TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
|
|
|
- Markéta Kopecká
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení
2 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhá, a který je, alespoň teoreticky, neomezeně opakovatelný. Např. hod kostkou, zjištění výšky jedince, zjištění životnosti žárovky
3 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Základní prostor Ω (elementárních jevů) je množinou všech možných výsledků náhodného pokusu. Např.Ω {rub, líc} při hodu mincí Ω {1,2,3,4,5,6} - při hodu kostkou
4 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Elementární jev {ω} je prvek, popřípadě jednoprvková podmnožina, základního prostoru Např. ω {3} při hodu kostkou Jevy které nejsou elementární označujeme jako jevy složené. Např. A {2,4,6} při hodu kostkou
5 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný jev A je libovolná podmnožina základního prostoru (A). ro náhodné jevy platí algebraické zákony a rovnosti stejné jako pro množiny. Např. A padne sudé číslo při hodu kostkou Jev jistý nastane nutně při každé realizaci náhodného pokusu, ozn. Ω. Např. A padne číslo menší než 7 při hodu klas. kostkou Jev nemožný nemůže nastat nikdy při realizaci náhodného pokusu, ozn. 0 Např. A padne číslo větší než 7 při hodu klas. kostkou
6 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Náhodné jevy a Vennovy diagramy podjev průnik jevů sjednocení jevů disjunktní jevy doplněk jevu rozdíl jevů 1. de Morganův zákon 2. de Morganův zákon
7 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Úplná množina vzájemně disjunktních jevů je množina po dvou disjunktních jevů {A 1,A 2,A 3,...A n }, (A i ) > 0, jejichž sjednocení tvoří množinu Ω.
8 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Klasická definice pravděpodobnosti Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. ravděpodobnost, že při realizaci náhodného pokusu jev A nastane je: ( A) m n očet výsledků příznivých jevu A očet všechmožných výsledků Označení taky jako Laplaceova definice pravděpodobnosti Laplace (1812)
9 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Statistická definice pravděpodobnosti rovedeme-li n realizací náhodného pokusu, přičemž n(a) realizací je příznivých jevu A, pak pravděpodobnost jevu A můžeme odhadnout jako ( A) n( A) lim n n očet realizací pokusu příznivých jevu A očet všech realizací pokusu Tento odhad je tím přesnější, čím je počet realizací náhodného pokusu (n) vyšší. Statistická definice pravděpodobnosti nám například umožňuje odhadnout pravděpodobnost toho, že padne šestka na cinknuté kostce.
10 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Geometrická definice pravděpodobnosti Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: ( A) A Ω kde A, Ω jsou vhodné míry oblastí A a Ω. (Např. obsah)
11 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Hodiny, které nebyly ve stanovenou dobu nataženy, se po určitém čase zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi 6 a 9? Řešení 3 ( A) 12 0,25
12 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně vybraných čísel x a y z intervalu 0;8 je nejvýše 13 a zároveň platí, že y x 3? Řešení x + y 13 y 3 x
13 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně vybraných čísel x a y z intervalu 0;8 je nejvýše 13 a zároveň platí, že y x 3? Řešení x + y 13 y Ω 3 x x 4 47, dx A x , ,5 A Ω 47,5 64 0,742
14 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test odmíněná pravděpodobnost ( ) ( ) A A ( ) (A ) čti pravděpodobnost, že nastane jev A nastal-li jev
15 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Kolmogorovův axiomatický systém Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. 2. ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. 3. ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
16 Vlastnosti pravděpodobnosti ) ( 0 A 0 0) ( ( ) ( ) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( A A A A A A + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A nezávislé A A A..., (A) 0 A je jev nemožný, (A) 1 A je jev jistý Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test
17 Vlastnosti pravděpodobnosti ) ( 1 ) ( A A ) ( ) ( ) ( A A ( ) ( ) ( ) A A A 1 1 ( ) ( ) ( ) A A A 1 1 ( ) ( ) A A Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test
18 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru a) budou pořad sledovat oba manželé? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) ( A) ( ) 0,6 0,3 0, 18
19 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru b) bude pořad sledovat alespoň jeden z nich? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) ( A) + ( ) ( A ) 0,5 + 0,3 0,18 0, 62
20 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru c) nebude pořad sledovat ani jeden z nich? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) 1 A 1 ( A ) 1 0,62 0, 38
21 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru d) bude-li pořad sledovat manžel, bude jej sledovat i manželka? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 ( ) (A )0,6 ( ) A A ( A) 0,18 0,5 0,36
22 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru e) nebude-li pořad sledovat manžel, bude jej sledovat manželka? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 A 1 A (A )0,6 ( ) ( ) ( A) 1 0,38 1 0,5 0,24 1 ( A) 1 ( A) 1 ( A)
23 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení Jev K1 K2 K3 K4 Definice jevu Vybereme si první krabici Vybereme si druhou krabici Vybereme si třetí krabici Vybereme si čtvrtou krabici Vytáhneme bílou kuličku
24 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 1. náhodně vybíráme krabici (K1)0,25 (K2)0,25 (K3)0,25 (K4)0,25
25 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 2. vytahujeme z krabice kuličku ( K1)3/5 ( K2)2/4 ( K3)1/5 ( K4)5/6
26 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 3. bílou kuličku můžeme vytáhnout z první nebo druhé nebo třetí nebo čtvrté krabice: ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K K K 0, Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test
27 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Věta o úplné pravděpodobnosti 1 A Ω ( A) ( A ) ( i ) ( i ) ( A ) U i i ( i ) ( A ) i ( ) i
28 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba je vyšší než Řešení 190 cm? 75% 25% 45% 55% 90% 10%
29 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ravoúhlý Vennův diagram obsahy jednotlivých obdélníku odpovídají pravděpodobnostem ( A ) ( A ) ( ) i i i Řešení ( N M ) 0, 75 ( V M ) 0, 25 ( M ) 0, 45 0,338 0,112 ( ) Ž 0, 55 0,495 0,055 ( ) ( ) N Ž 0, 9 V Ž 0, 1
30 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V M + V Ž V M M + V Ž Ž 0,25 0,45 + 0,10 0,55 0,167 Řešení ( N M ) 0, 75 ( V M ) 0, 25 ( M ) 0, 45 0,338 0,112 ( ) Ž 0, 55 0,495 0,055 ( ) ( ) N Ž 0, 9 V Ž 0, 1
31 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Rozhodovací strom zobrazuje okamžiky rozhodování jako uzly větvení, větve pak představují všechny jednotlivé varianty řešení. Každá větev v rozhodovacím stromu je ohodnocena pravděpodobností, že bude příslušná varianta vybrána. Vynásobíme-li všechny pravděpodobnosti na cestě mezi dvěma uzly, získáme pravděpodobnost, že se z počátečního uzlu dostaneme do uzlu koncového. ohlaví Výška ( M ) 0, 45 Společnost M ( N M) 0, 75 ( V M) 0, 25 N V ( N M ) 0,45 0,75 0, 338 ( V M) 0,45 0,25 0, 112 ( ) Ž 0, 55 Ž ( N Ž ) 0, 9 N ( N Ž ) 0,55 0,9 0, 495 ( Ž ) 0, 1 V V ( Ž ) 0,55 0,1 0, 055 V
32 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ayesův teorém ayesův vzorec udává, jakým způsobem vypočítáme aposteriorní pravděpodobnosti ( k A) jevu k za podmínky, že nastal jev A, jestliže známe apriorní pravděpodobnosti ( i ) a podmíněné pravděpodobnosti (A i ) pro všechny jevy i, i 1, 2,..., n. ( ) ( A ) k A k ( A) ( i ) ( A ) k ( A ) i
33 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? 55 % ARIORNÍ RAVDĚODONOST
34 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? AOSTERIORNÍ RAVDĚODONOST
35 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ( V ) 0,25 0,45 + 0,10 0,55 0, 167 ( ) ( ) Ž V Ž V 0,055 0,167 ( V ) 0,33 ohlaví Výška ( M ) 0, 45 Společnost M ( N M) 0, 75 ( V M) 0, 25 N V ( N M ) 0,45 0,75 0, 338 ( V M) 0,45 0,25 0, 112 ( ) Ž 0, 55 Ž ( N Ž ) 0, 9 N ( N Ž ) 0,55 0,9 0, 495 ( Ž ) 0, 1 V V ( Ž ) 0,55 0,1 0, 055 V
36 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? ( ) ( ) Ž V Ž V 0,055 0,33 0,167 ( V ) 33% AOSTERIORNÍ RAVDĚODONOST
37 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Test
38 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností.
39 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností. ROČ Ze stability relativních četností vychází statistická definice pravděpodobnosti. Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti vychází z počtu příznivých a všech možných výsledků nějakého jevu.
40 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti.
41 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti. ROČ Kolmogorovy axiomy definují pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudávají však žádný návod k jejímu stanovení.
42 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75.
43 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75. ROČ Z vlastnosti pravděpodobnosti: A ( A) ( )
44 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní.
45 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní. ROČ Z vlastnosti pravděpodobnosti ( ) A ( A) + ( ) ( A ) A 0 okud by jevy byly disjunktní, byla by pravděpodobnost sjednocení těchto dvou jevů vyšší než 1. 0 ( A) 1 ( ) ( A) + ( ) A
46 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. e) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo.
47 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. e) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo. ROČ Jedná se o nezávislé jevy > ( A ) ( A) ( ) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna (1/2) 10 ravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo (1/2) 10
48 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. ravděpodobnost poruchy součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. (ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě.) a) e) p 10 b) f) 10p 10 p 10 p c) g) d) h) 10 1 p 1 p 1 1 p 1 p ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10
49 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. ravděpodobnost poruchy součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. d) 10 p ROČ orucha bloku složeného z paralelně zapojených součástek nastane, jestliže dojde k poruše všech součástek. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že pravděpodobnost, že systém nefunguje (oruchy)(p p p p p p p p p p)p p p p p p p p p pp 10
50 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. ravděpodobnost poruchy každé součástky je p. ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. p 10 a) e) 10p 10 p 10 p b) f) c) g) d) h) 10 1 p ( 1 p) p 1 p ( ) 10 ( ) 10
51 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. ravděpodobnost poruchy každé součástky je p. ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. g) ( 1 ) 10 1 p ROČ orucha bloku složeného ze sériově zapojených součástek nastane, jestliže dojde k poruše alespoň jedné ze součástek. Máme li sériově zapojené součástky, je vhodné určovat pravděpodobnost, že systém funguje. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že pravděpodobnost, že systém funguje > (nefunguje) 1- (funguje) ( p p p p p p p p p p) 1 ( 1 ) 10 1 p
52 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. odmíněná pravděpodobnost (A ) je rovna a) b) c) d) ( A ) ( ) ( A ) ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A)
53 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. odmíněná pravděpodobnost (A ) je rovna a) b) c) d) ( A ) ( ) ( A ) ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A) ROČ Z definice. amatovat jako: odmíněná pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti průniku lomeno pravděpodobností podmínky.
54 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Mějme jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ( A) ( )
55 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Mějme jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ( A) ( ) ROČ Sjednocení obsahuje všechny prvky z množiny A i, pokud tyto množiny sčítáme, započítáváme prvky v průniku dvakrát (jednou jsou obsaženy v A a jednou v ), aby byly započítány do výsledku jenom jednou, musíme je jednou odečíst.
56 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Mějme nezávislé jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + A ( ) ( )
57 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Mějme nezávislé jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + A ( ) ( ) ROČ Nezávislost jevů předešlou situaci žádným způsobem neovlivňuje.
58 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 7. Mějme disjunktní jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu A a je rovna a) b) c) d) 0 ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) +
59 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 7. Mějme disjunktní jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu A a je rovna a) b) c) d) 0 ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ROČ Jestliže jsou jevy disjunktní, nemají žádný společný prvek, z 2. vlastnosti pravděpodobnosti > (0)0.
60 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 8. Mějme jevy A a. Jev C je průnik jevů A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna ( A) ( ) ( 1 ( A) ) ( ( ) 1 + ) ( 1 + ( A) ) a) d) b) e) c) f) ( )( ( A ) ( ) ( 1 ( A )
61 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 8. Mějme jevy A a. Jev C je průnik jevů A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna b) ( ) ROČ
62 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 9. Mějme nezávislé jevy A a. Jev C je doplněk jevu A. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna ( A) ( ) ( ) ( 1 + ( A) ) a) d) b) e) c) f) ( ) ( 1 ( A) ) ( )( ( A ) ( )( ( A )
63 9. Mějme nezávislé jevy A a. Jev C je doplněk jevu A. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna d) ROČ ( ) ( ) ( ) A 1 [ ] )) ( (1 ) ( ) ( ) ( ) ( jevy nezávislé ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test
64 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
65 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
66 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
67 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
68 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
69 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
70 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
3 PRAVDĚPODOBNOST. Základní vztahy: Pravděpodobnost negace jevu A: P A 1 P A
3 RAVDĚODOBNOST Základní vztahy: ravděpodobnost negace jevu A: A 1 A ravděpodobnost sjednocení jevů A,B: A B A B A B - pro disjunktní (neslučitelné) jevy A, B: A B A B ravděpodobnost průniku jevů A, B:
KOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
Teorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014
ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
náhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Úvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
Podmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Informační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
pravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Řešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve
Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve
Podmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav
S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
S1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
7 Pravděpodobnostní modely úvod
7 Pravděpodobnostní modely úvod 7 Pravděpodobnostní modely úvod Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Nyní ve druhé polovině kursu bude obsahem odlišná matematická disciplína, která snad má s numerickými
Teorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
6 5 = 0, = 0, = 0, = 0, 0032
III. Opaované pousy, Bernoulliho nerovnost. Házíme pětrát hrací ostou a sledujeme výsyt šesty. Spočtěte pravděpodobnosti možných výsledů a určete, terý má největší pravděpodobnost. Řešení: Jedná se o serii
( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
Síla a významnost asociace mezi proměnnými v systému
Síla a významnost asociace mezi proměnnými v systému Program 1. Entropie jako míra neuspořádanosti. 2. Entropie jako míra informace. 3. Entropie na rozkladu množiny elementárních jevů. 4. Vlastnosti entropie.
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)
TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní
Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina
Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý
Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Pravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost
1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik
Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost
Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných