TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení"

Transkript

1 TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení

2 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhá, a který je, alespoň teoreticky, neomezeně opakovatelný. Např. hod kostkou, zjištění výšky jedince, zjištění životnosti žárovky

3 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Základní prostor Ω (elementárních jevů) je množinou všech možných výsledků náhodného pokusu. Např.Ω {rub, líc} při hodu mincí Ω {1,2,3,4,5,6} - při hodu kostkou

4 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Elementární jev {ω} je prvek, popřípadě jednoprvková podmnožina, základního prostoru Např. ω {3} při hodu kostkou Jevy které nejsou elementární označujeme jako jevy složené. Např. A {2,4,6} při hodu kostkou

5 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný jev A je libovolná podmnožina základního prostoru (A). ro náhodné jevy platí algebraické zákony a rovnosti stejné jako pro množiny. Např. A padne sudé číslo při hodu kostkou Jev jistý nastane nutně při každé realizaci náhodného pokusu, ozn. Ω. Např. A padne číslo menší než 7 při hodu klas. kostkou Jev nemožný nemůže nastat nikdy při realizaci náhodného pokusu, ozn. 0 Např. A padne číslo větší než 7 při hodu klas. kostkou

6 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Náhodné jevy a Vennovy diagramy podjev průnik jevů sjednocení jevů disjunktní jevy doplněk jevu rozdíl jevů 1. de Morganův zákon 2. de Morganův zákon

7 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Úplná množina vzájemně disjunktních jevů je množina po dvou disjunktních jevů {A 1,A 2,A 3,...A n }, (A i ) > 0, jejichž sjednocení tvoří množinu Ω.

8 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Klasická definice pravděpodobnosti Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. ravděpodobnost, že při realizaci náhodného pokusu jev A nastane je: ( A) m n očet výsledků příznivých jevu A očet všechmožných výsledků Označení taky jako Laplaceova definice pravděpodobnosti Laplace (1812)

9 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Statistická definice pravděpodobnosti rovedeme-li n realizací náhodného pokusu, přičemž n(a) realizací je příznivých jevu A, pak pravděpodobnost jevu A můžeme odhadnout jako ( A) n( A) lim n n očet realizací pokusu příznivých jevu A očet všech realizací pokusu Tento odhad je tím přesnější, čím je počet realizací náhodného pokusu (n) vyšší. Statistická definice pravděpodobnosti nám například umožňuje odhadnout pravděpodobnost toho, že padne šestka na cinknuté kostce.

10 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Geometrická definice pravděpodobnosti Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: ( A) A Ω kde A, Ω jsou vhodné míry oblastí A a Ω. (Např. obsah)

11 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Hodiny, které nebyly ve stanovenou dobu nataženy, se po určitém čase zastaví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi 6 a 9? Řešení 3 ( A) 12 0,25

12 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně vybraných čísel x a y z intervalu 0;8 je nejvýše 13 a zároveň platí, že y x 3? Řešení x + y 13 y 3 x

13 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně vybraných čísel x a y z intervalu 0;8 je nejvýše 13 a zároveň platí, že y x 3? Řešení x + y 13 y Ω 3 x x 4 47, dx A x , ,5 A Ω 47,5 64 0,742

14 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test odmíněná pravděpodobnost ( ) ( ) A A ( ) (A ) čti pravděpodobnost, že nastane jev A nastal-li jev

15 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Kolmogorovův axiomatický systém Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. 2. ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. 3. ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních (neslučitelných) jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

16 Vlastnosti pravděpodobnosti ) ( 0 A 0 0) ( ( ) ( ) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( A A A A A A + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A nezávislé A A A..., (A) 0 A je jev nemožný, (A) 1 A je jev jistý Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

17 Vlastnosti pravděpodobnosti ) ( 1 ) ( A A ) ( ) ( ) ( A A ( ) ( ) ( ) A A A 1 1 ( ) ( ) ( ) A A A 1 1 ( ) ( ) A A Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

18 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru a) budou pořad sledovat oba manželé? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) ( A) ( ) 0,6 0,3 0, 18

19 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru b) bude pořad sledovat alespoň jeden z nich? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) ( A) + ( ) ( A ) 0,5 + 0,3 0,18 0, 62

20 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru c) nebude pořad sledovat ani jeden z nich? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 (A )0,6 ( A ) 1 A 1 ( A ) 1 0,62 0, 38

21 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru d) bude-li pořad sledovat manžel, bude jej sledovat i manželka? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 ( ) (A )0,6 ( ) A A ( A) 0,18 0,5 0,36

22 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravidelně sleduje určitý pořad 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň bylo zjištěno, že jestliže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru e) nebude-li pořad sledovat manžel, bude jej sledovat manželka? Řešení A pořad sleduje manžel pořad sleduje manželka (A)0,5 () 0,3 A 1 A (A )0,6 ( ) ( ) ( A) 1 0,38 1 0,5 0,24 1 ( A) 1 ( A) 1 ( A)

23 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení Jev K1 K2 K3 K4 Definice jevu Vybereme si první krabici Vybereme si druhou krabici Vybereme si třetí krabici Vybereme si čtvrtou krabici Vytáhneme bílou kuličku

24 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 1. náhodně vybíráme krabici (K1)0,25 (K2)0,25 (K3)0,25 (K4)0,25

25 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 2. vytahujeme z krabice kuličku ( K1)3/5 ( K2)2/4 ( K3)1/5 ( K4)5/6

26 4. Máme 4 krabice. V první jsou 3 bílé a 2 černé kuličky, ve druhé jsou 2 bílé a 2 černé kuličky, ve třetí je 1 bílá a 4 černé kuličky, ve čtvrté 5 bílých a 1 černá kulička. Náhodně vybereme jednu krabici a vytáhneme 1 kuličku. Jaká je pravděpodobnost, že kulička je bílá? Řešení 3. bílou kuličku můžeme vytáhnout z první nebo druhé nebo třetí nebo čtvrté krabice: ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K K K 0, Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

27 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Věta o úplné pravděpodobnosti 1 A Ω ( A) ( A ) ( i ) ( i ) ( A ) U i i ( i ) ( A ) i ( ) i

28 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba je vyšší než Řešení 190 cm? 75% 25% 45% 55% 90% 10%

29 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ravoúhlý Vennův diagram obsahy jednotlivých obdélníku odpovídají pravděpodobnostem ( A ) ( A ) ( ) i i i Řešení ( N M ) 0, 75 ( V M ) 0, 25 ( M ) 0, 45 0,338 0,112 ( ) Ž 0, 55 0,495 0,055 ( ) ( ) N Ž 0, 9 V Ž 0, 1

30 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V M + V Ž V M M + V Ž Ž 0,25 0,45 + 0,10 0,55 0,167 Řešení ( N M ) 0, 75 ( V M ) 0, 25 ( M ) 0, 45 0,338 0,112 ( ) Ž 0, 55 0,495 0,055 ( ) ( ) N Ž 0, 9 V Ž 0, 1

31 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Rozhodovací strom zobrazuje okamžiky rozhodování jako uzly větvení, větve pak představují všechny jednotlivé varianty řešení. Každá větev v rozhodovacím stromu je ohodnocena pravděpodobností, že bude příslušná varianta vybrána. Vynásobíme-li všechny pravděpodobnosti na cestě mezi dvěma uzly, získáme pravděpodobnost, že se z počátečního uzlu dostaneme do uzlu koncového. ohlaví Výška ( M ) 0, 45 Společnost M ( N M) 0, 75 ( V M) 0, 25 N V ( N M ) 0,45 0,75 0, 338 ( V M) 0,45 0,25 0, 112 ( ) Ž 0, 55 Ž ( N Ž ) 0, 9 N ( N Ž ) 0,55 0,9 0, 495 ( Ž ) 0, 1 V V ( Ž ) 0,55 0,1 0, 055 V

32 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ayesův teorém ayesův vzorec udává, jakým způsobem vypočítáme aposteriorní pravděpodobnosti ( k A) jevu k za podmínky, že nastal jev A, jestliže známe apriorní pravděpodobnosti ( i ) a podmíněné pravděpodobnosti (A i ) pro všechny jevy i, i 1, 2,..., n. ( ) ( A ) k A k ( A) ( i ) ( A ) k ( A ) i

33 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? 55 % ARIORNÍ RAVDĚODONOST

34 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? AOSTERIORNÍ RAVDĚODONOST

35 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test ( V ) 0,25 0,45 + 0,10 0,55 0, 167 ( ) ( ) Ž V Ž V 0,055 0,167 ( V ) 0,33 ohlaví Výška ( M ) 0, 45 Společnost M ( N M) 0, 75 ( V M) 0, 25 N V ( N M ) 0,45 0,75 0, 338 ( V M) 0,45 0,25 0, 112 ( ) Ž 0, 55 Ž ( N Ž ) 0, 9 N ( N Ž ) 0,55 0,9 0, 495 ( Ž ) 0, 1 V V ( Ž ) 0,55 0,1 0, 055 V

36 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Ve společnosti je 45 % mužů a 55 % žen. Vysokých nad 190 cm je 25 % mužů a 10 % žen. Náhodně vybraná osoba je vyšší než 190 cm. Jaká je pravděpodobnost, že je náhodně vybraná osoba je žena? ( ) ( ) Ž V Ž V 0,055 0,33 0,167 ( V ) 33% AOSTERIORNÍ RAVDĚODONOST

37 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Test

38 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností.

39 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. a) Klasická definice pravděpodobnosti vychází ze stability relativních četností. ROČ Ze stability relativních četností vychází statistická definice pravděpodobnosti. Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti vychází z počtu příznivých a všech možných výsledků nějakého jevu.

40 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti.

41 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. b) Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti udávají návod ke stanovení pravděpodobnosti. ROČ Kolmogorovy axiomy definují pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudávají však žádný návod k jejímu stanovení.

42 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75.

43 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. c) Je-li pravděpodobnost jevu A rovna 0,75, pak pravděpodobnost podjevu jevu A je nejvýše 0,75. ROČ Z vlastnosti pravděpodobnosti: A ( A) ( )

44 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní.

45 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. d) Jestliže pravděpodobnosti dvou jevů jsou 0,7 a 0,5, pak tyto jevy nejsou disjunktní. ROČ Z vlastnosti pravděpodobnosti ( ) A ( A) + ( ) ( A ) A 0 okud by jevy byly disjunktní, byla by pravděpodobnost sjednocení těchto dvou jevů vyšší než 1. 0 ( A) 1 ( ) ( A) + ( ) A

46 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. e) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo.

47 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 1. Určete, která z následujících tvrzení jsou pravdivá. e) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna je menší než pravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo. ROČ Jedná se o nezávislé jevy > ( A ) ( A) ( ) ravděpodobnost, že při hodu mincí padne desetkrát po sobě panna (1/2) 10 ravděpodobnost, že při hodu klasickou kostkou padne desetkrát po sobě sudé číslo (1/2) 10

48 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. ravděpodobnost poruchy součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. (ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě.) a) e) p 10 b) f) 10p 10 p 10 p c) g) d) h) 10 1 p 1 p 1 1 p 1 p ( ) 10 ( ) 10 ( ) 10

49 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 2. ravděpodobnost poruchy součástky je p. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti paralelně zapojených součástek. d) 10 p ROČ orucha bloku složeného z paralelně zapojených součástek nastane, jestliže dojde k poruše všech součástek. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že pravděpodobnost, že systém nefunguje (oruchy)(p p p p p p p p p p)p p p p p p p p p pp 10

50 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. ravděpodobnost poruchy každé součástky je p. ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. p 10 a) e) 10p 10 p 10 p b) f) c) g) d) h) 10 1 p ( 1 p) p 1 p ( ) 10 ( ) 10

51 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 3. ravděpodobnost poruchy každé součástky je p. ředpokládejme, že součástky pracují nezávisle na sobě. Určete pravděpodobnost poruchy bloku složeného z 10 ti sériově zapojených součástek. g) ( 1 ) 10 1 p ROČ orucha bloku složeného ze sériově zapojených součástek nastane, jestliže dojde k poruše alespoň jedné ze součástek. Máme li sériově zapojené součástky, je vhodné určovat pravděpodobnost, že systém funguje. Vzhledem k nezávislosti poruch jednotlivých součástek můžeme říci, že pravděpodobnost, že systém funguje > (nefunguje) 1- (funguje) ( p p p p p p p p p p) 1 ( 1 ) 10 1 p

52 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. odmíněná pravděpodobnost (A ) je rovna a) b) c) d) ( A ) ( ) ( A ) ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A)

53 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 4. odmíněná pravděpodobnost (A ) je rovna a) b) c) d) ( A ) ( ) ( A ) ( ) ( A ) ( A) ( A ) ( A) ROČ Z definice. amatovat jako: odmíněná pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti průniku lomeno pravděpodobností podmínky.

54 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Mějme jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ( A) ( )

55 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 5. Mějme jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ( A) ( ) ROČ Sjednocení obsahuje všechny prvky z množiny A i, pokud tyto množiny sčítáme, započítáváme prvky v průniku dvakrát (jednou jsou obsaženy v A a jednou v ), aby byly započítány do výsledku jenom jednou, musíme je jednou odečíst.

56 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Mějme nezávislé jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + A ( ) ( )

57 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 6. Mějme nezávislé jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu A a je rovna a) b) c) d) ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + A ( ) ( ) ROČ Nezávislost jevů předešlou situaci žádným způsobem neovlivňuje.

58 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 7. Mějme disjunktní jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu A a je rovna a) b) c) d) 0 ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) +

59 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 7. Mějme disjunktní jevy A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu A a je rovna a) b) c) d) 0 ( A) ( ) ( A) ( ) ( A) + ( ) ( A ) + ROČ Jestliže jsou jevy disjunktní, nemají žádný společný prvek, z 2. vlastnosti pravděpodobnosti > (0)0.

60 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 8. Mějme jevy A a. Jev C je průnik jevů A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna ( A) ( ) ( 1 ( A) ) ( ( ) 1 + ) ( 1 + ( A) ) a) d) b) e) c) f) ( )( ( A ) ( ) ( 1 ( A )

61 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 8. Mějme jevy A a. Jev C je průnik jevů A a. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost sjednocení jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna b) ( ) ROČ

62 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 9. Mějme nezávislé jevy A a. Jev C je doplněk jevu A. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna ( A) ( ) ( ) ( 1 + ( A) ) a) d) b) e) c) f) ( ) ( 1 ( A) ) ( )( ( A ) ( )( ( A )

63 9. Mějme nezávislé jevy A a. Jev C je doplněk jevu A. ravděpodobnost jevu A je (A) a pravděpodobnost jevu je (). ravděpodobnost průniku jevu a C vyjádřena pomocí pravděpodobností jevů A a je rovna d) ROČ ( ) ( ) ( ) A 1 [ ] )) ( (1 ) ( ) ( ) ( ) ( jevy nezávislé ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A A A A A Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test

64 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

65 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

66 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

67 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

68 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

69 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

70 Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test 10.Vyberte 3 Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnosti. a) ravděpodobnost každého jevu A je nezáporné reálné číslo. b) ravděpodobnost každého jevu A je menší než 1. c) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna nule. d) ravděpodobnost jistého jevu Ω je rovna jedné. e) ravděpodobnost sjednocení konečného počtu vzájemně disjunktních jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. f) ravděpodobnost sjednocení jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209

( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209 9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve

Více

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D. Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ

Pravděpodobnost a statistika pro SŠ Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Mirko Navara Centrum strojového vnímání katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/mvt http://cmp.felk.cvut.cz/

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová

Základy pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve

tazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsledky, jevy

9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsledky, jevy 9.2.1 Náhodné pokusy, možné výsedky, jevy Předpokady: 9110, 9114 Hodím kámen za normáních okoností jediný výsedek = spadne na zem Hodíme kámen na terč někoik možných výsedků (trefíme desítku, devítku,,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost

6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost 6. Pravděpodobnost a statistika 6.1. Pravděpodobnost Pravděpodobnost (hovorově šance; značka je P z anglického probability) je hodnota vyčíslující jistotu resp. nejistotu výskytu určité události. K pojmu

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Kapitola 1. Základy teorie pravděpodobnosti

Kapitola 1. Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola 1 Základy teorie pravděpodobnosti 1 2 KAPITOLA 1. ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI 1.1 Náhodné jevy, pravděpodobnost 1.1.1 Náhoda, náhodný jev Život je jen náhoda, jak se zpívá v jedné oblíbené

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23

Obsah. I. Objektivní pravděpodobnosti. 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 Obsah Předmluva... 15 I. Objektivní pravděpodobnosti 1. Pravděpodobnost a relativní četnosti... 23 1.1 Úvod... 23 1.2 Základy frekvenční interpretace... 24 1.2.1 Pravděpodobnost a hromadné jevy... 24 1.2.2

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení

Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení 2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor002 Vypracoval(a),

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Diskrétní Matematika (456-533 DIM)

Diskrétní Matematika (456-533 DIM) Diskrétní Matematika (456-5 DIM) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vsb.cz 7. července 005 Verze.0. Copyright c 004 005 Petr Hliněný. Obsah 0. Předmluva.................................... iv

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Pracovní list žáka (SŠ)

Pracovní list žáka (SŠ) Pracovní list žáka (SŠ) vzorová úloha (SŠ) Jméno Třída.. Datum.. 1 Teoretický úvod Rezistory lze zapojovat do série nebo paralelně. Pro výsledný odpor sériového zapojení rezistorů platí: R = R1 + R2 +

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ

16. DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 DEFINIČNÍ OBORY FUNKCÍ 6 Urči definiční obor funkce 7 46 0 7 46 = 0 46 ± 5, = = 7; = 4 7 D ( f ) = ( ; 7 ; ) 7 f : y = 7 46 Funkce odmocnina je definována pro kladná reálná čísla a pro nulu Problematické

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky.

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky. Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Biostatistika Cvičení - pracovní listy Martina Litschmannová, Kateřina Janurová 5.května

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY. učební text. Jan Famfulík. Jana Míková. Radek Krzyžanek Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava TEORIE ÚDRŽBY učební text Jan Famfulík Jana Míková Radek Krzyžanek Ostrava 2007 Recenze: Prof. Ing. Milan Lánský, DrSc. Název: Teorie údržby Autor: Ing.

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta.

MYCIN, Prospector. Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] oblasti kvality rozhodování na úrovni experta. Expertní systémy MYCIN, Prospector Pseudodefinice [Expertní systémy, Feigenbaum a kol. 1988] Expertní systémy jsou počítačové programy, simulující rozhodovací činnosti experta při řešení složitých úloh

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více