STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ BRNO, KOUNICOVA 16 PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA 2. ČÁST

Transkript

1 STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ BRNO, KOUNICOVA 6 PRO 3. ROČNÍK OBORU SLABOPROUDÁ ELEKTROTECHNIKA. ČÁST ZPRACOVALA ING. MIROSLAVA ODSTRČILÍKOVÁ BRNO 3

2 OBSAH.ÚVOD...5..Charakteristika jednotlivých typů regulátorů...5..volba typu regulátoru metody návrhu regulátoru zieglerova-nicholsova metoda návrhu regulátoru určení parametrů regulátorů z přechodové charakteristiky soustavy9.3.3.frekvenční metoda návrhu regulátoru....stabilita REGULAČNÍCH OBVODŮ...3..Základní pojmy...3..kritéria stability algebraická kritéria stability frekvenční kritéria stability shrnutí....4.příklady výpočtu stability použití algebraických kritérií použití frekvenčních kritérií PŘESNOST ŘÍZENÍ A PŘESNOST REGULACE Přesnost řízení Vliv řídící veličiny w(t) na přesnost řízení Přesnost regulace Vliv poruchové veličiny u(t) na přesnost regulace Shrnutí Výpočet přesnosti - příklady KVALITA REGULAČNÍHO POCHODU Posouzení přechodové charakteristiky Určení kvality jednoduchým integrálním kritériem Určení kvality kvadratickým integrálním kritériem Způsoby zvyšování kvality regulace DISKRÉTNÍ REGULAČNÍ OBVODY Nelineární regulační obvody Nelineární regulační obvody s parazitními nelinearitami Nelineární regulační obvody s úmyslně zavedenými nelinearitami Dvoupolohová regulace REGULACE str

3 5.3..Třípolohová regulace Impulsní regulační obvody Typické zapojení impulsního regulačního obvodu Číslicové regulační obvody PROGRAMOVATELNÉ AUTOMATY Úvod Zařazení PLC do technologického procesu Druhy vstupních/výstupních signálů Použití PLC Rozdíl mezi PLC a PC Struktura PLC Programování PLC Jazyk kontaktních (reléových) schémat Jazyk logických schémat Jazyk logických instrukcí Grafický jazyk Příklady programování Příklady vyráběných automatů PLC TECO PLC Allen - Bradley PLC Toshiba PLC Siemens PRVKY PRO ZÍSKÁNÍ INFORMACÍ Snímače kinematických veličin Snímače polohy Snímače síly, tlaku a tlakové diference Snímače průtoku tekutin Snímače hladiny Snímače teploty a tepelného množství Snímače fyzikálních a chemických vlastností kapalin a plynů Snímače optických veličin Snímače magnetických veličin PROSTŘEDKY PRO PŘENOS A ÚPRAVU SIGNÁLŮ Prostředky pro přenos signálů REGULACE str

4 8...signálové a mezisystémové převodníky Analogově-číslicové převodníky Číslicově-analogové převodníky AKČNÍ PRVKY Pohony Elektrické pohony Pneumatické pohony Hydraulické pohony...76.robotika uplatnění robotů rozdělení manipulačních zařízení průmyslové roboty kognitivní roboty senzorický systém robotů snímače vnitřní informace snímače vnější informace motorický systém robotů pohyby manévrovací (globální) pohyby operační (regionální) pohyby suboperační (místní) kinematika robotů řídící systém robotů učení pamatování reprodukce příklady použití robotů robotizace povrchových úprav robotizace řezání vodním paprskem robotizace svařování robotizace a lasery robotizované montáže...89 POUŽITÁ LITERATURA REGULACE str

5 . ÚVOD Tato skripta navazují na. díl, ve kterém byly v závěru probrány druhy regulovaných soustav a regulátorů, tedy základních členů lineárních regulačních obvodů. S tím souvisí úvodní kapitoly této příručky. Pro danou regulovanou soustavu je důležité zvolit vhodný typ regulátoru. Pod pojmem typ se nerozumí jeho konstrukční uspořádání, ale jeho dynamické vlastnosti - tedy regulátor P, I, PI, PD nebo PID... CHARAKTERISTIKA JEDNOTLIVÝCH TYPŮ REGULÁTORŮ Proporcionální složka regulátoru je úměrná regulační odchylce. Projevuje se tedy bezprostředně po vzniku odchylky. (Po odstranění odchylky musí být regulační orgán v nové poloze.) Při použití regulátoru P zůstává v ustáleném stavu trvalá regulační odchylka (viz. kap. 3. Přesnost řízení). Trvalou regulační odchylku odstraňuje integrační složka, neboť výstup z integračního regulátoru trvá, i když vstupní odchylka je již nulová. Ovšem na druhé straně se účinek integrační složky projeví později než proporcionální, protože vstupní odchylka integruje. Proto při použití pouze integračního regulátoru nastává velké přeregulování a regulace je méně stabilní. Výhodná je ovšem kombinace proporcionální a integrační složky v PI regulátoru. Účinek složky P převládá v prvních okamžicích regulačního pochodu (zmenšuje přeregulování a stabilizuje regulační obvod), složka I převládá ke konci regulačního pochodu (odstraňuje trvalou regulační odchylku). Pokud je regulátor správně seřízen, jsou kladné vlastnosti obou složek spojeny a negativní potlačeny. Derivační složka se projeví s předstihem před složkou P. Zmenšuje proto maximální regulační odchylku. Jakmile se však regulační odchylka začne zmenšovat, působí D složka proti P složce (D je úměrná změně, P je úměrná velikosti). Zabraňuje tím překývnutí regulace na druhou stranu a tlumí tak regulační pochod, regulace je stabilnější. Ovšem regulátor pouze s D složkou není použitelný, neboť připouští libovolně velkou ustálenou regulační odchylku, a proto nijak nekompenzuje vstupní poruchu. D složka se proto používá jen ke stabilizaci regulátoru P nebo PI REGULACE str

6 .. VOLBA TYPU REGULÁTORU K regulaci soustav. řádu (tj. s nepatrnou kapacitou, např. regulace tlaku nebo průtoku v krátkých potrubích) se hodí jednoduché P nebo I regulátory. P regulátor může být nastaven na velké zesílení, takže trvalá regulační odchylka bude malá. Regulátory PD, PID nemohou v tomto případě nijak podstatně zlepšit průběh regulace a jsou zbytečně složité. Statické regulované soustavy. řádu (s kapacitou) se dobře regulují jednoduchými regulátory. Má-li soustava malou kapacitu, použije se účelně regulátor P nebo I, u soustav s velkou kapacitou (tj. s velkou časovou konstantou) se užije P nebo PI (pro nulovou regulační odchylku). Obvod složený ze statické regulované soustavy. řádu a I regulátoru (rovněž P, nebo PI regulátoru) je prakticky vždy stabilní. Regulátory PD, PID nezlepší podstatně regulační pochod a jsou zbytečně složité. Mimoto PD pracuje s trvalou regulační odchylkou. Statické regulované soustavy. a vyššího řádu kladou již na regulátory vyšší požadavky. U P regulátoru je omezeno maximální zesílení vzhledem k většímu počtu kapacit v soustavě. Malé přípustné zesílení P regulátoru má však za následek velkou trvalou regulační odchylku. Dobré výsledky dá PI regulátor, avšak jen tehdy, jsou-li změny zatížení soustavy pomalé. U těchto soustav se již projeví vliv derivace, takže zejména u soustav s několika kapacitami se setkáváme výhradně s regulátory PID. Protože derivační složka příznivě ovlivňuje stabilitu, může být regulátor nastaven na větší zesílení. Nepříznivé poměry pro regulaci jsou u statických regulovaných soustav s větším dopravním zpožděním. Tam je regulátor s derivací nezbytný, aby se vykompenzovalo velké fázové posunutí způsobené dopravním zpožděním. Astatické soustavy nelze regulovat integračními regulátory. Pro astatické soustavy. řádu je vhodný regulátor P nebo PI. Pro astatické soustavy vyšších řádů je nezbytný PID regulátor REGULACE str

7 Jednotlivé typy regulátorů se hodí k regulaci těchto soustav: I statické RS, s malou časovou konstantou, bez dopravního zpoždění (při pomalých a malých změnách zatížení); P statické RS s jednou kapacitou, se střední hodnotou časové konstanty, popřípadě s menším dopravním zpožděním (při malých změnách ztížení); zanechává trvalou regulační odchylku; PI RS s libovolně velkými časovými konstantami, s menším dopravním zpožděním (při velkých a pomalých změnách zatížení); PD RS se středně velkými časovými konstantami, s velkým dopravním zpožděním (při malých změnách zatížení); zanechává trvalou regulační odchylku; PID RS s libovolnými časovými konstantami i s větším dopravním zpožděním, při velkých a rychlých změnách zatížení..3. METODY NÁVRHU REGULÁTORU Nejpřesnější regulace lze dosáhnout pomocí integračního regulátoru. Jeho nevýhodou je však malá rychlost. Proto se kombinuje s regulátorem P a pro nejvyšší nároky na rychlost i s regulátorem D. V každém případě však bude kvalita regulace záviset i na vlastnostech regulované soustavy. Proto je nutné optimální nastavení regulátorů. Nejlepších výsledků dosáhneme, nastavíme-li konstanty regulátoru v provozním zapojení s regulovanou soustavou. Nejznámější takovou metodou je Zieglerova-Nicholsova metoda, určená pro nastavení kombinovaných regulátorů P, PI, PD popř. PID. Dále využíváme při návrhu regulátoru metodu frekvenčních charakteristik, metodu přechodové charakteristiky soustavy a další..3.. ZIEGLEROVA-NICHOLSOVA METODA NÁVRHU REGULÁTORU Uvažujeme přenos ve tvaru FR ( p ) = K + p + T T i d p Regulátory nastavujeme takto:. Vyřadíme integrační a derivační složku (T i =, T d = ). Zvětšujeme zesílení K regulátoru P, až nastanou oscilace. Při tomto kritickém zesílení K kr určíme periodu netlumených kmitů T kr. Optimální nastavení všech složek regulátoru potom je: REGULACE str

8 P: zesílení regulátoru K =,5 K kr PI: zesílení regulátoru P K =,45 K kr integrační časová konstanta T i =,83 T Kr PD: zesílení regulátoru P K =,4 K Kr derivační časová konstanta T d =,5 T Kr PID: zesílení regulátoru P K =,6 K kr integrační časová konstanta T i =,5 T Kr derivační konstanta T d =, T Kr Příklad: Návrh regulátorů metodou Ziegler-Nicholsovou. Soustava má přenos F S ( p ) = 4 ( + p ) Řešení: Určete optimální nastavení regulátorů P, PI, PD, PID. Nejdříve určíme kritické zesílení P regulátoru K Kr a periodu kmitů na mezi stability: Přenos řízení s P regulátorem Je. F W ( p ) FRFS = + F F R S K 4 ( + p ) = + K ( + p ) 4 = p 4 + 4p 3 K + 6p + 4p + + K Charakteristický polynom A(p) = p 4 + 4p 3 + 6p + 4p + + K Hurwitzův determinant D H = K = pro mez stability Vypočtená hodnota K je kritické zesílení K Kr = 4. Kritická perioda T Kr π = kde ω Kr určíme tak, že do ω charakteristické rovnice dosadíme K = K Kr Kr a p = jω, neboť alespoň jeden pár kořenů na mezi stability je ryze imaginární - sdružený: (jω Kr ) (jω Kr ) (jω Kr ) + 4 jω Kr + 5 = Nyní ω Kr vyjádříme z podmínky, že reálná i imaginární část rovnice se rovná nule. Řešením je ta hodnota ω Kr, která vyhovuje oběma podmínkám současně. - 4 (ω Kr ) ω Kr = ω Kr 4-6 ω Kr + 5 = Společné řešení je ω Kr = T Kr = π/ = π = 6,8 s REGULACE str

9 x(t) Vypočteme parametry regulátorů: P: K =,5 K Kr = PI: K =,45 K Kr =,8 T i =,83 T Kr = 5, s PD: K =,4 K Kr =,6 T d =,5 T Kr =,34 s PID: K =,5 K Kr =,4 T i =,5 T Kr = 3,4s T d =, T Kr =,75 s.3.. URČENÍ PARAMETRŮ REGULÁTORŮ Z PŘECHODOVÉ CHARAKTERISTIKY SOUSTAVY Známe-li dobu průtahu T u a dobu náběhu T n regulované soustavy a její zesílení K s (z přechodové charakteristiky soustavy), můžeme nastavit konstanty regulátoru takto: K S K S =,5 T u = s T n = 34 s T u T p T n t Nastavení konstant regulátorů: P: zesílení regulátoru K T T u K S Vypočteno: n =. K =,3 PI: zesílení regulátoru P K T T n =, 9. K =,93 u K S integrační časová konstanta T = 3,5 T T i = 77 s i u PD: zesílení regulátoru K T T n =,. K =,4 u K S derivační časová konstanta T =,5 T T d = 5,5 s d u REGULACE str

10 PID: zesílení regulátoru P K T T n =,. K =,4 u K S integrační časová konstanta derivační konstanta T = T T i = 44 s i d u T =,5 T T d = s u Příklad: Z přechodové charakteristiky soustavy jsme odečetli tyto hodnoty: K s = 3, T u = 4 s, T n = 3 s. Určete konstanty regulátorů P, PI, PD, PID FREKVENČNÍ METODA NÁVRHU REGULÁTORU Při návrhu regulátoru využíváme frekvenční charakteristiky v logaritmických souřadnicích. Pro přenos otevřeného obvodu platí: F ( p ) = F R ( p ).F ( p ) nebo F ( jω ) = F ( jω ).F ( jω ) R S S nebo nebo F ( jω ) = F ( jω ).F ( jω ). e R F = F + F S j( ϕ + ϕ ) db RdB SdB ϕ = ϕ R + ϕ S Pro regulátor potom platí tyto vztahy: F RdB = F F ϕ R = ϕ - ϕ S db SdB Z těchto vztahů vyplývá, že v logaritmických souřadnicích můžeme frekvenční charakteristiku regulátoru určit odečtením frekvenční charakteristiky soustavy od požadovaného průběhu frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu. Základem řešení je typizovaná amplitudová frekvenční charakteristika otevřeného obvodu. Je rozdělena na tři části: - nízkofrekvenční část je charakterizována sklonem první asymptoty, který závisí na astatismu otevřeného obvodu. Pořadnice této asymptoty pro ω = určuje zesílení otevřeného obvodu K v decibelech (i přesnost); - vysokofrekvenční oblast nemá vliv na průběh přechodného děje; amplitudy jsou velmi malé; - středofrekvenční oblast určuje stabilitu; požaduje se, aby v oblasti amplitudy O db v okolí frekvence řezu ω ř byl sklon asymptoty -db/dek (stabilita); středofrekvenční asymptota musí být dlouhá alespoň jednu dekádu, kmitočet řezu ji má půlit na dvě stejné poloviny; čím bude tato asymptota delší než jedna dekáda, tím bude fázová bezpečnost větší než REGULACE str

11 Typizovaná amplitudová frekvenční charakteristika otevřeného obvodu F db 4 F db nízkofrekvenční oblast -db/dek - 4dB/dek Středofrekvenční asymptota ϕ -db/dek vysokofrekvenční oblast + L. ω ř /K L ω ř Κω ř ω - - 4dB/dek -4-6dB/dek Fázová bezpečnost γ závisí na vzdálenosti frekvencí zlomů asymptot od kmitočtu řezu ω ř, respektive na převýšení L koncových bodů středofrekvenční asymptoty -db/dek proti ose db. Doporučuje se volit L v rozmezí (± 8 ±6) db. Graficky sestrojíme frekvenční charakteristiku regulátoru a určíme jeho přenos. Metoda se používá také při návrhu korekčních členů. Příklad: Navrhněte regulátor pro řízení regulované soustavy, jejíž LAFCH, tedy F sdb známe. Použijte metodu frekvenčních charakteristik. Řešení: Nakreslíme LAFCH soustavy F sdb, dále zakreslíme typizovanou amplitudovou frekvenční charakteristiku otevřeného obvodu a použitím vztahuf RdB = F F graficky sestrojíme db SdB charakteristiku regulátoru a určíme jeho přenos.. návrh: REGULACE str

12 LAFCH přenosu soustavy F s (p), otevřeného obvodu F (p) a regulátoru F R (p) F db 4 F SdB F db -db/dek. F RdB -db/dek +db/dek ω - 4dB/dek ϕ - - 4dB/dek -4 Výsledkem prvního návrhu je regulátor PD s přenosem F ( p ) = K ( pt ) R R + D. návrh: F db 4 F RdB F SdB F db -db/dek -db/dek -db/dek. ω +db/dek ϕ - - 4dB/dek - 4dB/dek -4 Výsledkem druhého návrhu je regulátor PID s přenosem K F ( p ) = R R ( + pt )( + pt T p Tento návrh je výhodnější, dosáhneme tím i větší přesnosti. i ) REGULACE str

13 . STABILITA REGULAČNÍCH OBVODŮ.. ZÁKLADNÍ POJMY Regulační obvod posuzujeme podle jeho nejdůležitějších vlastností. Je to především stabilita, dále přesnost řízení a regulace a konečně kvalita (jakost) regulace. První dvě vlastnosti, tedy stabilitu a přesnost, posuzujeme v ustáleném stavu, kvalitu naopak během regulačního pochodu. Stabilita je určitá vlastnost dynamického systému, charakterizující jeho chování při vychýlení z rovnovážného stavu. Stabilita regulačních obvodů je základním předpokladem řiditelnosti. Nestabilní systém nemůže zaujmout žádaný pracovní režim. Buďto nedovoleně kmitá kolem rovnovážné polohy, nebo se od ní vzdaluje. Nestabilní systém neplní regulační funkci. Stabilita obvodu závisí zejména na přenosech regulátoru a regulované soustavy, uplatňují se však přenosy všech členů v obvodu. U lineárních systémů nezávisí stabilita na velikosti ani na průběhu vstupních veličin. Definice: Systém je stabilní tehdy, jestliže po připojení vstupního signálu konečné hodnoty se po doznění přechodného děje signál na výstupu ustálí rovněž na konečné hodnotě. Regulační obvod je tedy nestabilní, když po vychýlení způsobeném jakýmkoliv vlivem, nedojde k novému ustálení. Tento průběh není žádoucí. Proto je nutné vždy vyšetřit, zda navrhovaný obvod je stabilní. Stabilitu můžeme posuzovat dle průběhu přechodové charakteristiky (tj. odezvy na jednotkový skok). Systém je stabilní, jestliže se přechodová charakteristika blíží hodnotě K pro t. netlumené harmonické kmity = MEZ STABILITY kmitavý průběh - stabilní x(t) K K x(t) Charakteristiky pro nestabilní systémy aperiodický průběh - stabilní t t REGULACE str

14 Stabilitu můžeme posuzovat i podle impulsní charakteristiky (tj. odezvy na jednotkový = Diracův impuls): x(t) x(t) Aperiodický průběh Charakteristiky pro stabilní systémy Charakteristiky pro nestabilní systémy Kmitavý průběh t t Systém je stabilní, jestliže se impulsní charakteristika blíží hodnotě pro t. Základní podmínky stability systému: Nutnou a postačující podmínkou stability je, aby všechny kořeny charakteristické rovnice uzavřeného regulačního systému byly umístěny v levé polorovině komplexní roviny. Im S T A B I L N Í MEZ STABILITY NESTABILNÍ Re Leží-li kořeny na imaginární ose, je systém na mezi stability. Leží-li jeden nebo více kořenů v pravé polorovině komplexní roviny, je systém nestabilní. Známe-li tedy kořeny charakteristické rovnice, můžeme podle jejich polohy určit stabilitu systému. Připomenutí: Charakteristický polynom získáme jako jmenovatel přenosu uzavřené smyčky A(p) = + F (p) charakteristická rovnice + F (p) = REGULACE str

15 Posuďte stabilitu systému v těchto třech případech (F až F 3 jsou přenosy uzavřené smyčky): F ( p ) = F ( p ) = + pt p F 3( p ) = pt Řešení: F (p) stabilní F (p) mez stability F (p) nestabilní Kořeny: +pt= p = p = p = T T Výpočet kořenů však nebývá takto jednoduchý, protože operátorový přenos je u skutečných obvodů podstatně složitější. V několika málo případech můžeme rozhodnout o stabilitě systému bez výpočtu dle tvaru charakteristického polynomu: - je-li charakteristický polynom A(p) = a p + a p + a do druhého stupně včetně a jsou-li všechny jeho koeficienty kladné, je systém stabilní; - je-li charakteristický polynom libovolného stupně a je-li některý z koeficientů (nebo více koeficientů) záporný nebo nulový, je systém nestabilní; - je-li charakteristický polynom do druhého stupně včetně a je-li některý koeficient nulový a ostatní kladné, je systém na mezi stability. V případě, že charakteristický polynom je vyššího stupně než druhého a všechny jeho koeficienty jsou kladné, nenulové, nelze o stabilitě rozhodnout přímo. Je třeba vypočítat kořeny charakteristického polynomu. Výpočet kořenů polynomů vyšších řádů je velmi pracný, a proto byla formulována řada kritérií stability, která dávají odpověď na otázku, zda všechny kořeny leží v levé polorovině komplexní roviny a systém je tedy stabilní, či ne... KRITÉRIA STABILITY Kritéria stability dělíme na dvě skupiny: - algebraická - frekvenční neboli grafická... ALGEBRAICKÁ KRITÉRIA STABILITY Algebraická kritéria posuzují stabilitu podle koeficientů charakteristické rovnice. Patří sem např. tato kritéria: - Hurwitzovo kritérium - Routh-Schurovo kritérium a další REGULACE str

16 Obě uvedená kritéria vycházejí z charakteristického polynomu. Posuzují pouze to, zda je nebo není obvod stabilní, ale ne jak dalece je stabilní. Algebraická kritéria není možné použít pro obvody s dopravním zpožděním....hurwitzovo KRITÉRIUM Toto kritérium patří k nejstarším algebraickým kritériím; zformuloval ho francouzský matematik G. Hurwitz v r Vychází z charakteristického polynomu. Předpokládejme tvar charakteristického polynomu A( p ) = a n n n p + an p ap + a Z koeficientů sestavíme Hurwitzův determinant například takto: D H = a a a a a a a a a a a a a a a a a a 4 6 a a a 3 5 Definice: Systém je podle Hurwitze stabilní, tzn. že všechny kořeny charakteristické rovnice leží v levé polorovině komplexní roviny tehdy, když všechny subdeterminanty determinantu D H jsou kladné. Je-li D H > systém je stabilní D H = D H < mez stability systém je nestabilní Musíme sestavit determinant stejného řádu, jakého je charakteristický polynom. Má-li být determinant kladný, musí být všechny subdeterminanty kladné. Je-li (n-) subdeterminantů kladných, není třeba poslední počítat - systém je stabilní. Mějme charakteristický polynom A(p) = a 3 p 3 + a p +a p + a kde koeficienty jsou A(p) = p 3 + 3p + 4p + 5 Sestavíme Hurwitzův determinant, dosadíme a vypočteme: D H = a a 3 a a a a 3 = = a > = 4 > = a. a - a. a 3 > = = > D H > Dva subdeterminanty jsou kladné (třetí nemusíme počítat) determinant je kladný systém je stabilní REGULACE str

17 ...ROUTH-SCHUROVO KRITÉRIUM Jako algebraické kritérium je užíváno často, zejména u vyšších stupňů charakteristického polynomu. Podstata algoritmu řešení spočívá v postupném snižování stupně charakteristického polynomu až na druhý stupeň včetně, tj. se třemi koeficienty. Definice: Nutnou a postačující podmínkou stability uzavřeného systému je, aby všechny koeficienty redukovaných rovnic koeficientů až do. stupně včetně byly kladné. Mějme charakteristický polynom ve tvaru: A(p) = a 4 p 4 + a 3 p 3 + a p + a p + a A(p) = 8p 4 + 4p 3 + p + 6p + Postup řešení - koeficienty napíšeme na řádek, každý druhý zleva podtrhneme, vynásobíme podílem dvou nejvyšších koeficientů a napíšeme na další řádek posunuté o jedno místo doleva. Druhý řádek odečteme od prvního - získáme redukovaný polynom. Takto pokračujeme až do. řádu polynomu (3 koeficienty). a 4 a 3 a a a a 4 /a /4 = druhý řádek odečteme 4-6 Záporný koeficient systém je nestabilní. Pokud se vyskytne během úprav záporná hodnota koeficientu, je systém nestabilní a nemusíme dále počítat. Algebraická kritéria posuzují stabilitu kvalitativně, tj. rozhodnou, zda obvod je či není stabilní. Kvantitativní posouzení stability (tj. údaj o tom, zda je obvod dostatečně stabilní) však neposkytují, je nutné použít grafické (frekvenční) kritérium.... FREKVENČNÍ KRITÉRIA STABILITY Posuzují stabilitu podle charakteristik (zejména frekvenčních). Nejužívanější je Nyquistovo kritérium, při němž se posuzuje průběh frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu. Dále sem patří Michajlovo-Leonhardovo kritérium, které vychází z charakteristického polynomu. Mezi grafická kritéria patří také velmi málo používané Kűpfműllerovo kritérium, které vychází z přechodové charakteristiky otevřené smyčky REGULACE str

18 ...NYQUISTOVO KRITÉRIUM Toto kritérium publikoval r. 93 Nyquist pro zesilovač se zápornou zpětnou vazbou, později bylo zobecněno a užívá se i v teorii regulace. Stabilita uzavřeného zpětnovazebního systému se posuzuje podle průběhu frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu. Nyquistovo kritérium se používá nejčastěji, vyhovuje také pro systémy s dopravním zpožděním. Kritérium užíváme pro frekvenční charakteristiky v komplexní rovině nebo v logaritmických souřadnicích; definice stability je proto uvedena pro každý způsob kreslení charakteristik zvlášť. Nyquistovo kritérium v komplexní rovině: Definice: Uzavřený obvod je stabilní, jestliže frekvenční charakteristika otevřeného obvodu F (jω) při nárůstu frekvence ω od do probíhá vpravo od bodu [-,] v komplexní rovině. Probíhá-li charakteristika bodem [-,] je systém na mezi stability. Probíhá-li vlevo od bodu [-,] je systém nestabilní. Im - nestabilní ω mez stability ω stabilní ω - Re Frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu F (jω) Nyquistovým kritériem je možné vyhodnotit i míru stability - pro stabilní systémy můžeme určit tzv. fázovou bezpečnost γ, případně amplitudovou bezpečnost h REGULACE str

19 h Im -Re - ω ř γ Re - stabilní ω -Im Frekvenční charakteristika otevřeného obvodu F (jω) Průsečík frekvenční charakteristiky F (jω) s jednotkovou kružnicí udává tzv. frekvenci řezu ω ř, při níž je absolutní hodnota frekvenčního přenosu otevřené smyčky F ( jω). Vektor svírá určitý úhel γ se zápornou reálnou poloosou. = Vzdálenost průsečíku frekvenční charakteristiky otevřeného obvodu F (jω) se zápornou reálnou poloosou do bodu [-,] je tzv. amplitudová bezpečnost h. γ fázová bezpečnost (úhel fázové bezpečnosti) - volíme 3-7 h amplitudová bezpečnost - volíme,5 -,6 (min.,). V praxi by minimální fázová bezpečnost měla mít hodnotu 3 ; obvody se navrhují tak, aby nebylo překročeno 7. Nyquistovo kritérium v logaritmických souřadnicích: V logaritmických souřadnicích zakreslíme amplitudovou a fázovou charakteristiku. Pro snadnější posouzení stability se doporučuje volit stupnici fáze tak, aby na ose frekvence byla hodnota -8. Definice: Uzavřený obvod je stabilní, jestliže LAFCH (amplitudová charakteristika) otevřeného obvodu F db má hodnotu db při fázi otevřeného obvodu ϕ větší (kladnější) než -8. Poznámka: Uvedené kritérium je tzv. zjednodušené Nyquistovo kritérium, které lze použít pro systémy, u kterých otevřený obvod F (jω) je stabilní - většina běžných regulačních obvodů tuto podmínku splňuje REGULACE str

20 F db 3 F db -db/dek -4dB/dek ϕ ϕ ω r -6dB/dek stabilní mez stability nestabilní ω -8 o γ -9 o LAFCH a LFFCH otevřeného obvodu F (jω) Pomocí Nyquistova kritéria lze vyšetřovat i systémy s dopravním zpožděním, jehož přítomnost zhoršuje podmínky stability. Výhodnější je použít charakteristiky v logaritmických souřadnicích.... MICHAJLOVO-LEONHARDOVO KRITÉRIUM Kritérium publikoval Michajlov v r. 938, později nezávisle na sobě zveřejnili stejná kritéria r. 944 Leonhard a v r. 947 L.Cremer. Kritérium lze použít i pro obvody s dopravním zpožděním (nutno doplnit definici stability systému). Kritérium vychází z charakteristického polynomu, do kterého dosadíme za operátor p výraz jω, a tím přejdeme ke komplexnímu výrazu tzv. charakteristickému vektoru. Např.: A(p) = a 4 p 4 + a 3 p 3 + a p + a p + a potom A(jω) = a 4 (jω) 4 + a 3 (jω) 3 + a (jω) + a jω + a A(jω) = a 4 ω 4 - a 3 jω 3 - a ω + a jω + a A(jω) = U(ω) + jv(ω) = a 4 ω 4 - a ω + a + j(a ω - a 3 ω 3 ) Tedy reálná část U(ω) = a 4 ω 4 - a ω + a imaginární část V(ω)=a ω - a 3 ω 3 Grafickým znázorněním charakteristického vektoru v komplexní rovině získáme Michajlovovu křivku nazývanou také hodograf REGULACE str

21 Definice: Systém je stabilní, když Michajlovova křivka nevychází z počátku (začíná na kladné reálné poloose) a při změně kmitočtu ω od do prochází postupně tolika kvadranty, kolikátého je řádu. Průchod jednotlivými kvadranty musí být proti smyslu pohybu hodinových ruček. (Využívá se také zjednodušená metoda určení průsečíků hodografu na číselné ose). Im Im -Re 3. řád. řád. řád ω= Re STABILNÍ 4. řád -Re ω= ω= Re NESTABILNÍ -Im -Im Pomocí Michajlovova kritéria lze řešit i stabilitu systému s dopravním zpožděním. Účinek dopravního zpoždění se obvykle projeví u obecného členu charakteristického polynomu ve tvaru A(p) = a 4 p 4 + a 3 p 3 + a p + a p + a.e -p τ Tomu odpovídající hodograf má periodickou složku a vykoná nekonečný počet oběhů kolem počátku dle obr.: Im -Re ω= Re -Im Definice : Systém s dopravním zpožděním je stabilní, začíná-li hodograf na kladné reálné poloose, otáčí se stále v kladném směru a průsečíky s reálnou osou se střídají s průsečíky s imaginární osou REGULACE str

22 ...3.KÜPFMÜLLEROVO KRITÉRIUM Toto kritérium posuzuje stabilitu uzavřeného systému podle přechodové charakteristiky otevřeného obvodu. Používá se v případech, kdy nelze měřením získat frekvenční charakteristiku otevřeného obvodu (např. v případě velkých časových konstant). Metoda je velmi rychlá, ale nepříliš přesná. Definice: Systém je stabilní, když zesílení K je menší než poměr doby přechodu T p a doby průtahu T u. K T K < T p u x(t) T u T n T p doba průtahu doba náběhu doba přechodu T u T p T n t.3. SHRNUTÍ Aby mohl být regulační systém uveden do provozu, musí být stabilní. Nestabilní systém se stabilizuje např. pomocí : - zpětných vazeb - korekčních členů - regulátorů - změnou zesílení - tj. zmenšením (až v poslední řadě, protože tato změna zároveň zhoršuje přesnost) REGULACE str

23 .4. PŘÍKLADY VÝPOČTU STABILITY.4.. POUŽITÍ ALGEBRAICKÝCH KRITÉRIÍ Příklad Regulační obvod sestává z regulované soustavy s přenosem a regulátoru s přenosem F, 5 ( p ) = S ( +, p )( +. 5 p ) F R ( p ) = p Určete stabilitu obvodu pomocí Hurwitzova kritéria. Řešení: Nejprve vypočteme přenos uzavřené smyčky, např. přenos řízení a z něj určíme charakteristický polynom. Sestavíme Hurwitzův determinant a podle něj posoudíme stabilitu obvodu. Přenos řízení F w FR ( p ).Fs ( p ) ( p ) = + F ( p ).F ( p ) Charakteristický polynom A(p)=,5p 3 +,6p +p+. Hurwitzův determinant D H = R a a 3 a a s a a 3 Vypočteme D H =, 5, 6 > obvod je stabilní., 5 Příklad Charakteristický polynom má tvar A(p) = p 4 + p 3 +, p + 5p + 3 Určete stabilitu pomocí Hurwitzova kritéria. Řešení: Systém je nestabilní. Příklad 3 Pomocí Routh-Schurova kritéria vypočtěte stabilitu regulačního obvodu, jehož charakteristická rovnice je p + 6p + p + 44p + 6p + 5p + 4 = Řešení: Obvod je stabilní REGULACE str

24 Příklad 4 Přenos otevřené smyčky je F 6 ( p ) = o 5 4 3, p +, p +, 6p + 4p + 9 p Určete stabilitu pomocí Routh-Schurova kritéria. Řešení: Obvod je stabilní. Příklad 5 Přenos uzavřené smyčky regulačního obvodu pro poruchu je F u ( p ) = 3 3p p + p + Posuďte stabilitu tohoto regulačního obvodu. Řešení: Charakteristický polynom určíme jako jmenovatel přenosu uzavřené smyčky tj. A(p)=3p 3 +p + nestabilní - chybí člen a p. Příklad 6 Přenos otevřené smyčky je F 35 ( p ) = o 5 4 3, p +, 3p + p +, 5p + p Určete stabilitu pomocí Routh-Schurova kritéria. Řešení: Obvod je nestabilní. Příklad 7 Regulační obvod sestává z regulované soustavy s přenosem a regulátoru s přenosem F, 5 ( p ) = S ( +, p )( +. 5 p ) FR ( p ) = K p R Určete hodnotu K R tak, aby byl obvod na mezi stability. Řešení: A(p)=,5p 3 +,6p +p+,5k R. Z Hurwitzova determinantu vypočteme pro mez stability hodnotu konstanty K R = 4. Příklad REGULACE str

25 Přenos otevřené smyčky regulačního obvodu je F ( p ) = o ( + p ) p( + 3p )( + p ) Zjistěte stabilitu obvodu pomocí Hurwitzova kritéria. Řešení: Charakteristický polynom určíme Příklad 9 a jmenovatele přenosu otevřené smyčky, tedy A(p)=6p 3 +5p +p+ z Hurwitzova vychází nestabilní obvod. Přenos otevřené smyčky je F, 6K ( p ) = o p( +, 5p )( +, p ) jako součet čitatele Určete hodnotu zesílení K pro mez stability pomocí Hurwitzova kritéria. Řešení: Hodnota zesílení na mezi stability je K = 4,4. determinantu P říklad Charakteristicky polynom má tvar A(p) = 8 p p p + 6p +,5 Určete stabilitu pomocí Routh-Schurova kritéria. Řešení: Systém je stabilní. P říklad Pomocí Routh-Schurova kritéria vypočtěte stabilitu regulačního obvodu, jehož charakteristická rovnice je p + p + p + 5p + 9p + = Řešení: Obvod je nestabilní. P říklad Sestavte charakteristickou rovnici regulačního obvodu sestávajícího z PID regulátoru a statické soustavy s přenosy F R (p) a F s (p). Posuďte stabilitu obvodu. FR ( p ) =, 5( + +, 5p ) FS ( p ) =. 4 p ( +, 5p )( + p ) Řešení: Charakteristický polynom A(p) = 4p 3 + 3p +6p +,5 Obvod je stabilní. Příklad REGULACE str

26 Sestavte charakteristickou rovnici regulačního obvodu sestávajícího z PI regulátoru a astatické soustavy s přenosy FR ( p ) = ( + ) FS ( p ) =. p p( +, 5p ) Posuďte stabilitu obvodu pomocí Hurwitzova kritéria. Řešení: Charakteristický polynom A(p) = p 3 +p +4p + 4 Obvod je stabilní. P říklad 4 Regulační obvod sestává z PI regulátoru s přenosem F R ( p ) = ( + ) p a statické regulované soustavy s přenosem F S ( p ) =. ( +, 5p )( + p ) Vyšetřete stabilitu Hurwitzovým kritériem. Řešení: Charakteristický polynom A( p) =5p 3 + 5p +9p + Obvod je stabilní. P říklad 5 Pomocí Hurwitzova kritéria stanovte, pro jaké hodnoty zesílení K R proporcionálního regulátoru bude obvod stabilní a pro jaké nestabilní. Statická regulovaná soustava má přenos F S( p ) = ( +, p )( +, 4p )( + p ) Řešení: Charakteristický polynom A(p) =, 4p 3 +,54p +,5p + + K R Obvod je stabilní pro K R <9,5, mez stability je pro K R =9,5 a nestabilní obvod pro K R >9,5. P říklad REGULACE str

27 V regulační obvodu je proporcionální regulátor se zesílením K R = 4, 5 a astatická regulovaná soustava s přenosem FS ( p ) =. p( +, 5p )( +, p ) Hurwitzovým kritériem posuďte stabilitu obvodu. Řešení: Obvod je na mezi stability. P říklad 7 Routh-Schurovým kritériem vyšetřete stabilitu regulačního obvodu, jehož charakteristická rovnice je,p 5 +,p 4 +,6p 3 + 4p + 9p + 6 = Řešení: Obvod je stabilní. P říklad 8 Routh-Schurovým kritériem vyšetřete stabilitu regulačního obvodu, jehož charakteristická rovnice je,3p 5 +,5p 4 + 3p 3 + 5,5p + 4p + = Řešení: Obvod je nestabilní. P říklad 9 Regulační obvod sestává z PID regulátoru a astatické regulované soustavy s přenosy, 5( + +, 5p ) p F ( p ) = R +, p F, 5 ( p ) = S p( +, 5p )( +, 8 p ) Sestavte charakteristický polynom a vyšetřete stabilitu Routh-Schurovým kritériem. Řešení: Charakteristický polynom A(p) =,8p 5 +,3p 4 +,33p 3 + 6,65p + 3,75p + 3,75 Obvod je stabilní. P říklad Routh-Schurovým kritériem vyšetřete stabilitu regulačního obvodu, jehož charakteristická rovnice je p p 5 + p p p + 5 p + 4 = Řešení: Obvod je stabilní. P říklad REGULACE str

28 Routh-Schurovým kritériem vyšetřete stabilitu regulačního obvodu, jehož charakteristická rovnice je p p p + 4 p + 5 = Řešení: Obvod je na mezi stability. P říklad Regulační obvod je tvořen ideálním PD regulátorem a astatickou regulovanou soustavou s přenosy: F ( p ) = 5 + Tp R F ( p ) = S p( + p )( + p ) Určete, pro jaké hodnoty T bude obvod stabilní. Řešení: K výpočtu lze použít Hurwitzovo kritérium; z Hurwitzova determinantu určíme podmínku stability 39 T. P říklad 3 Regulační obvod sestává z regulátoru s přenosem akčního členu s přenosem regulované soustavy s přenosem a měřícího členu s přenosem Schéma zapojení:, 5 F R ( p ) = p F 9 ( p ) = A +, p F ( p ) = S +, 5 p F, ( p ) = M +, 3 p w(t) e(t) y(t) x(t) F R (p) F A (p) F S (p) x'(t) F M (p) Pomocí Hurwitzova kritéria posuďte stabilitu obvodu. Dosažený výsledek ověřte pomocí Routh-Schurova kritéria. Řešení: Přenos řízení F w FR ( p )FA( p )FS ( p ) ( p ) = + F ( p )F ( p )F ( p )F ( p ) R A S M REGULACE str

29 Hurwitzův determinant D H Do výrazu dosadíme a po úpravě získáme charakteristický polynom ve tvaru A(p) =,5p 4 + 6,53p p + p , > stabilní, 5 6, 53 Routh-Schurovo kritérium,5 6, ,5 -,97 6, ,53-57,5, 5 6, 53 6, ,5 45 stabilní.4.. POUŽITÍ FREKVENČNÍCH KRITÉRIÍ Příklad Nyquistovým kritériem v logaritmických souřadnicích vyšetřete stabilitu regulačního obvodu sestávajícího ze statické regulované soustavy s přenosem F ( p ) = S ( +, 4p )( +, p ) regulované integračním regulátorem s přenosem F ( p ) = R,. p Posuďte stabilitu obvodu a určete kmitočet řezu a fázovou bezpečnost. Řešení: Přenos otevřené smyčky Fo ( p ) = FR ( p ).FS ( p ) =, p( +, 4p )( +, p ) Přenos v decibelech F db = log, (, ω + 4ω + ). (, ω ) Fáze otevřeného obvodu ϕ = 9 arctg, 4ω arctg ω, Kmitočet řezu 3 ω s a fázová bezpečnost γ = 5. ř REGULACE str

30 Příklad Přenos otevřené smyčky je F ( p ) = 3 o p( +, p )( +, p ). Posuďte stabilitu obvodu a určete fázovou bezpečnost obvodu. Řešení: K určení fázové bezpečnosti musíme použít Nyquistovo kritérium, musíme tedy zakreslit amplitudovou a fázovou charakteristiku otevřeného obvodu. Zakreslíme LAFCH a LFFCH. Obvod je stabilní, můžeme tedy odečíst fázovou bezpečnost γ = 47 o (kmitočet řezu ω ř 3). Příklad 3 Přenos otevřené smyčky je F ( p ) = 9 o ( + 5p )( +, p )( +, p ). Posuďte stabilitu obvodu a případně určete fázovou bezpečnost obvodu. Řešení: K určení fázové bezpečnosti musíme použít Nyquistovo kritérium, musíme tedy zakreslit amplitudovou a fázovou charakteristiku otevřeného obvodu. Zakreslíme LAFCH a LFFCH. Obvod je stabilní, odečteme tedy fázovou bezpečnost γ = 7 o (kmitočet řezu ω ř,5). Příklad 4 Nyquistovým kritériem zjistěte, zda je stabilní obvod tvořený proporcionálním regulátorem a statickou regulovanou soustavou s přenosy F R ( p) = F 5 ( p ) = S ( +, p )( +, 5p )( + p ) Řešení: Nejprve určíme přenos otevřené smyčky F (p) = F R (p).f S (p). Zakreslíme frekvenční charakteristiku otevřeného obvodu, a to buď v komplexní rovině nebo logaritmických souřadnicích. Z průběhu charakteristik je jasné, že obvod je stabilní REGULACE str

31 Příklad 5 Nyquistovým kritériem v logaritmických souřadnicích vyšetřete stabilitu regulačního obvodu sestávajícího ze statické regulované soustavy s přenosem F ( p ) = S ( +, p )( +, p ) regulované integračním regulátorem s přenosem 3 F R ( p ) =. p Určete kmitočet řezu a fázovou bezpečnost. Řešení: Z průběhu charakteristik je jasné, že je obvod stabilní. Odečteme kmitočet řezu ω ř = 3 a fázovou bezpečnost γ = 4. Příklad 6 Posuďte stabilitu regulačního obvodu pomocí Michajlovova kritéria, známe-li charakteristický polynom A(p) =,4p 3 +,5p + p +. Řešení: Určíme charakteristický vektor A(jω) =,4 (jω) 3 +,5 (jω) + jω + A(jω) = -,5 ω + j (ω -,4ω 3 ) A(jω) = U(jω) + j V(jω) Tabulka a přibližný nákres hodografu: Im Příklad 6 ω U(ω) V(ω) ω 5,36 ω -5 -Re 3. řád ω ω= ω Re ω -Im STABILNÍ Michajlovovým kritériem zjistěte, zda je stabilní obvod tvořený proporcionálním regulátorem a astatickou regulovanou soustavou s přenosy F ( p ) R = K r = F ( p ) = S p( +, p )( + p ) REGULACE str

32 Řešení: Nejprve určíme přenos uzavřené smyčky, např. přenos řízení, potom charakteristický polynom, dále charakteristický vektor, který znázorníme jako hodograf v komplexní rovině. Dle průběhu této křivky posoudíme stabilitu obvodu. F w FR ( p ).Fs ( p ) ( p ) = F w ( p ) = + F ( p ).F ( p ) 3, p +, p + p + R s A ( p ) A ( 3 =, p +, p + p + 3 jω ) =, ( jω ) +, ( jω ) + jω + 3 A( jω ) =, ω + j( ω, ω ) Průběh hodografu určuje nestabilitu obvodu. Im -Re ω= Re ω -Im NESTABILNÍ Příklad 7 Michajlovovým kritériem zjistěte, zda je stabilní obvod tvořený proporcionálněintegračním regulátorem a astatickou regulovanou soustavou s přenosy F R ( p ) = 4 ( + ) 3p 3 F S ( p ) = p( + 5p )( + p ) Řešení: Určíme přenos otevřené smyčky a z něj charakteristický polynom, který upravíme na charakteristický vektor, který znázorníme jako hodograf v komplexní rovině. Přenos otevřené smyčky F (p) = F R (p).f s (p) Po dosazení a úpravě A(p) = 5p 4 + 6p 3 + p + p + 4 Charakteristický vektor: A(jω) = 5ω 4 - ω j ( ω - 6ω 3 ) Průběh hodografu určuje nestabilitu obvodu. Im NESTABILNÍ -Re ω= Re -Im ω REGULACE str

33 3. PŘESNOST ŘÍZENÍ A PŘESNOST REGULACE Přesnost je po stabilitě další důležité hledisko, podle něhož regulační obvody posuzujeme. Zkoumáme ji jen tehdy, je-li obvod stabilní. 3.. PŘESNOST ŘÍZENÍ Vycházíme z obecného blokového schématu regulačního obvodu: u(t)= w(t) e(t) F R (p) y(t) F s (p) x(t) Při posuzování přesnosti v režimu řízení jde o to, jak dobrá je shoda regulované veličiny x(t) s veličinou řídící w(t) po skončení regulačního pochodu, tedy v ustáleném stavu. Předpoklad je, že poruchy u(t) =. Definice: Řízení je přesné, jestliže v ustáleném stavu je regulovaná veličina rovna veličině řídící. Potom regulační odchylka je nulová e( ) =. V případě, že je v ustáleném stavu regulační odchylka nenulová, dopouští se systém při řízení chyby, jejíž velikost je dána hodnotou e( ) = lim e(t ) t Pomocí Laplaceovy transformace převedeme na tvar e( ) = lim p E( p ) p Tento výraz můžeme dále upravit dosazením za obraz regulační odchylky E(p) použitím přenosu odchylky. Obdržíme výraz vhodný pro výpočet přesnosti řízení: e( ) = lim p W ( p ) F p e ( p ) Tento výraz udává výpočet velikosti odchylky v ustáleném stavu, známe-li obraz řídící veličiny W(p) a přenos odchylky regulačního obvodu F e (p). Přenos regulační odchylky je definován takto: Fe ( p ) = + F ( p ).F ( p ) R S REGULACE str

34 Mějme regulační obvod sestávající z regulátoru a regulované soustavy, jejichž přenosy vypadají takto: K R.Q( p ) FR ( p ) = kde K r R je zesílení regulátoru p R( p ) r řád astatismu (počet integrátorů) Q(p), R(p) polynomy (+pt)... KS FS ( p ) = K s S je zesílení soustavy p S( p ) s je řád astatismu (počet integrátorů) Přenos odchylky po dosazení vypadá takto: kde F ( p ) e = r + F ( p ).F ( p ) p = + s R S r + s astatismus otevřeného obvodu K = K R. K s zesílení otevřené smyčky S(p) polynom (+pt)... r + s p R )p ).S( p ) R( p ).S( p ) + K.K R s.q( p ) Poznámka: Uvažujeme přenosy bez dopravního zpoždění. Dopravní zpoždění nemá vliv na přesnost v ustáleném stavu, takže to nevadí. Výsledný vztah pro posouzení přesnosti řízení potom vypadá takto: p e( ) = lim p W ( p ) r + s p R( p r + s R( p )S( p ) p )S( p ) + K R K Q( p ) S řídící signály: 3... VLIV ŘÍDÍCÍ VELIČINY w(t) NA PŘESNOST ŘÍZENÍ Pro posuzování přesnosti obvodu použijeme tři standardní (typové) vstupní tj. w 3 w w t t t jednotkový skok jednotková rychlost jednotkové zrychlení REGULACE str

35 . signál jednotkový skok w(t ) = W ( p ) = p. signál měnící se jednotkovou rychlostí w ( t ) = t W ( p ) = p 3. signál měnící se s jednotkovým zrychlením w (t ) = t W ( p ) = 3 p Řídící signál charakteru jednotkového skoku w(t ) = W ( p ) = p r + s p R( p )S( p ) p e( ) = lim p W ( p ) = lim p r + s r p R( p )S( p ) + K K Q( p ) p p + s R S R( p p r + s R( p )S( p ) p )S( p ) + K R K Q( p ) S Předpoklad: r + s = e( ) = lim R( p tj. regulátor i regulovaná soustava bez integrátorů R( p )S( p ) p )S( p ) + K R = K Q( p ) + K K S R S K Přesnost bude tím lepší, čím větší bude zesílení otevřené smyčky K. r + s = e( ) = lim pr( p tj. regulační obvod s integrátorem pr( p )S( p ) p )S( p ) + K R = K Q( p ) + K K S R S = r + s = tj. regulační obvod se integrátory e( ) = lim pr( p pr( p )S( p ) p )S( p ) + K R K Q( p ) S = + K K R S = Řídící signál charakteru jednotkové rychlosti w ( t ) = t W ( p ) = p Předpoklad: r + s = e( )= r + s = e( ) = K = K R K S r + s = e( )= Řídící signál charakteru jednotkového zrychlení w ( t ) = t W ( p ) = p Předpoklad: r + s = e( )= r + s = e( )= REGULACE str

36 r + s = e( ) = K = K R K S r + s = 3 e( )= Shrnutí: Jestliže má být řízení stoprocentně přesné, musí být počet integrátorů otevřené smyčky r + s nejméně tak velký, jako je stupeň astatismu přiváděného signálu: pro w(t ) = W ( p ) = p musí platit r + s ; pro w ( t ) = t W ( p ) = p musí platit r + s ; pro w ( t ) = t W ( p ) = 3 p musí platit r + s 3. Přesnost řízení se zvětšuje se zvyšováním řádu astatismu obvodu a zvětšováním zesílení otevřené smyčky. Podle kritéria stability se však zvyšováním počtu integračních členů v přenosu a zvyšováním zesílení zhoršuje stabilita systému. Požadavky na přesnost řízení a stabilitu jsou požadavky protichůdné a mohou být řešeny kompromisem nebo zásahem do struktury systému. 3.. PŘESNOST REGULACE Vycházíme z blokového schématu regulačního obvodu: u(t) y(t) F s (p) x(t) F R (p) w(t)= Při posuzování přesnosti v režimu regulace nás zajímá, jaké změny regulované veličiny vyvolávají vstupující poruchy, čí zda se podaří regulačnímu obvodu vyregulovat vliv poruch tak, aby odchylka x( ) byla nulová. Tyto změny opět posuzuje po skončení regulačního pochodu v ustáleném stavu. Definice: Řízení je přesné, jestliže v ustáleném stavu je odchylka x( )=. V případě, že je v ustáleném stavu regulační odchylka nenulová, dopouští se systém při řízení chyby, jejíž velikost je dána hodnotou x( ) = lim x(t ) t REGULACE str

37 Pomocí Laplaceovy transformace převedeme na tvar x( ) = lim p X ( p ) p Tento výraz můžeme dále upravit dosazením za obraz odchylky X(p) použitím přenosu poruchy. Obdržíme výraz vhodný pro výpočet přesnosti regulace: x( ) = lim pu( p )Fu ( p ) p Tento výraz udává výpočet velikosti odchylky regulované veličiny v ustáleném stavu, známe-li poruchovou veličinu U(p) a přenos poruchy regulačního obvodu F u (p). Přenos poruchy je určen následujícím vztahem: Fs ( p ) FU ( p ) = + F ( p ).F ( p ) Dosadíme obecný tvar přenosu regulátoru R S K R.Q( p ) FR ( p ) = kde K r R je zesílení regulátoru p R( p ) r řád astatismu (počet integrátorů) a obecný tvar přenosu soustavy Q(p), R(p) polynomy (+pt)... KS FS ( p ) = K s S je zesílení soustavy p S( p ) s je řád astatismu (počet integrátorů) Po dosazení dostaneme přenos poruchy ve tvaru: F ( p ) U Fs ( p ) = + F ( p ).F ( p ) p = r + s R S S(p) polynom (+pt)... R( r p R( p )K p ).S( p ) + K s R.K s.q( p ) Obecný vztah pro výpočet přesnosti regulace x( ) = lim p U( p ) FU ( p ) = lim p U( p ) r + s p R( p p r p R( p )K p )S( p ) S + K R K Q( p ) S REGULACE str

38 3... VLIV PORUCHOVÉ VELIČINY U(t) NA PŘESNOST REGULACE Pro posuzování přesnosti obvodu použijeme opět typové vstupní (poruchové) signály: jednotkový skok jednotkovou rychlost jednotkové zrychlení u 3 u u. signál jednotkový skok t t u(t ) = U( p ) = t p. signál měnící se jednotkovou rychlostí u (t ) = t U( p ) = p 3. signál měnící se s jednotkovým zrychlením u (t ) = t U( p ) = 3 p Poruchový signál charakteru jednotkového skoku u(t ) = U( p ) = p r p R( p )K S x( ) = lim p U( p ) = lim p r + s r + s p R( p )S( p ) + K RK SQ( p ) p p R( p p r p R( p )K p )S( p ) S + K R K Q( p ) S Předpoklad: r + s = x( ) = lim R( p tj. regulátor i regulovaná soustava bez integrátorů p )S( p ) R( p )K + K R K = K Q( p ) + K S S S R K S K Přesnost bude tím lepší, čím větší bude zesílení regulátoru K R. Stejný výsledek získáme pro kombinaci r = ; s =. r = ; s = tj. regulátor s integrátorem R x( ) p.r( p )K S x( ) = lim = p.r( p )S( p ) + K K Q( p ) totéž pro r = ; s = R S p Poruchový signál charakteru jednotkové rychlosti u (t ) = t U( p ) = p Předpoklad: r = s = a r = ; s = x( ) = K R REGULACE str

39 Předpoklad: r = ; s = r = ; s = r = ; s = x( ) = x( ) = x( ) = K R K R K R Poruchový signál charakteru jednotkového zrychlení u (t ) = t U( p ) = 3 p Předpoklad: r = ; s = x( )= r = ; s = x( )= totéž i pro r = ; s = Shrnutí: Jestliže má být regulace stoprocentně přesná přesné, musí být počet integrátorů regulátoru r nejméně tak velký, jako je stupeň astatismu působící poruchy: pro u(t ) = U( p ) = p musí platit r ; pro u (t ) = t U( p ) = p musí platit r ; pro u ( t ) = t U( p ) = 3 p musí platit r 3. Přesnost regulace se zvětšuje se zvyšováním řádu astatismu regulátoru a zvětšování zesílení regulátoru. Podle kritéria stability se však zvyšováním počtu integračním členů v přenosu a zvyšováním zesílení zhoršuje stabilita systému SHRNUTÍ Lze dokázat, že na přesnost řízení a regulace má vliv především astatismus (integrační složka) regulátoru, astatismus soustavy má vliv pouze na přesnost řízení. Výrazný vliv na přesnost má také charakter vstupních signálů, ať už je to signál řídící při výpočtu přesnosti řízení, nebo signál poruchový při výpočtu přesnosti regulace. Čím vyšší je stupeň astatismus přiváděného signálu, tím je těžší zabezpečit stoprocentně přesné řízení. Menší vliv na přesnost má zesílení regulátoru (v případě přesnosti řízení i zesílení soustavy) - čím větší zesílení - tím lepší přesnost. Obecně lze říci, že integrační složka v regulátoru má příznivý vliv na přesnost regulačního obvodu v režimu řízení i režimu regulace. Řád astatismu však nelze REGULACE str