Důkazové techniky, Indukce

2 Důkazové techniky, Indukce Důkazové techniky, Indukce Náš hlubší úvod do matematických formalismů pro informatiku začneme základním přehledem technik matematických důkazů. Z nich pro nás asi nejdůležitější je technika důkazů matematickou

Více

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení roviny, jejích částí a vztahů mezi nimi. Úhel ostrý a tupý

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. pochopení roviny, jejích částí a vztahů mezi nimi. Úhel ostrý a tupý METODICKÝ LIST DA49 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Úhly I. typy úhlů Astaloš Dušan Matematika šestý fixační, frontální, individuální

Více

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7.

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo I. čtvrtletí 40 hodin Opakování učiva z 6. ročníku (14) Přesahy a vazby, průřezová témata v oboru

Více

ZÁSUVKOVÁ DESKA SVOČ FST 2013. Klára Rödlová, Střední Průmyslová Škola Ostrov, Klínovecká 1197 Ostrov 363 01

ZÁSUVKOVÁ DESKA SVOČ FST 2013. Klára Rödlová, Střední Průmyslová Škola Ostrov, Klínovecká 1197 Ostrov 363 01 ZÁSUVKOVÁ DESKA SVOČ FST 2013 Klára Rödlová, Střední Průmyslová Škola Ostrov, Klínovecká 1197 Ostrov 363 01 ANOTACE Práce se zabývá výrobou zásuvkové desky. Práce je rozdělena na 7 kapitol. V první kapitole

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1

Matematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1 1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Obvod čtverce, obvod obdélníku

Metodické pokyny k pracovnímu listu č Obvod čtverce, obvod obdélníku Název projektu: Spokojená škola Číslo projektu: OPVK.CZ.1.07/1.2.33/02.0039 Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 4.08. - Obvod čtverce, obvod obdélníku Pracovní list slouží žákům s SPU k procvičení výpočtů

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kurz č.: KV01 Karlovy Vary 12. 12. 2006 17. 4. 2007 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE

Kurz č.: KV01 Karlovy Vary 12. 12. 2006 17. 4. 2007 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Kurz č.: KV01 Karlovy Vary 12. 12. 2006 17. 4. 2007 ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Žákovský projekt v hodinách matematiky 8.ročníku základní školy na téma: Geometrie mého okolí Karlovy Vary, 2007 Mgr. Jaroslava Janáčková

Více

[ ] 2.4.6 Sudé a liché funkce. Předpoklady: 2203, 2402

[ ] 2.4.6 Sudé a liché funkce. Předpoklady: 2203, 2402 6 Sudé a liché funkce Předpoklady: 03, 0 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty, ve kterých se toho moc nestihne Pokud si však studenti mají nakreslit obrázky sami, není jiná možnost Přesto by

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Dláždění I. Předpoklady:

Dláždění I. Předpoklady: 1.3.18 Dláždění I Předpoklady: 010317 Pedagogická poznámka: tato hodina se věnuje opakování výpočtů povrchů a bylo by zřejmě možné ji zařadit i do úvodního opakování. Nakonec jsem ji přidal na toto místo,

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence. Opakování 7. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 8. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

Zklidnění dopravy v Chlumci nad Cidlinou

Zklidnění dopravy v Chlumci nad Cidlinou UNIVERZITA PARDUBICE DOPRAVNÍ FAKULTA JANA PERNERA Zklidnění dopravy v Chlumci nad Cidlinou Bc. Ondřej Šanda Diplomová práce 2009 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval samostatně. Veškeré literární

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

Pythagorova věta

Pythagorova věta .8.19 Pythagorova věta Předpoklady: 00801 Pedagogická poznámka: Z následujícího příkladu rýsuje každý žák pouze jeden bod podle toho, v jakém sedí oddělení. Př. 1: Narýsuj pravoúhlý trojúhelník: a) ABC:

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Co víme o přirozených číslech

Co víme o přirozených číslech Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438

Více

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r.

Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Každá kružnice má střed, označuje se S. Všechny body kružnice mají od středu S stejnou vzdálenost, říká se jí poloměr kružnice a označujeme ho r. Kružnice k je množina všech bodů v rovině, které mají od

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková

kombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití.

Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 1. Posloupnost je dána n-týn členem. Určete druh posloupnosti, d, q: 2 5n a) a n = AP; d = -5/4 4 n 2

Více

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI

MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI MA1ACZZ506DT Hodnocení výsledků vzdělávání žáků 5. ročníků ZŠ 2006 MATEMATICKÉ DOVEDNOSTI DIDAKTICKÝ TEST A Testový sešit obsahuje 12 úloh. Na řešení úloh máte 40 minut. Zde v testovém sešitě si můžete

Více

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský

Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Hlavolamy a teorie grafů

Hlavolamy a teorie grafů Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více