FIBONACCIHO POSLOUPNOST

Transkript

1 22. základní škola Plzeň, příspěvková organizace Na Dlouhých 49, Plzeň Absolventská práce FIBONACCIHO POSLOUPNOST Lukáš Pauliny 9. B Vedoucí absolventské práce: Mgr. Martin Tomik Školní rok 2010/2011

2 Prohlašuji, že jsem absolventskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a zdrojů informací. V Plzni dne 1. června 2011 Lukáš Pauliny.

3 Obsah Obsah...3 Anotace...5 Anotace v českém jazyce...5 Anotace v cizím jazyce...5 Úvod Fibonacci Stručný životopis Fibonacciho práce Liber abbaci Úloha o králících Fibonacciho posloupnost Historie Fibonacciho posloupnosti Co je Fibonacciho posloupnost? Definice Fibonacciho čísla v praxi Fibonacci retracement Příklad Fibonacci retracement Příklad stavba zdi Geometrický paradox Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku Zlatý řez a Fibonacciho čísla Definice zlatého řezu Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem Fibonacciho posloupnost v přírodě Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) Důkaz matematickou indukcí Závěr

4 Seznam použité literatury a zdrojů informací Knihy a publikace Elektronické zdroje

5 Anotace Anotace v českém jazyce Název práce je Fibonacciho posloupnost. Práce je rozdělena do několika kapitol. V první kapitole bych vám chtěl přiblížit, kdo byl Fibonacci a co jsou Fibonacciho čísla s pomocí úlohy o králících, která vedla ke vzniku samotné Fibonacciho posloupnosti. V druhé kapitole jsem se již zabýval samotnou Fibonacciho posloupností, kde a jak se dá využít. Ve třetí kapitole se zabývám Fibonacciho čísly v Pascalově trojúhelníku a také jejich souvislostí se zlatým řezem. Ve čtvrté kapitole vám ukážu, kde všude najdete Fibonacciho posloupnost a také jak se těmito čísly inspirovala matka příroda. Anotace v cizím jazyce The title of this work is the Fibonacci sequence. The thesis is devided into few chapters. In the first one, I would like to make you acquainted with the personality of Fibonacci and to explain what the Fibonacci numbers are through the auxiliary problem about rabits, which have let to origination of the Fibonacci sequence itself. In the second chapter I dealt with the Fibonacci sequence itself, where and how to use it. In the third chapter I explain the problem of Fibonacci numbers in the Pascal triangle and the connection between them and the gold chain. In the last chapter I would like to show You the Fibonacci sequence in different occurrences and as an inspiration of the mother nature. 5

6 Úvod Když naší třídě oznámili, že si máme vybrat téma absolventské práce tak jsem neměl žádnou představu o tom jaké téma bych chtěl zpracovat. Proto jsem si jednoho dne zjistil, jaká témata pro absolventskou práci jsou k dispozici. Nakonec jsem se rozhodl pro matematiku a to ze dvou důvodů. Proto, že vedoucím této práce je pan učitel Martin Tomik, který patří k mým nejoblíbenějším učitelům a také proto, že o tématu slyším poprvé a doufám, že si z této práce odnesu něco, co se mi bude v budoucnu hodit a co využiji. Ve své práci se vám stejně jako sobě tedy pokusím přiblížit, co jsou to Fibonacciho čísla, jak souvisí se zlatým řezem a proč tomu tak je. Další část práce se týká Fibonacciho posloupnosti, kde a jak se dá využít za použití známých úloh jako třeba známé Fibonacciho úlohy o králících. Když zde zmiňuji jméno Fibonacci tak v mé práci také naleznete kdo Fibonacci byl a jakým způsobem přišel na posloupnost, která dnes nese jeho jméno. 1. Portrét 2. Ukázka 3. Fibonacciho 4. úloha o Fibonacciho zlatého řezu čísla v přírodě králících

7 1 Fibonacci 1.1 Stručný životopis Leonardo Pisánský známý též také pod přezdívkou Fibonacci, kterou dostal podle svého otce, kterému se říkalo Bonacci (=dobromyslný člověk) proto přezdívka Fibonacci (=syn dobromyslného člověka). Fibonacci se stal prvním významným matematikem ve starém středověku. Narodil se roku 1170 v Italské Pise, avšak vzdělání se mu dostalo až v Severní Africe, kde pobýval se svým otcem. Fibonacci později získával poznatky při obchodních cestách ve Středomoří a v Orientu, proto měl možnost vidět výsledky islámských, řeckých, egyptských a mezopotámských matematiků. Roku 1200 se rozhodl Fibonacci vrátit do italské Pisy, kde zůstal až do své smrti roku Fibonacciho práce Fibonacciho práce nemálo podpořily staré matematické dovednosti. V dnešní době jsou nám k dispozici kopie jeho knih Liber abbaci z roku 1202, Praktica geometriae z roku 1220, Flos 1225 nebo Liber quadratorum z roku Nás však bude nejvíce zajímat kniha Liber abbaci (česky Svazek počítadla) o které pojednává následující kapitola Liber abbaci Liber abbaci je kniha z roku 1202 ve které Fibonacci shrnul poznatky a myšlenky, které získal na svých cestách. Tato kniha také značně pomohla evropské matematice tím, že využívala arabské číslice a přinesla také Dekadický systém, což je poziční číselná soustava používající pro zápis 10 symbolů (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Ve třetí části této knihy Fibonacci uvádí pro nás velmi důležitou a známou úlohu o králících. 7

8 1.2.2 Úloha o králících Zadání: podmínky: Kolik králíků bude mít po uplynutí jednoho roku a budou-li platit tyto 1. Na začátku máme 2 králíky samce a samici 2. Králíci jsou schopni se pářit od konce prvního měsíce, takže ke konci druhého už se narodí nový pár mláďat. 3. Po druhém měsíci se rodí pravidelně každý měsíc jeden pár mláďat. 4. Králíci nikdy neumírají. Řešení (1. -matematické 2. -praktické) : Číslo v závorce je číslo měsíce, a hodnota f (x) počet párů králíků na začátku daného měsíce tím dostaneme: f(1) = 1 f(2) = 1 f(3) = 2 f(4) = 3 f(5) = 5 8

9 1. Označíme nově narozené páry králíků písmenem N a dospělé králíky D, dostaneme: Měsíc 1: N Měsíc 2: D Měsíc 3: DN Měsíc 4: DND Měsíc 5: DNDNDN Tato posloupnost má první 2 členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích. Takovouto řadu čísel označujeme jako F n a nazýváme Fibonacciho čísla a říkáme, že čísla mají tzv. Fibonacciho posloupnost. 9

10 2 Fibonacciho posloupnost 2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti Fibonacciho čísla jsme mohli poprvé poznat v Indii v díle Nauka o verši od Indického matematika Pingala, ale jako posloupnost tato čísla poprvé použil a popsal již výše zmíněný Leonardo z Pisy známý též jako Fibonacci, který tuto posloupnost použil ve své knize Liber Abbaci, kterou se proslavil. 2.2 Co je Fibonacciho posloupnost? Definice Fibonacciho posloupnost je posloupnost, která má první dva členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích. Posloupnost Fibonacciho čísel Posloupnost Fibonacciho čísel Způsob výpočtu daného čísla =1 = Fibonacciho čísla v praxi Fibonacci retracement Snad nejpoužívanější metoda Fibonacciho čísel se nazývá Fibonacci retracement což je Fibonacciho úroveň zpětných pohybů. Tento nástroj odvozuje z ukazatelů, které tvoří 4 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla (Př. 13, 21, 34, 55) které mezi sebou vydělíme a dostaneme tzv. podílového ukazatele. Fibonacci retracement 13/21 = (61.8%) 34/21 = (161.8%) 21/55 = (38.2%) 34/55 = (61.8%) 55/34 = (161.8%) 13/34 = (38.2%) V praxi jsou výše uvedené výpočty použity hlavně v analytických přístrojích díky čemuž vám stačí znát pouze nejnižší číslo (dno) a nejvyšší číslo (vrchol) významného pohybu a ostatní úrovně již nemusíme počítat, jelikož se nám samy zakreslí do grafu. 10

11 2.3.2 Příklad Fibonacci retracement Máme nyní společnost Forex. Pro společnost Forex jsou hlavní níže uvedené Fibonacciho úrovně ,2% 0,5 50% ,8% ,6% 1,27 127% ,8% ,8% Za nejsilnější úrovně jsou považovány hodnoty 38.2%, 50% 61.8% jsou to v podstatě hodnoty které určují kam se bude trh či daný trend ubírat. Využití tohoto zjištění je opravdu mnoho, například si můžeme vypočítat, kam až by mohla cena výrobku této firmy dojít a prodat ji za nejvyšší možnou částku a to proto, že trh se po každé větší změně vrací do předem předvídaných Fibonacciho úrovní Příklad stavba zdi Máme cihly o velikosti 2x1. Chceme postavit zeď, která bude mít výšku 2 a délku stejnou jako počet cihel, tj. 1 cihla=délka 1, 2 cihly=délka 2 atd. (viz obrázek): S 1 cihlou máme jen 1 možnost, jak postavit zeď S 2 cihly máme 2 různé možnosti, jak zeď postavit Se 3 cihlami máme 3 různé možnosti Kolik budeme mít možností, jestliže budeme mít k dispozici 4 nebo 5 cihel? 11

12 1 cihla 2 cihly 3 cihly Řešení: řešení pro 4 cihly bude číslo 5, protože cihly můžeme poskládat následujícími způsoby: Pro 5 cihel nemusíme dlouho přemýšlet výsledkem se stane číslo 8, protože pokud výsledek pro 4 cihly bylo číslo 5 což je vlastně součet 2 předchozích variant tedy 2+3 proto výsledek pro 5 cihel se bude také rovnat součtu počtu dvou předchozích řešení tedy 5+3 a proto výsledkem bude 8 možností Geometrický paradox Geometrický paradox, neboli také problém chybějícího čtverečku je další z řady příkladů, které potvrzují zajímavé vlastnosti Fibonacciho čísel. 12

13 Zadání úlohy a její řešení: 1. Rozstříhejte čtverec o straně délky 8 jednotek, tak jak je naznačeno na obrázku níže a pak ze vzniklých dílů vytvořte obdélník. 2. Podivnost spočívá v tom, že ze čtverce o ploše 64 jednotek (8*8) poskládáme obdélník o ploše 65 (3*13). Jak je to možné? Řešení: Kdybychom rýsovali velmi přesně v dostatečně velkém měřítku zjistili bychom, že je zde ještě jednotka, která má plochu rovnou číslu 1, protože čísla 5,8,13 jsou 3 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla a proto pro ně platí: 5* =(-1) 6, tj =1 13

14 3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez 3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku Fibonacciho čísla nesouvisí jenom se zlatým řezem, ale také s Pascalovým trojúhelníkem a tudíž i s kombinačními čísly. Pokud si Pascalův trojúhelník narýsujeme tak jak uvádím níže a sečteme čísla ve stoupajících úhlopříčkách uvidíme, že vychází čísla tvořící Fibonacciho posloupnost. 3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla Definice zlatého řezu Dříve než začneme zkoumat zlatý řez detailněji, tak se prosím podívejte na 2 následující obrázky. A B Většina z nás se asi shodne, že obrázek A je přitažlivější než obrázek B to proto, že umístění květiny na obrázku A se blíží hodnotě zlatého řezu. 14

15 A B Právě díky tomuto zjištění se také velké množství umělců na tuto hodnotu zaměřilo a začali ji využívat při vytváření svých obrazů soch a staveb, ale nejen zde najdeme zlatý řez ten se totiž vyskytuje všude kolem nás protože hodnotu zlatého řezu stejně jako Fibonacciho čísla také využívá matka příroda a to v různých formách ať již jako zlatou spirálu, trojúhelník a nebo jako zlatý obdélník. Ukázka zlaté spirály v přírodě zlatá spirála Zlatá spirála Hlavonožec Nautilus Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem Fibonacciho čísla také velice úzce souvisí s hodnotou zlatého řezu a to tak že vezmeme li podíl po sobě jdoucích Fibonacciho čísel tak vzniklé číslo se bude postupně přibližovat hodnotě zlatého řezu tedy číslu 1,

16 4 Fibonacciho posloupnost v přírodě S Fibonacciho posloupností se setkáváme každý den svého života.dokonce i matka příroda si z těchto čísel vzala příklad a snad právě proto je počet spirál na borové šišce 13 levotočivých a 21 pravotočivých.protože tato dvě čísla jsou zrovna dvěma následujícími ve Fibonacciho posloupnosti není určitě náhoda, protože se s nimi můžeme setkat u slunečnice ta má 34 pravotočivých a 55 levotočivých spirál. Možná se ptáte, proč si příroda z těchto čísel bere příklad a přizpůsobuje se jim? Odpověď je jednoduchá, díky této posloupnosti se pak na terčíku slunečnice může vyskytovat nejvíce semen při jejich obvyklé velikosti. Překvapivý je i fakt že stejný princip jako na borové šišce a slunečnici najdeme i na kaktusu. 4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě a) Kosatce 3vnější + 3 vnitřní okvětní lístky b) Mochničky kuklíkovité 5 lístků c) Kopretiny 21 okvětních lístků a b c 16

17 5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi Fibonacciho čísla mají také vlastnosti, které nám umožňují vypočítat hodnotu konkrétního čísla (n) aniž bychom museli vypisovat celou řadu. 5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla Možnost výpočtu hodnoty konkrétního čísla v řadě jelikož existují vzorce, které nám práci s Fibonacciho čísly velmi usnadní Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla 1. F 1 + F 2 + F F n = F n+2-1 Výpočet u po sobě jdoucích F. čísel F 1 + F 2 + F F 2 n = F n * F n+1 Výpočet u F. čísel s druhou mocninou 3. F 1 + F 3 + F F 2n-1 = F 2*n Výpočet u F. čísel s lichým indexem 4. F 2 + F 4 + F F 2n = F 2n+1-1 Výpočet u F. čísel se sudým indexem Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) Pomocná řada F. čísel 1. ukázka pro n=4 u 1. zjednodušení F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = F =8-1 7=7 2. ukázka pro n=4 u 2. zjednodušení F F F F 4 2 = F 4 * F = 3 * = 15 15= Důkaz matematickou indukcí Základní definice matematické indukce: Matematická indukce je způsob dokázání tvrzení nebo matematické věty či posloupnosti. Matematická indukce říká, že platí li pro číslo 1 určité pravidlo bude toto pravidlo platit i u čísel vyšších v daném dokazovaném výpočtu, posloupnosti a dalších tvrzeních. F1 F2 F3 F4 F5 F Postup při provádění matematické indukce Fibonacciho posloupností: 1. nejdříve dokážeme, že tvrzení ve výpočtu platí je li n=1 2. Dokážeme, že rovnost opět platí, pokud zvýšíme číslo n o číslo 1 jedna 17

18 Pomocná řada F. čísel F1 F2 F3 F4 F5 F Důkaz 1. výpočtu matematickou indukcí 1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1) F 1+2-1= F 3-1=2-1=1 2. Indukční krok (n 1) F (n+1)+2-1=f n+3-1 Důkaz 2. výpočtu matematickou indukcí 1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1) F 1 *F 1+1 =F 1 *F 2 =1*1=1 2. Indukční krok ( n 1) F (n+1) *F (n+1)+1 =F (n+1) *F (n+2) 18

19 Závěr Téma mojí absolventské práce bylo Fibonacciho čísla a Fibonacciho posloupnost a dnes již s jejím psaním končím. Co mi tato práce přinesla? Tato práce mě naučila mnoha věcem, které se mi budou jistě hodit jako například zjišťování informací a odhalila mi že v matematice nejde vždy jenom o čísla a naučila mě vytvářet příklady ve kterých se vyskytují neznámé a zjistil jsem, že s jejich pomocí si lze velmi zjednodušit matematické příklady. Tato práce mě však také naučila pečlivé a vytrvalé práci. Avšak i když mi tato práce dala nepochybně hodně do budoucího studia na střední škole tak jsem si také povšiml, že konec tohoto školního roku by mohl být stráven lépe než psaním této absolventské práce. Konec tohoto školního roku by dle mého názoru měl být stráven tak abychom na něj všichni rádi vzpomínaly a ne tak abychom vzpomínaly na to, jak jsme psali absolventskou práci. Stálo proto za to se touto prací zabývat? Mohl jsem se touto prací přestat zatěžovat a užívat si konec školního roku podle mých představ avšak myslím si že pokud mi byl zadán jasný úkol je mojí povinností jej splnit, jak nejlépe dokážu. Což je další věc, kterou mě tato práce naučila a to je pečlivá práce a proto si myslím že tato práce má tak jako velká většina školních úkolů dva způsoby projevení. První způsob projevení si nemusíme přibližovat a všichni ho známe je jím otrávení z nově zadané práce, která nás v tu chvíli díky přívalu instrukcí a úkolů dokáže znechutit natolik že každý z nás si velmi rozmýšlí zda se do této práce vůbec pustit. Pak následuje 2 část, ve které zjišťujete, že práce není ani zdaleka tak strašlivá jak jsme si zpočátku mysleli a pokud nás začne práce trochu bavit tak postupem času už si na psaní do této práce zvykneme na tolik, že nám přestane dělat jakékoli problémy. Mě se nakonec psaní této práce zalíbilo natolik, že jsem se začal snažit o to aby byla z mého pohledu co nejlépe vypracovaná a doufám že i když tato práce určitě nebude bez chyb tak vás čtení této práce nebude nudit natolik aby jste hledali záminku k ukončení čtení. Takže co mi práce nakonec dala a vzala? Práce mi vzala velké množství volného času, ale také mne mnoho jak se zmiňuji výše naučila a myslím si, že absolventská práce má tak jako každá věc v životě svá plus i mínus. 19

20 Seznam použité literatury a zdrojů informací Knihy a publikace 1. Eduard Fuchs a Magdalena Hykšová. Historický vývoj matematiky ve vyučování matematiky v ZŠ. JČMF Elektronické zdroje 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 20