Olympiáda techniky Plzeň

Transkript

1 Olympiáda echniky Plzeň SROVÁÍ ČESKÝCH A ĚMECKÝCH UČEBIC MATEMATIKY PRO GYMÁZIA COMPARISO OF THE CZECH AD GERMA TEXTBOOKS O MATHEMATICS FOR THE SECODARY GRAMMAR SCHOOLS Absrak Jan Zeman V éo práci prozkoumáme české a německé učebnice maemaiky pro gymnázia. Porovnáme přiom, jaké jsou mezi nimi obsahové a formální rozdíly při výkladu émau funkce, přičemž se zaměříme na aplikační úlohy. Zhodnoíme, co by z láky, uvedené v učebnicích, nemělo chybě ani přímo v hodině při výuce a co je naopak nadbyečné. Tím se dokneme aké émau akuálnosi českých učebnic, keré byly poprvé vydány již zhruba před dvacei ley. Předsavíme rozdíly v používání učebnic v obou kulurních prosředích. Klíčová slova: maemaika, gymnázium, učebnice, německý, funkce Absrac In his aricle, we would srive o presen a survey on he Czech and German exbooks for secondary grammar schools. We compare he way, he exbooks presen paricular opic of funcions, and show he differences in subjec and form. The aim would be on he applicaion asks. We give our opinion, wha he eacher is supposed o say o he opic direc in he class and wha may res redundan. We would also like o sress he curren eaching praxis usabiliy of he Czech exbooks ha were firs published already years ago. We show he differences in using he exbooks in boh culures also. Key words: mahemaics, grammar school, exbook, German, funcions 1 ÚVOD Proože nejsou učebnice na našich gymnáziích obecně povinné, fungují časo jako referenční příručky nebo sbírky příkladů především pro učiele. I zde jsou však již pouhým sekundárním zdrojem a žákům samoným se během sředoškolského sudia nemusejí do ruky ani dosa (řeba i z finančních důvodů). Klíčové je pro ně, co od nich vyžaduje učiel. a gymnáziích v ěmecku jsou učebnice základním pramenem a s učebnicí se během hodiny i doma velmi pracuje. Školsví řídí každá spolková země sama. Minisersvo schvaluje učebnice, keré se na gymnáziu smějí používa, a konkréní škola následně ze seznamu určí podle jaké řady učebnic se na ní bude vyučova. Učebnice pro konkréní ročník jsou na začáku roku rozdány a na konci roku vybrány. Tyo učebnice na sebe napříč ročníky navazují, a učiel je ak poé do značné míry vázán na láku, v nich obsaženou. 1

2 Olympiáda echniky Plzeň V éo práci prozkoumáme, jaké rozdíly exisují mezi českými a německými učebnicemi maemaiky, přičemž bude zvlášní pozornos věnována i aplikačním úlohám, keré mají moivova k užií znalosí z maemaiky v živoě sudena. POUŽITÉ METODY Budeme porovnáva české učebnice řady Maemaika pro gymnázia s německými učebnicemi Lambacher Schweizer. Obě bavorská gymnázia ve Schwandorfu a Ambergu, kerá jsme navšívili, používala uo řadu. Z českých gymnázií jsme komunikovali s profesory maemaiky v Teplicích a v Plzni. Ti pozorovali nezávisle na sobě rozdíl v kvaliě obsahu i napříč jednolivými českými učebnicemi, z nichž každá je zaměřena na určiý ucelený obor maemaiky. Učebnice německé jsou oproi omu uspořádány časově podle osnov. Obsahují láku, kerá se má v om kerém ročníku probra, a každý díl proo obsahuje i více maemaických éma. Abychom mohli učebnice srovnáva a zjisi, kde jsou uváděny lepší a jednodušší meody, zaměřili jsme se proo pouze na konkréní éma funkce. Těm se z řady německých učebnic Lambacher Schweizer věnuje desáý díl [4], z českých sejnojmenná kniha Funkce od Oldřicha Odvárka []. V exu dále zmíníme, co v ěcho učebnicích hodnoíme jako přínos či chybu. ZPRACOVÁÍ PROBLÉMU A VÝSLEDKY V éo čási budeme srovnáva jednak výklad exponenciální a logarimické funkce, jednak výklad funkce mocninné a polynomické. Dále prozkoumáme příomnos aplikačních úloh. ejvidielnější, ale jen formální rozdíl je označení předpisu funkce, kdy se v českých učebnicích používá y, v německých x, např. pro lineární funkci x ax b x R. v německé učebnici:.1 EXPOECIÁLÍ A LOGARITMICKÁ FUKCE V knize Funkce začíná exponenciální funkce příkladem na poločas rozpadu, což může předsavova problém, neboť po sudenovi, kerý nemá upevněn průběh rosoucí exponenciální funkce v základním varu, se ihned chce pozna její průběh klesající pro kladný základ x, kerý je menší než 1. Po omo moivačním příkladě je funkce definována jako x y a x R, kde a je kladné číslo různé od 1, hodnoa mocninné funkce v počáku je edy f() = 1. Po exponenciální funkci následují exponenciální rovnice, poé funkce logarimická a analogicky logarimické rovnice. Logarimická funkce je definována jako inverzní k exponenciální. Samosanou kapiolu věnuje učebnice přirozenému logarimu a Eulerově čísle. V knize Lambacher Schweizer se začne kapiola o funkcích předsavením lineárního a exponenciálního růsu. Přírůsek dy (jak je nazýván v české učebnici) je označen d = f() - f( - 1). Takový lineární přírůsek vede na arimeickou posloupnos. Oproi omu exponenciální růs, kdy se v každém kroku po sejných úsecích násobí fakorem a = g() / g( - 1), vede na posloupnos geomerickou. V éo souvislosi je vhodná i procenuální inerpreace růsu, kerá v české učebnici schází. V německé učebnici se k pojmu růs funkce příklady neusále vracejí.

3 Olympiáda echniky Plzeň Až po výkladu růsu a úkolech následuje výklad funkce exponenciální: x x b a x R, kde a >, a 1. Fakor a se nazývá činiel růsu, b udává počáeční hodnou f() = b. Je připojen výklad, jak oo číslo rozahuje funkci do směru osy y. Chybou však je, že není uvedeno, z jakého oboru je číslo b. Pokud by oiž bylo záporné, změnilo by průběh exponenciely - z rosoucí funkce a x by naráz byla funkce klesající. Kromě poločasu (např. rozpadu) je v německé učebnici vyložen aké čas zdvojnásobení (Verdopplungszei). Ten v české učebnici chybí. a něj vede ao úloha: Když zdvojnásobení funkce a x nasane každých minu, jaký musí bý základ a? f a f a a ásledně je vyložena logarimická funkce. a samoném začáku se předsaví příklad x = 1 a laicky se řekne, že hledané číslo x se označuje jako logarimus z 1 při základu. Logarimická funkce je edy pro ěmce definována jen jako aková, kerá řeší exponenciální rovnici a x = b. Pojem inverzní funkce není vůbec zmíněn. O přirozeném logarimu či Eulerově čísle není v německé učebnici zmínka. Jsou vyložena pravidla pro počíání s logarimy, aby mohla ao bý použia ve složiějších exponenciálních rovnicích.. MOCIÁ A POLYOMIÁLÍ FUKCE V české učebnici je v následujících kapiolách pod lineárně lomenou funkcí uvedena i obecná funkce racionální, kerá má v čiaeli i jmenovaeli polynom. Jejím speciálním příkladem je pak funkce polynomiální, mocninná. Ta je nejprve definována s přirozeným exponenem a následně v samosaných kapiolách s exponenem celým a racionálním. ěmecká učebnice servává u mocninných funkcí přirozeného exponenu. Mocninní funkce je zde však oproi české učebnici definována s koeficienem a, kerý ji na grafu rozáhne ve směru osy y (podobně, jako v příkladu exponenciální funkce výše): x ax n n Odvárkova učebnice eno koeficien a u mocninných funkcí neuvádí, je však příomen v případě funkce kvadraické y ax bx c a, kde jsou připojeny oba grafy pro případy, kdy je buď a > nebo a <. V případě mocninných funkcí v německé učebnici je eno rozdíl uveden spolu s různým průběhem pro n lichá a n sudá. Co je v německé učebnici navíc, je udání vzahu mezi funkční hodnoou pro x a funkční hodnoou pro nějaký její násobek kx. Poom plaí: n. f kx k f x. Užií je nasnadě, např. ve slovní úloze, jak se změní objem jehlanu (čyřsěnu), když se její velikos zdvojnásobila. Teno vzah v české učebnici chybí.

4 Olympiáda echniky Plzeň Po mocninné funkci je v německé učebnici definována funkce polynomická (německé označení ganzraionale Funkion). V české učebnici je definována polynomická funkce v podkapiole k funkci lineárně lomené, a o oproi německé učebnici jen velmi sručně. Zajímavé éma je rozahování a posunování polynomiácké funkce, kerému se speciálně věnuje pouze německá učebnice. V učebnici české je uvedeno pouze pro případ kvadraické funkce, paraboly, pro správné určení jejího vrcholu. Jak ale bude např. vypada předpis funkce, posunué o díly ve směru osy x oproi funkci x, x 1 x? V německé knize je posunuí funkce f(x) definováno jako gx f x a b. Graf funkce g je oproi grafu funkce f posunu o (-a) ve směru osy x, o b ve směru osy y. V předpisu funkce z dané úlohy ak musíme míso každého x brá (x ) x ', x' 1 x'. a dosaneme posunuou výslednou funkci s předpisem To může velmi pravděpodobně sudeny más. Proč se u obou posunovacích koeficienů a, b se sejnými znaménky jednou funkce posune proi směru osy a jednou v jeho směru? Je proo nuno u posunuí funkce chvíli serva a nacviči jej alespoň na několika příkladech. V učebnici se v samoných příkladech na posunuí funkce se nejdříve posouvá ve směru osy y, poé ve směru osy x, poé v obou směrech najednou a eprve poom se suden učí výše uvedený obecný posup při určování akového posunuí. Teno yp příkladu v českých učebnicích naproso schází, sejně jako akové příklady, u kerých je nuno na základě grafu funkce urči její předpis. Po výkladu posunování funkcí je uvedeno jejich rozahování do směru os x a y. I o v českých učebnicích chybí. Symerie, sudos nebo lichos funkce je oproi omu v obou učebnicích vyložena analogicky.. APLIKAČÍ ÚLOHY V knize Funkce jsou úlohy uvedeny na koncích jednolivých kapiol. Věšinou jde o konkréní ypové příklady přesně k danému émau, velmi málo z nich lze označi za aplikační. Uveďme alespoň yo: 1/7.1 Závislos laku p na nadmořské výšce h (v km) lze vyjádři přibližně h vzahem p p,88, kde p 1,11 Pa je lak v nadmořské výšce merů. Vypočíeje, jaký je lak vzduchu na vrcholcích ěcho hor: Sněžka, Mon Blanc, Moun Everes. (Žáci vyhledají yo nadmořské výšky: Sněžka 16 m. n. m., Mon Blanc 481 m. n. m., Moun Everes 8818 m. n. m.) p p p 1 1,11,88 1,11,88 1,11,88 1,6 4,81 8,818 8, 1 4,8 1,7 1 Tlaky vzduchu na Sněžce, Mon Blancu a Moun Everesu jsou po řadě 8, kpa; 4,8 kpa;,7 kpa. 4

5 Olympiáda echniky Plzeň /7.44 Poče bakerií jisé kulury vzrose za jednu hodinu o %. Vyjádřee závislos poču bakerií na čase jednak vzorcem a, jednak vzorcem e, kde λ je konsana ( značí poče bakerií v čase h, v čase ). e 1, ln1,,78 1, e,78 Hledané závislosi poču bakerií na čase jsou jejich poče,78 1, a e. V jednolivých kapiolách učebnice Lambacher Schweizer je vyloženo poměrně málo láky. a začáku je pokaždé vyřešen moivační příklad, udána jedna definice a následuje kolem 1 pověšinou aplikačních úloh. Po výkladu se ak láka neprocvičuje na obyčejných příkladech. V rámci každé kapioly jsou uvedeny aké úlohy, keré nemají souvislos s akuální lákou a slouží jen k procvičení základních znalosí, na což naváže poslední kapiola knihy, kde jsou pouze a jen aplikační úlohy. Dobrým příkladem jedné akové na odhad, kde není nic zadáno, je např. určení hmonosi skalních úvarů dané husoy s foografií v poměru k výšce posavy. Žák má úvar idealizova polokoulí, urči funkci pro její objem a dosadi poloměr, odhadnuý z foografie (Fig. 1), následně zapoji znalosi z fyziky. Fig. 1 Kniha obsahuje éž kapioly, keré následují po shrnuí určiého čvrleního celku a keré se celé věnují jedné konkréní aplikační úloze, kerá má danou láku pokrý. Jednou z nich je např. globální problém přelidnění planey, kde se užije exponenciální funkce. Jsou ukázány saisiky z dějin a předsaveny ři prognózy možného demografického vývoje v následujících deseileích. Sudenům navrhuje učebnice vypracování projeku na oo éma a dává ipy na zdroje informací. 4 DISKUZE VÝSLEDKŮ V knize Lambacher Schweizer začíná éma exponenciální funkce pojmem jejího růsu, na kerém následně saví mnoho příkladů. Dle našeho názoru by ohoo émau mělo bý v české učebnici více, především v procenuální inerpreaci. V německé učebnici je jej však naopak více, než je nuné. Cílem maemaiky v německém prosředí muže bý příprava pro orienaci v ekonomii, my se však přikláníme spíše ke

6 Olympiáda echniky Plzeň cviku ve správných úsudcích pro občanskou angažovanos, jak maemaickou gramonos definuje sudie Pisa [1]. Tak se v Odvárkově knize Funkce o rosoucích funkcích dovíme v rámci výkladu o lineární funkci a až po vyložení a důkladném procvičení funkce konsanní. V případě mocninné a polynomické funkce v české učebnici schází jejich posunuí a rozažení. aopak přínosem je, že jsou uvedeny mocninné funkce i pro exponeny s celými a racionálními čísly, edy včeně funkce pro odmocniny (např. y x ), keré v německé učebnici chybějí. Také je jen v české učebnici pojednáno obecně o pojmu inverzní funkce. V německé knize je nová láka vyložena poměrně rychle se snahou o co nejvěší přísupnos a nápadios. ení zde procvičována na ypových příkladech, ale na úlohách, propojující jednak již probranou minulou láku, jednak i další školní předměy či akuální émaa, velmi časo v aplikačních úlohách. V mauriních příkladech z německé učebnice se sekáme s úlohami, kde nejsou zadány žádné údaje a kde je vyžadován slovní popis posupu. ZÁVĚR V omo článku jsme na konkréním émau funkce prozkoumali hlavní rozdíly mezi českými a německými učebnicemi. elze vrdi, že by exisoval nějaký obecný rozdíl v kvaliě obsahu. Řada českých učebnic pro gymnázia vykazuje určiou sabiliu, díky níž je možno se při výuce maemaiky na sřední škole k učebnicím kdykoliv vrái. ěmecké učebnice jsou akuálnější, méně ponořené v oboru, proo aké rozdrobenější a méně souvislé. V současné české pedagogické lierauře (viz např. []) jsou zmínky o om, že žáci prosě přeskakují příklady, keré se jim zdají na první pohled příliš ěžké, právě y aplikační, kde není na první pohled vidě způsob řešení. Množsví aplikačních úloh při dobře zvoleném émau je podněné i pro výchovu sudena k občansví. aopak zase v přemíře úloh z reálného živoa se zrácí hierarchie vědomosí, záchyné body, získané procvičením láky právě na ypických, klasických úlohách. Je nyní úkolem učiele, přinés kvaliy, keré české učebnice pro gymnázia určiě zachovávají, rozumným způsobem lidem na škole a neochuzova výklad o nuné odhady výsledků či akuální problémy, např. z novějších učebnic či z vlasní práce. References 1. BLAŽEK, R., PŘÍHODOVÁ, S., Mezinárodní šeření PISA 1. Praha: Česká školní inspekce s BOCHÍČEK, Z., HALIŠKA, Z. a pomoc pedagogické praxi. Brno: Masarykova univerzia s. ISB ODVÁRKO, O. Funkce. Praha: Promeheus, s. ISB SCHMID, A; WEIDIG, I. Lambacher Schweizer 1. Sugar: Erns Kle Verlag s. ISB Conacs Ing. Jan Zeman Západočeská univerzia v Plzni, Fakula filozofická Sedláčkova 8, 6 14 Plzeň Tel:

7 Olympiáda echniky Plzeň